Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. Генерация квазиодномерной оптической решетки в квадратично-нелинейной среде 17
1.1 Аналитическое описание модуляционной неустойчивости плоских волн первой и второй гармоник 18
1.1.1 Трехчастотное. взаимодействие в средах с квадратичной нелинейностью.., 18
1.1.2 Описание модуляционной неустойчивости плоских волн 21
1.2 Численное моделирование возбуждения решетки скрещенными пучками основной частоты 24
1.3 Динамика формирования решетки солитонов 25
1.4 Области генерации периодической решетки. Квазисолитонная антенна в дальней зоне 30
ГЛАВА 2. Асимметричные возмущения параметрического солитона 37
2.1 Описание взаимодействия несоосных пучков первой и второй гармоник. Модель пучков квазичастиц 38
2.2 Феноменологическая модель диссипативного взаимодействия эффективных частиц 41
2.3 Численное изучение взаимодействии пучков первой и второй гармоник при рассогласовании осей, амплитуд и относительной фазы .47
2.4 Модель двухкомпонентного прямоугольного диэлектрического волновода 55
2.5 Симметричные и асимметричные моды солитона 61
2.6 Численное изучение распространения асимметричного возмущения. Расчет параметров переключения солитона 71
ГЛАВА 3. Взаимодействия пространственных солитонов 80
3.1 Аналитическое описание взаимодействия параметрических солитонов. Теория эффективных частиц 80
3.2 Оценка параметров солитоннои спирали и частичного расщепления пучков в солитоне 88
3.3 Численное моделирование закручивания солитонов в двойную и тройную спираль 94
3.4 Наблюдение относительного смещения центров параметрически связанных пучков солитона при взаимодействии 100
Приложение
- Численное моделирование возбуждения решетки скрещенными пучками основной частоты
- Феноменологическая модель диссипативного взаимодействия эффективных частиц
- Симметричные и асимметричные моды солитона
- Оценка параметров солитоннои спирали и частичного расщепления пучков в солитоне
Введение к работе
Актуальность темы.
В семействе оптических солитонов особое место принадлежит параметрическим солитонам в средах с квадратичной нелинейностью. Их существование бьшо теоретически предсказано в 1974 году [1], но эпоха их активных исследований наступила после первых экспериментов по захвату квадратичных пространственных солитонов в кристаллах КТР в 1995 г. [2]. Такие солитоны в вырожденном случае состоят из двух пучков на основной и удвоенной частотах. Они могут возбуждаться в режимах генерации второй гармоники и параметрического усиления. По сравнению с керровской средой параметрические солитоны обладают низким порогом, высокой устойчивостью в многомерном случае, способностью излучать избыточную энергию при взаимодействии и захвате пучков. Поэтому они обладают большими возможностями для переключения пучков чисто оптическими методами. Разнообразные свойства параметрических солитонов изучаются теоретически и экспериментально в десятках лабораторий мира, в том числе на физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.
Параметрически связанные волны обладают модуляционной неустойчивостью, с помощью которой можно возбуждать солитонные антенны — поперечные периодические структуры, или решетки. Меньший фон и большая контрастность наблюдаются в широких эллиптических пучках [3]. Нелинейная решетка постепенно разрушается под влиянием взаимофокусировки, дифракции и взаимодействия соседних субпучков. Поэтому необходимо определить область всех параметров пучка и среды, необходимых для генерации качественных параметрических решеток.
Взаимодействие солитонов, зависящее от соотношения амплитуд и фаз,
используется для переключения пучков в виде их слияния, рассеяния и
закручивания в спираль. При описании этих процессов весьма плодотворной
оказалась модель эффективных частиц. В упрощенной модели двухцветный
солитон представлялся как одна квазичастиіШ,Яд|Одеед^дая9|метрический
О» TCtf/ wH/j> \
солитон состоит из двух компонент и в общем случае его надо описывать двумя связанными частицами, расстояние между которыми, может меняться. Сближение солитонных пучков-частиц сопровождается излучением. Поперечному смещению и несоосности пучков в солитоне отвечают асимметричные моды, которые изучены в меньшей степени, чем симметричные моды [6].
Для решения перечисленных выше задач используются методы численного моделирования и ряд аналитических подходов с применением точных и асимптотических решений, вариационного метода, метода возмущений, метода моментов и т.д.
Цель работы.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка аналитической теории и проведение численного моделирования синхронного параметрического взаимодействия волновых пучков первой и второй гармоник, когда дифракция компенсируется самофокусировкой на квадратичной нелинейности, и образуются пространственные структуры и солитоны. В диссертации рассматриваются три круга вопросов: формирование одномерных периодических нелинейных решеток, возбуждение асимметричных мод параметрического солитона, а также динамика взаимодействия и переключения солитонов. В соответствие с поставленной целью было намечено решение следующих практически важных задач:
-Определение областей формирования и устойчивости периодической квазиодномерной оптической решетки вследствие модуляционной неустойчивости эллиптических пучков первой и второй гармоник.
- Изучение динамики захвата несоосных пучков первой и второй гармоник в солитои, развитие теории асимметричных мод квадратичного солитона, оценка параметров переключения солитона в приближении малого искажения профиля.
-Построение теории взаимодействия параметрических солитонов как эффективных квазичастиц с учетом векторного рассинхронизма наклонных пучков и относительного' смещения пучков разных частот.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-Найдены области параметров (амплитуда пучка, пространственная частота поперечной модуляции, расстройка волновых векторов), при которых вследствие модуляционной неустойчивости эллиптических пучков образуется периодическая структура, существующая в ограниченной области квадратично-нелинейной среды.
-Разработана теория асимметричных мод низшего порядка на основе метода возмущения и модели связанных диэлектрических волноводов,-имитирующих свойства солитона. Получено хорошее согласие спектров мод, рассчитанных по двум моделям.
- Для описания динамики взаимодействия и определения координат и угла
наклона солитона после захвата несоосных пучков первой и второй гармоник
предложена диссипативная модель эффективных квазичастиц.
-Впервые обнаружено частичное расщепление параметрического солитона при их сильных столкновениях. Построена последовательная модель квазичастиц для аналитического описания непланарного взаимодействия квадратичных солитонов с учетом векторной фазовой расстройки у наклонных пучков и относительного смещения пучков в солитоне.
Научная и практическая значимость работы.
- Поперечная модуляционная неустойчивость двумерного эллиптического
пучка в среде с квадратичной нелинейностью может использоваться для
формирования регулярной периодической структуры из близко расположенных
пучков. Солитонную антенну можно использовать в многоканальных системах
интегральной и волоконной оптики.
-Отклонение несоосных пучков основной частоты и второй гармоники при их захвате в солитон является одним из методов переключения. Анализ спектра мод позволяет определить изменение параметров солитона под влиянием того или иного возмущения его профиля.
- Модель связанных диэлектрических волноводов, копирующих свойства
параметрического солитона, хорошо описывает возбуждение симметричных и
асимметричных мод при малых возмущениях амплитудного и фазового профилей пучков.
-Модель солитонов в виде параметрически связанных квазичастиц с хорошей точностью описывает спиральное закручивание, рассеяние, и слияние пучков, а также разделение пучков двух гармоник внутри солитона. Эффекты взаимодействия могут применяться для чисто оптического переключения световых пучков.
Апробация работы.
Материалы диссертации докладывались на VI, VII и VIII Всероссийских школах-семинарах "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 1998, 2000, 2002 гг.), VII и VIII Всероссийских школах-семинарах "Физика и применение микроволн" (Красновидово, 1999, 2001 гг.), V и VI Международных школах по хаотическим колебаниям и образованию структур «Хаос'98» (Саратов, 1998 г.) и «Хаос 2001» (Саратов, 2001г.), Международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов - 99" (Москва, 1999 г.), Международной конференции «Нелинейные направленные волны и их применения» (Дижон, Франция, 1999 г.), Международной конференции «Перспективные лазерные технологии» (Потенца-Лече, Италия,
г.), научной школе Института перспективных исследований НАТО "Фотоника управляемых солитонов" (Свиноустье, Польша, 2000 г.), К и X международных конференций "Оптика лазеров" (Санкт-Петербург, 1998 и
гг.), Международном конгрессе "Оптика-XXI Век" (Санкт-Петербург, 2000 г.), Международном оптическом конгрессе "Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2000 г.), II Международной конференции "Фундаментальные проблемы в физике" (Саратов, 2000 г.), II Международной конференции «Современные направления в вычислительной физике» (Дубна, 2000 г.), XVII Международной конференции по квантовой электронике и применениям лазеров (Москва, 2002 г.).
Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры радиофизики физического факультета МГУ.
Публикации.
Основные результаты диссертации изложены в 26 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 169 наименований. Общий объем работы составляет 127 страниц, включающих 39 рисунков.
Численное моделирование возбуждения решетки скрещенными пучками основной частоты
Представим, что на границу квадратично-нелинейной среды падает мощный гауссов пучок основной частоты с эллиптическим сечением. Под малым углом 0 к нему падает другой более слабый по мощности пучок той же частоты. Вторая гармоника,на входе отсутствует. Тогда амплитудный профиль } суперпозиции всех падающих на вход в нелинейную среду волн запишется в виде: где Ех и Ew - пиковые амплитуды мощного и затравочного пучка соответственно, xs и xw - координаты центров пучков на входе, а - ширина пучков вдоль малой оси, Є - коэффициент эллиптичности пучков, кх кК0 поперечная составляющая волнового вектора слабого пучка, А р относительная фаза наклонного пучка. При xs = х№ пучки пересекаются на входе в среду, и в результате интерференции на амплитудный профиль мощного пучка накладывается малая гармоническая модуляция с частотой к к 9, пропорциональной углу пересечения пучков. Из (1-І5) при xs -xw -О имеем: где введены обозначения: As(x,y) - Escxp[ x2/(a)2 - у2/a2 ), S = EwjEs. Из (1.16) видно, что кроме амплитудной модуляции, наклонный пучок задает модуляцию фазового профиля с той же самой частотой, хотя для развития модуляционной неустойчивости она не является обязательной. Если xs xw, пучки пересекаются на расстоянии zcross (xs xw)jd. Уравнения (1.5) решались численно при выборе числа узлов по поперечной сетке 512x128 для области размерами (І00х40)д и Д =1, измеряется в /;.=4/rf, а интенсивность \А} -\ соответствует интенсивности 1 ГВт/см7 для параметров кристалла КТР [35,115]. Для наблюдения распадной структуры сначала выбиралась нелинейная среда длиной 4 lj. Проведенные численные эксперименты доказывают, что при очень малых углах скрещивания решётка растёт очень слабо; тем более что говорить о решётке трудно, когда её период сравним с шириной вводного пучка. Когда угол скрещивания способствует образованию периода возмущения, сравнимого с размерами стационарных пучков для заданной интенсивности, возмущение оказывается наиболее неустойчивым и пучок распадается на периодическую решётку. При сравнительно частой модуляции профиля субпучки испытывают сильную дифракцию, и распада не происходит.
Эта картина соответствует случаю плоских стационарных волн, рассмотренному выше, и является общей для любой амплитуды пучка и фазовой расстройки среды. На Рис. 1.1 показана эволюция амплитудного профиля пучка на основной частоте при разных углах падения слабого затравочного пучка. На Рис. 1.1 (а - г) видно, что решётка с разным периодом «прорастает» с разной скоростью. Частота генерируемой решётки совпадает с частотой модуляции пучка на входе, а её фазовый фронт определяет фазовый фронт сильного пучка. Для количественной характеристики "качества" решётки воспользуемся известной в оптике функцией видности V : где первые два слагаемых в числителе и знаменателе представляют собой интенсивность поля в двух соседних максимумах решётки, а третье слагаемое описывает интенсивность поля в минимуме между этими пиками. При расчете видности учитывается, что локализация максимумов на выходе среды должна совпадать с их локализацией на входе. Кроме этого заметим, что из-за неоднородности амплитудного профиля пучков расчет функции видности зависит от места выбора амплитудных пиков. Так как решетка наиболее выражена в центре пучка, где интенсивность поля максимальна, целесообразно рассчитывать видность в центре генерируемой решетки. На Рис. 1.2 пунктирной линией изображен график зависимости видности оптической решётки от пространственной частоты модуляции входного пучка при амплитудах пучков ,=3, =0.1 и фазовой расстройке в среде Д = -5. График сопоставлен на рисунке с теоретическим расчетом инкремента по формуле (1ЛЗ), если в качестве амплитуды плоской волны Aj0 взять пиковую амплитуду пучков А (0, z) . Оказывается, генерация решетки происходит как раз в той области пространственных частот, неустойчивость которой предсказывает теория плоских стационарных волн. Если наблюдать за динамикой субпучков на расстояниях, когда их амплитуда становится сравнимой с полем исходной волны, можно заметить, что субпучки более не распространяются независимо. Из-за сильного параметрического взаимодействия между ними строгая периодичность оптической решётки быстро пропадает. Именно поэтому при большой мощности входного пучка, на выходе возникает сложная стохастическая картина, показанная на Рис. 1.1 (д-з). В этих случаях нельзя корректно рассчитать функцию видности.
Можно заметить, что правильная решетка развивается тогда, когда её частота близка к экстремуму зависимости инкремента модуляционной неустойчивости от частоты (Рис. ],1 е, ж). На малых пространственных частотах в области между усиливающимися субпучками решётки появляются дополнительные возмущения, которые нарушают заданную периодичность решётки (Рис. 1.1 д). Они образуются из излучения формирующихся субпучков. Когда же частота модуляции достаточно высока, малые субпучки либо быстро дифрагируют, либо, если интенсивность поля высока, они распространяются так близко друг к другу, что сразу начинают эффективно взаимодействовать между собой - сливаться и расщепляться. Картина представляет собой повторяющуюся несинхронную взаимную перестройку пучков (Рис. 1.1 з). Многие исследователи полагают, что в результате модуляционной неустойчивости формируется серия близких солитонов. Активное неупорядоченное взаимодействие их с собственным излучением и друг с другом (слияние, расщепление и т.д.) получило название «солитоиного газа».
Феноменологическая модель диссипативного взаимодействия эффективных частиц
Итак, вышеописанная модель консервативной системы пучков -квазичастиц не способна описать наблюдаемый захват пучков. Дело в том, что амплитудно-фазовые профили пучков Aj(x,y,z) = Bj(x,y)exp[-iS(x,y,z)] искажаются довольно сложно, чтобы аппроксимировать это поведение простой моделью (2.2). На Рис. 2.2 показаны амплитудные огибающие и фазовый фронт пучков солитона после прохождения в квадратично-нелинейной среде расстояния, равного одной дифракционной длине. Из сравнения их с солитонными огибающими видно, что амплитудные профили В, уже не похожи на входные, а фазовые профили S. имеют более сложную, чем линейную, зависимость от поперечной координаты. Уравнения распространения (1.5) решались численно при y = D] =0.25 и Ак = 0. При этом поперечные координаты нормированы на ширину, а продольная координата - на дифракционную длину пучка первой гармоники. На вход подавались два пучка первой и второй гармоник, являющиеся стационарными решениями и смещенные друг относительно друга на Д = 0.5. Наблюдение за поведением профилей пучков при распространении в квадратично-нелинейной среде позволило выявить, что центры пучков быстро затухают при распространении. Траектории центров пучков показаны на Рис. 2.3. Излучение, сопровождающее затухающий характер осцилляции центров пучков, неодинаково в разные стороны по оси х, и захваченные в солитон пучки приобретают момент, отличный от заданного на входе. Для описания динамики центров пучков будем использовать следующие уравнения для их центров „г : где коэффициенты затухания бу. и упругого взаимодействия к} могут быть рассчитаны из огибающих солитона (2.1) для данной мощности пучков и і фазовой расстройки волновых векторов в среде. Коэффициенты 5 . всегда положительны и учитывают, вообще говоря, неодинаковую диссипацию пучков первой и второй гармоник. Как следствие этого, разность этих коэффициентов дает вклад в изменение направления захваченного солитона. Решение уравнений (2.9) известно из теории колебаний и может быть представлено в следующем виде: где коэффициенты с и dj, не зависящие от z, представляют собой выражения: Здесь используются обозначения: к = ку+кг, Л = хг(0) — JCj(O) - начальное смещение центров пучков, в = 0 2(0) — 6 j (0) - угол скрещивания входных пучков. Общий коэффициент затухания S и собственная частота осцилляции системы Г равны соответственно: Выражения для угла 6S и начального смещения х s траектории центра солитона выглядят так:
Чтобы найти неизвестные коэффициенты, экспериментально полученные траектории центров пучков аппроксимировались решениями (2.13). Пример такой аппроксимации можно увидеть на Рис. 2.3 для ДА = 0 и суммарной мощности солитонных пучков = 185. Коэффициенты диссипативной модели при этом оказались следующими: 5; =0.72, = 1.02, ІЧГ, = 4.50, к2=6.25. Аналогично эти коэффициенты были найдены для широкого спектра солитонных решений (2.1), соответствующих разной фазовой расстройке и фиксированной мощности пучков (Рис. 2.4). Подводя итог представлению данной механической модели, отметим, что диссипативная модель пучков-квазичастиц является феноменологической моделью, которая прежде использования требует проведения хотя бы одного эксперимента для определения параметров модели. Однако она является достаточно простой и наглядной моделью, позволяющей описать характер взаимодействия смещенных и скрещенных пучков первой и второй гармоник. В отличие от консервативной модели, она точно предсказывает характеристики осциллирующих траекторий пучков и захваченного солитона. 2.3 Числеииое изучение взаимодействия пучков первой и второй гармоник три рассогласовании осей, амшштуд и относительной фазы В предыдущих параграфах была описана модель пучков-квазичастиц, которая ставит целью предсказать результаты взаимодействия параметрически связанных пучков квадратичного солитона при нарушении их соосности. Для изучения динамики распространения пучков первой и второй гармоник ставились численные эксперименты, в которых на вход в квадратично-нелинейную среду задавались несоосные гауссовы пучки с пиковой амплитудой Е (J=l,2) и шириной а. солитона [52] и разной амплитудой и относительной фазой: (2 Л 4 а) (2.14 6) где ах - относительная амплитуда пучка первой гармоники, Фу - сдвиг фазы пучка, Л - расстояние между центрами пучков гармоник, #0 - угол наклона j пучков. Сначала параллельные пучки первой и второй гармоник солитона {а{ = 1, Ф j = Ф 2 0) смещались на входе в квадратично-нелинейную среду на расстояние Д«я- друг относительно друга. Анализ траекторий центров пучков установил, что при любом смещении они носят осциллирующий характер с быстрым затуханием, так что после двух периодов смещение пучков
Симметричные и асимметричные моды солитона
Отметим, что локализованным решениям системы уравнений (2.26), для которых выполняются граничные условия (2.27-2.28), соответствует лишь ограниченная область собственных чисел 0 Re(#) тіп(Г, 2Г - Ак), поэтому поиск собственного числа задачи (2.33) можно искать только в этой области. Применяя методику (2.33-2.35) для нахождения решений системы уравнений (2.26) с граничными условиями (2.27-2.28), аналитически и численно были найдены следующие пять собственных мод пространственного квадратичного солитона. находится как симметричное собственное решение задачи для вырожденного собственного числа д = 0(Рчс. 2.15 а ). Здесь (и далее) предполагается, что \щ «1. Эта стационарная мода имеет смысл фазового сдвига солитона, при котором пучки первой и второй гармоник сдвигаются по фазе таким образом, что относительная фаза Ф- р2 -2срх между пучками не изменяется, и солитон не выходит из класса собственных решений: описывается вторым симметричным собственным решением задачи для вырожденного собственного числа c/t=0 (Рис. 2.15 6 ). Эта мода - малое амплитудное искажение пучков солитона, которое сдвигает стационарное решение (2.25) вдоль семейства солитонных решений относительно параметра Г . Таким образом, возмущенный этой модой солитон отличается от невозмущенного на малую величину суммарной мощности пучков: Л =ЯДх;Г+/0ехр[-ї(Г,+7 )г]. 3. «Осциллирующая» мода tfC (2.38) является симметричным собственным решением задачи для собственного числа q = q01iC 0 (Рис. 2.15 в ).
Здесь функции usc(x), и.с (х) и значение qosc могут быть найдены численным решением задачи (2.33). Мода (2.38) возбуждает периодические пространственные осцилляции солитонного профиля с периодом Т = 2тг/ qosc, qasc 0. Впервые эта мода была найдена и численно исследована немецкими учеными Этриком, Пешелем, Ледерером и др. в 1996 году. Как было показано позднее, эта мода возбуждается всегда, когда интенсивность первой гармоники превышает некоторое пороговое значение для заданного ДА; и, возбуждаясь, «живет» в солитоне очень долго. Действительно, излучение осциллирующей моды не описывается линеаризованными уравнениями (2.26) и появляется лишь во втором порядке теории возмущений, учитывая который можно показать, что излучение имеет медленную полиномиальную зависимость от пройденного расстояния [104]. собственным решением задачи для вырожденного собственного числа q = О (Рис. 2.15 д ). Эта мода смещает пучки солитона по поперечной координате на расстояние }л так, что оси пучков снова совпадают и солитон в целом оказывается смещенным на это расстояние: находится как второе асимметричное собственное решение задачи для вырожденного собственного числа о = 0 (Рис. 2.15 г). Она поворачивает фазовый фронт пучков первой и второй гармоник так, что солитон изменяет направление распространения на угол, равный /i:
При этом огибающие пучков и относительная фаза между ними не изменяются. Характер распространения этой моды уже был рассмотрен выше (п. 2.3) и показана её неустойчивость, приводящая к изменению направления захваченных пучков, и, как следствие, постоянному линейному смещению профилей вдоль поперечного направления. Подводя итог найденным модам, можно сказать, что они описывают все известные сегодня параметры пространственного солитона: фазу, амплитуду, пространственные периодические пульсации, смещение и наклон солитона. Кроме того, этот спектр очень похож на спектр собственных мод прямоугольного квазисолитонного ;волновода, способного объяснить экспериментальный факт, почему количество мод остается всегда фиксированным независимо от параметров среды и мощности солитона.
Оценка параметров солитоннои спирали и частичного расщепления пучков в солитоне
Одним из наиболее интересных видов взаимодействия солитонов в объемной квадратично-нелинейной среде является закручивание в спираль. Солитоны в спирали меняют с расстоянием свое направление и положение по круговой орбите, причем, регулируя скорость закручивания в спираль, можно добиться поворота солитонов на любой угол. При анализе спирального закручивания можно пренебречь взаимным смещением пучков гармоник в каждом солитоне и считать: xl=xz= xQ, ух = у 2 У о Это полностью соответствует данным численного эксперимента по наблюдению расщепления центров пучков гармоник в каждом солитоне, о чём более подробно пойдет речь ниже. Уравнения движения центров солитонов в спирали запишутся в следующем виде: где т = 2Dj Р - эффективная масса взаимодействующих солитонов, (г0, р) -полярные координаты их центров в плоскости поперечных координат, d = 2г0 - диаметр спирали. Подставляя решение в виде X Q = Г0 COS( Q.Z ), у 0 = /"0 sin (Qz) в (3.9) и учитывая, что пространственная частота вращения по круговой спирали Q. связана с углом наклона пучков как Si= О r , можно найти равновесный угол наклона спирали: где d = 2r0 - диаметр спирали. Неявная функция 6s(d) рассчитана и изображена пунктирной линией на рис. 3.3. Равновесный угол 0 (, под которым солитонная пара крутится по спирали, аналогичен тангенциальной скорости частицы, вращающейся по окружности. Шаг спирали Л можно оценить по равновесному углу наклона и радиусу спирали: Рассчитанный по формуле (3.11) график зависимости пространственного периода солитоннои спирали от его диаметра представлен на рис. 3.4. Аналогично из (3.10) можно вывести выражение для силы притяжения солитонов в виде; График зависимости силы притяжения солитонов от расстояния между их центрами изображен на Рис. 3.5. На Рис. 3.6 представлен график зависимости эффективной потенциальной энергии -от расстояния между вращающимися пучками, рассчитанной количественно с помощью графической зависимости силы притяжения от расстояния на Рис. 3.5. Качественно аналогичная функция обсуждалась в [90] при анализе различных режимов движения солитонов.
Так как условию равновесия соответствует вершина потенциальной кривой, то вращение солитоннои пары неустойчиво. Иными словами, устойчивое движение по эллиптической спирали невозможно. Теперь обратимся к учёту смещения центров пучков гармоник в солитонной спирали. Пусть пучки вращаются по круговым орбитам с разными радиусами rY и г2: Считая смещение пучков малым, т.е. г2 г] «аьа2, положим в (3.8): Подставим решение (3.13) в уравнения движения (3.8) и получим уравнения для радиусов центров пучков первой и второй гармоник г и г2 соответственно: Вычтем уравнения (3.15) одно из другого и получим следующую оценку для смещения центров пучков гармоник в спирали: т2-т1 02 А г - гп — г. Из (3.16) видна причина возникновения эффекта смещения пучков: неидентичность пучков первой и второй гармоник из-за ненулевой разности мощностей или эффективных масс тг fn] . Рис. 3.4. Четверть пространственного периода солитонноЙ спирали в зависимости от расстояния между центрами солитонов. Пространственный период измерен в единицах 4/ri, расстояние d - в единицах ширины пучка основного излучения й. Кружки - расчёт из условия постоянства угловой скорости, ромбики - результаты численного эксперимента. На входе в среду зададим гауссовы пучки, центры которых отстоят друг от друга на расстояние d и расположены симметрично на оси х (Рис. 3.1). Пучки слегка наклонены в противоположные стороны перпендикулярно оси х и под равным углом к оси Z. Профили пучков первой и второй гармоник на входе можно записать в следующем виде: Для наблюдения эффективных взаимодействий между солитонами, нужно выбрать d таким образом, чтобы перекрытие огибающих солитонов было не слишком малым, но и не слишком большим. В самом деле, при d 5a солитоны практически не взаимодействуют, а при d 2al они сильно перекрываются и их уже нельзя рассматривать как два отдельных солитона. Разумно выбрать d в интервале За , d A a t. Система уравнений (1.5) с граничными условиями (3.17) решалась с помощью консервативной разностной схемы при задании длины кристалла 1=401 di или )]=10, коэффициента нелинейности і /е "-щ.г_ расстояния между пучками d 4alr разности фаз ДФ = 0. Гауссовы пучки возбуждают солитоны с минимальными пространственными осцилляциями, если их параметры выбрать на основе результатов вариационного метода, а именно Ех Численное моделирование распространения солитонной пары проводилось с наклонами волновых векторов, равными ,0, = 0,1410,1610,18. При относительно малом угле наклона (к]а]в = 0,\4) солитоны сближаются и сливаются, потому что центробежная сила, вызванная угловым моментом, меньше силы притяжения.
При большом угле наклона (,#,9 = 0,18) солитоны удаляются друг от друга - происходит рассеяние. Вращение по спирали наблюдается при равновесном угле наклона & а 9 = 0,16 (Рис. 3,7), Видно, что при повороте на угол л/2 расстояние между солитонами сохраняется. Однако движение солитонов по спирали весьма чувствительно к начальному углу наклонов пучков, что говорит о неустойчивости солитонной спирали. Иными словами, с истема находится в неустойчивой точке равновесия. При численном моделировании солитонной спирали для наблюдения полного оборота пары нужно задавать величину к , а , 9 с точностью до восьмого знака после запятой, а при закручивании спирали на 7т/2 достаточно указать второй верный знак после запятой для начального угла наклона пучков. При численном моделировании солитонной спирали сначала была найдена зависимость равновесного угла наклона пучков от диаметра спирали (Рис. 3.3, сплошная кривая). Данный график позволяет для любого d из области эффективного взаимодействия 3aj d 4a определить &s, с которым солитонная пара закрутится по спирали на угол #"/2, сохраняя при этом свой диаметр d . Для закручивания солитонов в спираль на больший угол, например на полный оборот, необходимо задавать углы наклона, как уже говорилось, со значительно большей точностью. В целом, солитонная спираль на очень больших расстояниях неустойчива; она постепенно раскручивается или закручивается. Однако, если интересоваться поворотом пучков по спирали на
