Динамика коротких волновых пакетов и солитонов огибающей в нелинейных диспергирующих средах Воронцов Денис Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

1. Взаимодействие коротких солитонов огибающей с солитонами и квазимонохроматическими полями 21

1.1.взаимодействие солитонов огибающей с внешними волновы ми полями в рамках НУШ-3 22

1.1.1. Рассеяние протяженного волнового пакета на заданном коротком солитоне 23

1.1.2. Изменение энергии солитона при взаимодействии с внешним волновым полем 27

1.1.3. Оценки степени усиления коротких оптических солитонов внешним оптическим излучением 30

1.2. Адиабатическое взаимодействие двух коротких солитонов огибающей 31

2. Динамика коротких волновых пакетов в плавно неоднород ных средах 38

2.1.Динамика волновых пакетов в рамках НУШ-3 с произвольным профилем неоднородного потенциала 39

2.2. Параболический профиль неоднородности 42

2.3.Периодический профиль неоднородности 47

3. Короткие векторные солитоны в анизотропных нелинейных диспергирующих средах 54

3.1.Закон сохранения энергии коротких векторных волновых па кетов 55

3.2.Короткие векторные солитоны в рамках СНУШ-3 56

3.3. Короткие векторные солитоны с различными амплитудами компонент 58

3.4.Устойчивость коротких векторных солитонов в адиабатическом приближении в рамках СНУШ-3 59

З.б.Численное моделирование устойчивости векторного солитон- ного решения 61

3.6.Динамика векторных волновых пакетов в рамках СНУШ-3 67

Заключение 73

Литература

• Изменение энергии солитона при взаимодействии с внешним волновым полем
• Адиабатическое взаимодействие двух коротких солитонов огибающей
• Параболический профиль неоднородности
• Короткие векторные солитоны с различными амплитудами компонент

Введение к работе

Данная работа посвящена исследованию динамики волновых пакетов и солитонов огибающей высокочастотного поля как в изотропных, так и в анизотропных нелинейных диспергирующих средах.

Исследование распространения высокочастотных волновых пакетов в нелинейных диспергирующих средах является одной из фундаментальных проблем современной теории нелинейных волн, активно разрабатываемой в течение последних десятилетий. До недавнего времени теоретические исследования данной проблемы проводились в рамках второго (параболического) приближения теории дисперсии нелинейных волн. В этом приближении огибающая y/(x,t) волнового пакета

Ф = ^(х,*)ехр(('су-(Л₀л:), распространяющегося в изотропной среде, описывается хорошо известным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ)

Частота со и волновое число к удовлетворяют нелинейному дисперсионному соотношению ф = а>{к,\у/\ I, V^ = (дф/8к)\ _ * - линейная групповая скорость, q = ~{д²о}/дк²)\ , - параметр линейной дисперсии ^v '1*=*„,|И -0 д-.. . ... , , , \ ^L второго порядка, а = \дс> д\у/?\ - параметр кубичной нелинейно- сти. Все параметры уравнения (1) могут быть найдены из разложения нелинейного дисперсионного соотношения

И (2) т~ш_й = (b~K) + -Z ТГг (^к~^ко) + в окрестности центральной частоты со₀ и центрального волнового числа к₀ до членов второго порядка малости по параметру у: (Аг» У Ak , , V _uo-idjdt_t к-к₉<^>ід/дх. Возможность такой реконструкции НУШ делает второе приближение довольно привлекательным для решения различных задач и к настоящему времени это приближение изучено достаточно подробно [1-4]. В частности, а рамках НУШ существует хорошо известное солитонное решение [4]:

Интерес к данному решению обусловлен возможностью использовать оптические солитоны огибающей в качестве базовых импульсов для передачи информации в волоконно-оптических линиях связи. Первые экспериментальные наблюдения солитонов в оптических линиях связи были опубликованы в работе [40]. Обратим внимание, что солитонное решение (4) существует при одинаковых знаках коэффициентов кубичной нелинейности и линейной дисперсии второго порядка aq>0. Особая привлекательность данного решения заключается в том, что любое начальное возмущение в рамках НУШ эволюционирует с течением времени при ?-»оо к системе подобных солитонов [2], откуда следует, что солитонное решение (4) является единственно устойчивым локализованным решением. Взаимодействие двух солитонов (4) различной амплитуды является упругим и изучено к настоящему времени довольно подробно как точными аналитическими [2], так и приближенными методами [5].

Распространение волновых пакетов в неоднородных нелинейных диспергирующих средах в рамках НУШ с неоднородным аддитивным потенциалом и[х): ^{Кї**гкнггг}₊^мх)г-. анализировалось в работах [6, 59]. В случае линейного профиля неоднородного потенциала U-px было найдено сопитонное решение [59]. Для произвольного профиля неоднородного потенциала было получено уравнение движения центра «масс» волнового пакета: " 4» Я/Т ___ 1 +⁰ +⁰⁰ *о!' ' & ^w л^ где две точки обозначают вторую производную по времени. Полученное уравнение движения центра «масс» волнового пакета напоминает уравнение движения материальной точки в потенциальном поле. При достаточно плавном изменении потенциала на масштабе волнового пакета функцию производной потенциала в (6) можно вынести из-под знака интеграла со значением в точке центра «масс». В этом случае приходим к одному из замечательных результатов второго (квазиоптического) приближения теории дисперсии нелинейных волн для неоднородных сред: уравнение движения нелинейного пакета волн в плавнонеоднородной среде аналогично уравнению движения материальной частицы в потенциальном поле:

Если принять, что величина U играет роль потенциала силы F = -(dU/dx)^_y действующей на некоторую эффективную частицу, то «массой» этой частицы будет величина m = \jq.Подобная аналогия позволила перенести хорошо известные результаты механики на движение протяженных волновых пакетов: ускорение таких пакетов не зависит от их протяженности, интенсивности и фазовой модуляции, а определяется лишь неоднородностью среды. Отсюда, в частности, следует, что в однородной среде протяженные волновые импульсы движутся без ускорения. Второе приближение теории дисперсии нелинейных волн корректно описывает эволюцию волновых пакетов при их достаточно узком времен- ном Ли) и пространственном спектрах Ак, а также при достаточно слабой нелинейности |(/|: v«l. Однако в настоящее время в ряде прикладных задач возникает интерес к исследованию распространения коротких, порядка нескольких длин волн, волновых пакетов в нелинейных диспергирующих средах [7-11,43-46]. В оптике это обусловлено нахождением и исследованием нового класса коротких оптических солитонов, являющихся базовыми импульсами для передачи информации в нелинейных волоконно-оптических линиях связи [7,8,43,44]. Это позволит напрямую решить проблему увеличения информативной емкости волоконно-оптических линий связи: чем короче базовый импульс, тем большее число этих импульсов может быть передано через линию в единицу времени без их перекрытия, то есть без потери и искажения информации. В физике плазмы подобный интерес обусловлен задачей нагрева мишени мощными короткими электромагнитными импульсами [9]. В гидродинамике -задачей распространения коротких интенсивных цугов поверхностных волн на глубокой воде [10,11].

В качестве еще одного направления исследования возможностей сокращения временных масштабов базового импульса, помимо формирования коротких солитонов огибающей, необходимо отметить изучение нелинейной динамики импульсов, состоящих всего из нескольких колебаний волнового поля [см. например 53-56]. Прогресс в современной лазерной физике сделал возможным создание импульсов протяженностью до 2-х колебаний светового поля [51]. Подобные импульсы в литературе принято называть предельно короткими, подразумевая под этим число осцилляции поля, а не протяженность самого импульса. При этом привычное понятие огибающей импульса теряет смысл, равно как и метод медленно меняющейся огибающей светового импульса.

Для волновых пакетов протяженностью в несколько длин волн ширина временного и пространственного спектров не мала и второе приближение теории дисперсии уже не справедливо. В этом случае, необходимо учитывать члены более высокого порядка малости. В связи с этим в последнее время активно разрабатываются высшие приближения теории дисперсии [12, 29, 45-47]. Наибольшее распространение получило следующее за параболическим третье приближение теории дисперсии нелинейных волн в изотропных кубично нелинейных средах. Однако уже в третьем приближении полная реконструкция уравнения для огибающей волнового пакета из разложения нелинейного дисперсионного соотношения невозможна. Это связано с тем, что в разложении возникают члены, связанные с нелокальностью и нестационарностью нелинейности. В то же время, ограничиваясь дифференциальной формой эволюционного уравнения и удерживая члены до третьего порядка малости по параметру у, можно представить его в общем виде [7,8]: {dt ^g дх J ^ч дх² ' ' ( . *\ *\ * W аду дУ[ . ау йс дх

Уравнение (8) содержит в левой части члены второго порядка, а в правой - третьего порядка малости по параметру v. Слагаемые в круглых скобках в правой части (с параметрами /7 и /і) отвечают, в частности, зависимости групповой скорости волн от их интенсивности |f/| (параметры нелинейной дисперсии) и впервые были учтены в [13]. Анализ этих слагаемых был впервые проведен в работе [14]. Действительно, положив в (8) q = a = y = 0, уравнение (8) сводится к следующему выражению: ^ ₊ 8И²^ = 0. (9) tit ' ах где = /? + 2/л Отсюда следует, что участки волнового импульса различной интенсивности движутся с различными групповыми скоростями: dxjdt = &[V*^L} = \yf. Данный эффект получил в дальнейшем название «self-steeping». Слагаемое с третьей пространственной производной называют линейной дисперсией третьего порядка. Оно отвечает отклоне- нию дисперсионного соотношения ґу = ft>j fcJi//] ) в окрестности центральной частоты й)₀ и центрального волнового числа ₀ от квадратичной параболы (линейная аберрация или линейная дисперсия третьего порядка). Уравнение (8) также было получено для волновых пакетов в нелинейных волоконно-оптических линиях связи из уравнений Максвелла в работе [15]. При этом выводе в уравнении были отброшены все члены более высокого порядка малости относительно параметра v³. При //*0 уравнение (8) описывает негамильтонову подсистему исходной гамильтоновой системы, описываемой уравнениями Максвелла. Одним из следствий этого является то, что хотя для волнового пакета в рамках (8) сохраняется его энергия djdt fj^|²t& = 0, но при ]иФ0 изменяется его импульс [16]: дц/ * ду/ и т —

2 іл дх дх -СО > dx, (10) где у/ - поле, комплексно-сопряженное полю у/. Изменение импульса поля из (8) определяется уравнением dt *dx^l где

Уравнение (8) является базовым уравнением третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородной изотропной среде, описывающим динамику огибающей y/(x_ft) одномерного волнового пакета. Это уравнение иногда называют нелинейным уравнением Шредингера третьего порядка (НУШ-3) и оно широко используется при анализе рао пространения коротких волновых импульсов в нелинейных диспергирующих средах, в частности, в нелинейных волоконно-оптических линиях связи [51]. Нелинейное уравнение Шредингера инвариантно к замене переменных t

К настоящему времени стационарные нелинейные волны исследовались в некоторых частных случаях НУШ-3 как численно, так и аналитически. В работах [17,18] найдены солитонные решения с модулированным волновым числом при распространении в точке нулевой линейной дисперсии второго порядка (ZDP) и без учета членов нелинейной дисперсии (/? = // = 0). Точный анализ НУШ-3 методом обратной задачи рассеяния [2], позволяющий находить N-солитонные решения, проводился в работах [19-22] в следующих случаях: при a = q = Q и действительной функции у/, когда НУШ-3 сводится к модифицированному уравнению

Кортевега-де Вриза (МКдВ) - решения в этом случае получены в [19]; при /и = 0 и qfi = Ъуа {условия Хироты), когда (8) сводится к уравнению Хиро- ты, проанализировано в [20]; при ^ = 1, а = \, Р~Ьу, № = 3/ (8) сводится к уравнению Сасы-Сатсумы (SSE), проанализированному в [21]. В случав так называемого дифференцированного НУШ (derivative NSE) первого типа, отвечающего условиям а = у = 0 и 0 = м> найдено солитонное решение в [22], N-солитонные решения исследовались в работах [57, 58]. Нелокализованные стационарные волны - солитоны на подложке, были описаны в рамках НУШ-3 в работах [23, 24].

Другой аналитический метод, применяемый к анализу нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка в случаях, когда метод обратной задачи рассеяния не проходит, основан на сведении исходного уравнения к системе обыкновенных однотипных дифференциальных уравнений. Так, в [6] найдено солитонное решение в случае дифференцированного НУШ (derivative NSE) второго типа, отвечающего условиям // = ^ = 0.

Солитонные решения с модулированным волновым числом найдены в

НУШ-3 в пренебрежении линейной дисперсией третьего порядка (^ = 0) в работах [15,25,41,42], а также методом возмущений при условии малости параметра линейной дисперсии третьего порядка в [23,26]. Солитонные решения с немодулированным волновым числом найдены в НУШ-3 в следующих трех случаях: в точке перегиба линейной дисперсионной характеристики (q = 0) в работах [27,28]; при наличии неоднородного потенциала в виде линейного профиля и при выполнении условий Хироты [33] (обобщение хорошо известного солитона Чена); при произвольных коэффициентах уравнения [25,15]. В последнем случае солитонное решение имеет вид: ^^^^Фнт)^{ехр{іПт+ІК?) (12)} где 0 = j3 + 2ju - результирующий параметр нелинейной дисперсии. Решение (12) существует в средах с одинаковыми знаками параметров @ и у: у&>0, когда эффект самоукручения, вызванный нелинейной дисперсией, компенсируется эффектом линейной аберрации, вызванной линейной дисперсией третьего порядка. В работе [30] было показано, что солитонное решение (12) является единственным устойчивым локализованным решением НУШ-3: при выполнении условия существования соли-тонного решения любой локализованный импульс эволюционирует со временем к системе подобных солитонов плюс линейной квазипериодической волне.

К настоящему времени взаимодействие солитонов (12) в рамках НУШ-3 исследовано, в основном, численными методами [31, 50]. В работе [31] было показано принципиальное отличие этого взаимодействия от взаимодействия солитонов в рамках классического НУШ, а именно нарушение упругого характера взаимодействия, выражающегося в несовпадении параметров солитонов до и после взаимодействия и в наличии излучения части волнового поля из области взаимодействия. Численно бы- ла также показана возможность существования связанных солитонных решений (бризеров) [161. В материалах первой главы данной диссертации аналитически описан эффект образования связанных состояний при взаимодействии двух солитонов в рамках НУШ-3, показана зависимость характера взаимодействия от знаков параметров нелинейной дисперсии. Также показана возможность усиления солитона (12) внешним волновым полем той же природы - эффект, отсутствующий в классическом параболическом приближении. Результаты этих исследований опубликованы в [32].

Большой интерес вызывает также исследование динамики нестационарных волновых пакетов в рамках нелинейного уравнения Шредин-гера третьего порядка как в однородных, так и в средах с различными профилями неоднородного потенциала. В работе [11] экспериментально исследовалось поведение коротких интенсивных волновых пакетов на поверхности глубокой воды, при этом была показана неадекватность описания такой динамики в рамках классического НУШ. В [12] так же рассматривалось поведение коротких интенсивных волновых пакетов на глубокой воде. Было показано соответствие реального поведения пакетов и аналитического описания этого поведения в рамках третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн, приводящего к уравнению Диета [Щ. Аналитические исследования динамики нестационарных волновых пакетов были проведены в работах [15,25] с использованием метода моментов. Были получены соотношения для скорости и ускорения центра «масс» волнового пакета. В частности, ускорение для волнового пакета в однородной среде описывается следующим выражением: -гт^ Ъау-qB "rdVi i⁴_Je *^w- мі Je?M *' ⁽¹³⁾ где = //(// и <р - фаза огибающей пакета у = |у|ехр(ф), N₀= Г~|у| d4 - энергия волнового пакета. Ускорение центра «масс» волнового пакета в рамках НУШ-3 принципиально отличается от ускорения в рамках класси- ческого параболического приближения - оно не равно нулю в однородной среде. Этот эффект обусловлен вынужденным рассеянием Мандельштама - Бриллюэна. Исследование эволюции огибающей нестационарного волнового пакета в однородной среде было проведено с использованием численных методов в [30]. Было показано, что произвольное начальное возмущение в рамках НУШ-3 эволюционирует в зависимости от его начальных параметров к одному или нескольким солитонам и линейной квазипериодической волне. Также было показано, что ускорение произвольного волнового пакета со временем стремиться к нулю. Последнее обстоятельство связано с тем, что короткие солитоны огибающей, на которые распадается произвольной начальное возмущение, обладают линейной фазовой модуляцией d²2 =0.

Распространение нелинейных волновых пакетов в неоднородных средах было проанализировано в рамках НУШ-3 в [33] методом моментов лишь для случая линейного профиля неоднородного потенциала: _- ⁹_{V *t}⁺_-l и при выполнении условий Хироты fi-0 и qf3 = 3ya. Было получено уравнение для центра масс пакета х = —ур^г = const, 4 начальные условия которого следующие: '^дФъ.лА ^., Р ^{К }} * N₀ il дх W )_{(= 2N0 і V^і U 2N0 і}

2 2N₀ i\ dx Отсюда следует, что траектории движения коротких волновых пакетов зависят как от фазового, так и от амплитудного распределения в начальный момент времени, что существенным образом отличает динамику ко- ротких пакетов в рамках НУШ-3 от динамики протяженных волновых пакетов в рамках НУШ,

Во второй главе данной диссертации проведено исследование распространения нестационарных волновых пакетов в плавно неоднородных нелинейных диспергирующих средах в рамках НУШ-3. В случае произвольного профиля неоднородного потенциала получено замкнутое уравнение для центра масс пакета. Для случаев параболического и периодического профилей неоднородного потенциала траектории движения центра «масс» волнового пакета найдены в явном виде. Результаты исследований опубликованы в [34].

Помимо описания высокочастотных волновых процессов в рамках третьего приближения теории дисперсии в изотропных средах вызывает интерес задача распространения волновых пакетов и нахождения стационарных волн в двояколучепреломляющих средах, когда существенны эффекты взаимодействия полей разной поляризации. До последнего времени данная проблема анализировалась лишь в рамках второго параболического приближения теории дисперсии нелинейных волн [35,36, 48]. В этом приближении базовым уравнением, описывающем в двояколучепреломляющих средах динамику векторного волнового пакета Е = <^U(x,t)exp(ia>J-ik₀x) + e₂W(x,t)exp(ia)J-ik_bx)_l где UJY - медленно меняющиеся огибающие компонент волнового пакета с поляризациями ё,,е₂ и близкими частотами )й>_в-й?_№]«*;<у_И№,, является связанное нелинейное уравнение Шредингера:

2i~ + q^+2a<\U\² ₊ a\W\²)U = 0, (17) ²_'^г^+q_w^+2а(_^^2+a_^^w=_* ⁽¹⁸⁾ где <т ' параметр нелинейной связи между компонентами векторного волнового пакета. Система уравнений (17), (16) описывает динамику векторных волновых пакетов в сопровождающей системе отсчета, движущейся с линейной групповой скоростью. Различием групповых скоростей разных компонент волнового поля пренебрегаем в силу близости их частот |й)_ы-ш„|<кй>_ы„.

Связанное нелинейное уравнение Шредингера имеет хорошо известное решение в виде протяженного векторного солитона (двухкомпо-нентное солитонное решение): cosh(7o/?A (4 - Kqt)yj\ + lV V (19) ^w=xu, где АГ - свободный параметр, X - параметр, удовлетворяющий выражению (л² -l)(cr-l) = 0, что соответствует X^і =1 при сф\ и произвольному значению к при сг = 1. Солитонное решение в последнем случае было найдено Манаковым в работе [35].

Связанное нелинейное уравнение Шредингера описывает достаточно протяженные векторные волновые пакеты. Описание динамики коротких (порядка нескольких длин волн) векторных волновых пакетов уравнение в рамках этого уравнения уже является некорректным, поскольку необходимо учитывать эффекты третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн. Базовым уравнением, описывающим динамику медленно меняющихся огибающих U,W различных поляризаций короткого векторного волнового пакета, является связанное нелинейное уравнение Шредингера третьего порядка (СНУШ-3): (ті . .-, , _л ыг д(\и\²+<т ЫМ

Э С г, ЛттР 1ттг1²чгт . 9U _п

2т т аЗ (fiW ... ... AW B(\W\²+rr lf/'²^ dt ^иц ' " ^ 84 ^и д% &^W n Ниті² IrrlW &^W л +q—=- + 2aflFF +a \U\ W + iY—_r = 0, где <7_а,<Тр,сг_ц - параметры нелинейной связи между компонентами векторного волнового пакета. К настоящему моменту короткие векторные волновые пакеты в двояколучепреломляющих нелинейных диспергирующих средах исследовались лишь эпизодически [37, 49]. Так, система уравнений аналогичных (20), (21) использовалась в [37] для описания векторных солитонов с различными частотами компонент \о>_и - w\«; &_v>w при учете из членов третьего порядка только линейной дисперсии: /? = // = 0. Сама система уравнений (20), (21) может быть получена из уравнений Максвелла, что было показано в работе [38]. В случае изотропной среды, то есть при отсутствии связи между компонентами векторного волнового пакета а_а -a_fi =а₁₁ = 0, система уравнений (20), (21) сводится к двум несвязанным нелинейным уравнениям Шредингера третьего порядка (8). При этом задача о существовании устойчивого стационарного решения в рамках СНУШ-3 оставалась нерешенной.

В данной работе в третьем приближении теории дисперсии для двоя ко преломляющих нелинейных диспергирующих сред аналитически найден класс коротких векторных солитонных решений и определены условия их существования. Методом возмущений исследована устойчивость коротких векторных солитонов. Численными методами проанализирована динамика произвольного векторного волнового пакета. Результаты этих исследований опубликованы в [38-40].

Основной целью диссертации является дополнение существующего описания динамики волн в нелинейных диспергирующих средах. При этом волновые пакеты и солитоны огибающей исследуются в рамках третьего приближения теории дисперсии нелинейных волн как в изотропных, так и двояколучепреломляющих средах. Полученные результаты могут быть использованы как при теоретическом описании современных волновых задач, так и в ряде практических областей применения (для интерпретации некоторых опытных данных, улучшения параметров волоконно-оптических линий связи и т.д.)

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель диссертационной работы и кратко излагается ее содержание.

В первой главе в третьем приближении теории дисперсии рассматривается адиабатическое взаимодействие солитонов огибающей с внешним волновым полем {п. 1.1.) и взаимодействие двух солитонов огибающей (п. 1.2.) в рамках НУШ-3.

В п. 1.1.1. решена задача о рассеянии протяженного волнового пакета на коротком солитоне. Найдены коэффициенты прохождения и отражения внешнего поля. Показано принципиальное отличие взаимодействия короткого солитона огибающей в рамках НУШ-3 от взаимодействия в рамках классического НУШ - существование обмена энергией при взаимодействии с внешним волновым полем той же природы. Найдено критическое значение амплитуды солитона, при котором плотность энергии внешнего поля меняет свой знак: в результате взаимодействия солитон либо усиливается, либо отдает часть энергии внешнему полю. В п. 1.1.2. анализируется изменение энергии солитона под воздействием внешнего волнового поля. Показано, что эффект изменения энергии солитона при взаимодействии обусловлен нелинейной дисперсией. Из закона сохранения энергии для системы «солитон - внешнее поле» получено значение амплитуды, до которой солитон усиливается или убывает в результате взаимодействия. В п. 1.1.3. приведены оценки степени усиления коротких оптических солитонов внешним оптическим излучением в одномодовых оптических линиях.

В п. 1.2. в адиабатическом приближении проанализировано взаимодействие двух солитонов огибающей в рамках НУШ-3. Показано, что при взаимодействии меняется энергия солитона, что обусловлено явлением нелинейной дисперсии. Найден эффект образования связанных состояний при взаимодействии двух коротких солитонов. Показано, что характер взаимодействия зависит от знаков параметров нелинейной диспер- сии. Найдено значение максимальной разницы амплитуд солитонов в связанном состоянии.

Во второй главе диссертации в рамках нелинейного уравнения Шре-дингера третьего порядка с аддитивным неоднородным потенциалом рассматривается динамика интенсивных волновых пакетов в плавно неоднородных средах с произвольным профилем потенциала.

В п. 2.1. в рамках НУШ-3 с произвольным неоднородным потенциалом получено замкнутое дифференциальное уравнение третьего порядка, для траекторий центра «масс» движения волнового. Уравнение получено методом моментов при условии Хироты и плавного изменения профиля неоднородности на масштабе волнового пакета. Показано, что при отсутствии члена линейной дисперсии третьего порядка уравнение сводится к уравнению движения частицы в неоднородном потенциале в рамках классического НУШ.

В п. 2.2. рассмотрен случай параболической зависимости неоднородного потенциала вдоль трассы распространения волнового пакета. Показано, что топология фазовых портретов зависит от начальной скорости волнового пакета и параметра линейной дисперсии третьего порядка. Показано принципиальное отличие распространения пакета в неоднородном потенциале в третьем приближении теории дисперсии от распространения пакета в классическом параболическом приближении: волновой пакет может иметь как локализованные, так и нелокал изо ванные траектории независимо от того, является неоднородный потенциал барьером или ямой.

В п. 2.3. рассмотрен случай периодического профиля неоднородного потенциала. Показано существование пролетных и захваченных волновых пакетов с различным числом точек поворота пакета на периоде неоднородности. Характер движения пакета и число точек поворота зависят от начальных условий движения пакета, параметра линейной аберрации и масштаба неоднородного потенциала.

В третьей главе диссертации исследуется существование стационарных векторных высокочастотных импульсов в двояколучепреломляю-щих нелинейных диспергирующих средах в рамках связанного нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка.

В п. 3.1. получен закон сохранения энергии для векторного волнового пакета с различными поляризациями компонент.

В п. 3.2. найден класс решений связанного нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка в виде коротких векторных солитонов. Решение найдено путем сведения СНУШ-3 к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Из условия совместности системы определены условия существования короткого векторного солитона. Показано, что при отсутствии связи между компонентами векторного волнового пакета, полученное решение сводится к короткому скалярному солитону в рамках НУШ-3.

В п. 3.3. определены параметры СНУШ-3 при которых реализуется решение в виде короткого векторного солитона с различными произвольными амплитудами и различным соотношением волновых чисел компонент.

В п. 3.4. аналитически исследована устойчивость коротких векторных солитонов к малым возмущениям амплитуд компонент в рамках СНУШ-3. Исследование проводилось методом возмущений с использованием адиабатического приближения. Определены параметры СНУШ-3, при которых векторный солитон устойчив. Показано, что период колебаний максимумов компонент при отклонении от значений амплитуд короткого векторного солитона растет с убыванием амплитуды солитона.

В п. 3.5. приведены результаты численного моделирования устойчивости векторного солитонного решения. Начальное распределение волнового поля в рамках СНУШ-3 задано в виде возмущенного короткого векторного солитона со смещенными относительно друг друга компонентами. Показано, что при выполнении условий существования векторного солитона исходный импульс эволюционирует к одному векторному соли- тону с излучением части энергии волнового поля в виде квазипериодической волны малой амплитуды, что говорит о соответствии аналитических и численных результатов исследования.

В п. 3.6. приведены результаты численного моделирования динамики произвольного векторного волнового пакета в рамках СНУШ-3. Показано, что при условии существования векторного солитонного решения, то есть в средах с одинаковыми знаками параметров нелинейной дисперсии, начальный импульс с течением времени эволюционирует к одному или нескольким коротким векторным солитонам и квазипериодической волне. Изменение параметров начального векторного волнового пакета приводит лишь к изменению числа и параметров векторных солитонов, к которым с течением времени эволюционирует исходный импульс. Показано, что при отсутствии векторного солитонного решения, начальный импульс эволюционирует к квазипериодической волне большой протяженности.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Автор выражает глубокую признательность Е.М. Громову за руководство диссертационной работой.

Изменение энергии солитона при взаимодействии с внешним волновым полем

Для анализа взаимодействия солитона огибающей с внешним волновым полем в рамках НУШ-3 умножим (26) на у/] и сложим получившееся выражение с комплексно-сопряженным. Интегрируя уравнение с учетом отсутствия поля на бесконечности у (г-» ± ю, )-» 0, получаем выражение, описывающее изменение энергии солитона:

Отметим тот факт, что изменение энергии солитона обусловлено эффектом нелинейною вынужденного рассеяния (коэффициент //). Для вычисления интефала в первом уравнении (41) умножим (35) на Ф и сложим получившееся уравнение с комплексно-сопряженным. Интефирование полученного уравнения при условиях на бесконечности (31) приводит к следующему выражению:

С учетом (42), и принимая во внимание j E =j и 0=T-/V, уравнение (41) принимает вид амплитуда внешнего поля, падающего на солитон из минус бесконечности. Видно, что выражение (43) представляет собой закон сохранения энергии системы «солитон - внешнее поле»: первое слагаемое соответствует изменению энергии солитона, второе - изменению потока энергии внешнего волнового поля. Изменение параметров солитона рассматривалось в адиабатическом приближении: что соответствует те \ АЬс при условиях a q = \ и p = fi = yt солитон усиливается (d40fdT} 0), а при m0W 0 солитон убывает (dA s/dTj Q). Уравнение (45) было решено численно, используя значение W из численного моделирования. На рис. 2 показано пространственное изменение амплитуды солитона \{п) при a = q = р = ц = у = \ и ше=- 0.06 и при начальном условии 4 (0) = 0.2. Амплитуда солитона растет до значения 4)( ) = 0.97 (пунктирная линия). В частности, амплитуда достигает значения А$ - 0.8 на расстоянии ц =100. o.e

Пространственная эволюция амплитуды солитона Л( ) в Рам ках уравнения (45) при a-q = 0.06 и начального значения амплитуды \ (0) = 0.2. 1.1.3. Оценки степени усиления коротких оптических солитонов внешним оптическим излучением

В этом разделе приведены оценки степени усиления коротких оптических солитонов внешним оптическим излучением в одномодовых оптических линиях. Распространение коротких оптических импульсов E(z,t)exp[ik0z - іео/) в одномодовых оптических линиях описывается размерным У - амплитуда электрического поля, t=t-zfv, Vg = (дк/да ) а=Шащ - линейная групповая скорость волны, волновое число к и частота со удовлетворяют нелинейному дисперсионному закону = (Й ,2), = -(д2Ь/д&2)\„ъ , « =( /аІ 2) .И= = »2 Й О/С . п2 — коэффициент Керра в показателе преломления п = п0 + п2 Щ , с скорость света; v- фактор уменьшения, возникающий вследствие изменения интенсивности света при пересечении оптической линии, который в большинстве случаев берется приблизительно равным Уравнение (46) сводится к безразмерному уравнению (22) заменой переменных Безразмерные параметры в уравнении (22) следующие

Для оптических солитонов, имеющих длину волны Xs = 1.5 yum (угловая частота для такой длины волны 1.2 1015с-1) в линиях, имеющих парамет ры линейной дисперсии второго и третьего порядка к =-10 (ps)2/km, ,=0.1 (psffkm, из (47) имеем

Дистанция z для этих параметров: z{cm) = 0.25 xT (fs). Для. Внешнее оптическое поле , имеет длину волны \ =l.4/im. Угловая частота для этой длины волны 1.28-1015с-1 и соответствует безразмерной частоте яг, 0.06. Начальная амплитуда солитона 4,(0) = 0.2 (у(0) = 1.2 109К/т и ДД0) = 8 ). В присутствии внешнего оптического поля у/х, имеющего амплитуду 0.1 (, =6 108 V/rnj амплитуда солитона растет до значения \ = 0.8 на дистанции Ц \\у \ = Ю3, что соответствует і =6.4 т.

Адиабатическое взаимодействие двух коротких солитонов огибающей Для решения задачи об адиабатическом взаимодействии коротких солитонов огибающей (23) в рамках НУШ-3 (22), представим поле у/ в складывая получившееся уравнение с комплексно-сопряженным и интегрируя результирующее уравнение с учетом отсутствия поля на бесконечности 12( ±со,/) »0, получим выражение, описывающее изменение энергии солитона,

Видно, что изменение энергии солитона при взаимодействии вызвано одним из членов нелинейной дисперсии pi. Складывая уравнения (53) и (54), получим закон сохранения энергии для системы двух солитонов: Будем рассматривать взаимодействие солитонов в адиабатическом приближении, в котором функции у/Х2 удовлетворяют следующим решениям:

Адиабатическое взаимодействие двух коротких солитонов огибающей

В рамках нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка с аддитивным неоднородным потенциалом проанализирована динамика интенсивных волновых пакетов. В случае произвольного профиля неоднородности получено замкнутое уравнение для центра «масс» пакета. Показана зависимость траектории движения пакета как от фазовых, так и от амплитудных распределений пакета в начальный момент времени. Детально проанализированы траектории пакета в случае параболического и периодического профилей неоднородности. Показано, что волновой пакет может иметь как локализованные, так и нелокализованные траектории независимо от того, является неоднородный потенциал барьером или ямой. Показано существование пролетных и захваченных волновых пакетов с различным числом точек поворота на периоде неоднородного потенциала.

Для двояколучепреломляющей нелинейной диспергирующей среды базовым уравнением, описывающим динамику медленно меняющихся огибающих U и W в разных поляризациях векторного волнового пакета где аа/}м это параметры связи поляризаций. Векторное солитонное решение было найдено в рамках связанного нелинейного уравнения Шредингера описывающего распространение протяженного векторного волнового пакета в нелинейной двояколучепреломляющей диспергирующей среде. Система уравнений (97), (98) имеет решение в виде протяженного векторного солитона (двухкомпонентное солитонное решение) соответствующему случаю Я2 = 1 при сг \ и произвольному значению Я при т = 1. Последний случай соответствует солитонам Манакова. При этом вопрос о существовании короткого векторного солитона в третьем приближении теории дисперсии в двояколучепреломляющих средах оставался открытым.

Закон сохранения энергии коротких векторных волновых пакетов Умножая (95) на U (комплексно-сопряженную к U функцию), складывая полученное уравнение с комплексно-сопряженным ему и интегрируя с учетом отсутствия поля на бесконечности ((« L. - OJ, получим выражение для изменения энергии компоненты волнового пакета с поляризацией ех\

Видно, что изменение энергии волнового пакета с поляризацией е, определяется параметрами т и а . Аналогично для изменения энергии компоненты волнового пакета с поляризацией е2 получаем

Складывая уравнения (100) и (101), получаем закон сохранения энергии векторного волнового пакета в целом: dt

Система уравнений (104)-(107) имеет частные одно компонентные решения в виде коротких солитонов, совпадающие с решением в рамках скалярных несвязанных нелинейных уравнений Шредингера третьего порядка: для которых KU=KW = K, 1,, = 0 =0 и VC=V. Для нахождения двухкомпонентного решения системы уравнений (104)-(107) будем искать решение в виде w=A,u. Интефируя уравнения (104) и (106) по г} с учетом условия м(т? -оо) 0, получаем следующую систему:

Короткие векторные солитоны с различными амплитудами компонент При Л1 1 имеем решение в виде короткого векторного солитона с различными амплитудами компонент, который существует при дополнительном условии /5 Тр л-lfia =0. В этом случае, принимая во внимание выражения (115) и (116), имеем

При р = 0 имеем Кх=Кг, Л - произвольный параметр. Короткие векторные солитоны (117) с различными произвольными амплитудами и одинаковыми волновыми числами компонент реализуются при условиях q ( jfl-c7 = 3ra((Tfl-aa), = j&r, + 2/«r„. (122) В частности, соотношения (122) выполняются при ам= т0 = уа = \. При рФ0 имеем Kt K2,a параметр Л удовлетворяет условию (123) Я4д + 2Я V + S = 4д/і[л4а-м + Л1 (l + jj ) + етм ], где

Соотношение (123) выполняется для произвольного Я в двух случаях: В других случаях параметр Я фиксирован и определяется из (123). Это соответствует короткому векторному солитону с различными фиксированными амплитудами. Устойчивость коротких векторных солитонов в адиабатическом приближении в рамках СНУШ-3

Для анализа устойчивости коротких векторных солитонов в адиабатическом приближении, решение уравнений (95), (96) представим в виде векторного солитона с медленно меняющимися параметрами:

Параболический профиль неоднородности

Для рассмотрения задачи об эволюции нестационарного векторного волнового пакета в рамках СНУШ-3, система уравнений (95)-(96) решалась численно при нулевых граничных условиях. Начальное распределение поля было задано в виде локализованного векторного импульса с «sech-like» огибающей, при отсутствии фазовой модуляции

Результаты численного моделирования показали, что при выполнении условий устойчивости короткого векторного солитона (134) начальный векторный волновой пакет эволюционирует к набору локализованных импульсов и квазипериодической волне малой амплитуды. На рис. 14 приведено распределение модулей компонент \и\ и \W] в различные моменты времени tQ t} t2 для начального пакета с амплитудой А = 1.5 и протяженностью А = 1,67. Видно, что исходный импульс эволюционирует к одиночному локализованному импульсу и .квазипериодической волне малой амплитуды. Параметры одиночного локализованного импульса полностью совпадают с параметрами короткого векторного солитона (117) с амплитудой 4, = 2.12.

При протяженности начального волнового пакета в интервале 2 А 5, начальный импульс эволюционирует к двум солитонам различной амплитуды и квазипериодической волне. Пример подобной динамики начального импульса приведен на рис. 15 для импульса с амплитудой \ =1.5 и протяженностью А = 2.5. В этом случае имеем два солитона с амплитудами 4,, = 2.47 и о2 = 1.01. IUI=IWI

При протяженности волнового пакета в интервале 5 Д 10, начальный импульс эволюционирует к системе векторных солитонов с различными амплитудами (рис. 16). IUI=IWI

Изменение параметров начального векторного волнового пакета приводит лишь к изменению числа и параметров векторных солитонов, к которым с течением времени эволюционирует исходный импульс. Этот факт подтверждает устойчивость векторных солитонов (117) к произвольным возмущениям.

В случае нарушения условия существования короткого векторного солитона (134) в рамках СНУШ-3, произвольный волновой пакет эволюционирует с течением времени к линейной волне малой амплитуды и большой протяженности или к скалярному солитону при условии существования последнего. Это подтверждает тот факт, что короткий векторный солитон (117) является единственным устойчивым локализованным решением СНУШ-3.

В рамках связанного нелинейного уравнения Шредингера третьего порядка, описывающего распространение коротких импульсов в двояко-лучепреломляющих нелинейных диспергирующих средах, найден класс коротких векторных солитонов. Определены условия существования решения для различных и равных амплитуд компонент солитона. Показано, что при отсутствии связи между компонентами векторного волнового пакета, решение совпадает со скалярным солитоном в рамках НУШ-3.

Исследована устойчивость коротких векторных солитонов к малым возмущениям амплитуд компонент. Определены параметры СНУШ-3, при которых векторный солитон устойчив. Показано, что период колебаний координат максимумов компонент короткого векторного солитона друг относительно друга растет с убыванием амплитуды солитона. Результаты аналитического исследования устойчивости коротких векторных солитонов подтверждаются численным моделированием динамики возмущенных векторных солитонов в рамках СНУШ-3.

Короткие векторные солитоны с различными амплитудами компонент

В случае линейного профиля неоднородного потенциала U-px было найдено сопитонное в точке центра «масс». В этом случае приходим к решение [59]. Для произвольного профиля неоднородного потенциала было получено уравнение движения центра «масс» волнового пакета: где две точки обозначают вторую производную по времени. Полученное уравнение движения центра «масс» волнового пакета напоминает уравнение движения материальной точки в потенциальном поле. При достаточно плавном изменении потенциала на масштабе волнового пакета функцию производной потенциала в (6) можно вынести из-под знака интеграла со значением одному из замечательных результатов второго (квазиоптического) приближения теории дисперсии нелинейных волн для неоднородных сред: уравнение движения нелинейного пакета волн в плавнонеоднородной среде аналогично уравнению движения материальной частицы в потенциальном поле:

Если принять, что величина U играет роль потенциала силы F = -(dU/dx) y действующей на некоторую эффективную частицу, то «массой» этой частицы будет величина m = \jq.Подобная аналогия позволила перенести хорошо известные результаты механики на движение протяженных волновых пакетов: ускорение таких пакетов не зависит от их протяженности, интенсивности и фазовой модуляции, а определяется лишь неоднородностью среды. Отсюда, в частности, следует, что в однородной среде протяженные волновые импульсы движутся без ускорения. Второе приближение теории дисперсии нелинейных волн корректно описывает эволюцию волновых пакетов при их достаточно узком времен ном Ли) и пространственном спектрах Ак, а также при достаточно слабой нелинейности (/: v«l. Однако в настоящее время в ряде прикладных задач возникает интерес к исследованию распространения коротких, порядка нескольких длин волн, волновых пакетов в нелинейных диспергирующих средах [7-11,43-46]. В оптике это обусловлено нахождением и исследованием нового класса коротких оптических солитонов, являющихся базовыми импульсами для передачи информации в нелинейных волоконно-оптических линиях связи [7,8,43,44]. Это позволит напрямую решить проблему увеличения информативной емкости волоконно-оптических линий связи: чем короче базовый импульс, тем большее число этих импульсов может быть передано через линию в единицу времени без их перекрытия, то есть без потери и искажения информации. В физике плазмы подобный интерес обусловлен задачей нагрева мишени мощными короткими электромагнитными импульсами [9]. В гидродинамике -задачей распространения коротких интенсивных цугов поверхностных волн на глубокой воде [10,11].

В качестве еще одного направления исследования возможностей сокращения временных масштабов базового импульса, помимо формирования коротких солитонов огибающей, необходимо отметить изучение нелинейной динамики импульсов, состоящих всего из нескольких колебаний волнового поля [см. например 53-56]. Прогресс в современной лазерной физике сделал возможным создание импульсов протяженностью до 2-х колебаний светового поля [51]. Подобные импульсы в литературе принято называть предельно короткими, подразумевая под этим число осцилляции поля, а не протяженность самого импульса. При этом привычное понятие огибающей импульса теряет смысл, равно как и метод медленно меняющейся огибающей светового импульса.

Для волновых пакетов протяженностью в несколько длин волн ширина временного и пространственного спектров не мала и второе приближение теории дисперсии уже не справедливо. В этом случае, необходимо учитывать члены более высокого порядка малости. В связи с этим в последнее время активно разрабатываются высшие приближения теории дисперсии [12, 29, 45-47]. Наибольшее распространение получило следующее за параболическим третье приближение теории дисперсии нелинейных волн в изотропных кубично нелинейных средах. Однако уже в третьем приближении полная реконструкция уравнения для огибающей волнового пакета из разложения нелинейного дисперсионного соотношения невозможна. Это связано с тем, что в разложении возникают члены, связанные с нелокальностью и нестационарностью нелинейности. В то же время, ограничиваясь дифференциальной формой эволюционного уравнения и удерживая члены до третьего порядка малости по параметру у, можно представить его в общем виде [7,8]:

Похожие диссертации на Динамика коротких волновых пакетов и солитонов огибающей в нелинейных диспергирующих средах

Нелинейная динамика конденсированных сред: магнитные и упругие солитоныКовалев, Александр Семенович

Динамика формирования и взаимодействия пространственных солитонов в средах с квадратичной нелинейностью Чупраков Дмитрий Арефьевич

Медленные и неподвижные солитоны в неоднородных средах с кубичной нелинейностьюВедерко, Алексей Викторович

Динамика неодномерных нелинейных волн в диспергирующих средахБелашов, Василий Юрьевич

Численное исследование динамики неодномерных нелинейных волновых структур солитонного типа в средах с переменной дисперсиейБелашова Елена Семеновна

Нелинейная динамика массо- и теплопереноса в неоднородных и параметрических средахПанкратов Евгений Леонидович

Динамика процессов диффузионного типа в неоднородных, параметрических и нелинейных средахПанкратов Евгений Леонидович

Динамика солитонов в штарковских средах и техника калибровочных преобразованийУстинов Николай Витальевич

Динамика солитонов в неоднородных конденсированных средах Абдуллаев Фатхулла Хабибуллаевич

Взаимодействие многомерных оптических солитонов в средах с нелинейностью третьего и пятого порядковДесятников Антон Сергеевич