Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Нелинейные электромагнитные волны 8
1.1 Нелинейные уравнения и уединенные волны 8
1.2 Трехмерные стационарное и нестационарное НУШ в электромагнитных системах 12
1.3 Механизмы возникновения нелинейной зависимости показателя преломления от напряженности электрического поля 13
1.4 Одномерное НУШ 16
Глава 2 Трехмерное НУШ с неполным оператором Лапласа 19
2.1 Точные решения стационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности 19
2.2 Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности 29
2.3 Точные решения стационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Отрицательный коэффициент нелинейности 34
2.4 Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Отрицательный коэффициент нелинейности 41
2.5 Решения НУШ с помощью особых'интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Асимптотические и численные решения 43
Глава 3 Трехмерное НУШ с полным оператором Лапласа 52
3.1 Стационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности 52
3.2 Нестационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности 56
3.3 Нестационарные решения с отрицательным коэффициентом нелинейности 60
3.4 Стационарные решения с отрицательным коэффициентом нелинейности 61
3.5 Асимптотические решения НУШ с полным оператором Лапласа 62
Глава 4 Нелинейное волновое уравнение для оптического излучения 67
4.1 Решения нелинейного волнового уравнения с положительным коэффициентом нелинейности 67
4.2 Решения нелинейного волнового уравнения с отрицательным коэффициентом нелинейности 76
4.3 Стационарные решения нелинейного волнового уравнения 77
Заключение 82
Список литературы 83
- Механизмы возникновения нелинейной зависимости показателя преломления от напряженности электрического поля
- Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности
- Нестационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности
- Решения нелинейного волнового уравнения с отрицательным коэффициентом нелинейности
Введение к работе
Актуальность темы. Практически всякие колебания и волны модулированы - амплитуда, фаза, частота и даже форма огибающей могут медленно меняться. Модуляция может быть связана с воздействием внешних сил или полей, а может возникать в результате развития разного рода неустойчиво-стей. Поскольку только модулированные волны могут переносить информацию, теория распространения таких волн имеет важное прикладное значение. Основным уравнением теории модулированных волн является так называемое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). НУШ описывает распространение нелинейных ленгмюровских волн, волн на глубокой воде; волны в линиях передачи, акустические волны в жидкостях с пузырьками и, прежде всего, распространение оптического излучения в нелинейных средах. Последний класс приложений стал особенно актуальным с развитием лазерных технологий, поскольку интенсивность лазерного излучения обычно настолько велика, что возникает необходимость учитывать нелинейную часть восприимчивости среды. Кроме того, в последнее время возрос интерес к исследованию распространения электромагнитных волн в пространственно-неоднородных средах с высокой эффективностью нелинейных преобразований (гигантские нелинейности), таких как допированные оптические волокна и нематические жидкие кристаллы с добавлением примесей.
Более общей моделью, чем НУШ, описывающей распространение электромагнитных волн в нелинейных средах, является нелинейное волновое уравнение. Нелинейные явления и эффекты, связанные с модуляцией волн, очень разнообразны. Это - самофокусировка волновых пучков, самосжатие волновых пакетов, обращение волнового фронта и другие. К настоящему времени подробно разработана двумерная теория таких уравнений. Она основана на методе обратной задачи теории рассеяния (МОЗР). Однако трехмерные НУШ и нелинейное волновое уравнение не обладают свойством Пенлеве и не могут быть решены с использованием МОЗР, в то время как большинство
реальных систем требуют описания в трех пространственных измерениях. Но, на сегодняшний день не существует ни одного систематического метода нахождения трехмерных решений. Единичные точные трехмерные решения некоторых сложных систем получены лишь благодаря изощренным приемам, приводящим к упрощению полевых уравнений, только для данных систем. Для подавляющего большинства реальных моделей приходится изучать общие свойства решений, не решая полевых уравнений.
В силу сказанного, актуальной является задача описания эволюции электромагнитного поля большой интенсивности в нелинейных средах в трехмерном пространстве.
Цель работы. Определение трехмерной структуры линейно поляризованного оптического поля в диспергирующих средах с кубической нелинейностью.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Провести аналитическое описание стационарного и нестационарного
оптического поля в трех пространственных переменных на основе НУШ и не
линейного волнового уравнения с кубической нелинейностью.
Получить точные аналитические решения НУШ для линейно поляризованного оптического поля в однородном изотропном диэлектрике для стационарного и нестационарного случаев
Получить точные аналитические решения нелинейного волнового уравнения, описывающего распространение линейно поляризованного оптического излучения в однородном изотропном диэлектрике.
Для решения поставленных задач свести задачу о решении НУШ и нелинейного волнового уравнения к решению двух уравнений, одно из которых будет линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка и найти его полные или особые интегралы. Свести оставшееся нелинейное уравнение в частных производных второго порядка к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка.
Достоверность полученных результатов базируется на обоснованности принятых в оптике физических и математических моделей и подтверждается сравнением с опубликованными теоретическими результатами, которые могут быть получены предельным переходом из результатов, полученных автором.
Научная новизна работы.
В работе получены и проанализированы точные и асимптотические трехмерные решения НУШ, описывающие стационарное оптическое поле, а также точные и асимптотические решения типа бегущей линейно поляризованной волны, описывающие нестационарное оптическое поле для положительного и отрицательного коэффициентов нелинейности.
Получены и проанализированы точные трехмерные решения нелинейного волнового уравнения, описывающие стационарное оптическое поле, а также точные решения типа бегущей волны, описывающие нестационарное оптическое поле для положительного и отрицательного коэффициентов нелинейности.
Предложен метод решения НУШ и нелинейного волнового уравнения с помощью полных и особых интегралов линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка.
Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации результатов экспериментальных и численных исследований распространения оптического излучения большой амплитуды в нелинейных средах и устройствах, где эти среды являются рабочими телами. Разработанная техника решения может применяться для других уравнений в различных областях физики и других областей знания.
На защиту выносятся:
1. Полученные точные и асимптотические решения нелинейного уравнения Шредингера для трехмерного линейно поляризованного оптического поля в идеальном немагнитном и однородном диэлектрике.
Полученные точные решения трехмерного нелинейного волнового уравнения для линейно поляризованного излучения в идеальном немагнитном и однородном диэлектрике с кубической нелинейностью.
Метод получения трехмерных точных аналитических решений НУШ и нелинейного волнового уравнения с помощью полных и особых интегралов линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на региональной научной конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века» (Самара, 2005г.), научных семинарах кафедры прикладной математики Самарского государственного аэрокосмического университета (СГАУ), а также совместном семинаре кафедры прикладной математики СГАУ и Института систем обработки изображений РАН.
Публикации. По результатам исследований опубликовано 5 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников литературы, включающего 164 наименования. Общий объем диссертации - 97 страниц текста (в том числе 12 рисунков).
В первой главе кратко описана история развития теории уединенных волн и её приложений. Выбрана математическая модель для дальнейшего исследования в виде известного нелинейного уравнения Шредингера
приближенно описывающего распространение линейно поляризованного вдоль оси і оптического излучения в нелинейной среде. Здесь Ео (г, t) - комплексная огибающая, т](со) - коэффициент нелинейности среды, к0 - модуль волнового вектора к0, направленного вдоль оси х, 0) - циклическая часто-
та несущей волны, и - групповая скорость \lu = dk01dco. Таким образом, электрическое поле волны представлено в виде Е = 0е'(*0*~й*).
Приведены известные двумерные стационарные решения для выбранной модели.
Во второй главе найдены стационарные и нестационарные точные трехмерные решения исходной математической модели. Показано, что стационарные решения при переходе к низшей размерности пространства трансформируются в известные двумерные решения. Получены также асимптотические решения.
В третьей главе рассматриваются уточнённая математическая модель с полным оператором Лапласа. Получены точные трехмерные решения как для стационарного, так и для нестационарного случаев, а также асимптотические решения.
В четвертой главе, исходя из уравнений Максвелла, выведено нелинейное волновое уравнение для огибающей:
с2 ъе
( г\
О -2
С J
\ с at ох )
где а - безразмерный коэффициент (а>1), с - скорость света в вакууме. Найдены его точные трехмерные решения в стационарной и нестационарной форме.
В Заключении перечислены полученные в работе результаты и сформулированы основные выводы.
Механизмы возникновения нелинейной зависимости показателя преломления от напряженности электрического поля
Существует несколько механизмов возникновения нелинейных членов в показателе преломления среды: 1. Ориентационный эффект Керра, отражающий тенденцию анизотропных молекул ориентироваться вдоль направления сильного электрического поля. Диэлектрики начинают вести себя подобно одноосным двупреломляю-щим кристаллам, оптическая ось которых параллельна приложенному электрическому полю. В модели полностью анизотропных молекул для нелинейной части показателя преломления следует выражение: где В - постоянная Керра, приведенная в таблице для некоторых веществ, Для большинства веществ постоянная Керра положительна. Это соответствует анизотропии положительного кристалла. Значительно реже встречаются случаи, когда В 0 (этиловый эфир, многие масла и спирты). 2. Электрострикция, которая относится к эффекту сжатия материала электрическим полем. В изотропных средах, и т. ч. в газах и в жидкостях, электрострикция наблюдается как изменение плотности под действием электрического поля и описывается формулой: где Ар /р - относительная деформация, А - постоянная электрострикции, рав проницаемость. Для органических жидкостей (ксилол, толуол, нитробензол) А 10 . Сжатие, в свою очередь, меняет показатель преломления. Этот эффект обычно преобладает в жидкостях с изотропными молекулами и в газах.
Для твёрдых диэлектриков электрострикция очень мала и не имеет практического значения. 3. Температурная нелинейность. Если вещество поглощает свет, то вещество разогревается и расширяется, что вновь приводит к изменению показателя преломления. Важно отметить, что рассматриваемые эффекты особенно существенны в неоднородных средах с высокой эффективностью нелинейных преобразований (гигантские нелинейности) в условиях реализации многопараметрических дисперсионных соотношений. Речь идет, в частности, о неоднородных резонансных средах с кристаллической и/или аморфной структурой - фотонных кристаллах, специального типа сложно-структурированных полых газозапол-ненных и допированных оптических волокнах и др. На рис. 1 приведена зависимость от частоты нелинейной части показателя преломления и коэффициента поглощения в допированном волокне. Видно, что в такой среде достигаются гигантские значения коэффициентов керровской нелинейности «2 и нелинейного поглощения. Рис. 1 Частотные зависимости нелинейного показателя преломления пги коэффициента нелинейного поглощения cti для пробного импульса света в фотонно-кристаллическом оптическом волокне, допированном атомами 59Рг (0.05at.%) в присутствии излучения накачки с интенсивностью I =478 Вт/см2. с Аналогичные явления наблюдаются в нематических жидких кристаллах с добавлением примесей. Приведем вкратце некоторые известные результаты. Ограничимся одномерным случаем и будем считать, что \Е0\зависит только от одной поперечной координаты у. Тогда (1.2) принимает вид
Решение этого уравнения будем искать в виде где у - малая поправка к волновому вектору ко, F(y) - вещественная функция. Подстановка (1.4) в (1.3) дает Умножая это уравнение на dF/dy и интегрируя, получим Вычисляя интеграл и обращая полученное выражение, находим Решение имеет смысл при положительных значениях у. Окончательно (1.4) принимает вид Таким образом, уравнение (1.2) допускает решение в виде стационарного не расширяющегося пучка (отвлекаясь от того обстоятельства, что пучок имеет бесконечную ширину в направлении оси z). Такое самоканалирование или самофокусировка - специфический нелинейный эффект, возникающий на частоте со первичной волны, проходящей через нелинейную среду. В линейной среде всякий ограниченный по сечению пучок расходится из-за дифракции. В нелинейной же среде дифракция может точно скомпенсироваться фокусирующими свойствами среды. Этот эффект возникает от кубичной нелинейности по полю Е, так как квадратичные члены содержат [160] частоты 2(0 иО.
Обратим внимание на то, что уравнение (1.3) является нелинейным одномерным уравнением Шредингера, в котором роль времени играет х/2к0. Теория нелинейного одномерного уравнения Шредингера детально разработана (см. [153], [155], [156]). Если записать его в форме [156] то решение, представляющее собой уединенную волну, имеет вид [156] (р = ал\— exp j/ -bx-(-b2 - a2 )t 2 I ch a(x - bt). (1.7) где а и b - произвольные константы. Осциллирующая часть имеет огибающую \lcha(x-bt). Если в (1.6) положить ср = Е0, t = х12k0, х = у, (5 = 2ц, то получим уравнение (1.3). Проделав то же с (1.7), находим
Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности
Запишем (2.49) в виде dV( p) p"(s) = дер (2.49) (2.50) где V( p) = и0г+я1+я: 2 2\2 2 , лл0/ т +?: 2І77І Р + щ Уравнение (1.50) имеет несингулярные решения только при 2Кг + я; + ч\ = -а; (2.51) Тогда V{ P) = 2\Щ М (2.52) и (2.49) принимает вид (p\s) = 2\ij\ p\s)-al(p(s). (2.53) Интегрируя (2.50) тем же способом, что и (2.43), получим dep W = s, или, с учетом (2.52) + J 1 е dep = S , Вычисляя интеграл и обращая полученное выражение, имеем \Щ № p = ±JL=th -=s J (2.54) Прямой подстановкой легко убедиться, что (2.54) является решением обыкновенного дифференциального уравнения (2.53). Таким образом, с учетом (2.48), а„ (p(y,z) = ±-1±=th я0 Чу(2-2о)-9г(У-Уо) fifTq и решение (2.45) имеет вид ап Д0 яУ(г-2о)-чг(у-Уо) th ш Е =± exp{i(pc + qyy + q2z)}, где а0 определяется формулой (2.51). Решение, в котором \Е0\ зависит от всех трех пространственных переменных, будем искать в виде E0=f(ry", (2.55) где /(г) - вещественная функция. Подставляя (2.55) в (2.41) и приравнивая к нулю мнимую и вещественную части полученного уравнения, имеем дх - уду KJ = Vk qx+q]+ql)f + W (2.56) (2.57)
Линейное однородное уравнение первого порядка (2.56) имеет своим решением любую дифференцируемую функцию / = f(s(r)), где s(r) полный интеграл уравнения ds Чу ds qz ds . — + —— +—— = 0, дх к0 ду к0 dz который был найден выше: s(r) = У-Уо- ( -х0) \ ( + Ь. z-z0-- -(x-x0) IB. (2.58) Подставляя f = f(s(r)) в (2.57), получим f\s){b) + b2z)/B2 = (2k0qx +q2y+ q2 )f(s) + 2\rj\f3 (s). Полагая константу В равной В = Jb2 +b2 , имеем f\s) = (2k0qx + q2y + q2 )f(s) + 2\V\f (s). Вводя обозначение 2k0qx+q2y+q22=-a20, (2.59) последнее уравнение приводим к виду, r(s) = 2\rj\f(s)-alf(S), совпадающему с (2.53), и, следовательно, имеющему решение согласно (2.54): / = ±- /ф(г), Ш V2 где s(r), с учетом (2.58), имеет вид , х _Ьу[к0(у-у0)-qy(x-х0)]+ bz[k0(z-z0)-qz(x-х0)], (2.60) ко№+Ь2ж Таким образом, решение (2.55) найдено: ,(r) = ±- -rt 5(r)}expfer}, где s(r) и а0 определяются формулами (2.60) и (2.59) (рис. 5,6). Итак, для уравнения (2.41) получены два решения, являющиеся гладкими функциями, амплитудная часть которых представляет собой уединенные вол ны в виде гиперболического тангенса. Отметим, что последняя формула содержит в себе решение (2.44) как частный случай: qy=q,= 0, qx = -\у\. Рис. 5. Е в зависимости от поперечных координат при ко = 1, qx = qy - qz = 0,1, ц = -0,1, by = bz = 1, 0= 0 = 0=0, = 1. Рис. 6. Действительная часть Е0 в зависимости от координат х, у при кп-\, qx = -0,1, , = 0,1, & = 0,15, г/ = -0,\, х0=уо = г0 = 0, z= 10, by = b,= помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Отрицательный коэффициент нелинейности
Рассмотрим теперь нестационарное уравнение (1.1), для случая отрицательного коэффициента т] = -Ы: \ дх и dt + А-#оЧ=о (2.61) Его решение E0(r,t) ищем в виде iqr E0(r,t) = f{r,t)e (2.62) с вещественной функцией f(r,t). Подстановка (2.62) в (2.61) дает 16/ (V \ df df \ ду dz) -(gl+g2Jf-Mf=o. о Т- + Ъ/ + +KJ + i2 \дх и dt у Приравнивая к нулю мнимую и вещественную части этого уравнения, полу чим dt дх kQ ду к0 dz (2.63) (2.64) Линейное однородное уравнение первого порядка (2.63) имеет своим решением любую дифференцируемую функцию / = f(s(r,t)), где s(r,t) полный интеграл уравнения = 0, ds ds Щу ds щг ds dt dx kQ ду к0 dz — + и— + найденный выше и имеющий вид s{r,t) = b{r-r„-vt)IA. (2.65) Здесь v - вектор скорости, имеющий проекции на оси координат: АЩ. (2.66) Подставляя f=f(s) в уравнение (2.64), получаем Г№2, +b;)/A2=(2k0qx+q2y+q2t)f(S) + 2\r1\f(S). Положим A = b2y+b22 . Тогда (2.65) и (2.66) принимают вид s{r,t) = b{r-r0 -У1)ЦЬ]+Ъ], (2.67) f\s) = (2к0дх + q) + q] )f{s) + 2\rj\f (s). Вводя, как и ранее, для краткости обозначение 2k0qx+q2y+ql=-a2o, (2.68) последнее уравнение приводим к виду f\s) = 2\if\s)-a]f{s), совпадающему с (2.53) и имеющему решение, согласно (2.54), в виде гиперболического тангенса: f = ±-=th s(r,t).. p\rj\ V2 или, с учетом (2.67) Окончательно, решение (2.62) принимает вид Е =± ith b(r-r0-vt) Щ щщ На этом завершаем рассмотрение уравнений (1.1) и (1.2), в результате которого были найдены четыре стационарных решения в виде гладких функций для уравнения (1.2) и два нестационарных решения для уравнения (1.1). 2.5 Решение НУШ с помощью особых интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Асимптотические и численные решения В предыдущих параграфах были найдены точные решения нелинейных уравнений исходя из полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка, полученных после отделения мнимых и вещественных частей в комплексных нелинейных уравнениях. В результате были получены нелинейные обыкновенные автономные дифференциальные уравнения второго порядка, которые и давали точные решения. В этой главе вместо полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка будут использованы особые интегралы [161], не содержащие произвольных постоянных hi. Во второй главе после подстановки
Нестационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности
Рассмотрим теперь нестационарное уравнение (3.1), решение которого будем искать в виде Приводя к нулю мнимую и вещественную части этого уравнения, находим Линейное однородное уравнение первого порядка (3.12) имеет своим решением любую дифференцируемую функцию f = f{s(r,t)), где s(r,t) - полный интеграл уравнения которое мы запишем в развернутом виде Введем обозначения Тогда последнее уравнение примет вид Для нахождения его полного интеграла, запишем уравнения характеристик или Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями х(0) = х0, уф) = у0, z(0) = zQ легко интегрируется: Выражаем отсюда начальные координаты: Согласно методу Коши, искомый полный интеграл имеет вид где bi - произвольные постоянные. С учетом предыдущих формул, находим Выбирая аддитивную постоянную Ь0 в виде получаем что удобно записать в векторной форме В силу линейности уравнения (3.15), его решение можно умножить на любой числовой множитель НА. Итак, окончательно, полный интеграл уравнения (3.15) имеет вид где вектор v определяется формулой (3.14).
Подставляя / = f(s(r,t)) в (3.13), имеем Полагая здесь A = Jb] + b2y + b2 =b и, вводя обозначение последнее уравнение приводим к виду совпадающему с уравнением (2.21), и, согласно (2.20), имеющему решение Знак ± учитывает симметрию относительно преобразования / - -/. Таким образом, решение (3.11) имеет вид _ V(2 0g, + ga)/?g cA + ACr- -wVb} 0=± л, у " - —л. (3.18) Амплитудная часть этого решения является уединенной бегущей волной, скорость распространения которой определяется формулой (3.14). Пусть теперь в уравнении (3.1) коэффициент нелинейности отрицателен, т.е. г] = -\т)\ . Тогда уравнение (3.12) остается в силе, а (3.13) принимает вид Полагая в (3.19) / = f(s(r,t)), где s(r,t) определяется согласно (3.16) получим Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет несингулярное решение только,если Тогда последнее уравнение принимает вид следовательно, имеет решение, согласно (2.54): или, с учетом (3.20) и (3.21) Рассмотрим теперь стационарное уравнение (3.2) с отрицательным коэффициентом нелинейности т]= - //. В этом случае уравнение (3.4) остается в силе и имеет своим решением любую дифференцируемую функцию f = f(s(r)), где (s(r) определяется формулой (3.9), а уравнение (3.5) принимает вид Подставляя сюда / = f(s(r)), где получим Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет несингулярное решение только при Тогда последнее уравнение принимает вид что совпадает с (2.53), и имеет решение, согласно (2.54): или Как было показано в разделе 3.2, после подстановки сюда получены трехмерные решения: Как отмечалось в третьей главе, уравнение (1.1) выведено в предположении, что д2Е0 /дх2 много меньше поперечных производных. Вторым существенным приближением является замена второй производной по времени приближенной формулой [160], содержащей только первую производную 8EQI dt. Именно по этой причине принято дисперсионное соотношение согласно линейной теории. Из теории электромагнитного поля хорошо известно, что уравнения Максвелла приводят к волновым уравнениям для полевых функций. В этой главе, отказавшись от отмеченных выше приближений, будет выведено нелинейное волновое уравнение, а также установлено дисперсионное соотношение, соответствующее нелинейной теории. Рассмотрим прохождение интенсивного лазерного луча с частотой а через прозрачный однородный изотропный диэлектрик с плавным распределением центрально-симметричных атомов с плотностью п атомов на кубический сантиметр. Будем исходить из уравнений
Максвелла, исключив из них магнитное поле [160]: Пусть луч распространяется вдоль оси х. Поле Е будем искать в виде произведения быстро осциллирующей функции е ( о -«о и медленно меняющейся функции Е0(г, t), т.е. является малой величиной за счёт производных от медленно меняющейся функции Ео (г, t) и в силу малости коэффициента нелинейности у. Следовательно, из (4.6) имеем divE « 0, т.е. поле остается поперечным, как в линейной теории. Далее а, также Тогда (4.4) примет вид а д2Е с2 dt2 л (аа dEt 2\ дЕп где q (r,t)- вещественная функция, q - малая поправка к волновому вектору ко = {к0,0,0). Подставляя (4.9) в (4.8) и приравнивая к нулю мнимую и вещественную части полученного уравнения, находим Напомним, что уравнения (4.10) и (4.11) совместны, так как (4.10) является линейным однородным уравнением первого порядка. Как известно [161] из теории таких уравнений, решением уравнения (4.10) является любая дифференцируемая функция (p = (p{s), где s(r, і) - полный интеграл уравнения (4.10), если в нем (р заменить на s.
Решения нелинейного волнового уравнения с отрицательным коэффициентом нелинейности
Для отрицательного коэффициента нелинейности 7 = - ) уравнение (4.10) остается в силе и, следовательно, имеет решение (p = p(s(r,t)), где s(r,t) определяется формулой (4.20), а уравнение (4.11), после подстановки в него (р = (p(s(r,t)), сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению Это уравнение имеет несингулярное решение только при Вводя обозначение приводим (4.26) к виду совпадающему с (2.53), и, согласно (2.54), имеющему решение Теперь рассмотрим стационарные решения уравнения (4.8). В этом случае (4.10) и (4.11) принимают вид: где а2 выражается формулой (4.19). Полагая в (4.30) (р = p(s), получим в случае rj О найдено трехмерное решение В случае t] О решение имеет вид Таким образом, в работе получены следующие основные результаты: 1.
Проведено описание трехмерных модулированных электромагнитных волн на основе нелинейного уравнения Шредингера с полным и неполным операторами Лапласа. Разработан прямой метод решения модельных эволюционных уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера и волнового уравнения с кубическим типом нелинейности. 2. Найдены точные решения нелинейного уравнения Шредингера в виде гладких стационарных и нестационарных функций, содержащих полные интегралы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка. 3. Получено нелинейное волновое уравнение с кубическим типом нелинейности, описывающее распространение оптического излучения в нелинейном однородном изотропном диэлектрике, и найдены его точные аналитические решения для стационарного и нестационарного случаев. 4. Показано, что использование особого интеграла линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка приводит к неавтономному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, для которого найдены асимптотические и численные решения. 1. Алгтенков И.В.
Точные решения некоторых уравнений нелинейной оптики // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2005. -Т.8.- №1.- с. 69-76. 2. Алгтенков И.В. Точно решаемые математические модели в нелинейной оптике // Компьютерная оптика. - 2005. - № 28 - с. 45 - 54. 3. Алгтенков И.В. Комплексное уравнение Гинзбурга - Ландау и его решения в виде уединенных волн // Тезисы докладов региональной научной конференции «Проблемы фундаментальной физики XXI века». - Самара: «Универс-групп», 2005. - с. 81. 4. Алгтенков ИВ. Нелинейное уравнение Шредингера в трёх пространственных измерениях // Компьютерная оптика. - 2005. - № 28 - с. 55059. 5. Алгтенков ИВ. Точные решения нелинейного уравнения Шредингера и
