Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Взаимодействие оптических солитонов: состояние проблемы и перспективы развития (обзор). 10
1.1 Оптические солитоны размерности (1+1): импульсы в волоконных световодах и щелевые пучки . 11
1.2 Оптические солитоны размерности (2+1): световые пучки и вихри. 17
1.3 Оптические солитоны размерности (3+1): световые пули. 24
ГЛАВА 2. Пространственное вращение световых пучков в керровской среде 29
2.1 Постановка задачи 29
2.2 Пространственное вращение одинаковых пучков. 33
2.3 Гамильтониан системы: симметрия и интегралы движения . 42
2.4 Численное решение вариационных уравнений 49
ГЛАВА 3. Эффективный потенциал взаимодействия многомерных световых солитонов в среде с нелинейностью третьего и пятого порядков 64
3.1 Потенциал взаимодействия пространственных солитонов . 65
3.2 Световые пули основной моды. 76
3.3 Сохранение орбитального момента солитонной пары. 83
ГЛАВА 4. Трехмерные спин-солитоны в диспергирующей среде с нелинейностью третьего и пятого порядков 91
4.1 Вариационный анализ солитонных решений 91
4.2 Взаимодействие спин-солитонов в бимодальной системе 103
4.3 Когерентное взаимодействие соосных спин-солитонов 107
Заключение 118
Литература
- Оптические солитоны размерности (1+1): импульсы в волоконных световодах и щелевые пучки
- Гамильтониан системы: симметрия и интегралы движения
- Потенциал взаимодействия пространственных солитонов
- Взаимодействие спин-солитонов в бимодальной системе
Введение к работе
Развитие нелинейной оптики берёт начало с экспериментальной работы П.А. Франкена с сотрудниками по генерации второй гармоники, выполненной в 1961 г., и теоретической работы Н.Бломбергена с сотрудниками по оптическому смешению, выполненной в 1962 г. [1-3]. Уже в 1963 г. были созданы эффективные генераторы оптических гармоник, этим было положено начало прикладной нелинейной оптики. Быстро развивались физические исследования. В 1961 г. зарегистрировано двухфотонное поглощение. В 1962-1963 гг. обнаружено и объяснено явление вынужденного комбинационного рассеяния - открытие, кардинально изменившее облик физики рассеяния света. В 1960-1963 гг. были сформулированы и теоретические основы нелинейной оптики.
Одним из крупных разделов нелинейной оптики, направлением, в котором получены важные фундаментальные и прикладные результаты является волновая нелинейная оптика. Нелинейность отклика приводит к взаимовлиянию, в том числе к сильному энергообмену, волн с существенно различными частотами и волновыми векторами (взаимодействиям волн), нелинейным изменениям частотного и углового спектров квазимонохроматических, квазиплоских волн (самовоздействиям) [4]. В процессе взаимодействий и самовоздействий нелинейным образом изменяется, вообще говоря, и поляризация волн - возникают поляризационные нелинейные эффекты. Многообразные самовоздействия и взаимодействия волн фактически определяют главные черты поведения мощных лазерных пучков в материальной среде, приводят к генерации световых полей, не имеющих даже отдаленных аналогов в линейной оптике: движущиеся структуры, оптическая турбулентность, оптические солитоны [5].
Самозахват света в объемной нелинейной среде приводит к образованию солитона огибающей уединенной волны, то есть к возникновению самоиндуцированного волновода (самоканалирование). Недавние экспери-
ментальные наблюдения пространственных солитонов (световых пучков в состоянии самоканалирования) [121,122], стимулировали теоретические исследования в этом направлении. Когда в нелинейной среде распространяются две, или более, световых волны, возникают эффекты взаимодействия, которые могут приводить к взаимному захвату волн, или взаимной стабилизации (каналированию). Если взаимодействующие волны имеют разные состояния поляризации, или разные несущие частоты (бимодальная система), в связанном состоянии образуется новый объект, называемый векторным солитоном. Векторные солитоны впервые изучались в одномерной модели [47], и наблюдались в двулучепреломляющих волокнах и планарных волноводах. Наряду с этим исследование взаимодействия многомерных оптических солитонов в бимодальной системе к началу работы над диссертацией представляло собой сравнительно новую задачу.
В последнее время значительно возрастает интерес к оптическим эффектам в объемной нелинейной среде, возникающим при взаимодействии пространственных солитонов. Новым эффектом в этой области является эффект пространственного вращения пучков по мере распространения в нелинейной среде, получивший в литературе название "спиралипг" [94-99]. Эффект наблюдался экспериментально и исследовался теоретически в различных средах. Однако, взаимодействие пространственно разделенных пучков (обусловленное эффектом фазовой кросс-модуляции) и образование связанного состояния с вращением пучков в бимодальной системе мало изучено. Не получено теоретическое объяснение некоторых экспериментальных результатов, например того факта, что двойная спираль, образуемая пучками в состоянии захвата, имеет эллиптическую форму в поперечном сечении.
Применение традиционных материалов с нелинейностью третьего порядка для реализации взаимодействия уединенных волн является неэффективным из-за неустойчивости многомерных оптических солитонов в такой среде. Прогресс в этой области достигается благодаря использованию фо-
торефрактивных материалов, либо материалов с квадратичной или насыщающейся нелинейностью. Новые возможности предоставляют активно изучаемые в настоящее время органические кристаллы, в частности, так называемый кристалл PTS (Р- toluene sulfonate), проявляющий фокусирующую керровскую и дефокусирующую нелинейность пятого порядка. В такой среде были мало изучены особенности образования и взаимодействия оптических солитонов, что обусловило постановку задач в диссертационной работе.
Ранее не изучались связанные состояния многомерных оптических солитонов в среде с нелинейностью третьего и пятого порядков. Недавно обнаружено в численном эксперименте, что в такой среде пучки с кольцевым распределением поля, или вихри, проявляют устойчивость при поперечных взаимодействиях. Этот факт стимулировал постановку в диссертации новых задач о взаимодействии вихрей и о взаимодействии вихря с пучком основной моды. Устойчивость вихрей позволила предположить существование и устойчивость нового физического объекта - световой пули с кольцевым распределением поля в поперечном сечении, так называемого "спин-солитона". Свойства и особенности взаимодействия таких объектов ранее не изучались. Зависимость взаимодействия соосных спин-солитонов от взаимной ориентации спиновых моментов, имеет перспективу применения для оптической обработки информации и приложения в других областях физики, например теории Бозе- Эйнштейн- конденсации.
Таким образом, целью диссертационной работы является развитие теории взаимодействия многомерных оптических солитонов, для чего необходимо провести: исследование образования связанных состояний и пространственных
структур солитонами размерности (2+1): оптическими пучками и
вихрями;
изучение динамики взаимодействия нелинейных волн в бимодальной системе и определение условий, необходимых для устойчивости связанных состояний;
исследование свойств и структуры пространственно- временных оптических солитонов в среде с нелинейностью третьего и пятого порядков, включая световые пули с кольцевым распределением поля;
изучение поперечного взаимодействия световых пуль и особенностей взаимодействия спин-солитонов.
Научная новизна определяется тем фактом, что здесь впервые теоретически исследована система пространственно разделенных световых пучков, взаимодействующих из-за кросс-модуляции показателя преломления нелинейной среды. Показана возможность образования пучками в состоянии взаимного захвата устойчивой пространственной структуры, подобной двойной спирали (спиралинг). Впервые изучена световая пуля с кольцевым поперечным распределением поля - спин-солитон. Определены пороговая энергия образования, границы существования и устойчивости спин-солитонного решения нелинейного волнового уравнения. Показана зависимость взаимодействия от взаимной ориентации спинов, найдены новые связанные состояния в системе соосных спин-солитонов.
Научная и практическая ценность работы
Проведенное исследование динамики связанного состояния пространственно разделенных пучков позволяет детально проанализировать эффект образования пучками спиралеподобной структуры в керровской среде. Исследованные эффекты взаимного захвата и взаимного каналирования пучков являются новым методом управления светом с помощью света и представляют интерес для построения полностью оптических переключателей в объемной среде.
Полученные выражения для орбитального момента двух световых пуль показывают возможность использовать эффект спиралинга световых пуль для сверхбыстрого переключения.
Общефизический интерес представляют вихри, локализованные в объемной среде: спин-солитоны. Взаимодействие соосных спин-солитонов качественно отличается в двух случаях: когда спиновые моменты параллельны либо антипараллельны. Предлагается использование этого эффекта в качестве нового принципа оптической обработки информации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 127 страниц текста, включая 27 рисунков и список литературы из 154 наименований.
В первой главе приведен литературный обзор результатов исследований взаимодействий оптических солитонов. Значительное внимание уделено взаимодействию импульсов в нелинейном волокне как традиционной задаче нелинейной оптики, рассмотрены векторные солитоны. Рассмотрены эффекты нелинейной рефракции и нелинейного самосжатия импульсов, обсуждается эквивалентность их описания и пространственно- временная аналогия. Приведен обзор работ, посвященных взаимодействию пространственных солитонов - световых пучков и вихрей. Анализируются известные теоретические и экспериментальные работы, в которых изучался спи-ралинг оптических пучков. Обсуждается концепция световой пули: нелинейной волны, локализованной в объемной среде, и перспективы использования таких объектов.
Вторая глава посвящена исследованию взаимодействия пространственно разделенных световых пучков в керровской среде. Явление фазовой кросс-модуляции приводит к взаимодействию между волнами, так как показатель преломления для одной волны зависит от интенсивности другой волны, распространяющейся совместно с первой. При этом потенциал взаимодействия определяется интегралом перекрытия двух пучков, и взаимодействие проявляет характер притяжения. В общем случае взаимодействие приводит к взаимному искривлению пучков. Если падающие на границу нелинейной среды пучки лежат в одной плоскости (компланарны), происходит "центральное столкновение" пространственных солитонов, при
этом траектории центров пучков остаются в одной плоскости. При нецентральном столкновении, когда падающие пучки некомпланарны, при определенных условиях происходит взаимный захват с образованием связанного состояния. Связанное состояние характеризуется вращением пучков по мере распространения вглубь нелинейной среды. Скорость такого вращения изменяется периодически, поэтому параметры образуемой пучками спиралеподобной структуры (шаг и диаметр) также изменяются периодически. Для случая равных мощностей пучков найдено аналитическое решение системы вариационных уравнений. Численное решение уравнений для радиусов пучков, расстояния между их центрами и угла вращения показало, что если мощности пучков меньше критической мощности самофокусировки, можно выбрать параметры пучков, когда дифракционное расплывание является более медленным процессом по сравнению с формированием спирали. Если мощность хотя бы одного пучка превышает критическую, решения ограничены коллапсом. Найден класс решений, содержащий конечное число осцилляции, и как следствие, конечное число оборотов пучков на конечных расстояниях.
В третьей главе изучается потенциал взаимодействия оптических пучков в "приближении эффективной частицы" в рамках бимодальной модели, описываемой системой нелинейных уравнений Шредингера с учетом эффектов само- и кросс-модуляции пятого порядка. Получены аналитические выражения для асимптот потенциалов взаимодействия, которые определяются интегралом перекрытия пространственных солитонов. В отличие от известных результатов для одномодовых систем, потенциал не зависит от разности фаз взаимодействующих волн, и связанные состояния в бимодальной системе являются устойчивыми. Учет кросс-модуляции пятого порядка приводит к малой поправке для достаточно удаленных пучков.
Известно, что в среде с нелинейностью третьего и пятого порядков пучки с кольцевым распределением поля, так называемые вихри, проявляют устойчивость к поперечным возмущениям. Изучение потенциала взаи-
модействия вихря с пучком основной моды показало, что положение устойчивой точки покоя системы, то есть минимума потенциала, зависит от отношения радиусов солитонов и качественно отличается в случаях, когда ширина вихря меньше (больше) ширины пучка. Обсуждается влияние фазовой кросс-модуляции, проявляемое при сильном перекрытии солитонов.
Исследованы пространственно- временные солитоны в среде с нелинейностью третьего и пятого порядка, определены основные характеристики световой пули: пороговая энергия образования пули, область существования и устойчивости. Изучается потенциал взаимодействия двух световых пуль, приводится аналитическое выражение для асимптоты. Для некомпланарно направленных солитонов эффективный потенциал взаимодействия должен быть дополнен центробежной энергией Е4-{М212т)Вгг,
где М это орбитальный угловой момент солитонной пары, т - эффективная масса солитонов. Сохранение углового момента показано как следствие инвариантности квазиоптического волнового уравнения к преобразованию поворота в поперечной плоскости. Получено выражение для орбитального момента двух световых пуль. При заданных направлениях падения пуль, величина и направление момента определяется временной задержкой в следовании импульсов. Предлагается использовать этот параметр для организации сверхбыстрого переключения в объемной среде.
В четвертой главе представлены результаты исследования пространственно- временных светлых солитонов с кольцевым распределением интенсивности (спин-солитон) в оптической среде с нелинейным откликом третьего и пятого порядков. Применялся вариационный метод с использованием двух различных пробных функций. Сравнение численных результатов позволило получить приближенное решение и основные характеристики спин-солитона, при этом решение определяется величиной спина и не зависит от его направления. Найдено, что пороговая энергия образования спин-солитона превышает соответствующую величину для световой пули без спина в несколько раз. Определены границы существования и ус-
тойчивости спин-солитона, показана слабая зависимость этих величин от спина. Обсуждаются возможности экспериментального наблюдения спин-солитонов.
Изучается когерентное взаимодействие соосных спин-солитонов в рамках одномодовой системы. Вычисление эффективного потенциала взаимодействия показало значительное отличие двух случаев: случая одинаковых спиновых моментов и случая антипараллельных спинов. При взаимодействии световых пуль с противоположно направленными спинами потенциал не зависит от разности фаз солитонов и совпадает с потенциалом взаимодействия волн с круговыми ортогональными поляризациями. Если спины параллельны, потенциал взаимодействия является функцией расстояния (временной задержки) между солитонами R и разности фаз ф. Параметрическая зависимость потенциала от энергии отдельного солитона приводит к тому, что число и характер равновесных точек определяется энергией взаимодействующих солитонов. Показано, что связанное состояние существует только в случае антипараллельных спинов. Обсуждаются перспективы применения эффекта.
В заключении сформулированы основные результаты работы и намечены пути дальнейшего развития темы.
К защите представляются следующие положения:
Установлено, что некомпланарно направленные световые пучки, взаимодействующие посредством эффекта фазовой кросс-модуляции, могут образовать пространственную структуру, подобную двойной спирали. Параметры спирали изменяются периодически, но в целом структура является квазипериодической.
Показано, что для достаточно удаленных многомерных оптических солитонов в бимодальной системе можно пренебречь кросс-модуляцией пятого порядка, и взаимодействие имеет характер притяжения. Связанные состояния в бимодальной системе являются устойчивыми.
Найдено, что в среде с нелинейностью третьего и пятого порядков возможно образование устойчивых световых пуль основной моды, если энергия поля превышает пороговую величину. Взаимодействие световых пуль может приводить к взаимному захвату, при этом временная задержка в следовании импульсов определяет параметры образующейся структуры.
Установлено, что пространственно- временные солитоны с кольцевым распределением поля могут быть устойчивыми в среде с нелинейностью третьего и пятого порядков. Пороговая энергия образования спин-солитона превышает аналогичную величину для солитона без спина приблизительно в четыре раза, но границы устойчивости и существования мало зависят от спина.
Показано, что когерентное взаимодействие соосных спин-солитонов определяется взаимной ориентацией спиновых моментов. Солитоны с разными спинами взаимодействуют аналогично полям с ортогональными круговыми поляризациями. Если спины солитонов параллельны, взаимодействие зависит от разности фаз, и все точки покоя системы являются неустойчивыми.
Результаты диссертации докладывались на Международной конференции молодых ученых и специалистов "Оптика-99" (С- Петербург, 1999); на VIII Международных Чтениях по Квантовой Оптике (Казань, 1999); на Научных сессиях МИФИ-99 (Москва, 1999) и МИФИ-2000 (Москва, 2000). По теме диссертации было опубликовано 8 печатных работ [147-154].
Оптические солитоны размерности (1+1): импульсы в волоконных световодах и щелевые пучки
В начале 70-х годов с появлением стеклянных волоконных световодов с низкими потерями возникло новое направление нелинейной оптики -нелинейная волоконная оптика [6]. Первые нелинейные явления (вынужденное комбинационное рассеяние и рассеяние Мандельштама - Бриллю-эна) были экспериментально и теоретически исследованы в одномодовых волоконных световодах в 1972 г. Эти работы стимулировали изучение других нелинейных явлений: оптически индуцированного двулучепрелом-ления, параметрического четырехфотонного смешения, фазовой автомодуляции.
Важный результат был получен в 1973 г., когда было теоретически показано, что в оптических волокнах могут существовать солитоноподоб-ные импульсы, которые являются результатом совместного действия эффектов дисперсии и нелинейности [7]. Позже оптические солитоны наблюдались в эксперименте [8]. Сам термин "солитон" относится к специальному типу волновых пакетов, которые могут распространятся на значительные расстояния без искажения своей формы. Именно это свойство фундаментальных солитонов делает их привлекательными для передачи информации в системах оптической связи [7].
Прогресс в развитии нелинейных волн, приведший солитоны в один ряд с гармоническими волнами линейной теории, связан с выдающимся открытием в математической физике этого века - методом обратной задачи рассеяния (ОЗР) или методом обратных спектральных преобразований. Этот метод был открыт Гарднером и др. [9], Захаров и Шабат [10] использовали его для решения Нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) размерности (1+1). Сейчас уже существует несколько хороших книг и обзоров, посвященных методу ОЗР и солитонам [11-18]. В то же время большинство реальных процессов в физике описывается не вполне интегрируемыми уравнениями, которые по этой причине не обладают солитон-ными решениями. Для исследования поведения уединенных волн в системе, близкой к вполне интегрируемой, разработаны приближенные методы, позволяющие учитывать влияние различных поправок, например, поглощения, усиления, дисперсии или нелинейностей высших порядков. Основными приближенными методами являются теория возмущений [18,19], вариационный подход [19-22] и метод моментов [25].
Чтобы использовать солитоны в высокоскоростных линиях связи, нужно учитывать эффекты, способные наложить ограничения на конструкцию подобных систем. Наиболее важными из них являются: 1) потери в световоде, 2) наличие частотной модуляции в начальном импульсе, 3) взаимодействие соседних импульсов [6]. Влияние поглощения на эволюцию солитона исследовалось методом теории возмущения [23,24], методом моментов [25,26] и численно [27,28]. Пиковая мощность импульса экспоненциально убывает по длине световода из-за потерь, в результате длительность фундаментального солитона возрастает при распространении. Похожее поведение наблюдается у солитонов высших порядков, но их длительность претерпевает несколько колебаний, прежде, чем начинает монотонно расти. Для того, чтобы избежать эффектов, связанных с потерями в световоде, необходимо периодически усиливать солитоны и восстанавливать их первоначальную форму. В реальных системах наиболее перспективна схема, использующая ВКР- накачку [6]. Частотная модуляция начального импульса может оказаться вредной, так как накладываясь на частотную модуляцию, обусловленную фазовой автомодуляцией, она может нарушить точный баланс между дисперсионными и нелинейными эффектами, необходимый для существования солитона [29-31]. Солитон может разрушиться, если частотная модуляция превышает некоторую критическую величину. Критическое значение зависит от энергии импульса и вида фазового коэффициента [31].
Та же самая нелинейность, которая необходима для существования одного солитона, приводит к взаимодействию между соседними солито-нами [32-42]. Когерентное взаимодействие зависит не только от расстояния между солитонами и разности фаз, но и от относительной амплитуды солитонов [34,39]. При значительной разнице в амплитудах солитонов, происходит как бы независимое прохождение одного солитона через другой. Если амплитуды сталкивающихся солитонов близки, их полного перекрытия не происходит, а процесс напоминает упругое столкновение двух частиц одинаковой массы, при котором частицы обмениваются скоростями. Исследования взаимодействия одинаковых солитонов [32-34,39] показывают возможность взаимного захвата солитонов в связанное состояние, когда расстояние между солитонами изменяется периодически вдоль световода. Разработаны приближенные методы изучения взаимодействия солитонов, использующие такие свойства уединённых волн, напоминающие свойства частиц [32,33]. Предлагается формулировка классической механики для солитонов [33]. Отдельный интерес приобретает в последнее время задача об образовании и устойчивости связанных состояний как светлых [40,41], так и темных одномерных солитонов [42].
В конце 80-х годов большое внимание исследователей привлекла фазовая кросс-модуляция (ФКМ), возникающая, когда два импульса с разными несущими частотами или разными состояниями поляризации совместно и одновременно распространяются в волоконном световоде [43-59]. Кросс- модуляцией называется влияние одной волны на другую через диэлектрическую проницаемость. ФКМ всегда сопровождается автомодуляцией и возникает из-за того, что эффективный показатель преломления какой-либо волны зависит не только от интенсивности самой этой волны, но и от интенсивности других волн, распространяющихся с ней совместно [3,4]. Такое взаимодействие отличается от взаимодействия солитонов в одномодовых волоконных световодах, которое зависит от относительной фазы солитонов и может быть как притягивающим, так и отталкивающим. В дальнейшем для волн, взаимодействующих из-за кросс- модуляции показателя преломления удобно применять название "бимодальная система", показывающее отличие от когерентного взаимодействия, рассмотренного выше, когда волны принадлежат одной моде. Эволюция волн в бимодальной системе описывается системой нелинейных квазиоптических уравнений. При этом отличие взаимодействия волн с разными несущими частотами, но с одинаковым состоянием поляризации, от взаимодействия ортогонально поляризованных волн проявляется в величине коэффициента ФКМ [6,43]. Например, влияние ФКМ составляет 2/3 от влияния автомодуляции для линейно поляризованных волн [50,53]; равно по величине для волн с круговыми ортогональными поляризациями [47]; и в два раза выше для волн с разными частотами [44].
Гамильтониан системы: симметрия и интегралы движения
Интерес к оптическим пространственно - временным солитонам, или так называемым световым пулям (СП), возник давно [72-75], но новый толчок эти исследования получили лишь в последнее десятилетие [125-129], что связано, видимо, с успехами в генерации ультракоротких импульсов [72]. Ожидается, что СП станут новым фундаментальным физическим объектом, имеющим перспективу применения для построения полностью оптических сверхбыстрых переключателей в объемной среде [130-133]. Теоретически изучаются различные эффекты, возникающие при взаимодействии оптических пуль, такие как рассеяние, слияние, отталкивание и спиралинг [95,130-133,137].
Изучение нелинейного волнового уравнения размерности (3+1) началось почти 30 лет назад [74,75]. При распространении короткого импульса в объемной среде нужно учитывать как эффекты дисперсии, определяющие временную огибающую импульса, так и дифракцию излучения, изменяющую поперечное пространственное распределение поля. Пространственно- временная аналогия, обсужденная в первом разделе этой главы, позволяет сделать заключение об эквивалентности действия этих эффектов. Теоретически это означает, что, например, распространение щелевого пучка и импульса в волокне (солитоны размерности (1+1)) описываются одним и тем же уравнением (НУШ для керровской среды), в котором пространственная переменная для пучка имеет смысл сопутствующего времени для импульса. Таким образом, распространение световой пули описывается волновым уравнением размерности (3+1), в котором роль третьей пространственной переменной играет сопутствующее время [72]. По указанной аналогии учет зависимости от этой переменной означает учет эффектов дисперсии групповых скоростей.
В объемной нелинейной среде, по аналогии с более низкой размерностью, действие нелинейности будет конкурировать с действием дифракции и аномальной дисперсии (известно, что светлые солитоны не существуют в средах с нормальной дисперсией). Предположим, что действие нелинейной рефракции (самофокусировки) и дифракции компенсированы, и, одновременно с этим, могут быть компенсированы действия нелинейного самосжатия и дисперсионного расплывания. Тогда, в случае точного баланса этих эффектов, в керровской среде можно ожидать стабилизацию огибающей, другими словами, формирование пространственно- временного оптического солитона. Известно, однако, что в керровской среде такой баланс является неустойчивым, и это приводит к коллапсу пространственного солитона, если его мощность превышает критическую величину. В объемной среде происходит одновременный коллапс пространственной и временной огибающей, если энергия импульса превышает критическую величину [72]. Этот эффект предлагается использовать для получения сверхкоротких импульсов с экстремально высокими пиковыми интенсивностями. Таким образом, в керровской среде световые пули существуют формально, как стационарные решения НУШ, но являются полностью неустойчивыми (в пространстве и во времени), что делает невозможным их экспериментальное наблюдение. Для среды с насыщением были получены стационарные решения, в виде полностью локализованных в объемной среде уединенных волн [74], имеющие колоколообразную огибающую (основная мода), и огибающие в виде нескольких сферических оболочек с убывающей амплитудой (высшие моды). Исследована устойчивость световой пули основной моды и получен аналитический критерий устойчивости [75]. Показано, что для формирования световой пули энергия импульса должна превышать пороговую величину.
Позже, с появлением вычислительных возможностей, достаточных для решения четырехмерных задач (суперкомпьютеров), исследования световых пуль в среде с насыщением получили новое развитие [130-134]. В настоящее время создана страница в Интернете, посвященная световым пулям [141], где можно ознакомиться с результатами численного моделирования различных взаимодействий световых пуль. При этом использование анимации является более информативным, так как позволяет наблюдать движение и взаимодействие пуль в "реальном" времени.
Замечательным свойством световых пуль в среде с насыщением является их устойчивость, проявляемая при взаимодействиях [130]. Авторы численного моделирования называют поведение сталкивающихся световых пуль похожим на поведение бильярдных шаров, так как взаимодействие является почти упругим. Проведен анализ данных рассеяния двух световых пуль в виде зависимости асимптотического угла рассеяния от прицельного параметра. Сравнение с формулой упругого рассеяния классической частицы на центральном потенциале [124] позволила определить эффективный потенциал взаимодействия двух световых пуль. Оказалось, что эффективный потенциал совпадает с потенциалом, который можно получить аналитически, учитывая лишь взаимодействие хвостов солитонов [95]. Таким образом, взаимодействие двух оптических пуль можно изучать в рамках наиболее простого метода - приближении эффективной частицы [32,33]. Общефизический интерес представляет тот факт, что световые пули проявляют свойства, аналогичные свойствам классических частиц.
Световые пули в квадратичной среде так же являются предметом изучения многих авторов [73,79,80,127,128]. Совсем недавно эти исследования привели к экспериментальному наблюдению световой пули [79,80]. Фактически, наблюдаемый объект был почти двумерной пулей, так как размер ЫЮз оптического кристалла был порядка одного сантиметра. Однако полученные результаты позволяют надеяться на получение в обозримом будущем полностью локализованных в объемной среде импульсов света.
Следующим шагом в изучении световых пуль может стать исследование высших мод [136,138-142]. Применение критерия устойчивости соли-тона основной моды для этих целей бывает недостаточным [138], поэтому необходимо численное исследование [136,142]. В средах с насыщением и с квадратичной нелинейностью вихри являются неустойчивыми [139,140], поэтому устойчивость световых пуль высших мод представляется сомнительной. Численные исследования показали [136], что высшие моды являются неустойчивыми: при разрушении такой уединенной волны энергия не рассеивается, но подобно двумерному случаю, образуются локализованные структуры различной формы; некоторые из этих "осколков" могут быть самостоятельными пулями основной моды.
Потенциал взаимодействия пространственных солитонов
Такой подход позволяет разделить исследование сложной системы на два последовательных, более простых шага. Сначала изучается консервативная система с двумя степенями свободы с гамильтонианом D (2.44.6), что позволяет определить форму траекторий движения в координатном пространстве (0, р). Затем характер движения корректируется с учетом свойств времени r{t) и амплитуды r(t).
Выше отмечено, что при равных мощностях пучков система интегрируема. Этот факт будет наглядно продемонстрирован с помощью разделения переменных в гамильтониане D. Но приведенные рассуждения показывают сложность аналитического исследования, к тому же для оценок, как и в предыдущем разделе, необходимо численное интегрирование квадратурных формул. Поэтому и в случае полной интегрируемости для получения решений использовалось численное решение уравнений (2.32)-(2.35). Применялся метод Рунге- Кутта четвертого порядка с постоянным шагом. Контроль над точностью вычислений осуществлялся по сохранению энергии (2.36) и отклонению от известной функции (2.41).
Как уже отмечалось, удобно сначала изучить более простой случай пучков с равными мощностями. Положим 6Х = 52 - 8. Тогда переменные в гамильтониане D разделяются, и уравнения движения можно представить в виде: позволяющем применять к ним формализм одномерного движения.
Заметим, что возмущение входит в уравнение для в, но не затрагивает q . Полярный угол ф определяет различие между радиусами хиу, поэтому, в силу симметрии, взаимодействие не влияет на эту степень свободы. Как уже отмечалось, и в случае равных мощностей, искажения, вносимые взаимодействием в поведение радиусов, будут индивидуальными, но только при различных граничных условиях. Если, при Sl-62, на границе задать равными радиусы и их производные, то радиусы будут тождественно равны. Эти условия определяют область применимости результатов, полученных для модели с одинаковыми радиусами пучков.
Уравнения (2.47) можно рассматривать как уравнения одномерных движений в соответствующих потенциалах: ак можно определить пределы изменения переменных и период в случае финитных движений (когда предельные значения 0 и nil не достигаются ни при каких г). Наиболее простым для изучения является случай 5 -1, когда мощности пучков равны критической мощности самофокусировки. Тогда Л = 0, и сохраняется величина р9 = sigr pJs ))$Xp, что и означает сохранение проекции момента частицы на ось z. Потенциал П( р)=о, и любое движение в таком потенциале приведёт к достижению переменной ip предельной величины 0 либо /г/2, что в соответствии с (2.42) означает обращение в ноль радиуса одного или другого пучка. Здесь не происходит коллапс, так как производные не обращаются в бесконечность, а ситуация аналогична случаю самовоздействия. В вариационном приближении, используемом в данной работе, солитонный режим распространения пучка света требует выполнения двух условий: равенства мощности пучка критической величине самофокусировки и равенства нулю производной радиуса. Если производная не равна нулю, то в соответствии с уравнением (2.32) (либо (2.33)) при є = 0 радиус пучка изменяется линейно по t. Аналогично, необходимым условием периодического движения в данной системе является равенство нулю р9 (проекции момента частицы на ось г). Формулируя граничные условия для численного решения уравнений, сказанное можно записать в виде: х0у 0 =у0х .
Рассмотрим свойства потенциала п(#). Так как Л3 0, потенциал обращается В ПЛЮС потенциал представляет собой бесконечно глубокую яму, а возмущение деформирует дно ямы, сужая её. Если период движения в этой яме будет значительно меньше времени гр обращения в ноль радиуса одного из пучков, то принципиально возможно наблюдение осцилляции.
Здесь необходимо рассмотреть свойства времени г. При Е 0, в соответствии с (2.45), т изменяется в пределах от нуля до асимптотической величины г = r(oo). При выполнении необходимых условий наблюдаемости осцилляции, достаточным условием будет значительное превышение г над периодом. Далее, в случаях E = 0,Pl 0 r(t) возрастает логарифмически, либо линейно по t. В случаях Е = 0,Р1 0 и 0, на конечном расстоянии tk, определяемом из условия г(tk) = О, т обращается в бесконечность.
На Рис.2.1 и 2.2 приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующие обсуждённые случаи. Качественно динамика определяется соотношением между характерными временами, в общем случае таких величин три: время обращения в ноль радиуса одного из пучков rv, период осцилляции тв, и предельное время тгтх. Характер динамики определяет наименьшая из этих величин. На Рис.2.1 показана ситуация, когда один из пучков имеет внешнюю фокусировку и время xv xB, то есть пучок фокусируется до развития осцилляции. Выше сказано, что вклад взаимодействия в потенциал Тї(в) проявляется в сужении ямы вблизи дна. Такое изменение приводит к уменьшению периода колебаний, и как показано на Рис.2.2, наблюдение нескольких осцилляции возможно, когда период хв меньше времён тр и r .
Взаимодействие спин-солитонов в бимодальной системе
Большая часть известных исследований взаимодействия оптических пучков в нелинейной среде проводилась в рамках одномодовой системы, когда взаимодействующие поля имеют одинаковые частоты и состояния поляризации [94-98,100-102]. Теоретически это соответствует поиску решений нелинейного волнового уравнения в виде суммы двух полей с согласованными фазами. В этом случае характер взаимодействия (притяжение либо отталкивание) определяется разностью фаз взаимодействующих волн. Синфазные волны интерферируют с увеличением интенсивности в области, разделяющей солитоны, что приводит к их взаимному притяжению. При распространении такой когерентной солитонной пары разность фаз будет изменяться и на некотором расстоянии волны окажутся в проти-вофазе. Таким образом, характер взаимодействия проявляет неустойчивость. Теоретические исследования спиралинга в одномодовой системе показывают [95,97], что зависимость взаимодействия от фаз волн приводит к неустойчивости связанного состояния.
Другой подход к изучению эффекта заключается в том, чтобы рассматривать взаимодействие некогерентных волн, принадлежащих разным модам. Причиной взаимодействия является эффект фазовой кросс-модуляции, а примером таких бимодальных систем служат волны с ортогональными поляризациями или волны с разными частотами несущей. Недавнее экспериментальное наблюдение спиралинга некогерентных солито-нов в фоторефрактивной среде показало возможность образования устойчивого связанного состояния в такой системе [99].
Выше отмечалось, что необходимым условием стабильности связанного состояния является устойчивость пространственных солитонов к поперечным возмущениям. Одним из эффектов, ограничивающих коллапс в керровской среде, является насыщение нелинейности. В наиболее общем виде нелинейная добавка к показателю преломления, обусловленная эф фектом насыщения, имеет вид: пп1«—-—, где ns - насыщенный керров ский коэффициент, /, - интенсивность насыщения, I-\i\ - интенсивность света. Для интенсивностей, много меньших интенсивности насыщения: IIIS«\, проявляется керровская нелинейность: nnl nsI, при увеличении интенсивности следует учитывать следующие члены в разложении пп1 по полю и. Тогда показатель преломления можно представить в виде: здесь п2 « ns, Щ и ns lls . Такой нелинейный отклик недавно обнаружили у некоторых органических веществ [114], что стимулировало интерес исследователей к этой модели среды [118-120], более простой, чем модель среды с насыщением. Распространение световой волны в среде с фокусирующей керровской и дефокусирующей нелинейностью пятого порядка описывается нелинейным параболическим уравнением здесь А = д2/дх2 + д2/ду2 - оператор Лапласа, и- медленная огибающая световой волны. Гамильтониан системы, соответствующий уравнению (3.2) имеет вид: Эффективный потенциал взаимодействия солитонов, полученный в [95] применим для широкого класса моделей, включая (3.2). Однако, он не применим для бимодальной системы, описываемой двумя уравнениями с некогерентной нелинейной связью между модами. Простое обобщение модели с гамильтонианом (3.3) на векторный (бимодальный) случай состоит в том, что гамильтониан системы является суммой гамильтонианов отдельных солитонов и потенциала взаимодействия: здесь Hv так же задан в виде (3.3). Потенциал взаимодействия имеет вид: где коэффициенты а и /? положительны. Для волн с круговыми ортогональными поляризациями эти коэффициенты известны и равны а=1 и /3=Ъ [133]. Полный гамильтониан (3.4) соответствует следующей системе уравнений для медленных огибающих двух волн и и v : здесь удобно оказалось выделить фокусирующую и дефокусирующую нелинейности. Как и для одномодовых систем, взаимодействие двух солитонов, принадлежащих разным модам зависит от расстояния между ними, но в отличие от одномодовых систем, не зависит от фаз взаимодействующих волн. Взаимодействие пространственных солитонов, принадлежащих одной моде, является почти упругим, как показано в [118]. Такое предположение является основанием для постановки задачи о нецентральном соударении многомерных солитонов в максимально простой форме. Солитонные радиально симметричные решения для невозмущенного гамильтониана (3.3) ищутся в виде: где (p, p) -это полярные координаты в поперечной плоскости, кп - постоянная распространения, параметризующая семейство солитонных решений, и тп - так называемый топологический индекс (заряд) солитона, равный О или ±1 для пучка и вихря соответственно. Тогда функции V„(r) удовлетворяют действительным уравнениям.
