Содержание к диссертации
Введение
2. Исходные уравнения теории возмущений. динамика одиночного флаксона
2.1. Уравнения адиабатического приближения и поправка к форме солитона 10
2.2. Динамика возмущенного солитона с учетом его излучения и искажения формы 17
2.3. Взаимодействие флаксона с микрозакороткой . 21
3. Взаимодействие невозмущенных солитонов. Метод теорий возмущений 30
3.1. Двухсолитонные системы НУШ.. 30
3.2. Двухсолитонные системы СГ 40
3.3. Связь метода возмущений с методом обратной задачи . 43
4. Взаимодействие возмущенных солитонов 47
4.1. Системы возмущенных солитонов НУШ 47
4.2. Системы солитонов двойного СГ 50
4.3. Взаимодействие однополярных флаксонов в длинных ДК. Бунчировка флаксонов 56
4.4. Динамика бионов в длинных ДК 67
Заключение 86
Литература 88
- Динамика возмущенного солитона с учетом его излучения и искажения формы
- Взаимодействие флаксона с микрозакороткой
- Связь метода возмущений с методом обратной задачи
- Взаимодействие однополярных флаксонов в длинных ДК. Бунчировка флаксонов
Динамика возмущенного солитона с учетом его излучения и искажения формы
Действие диссипации и постоянного стороннего тока приводит к медленной ( d V/dt 6 ) зависимости скорости флаксона d х /d t от времени, которую можно определить, используя один из вариантов теории возмущений для солитонов /2,30-33/. Кроме того, возмущение искажает форму солитона и вызывает его изучение /2,30,31,34,35/.
Динамика одиночного флаксона с учетом возмущений типа диссипации подробно исследована в работе /33/, где показано, в частности, что действие диссипации и стороннего тока определяет устойчивое движение одиночного флаксона с постоянной скоростью.
Влияние возмущений, приводящих к быстрой ( d V/JL-L Ь ) зависимости скорости флаксона от времени (например, переменный ток, мелкомасштабные неоднородности ДК и т.д.) исследовано в работе /36/, где получены уравнения, описывающие динамику возмущенного флаксона с учетом его излучения и искажения формы (раздел 2.2)). С помощью этих уравнений исследовано взаимодействие флаксона с микрозакороткой (раздел 2.3), Численным методом в /36/ показано, что при достаточно быстром сближении флаксона с микрозакороткой (теория возмущений неприменима) часть кинетической энергии флаксона трансформируется в рождающейся при этом бион (связанное состояние двух разнополярных флаксонов) (раздел 2.3). При — О в (I.I) взаимодействие солитонов описывается соответствующими многосолитонными формулами /I/. Однако, использование этих формул для описания взаимодействия солитонов при наличии возмущений ( ф О ) сопряжено со значительными математическими трудностями: даже в случае двух солитонов соответствующая задача может быть доведена до конкретных результатов лишь при определенных ограничениях. Альтернативный метод теории возмущений, предложенный в /42,43,37,38/ и получивший дальнейшее развитие в /39,40/, позволяет детально и сравнительно легко описывать влияние возмущений на взаимодействие солитонов. Этот подход основан на фундаментальном свойстве солитонов: их взаимодействие во многом аналогично взаимодействию частиц /41/. Если взаимодействующие солитоны всегда находятся достаточно далеко друг от друга, то потенциал их взаимодействия можно аппроксимировать простой функцией. Оказывается, что это ограничение эквивалентно требованию достаточно медленного сближения солитонов, но именно этот случай наиболее интересен т.к. действие малого возмущения проявляется на временах i/. " 4- /2/. В работах /39,40/ (раздел 3) проводится детальное сравнение метода обратной задачи, дающего точное описание взаимодействия солитонов, с развиваемым там приближенным методом. Эффективность этого метода демонстрируется при исследовании роли возмущений в формировании и разрушении связанных состояний солитонов нелинейного уравнения Шредин-гера (НУШ) и "двойного" синус-уравнения Гордона (ДСГ) (разделы 4.1 и 4.2). Получены явные асимптотические решения ДСГ. Как НУШ так и ДСГ имеет ряд важных применений в физике /44-47/.
В работах /34,24,25/ предложена теория эффекта бунчировки однополярных флаксонов (раздел 4.3), обнаруженного в аналоговых /17/ и численных /16,23/ экспериментах, а затем и в реальных ДК /22/, и состоящего в том, что отталкивающиеся при = о од-нополярные флаксоны под действием диссипации и стороннего тока могут образовать импульс, содержащий несколько движущихся с одной скоростью флаксонов. Теория /34,24,25/ находится в хорошем согласии с результатами аналоговых /17/и численных /23-29/, а также лабораторных экспериментов /22/ в которых наблюдались импульсы
Из нее следует, в частности, что эффект бунчировки существует вне зависимости от учета члена с третьей производной в (1.2), который описывает (как и первый член в (1.2)) диссипацию и не меняет качественной картины этого эффекта при достаточно малых А ( р -6 4 0 ). Численным методом в /24,25/ продемонстрирована устойчивость импульсов, состоящих из бунчированных флаксонов при отражении их от открытых концов ДК (раздел 4.3).
Затем, метод, основанный на приближенном описании взаимодействия солитонов, был применен для исследования воздействия стороннего тока и диссипации на систему разнополярных флаксонов, в том числе бион, образованный слабосвязанными флаксонами /48/. Если сторонний ток не превышает критической величины которая однозначно определяется энергией связи флак-сона и антифлаксона в бионе, то энергия диссилирующего биона трансформируется в малые затухающие колебания. В противном случае бион распадается на несвязанные флаксон и антифлаксон /48/.
В работе /48/ предсказывается, что при наличии возмущения (1.2) взаимодействие биона с открытой границей ДК может привести к его трансформации в бунчированную пару однополярных флаксонов. Численным методом в работах /49,50/ этот процесс трансформации был продемонстрирован и исследован (раздел 4.4). Показано, в частности, хорошее согласие значений -j-or следующих из теории /48/ с полученными из численного эксперимента /49,50/.
Дальнейшее исследование влияния возмущений на бион с произвольной энергией связи флаксона и антифлаксона, основанное на методе обратной задачи, проведено в работе /51/. (раздел 4.4). Здесь получены общие эволюционные уравнения для параметров возмущенного биона. С помощью этих уравнений в /51/ детально исследовано влияние возмущения (1.2) на бион как при мгновенном, так и при плавном включении стороннего тока. Получены соответствующие уравнения для значений уел - (раздел 4.4). Кроме того, с помощью усредненных уравнений для параметров возмущенного биона, полученных в /51/, показано, что у диссипирующего биона скорость хотя и убывает со временем, тем не менее стремится к предельной скорости, сравнимой с начальной (раздел 4.4). Соответствующие результаты работы /51/ хорошо согласуются с результатами предыдущих работ /48-50/.
Взаимодействие флаксона с микрозакороткой
Видно, что имеется хорошее согласие между обоими типами г.у. и аналитической формулой (4.46). Следует отметить некоторые особенности г.у. (2.36). При отражении от границы ДК изменяется полярность флаксона. Поэтому при отборе моментов времени "t , для которых определялось расстояние между солитонами, рассматривались те t , когда флаксоны имели одинаковую полярность и находились достаточно далеко от границы ДК. Этим объясняется появление лакун на графике t (Л) при г.у. (2.36). Видно, также, что в случае г.у. (2.36) предельное расстояние несколько больше, чем для г.у. (4.50). При увеличении длины ДК (в-а) разница между обоими случаями уменьшалась.
Начальные условия, изображенного на рис. 8 решения, таковы, что солитоны сближаются. Видно, что в этом случае предельные расстояния для г.у. (2.36) и г.у. (4.50) хорошо соответствуют друг другу из-за меньшего влияния границы на однополярную систему солитонов: Отметим еще следующую особенность г.у. (2.36). Из графика для tC J , изображенного, например, на рис. 7 видно, что поведение граничных с лакунами точек соответствует уменьшению расстояния между солитонами, приближающимися к границе ДК. Следовательно, действие каждой границы (левой или правой) приводит к уменьшению расстояния между солитонами, когда они оба находятся вблизи одной из них. Хотя после каждого отражения солитонов от границы расстояние между ними восстанавливается (на плато ,многократные отражения бунчированной пары от границы (с г.у. (2.36)) могут привести к тому, что логарифмический рост Ч ОУ) станет ненаблюдаемым.
Итак, конечная длина ДК и сильное взаимодействие между флак-сонами не изменяют основных результатов, полученных на основе теории возмущений. Суть последних состоит в том, что однополярные флаксоны, несмотря на взаимное отталкивание, при наличии диссипации и внешнего тока образуют импульс со следующими основными свойствами: I) расстояние между флаксонами в импульсе 6f/ стремится к асимптотическому значению х которое практически постоянно. 2) скорость импульса, равная среднему арифметическому от скоростей входящих в него флаксонов, стремится к величине Yjj. , совпадающей с предельной скоростью одного флаксона при том же токе -j- и диссипации ьС
Как уже указывалось во Введении, флаксоны, осциллирующие между границами ДК, генерируют электромагнитное излучение, спектр которого определяется частотой их колебаний в ДК и их числом. По вольт-амперной характеристике всегда можно установить сколько флаксонов возбуждено в контакте /9,10/, Если возбуждено гь флаксонов ( vi 4. ), а спектр излучения ДК близок к спектру излучения от одного флаксона, то это очевидно, должно свидетельствовать о том, что флаксоны образуют единый импульс, двигаясь с одной скоростью.
После того, как работа /24/ была отправлена в печать, появилась работа /22/ в которой сообщается об экспериментальных наблюдениях в ДК бунчированных однополярных флаксонов (см. примечание в /24/ на стр. 1336).
В этом разделе рассматривается влияние возмущений на бион (бризер), который при — 9 является другим локализованным решением ур. СГ (I.I): В отличие от солитона, бион помимо скорости v характеризу ется частотой собственных пульсаций, равной . При малых 7/ в определенные промежутки времени решение (4.52) можно приближенно представить в виде суперпозиции двух разнопо лярных солитонов, которые слабо перекрываются и, взаимно притя гиваясь, образуют связанную систему при отсутствии возмущений /39,40/ (см. разделы 3.2 и " 3.3). Наличие возмущений может привести к распаду биона на свободные разнополярные флаксоны (см. раздел 4.2 /39,40/, а также работу /48/)« в отличие от работ /39,40,48/ здесь не предполагается, что величина Ц jл) - мала и, тем самым, взаимодействие между разнополярньши флаксонами учитывается точно. В первом приближении можно написать - выражение для биона в адиабатическом приближении, а Тіґ -поправка первого порядка, определяющая изменение его формы. Согласно общей схеме, определяется формулами (4.52), (4.53), где теперь С , а следовательно, и все параметры и являются функциями от времени. Кроме этого, координата центра биона с () и его фаза &() определяются теперь уравнениями, которые в общем случае отличаются от приведенных в (4.53) членами порядка.
Связь метода возмущений с методом обратной задачи
Перейдем теперь к г.у. (2.36). Они моделируют ДК с открытой границей (см. раздел 2.2) без учета диссипации на ней. Численные исследования отражения биона от границы с потерями, проведенные в /67/, показывают, что если потери малы, то они вносят несущественные изменения по сравнению с г.у. (2.36).
Типичная картина трансформации биона в бунчированную пару однополярных флаксонов изображена на рис. 12. Начальное состояние изображено на рис. 12а. Два промежуточных состояния при представлены на рис. 12в и 12с. Форма импульса при fc = 4У , сразу после отражения, имеет вид двух однополярных взаимодействующих флаксонов (сравните с рис.7), которые затем трансформируются в бунчированную пару - рис. 12. J - 12 Бун-чировка практически заканчивается после т 60 : ни амплитуды флаксонов ни расстояния между ними не меняются при т SO (разумеется вдали от границы). После отражения от границы флак-соны меняют полярность и остаются в том же состоянии, что и до отражения.
На рис. 13 показана зависимость расстояния между однополярными флаксонами tUc) (сразу после трансформации биона при ± d0 ) для 0М = Л,ЯГЛ- , о(с) = 5 S Jr , 6(0)= ± т m оказывается, что = Wn при &о 1тг/2. , а бион трансформируется в однополярную систему во всех случаях при -L ъ 4 0
Итак, результаты численных экспериментов /24,25,49,50/ находятся в хорошем согласии с выводами теории /24,25,48,51/ как в качественном, так и в количественном отношении. В диссертации изложены результаты исследований влияния возмущений на системы взаимодействующих солитонов. Основное внимание уделено динамике флаксонов в длинных джозефсоновских контактах с учетом основных факторов-внешнего тока, диссипации и неоднородности ДК. При этом получены следующие результаты. 1. Получены уравнения теории возмущений, описывающие движение "центра массы" возмущенного флаксона с учетом его взаимодействия с излучением и искажения формы /36/ (раздел Z.2). 2. Исследовано взаимодействие флаксона с микрозакороткой с учетом искажения его формы. Показано, что применимость теории возмущений ограничена как величиной неоднородности так и величиной скорости сближения флаксона с микрозакороткой. Показано хорошее количественное согласие результатов теории возмущений с результатами численных экспериментов /36/ (раздел 2.3). Численным методом показано также, что за пределами применимости теории возмущений существенны процессы излучения (трансформация части энергии флаксона в рождающийся бион) /36/ (раздел 2.3). 3. Развит метод возмущений, позволяющий аналитически детально исследовать влияние возмущений на взаимодействующие солитоны. Пот» казаны его корректность и эффективность /39,40/ (разделы 3.1-4.2). 4. Дано аналитическое описание эффекта бунчировки флаксонов под действием стороннего тока и диссипации. Показано хорошее количественное согласие аналитических результатов с результатами численных экспериментов /24,25,34/ (раздел 4.3). 5. Методом теории возмущений исследовано влияние стороннего тока и диссипации на бион (систему связанных разнополярных флаксонов). Получены уравнения для величины критического тока при котором бион распадается на несвязанные флаксон и антифлаксон. Если ток меньше критического, то бион диссипирует, но его скорость (в отличие от амплитуды) стремится к предельной скорости, сравнимой с начальной /51/ (раздел 4.4). Показано хорошее количественное согласие аналитических результатов с результатами численных экспериментов /49,50/ (раздел 4.4), 6. Численным методом продемонстрирован процесс трансформации биона в бунчированную пару однополярных флаксонов /49,50/ (раздел 4.4), Выражаю глубокую благодарность проф. В.И.Карпману за научное руководство работой, полезные советы и ценные замечания. Искренне признателен Н.А.Рябовой и Е.М.Маслову за плодотворное сотрудничество.
Взаимодействие однополярных флаксонов в длинных ДК. Бунчировка флаксонов
Исследование нелинейных волновых процессов занимает одно из важных мест в современной физике. Это связано, с одной стороны, с тем, что эти процессы весьма распространены в природе и исследование их закономерностей имеет большое фундаментальное и прикладное значение. С другой стороны, открытие и достижения метода точного интегрирования нелинейных уравнений /I/ и создание на его основе теории возмущений /2/ в значительной степени обусловили возможность прогресса в исследовании этих процессов.
В предлагаемой диссертации основное внимание уделяется исследованию волновых процессов, происходящих в длинных джозефсо-новских контактах (ДК). Специфические свойства ДК, предсказанные в /3,4/» определили перспективные и многочисленные применения ДК в науке и технике /5-7/ (физике, биологии, вычислительной технике и т.д.). Укажем, например, на проблему создания СВЧ-генератора и приемника в миллиметровом диапазоне электромагнитных волн /7-12/. Для ее решения помимо ДК пригодны лишь очень немногие устройства, причем, по сравнению с последними ДК имеют ряд значительных преимуществ - низкий уровень шумов, высокая чувствительность и т.д. /12/. Имеется ряд других важных и перспективных применений устройств с ДК, обладающих уже на сегодняшний день рекордными полезными характеристиками /6,7,13-15/ (см. также библиографический указатель /5/).
Джозефсоновский контакт - это физическая система, реализуемая в лабораторных условиях и имеющая аналитическую /4,16/, численную и аналоговую /17,18/ модели, что обусловливает возможность для всестороннего и глубокого исследования физических процессов в ДК, с большой степенью достоверности получаемых различными методами результатов. Таким образом, помимо большого прикладного значения, исследование динамики нелинейных волновых процессов в ДК представляет принципиальный теоретический интерес.
Джозефсоновский контакт можно представить в виде двух полосок из сверхпроводника, разделенных тонким изолирующим слоем. Обозначим толщину слоя через а , и его эффективную диэлектрическую постоянную через е}4 . Эффекты диссипации, обусловленные током нормальных электронов поперек и вдоль контакта, можно учесть вводя поперечную проводимость (Г и продольное сопротивление 1 единицы длины контакта. Тогда волновые процессы в "одномерных" ДК можно описать возмущенным уравнением синус-Гордона (СГ) здесь fUs - плотность сверхпроводящих электронов, И-С (d/6eii( +a) скорость распространения электромагнитных волн вдоль контакта, а о — (VtC /ЦЗГУІ Є ) - лондоновская глубина проникновения /19/. Предположение об одномерности ДК оправдано, если ширина ДК « А . Такие ДК реализуются на практике. Два первых члена справа в (1.2) описывают диссипацию обусловленную током нормальных электронов поперек и вдоль контакта соответственно Третий член моделирует повышенный ( f о ) джозефсоновс кий ток (микрозакоротка), локализованный в окрестности ос-О . (здесь о С 0 -дельта-функция Дирака), а последний член в (1.2) - безразмерная плотность стороннего тока, нормированная на максимальную плотность джозефсоновского тока j,mSLKLV : 1 = \ І\ж- Во многих приложениях считается, что сторонний ток I постоянен, поэтому мы положим -у = cortst , хотя все изложенные ниже результаты справедливы и при достаточно медленном изменении -у-. Для реальных ДК значения параметров в (1.2) лежат в следующих пределах /20,21/: что дает возможность применения теории возмущений с малым параметром. Эксперименты с длинными ДК /9,10,22/, аналоговые /17/ и численные эксперименты /23-29/ свидетельствуют о том, что уравнение (I.I), (1.2) хорошо описывает ряд физических процессов, происходящих в ДК. Существенную роль в этих процессах играют солитоны, являющиеся в данном случае элементарными возбуждениями магнитного потока и потому называемые флаксонами. В работах /9,10,22/ экспериментально показано, что характерные особенности спектра микроволнового излучения и вольтамперной характеристики ДК, представляющей собой ряд пиков тока, расположенных примерно на одинаковых интервалах по напряжению, можно объяснить исходя из представления о солитонах, осциллирующих между концами ДК. Именно эти особенности важны для различных приложений ДК, в частности, в СВЧ-генераторах и приемниках /10-12/. Поэтому исследование влияния различных возмущений (диссипации, внешнего тока и т.д.) на динамику флаксонов имеет принципиальный характер.
