Введение к работе
Актуальность. В проблеме расчета тонких упругих оболочек в настоящее время достигнуты большие успехи как в области математической теории, так и в области технической теории, которая, основываясь на гипотезах Кирхгофа-Лява и принятых дополнительных рабочих гипотезах, обоснованных экспериментальными данными, занимается построением упрощенных расчетных уравнений и методами их решения, удобными для проведения инженерных расчетов. Однако оболочки, применяемые в реальных конструкциях и спроектированные на основании расчета, с геометрической точки зрения, относятся к весьма ограниченному числу поверхностей: круговых цилиндрических и конических, сферических, тороидальных, прямого переноса и некоторых других. Оболочки, имеющие более сложную форму, как правило, осуществляются на основании эксперимента. Невелико разнообразие фигур в плане и контуров, расположенных в разных уровнях, перекрываемых оболочками. Однако потребность человека удовлетворить свои.физические или духовные запросы вызывает необходимость расширения научных исследований геометрии и напряженно-деформированного состояния изделий и сооружений в форме тонкостенных пространственных конструкций сложной формы, но с простой технологией возведения.
Из всех разнообразных геометрических моделей тонкостенных пространственных конструкций наиболее широкий интерес представляют конструкции в форме торсовых поверхностей, так как процесс изготовления изделия на основе этих поверхностей намного проще благодаря их способности разворачиваться на плоскость без складок и разрывов. Это важное преимущество торсов перед другими геометрическими моделями оболочечных конструкций подчеркивали академики Г.Е.Павленко, В.П.Горячкин, профессора В.Г.Рекач, Н.Н.Рыжов, В.С.Обухова, B.C.Люкшин и др. Благодаря произвольной форме ребра возврата, касательные к которому образуют торс, ему может быть придана разнообразная конфигурация. Предметом пристального изучения стали способы конструирования торсовых конструкций. Большой выбор способов конструирования позволяют придать торсам необходимую форму, заданные технологические свойства и делают их удобными для применения в
- 4 -различных отраслях производства и строительства.
В этих условиях большое значение имеют прикладные научные исследования в области гражданского, промышленного, автодорожного строительства, судо-, самолето-, машиностроения. Во всех этих отраслях нашли применение торсовые конструкции. Результаты геометрических исследований торсов используются в легкой промышленности (пищевое машиностроение, упаковочная тара, автоматизированный процесс конструирования одежды). Торсы могут служить инструментом для изучения геометрии сложных поверхностей и физических явлений.
После изучения практически всей, доступной в СНГ(СССР), научно-технической литературы по исследованию геометрии, напряженно-деформированного состояния торсовых оболочек, литературы, освещающей вопросы практического применения и примеры реально воплощенных в изделия, сооружения торсовых конструкций, изучения авторских свидетельств на изобретения, диссертаций, посвященных исследуемой тематике, можно сделать вывод, что все научные исследования по торсам условно разделяются на 8 групп:
-
Внутренняя и внешняя геометрия, конструирование торсовых поверхностей. В этом разделе большую роль сыграли исследования Г.Монжа, М.Я.Выгодского, В.Ф.Кагана, Н.Н.Рыжова, В.С.Обуховой, С.П.Финикова, Е.П.Утишева, В.Я.Булгакова, А.И.Волкова, М.Я.Громова, С.Ф.Пилипаки, В.И.Михайловского и др. Определенный вклад в развитие этого раздела исследований внесли Ашпап Giinter, Златанов Г., Вата L., Botez M.St., Cleave J.P., Deaux R., Dedonder W., Dobrescu A., Gallo Ondrej, Gi-ering 0., Meirer Kl., Myard Fr., Poschl Th., Stoker J.J., Cou-toumanos A., Marris A.W., Passman S.L. и др.
-
Построение разверток торсов на плоскость, совместное изгибание отсеков пересекающихся торсов, свертывание кривой на развертке в сечение торсовой поверхности. В число ученых, имеющих научные результаты в этой области входят: Р.У.Алимов, К.М.Белов, И.П.Гершман, Ж.Н.Горбатович, Д.Д.Джанабаев, А.Л.Мартиросов, В.С.Обухова, С.Ф.Пилипака, Л.С.Панасюк, И. А.Скидан и др.
-
Аппроксимация торсов складками, аппроксимация сложных поверхностей торсами. В этой области работают В.С.Обухова,
- 5 -Ю.Г.Кардашевская, А.И.Волков, В.И.Малиновская, А.В.Павлов, Н.Н.Рыжов, Ю.С.Завьялов и др.
-
Качение торсов друг по другу. Эта проблема исследуется в трудах В.С.Обуховой, А.Л.Мартиросова, С.Ф.Пилипаки и др.
-
Приложение теории торсов к геометрии сложных поверхностей.
-
Вопросы практического применения торсов в реальных сооружениях и изделиях.
-
Моментная и безмоментная теория расчета тонких упругих торсовых оболочек. Определением напряженно-деформированного состояния торсовых оболочек занимались Юханио Маруланда, Фарес Милад Ж., Barbagelata Andrea, Г.Ч.Баджория, Сальман Аль Духей-сат, М.Ф.Копытко, Я.Г.Савула, С.Б.Косицын, С.И.Трушин и др. Экспериментальные исследования НДС торсовых оболочек пока никем не проводились.
-
Обобщение понятия торсовой поверхности на многомерный случай. Этот раздел в основном представлен трудами зарубежных ученых: Auman G., Bereis R., Portnoy Esther. Thas C.. Vogler H. и др. Имеются также работы В.М.Савицкого, К.Н.Тамбова в той или иной степени затрагивающие данную проблему.
Порядка 80% публикаций от общего их числа посвящены геометрическим исследованиям торсовых поверхностей и около 15% работ исследуют вопросы напряженно-деформированного состояния торсовых оболочек. Наиболее полно исследована геометрия торсовых поверхностей, хотя и здесь есть еще задачи, ждущие своего решения. Очень мал выбор конкретных торсовых поверхностей, которые можно было бы предложить инженерам-проектировщикам для дальнейшего применения. В основном все методики иллюстрируются на торсах-геликоидах, на торсовых поверхностях с двумя направляющими параболами в паралллельных плоскостях. С большими математическими трудностями приходится сталкиваться, решая задачу о построении развертки торса на плоскость. И опять же все предлагаемые методики построения разверток иллюстрируются на цилиндрах, конусах и торсах-геликоидах.
Очень мало работ по определению компонентов напряженно-деформированного состояния тонких упругих торсовых оболочек, что сдерживает практическое применение их в строительстве и машиностроении.
Отсутствуют численные примеры расчетов тонких упругих торсовых оболочек по моментной теории. Безмоментная теория тонких торсовых оболочек насчитьюает 2-3 числовых примера расчета. Совершенно не изучен вопрос о возникновении внутренних усилий и моментов при конформных преобразованиях тонких торсовых конструкций с сохранением их прямолинейных образующих.
Актуальность решаемых в диссертационной работе проблем обусловлена необходимостью повышения эффективности применения ЭВМ при геометрическом моделировании и конструировании торсовых поверхностей, построении их разверток на плоскость, необходимостью обеспечения всеми исходными геометрическими параметрами задач расчета торсовых оболочек по безмоментной и моментной теориям, созданием системы расчетных уравнений для определения компонентов НДС и решением ряда прикладных задач.
Цель работы. Приняв за основу метод конструирования торсовых поверхностей по двум заданным направляющим кривым, расширить класс торсов, заданных параметрическими уравнениями своего ребра возврата, создать группу методов и методик, позволяющих решать большой класс задач, связанных с внутренней и внешней геометрией торсовых поверхностей, с изгибанием их на плоскость, построением складок, с определением НДС от действия внешней поверхностной распределенной нагрузки, от смещения опорных контуров, от конформных преобразований тонкостенных торсовых оболочек.
Цель работы состоит также в получении численных результатов решений ряда инженерно-прикладных задач по геометрии и определению НДС тонких упругих торсовых оболочек для создания базы данных, которые могут быть использованы для сравнения с аналогичными результатами, полученными исследователями торсовых оболочек, применяющими другие методы для достижения тех же результатов.
Научную новизну работы составляют:
-
Новая форма представления уравнения Гаусса в теории поверхностей, позволяющая дать ему геометрическую интерпретацию.
-
Получение формул, с помощью которых можно вычислить коэффициенты основных квадратичных форм поверхности, главные кривизны, углы между криволинейными координатами через кривиз-
- 7 -ну и кручение ребра возврата.
-
Метод построения разверток торсовых поверхностей на плоскость при помощи последовательного вычисления длин направляющих кривых, прямолинейных образующих и углов между ними.
-
Конструктивный способ построения складок, максимально аппроксимирующих исходную торсовую поверхность и построение их разверток на плоскость.
-
Уравнения равновесия и физические соотношения линейной теории тонких упругих оболочек в криволинейной неортогональной системе координат.
-
Формулы для вычисления внутренних усилий и моментов на косых сечениях в криволинейной неортогональной системе координат.
-
Формулы для определения внешней поверхностной распределенной нагрузки через параметрические уравнения ребра возврата срединной торсовой поверхности.
-
Система трех дифференциальных уравнений восьмого порядка в частных производных относительно трех перемещений срединной поверхности и ее вариант для торсовой поверхности в форме торса-геликоида.
-
Реализация аналитического и полуаналитического метода малого параметра, являющегося одним из ассимптотических методов решения краевых задач, применительно к определению напряженно-деформированного состояния тонких упругих оболочек в форме длинных эвольвентных геликоидов.
-
Методика определения внутренних усилий и моментов, возникающих при изометрическом изгибании тонких упругих винтов Архимеда с сохранением их прямолинейных образующих.
-
Формулы для определения тангенциальных внутренних усилий и перемещений для всего класса торсовых оболочек, заданных в криволинейной неортогональной системе координат и расчитываемых по безмоментной теории расчета тонких оболочек.
Практическая ценность диссертации состоит в разработке методов, методик, конструктивных алгоритмов и рекомендаций, расширяющих возможности освоения и привлечения в практику конструирования широкого круга линейчатых оболочек, спроектированных на основе торсовых невырожденных поверхностей. При этом предложены новые параметрические уравнения торсов, пост-
- 8 -роенных на двух плоских направляющих опорных кривых с визуализацией полученных геометрических моделей, продемонстрированы на конкретных примерах большие возможности торсовых оболочек в строительстве большепролетных сооружений, в применении их в инженерных коммуникациях. Практически все задачи, рассмотренные в диссертации, решаются двумя-тремя методами, что позволяет контролировать полученные результаты и быть уверенным в достоверности положений, выводов, рекомендаций, лежащих в основе данного исследования.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций. Геометрические исследования, выполненные в работе, основаны на использовании классических методов дифференциальной геометрии по преобразованию координат, квадратичных форм поверхности, по построению специальных координатных сетей на поверхности. Все результаты теоретических исследований подтверждены визуализацией полученных геометрических моделей средствами начертательной геометрии и инженерной графики.
Теоретической базой исследования НДС торсовых оболочек служила моментная линейная теория тонких упругих оболочек. Некоторые задачи, решаемые в диссертации, брались за прототип в работах других исследователей торсовых оболочек. Проведенные ими сравнения результатов показали хорошее совпадение. Методика определения НДС тонких упругих длинных торсов-геликоидов проверялась также на примере круглой кольцевой пластинки, которая является вырожденным торсом-геликоидом.
Математический аппарат, применяемый для решения конкретных задач: теоремы теории поверхностей для криволинейной неортогональной системы координат, численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений, метод малого параметра -один из асимптотических методов решения краевых задач, теория конформных преобразований - хорошо разработан и апробирован в трудах отечественных и зарубежных математиков.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались или опубликованы в материалах и тезисах докладов научно-технических конференций:
- XVI * XXXI научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава инженерного факультета Российского университета дружбы народов (1981-*-1995г.г.),
Уральская научно-техническая конференция "Геометрическое моделирование" (г.Пермь, 1988г.),
II конференция научно-учебного центра физико-химических методов исследования (г.Москва, УДН,1989г.),
III Всесоюзный совещание-семинар молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (г.Казань,1988г.),
III конференция научно-учебного центра "Применение физико-химических методов исследования в науке и технике" (г.Москва, УДН,1990г., секция Механики деформируемого твердого тела и технической кибернетики),
10-я Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь,1995г.),
-XXXI научная конференция профессорско-преподавательского состава факультета физико-математических и естественных наук РУДН (1995г.), а также на семинарах
кафедры сопротивления материалов и кафедры промышленных и гражданских сооружений РУДН(1995г.),
кафедры теоретической механики и сопротивления материалов Московского вечернего металлургического института (1995г.).
Публикации. По теме диссертации опубликована 31 работа, среди них 1 монография (в соавторстве с В.Г.Рекачом), 1 справочник, 1 авторское свидетельство на изобретение (в соавторстве), 1 методическое указание, 5 тезисов докладов научно-технических конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из вводной главы, пяти глав основного содержания, общего заключения, основных результатов и выводов, 115 наименований библиографии. Содержательная часть включает 248 страниц, 49 рисунков и 4 таблицы.
