Содержание к диссертации
Введение
1 Обнаружение пространственных неоднородностеи с неизвестной площадью 14
1.1 Квазиправдоподобное обнаружение 14
1.2 Оптимальное обнаружение 51
1.3 Статистическое моделирование алгоритмов обнаружения 61
1.4 Выводы 67
2 Оценка площади пространственных неоднородностеи 69
2.1 Квазиправдоподобные оценки 69
2.2 Оптимальные оценки 105
2.3 Статистическое моделирование алгоритмов оценки 119
2.4 Выводы 121
3 Совместные обнаружение и оценка площади пространственных неоднородностеи 123
3.1 Оценка площади пропадающих пространственных неоднородностей 123
3.2 Совместные обнаружение и оценка площади пространственных неоднородностей 151
3.3 Статистическое моделирование алгоритмов совместного обнаружения оценки 169
3.4 Выводы 175
Заключение 177
Список литературы 180
- Оптимальное обнаружение
- Статистическое моделирование алгоритмов обнаружения
- Оптимальные оценки
- Совместные обнаружение и оценка площади пространственных неоднородностей
Введение к работе
Актуальность темы
В последнее время в различных областях науки и техники интенсивно развиваются методы и средства дистанционного наблюдения. При этом большое внимание уделяется проблемам обработки пространственных полей, что обусловлено многообразием практических задач, в которых используются либо сами изображения пространственных неоднородностей, либо результаты их анализа [3, 6, 85 и т.д.]. Необходимость в обработке изображений пространственных неоднородностей возникает при изучении из космоса природных ресурсов Земли, при управлении движущимися объектами, в задачах геофизики, неразрушающе го контроля и материаловедения, медицинской диагностики, автоматизации научных исследований, распознавании образов, количественной оценке параметров объектов. При этом обработка изображений превратилась в направление, целью которого стала не только передача изображений, но и извлечение информации, заключающейся в изображениях [14, 15, 77, 116 и т.д.]. Возрастающий объём задач и повышение требований к точности и скорости их решения вызвали необходимость развития средств и методов автоматизации обработки изображений [25, 114, 115].
При проектировании изображающих систем требования к идеальной системе формулируются как требования к определённым техническим характеристикам системы, таким как разрешающая способность, фотометрическая точность, уровень посторонних шумов и т.д. Характеристики реальных изображающих систем - оптических, фотографических, телевизионных - отличаются от идеальных. В результате изображения на выходе таких систем претерпевают искажения. С целью устранения такого рода искажений для обработки изображений применяют различные методы коррекции, примерами которых может служить повышение четкости расфокусированных изображений, устранение смаза, подавление шумов. Проблемам коррекции нелинейных искажений вносимых системами
формирования изображения посвящены работы [3, 11, 19], в основе которых лежит применение различных адаптивных методов фильтрации [1, 106].
Так же необходимо отметить, что изображения в процессе формирования обычно искажаются случайными помехами или шумом [54, 77, 113]. Для учёта этих искажений необходимо знать статистические характеристики шума. Иногда эти характеристики можно определить, исходя из структуры и характеристик изображающих систем. Например, шум зернистости фотоплёнки в фотографических системах определяется её типом и режимом фотохимической обработки, шум в радиотелевизионных системах - мощностью радиосигнала в канале связи. При отсутствии таких данных приходится оценивать характеристики шума по уже сформированному изображению или набору изображений с однородным шумом. В этих случаях статистические характеристики шума извлекаются из измерений статистических характеристики наблюдаемого видеосигнала, используя различия этих характеристик для изображения и шума. Наиболее распространённым видом помех на изображениях является аддитивный и статистически независимый от видеосигнала флюктуационный шум, который характеризуется своей дисперсией и корреляционной функцией [113]. Из других видов помех на изображении можно выделить импульсные помехи, периодические помехи и шум квантования. Импульсные помехи - это случайные и независимые искажения отсчётов изображения, при которых значения отсчётов сигнала с некоторой вероятностью заменяются случайной величиной с равномерным распределением. Они характеризуются вероятностью искажения отсчётов. Периодические помехи создают на изображении периодические, муаровидные узоры. Шум квантования определяется числом уровней квантования видеосигнала.
Для борьбы с указанными видами помех применяются различные виды фильтрации изображений [I, 106, 113]. В частности, для подавления импульсных помех используются медианная фильтрация [77], которая в отличие от линейной низкочастотной фильтрации сохраняет резкие перепады
интенсивности изображения. Этот метод нелинейной обработки изображения оказывается полезным и при подавлении шума на изображении. Однако, при определённых условиях применение медианных фильтров может приводить к нежелательному подавлению полезного изображения [77]. Также для подавления шумов на изображении применяется винеровская фильтрация [113].
Одним из важных аспектов автоматической обработки пространственных неоднородностей является выделение признаков изображений. Признаком изображения считается его простейшая отличительная характеристика или свойство. Некоторые признаки являются естественными в том смысле, что они устанавливаются визуальным анализом изображения, тогда как другие, так называемые искусственные признаки, получаются в результате его специальной обработки или измерений. К естественным признакам относятся яркость и текстура различных областей изображения, форма контуров объектов. Гистограммы распределения яркости и спектры пространстве иных частот дают примеры искусственных признаков. Работы [15, 23, 48, 71] посвящены различным методам выделения признаков изображений. Однако необходимо отметить, что подавляющее большинство описанных в литературе способов позволяют эффективно выделять признаки изображений лишь при достаточно больших отношениях сигнал/шум.
Системы понимания изображений, предназначенные для анализа изображений, представленных функцией или массивом чисел, и составления описания изображённой сцены рассмотрены в работах [71, 105, 115]. В простейшем виде система понимания изображений может просто сообщать о том, что на изображении имеется заданный объект или же, возможно какой-нибудь неожиданный объект. В другом предельном случае такая система может создавать общее словесное описание сцены так же, как если бы человек написал о содержании данного изображения. Уже созданы системы, выполняющие относительно простые задачи описания изображений ограниченного класса. В настоящее время исследования направлены на развитие обобщённых программируемых систем, которые могли бы
обрабатывать широкий класс изображений возникающих в разнообразных задачах.
Одной из важнейших в прикладном отношении задач, которая должна быть решена при обработке пространственных полей, является задача обнаружения объектов. В последнее время активно развиваются статистические методы обнаружения и выделения локальных неоднородностей на изображениях. При этом не только интенсивность, но и форма локальной неоднородности считается случайными [60, 117]. Для обнаружения локальной неоднородности (ярко освещенного элемента изображения) изображение разбивают на зоны, в результате статистического анализа которых, принимается решение о принадлежности области к изображению или фону. Работы [82, 83] посвящены оптимизации и упрощению аппаратной реализации таких алгоритмов.
Однако применение описанных выше способов обработки пространственных полей возможно лишь при достаточно больших отношениях сигнал/шум. В противном случае эффективность рассмотренных методов обработки резко падает. Также необходимо отметить, что в некоторых приложениях недопустимо применение методов фильтрации изображений из шума, так как это может привести к существенному изменению характеристик неоднородности изображения и потере полезной информации.
Таким образом, для решения задач обработки изображений при низких отношениях сигнал/шум необходимо применение методов теории оценивания и статистических решений. Применение метода максимального правдоподобия достаточно подробно описано в литературе [20, 34, 46 и т.д.]. При этом показано [46], что если существует эффективная оценка, то оценка максимального правдоподобия является эффективной. Для оценки регулярных параметров доказано свойство асимптотической эффективности метода максимального правдоподобия [98]. По мере увеличения разрешающей способности систем дистанционного наблюдения стало необходимым учитывать скачкообразное изменение интенсивности на границах изображений
и тем самым стало оправданным применение в моделях изображений разрывных функций. Для оценок параметров разрывных изображений оптимальность метода максимального правдоподобия не доказана. При решения многих задач обработки изображений неизвестный параметр изображения, можно считать случайным. Это позволяет использовать байесовский подход к задаче оценки параметров изображений [51, 60].
Вопросы статистической обработки изображений с неизвестной площадью рассматривались в [67, 68, 73, 74] и других работах. При этом предполагалось, что изображения однородны, так что их интенсивность постоянна, хотя может быть и неизвестна [63, 68, 69]. Задача оценки площади однородного изображения всегда присутствующего в принятой реализации рассмотрена в работе [63, 65]. В работе [64] синтезированы алгоритмы оценки площади однородного изображения с учётом возможности пропадания изображения.
Однако, с увеличением разрешающей способности систем дистанционного формирования изображений, всё большое влияние на характеристики алгоритмов обработки пространственных полей оказывает степень неоднородности изображения. Также необходимо отметить, что существует достаточно большой класс изображений, основная информация в которых сосредоточена именно в неоднородности изображения. К таким изображениям можно, например, отнести изображения отпечатков пальцев, при этом площадь изображения можно считать неизвестной величиной. В таких приложениях как криминалистика зачастую изображения оказывается сильно зашумлённым при этом нельзя провести его фильтрацию, так как может быть потеряна полезная информация. Описание таких изображений случайными полями так же нецелесообразно, так как различные изображения практические не будут отличаться своими статистическими свойствами. Поэтому в таких приложениях необходимо применение статистических алгоритмов обработки пространственных неоднородностей на основе принципов описанных выше. Задача обнаружения и оценки площади изображения также возникает в
медицине при автоматической обработки изображения плазмы крови. Изображения лейкоцитов при этом можно описывать изображением с неизвестной площадью [15].
Возможности представления интенсивности изображений гауссовским случайным полем посвящена работа [72]. В [95] рассмотрено обнаружение случайного изображения с известной площадью, но неизвестными статистическими параметрами изображения и фона. Однако использование случайных полей для описания интенсивности изображения не всегда целесообразно. При этом в указанных работах не приведено количественных значений величины проигрыша в эффективности обработки из-за описания интенсивности изображения случайным полем.
Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью синтеза статистических алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью и определения характеристик алгоритмов. Целью работы является:
синтез и анализ квазиправдоподобных, максимально правдоподобных и байесовских алгоритмов обработки пространственных неоднородностей с неизвестной площадью,
получение точных и асимптотических аналитических выражений для характеристик алгоритмов обработки неоднородных изображений,
экспериментальное определение работоспособности синтезированных алгоритмов и границ применимости найденных асимптотических выражений для характеристик алгоритмов обработки методами статистического моделирования,
исследование влияния незнания функции интенсивности и степени неоднородности полезного изображения на характеристики алгоритмов обработки пространственных неоднородностей.
Методы проведения исследования
При решении задач, поставленных в диссертационной работе,
использовались аналитические и вычислительные методы современного математического аппарата статистической радиофизики, а именно:
аппарат теории вероятностей и математической статистики;
аппарат теории марковских случайных процессов;
методы математической физики, в частности, методы решения задач для уравнений с частными производными второго порядка параболического типа;
методы математического анализа;
методы моделирования на ЭВМ стохастических процессов и алгоритмов их анализа.
Научная новизна
На защиту выносятся следующие результаты, впервые достаточно подробно развитые или впервые полученные в настоящей работе:
Новые структуры квазиправдоподобных, максимально правдоподобных и байесовских алгоритмов обработки пространственных неоднородностеи с неизвестной площадью.
Точные аналитические выражения для характеристик максимально правдоподобных алгоритмов обработки неоднородного изображения с неизвестной площадью.
Асимптотические выражения для расчета характеристик эффективности функционирования квазиправдоподобных алгоритмов обработки пространственных неоднородностеи с неизвестной площадью.
Исследование влияния незнания функции интенсивности и степени неоднородности полезного изображения на характеристики алгоритмов обработки пространственных неоднородностеи.
Практическая ценность работы
В работе выполнен синтез и анализ различных алгоритмов обработки пространственных неоднородностеи с неизвестной площадью в зависимости от имеющейся априорной информации о параметрах изображения.
Полученные в диссертации аналитические выражения для характеристик
синтезированных алгоритмов и результаты статистического моделирования позволяют обоснованно выбрать необходимый алгоритм обработки пространственных неоднородностей в соответствии с требованиями, предъявляемыми к эффективности алгоритма обработки изображения, имеющейся априорной информацией относительно параметров изображения, а также в соответствии с необходимой степенью простоты аппаратурной или программной реализаций алгоритма.
Результаты диссертационной работы могут найти практическое применение при проектировании и анализе систем диагностики, активной и пассивной локации, обнаружения и анализа объектов по их изображениям, полученным в результате дистанционного наблюдения. Внедрение научных результатов
Полученные в диссертации результаты внедрены в научно-исследовательских работах и в учебном процессе в Воронежском государственном университете. В частности, результаты диссертации использованы при выполнении гранта РФФИ (98-01-00090) и грантов Минобразования РФ (Е00-3.5-5, VZ-010-0). Апробация работы
Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на VI, VII, IX, X, XI международных научно-технических конференциях "Радиолокация, навигация связь" (Воронеж) в 2000, 2001, 2003, 2004, 2005 г. Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 4 работы в ведущих научных журналах. Структура и объём работы
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 132 наименований. Объем диссертации составляет 192 страницы, включая 152 страницы основного текста, 54 рисунка на 27 страницах, 13 страниц списка литературы.
Содержание работы
В первой главе проведён синтез и анализ квазиправдоподобного, максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов обнаружения пространственных неоднородностей с неизвестной площадью. Рассмотрены структуры оптимального и квазиоптимальных алгоритмов обнаружения неоднородного изображения. Проведён сравнительный анализ характеристик алгоритмов обнаружения для случаев, когда порог выбирается из условия Неймана-Пирсона и из условия минимума безусловной средней вероятности ошибки. Показана необходимость адаптации по площади алгоритмов обнаружения пространственных неоднородностей с неизвестной площадью. Найдено выражение для одномерной функции распределения величины абсолютного максимума марковского случайного процесса. Для квазиправдоподобного алгоритма с использованием метода локально-марковской аппроксимации получены асимптотические выражения для вероятностей ложной тревоги и пропуска изображения. Исследованы границы применимости полученных асимптотических выражений. Рассмотрено влияние незнания функции интенсивности истинного изображения и выбора порога на характеристики обнаружения, на примере изображения в форме эллипса, интенсивность которого изменяется линейно. Для максимально правдоподобного алгоритма найдены точные выражения для характеристик обнаружения неоднородного изображения с неизвестной площадью. Проведён синтез байесовского алгоритма обнаружения. Характеристики байесовского алгоритма получены в результате статистического моделирования на ЭВМ. Исследована степень влияния неоднородности изображения на характеристики максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов обнаружения. Рассмотрено влияние оптимизации порога на характеристики максимально правдоподобного алгоритма обнаружения. Проведён сравнительный анализ оптимального, квазиоптимального, максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов обнаружения.
Во второй главе проведён синтез и анализ алгоритмов оценки площади
пространственных неоднородностей. Найдено выражение для двумерной функции распределения величин абсолютных максимумов марковского случайного процесса. С использованием метода локально-марковской аппроксимации получены асимптотические выражения для функции распределения и плотности вероятности квазиправдоподобной оценки площади. Рассмотрено асимптотическое поведение смещения и рассеяния квазиправдоподобной оценки в случае увеличения отношения сигнал/шум при различных величинах истинного значения площади. Исследовано влияние незнания функции интенсивности истинного изображения на характеристики оценки площади пространственной неоднородности. Рассмотрена структура максимально правдоподобного алгоритма оценки площади неоднородного изображения. Найдены точные выражения для функции распределения и плотности вероятности максимально правдоподобной оценки площади. Получены асимптотические выражения для смещения и рассеяния максимально правдоподобной оценки. Рассмотрена возможность применения байесовского подхода к задаче оценки площади пространственной неоднородности. Найдена структура байесовского алгоритма оценки площади при квадратичной функции потерь. Приведены результаты статистического моделирования на ЭВМ байесовского алгоритма оценки площади неоднородного изображения. Исследовано влияние степени неоднородности изображения на характеристики максимально правдоподобного и байесовского алгоритмов. Проведён сравнительный анализ максимально правдоподобной и байесовской оценок.
В третьей главе рассмотрены совместные алгоритмы обнаружения и оценки площади пространственных неоднородностей. В первой части главы проведён синтез и анализ алгоритмов оценки площади пропадающего изображения. В частности, найдены структуры квазиправдоподобных алгоритмов оценки площади пропадающей пространственной неоднородности. С помощью метода локально-марковской аппроксимации получены асимптотические выражения для плотностей вероятности оценок. С целью установления границ применимости найденных выражений приведены
результаты статистического моделирования на ЭВМ квазиправдоподобных алгоритмов. Исследовано влияние возможности пропадания и незнания функции интенсивности истинного изображения на характеристики квазиправдоподобной оценки площади. Проведён синтез максимально правдоподобных алгоритмов оценки площади пропадающего изображения. Получены точные выражения для плотностей вероятности оценок площади. Найдены структуры байесовских алгоритмов оценки площади пропадающей пространственной неоднородности. Характеристики байесовских алгоритмов оценки площади получены в результате статистического моделирования. Проведён сравнительный анализ точности максимально правдоподобных и байесовских алгоритмов оценки площади пространственных неоднородностей. Вторая часть главы посвящена рассмотрению совместных алгоритмов обнаружения и оценки площади пространственных неоднородностей. В частности, проведён синтез квазиправдоподобного и максимально правдоподобного алгоритмов совместного обнаружения и оценки площади неоднородного изображения. Рассмотрены характеристики алгоритмов с оптимизированными порогами. Найдена структура байесовского алгоритма совместного обнаружения и оценки площади неоднородного изображения. Исследовано влияние степени неоднородности изображения на характеристики максимально правдоподобного и байесовских алгоритмов совместного обнаружении и оценивания. Приведен сравнительный анализ характеристик максимально правдоподобного алгоритма с оптимизированным порогом и результатов моделирования байесовского алгоритма.
В заключении подведены итоги по диссертации в целом и сформулированы основные результаты.
Оптимальное обнаружение
Рассмотрим характеристики обнаружения алгоритма (1.1.33) на примере изображения в форме эллипса (1.1.24), интенсивность которого изменяется линейно вдоль оси х (1.1.25). Будем полагать, что площадь %0 изображения -случайная величина с равномерной плотностью вероятности (1.1.28). На рисунках 1.1.11 - 1.1.14 приведены зависимости безусловной средней вероятности ошибки обнаружения (1.1.31) от отношения сигнал/шум zH при различных априорных вероятностях наличия изображения /7,=0.3 (рисунки 1.1.11, 1.1.13) и / ,=0.7 (рисунки 1.1.12, 1.1.14). При этом, для построения кривых 1 порог h был выбран из условия / = arginf Ре а для кривых 2 - h = 0. Сплошными линиями на рисунках 1.1.11 - 1.1.14 приведены характеристики обнаружения соответствующие априорному динамическому диапазонах изменения площади к = 5, а штриховыми - к = 10. Наклон интенсивности истинного изображения был выбран равным qQ = \0, а ожидаемого изображения- q = \ (рисунки 1.1.11, 1.1.12), # = 0.5 (рисунки 1.1.13, 1.1.14). С целью установления границ применимости асимптотических выражений (1.1.91), (1.1.96) и (1.1.99) проводилось статистическое моделирование на ЭВМ квазиправдоподобного алгоритма (1.1.33) при h = 0. Методика статистического моделирования изложена в п. 1.3. Результаты статистического моделирования при к = 5 представлены на рисунках "квадратами", а при к = 10 -"кружочками".
Сначала исследуем границы применимости асимптотических выражений (1.1.91), (1.1.96) и (1.1.99). Для этого сравним результаты численных расчётов с использованием асимптотических выражений (1.1.91), (1.1.96) и (1.1.99) с результатами статистического моделирования. Как следует из сопоставления кривых 2 с результатами моделирования, применение асимптотических выражений (1.1.91), (1.1.96) и (1.1.99) можно рекомендовать в достаточно широком диапазоне изменения отношения сигнал/шум zH.
Рассмотрим теперь влияние условия выбора порога h на характеристики обнаружения квазиправдоподобного алгоритма. Сравнение кривых 1 и 2 на рисунках 1.1.11 - 1.1.14 позволяет сделать вывод, что выбор порога из условия A = arginf/ позволяет получить значительный выигрыш в эффективности обнаружения по сравнению с выбором фиксированного порога й = 0. Таким образом, несмотря на то, что для квазиправдоподобного алгоритма получены только асимптотические выражения для характеристик обнаружения, можно рекомендовать выбирать порог из условия h = axgmfPe, где Ре вычисляется с использованием асимптотических выражений (1.1.91), (1.1.96) и (1.1.99).
Анализ кривых, представленных на рисунках 1.1.11, 1.1.13 или на рисунках 1.1.12, 1.1.14, позволяет исследовать влияние незнания наклона интенсивности истинного изображения на характеристики обнаружения квазиправдоподобного алгоритма. Как следует из сравнения соответствующих сплошных и штриховых линий, увеличение степени неоднородности ожидаемого (прогнозируемого) изображения приводит к ухудшению характеристик обнаружения.
Теперь рассмотрим влияние динамического диапазона изменения площади к на безусловную среднюю вероятность ошибки Ре. Для этого рассмотрим характер взаимного поведения сплошных и штриховых линий для кривых 1. Анализ представленных на рисунках зависимостей позволяет сделать вывод, что увеличение динамического диапазона изменения площади к приводит к потере в эффективности обнаружения алгоритма. Причём данная тенденция наблюдается как в случае, если порог фиксированный А = 0, так и в случае, когда порог выбирается из условия h = arg inf Ре.
Рассмотрим случай, когда истинная интенсивность изображения F0(x,y) известна точно, однако, априори неизвестна площадь изображения. Априорная неопределённость относительно площади пространственной неоднородности может быть преодолена различными способами. Наиболее простым, так же как и в случае квазиоптимальных методов, является способ формирования логарифма ФОГТ для некоторого фиксированного значения % из априорного интервала [zmm Xnax]
Однако наибольший интерес представляет сравнение характеристик обнаружения рассматриваемых алгоритмов между собой. Как и следовало ожидать, оптимальной алгоритм позволяет получить наилучшие характеристики обнаружения среди рассматриваемых алгоритмов. Характер поведения кривых 4 и результатов статистического моделирования, позволяет сделать вывод, что характеристики обнаружения, полученные с использованием алгоритма максимального правдоподобия с оптимизированным порогом, практически совпадают с характеристиками обнаружения байесовского алгоритма. Как следует из сравнения кривых 2 и 3 на рисунках 1.2.1 - 1.2.4, классический алгоритм максимального правдоподобия (й = 0) при малых отношения сигнал/шум zH проигрывает в эффективности обнаружения алгоритму (1.2.1).
Статистическое моделирование алгоритмов обнаружения
Однако наибольший интерес представляет сравнение характеристик обнаружения рассматриваемых алгоритмов между собой. Как и следовало ожидать, оптимальной алгоритм позволяет получить наилучшие характеристики обнаружения среди рассматриваемых алгоритмов. Характер поведения кривых 4 и результатов статистического моделирования, позволяет сделать вывод, что характеристики обнаружения, полученные с использованием алгоритма максимального правдоподобия с оптимизированным порогом, практически совпадают с характеристиками обнаружения байесовского алгоритма. Как следует из сравнения кривых 2 и 3 на рисунках 1.2.1 - 1.2.4, классический алгоритм максимального правдоподобия (й = 0) при малых отношения сигнал/шум zH проигрывает в эффективности обнаружения алгоритму (1.2.1). Это можно объяснить, тем, что при низких отношениях сигнал/шум zH логарифм ФОГТ может достигать своего максимального значения достаточно далеко от значения площади истинного изображения. При этом ошибка в оценке площади может превосходить значение разности между истинным значением площади и ожидаемым значением площади, которое выбирается для алгоритма (1.2.1). При больших отношениях сигнал/шум точность оценки площади возрастает и эффективность обнаружения алгоритма максимального правдоподобия превосходит эффективность обнаружения алгоритма (1.2.1), что и наблюдается при сравнении кривых 2 и 3 при больших zH.
Так же необходимо отметить, что применение максимально правдоподобного алгоритма обнаружения с оптимизированным порогом позволяет получить значительный выигрыш в эффективности обнаружения по сравнению с классическим методом максимального правдоподобия, и, как было показано выше, получить характеристики, сравнимые с характеристиками байесовского алгоритма.
Полученные в п. 1.1 выражения для характеристик квазиправдоподобного алгоритма обнаружения (вероятностей ложной тревоги и пропуска изображения) являются лишь асимптотически точными с увеличением отношения сигнал/шум (1.1.43). При малых значениях отношения сигнал/шум (1.1.43) определить погрешность найденных формул аналитическими методами пока не представляется возможным. Также не удаётся провести аналитическими методами анализ синтезированного в п. 1.2 байесовского алгоритма обнаружения. Поэтому, с целью проверки работоспособности синтезированных алгоритмов и определения границ применимости полученных асимптотических выражений, проводилось статистическое моделирование алгоритмов обработки изображения (1.1.2) на ЭВМ.
Сначала рассмотрим общие принципы статистического моделирования алгоритмов обработки изображения (1.1.2). Полученное значение Lmax необходимо сравнить с порогом А, который в процессе моделирования был выбран равным h = 0. Если значение Z,max превышает порог, то принимается решение о наличии изображения и ут = 1, если наоборот — L h, то решение об отсутствии изображения и укп — 0. В процессе моделирования значения 7/0 в (1.3.9) выбирались случайными, распределенными равномерно на интервале [l/,l]. Дискретная величина у0 в (1,3.9) вырабатывалась равной у0 = \ с вероятностью р,, и ;к0=0 с вероятностью р0=1-р,.
1. Априорное незнание площади пространственной неоднородности приводит к значительному снижению эффективности обнаружения. Использование квазиоптимального алгоритма для преодоления априорной неопределённости относительно неизвестной площади изображения не позволяет получить эффективность обнаружения, сравнимую с оптимальным алгоритмом. В частности, применение относительно простого в реализации квазиоптимального алгоритма целесообразно лишь в случае, когда динамический диапазон изменения площади сравнительно мал.
2. Адаптация по площади в алгоритмах обнаружения позволяет получить выигрыш в эффективности обнаружения по сравнению с квазиоптимальным алгоритмом. В случае, когда неизвестно распределение интенсивности истинного изображения, применение квазиправдоподобного подхода к задаче обнаружения позволяет значительно снизить вероятность ошибки обнаружения, вследствие априорного незнания площади изображения.
3. Применение оптимизированного порога в максимально правдоподобном алгоритме обнаружения пространственной неоднородности с неизвестной площадью позволяет существенно повысить эффективность обнаружения.
4. В случае равномерного априорного распределения неизвестной площади характеристики обнаружения алгоритма максимального правдоподобия с оптимизированным порогом практически совпадают с результатами моделирования байесовского алгоритма обнаружения. В этом случае вместо байесовского алгоритма обнаружения можно рекомендовать применение максимально правдоподобного алгоритма с оптимизированным порогом, так как алгоритм максимального правдоподобия более простой в реализации, чем байесовский, а значения оптимального порога можно получить на этапе проектирования оборудования для системы обнаружения.
Оптимальные оценки
Если функция FQ(xty), описывающая интенсивность истинного изображения известна точно, то для оценки площади изображения (1.1.2) возможно применение оптимальных методов. В математической статистике показывается [46], что, если существует эффективная оценка, то оценка максимального правдоподобия является эффективной. В работе [98] было показано, что при оценке регулярных параметров метод максимального правдоподобия является асимптотически эффективным. В рассматриваемой модели изображения (1.1.2) неизвестная площадь Хо является разрывным параметром. В этом случае вопрос об оптимальности метода максимального правдоподобия остаётся открытым. Таким образом, представляет интерес анализ максимально правдоподобного алгоритма оценки площади изображения (1.1.2), и сравнение полученных характеристик оценки с характеристиками байесовского алгоритма.
Максимально правдоподобный алгоритм оценки площади пространственной неоднородности можно получить из квазипривдоподобного (2.1.1), полагая F(x,y)-F0(x,yy Тогда для получения оценки площади в соответствии с методом максимального правдоподобия необходимо формировать логарифм функционала отношения правдоподобия (1.2.2) для всех значений # є [#„,;„ »,„,«]. Оценка % площади %0 пространственной неоднородности определяется, как положение абсолютного максимума функции LQ(x) (1.2.2) Z = arg sup L0(%). (2.2.1)
Точные выражения для характеристик оценки максимального правдоподобия (2.2.1) площади неоднородного изображения довольно громоздки и расчёт по ним возможен только численными методами. Поэтому рассмотрим асимптотическое поведение этих характеристик при увеличении отношения сигнал/шум z02=go( o)
Рассмотрим характеристики максимально правдоподобного алгоритма оценки площади (2.2.1) на примере изображения в форме эллипса (1.1.24), интенсивность которого изменяется линейно вдоль оси х (1.1.25). На рисунках 2.2.1 — 2.2.2 приведены зависимости нормированного условного рассеяния максимально правдоподобной оценки У(х\Хо)/Хты от отношения сигнал/шум zH при различных значениях априорного динамического диапазона изменения
Исследуем границы применимости асимптотических выражений (2.2.16), (2.2.17) и (2.2.18). Для этого сравним результаты численных расчётов с использованием асимптотических выражений (2.2.16), (2.2.17) и (2.2.18) с результатами численных расчётов с использованием точных выражений (2.2.11). Как следует из сопоставления кривых 1 и 2 на рисунках 2.2.1 — 2.2.2, диапазон значений отношения сигнал/шум zH в котором возможно применение асимптотических выражений (2.2.16), (2.2.17) и (2.2.18) для расчёта условных характеристик максимально правдоподобной оценки, зависит от истинного значения площади Хо Так, например, для Хо = хт\ можно рекомендовать применять выражения (2.2.17), начиная с zH 7. Применение асимптотического выражения (2.2.18) для Хо=Хтзх обоснованно при zH 5. Для Хо {%т\п +Хтах)/2 выражения (2.2.16), можно рекомендовать для расчёта условного рассеяния начиная сгя 5. Если известна априорная плотность вероятности W (х0) площади изображения Хо то для синтеза алгоритма оценки площади изображения (1.1.2) возможно применение классического байесовского подхода.
Из-за необходимости охарактеризовать качество различных оценок в теории решений введено понятие функции потерь. Эта функция каждой комбинации из оценки х и истинного значения параметра Хо приписывает определённую потерю С(х,х0)- Обычно потери выбирают неотрицательными, а правильным решениям приписывают нулевые потери. Физический смысл функции потерь состоит в том, что каждой возможной ошибке приписывается определённый неотрицательный вес. При этом в зависимости от целей, для которых находится оценка, наименее желательным ошибкам приписываются наибольшие веса. Выбор той или иной функции потерь производится в зависимости от конкретной специфики задачи, для которой находится оценка, и выходит за рамки теории статистических решений. К сожалению, не существует общего формального правила выбора функции потерь, и он в той или иной степени является субъективным.
Среднее значение функции потерь называется риском [51]. Из определения функции потерь следует, что более предпочтительными оценками будут те оценки, при которых риск минимален. Если известно априорное распределение значений оцениваемого параметра, то наилучшее правило оценивания целесообразно искать, исходя из условия минимума безусловного среднего риска [51]. Таким образом, под байесовской оценкой понимают оценку, обеспечивающую минимальное значение безусловного среднего риска при заданной функции потерь C(x,Zo)- Минимальное значение безусловного среднего риска, соответствующее байесовской оценке, называют байесовским риском [51].
Апостериорный риск Rp!!(z), а, следовательно, и средний риск R(z) будут минимальны, если апостериорная плотность вероятности W {%) для данной оценки принимает наибольшее значение из всех возможных значений. Байесовская оценка параметра при простой функции потерь минимизирует вероятность неправильного решения [51]. При этом всем ошибкам приписывается одинаковый вес с0, т.е. предполагается, что все ошибки нежелательны независимо от их величины. В литературе байесовская оценка при простой функции потерь известна так же под названием оценки по максимуму апостериорной плотности вероятности. Если априорная плотность вероятности Wpr{%o) постоянна в интервале возможных значений оцениваемого параметра, то, согласно (2.2.20), апостериорная плотность вероятности с точностью до постоянного множителя совпадает с функционалом отношения правдоподобия-
Совместные обнаружение и оценка площади пространственных неоднородностей
Рассмотрим наиболее общий случай в задаче обработки изображения (1.1.2), когда при обработке пространственного поля необходимо не только установить факт наличия пространственной неоднородности (обнаружение), но и указать значение её неизвестной площади (оценка). Для этого необходимо совместно вынести два решения: о наличии или отсутствии пространственной неоднородности и оценить её площадь [98].
Положим, что в области G обработке доступна реализация случайного поля (1.1.1). Неизвестный параметр /0, отражает возможность пропадания полезного изображения, причём yQ = 0 с вероятностью р0 и yQ = 1 с вероятностью р = 1 - р0. Площадь изображения будем считать случайной величиной, заданной на интервале \хт\п Хтак ] и обладающей априорной плотностью вероятности Щрг(%) при у0=1 и „( f) при /0=0. Располагая реализацией (1.1.1), необходимо вынести решение о наличии или отсутствии изображения (1.1.2) в принятой реализации (1.1.1) и сформировать оценку площади изображения.
В начале рассмотрим случай, когда функция интенсивности истинного изображения F0(x,y) либо неизвестна, либо известна неточно. Задачу совместного обнаружения и оценивания площади изображения (1.1.2), согласно [98], можно рассматривать как задачу оценивания вектора неизвестных параметров 6 = {х,у). (3.2.1.1) В соответствии с методом максимального правдоподобия, квазиправдоподобная оценка векторного параметра (3.2.1.1) {Хкп Гкп} =aiesupL(x,y) (3.2.1.2) представляет собой положение абсолютного (наибольшего) максимума логарифма функционала отношения правдоподобия (3.1.1.11).
Эффективность максимально правдоподобного алгоритма обнаружения (3.2.2.2) будем характеризовать вероятностями ошибок первого и второго рода, а эффективность максимально правдоподобного алгоритма оценки (3.2.2.2) -безусловными смещением и рассеянием оценки. Необходимо отметить, что эффективность максимально правдоподобного алгоритма обнаружения (3.2.2.2) также можно характеризовать полной вероятностью ошибки (1.1.30).
Теперь рассмотрим влияние незнания наклона интенсивности истинного изображения на характеристики алгоритма (3.2.1.3). Сравнивая сплошные кривые с штриховыми или штрих - пунктирными кривыми на рисунках 3.2.2.1 - 3.2.2.8, можно сделать вывод, что в случае, когда порог h в алгоритмах (3.2.1.3) и (3.2.2.2) выбирается равным нулю /i = 0, использование квазиправдоподобного алгоритма при определённых значения наклона интенсивности ожидаемого изображения д, может приводить к небольшому выигрышу в характеристиках обнаружения и оценки по сравнению с характеристиками алгоритма максимального правдоподобия. Например, безусловное рассеяние квазиправдоподобного алгоритма оценки площади для однородного ожидаемого изображения (# = 1) при р} =0.3 (рисунки 3.2.2.1, 3.2.2.3) меньше чем рассеяние максимально правдоподобного алгоритма оценки площади (3.2.2.2). Аналогичная ситуация наблюдается и при анализе средней вероятности ошибки. Однако, когда порог h в алгоритмах (3.2.1.3) и (3.2.2.2) выбирается из условия hp =arginf Ре или hv =arginf V(%), увеличение параметра а? (1.1.29) однозначно приводит к ухудшению как характеристик оценки, так и характеристик обнаружения квазиправдоподобного алгоритма (3.2.1.3), что следует из сопоставления сплошных и штриховых или штрих-пунктирных кривых .
Вначале рассмотрим влияние оптимизации порога h на характеристики максимально правдоподобного алгоритма совместного обнаружения и оценки площади неоднородного изображения. Как уже было показано ранее, выбор порога в алгоритме (3.2.2.2) из условия кр=ъщтРе или hv =arginfV(z) позволяет получить существенный выигрыш в эффективности обнаружения и точности оценки площади пространственной неоднородности. Сравнение кривых 1 и 2 позволяет сделать вывод, что наибольший выигрыш от оптимизации порога наблюдается при малых значениях априорной вероятности наличия изображения.
