Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современное состояние вопросов разработки и исследования деревянных пространственных конструкций в форме гиперболического параболоида 10
1.1. Краткий обзор работ по проектированию и возведению деревянных оболочек отрицательной гауссовой кривизны 10
1.2. Анализ современного состояния проблем теории гиперболических оболочек 16
І.З.Анализ экспериментальных исследований 19
Выводы по главе 1 25
ГЛАВА 2. Разработка основных положений теории гиперболических оболочек и методики их расчета 28
2.1. Геометрия поверхности гиперболического параболоида 28
2.2. Основные уравнения теории гиперболических оболочек 33
2.2Л . Дифференциальные уравнения равновесия оболочки в сферических координатах 33
2.2.2 Уравнения равновесия гиперболической оболочки в декартовых координатах 37
2.3 Применение численных методов для решения системы уравнений пологих гиперболических оболочек 49
2.4 Методика конечно-элементного расчета конструктивно ортотропной гиперболической оболочки 62
2.5. Теория деформационного расчета бортовых элементов гиперболической оболочки 68
Выводы по главе 2 80
ГЛАВА 3. Устойчивость квадратной в плане пологой оболочки в форме гиперболического параболоида 82
3.1. Устойчивость гиперболической оболочки как арки на упругом основании 82
3.2. Двухслойная деревянная конструкция гиперболической оболочки при чистом сдвиге 98
3.3. Устойчивость трехслойной конструкции седловидной оболочки 102
Выводы по главе 3 114
ГЛАВА 4. Экспериментальные исследования несущей способности и деформативности двухслойной деревянной конструкции гиперболической оболочки 115
4.1. Опыты по определению упругих постоянных двухслойной пластинки из перекрестного набора досок 115
4.2. Экспериментальное исследование двухслойной деревянной конструкции пологой оболочки в форме гиперболического параболоида 123
4.2.1. Цель и задачи экспериментального исследования 123
4.2.2. Конструктивное решение двухслойной гиперболической оболочки над квадратным планом 125
4.2.3. Методика и техника проведения статических испытаний крупномасштабной модели гиперболической оболочки 129
4.2.4. Порядок производства испытаний 134
4.2.5. Анализ несущей способности гиперболической оболочки, находящейся под действием локальной нагрузки 136
4.2.6. Обработка результатов испытаний и оценка состояния конструкции 141
Выводы по главе 4 147
ГЛАВА 5. Рекомендации по проектированию деревянных конструкций гиперболических оболочек 149
5.1. Формирование поверхности оболочки 149
5.1.1. Способы и средства соединения деревянных элементов оболочки 149
5.1.2. Компоновка многослойной деревянной конструкции оболочки 151
5.1.3. Конструирование рандбалок 154
5.1.4. Конструктивные решения опорных узлов 157
5.2. Оценка технико-экономической эффективности деревянных
конструкций гиперболических оболочек 159
Заключение 162
Литература 165
- Анализ современного состояния проблем теории гиперболических оболочек
- Дифференциальные уравнения равновесия оболочки в сферических координатах
- Двухслойная деревянная конструкция гиперболической оболочки при чистом сдвиге
- Конструктивное решение двухслойной гиперболической оболочки над квадратным планом
Анализ современного состояния проблем теории гиперболических оболочек
Развитие теории гиперболических оболочек условно можно разделить на три этапа. Первый этап, охватывающий период приблизительно до 1954 года, характеризуется развитием безмоментной теории гиперболических оболочек и связан с работами R. Rabich [101] и В. Флюгге [69]. Этот этап завершился разработкой безмоментной теории гипаров, получением основных расчетных зависимостей и первыми попытками качественной оценки несущей способности и деформативности оболочек отрицательной кривизны.
Серьезным вкладом в развитие теории гиперболических оболочек на втором этапе явились работы В.З. Власова [13], В.В. Новожилова [43], Н.В. Колкунова [31], С.А. Тимашева [62], Н. Dudeck [77], [79], A. Beles и М. Soare [73], P. Gould и S. Lee [84], [85], благодаря которым была создана моментная теория оболочек вращения и, в частности, оболочек в форме гиперболического параболоида.
Третий этап начинается примерно с 1965 года и для него характерным является появление работ, посвященных анализу существования безмомент-ного напряженного состояния оболочек, выявлению противоречивости безмоментной теории и ее разграничению по отношению к моментной теории.
Важнейшими результатами работ этого периода являются достижения в решении проблем безмоментной и моментной теории оболочек с привлечением для их расчета современных вычислительных средств и программных продуктов, позволяющих оценить особенности поведения гиперболических оболочек при краевых воздействиях в тангенциальном направлении. Из большого числа исследований, выполненных на последнем этапе, заслуживают внимания работы W. Kratzig [91], Н. Tottenham [109], К. Weigmann, К. HeydenF.Rothe[110].
Необходимо далее выделить ряд работ отечественных ученых, которые посвящены решению различных задач теории гиперболических оболочек. Сюда прежде всего относятся работы Н.П. Абовского и И.И. Самольянова [1], [53], [54], Рассказова А.О. [48], И.Е. Милейковского и А.К. Купар [40], Ю.В. Чиненкова [71], В.В. Стоянова, Ю.В. Купченко и Н.И. Узун [58], [60].
В настоящее время решение проблем теории сооружений, связанных с оболочечными конструкциями в виде гиперболических параболоидов, охватывает широкий круг исследователей, интересы которых к такого рода объектам включают вопросы геометрического моделирования и конструирования составных структур сводчатого и центрического очертаний. При этом усилия инженеров и архитекторов концентрируются на разработках основ формообразования, определяющих перспективные пути развития данного класса пространственных покрытий.
В работе [65] решение проблемы геометрического конструирования составных покрытий предлагается осуществлять на основе принципов одно-и двухстадийной компоновки. Однако предлагаемая в этой работе схема формообразования сооружения, как отмечается в [34], имеет тот недостаток, что при формировании жестких элементов пространственной конфигурации из набора гипаров не учитывается характер предварительной сетевой разбивки заданной поверхности, что значительно снижает комбинаторные возможности таких элементов.
Другой вариант формообразвания покрытий из гипаров, рассматриваемый в работе [66] и являющийся по существу развитием вышеизложенных компоновочных приемов, не может служить инструментом для создания принципиально новых структурных конструкций. Здесь также важно отметить, что в серии этих работ авторами совершенно не затрагиваются особенности конструирования составных структур из клееных деревянных гиперболических оболочек.
Вопросы геометрического формообразования при проектировании тонкостенных пространственных конструкций в виде гиперболических оболочек рассматриваются в работе [103]. Во многих случаях исследования гиперболических оболочек проводились при условии, что они перекрывают квадратный или прямоугольный контур сооружения. Однако, как было показано в разделе 1.1, значительно больший интерес с практической точки зрения представляет решение задач, относящихся к покрытиям в виде гиперболического параболоида над произвольным четырехугольным основанием. В такой постановке подобная задача для индивидуальных конструкций гипаров рассматривалась, например, S. Polonyi в работе [99], где используется прием трансформации координат с целью преобразования гиперболического параболоида, перекрывающего произвольный в плане четырехугольный контур, в оболочку с основанием в форме параллелограмма.
Приведенная в указанной работе методика расчета годится лишь для оболочек, материал которых является изотропным и основное напряженное состояние которых можно расценивать как безмоментное. Отсутствие же численных результатов расчета оболочек с использованием предлагаемого автором приема затрудняют оценку справедливости данной методики в целом.
Дифференциальные уравнения равновесия оболочки в сферических координатах
При расчете гиперболической оболочки ее гладкая поверхность заменяется некоторой многогранной поверхностью, представляющей совокупность конечного числа дискретных пластинчатых элементов, соединенных между собой в узловых точках.
На рис. 2.16 изображен плоский треугольный элемент pqr многогранной поверхности оболочки в форме гиперболического параболоида, отнесенный к локальной системе прямоугольных координат Oxyz, начало которой помещается в точке р.
Ортотропная пластинка толщиной t характеризуется тем, что модули упругости Ej и Е2 соответствуют направлениям координатных линий х и у, а модуль сдвига G12-G2. Через v2 обозначим коэффициент Пуассона и примем также, что п=Е]/Е2; m-G2/E2. . Элемент многогранной поверхности гиперболической оболочки Площадь треугольной пластинки выразим через координаты узловых точек где Хз2=хз-х2; Уз\=Уз-Уъ зі= з- ь уягугуг. Поле перемещений внутри контура пластинки определим в виде поли номов:
Что касается состояния изгиба, то построение матрицы жесткости косоугольной треугольной пластинки впервые было получено также в явном виде в работе [24] и потому здесь не приводится. Выразим линейные и угловые перемещения через перемещения узлов конечного элемента.
Отметим здесь, что при построении глобальной матрицы жесткости используется сокращенная форма матриц К , что исключает необходимость включения расширенных матриц, содержащих большое число нулевых элементов, и приводит к меньшей загрузке запоминающего устройства [5]. Решение системы линейных уравнений относительно узловых перемещений реализуется на ЭВМ и сводится к процедуре, которая хорошо иллюстрируется на следующем примере. Пусть на изображенную на рис. 2.17 гиперболическую оболочку действует сила Р, приложенная к узлу С. Предполагается, что в простейшем случае оболочка разбивается на восемь конечных элементов треугольной формы,
жесткость которых в направлении оси ь одинакова и равна С\\ = E2t /(1 - п у\). Вычислим вертикальное смещение узла С оболочки при помощи метода конечных элементов. В этом примере безразмерные параметры соответственно равны: и=1,2; w=0,06. Коэффициент Пуассона v3=0,26. Будем считать, что M=f72a=l/6. Вводя в узлах на диагонали CD закрепления, препятствующие их смещениям в направлении оси Я, и исключая возможность смещений узлов 2 и 8, а также узлов 1 и 7 в направлении оси ", придем к следующей системе уравнений матричного метода перемещений.
Используя значения U3J_2 и U3J, можно найти узловые перемещения в плоскости каждого из индивидуальных треугольных элементов оболочки и затем с помощью геометрических соотношений теории упругости уже не представляет труда найти все результатирующие напряжений. Однако в этом примере мы ограничиваемся лишь полученным приближенным выражением, описывающим зависимость между узловой нагрузкой Р и вертикальным перемещением узла С. В последующем найденная зависимость будет использована при определении величины пробной нагрузки на двухслойную конструкцию деревянной гиперболической оболочки, предназначенной для производства кратковременных испытаний статической нагрузкой. 2.5. Теория деформационного расчета бортовых элементов гиперболической оболочки
Срединная поверхность гипара представляет собой некоторый вырез из оболочки вращения в форме гиперболического параболоида. Смотря по тому, как осуществляется такого рода вырез, контурными элементами оболочки могут являться прямые, плоские параболы, гиперболы или пространственные кривые. Поскольку в последующем основное внимание при проведении экспериментально-теоретических исследований уделяется консольной конструкции гипара с опорами в двух нижних угловых точках и стабилизирующей опорой в одной из двух верхних угловых точек (рис.2.18), то возникает необходимость разработки теории деформационного расчета бортовых элементов в виде призматических балок скрученной конфигурации.
Основополагающий тип гипара с прямолинейными краями, двумя контрфорсами и стабилизирующей опорой.
Представленный на рис. 2.18 тип гипара может встречаться не только в качестве индивидуальной оболочки, но и в форме различных комбинаций таких индивидуальных оболочек (рис.2.19).
Для индивидуальной оболочки в нормальном положении устройство стабилизирующей опоры чаще всего имеет смысл при действии на оболочеч-ную конструкцию несимметричных нагрузок. Необходимость в такой опоре может отпасть в случае комбинаций двух или более индивидуальных оболочек, поскольку они опираются друг на друга по линиям сопряжений. Рис. 2.19 Возможные комбинации оболочечных конструкций: а -из двух; Ъ - трех; с — четырех гипаров. Как видим, в рассматриваемых пространственных деревянных конструкциях гиперболических оболочек бортовые элементы имеют крыловатую форму в связи с их укладкой по двум противоположным направляющим [56].
В более общем случае подобного рода крыловатость можно интерпретировать как некоторую начальную неправильность в форме призматической балки. Здесь уместно сказать о том, что в 1946 году А.Р. Ржаницыным была предложена методика учета начальных неправильностей при расчете металлических балок, имеющих начальную погибь в горизонтальной плоскости [49].
При разработке деформационной теории расчета рандбалок, подкрепляющих оболочечную конструкцию и испытывающих одновременное действие осевых сил с изгибом, принимается, что их поперечные сечения являются афинными и оси таких скрученных элементов прямолинейны. Считаются также постоянными угол поворота d(p/dx центральных осей и соответствующие им моменты инерции.
Двухслойная деревянная конструкция гиперболической оболочки при чистом сдвиге
При составлении второго уравнения повторяется описанная выше процедура теперь уже для центрального узла 2, но здесь учитывается жесткое соединение концов стержневых элементов параболы отрицательной кривизны на диагонали CD. Реакция упругой опоры R2 = #2Д2 причем коэффициент упругости яг определяется следующим выражением:
В каждом из двух полученных выше уравнений имеются три неизвестных: один угол поворота узла i9, и два смещения узлов А1 и Д2. Согласно принципу возможных перемещений, можно составить уравнение кинематической цепи, принимая в качестве состояния виртуального перемещения единичное угловое перемещение S{ = 1. Углы поворота остальных стержней системы зависят от поворота основного стержня 5\, причем так, что 82 =-3 ; 6г - Ъ5Х; S4 = дх.
При составлении уравнения шарнирной цепи принимаются во внимание те из моментов, которые образуются вследствие того, что стержень испытывает поворот 5V. В качестве внешних сил в концевых сечениях стержней прикладываются осевые силы Р, имеющие по отношению к первоначальному направлению плечо SJV. В общем виде уравнение шарнирной цепи записывается следующим образом:
Последнее слагаемое в этом уравнении представляет собой работу реакций пружин Rv на возможных перемещениях rfv.
Приравнивая нулю определитель этой системы и подставляя взамен К его числовое значение, приходим к характеристическому полиному третьего порядка относительно параметра X
Как видим, численное значение множителя в выражении для критической силы Р оказалось на 20% выше того значения, которое соответствует работе арки полигонального очертания как плоскостной конструкции без учета влияния элементов стержневого набора встречного направления.
Метод, разработанный здесь для случая стержневой модели двухслойной конструкции пологой оболочки в форме гиперболического параболоида над квадратным планом и основанный на ее представлении в виде арки полигонального очертания на упругих опорах, может быть распространен на случаи пространственных решетчатых конфигураций значительно большей плотности укладки стержней в двух ортогональных направлениях. При наличии большего числа промежуточных упругих опор одинаковой жесткости их действие на рассматриваемую конструкцию может быть заменено действием сплошной упругой среды, а саму конструкцию по ее очертанию представить в виде параболы положительной кривизны.
Двухслойная деревянная конструкция гиперболической оболочки при чистом сдвиге уже упоминалось о том, что деревянная конструкция двухслойной оболочки формируется из двух слоев досок, ориентированных в направ лениях выпуклых и вогнутых парабол. Жесткости на растяжение (сжатие) и изгиб в этих главных направлениях имеют такую же величину, как и одного слоя досок вдоль волокон, так как второй слой досок, укладываемых под углом 90 по отношению к направлению первого слоя, не может передавать поперек швов никаких усилий.
В случае, когда двухслойная конструкция пологой гиперболической оболочки над квадратным планом подвергается действию вертикальной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью р, основное напряженное состояное до наступления момента выпучивания характеризуется тем,
Если представить усилия, а равно и их проекции на плоскость Оху, через производные второго порядка от функции напряжений F, то дифференциальное уравнение (2.63) примет вид [15]
Дифференциальное уравнение в форме (3.73) является одним из основных уравнений теории пологих оболочек. По аналогии с выбором проекций усилий и моментов, которые использовались при составлении этого уравнения, предположим существование непрерывных функций перемещений U, V, w, определяющих деформации относительного удлинения в направлениях координатных осей Ох, Оу и относительного сдвига в плоскости Оху. При этом следуя работе [63] и подчиняя компоненты деформации условию совместности, получаем:
В случае образования поверхности седловидной оболочки из трех слоев досок оба наружных слоя составляют прямые углы со средним, в результате чего продольная жесткость в направлении укладки обоих внешних слоев в два раза превышает жесткость среднего слоя при условии одинаковой толщины досок во всех трех слоях клееной деревянной конструкции. При этом момент инерции сечения оболочки в направлении укладки внешних слоев досок оказывается в 27 раз выше, чем в направлении среднего слоя и, следовательно, жесткость при изгибе оказывается значительно большей в направлении выпуклых парабол, нежели работающих на растяжение вогнутых элементов диагонального направления [28].
В процессе склеивания отдельных слоев досок между собой применение прессового оборудования оказывается возможным в очень редких случаях и становится реальным лишь при промышленном изготовлении оболочек небольших размеров, когда при их производстве большими партиями могут оправдываться расходы на создание технологического оборудования для прессования. Во всех остальных случаях требуемое при склеивании давление запрессовки достигается с помощью гвоздевых или винтовых соединений. При этом для повышения сопротивления выдергиванию могут применяться гвозди с круговой или спиральной нарезкой на стержне. Что касается бортовых элементов контура оболочки, то они изготавливаются также из досок, каждую из которых подвергают в отдельности сначала скручиванию по маячной рейке, а затем склеивают друг с другом. Соединение изготовленных таким образом верхней и нижней частей рандбалок с оболочкой осуществляется на клею с применением дюбелей и стяжных болтов. После отверждения клея соединения на цилиндрических нагелях уже не выполняют функции рабочих механических связей и поэтому вопрос об учете их податливости в последующем не затрагивается.
В трехслойном исполнении седловидные оболочки могут применяться в качестве несущих конструкций большепролетных покрытий зданий и сооружений именно благодаря их значительной жесткости по сравнению с вариантом конструктивного решения двухслойной оболочки.
В случае, когда оба внешних слоя располагаются не параллельно, а под углом друг к другу, дощатые элементы каждого из трех слоев образуют между собой треугольники, что обусловливает наибольшую жесткость оболочки при действии продольных сил в промежуточных направлениях.
Конструктивное решение двухслойной гиперболической оболочки над квадратным планом
Если допустить, что двух- и трехслойная конструкции пологой седловидной оболочки над квадратным планом имеют одинаковую толщину слоев досок, то критическое значение сдвигающих усилий будет таким же, что и для некоторой изотропной оболочки равного подъема со сторонами
Разработанный прием расчета на устойчивость деревянной двухслойной конструкции оболочки в форме гиперболического параболоида как арки на упругом основании представляет собой дальнейшее развитие идеи проф. И.Я. Штаермана, реализованной впервые на примере гипара в нормальном положении.
Установлено, что в случае представления двухслойной конструкции оболочки в виде арки полигонального очертания на упругих опорах критическое значение осевых сил сжатия оказывается на 20 % выше по сравнению с тем, что имеет место для плоскостной конструкции арки без учета влияния элементов стержневого набора встречного направления.
Выявлено, что критическое значение сдвигающих усилий для двухслойной оболочки при чистом сдвиге не отличается от соответствующего значения для изотропной оболочки одинаковой толщины.
Для исследования устойчивости при сдвиге трехслойной конструкции седловидной оболочки получено дифференциальное уравнение восьмого порядка относительно функции прогиба, учитывающее особенности конструктивного решения оболочечного покрытия.
Установлено, что критическое значение сдвигающих усилий для трехслойной деревянной конструкции является в 2,8 раза меньшим по сравнению с равной по толщине двухслойной конструкцией оболочки в форме гиперболического параболоида.
В предыдущих двух главах получены расчетные зависимости для оценки несущей способности и деформативности деревянной конструкции пологой оболочки над квадратным планом в форме гиперболического параболоида. При проведении экспериментальных исследований на крупномасштабной модели двухслойной конструкции гиперболической оболочки для нее в первую очередь потребуется определить величину испытательной нагрузки. При этом понадобятся численные значения жесткостей при изгибе и кручении оболочечной конструкции. Чтобы определить эти значения, пластинка, изготовленная по такому же принципу, как и двухслойная седловидная оболочка, подвергалась изгибу и скручиванию. Наиболее удобным оказалось расположить пластинку на испытательном стенде, оперев ее по двум противоположным краям, и изгибать посередине линейными равномерно распределенными нагрузками различной интенсивности, сначала вдоль оси у, а затем вдоль х (рис. 4.1). Нагрузка равномерно распределялась по прямолинейным отрезкам длиной Ъ и соответственно а. При этом всякий раз направление оси у выбиралось согласно ориентации волокон верхнего слоя досок.
Чтобы проиллюстрировать процедуру определения прогибов, исследуем изгиб ортотропной пластинки, опертой по краям х = ±а / 2. Разбивая пластинку на 16 конечных элементов в виде небольших прямоугольников и используя матрицу жесткости конечного элемента, построение которой в явном виде выполнено в работе [89], получим следующие четыре уравнения для отыскания прогибов в точках 0,1 и углов поворота в точках 1, 2:
Жесткости при изгибе могут быть вычислены на основании измерения прогибов в трех точках на оси х. Способ приложения нагрузки и устройство опор при проведении эксперимента видны на прилагаемой фотографии (рис. 4.2). Делая отсчеты по шкале индикаторов, можно определить стрелку про 117 гиба и величину осадки опор с точностью 0,01 мм. Пролет свободно опертой прямоугольной пластинки, равномерно загруженной на оси симметрии у, составил а = 412 мм. При этом Ъ — 11Ъ мм и h = 13,7 мм.
Для определения жесткости пластинки D22 последняя была повернута таким образом, что доски ее верхнего слоя оказались ориентированными в направлении пролета Ь = а . При этом равномерно распределенная нагрузка интенсивностью/? прикладывалась теперь по оси симметрии х.
Вычисленная по среднему значению стрелки прогиба величина жест кости в данном случае получена равной D = ЬрЪ Ч 48А = 47, бкНсм.
Очевидно, что для двухслойной пластинки, испытывающей действие нагрузок одинаковой интенсивности р по осям симметрии х и у, параметр п определяется как отношение двух найденных опытным путем значений жестко стей. При этом имеем n=Du /D22=l,2, что свидетельствует о слабо выраженной анизотропии материала двухслойной пластинки [6].
Располагая численными значениями жесткостей Dx, и D22, не трудно
определить теперь коэффициент Пуассона v2, для чего нужно подвергнуть квадратную пластинку чистому изгибу крутящими моментами, равномерно распределенными по краям. Для этого нами выбиралась квадратная двух 119
слойная пластинка с размером сторон а=490мм, у которой доски в перекрестных слоях располагались вдоль диагоналей квадрата. Изгиб такой пластинки в антиклассическую поверхность может быть произведен силами, сосредоточенными в вершинах углов квадратной пластинки.
С целью определения численного значения параметра т= G21Е2 квадратная пластинка была подвергнута теперь чистому сдвигу. Для наблюдения над явлением сдвига выбран был случай пластинки, закрепленной по своим краям между элементами уголкового профиля, входящими в состав четырехзвенье-вой системы, с помощью которой в противолежащих угловых точках пластинки создавались одинаковые по величине растягивающие и сжимающие усилия. Наиболее просто оказалось осуществить испытание пластинки на сдвиг, располагая ее в вертикальной плоскости и закрепляя четырехзвенье-вую систему в одной из угловых точек на конструкции испытательного стенда.
На рис. 4.5 из прилагаемой фотографии отчетливо видны, как способ приложения нагрузки в нижней угловой точке разработанного устройства, так и расположение приборов, с помощью которых определялись взаимные смещения угловых точек вдоль диагоналей пластинки. Раньше, нежели приступить к измерениям, в нижней угловой точке четырехзвеньевой системы была приложена предварительная нагрузка, которая вместе с весом подвески составила 35QH. После этого начиналось непосредственное испытание пластинки. Приложение нагрузки создавалось семью этапами путем укладки на подвеску тарированных грузов по 1007/на каждой ступени нагружения.
