Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краткий обзор развития стержневых конструкций куполов в форме выпуклых многогранников 7
1.1. Стальные купола , 7
1.2. Алюминиевые купола 19
1.3. Деревянные купола 23
1.4. Выводы по первой главе 25
Глава 2. Формообразование многогранных куполов 27
2.1. Построение пространственных конфигураций в форме выпуклых многогранников 27
2.2. Пространственные точечные решетки на основе октаэдра и икосаэдра 39
2.3. Описание приемов триангуляции поверхности сферы на основе геодезических линий 43
2.4. Алгоритм определения геометрических параметров пространственных точечных решеток 52
2.5. Выводы по второй главе 67
Глава 3. Влияние начальных несовершенств формы срединной поверхности на устойчивость сферических оболочек 68
3.1. Общие положения и основные расчетные гипотезы 68
3.2. Определение удлинений и внутренних усилий 70
3.3. Уравнения равновесия элемента деформированной оболочки, имеющей начальные неправильности формы срединной поверхности 74
3.4. Вывод основных дифференциальных уравнений 76
3.5. Потенциальная энергия оболочки 80
3.6. Устойчивость сферической оболочки при малых деформациях 83
3.7. Устойчивость сферической оболочки при больших деформациях 84
3.8. Определение параметра выпучивания с помощью дифференциальных уравнений 91
3.9. Определение параметра выпучивания на основе выражения для потенциала 99
ЗЛО. Выводы по третьей главе 100
Глава 4. Устойчивость стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников 101
4.1. Метод метаморфоз в задачах устойчивости стержневых многогранников 101
4.2. Прощелкивание стержневой конструкции многогранного купола 110
4.3. Выводы по четвертой главе 116
Глава 5. Экспериментальное исследование местной устойчивости пирамидальных элементов купола клеефанерной конструкции 117
5.1. Испытание каркаса пятиугольной пирамиды в качестве силовозбудителя ;.. 117
5.2. Испытание пирамидального элемента купола, подкрепленного обшивками из фанеры 123
5.3. Испытание каркаса конструкции пятиугольной пирамиды, подкрепленной обшивками из стеклопластика 128
5.4. Выводы по пятой главе 131
Заключение 132
Литература 134
Приложение ,...143
- Построение пространственных конфигураций в форме выпуклых многогранников
- Уравнения равновесия элемента деформированной оболочки, имеющей начальные неправильности формы срединной поверхности
- Определение параметра выпучивания на основе выражения для потенциала
- Испытание пирамидального элемента купола, подкрепленного обшивками из фанеры
Введение к работе
Актуальность работы. Постоянное расширение областей применения многогранных куполов определяет целесообразность проведения исследований, направленных на совершенствование конструктивных форм и методов расчета таких систем, а также на выявление перспектив их рационального использования в строительной отрасли.
На несущую способность оболочечных конструкций покрытий зданий и сооружений оказывают существенное влияние начальные неправильности формы их срединной поверхности. Для куполов, имеющих конфигурацию выпуклых многогранников, это обстоятельство приобретает первостепенное значение, поскольку сама сферическая оболочка заменяется в этом случае пространственной точечной решеткой с различной степенью размельчения конструктивной сети на сфере. Даже небольшие отклонения от проектных геометрических размеров отдельных панелей купола неизбежно должны приводить к заметным искажениям формы срединной поверхности описанной около многогранника сферической оболочки.
В связи с этим становится актуальным решение проблемы устойчивости сферических оболочек с учетом случайного характера образования и развития вмятин на ее поверхности.
Цель диссертационной работы - разработка методики расчета на устойчивость стержневых конструкций многогранных куполов и тонкостенных сферических оболочек, подверженных действию равномерного внешнего давления и имеющих начальные неправильности формы срединной поверхности.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
изучить процесс образования и развития одиночной вмятины в зоне расположения начальной погиби оболочки под действием равномерного радиального давления;
разработать методику расчета на устойчивость упругих систем в виде стержневых многогранников на основе метода метаморфоз;
произвести анализ местной устойчивости стержневых конструкции в форме выпуклых многогранников;
провести теоретические и. экспериментальные исследования деревянных конструкций пирамидальных элементов купола на прощелкивание при действии радиальных сил.
Научную новизну работы составляют:
-
Метод определения параметров выпучивания конструкции тонкостенной сферической оболочки в условиях упругой работы ее материала и новые данные о величине нижней критической нагрузки;
-
Методика расчета на местную устойчивость стержневых конструкций многогранных куполов с учетом упругой податливости контура пирамидальных элементов;
-
Развитие теории устойчивости пространственных стержневых конструкций в форме выпуклых многогранников на основе метода метаморфоз.
Автор защищает:
алгоритм определения геометрических параметров пространственных точечных решеток, соответствующих конструктивным сетям геодезических куполов;
расчетные зависимости для исследования устойчивости сферической оболочки, находящейся под равномерным внешним давлением с учетом влияния начальных несовершенств формы ее срединной поверхности;
рекомендации по расчету на устойчивость стержневых многогранников на основе метода метаморфоз;
результаты исследования местной устойчивости стержневых конструкций куполов в форме выпуклых многогранников;
методику и результаты экспериментального исследования местной устойчивости пирамидальных элементов купола клеефанерной конструкции.
Достоверность результатов исследований основывается на использовании современных математических моделей и методов, подтверждается теоретическими положениями, сформулированными на основе законов механики де-
формируемых тел, а также экспериментальными данными испытаний конструкции.
Практическое значение и внедрение результатов работы состоит в разработке методики исследования процесса образования и развития одиночной вмятины, являющейся следствием наличия на поверхности сферической оболочки соответствующей погиби. Разработаны практические рекомендации по определению геометрических параметров поверхности геодезических куполов, основанные исключительно на использовании определенных схем маркировки узлов их конструктивных сетей.
Результаты диссертационной работы опубликованы в монографии «Стержневые конструкции многогранных куполов» (авторы А.А. Журавлев, Лонг Кимсуор, Г.Э. Муро) и включены в программу специального курса для студентов строительных специальностей.
Апробация работы и публикации. Основные положения диссертации опубликованы в четырех научных статьях.
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях Ростовского государственного строительного университета «Строительство — 2002», «Строительство — 2003», «Строительство — 2005» и «Строительство — 2006».
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 135 наименований, в том числе 46 иностранных, и приложение (акт о внедрении).
Работа содержит 144 страниц машинописного текста, 12 таблиц и 101 рисунок.
Автор сердечно благодарит научного руководителя, заведующего кафедрой, профессора, доктора технических наук А.А. Журавлева.
Автор выражает также глубокую признательность сотрудникам кафедры металлических, деревянных и пластмассовых конструкций РГСУ за их всестороннюю помощь и поддержку, оказанные при выполнении работы над диссертацией.
Построение пространственных конфигураций в форме выпуклых многогранников
Системы из дискретных элементов на плоскости могут образовывать регулярные и нерегулярные плоские точечные решетки. С позиций определения кристаллографических классов точечные решетки в трехмерном пространстве приводятся к пяти правильным многогранникам, называемым Платоновыми телами, и к 13 полуправильным многогранникам, известным под названием тел Архимеда. Каждая из этих конфигураций может быть вписана в шар.
Следует отметить, что тела Платона встречаются в естественных ог-ранках некоторых кристаллов, форма которых не случайна, поскольку она зависит от порядка расположения атомов в кристаллической решетке. Порядок расположения атомов в кристалле является основной качественной характеристикой, определяющей его такие физические свойства как твердость, электро- и теплопроводность. В зависимости от условий образования кристалла, отдельные его грани иногда развиваются медленнее других, отчего форма, присущая данному кристаллу, может искажаться. В большинстве случаев, форма кристаллов бывает полу правильных очертаний, представляя призмы, параллелепипеды, ромбододекаэдры и другие пространственные конфигурации. Правильные геометрические формы кристаллов представляют несомненный интерес для практического их использования в технических приложениях и, в частности, в строительных конструкциях, требующих рациональной организации и членения сложных пространственных форм.
Гранями правильных тел трехмерного пространства являются правильные многоугольники. Поскольку в каждой вершине многогранника сходятся, по меньшей мере, три многоугольника, то углы его должны быть меньше, чем 2л/3. Следовательно, гранями правильных многогранников могут быть только равносторонние треугольники, четырехугольники и пятиугольники.
Правильные многогранники переходят друг в друга при полярном преобразовании относительно вписанного или описанного шара. При этом тетраэдр (7) занимает особое место, так как он двойственен самому себе, между тем как остальные четыре тела попарно двойственны друг другу: октаэдр (О) - гексаэдру (Г), а додекаэдр (Д) - икосаэдру (/). .
Можно также заметить, что не все из правильных многогранников, рассматриваемых как пространственные точечные решетки, удовлетворяют условию геометрической неизменяемости. В действительности только три из них, имеющие треугольную разрезку (тетраэдр, октаэдр и икосаэдр) и обо- . значенные соответственно буквами Т, О и I, геометрически неизменяемы и статически определимы. Рентгеноскопические исследования позволили установить, что расположение атомов в кристаллах сложных химических соединений может быть уподоблено плотным упаковкам шаров, имеющим правильные и полуправильные объемные формы. Количество объемных форм упаковок незначительно, и различные химические соединения могут иметь одинаковую огранку. Так, например, форму тетраэдра имеют окись лития в окиси родственных ему металлов; алмаз имеет огранку в форме октаэдра. Кристаллические решетки пирита и большинства металлов и их соединений - хлористый цинк, хлористый натрий, алюминий, медь и никель имеют очертание гексаэдра. Алунит, ярозит, карбид бора имеют огранки в форме икосаэдра и, наконец, пирит представляет додекаэдр [43].
При решении экстремальной задачи о наиболее плотной решетчатой упаковке шаров единичного радиуса доказывается [79], что такое расположение может быть достигнуто, когда центры шаров образуют кубооктаэдр так, что каждый шар касается 12 других, а именно: шести - экваториальных, трех - нижнего слоя и трех - верхнего (рис. 2.1,а).
Кубооктаэдр относится к семейству равноугольных полуправильных многогранников и полярным преобразованием относительно описанного шара переводится в двойственный ему равногранный многогранник - ромбододекаэдр.
Можно также получить другое компактное расположение шаров, если центральный переместить таким образом, чтобы остальные из 12 соприкасающихся с ним шаров с их центрами на вершинах кубооктаэдра сблизились между собой в образовавшемся пространстве. При такой упаковке кубооктаэдр преобразуется в икосаэдр (рис. 2.1,6), где каждый шар касается 11 других, равных ему шаров.
Таким образом, каждая система материальных шаров в пространстве разбивает его на выпуклые многогранники.
Различают 4 способа построения пространственных конфигураций, которые приводят к образованию семейств полуправильных многогранников, обеспечивающих различные приближения к вписанной сфере S [90].
Первый - заключается в проецировании на поверхность сферы S середин ребер многогранника из центра вписанной сферы. Такой прием построения конфигураций точек и плоскостей в пространстве носит название способа дублирования.
Если дублирование применяется к определенному типу правильных или полуправильных многогранников, то в результате получается ряд пространственных конфигураций, которые обозначаются символом исходного многогранника и снабжаются индексом 2", причем показатель степени п соответствует порядковому номеру операции. Так, например, после первой операции дублирования, примененной к правильным многогранникам, имеющим Е вершин, К ребер и F граней, получим полуправильные многогранники Ті , Ог и Іг (рис. 2.2,а,б,в), у которых число вершин, ребер и граней в свою очередь будет равно:
Рис. 2.2. Образование полуправильных многогранников в результате первой операции дублирования Ег=Е + К; К21=2К + гЕ; F2l=F + rE, где г = 3,4,5 в зависимости от того три, четыре или пять граней сходятся в вершине исходного многогранника.
Таким образом, выполнение первой операции дублирования приводит к образованию двух типов вершин, ребер и граней. В вершинах исходного многогранника сохраняется то же число ребер, а во вновь образованных вершинах сходятся по шесть ребер.
В общем случае, применение дублирования всегда связано с сохранением числа правильных многоугольников исходного многогранника, причем они являются либо прямым, либо обратным отображением граней первоначальной конфигурации.
Второй способ построения пространственных конфигураций, носящий название способа деления, состоит в делении дуг большого круга, соответствующих каждому из ребер исходного многогранника, на равные части, что эквивалентно выполнению первой операции дублирования. При этом в вершинах правильных многогранников число ребер и граней остается постоянным.- Последние представляют собой равнобедренные треугольники. Кроме того, появляется новый тип граней, каждая из которых имеет удвоенное число сторон, причем противоположные стороны параллельны, но не равны друг другу.
Уравнения равновесия элемента деформированной оболочки, имеющей начальные неправильности формы срединной поверхности
Все известные теоретические исследования, которые относятся к сферическим оболочкам идеальной формы срединной поверхности, не объясняют большого различия в нагрузках прощелкивания, получаемых теоретическим путем и при проведении экспериментов. Однако логика рассуждения и эксперименты убеждают в том, что близкий к действительности расчет, результаты которого лучше согласуются с опытными данными, возможен лишь тогда, когда при расчете учитывается влияние начальных несовершенств конструкции тонкостенной оболочки.
Поэтому в рассматриваемой ситуации использовалась нелинейная теория сферической оболочки, имеющей начальную погибь с очень малым центральным углом. Результатами возможных способов расчета (на основе дифференциальных уравнений и энергетического метода) оказались два нели нейных дифференциальных уравнения с дополнительным уравнением связи и выражение для потенциала оболочки. Оба метода неразрывно связаны друг с другом, и одни и те же результаты могут быть получены как с помощью одного, так и другого метода.
Большие затруднения обусловливаются зависимостью глубины вмятины оболочки от ее центрального угла. Оба этих параметра, как показано выше и как того следовало ожидать, не только не являются независимыми друг от друга, но и совершенно определенным образом связаны между собой геометрическими и физическими соотношениями.
Для численных расчетов очень сложно оказывается учесть большое число параметров, описывающих процесс развития вмятины в зоне начальной погиби при росте нагрузки. Возникающие затруднения могут быть преодолены путем трансформации координат, благодаря чему полученные два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка приводятся с помощью интегрирования к системе трех линейных уравнений. При этом отыскание интересующих нас величин оказывается возможным только с помощью метода последовательных приближений.
Оба связанных между собой нелинейных дифференциальных уравнения (3.48) и (3.57), уравнение связи (3.58), а также выражение для потенциала П (3.67) в силу большого числа параметров мало пригодны для реализации численных расчетов. Поэтому в соответствии с рис. 3.5 определяется следующее соотношение между центральными углами упругой вмятины и начальной погиби
Определение параметра выпучивания на основе выражения для потенциала
Повторение описанной процедуры расчета с учетом полученных значений компонент вектора у і дает возможность уточнить приведенную выше величину параметра выпучивания Х\ В частности, на основе полученных численных значений функции уі в узловых точках можно снова воспользоваться выражением (3.93) и определить ух. Вычисления дают ух = 2,337, и при этом параметр выпучивания оказывается равным Хг - 0,49.
На рис. 3.11 хорошо прослеживается зависимость параметра выпучивания от у при выбранной форме начальной погиби и фиксированных значения Я и в. Как видим, в рассмотренном случае XD =0,49 и, следовательно, нагрузка прощелкивания составляет pD « 0,5pz.
3.9. Определение параметра выпучивания на основе выражения для потенциала
Потенциал П согласно уравнению (3.107) в силу предполагаемых известными параметров Л и в зависит от //, если вводится одночленное выражение y(fJ,rj) по способу Ритца, условие равновесного состояния выпу чившейся оболочки с учетом обозначения =(...) на основании (3.107) запишется следующим образом
Если учесть структуру выражений (3.104)-(3.106), то оказывается, что последняя формула имеет очень большую схожесть со (3.116). Производные по ju целесообразно брать для функций А(ц),В(р)иС{ ) в отдельных точках. В связи с непростой формой уравнений (3.93) для y(ju) и (3.104)-(3.106) определение параметров выпучивания х{цЛ &) и XD( 0) В соответствии со схемой (рис. 3.9) по энергетическому методу осуществляется весьма просто. 3.10. Выводы по третьей главе
Наиболее предпочтительным для исследования устойчивости сферической оболочки, находящейся под равномерным внешним давлением, является метод, основанный на построении полного функционала энергии оболочки и отыскании его минимума.
Справедливость произведенных расчетов для оболочки, имеющей начальные несовершенства, подтверждается получением формулы R. Zo-elly для случая малых деформаций, когда оболочка характеризуется идеальной формой срединной поверхности.
Установлено, что решающее значение при анализе устойчивости тонкостенной конструкции сферической оболочке при больших деформациях имеет выбор функции выпучивания g(). В частности, показано, что для двух простых одночленного вида функций параметр прощел-кивания xD изменяется в пределах от 0,29 до 0,38.
Испытание пирамидального элемента купола, подкрепленного обшивками из фанеры
Первоначально испытаниям, как и в описанном выше случае, был подвергнут каркас пирамидального элемента 2, не подкрепленного обшивками. Исследование работы этого каркаса велось в условиях, аналогичных принятым при испытании элемента 1.
Величина кратковременной нагрузки для каркаса пирамидального элемента 2 составляла 9,15 кН. Диаграмма загрузки для каркаса элемента 2, показанная на рис. 5.7 жирными линиями, имеет примерно такой же вид, как и для элемента 1. Здесь также прослеживается довольно хорошо выраженная линейная зависимость между нагрузкой и прогибом.
Сопоставление работы пирамидальных элементов 1 и 2, показывает, что для вершины пирамиды процесс деформирования протекал совершенно идентично. Значения прогибов вершины пирамиды при уровне нагрузке Р = 9,15кН отличаются между собой всего лишь на 7%. Такой же характер имеют диаграммы для сечений I и II (приборы П-7 и П-8). Наибольшие расхождения обнаружились для сечения III (прибор П-6), где при указанной нагрузке разница в значениях прогибов составила около 35%. При уровне Р = 9,15 кН каркас элемента 2 выдерживался в течение одного часа, после чего была произведена его разгрузка. На рис. 5.7 тонкими линиями показаны диаграммы работы каркаса пирамидального элемента 2 в процессе разгрузки. Значения остаточных деформаций находятся в пределах 0,9-4,5 мм, что составляет 13-20% от полного прогиба.
Время выдержки элемента 2 в разгруженном состоянии равнялось четырем часам. После этого к элементам каркаса пирамиды на казеиновом клее приклеивались треугольные обшивки из фанеры марки ФСФ толщиной 10 мм.
В склеенном состоянии пирамидальный элемент 2 выдерживался при комнатной температуре в течение двух суток. При склеивании фанерных обшивок волокна наружных слоев (рубашек) располагались параллельно основанию пирамиды.
Наружная поверхность обшивок, примыкающих к одному из ребер пирамиды в тех сечениях, где размещались приборы, расчерчивалась сеткой линий, в узловых точках которой производились измерения прогибов с помощью четырех прогибомеров Аистова.
Элемент 2 испытывался при ступенчатом приложении нагрузки до разрушения. Графики зависимости Р = P(w) приведены на рис. 5.8.
Прогиб вершины пирамиды, подкрепленной обшивками из фанеры, при нагрузке Р = 5кН составил 7 мм, что по сравнению с прогибом элемента 1 на данной ступени нагружения оказывается на 40% меньше. При нагрузке Р = ЮкН это расхождение достигает уже 53%, а при нагрузке Р = 15кН прогиб элемента 2 увеличился до 17 мм, что по отношению к прогибу вершины элемента 1 меньше на 68%.
В табл. 5.3 приведены значения прогибов в различных сечениях радиальных ребер элемента 2 и дано их сопоставление с прогибами элемента 1 при одинаковых уровнях нагрузки.
Для элемента 2, подкрепленного обшивками из фанеры, опытная предельная нагрузка получилась равной 30 кН, что примерно в два раза превышает величину предельной нагрузки для элемента 1.
При достижении предельной нагрузки на пирамиду произошел отрыв треугольных обшивок от ребер каркаса в силу исчерпания несущей способности клеевого шва на скалывание. При этом в непосредственной близости у опорных сечений радиальных ребер обшивки заметно выпучились, а сами ребра получили сильное искривление в вертикальных плоскостях (рис. 5.9). Разрушение сопровождалось резким увеличением прогиба вершины, характерным треском отрывающихся обшивок и быстрым перемещением рычага до упора.
На графике (рис. 5.10) кривые 10, И, 12 и 13 показывают зависимость прогибов треугольной обшивки от нагрузки. Все кривые имеют достаточно плавный вид и при небольших нагрузках имеют место незначительные отклонения от линейной зависимости P = P(w). При приближении к предельной нагрузке во всех трех точках наблюдалось весьма резкое нарастание прогибов.
. Испытание каркаса конструкции пятиугольной пирамиды, подкрепленной обшивками из стеклопластика
Методика испытаний элемента 3, по существу, ничем не отличалась от принятой для элемента 2. Каркас пирамидального элемента 3 подвергался также действию сначала кратковременной нагрузки Р = 9,15 кН.
Диаграмма работы каркаса элемента 3 под нагрузкой показана на рис. 5.11 сплошными линиями. Пунктирные линии соответствует данным полученным при испытании каркаса пирамидального элемента 2. Как видно, по показаниям прибора П-7, диаграммы несколько различаются между собой по значениям прогибов в сечениях, расположенных вблизи от заделки (прибор П-7) радиального стержня пирамиды.
