Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Короткие электромагнитные импульсы в нерезонансной нелинейной среде 22
1.1. Обзор основных приближений 23
1.1.1. Приближение медленно меняющихся амплитуд 23
1.1.2. Приближение однонаправленного распространения 24
1.1.3. Ангармонический осциллятор как модель нерезонансной среды 24
1.1.4 Бездиссипативные волновые процессы 25
1.2 Обобщенная модель Максвелла-Дюффинга 26
1.2.1 Редукция волнового уравнения в однонаправленном приближении 27
1.2.2 Уравнения для модели среды с квадратично-кубичной нелинейностью 29
1.3 Лагранжева формулировка редуцированной модели Максвелла-Дюффинга 32
1.4 Аналитические решения в виде уединенных волн 36
1.4.1 Уединенные волны на нулевом фоне 36
1.4.2 Уединенные волны в поляризованной среде 41
1.5. Билинейная форма редуцированных уравнений Максвелла-Дюффинга 44
Заключение 46
Глава 2 Исследование устойчивости стационарных решений численными методами 48
2.1 Модель среды с квадратично-кубичной нелинейностью 48
2.2 Устойчивость стационарных импульсов относительно слабых возмущений 52
2.3 Устойчивость по отношению к сильным возмущениям 55
2.3.1 Устойчивость стационарных импульсов относительно аддитивной модуляции 56
2.3.2 Устойчивость стационарных импульсов относительно мультипликативной модуляции 56
2.4 Устойчивость стационарных импульсов относительно столкновений 61
2.4.1 Столкновения импульсов на нулевом фоне 62
2.4.1.1 Столкновения импульсов при малых относительных скоростях 64
2.4.1.2 Взаимодействия импульсов с одинаковыми скоростями 68
2.4.2 Столкновения импульсов на постоянном фоне 71
2.5 Распад произвольного импульса на стационарные уединенные волны или излучение 74
2.6. Формирование стационарных уединенных волн 77
Заключение 81
Глава 3. Генерация второй гармоники с учетом дисперсии нелинейной восприимчивости 83
3.1 Генерация второй гармоники предельно коротким импульсом 83
3.1.1. Укороченные уравнения Максвелла и ангармонического осциллятора 85
3.2 Обобщенные уравнения ГВГ 90
3.3 Нормированные уравнения в случае фазового синхронизма первого типа 95
3.4 Учет более высоких степеней дисперсии групповых скоростей и нелинейной восприимчивости 96
3.5 Связанные уединенные волны накачки и гармоники в пределе большой фазовой расстройки 97
Заключение 102
Глава 4. Влияние рассогласования групповых скоростей и дисперсии нелинейной восприимчивости на модуляционную неустойчивость электромагнитных волн в квадратично-нелинейной среде 104
4.1. Инкремент модуляционной неустойчивости 105
4.2 Инкремент модуляционной неустойчивости в области аномальной дисперсии 108
4.3 Инкремент модуляционной неустойчивости в области нормальной дисперсии 112
4.4 Модуляционная неустойчивость пространственно-временных неоднородных волн 116 Заключение 118
Заключение 120
Список литературы 122
- Уравнения для модели среды с квадратично-кубичной нелинейностью
- Устойчивость стационарных импульсов относительно мультипликативной модуляции
- Связанные уединенные волны накачки и гармоники в пределе большой фазовой расстройки
- Инкремент модуляционной неустойчивости в области нормальной дисперсии
Введение к работе
1 Обзор литературы
Появление лазеров вызвало революционные изменения во многих областях науки и техники, в частности сделало возможным измерение ранее недостижимых временных интервалов. Начиная с 1960 стало доступным изучение быстро протекающих (от 10'9 до 10"15 с) процессов. Кроме того, возможность фокусировки столь коротких импульсов позволила расширить область используемых интенсивностей от 101 до 1019 ватт/см . Это открыло доступ к экспериментальным исследованиям новых явлений, таких как быстродействующие фазовые переходы в электронных структурах, надпороговую ионизацию атомов, генерацию гармоник высоких порядков, ускорение световыми импульсами релятивистских электронов и создание высокотемпературной плазмы большой плотности. Все эти явления в электромагнитных полях сверхвысокой плотности энергии являются в настоящее время объектами интенсивного исследования.
1.1. Генерация коротких световых импульсов
В первом лазере, созданном Мейманом [1], использовались кристалл рубина и накачка разрядом вспышки ксеноновой лампы. С помощью этого лазера генерировались оптические импульсы различной интенсивности и длительностью от микросекунд до миллисекунд.
На второй конференции по квантовой электронике в Беркли был предложен метод модулируемой добротности резонатора [2,3]. "Гигантский" импульс продолжительностью приблизительно в 10 наносекунд был получен в излучении рубинового лазера, модуляция добротности которого осуществлялась с помощью оптического затвора на основе ячейки Керра. Другим способом изменения добротности было использование быстро вращающейся призмы, помещенной внутри резонатора. Излучение коротких импульсов высокой интенсивности, полученное при генерации лазеров в режиме модуляции добротности, использовалось при изучении многочисленных нелинейных оптических явлений, наблюдение которых в слабых полях было затруднительно из-за малых значений нелинейных восприимчивостей.
Изобретение метода синхронизации лазерных мод, одного из наиболее важных интерференционных явлений [4-6], подстегнуло развитие сверхбыстрой оптики. Синфазные колебания большого числа продольных мод создают в результате конструктивной интерференции в лазере поле, равное нулю большую часть времени, за исключением очень коротких интервалов, в пределах которых концентрируется полная энергия излучения. Таким образом, синхронизация лазерных мод приводит к формированию короткого светового импульса, циркулирующего внутри резонатора. Каждый раз, когда импульс достигает частично отражающего зеркала, небольшая часть энергии выходит из резонатора, и на выходе лазера с синхронизацией мод возникает последовательность сверхкоротких (10"9-10'10 с) импульсов.
Активная синхронизация мод впервые была продемонстрирована на примере генерации гелий-неонового лазера [5]. Так как профиль усиления активных атомов Ne узкий, длительность полученных импульсов значительно превышала одну наносекунду. Первые лазеры с синхронизацией мод использовали усиливающие твердотельные среды типа рубина, неодимового стекла, или Nd:YAG (иттрий алюминиевый гранат). Синхронизация мод осуществлялась активными потерями или частотной модуляцией, осуществляемой внешним электрическим полем [6-11]. Пассивная синхронизация мод, впервые продемонстрированная на рубиновом лазере [12], позволяет получить более короткие импульсы, чем в случае активной синхронизации мод. Импульсы длительностями менее наносекунды были получены [13] при пассивной синхронизации мод лазера на неодимовом стекле, имеющего более широкий чем у рубина профиль усиления. Для определения временной характеристики наносекундных импульсов были разработаны нелинейные автокорреляционные методы [14-16]. Лазер на неодимовом стекле с пассивной синхронизацией мод, накачивающийся лампой-вспышкой, долгое время был главной "рабочей лошадкой" исследований в области нелинейной оптики.
В середине 90-х годов произошел прорыв в технике генерации сверхкоротких импульсов света. Были созданы новые кристаллы, способные генерировать лазерное излучение и обладающие сверхширокой полосой усиления: титан-сапфир (ширина полосы усиления 3500 см"1), хром-форстерит и другие. Эти лазеры могут проявлять "самопроизвольную" динамическую синхронизацию мод без использования насыщающегося поглотителя [17]. Этот эффект обусловлен зависимостью показателя преломления кристалла сапфира с примесями титана от интенсивности света. В лазере на Ті: сапфире удалось реализовать внутрирезонаторную компрессию генерируемого импульса. Фазовая автомодуляция (за счет керровской нелинейности) импульса осуществлялась непосредственно в активном элементе лазера, а сжатие импульса достигалось с помощью пары стеклянных призм или многослойного диэлектрического зеркала, обладающего отрица-
тельной дисперсией групповой задержки (глубина проникновения света в такое зеркало зависит от длины волны). Лазеры подобного типа накачиваются непрерывным излучением аргонового лазера или второй гармоникой излучения Nd:YAG лазера. Титан-сапфировый лазер очень компактен (длина кристалла порядка миллиметра), легко переводится в режим самосинхронизации мод и генерирует импульсы длительностью 10 фс с энергией порядка нДж на длине волны 800 нм. В работе [18] экспериментально получена генерация импульсов длительностью 13 фс лазером на Тіхапфире в режиме синхронизации мод. Затем импульс сжимался до 5.5 - 4.9 фс (примерно 3 периода колебаний) в призменно-решеточном компрессоре. Энергия импульса составляла около 6 нДж при частоте повторения 1 МГц. Генерация импульсов длительностью 6,5-5 фс [19] продемонстрирована на Ті:сапфировом лазере со средней мощностью 200 мВт и частотой повторения 86 МГц. В настоящее время, генераторы фемтосекундных импульсов быстро становятся стандартным лабораторным инструментом.
Недавние работы показывают, что фемтосекунды - это не предел достижимых малых длительностей импульсов. Было найдено [20], что гармоники разных порядков имеют различную расходимость и фокусируются в разные точки пространства, что может быть использовано для разделения гармоник нужных порядков и последующей генерации аттосекундных импульсов.
1.2. Компрессия оптических импульсов
Для получения предельно коротких импульсов (ПКИ) света широко используется принцип фа-зировки спектральных компонент излучения. Фазировка позволяет одновременно укоротить световой импульс и резко увеличить его пиковую мощность. При этом предел длительности импульса определяется его исходной спектральной шириной Д/тш = у\т Как видно из этой
формулы, для получения ПКИ необходимо иметь излучение, ширина спектра которого приближается к несущей частоте. Фазовую модуляцию, расширяющую спектр импульса можно создать за счет самовоздействия в среде с кубичной нелинейностью (высокочастотный эффект Керра). Малость нелинейной добавки к показателю преломления делает необходимым использовать большие длины взаимодействия. Подходящими средами для создания фазовой автомодуляции оказались волоконные световоды. В волоконно-оптическом компрессоре полезную роль играют дисперсионные свойства оптического волокна. Дисперсия скорости света в оптическом волокне
приводит к тому, что различные спектральные компоненты излучения оказываются разнесенными во времени, а именно, частота несущей возрастает от начала к концу импульса (дисперсия волокна предполагается нормальной). Если теперь пропустить его через устройство, в котором высокочастотные компоненты поля проходят быстрее, чем низкочастотные (аналог среды с аномальной дисперсией), то можно совместить все спектральные компоненты во времени и получить очень короткий импульс света. Необходимый элемент, обладающий аномальной дисперсией, строится на основе пары дисперсионных призм или дифракционных решеток. Из уравнения дифракционной решетки dsinQ =тХ видно, что длинные световые волны отклоняются решеткой на большие углы, нежели короткие. Это дает возможность при помощи двух решеток построить схему, в которой длинные световые волны проходят более длинные пути, чем короткие и, следовательно, приобретают требуемую задержку во времени. Используя волоконный компрессор, в работе [21] был получен импульса длительностью 12 фс и мощностью 0,5 МВт в режиме повторения с частотой 500 Гц. С помощью компрессоров были получены импульсы длительности ти =4.5 фс в видимом диапазоне (два периода световых колебаний) и ти =40 фс
на длине волны СО2 лазера - импульс длительностью в один период колебаний. В [22] десяти-фемтосекундный импульс с энергией менее наноджоуля был усилен до уровня около одного джоуля.
1.3. Применения и перспективы технологий фемтосекундных импульсов
Приложения лазеров, генерирующих ультракороткие импульсы, простираются от прецизионной обработки материалов и изучения быстропротекающих химических реакций до сложнейших хирургических операций в офтальмологии и нейрохирургии. В физике ультракороткие световые импульсы дают возможность отслеживать быстропротекающие релаксационные процессы в микромире на никогда ранее не достижимых временных масштабах и изучать взаимодействия излучения с веществом на беспрецедентных уровнях интенсивности. Недавние технологические успехи в оптике позволяют сформировать световые импульсы, содержащие только несколько колебаний электрического и магнитного полей. Пространственная протяженность таких импульсов вдоль направления их распространения не превышает нескольких длин волны излучения оптического диапазона. Это составляет примерно 0.5 - 1 мм для видимого и ближнего ин-
фракрасного диапазона частот. В поперечном направлении импульсы остаются в пучке, ограниченном дифракцией, и могут быть сфокусированы в пятно, размер которого по величине сопоставим с длиной волны. Как следствие, излучение может быть локализовано в пространстве объемом до нескольких кубических микрометров в фокусе параболического зеркала, образуя "световую пулю". Из-за этого экстремального временного и пространственного ограничения, средние энергии импульса порядка одного микроджоуля могут приводить к пиковым интенсивно-стям выше 1015 Вт/см2. Амплитуда электрического поля на этих уровнях интенсивности приближается к 109 В/см. Это поле превышает статическое кулоновское поле, действующее на внешние электроны атомов. Следовательно, возможна ионизация атомов оптическим полем [23]. Этот процесс временно усиливает атомную поляризуемость, так как электрон удаляется далеко от ядра. Но как только электрон становится свободным, нелинейность его взаимодействия со светом подавляется. За исключением слабой остаточной нелинейности, возникающей из ионной поляризуемости, отклик на поле становится линейным. Только на значительно более высоких уровнях интенсивности при дальнейшей ионизации и/или когда свободные электроны станут релятивистскими возможно появление новых нелинейных явлений.
В лазерных импульсах, состоящих из нескольких световых колебаний, воздействие излучения высокой интенсивности длится только несколько фемтосекунд. Следовательно, отрыв электрона происходит при высокой напряженности поля, за время порядка периода колебаний лазерного поля То. В результате электроны приобретают огромные кинетические энергии (порядка кэВ и более), и значительная часть атомов ионизируется в течение одного первого колебания поля. Приложения здесь многочисленны и многообещающи. Например, циркулярно-поляризованные поля ПКИ большой интенсивности, могут инжектировать в плазму ультраинтенсивную струю электронов высокой энергии за время, сопоставимое с Т0. Это может открыть путь к созданию рентгеновских лазеров с электронной накачкой в диапазоне кЭв [24]. Управляемое импульсом в несколько колебаний, рентгеновское излучение может возникать в форме одиночной вспышки субфемтосекундой продолжительности [25].
Благодаря чрезвычайно малому (несколько циклов колебаний в видимом или ближнем инфракрасном диапазоне) времени взаимодействия поля с атомом нелинейная поляризация Р„/ в момент t может быть выражена как функция мгновенного значения электрического поля Е (Ґ) при /'« t. Это очень облегчает теоретический анализ взаимодействия интенсивного излучения с протяженной атомной средой. Кроме того, эволюция атомного дипольного момента (или электронная волновая функция) определяется непосредственно электрическим полем
ч-
E(t) = Ea (t) cos(a>t + &0); следовательно, она зависит не только от интенсивности E^(t), но также и от фазы несущей волны лазерного импульса [26]. Регулировка фазы может быть одной из предпосылок для генерации субфемтосекундного жесткого ультрафиолетового излучения заданным способом.
1.4. Явления при высоких интенсивностях
Развитие методов генерации фемтосекундных импульсов позволило получить очень высокие уровни мгновенных мощностей, достижимых в относительно маленькой "настольной" конфигурации лазерной системы. Дифракционно-ограниченные пучки лазерного излучения можно сфокусировать в пятно размером с длину оптической волны. Концентрация оптической энергии в пространстве и времени открыла новые возможности для экспериментального исследования взаимодействия света высокой интенсивности с веществом. Несфокусированный 10 фс пучок с поперечным сечением 1 см2 и энергией в 1 мДж имеет интенсивность 108 Вт/см2. При этом уровне мощности становится возможной самофокусировка и филаментация пучка в твердотельных усиливающих средах типа Ті-сапфира, Nd-YAG, и александрита. При фокусировке 10 фс импульса с энергией в один джоуль достижимы интенсивности в диапазоне от 1018 до 10 Вт/см2. Ранее такие уровни мощности были доступны только при фокусировке многих пучков лазеров на неодимовом стекле больших поперечных сечений, осуществленной в Национальных Лабораториях Лоуренса в Ливерморе и на нескольких других больших установках. Эти импульсы использовались при изучении инерционно ограниченного плазменного синтеза.
Во временных масштабах нескольких пикосекунд поглощение энергии кристаллической решеткой приводит к плавлению и испарению. Порог повреждения для поверхности кристалла арсенида галлия (001) , облученного 70 фс импульсом с длиной волны 635 нм составляет 0.1 Дж/см . Пиковая интенсивность импульса в 1 мДж длительностью 100 фс, сфокусированного на область 10" см равна одному ТВт/см . В прозрачной среде разрушение диэлектрика инициируется многофотонным поглощением и усиливается лавинной ионизацией. Использование поврежденных ячеек в прозрачных материалах, типа стекла, кремния или сапфира, предложено для создания трехмерной оптической памяти [27]. Импульсное облучение металлических мишеней в
потоках, превышающих 1 Дж/см создает очень горячую плазму высокой плотности, которая может служить в качестве импульсных рентгеновских источников.
1.5. Рентгеновская оптика
Интенсивные лазерные импульсы в несколько световых колебаний, вероятно, станут наиболее эффективными источниками накачки ультракоротких импульсов (УКИ) излучения с длиной волны от ультрафиолетового до рентгеновского диапазона. В дальнем ультрафиолете и мягком рентгене полученные с помощью импульсов из нескольких колебаний поля высокие гармоники достигают пиковых уровней яркости, позволяющих обнаружить двухфотонные возбуждения. Со временем, нелинейная рентгеновская оптика найдет многочисленные приложения, в том числе это автокорреляционные измерения субфемтосекундных или аттосекундных импульсов крайнего ультрафиолетового и рентгеновского диапазона. Сфокусированные до релятивистских интен-сивностей импульсы в несколько колебаний создадут пондеромоторные силы порядка 0.1 МэВ/ мкм при средних (несколько миллиджоулей) уровнях энергии, что позволяет осуществить эффективное преобразование световой энергии в кинетическую энергию коллимируемой релятивистской струи электронов [28] с длительностью, сопоставимой со световым импульсом. Эту электронную струю можно будет использовать для создания жесткого рентгеновского излучения с такой же длительностью импульса [29, 30].
Поиск быстродействующих рентгеновских источников, управляемых лазером, обусловлен рядом важных процессов в микроскопическом мире, в которые сложно проникнуть с помощью обычной спектроскопии. Хотя релаксационные процессы с участием слабо связанных электронов могут быть изучены непосредственно методами лазерной спектроскопии, только косвенная и во многих случаях недостаточная информация относительно движения ядер и динамики электронов внутренних оболочек может быть получена методами обычной быстродействующей лазерной спектроскопии. Рентгеновские импульсы продолжительностью в несколько фемтосекунд позволили бы исследовать движение ядер при различных процессах, включая фазовые переходы в твердом веществе, образование и разрушение химических связей в газообразных и жидких фазах, при биологических процессах. Оптика предельно коротких импульсов и физика сильных полей, вероятно, продолжат свое быстрое развитие и в последующие годы.
1.6. Телекоммуникации
Потребность в сверхвысокой скорости передачи данных, обусловленная взрывным ростом интернет трафика, привела к значительному прогрессу в емкости оптической передачи данных, как в скорости, так и расстоянии передачи. Наиболее высокоскоростные системы передачи в настоящее время используют полностью оптическую линию связи, потери в которой компенсируются периодически размещенными в ней оптическими усилителями.
В волоконной линии передачи информация искажается из-за дисперсии оптического волокна, потерь и нелинейности. В настоящее время для компенсации потерь используются оптические усилители. Например, усилители на основе легированных эрбием волокон применяются для диапазонов длин волн около1550 нм, а волоконные рамановские усилители используются во всем диапазоне длин волн. К тому же в волокне подходящим подбором радиального распределения показателя преломления можно создать практически любое значение дисперсии групповых скоростей и ослабить влияние эффектов дисперсионного уширения используемых импульсов.
Однако влияние нелинейных свойства волокна становится существенным, если использовать интенсивность оптических импульсов достаточно большую, чтобы поддерживать отношение сигнала к шуму (S/N) на высоком уровне. Эта проблема становится еще более значительной при увеличении длины линии передачи, т. к. периодически расположенные в линии усилители усиливают спонтанное излучение, играющее роль шума. Для сохранения отношения (S/N) на необходимом уровне требуется пропорциональное увеличение интенсивности сигнала. Кроме того, при увеличении скорости передачи (числа бит в секунду) должна быть увеличена пиковая интенсивность, чтобы в импульсе более короткой длительности было достаточное число фотонов.
Когда Хасегава и Тапперт [31, 32] предложили использовать в качестве носителя информации солитонный световой импульс, первоначальной мотивацией было использовать нелинейность оптического волокна, чтобы скомпенсировать аномальную дисперсию волокна. Сейчас же, поскольку волоконная дисперсия может быть сделана почти нулевой, остаточная дисперсия волокна используется для компенсации эффекта нелинейной фазовой автомодуляции. В таком
случае становятся полезными образовавшиеся солитоны, так как они не меняют формы при распространении по оптическому волокну.
Если принять один оптический сигнал (солитон) за один бит, то передача информации характеризуется четырьмя параметрами: амплитудой (также ширина импульса), частотой (также скорость), положением во времени и фазой. Это очень важно для применения оптического соли-тона в качестве цифрового сигнала. Тот факт, что солитонная передача может быть характеризована только четырьмя параметрами - еще одно важное преимущество солитонной системы, так как несолитонные импульсы могут быть характеризованы только в бесконечномерном пространстве параметров. В идеальной линии передач без потерь с постоянной дисперсией, эти четыре параметра точно сохраняются [33].
В реальных системах связи используют DM (dispersion managed) солитоны. Такие нелинейные стационарные импульсы, распространяющиеся в волокне, дисперсия которого периодически меняет свой знак, ведут себя очень похоже на идеальные солитоны [34, 35]. Эксперименты по передаче DM солитонов в одноканальной сверхскоростной линии передач (около 40 Гб/с) осуществлены [36] на расстояние более 10000 километров. Недавно был проведен эксперимент по передаче DM солитонов на такое же расстояние со скоростью 10 Гб/с одновременно по 27 каналам [37]. Чем больше количество информации, тем больше требуется спектральная ширина передаваемого сигнала. Успехи в области генерации коротких электромагнитных импульсов сделали возможным использовать солитоны длительностью порядка нескольких фемтосекунд. Дальнейшее сокращение длительности импульсов может быть ограничено полосой пропускания оптического волокна и нелинейными эффектами, связанными с дисперсией нелинейных вос-приимчивостей волокна.
Таким образом, существующие сейчас методы генерации предельно коротких импульсов электромагнитного излучения (необязательно оптического диапазона) позволяют экспериментально изучать взаимодействие их с различными средами. Среди многих задач нелинейной электродинамики и оптики можно выделить проблемы динамики формирования стационарных ПКИ, их устойчивого распространения в прозрачных средах и их взаимодействия с другими возбуждениями в конденсированных средах.
Все это делает очень актуальными теоретические и экспериментальные исследования фемто-секундной динамики нелинейных систем.
2. Общая характеристика и цель работы
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению особенностей распространения предельно коротких импульсов электромагнитного излучения в нелинейных слабо диспергирующих средах, и имеет своей целью:
а Сформулировать наиболее простую модель, описывающую распространение предельно коротких импульсов электромагнитного излучения.
а Найти решения уравнений движения для такой модели, отвечающие стационарным импульсам - локализованным волновым пакетам, распространяющимся без изменения формы.
Установить особенности эволюции импульсов малых длительностей (в том числе и в одно
колебание электромагнитного поля).
а Продемонстрировать численными методами устойчивость стационарных предельно коротких импульсов по отношению к возмущениям различной силы.
а Обобщить теорию взаимодействия ультракоротких импульсов в квадратично нелинейной среде, в частности генерацию второй гармоники, с учетом дисперсии нелинейной восприимчивости.
Определить особенности развития модуляционной неустойчивости параметрически связан
ных волн.
3. Научная новизна, практическая ценность и достоверность результатов
Научная новизна
Впервые аналитически найдено стационарное решение, соответствующее импульсу длительностью в одно колебание электромагнитного поля, распространяющегося в квадратично-кубичной нелинейной среде. Получены два типа стационарных уединенных волн положительной и отрицательной полярностей. Показано, что стационарные импульсы могут существовать в среде, предварительно поляризованной постоянным внешним электрическим полем.
Установлены закономерности распада мощного входного импульса на ряд стационарных ПКИ.
Впервые исследовано влияние аддитивной и мультипликативной амплитудной модуляции на распространение стационарных импульсов. Показана их устойчивость по отношению к слабой модуляции.
Обнаружено, что характер взаимодействия сталкивающихся стационарных ПКИ зависит от их относительной скорости. Так, если относительные скорости взаимодействующих импульсов близки, то в результате столкновения более слабый импульс излучает часть энергии, что приводит к возникновению квазигармонической или нелинейной уединенной волны малой амплитуды. При значительном различии между скоростями однополярных стационарных ПКИ столкновение является почти упругим, как в случае солитонов.
На основе численного моделирования распространения ПКИ впервые продемонстрировано существование квазибризерных импульсов в среде с квадратично-кубичной нелинейностью.
Получены уравнения, описывающие генерацию второй гармоники с учетом дисперсии нелинейной восприимчивости и дисперсии групповых скоростей до второго порядка по параметру, пропорциональному отношению длительности оптического периода к длительности исходного импульса накачки.
Найдено, что учет дисперсии нелинейной восприимчивости делает возможным существование стационарных импульсов накачки и гармоники в области как аномальной, так и нормальной дисперсии групповых скоростей.
Впервые проведен анализ влияния дисперсии нелинейной восприимчивости на модуляционную неустойчивость непрерывных решений системы уравнений, описывающих процесс взаи- ч модействия волн накачки и гармоники. Для аномальной и нормальной дисперсии групповых скоростей определены области в пространстве волновых векторов и частот, в которых волны накачки и второй гармоники неустойчивы.
Научная и практическая ценность
Проведенное исследование эволюции предельно коротких импульсов электромагнитного из-лучения позволяет детально проанализировать эффект образования и устойчивость стационарных импульсов в прозрачных квадратично-кубичных нелинейных средах. Эти результаты могут быть положены в основу новых принципов формирования предельно коротких импульсов электромагнитного излучения и приняты во внимание при анализе проблем, связанных с передачей информации высокой плотности на большие расстояния.
Общефизический интерес представляют результаты, касающиеся взаимодействия стационарных уединенных волн, которые демонстрируют многие черты, присущие солитонам, хотя рассмотренные уравнения модели не являются вполне интегрируемыми.
Достоверность результатов
Результаты диссертации обоснованы и достоверны, так как они получены на основе надежных методов теоретической физики и согласуются в предельных случаях с уже известными и проверенными результатами.
4. Основные защищаемые положения
Обобщение модели Максвелла - Дюффинга, описывающей распространение предельно коротких импульсов в квадратично-кубичной нелинейной среде. ,
Стационарные решения укороченных уравнений Максвелла-Дюффинга, отвечающие предельно коротким импульсам электромагнитного излучения.
Слабая чувствительность стационарных предельно коротких импульсов электромагнитного излучения по отношению к малым возмущениям и к столкновениям друг с другом.
Численно найденные нестационарные слабодиспергирующие нелинейные волны (квазибри-зеры), близкие к солитонам.
5. Стационарное решение уравнений, описывающих генерацию второй гармоники в поле ульт-
. ракороткого импульса, существование которого обусловлено дисперсией нелинейной вос
приимчивости.
6. Изменение границ областей модуляционной неустойчивости параметрически связанных
пространственно-временных неоднородных волн накачки и второй гармоники под влиянием
дисперсии нелинейной восприимчивости и групповых скоростей второго порядка.
Авторский вклад.
Все выносимые на защиту результаты диссертационной работы получены лично автором или при ее непосредственном участии.
5. Апробация работы и публикации
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
Всероссийских:
Пятая всероссийская молодежная научная школа 'Когерентная оптика и оптическая спектроскопия', 25-27 октября 2001 г., Казань;
Шестая всероссийская молодежная научная школа 'Когерентная оптика и оптическая спектроскопия', 31 октября-2 ноября 2002 г., Казань.
Международных:
VIII Международные чтения по квантовой оптике, 27-29 октября 1999 г., Казань;
Научные сессии МИФИ-2000, 17-21 января 2000 г., МИФИ-2001, 22-26 января 2001 г., Москва;
10 Conference on laser optics (LO'2000), (LO'2003), 26-30 июня 2000 г., Санкт-Петербург;
Second International conference on laser optics for young scientists (LO-YS'2003), 30 июня - 4 июля 2000 г., Санкт-Петербург;
Международный оптический конгресс 'Оптика - XXI век', конференция 'Фундаментальные проблемы оптики' 17-19 октября 2000 г., Санкт-Петербург;
VII Международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии, (ФЭКС 2001), 20-24 июня 2001 г. Великий Новгород;
2 Международная конференция молодых ученых и специалистов 'Оптика-200Г, 16-19 октября 2001 г., Санкт-Петербург;
Международный оптический конгресс 'Оптика - XXI век', конференция 'Фундаментальные проблемы оптики' 14-17 октября 2002 г., Санкт-Петербург;
International quantum electronics conference (IQEC/LAT 2002), conference for young scientists and engineers, 22-27 июня 2002 г., Москва;
ARW Nonlinear waves: classical and quantum aspects, 13-17 July, 2003, Estoril, Portugal.
NWP-2 High-field Physics and Ultrafast Nonlinear Phenomena, 6-12 September, 2003, Nizhny Novgorod - Moscow- Nizhny Novgorod.
Часть материалов диссертации была выполнена в рамках проектов INTAS 96-0339, РФФИ 98-02-17429, РФФИ 00-02-17809, РФФИ 01-02-06339 и поддержана программой "Интеграция".
Материалы диссертации опубликованы в 20 печатных работах [66-68,123-139], среди которых 5 рецензируемых [66-68, 123, 124].
Структура и объем диссертации
Диссертация изложена на 127 страницах текста, включая 45 рисунков и список литературы из 139 наименований. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
6. Краткое содержание диссертации
Во введении дана характеристика рассматриваемой проблемы, обоснована актуальность темы, ее научное и практическое значение. Определено ее место среди задач теории нелинейных уединенных волн. Сформулированы цели и основные результаты работы, выносимые на защиту.
В первой главе получена система уравнений, описывающая распространение коротких импульсов линейно поляризованного электромагнитного излучения, имеющих одно или несколько колебаний напряженности электрического поля, в нерезонансной среде, которая характеризуется нелинейным откликом и дисперсией. Для описания отклика нерезонансной среды на действие внешнего электромагнитного поля применена модель ангармонического осциллятора с квадратичной и кубичной нелинейностями. Представлены основные уравнения модели, названной редуцированной моделью Максвелла-Дюффинга (РМД), описывающей распространение предельно короткого импульса линейно поляризованного излучения в прозрачной нерезонансной среде с квадратично-кубичной нелинейностью. В рассматриваемой модели не предполагается квазигармонический характер волн, но считается, что они распространяются только в одном направлении. Лагранжева формулировка уравнений позволяет найти три сохраняющиеся величины — интегралы движения - энергия, импульс и топологический заряд. Законы сохранения энергии и импульса возникают из-за симметрии лагранжиана относительно временных и пространствен-
ных трансляций. Сохранение топологического заряда является следствием симметрии лагранжиана относительно сдвига на константу потенциальной функции (скалярного потенциала). Найдены аналитические решения уравнений модели РМД, которые описывают распространение предельно короткого импульса. Для случая кубичной нелинейности записана билинейная форма редуцированных уравнений Максвелла - Дюффинга. Получено односолитонное решение билинейных уравнений, совпадающее со стационарным решением для электрического поля уединенной волны модели РМД с кубичной нелинейностью.
Вторая глава посвящена исследованию устойчивости стационарных решений, полученных в предыдущей главе, численными методами. Показано, что стационарные импульсы, существующие как в неполяризованной, так и в предварительно поляризованной среде, обладают устойчивостью по отношению к слабым возмущениям, вне зависимости от их полярностей. Нестационарные, модулированные низкочастотной гармонической волной, входные сигналы распадаются на периодические линейные и нелинейные волны. Высокочастотные импульсы, полученные модуляцией стационарного импульса гармонической волной, а также начальные импульсы, заданные в форме высокочастотных бризеров мКдФ, распространяются на продолжительные расстояния без изменения формы огибающей. Показано, что высокочастотные квазибризерные импульсы модели РМД по своим свойствам очень близки к бризерам вполне интегрируемых систем. В результате исследований взаимодействия стационарных импульсов между собой найдено, что при значительном различии между их скоростями, столкновение является почти упругим, как в случае солитонов, при одинаковой полярности взаимодействующих импульсов. В результате столкновения между импульсами, имеющими противоположные полярности, возникают волновые пакеты, распадающиеся на медленные нелинейные периодические волны, распространяющиеся впереди импульсов и квазигармонические - остающиеся на месте столкновения (они движутся со скоростью света). Сами импульсы после взаимодействия движутся с другими скоростями, а их амплитуды отличаются от своих первоначальных значений.
В третьей главе на основе модели ангармонического осциллятора рассматривалось распространение в квадратично нелинейной среде оптического импульса достаточно большой длительности, когда можно использовать приближение медленно меняющейся комплексной огибающей импульса. В области длительностей порядка нескольких десятков фемтосекунд существенными могут оказаться эффекты, связанные с дисперсией групповых скоростей и дисперсией нелинейной восприимчивости. Выведена система уравнений, описывающая генерацию второй гармони-
ки для двух типов фазового синхронизма с учетом поправок первого и второго порядка по параметру (otp)~l в нелинейной восприимчивости. Аналитическое решение полученной системы
уравнений найдено в предположении сильной отстройки от синхронизма. В зависимости от величины и знака волновой расстройки решения различны, что оказывается новой особенностью взаимодействия волн накачки и гармоники и является следствием дисперсии нелинейной восприимчивости второго порядка и дисперсии групповых скоростей.
Четвертая глава посвящена исследованию электромагнитных волн в квадратично-нелинейной среде на модуляционную неустойчивость. Здесь рассмотрена модуляционная неустойчивость пространственно неоднородных плоских волн либо пучков накачки и второй гармоники для фазового синхронизма первого типа. В общем виде получено выражение для инкремента неустойчивости, позволяющего определить области модуляционной неустойчивости пространственно неоднородных волн для аномальной и нормальной дисперсии групповых скоростей. Также исследована модуляционная неустойчивость пространственно-временных неоднородных волн, являющихся более общими решениями рассматриваемой системы уравнений ГВГ. В заключение главы обсуждаются изменения областей неустойчивости для случаев аномальной и нормальной дисперсии в зависимости от влияния эффектов дисперсии нелинейной восприимчивости и различия между групповыми скоростями волн накачки и гармоники. Основные выводы диссертации сформулированы в заключении.
Уравнения для модели среды с квадратично-кубичной нелинейностью
Во введении дана характеристика рассматриваемой проблемы, обоснована актуальность темы, ее научное и практическое значение. Определено ее место среди задач теории нелинейных уединенных волн. Сформулированы цели и основные результаты работы, выносимые на защиту.
В первой главе получена система уравнений, описывающая распространение коротких импульсов линейно поляризованного электромагнитного излучения, имеющих одно или несколько колебаний напряженности электрического поля, в нерезонансной среде, которая характеризуется нелинейным откликом и дисперсией. Для описания отклика нерезонансной среды на действие внешнего электромагнитного поля применена модель ангармонического осциллятора с квадратичной и кубичной нелинейностями. Представлены основные уравнения модели, названной редуцированной моделью Максвелла-Дюффинга (РМД), описывающей распространение предельно короткого импульса линейно поляризованного излучения в прозрачной нерезонансной среде с квадратично-кубичной нелинейностью. В рассматриваемой модели не предполагается квазигармонический характер волн, но считается, что они распространяются только в одном направлении. Лагранжева формулировка уравнений позволяет найти три сохраняющиеся величины — интегралы движения - энергия, импульс и топологический заряд. Законы сохранения энергии и импульса возникают из-за симметрии лагранжиана относительно временных и пространственных трансляций. Сохранение топологического заряда является следствием симметрии лагранжиана относительно сдвига на константу потенциальной функции (скалярного потенциала). Найдены аналитические решения уравнений модели РМД, которые описывают распространение предельно короткого импульса. Для случая кубичной нелинейности записана билинейная форма редуцированных уравнений Максвелла - Дюффинга. Получено односолитонное решение билинейных уравнений, совпадающее со стационарным решением для электрического поля уединенной волны модели РМД с кубичной нелинейностью.
Вторая глава посвящена исследованию устойчивости стационарных решений, полученных в предыдущей главе, численными методами. Показано, что стационарные импульсы, существующие как в неполяризованной, так и в предварительно поляризованной среде, обладают устойчивостью по отношению к слабым возмущениям, вне зависимости от их полярностей. Нестационарные, модулированные низкочастотной гармонической волной, входные сигналы распадаются на периодические линейные и нелинейные волны. Высокочастотные импульсы, полученные модуляцией стационарного импульса гармонической волной, а также начальные импульсы, заданные в форме высокочастотных бризеров мКдФ, распространяются на продолжительные расстояния без изменения формы огибающей. Показано, что высокочастотные квазибризерные импульсы модели РМД по своим свойствам очень близки к бризерам вполне интегрируемых систем. В результате исследований взаимодействия стационарных импульсов между собой найдено, что при значительном различии между их скоростями, столкновение является почти упругим, как в случае солитонов, при одинаковой полярности взаимодействующих импульсов. В результате столкновения между импульсами, имеющими противоположные полярности, возникают волновые пакеты, распадающиеся на медленные нелинейные периодические волны, распространяющиеся впереди импульсов и квазигармонические - остающиеся на месте столкновения (они движутся со скоростью света). Сами импульсы после взаимодействия движутся с другими скоростями, а их амплитуды отличаются от своих первоначальных значений.
В третьей главе на основе модели ангармонического осциллятора рассматривалось распространение в квадратично нелинейной среде оптического импульса достаточно большой длительности, когда можно использовать приближение медленно меняющейся комплексной огибающей импульса. В области длительностей порядка нескольких десятков фемтосекунд существенными могут оказаться эффекты, связанные с дисперсией групповых скоростей и дисперсией нелинейной восприимчивости. Выведена система уравнений, описывающая генерацию второй гармоники для двух типов фазового синхронизма с учетом поправок первого и второго порядка по параметру (otp) l в нелинейной восприимчивости. Аналитическое решение полученной системы уравнений найдено в предположении сильной отстройки от синхронизма. В зависимости от величины и знака волновой расстройки решения различны, что оказывается новой особенностью взаимодействия волн накачки и гармоники и является следствием дисперсии нелинейной восприимчивости второго порядка и дисперсии групповых скоростей.
Четвертая глава посвящена исследованию электромагнитных волн в квадратично-нелинейной среде на модуляционную неустойчивость. Здесь рассмотрена модуляционная неустойчивость пространственно неоднородных плоских волн либо пучков накачки и второй гармоники для фазового синхронизма первого типа. В общем виде получено выражение для инкремента неустойчивости, позволяющего определить области модуляционной неустойчивости пространственно неоднородных волн для аномальной и нормальной дисперсии групповых скоростей. Также исследована модуляционная неустойчивость пространственно-временных неоднородных волн, являющихся более общими решениями рассматриваемой системы уравнений ГВГ. В заключение главы обсуждаются изменения областей неустойчивости для случаев аномальной и нормальной дисперсии в зависимости от влияния эффектов дисперсии нелинейной восприимчивости и различия между групповыми скоростями волн накачки и гармоники. Основные выводы диссертации сформулированы в заключении.
Устойчивость стационарных импульсов относительно мультипликативной модуляции
С точки зрения приложений исключительно важным является вопрос устойчивости передаваемых импульсов к помехам. В связи с этим, большой интерес представляет устойчивость нелинейных волн по отношению к непрерывным возмущениям, например регулярной модуляции. Известно, что солитоны могут сбросить модуляцию, снова превратившись в импульсы с гладкой огибающей. Но при достаточно глубокой модуляции солитон может разрушиться, превратившись в расплывающиеся волновые пакеты. В дальнейшем численном моделировании будет исследована устойчивость стационарных решений модели РМД относительно разного рода возмущений, рассмотрены два типа амплитудной модуляции: аддитивная и мультипликативная. Аддитивное возмущение стационарного импульса можно осуществить, добавив к нему некоторый сигнал малой амплитуды. Столкновения стационарных импульсов с низкоамплитудными волновыми пакетами тоже относятся к слабым аддитивным возмущениям. Возмущения второго типа — мультипликативные — не могут считаться малыми, поскольку при умножении стационарного решения даже на слабый сигнал, возмущение и сам сигнал становятся сравнимы по амплитудам.
Рассмотрим сначала устойчивость стационарных импульсов в среде без внешней поляризации относительно аддитивного возмущения гармоническими и квазигармоническими волнами. Если в качестве возмущения взять функцию в виде гармонических или бигармониче-ских волн с малыми амплитудами (А 0.1 Е сад. импульса) и различными значениями частоты (от 5 до 55 с"1), то стационарное решение оказывается устойчивым. На рис. 2.4 в качестве примера показана эволюция стационарного импульса соответствующего решению положительного знака с а =5 и и=1/3, под действием аддитивной модуляции в виде [в(х -\0)-в(х- 20)]sin( 15 г), где использована функция Хевисайда Видно, что импульс освобождается от модуляции без изменения своей формы, что характерно для солитонов, хотя, по-видимому, система уравнений (1.7) не имеет солитонных (в строгом смысле) решений. С увеличением амплитуды возмущения оказывается, что в случае аддитивной модуляции гармонической волной, стационарный импульс также не меняет формы, а возмущение в виде бигармонической волны приводит к тому, что после освобождения от модуляции образуется стационарный импульс, соответствующий другому (несколько большему) значению параметра а (а может принимать непрерывный ряд значений). Возможно, под действием возмущения фазовая траектория стационарного импульса изменяется, и стационарное решение переходит на другую, ставшую устойчивой, траекторию. То же самое справедливо и в случае модуляции стационарного импульса сигналом прямоугольной формы, что отвечает негармоническому возмущению, (рис. 2.5). Здесь с увеличением амплитуды возмущения, амплитуда образовавшегося после взаимодействия импульса возрастает, а скорость распространения уменьшается, что соответствует росту параметра а. Теперь посмотрим, как ведут себя стационарные импульсы в предварительно поляризованной среде в присутствии возмущений. Рис. 2.6а иллюстрирует пример, того как стационарный импульс, характеризующийся параметрами qt)=\ и ц=0.25, а=\, освобождается от наложенной на него модуляции в виде гармонического волнового пакета: 0.l[#(x-10)-#(x-30)]sin(ft r). Стационарный импульс остается неизменным и втом случае, когда частота наложенной на него модуляции мала настолько, что она находится внутри спектра импульса (рис. 2.66). Показано, что стационарные импульсы второго типа, имеющие отрицательную полярность, также устойчивы по отношению к подобного рода возмущениям. В завершение раздела, посвященного устойчивости стационарных импульсов по отношению к слабым возмущениям было бы не лишним рассмотреть и такой важный пример, как столкновения со слабыми локализованными возмущениями. На рис. 2.7 показаны столкновения стационарного импульса, характеризующегося параметрами %=\ и ц=0.3, а =2, с возмущением в виде гармонического волнового пакета: 0.5[#(x-40)-#(x-60)]sin( wr). Если частота возмущения находится в спектре стационарного импульса, то после взаимодействия стационарный импульс на продолжительном расстоянии движется вместе с частью излучения, возникшего в результате распада возмущения (рис. 2.7а). Когда спектр гармонического сигнала перекрывается лишь с хвостовой частью спектра стационарного импульса, то последний проходит через возмущение более высокой частоты (рис. 2.76). Локализованное возмущение эволюционирует следующим образом: из-за дисперсии, присущей рассматриваемой модели, периодическое возмущение начинает распадаться на расплывающиеся по мере распространения волновые пакеты. Как выяснилось в предыдущем разделе, стационарные импульсы, существующие как в неполяризованной, так и в предварительно поляризованной среде, обладают устойчивостью по отношению к слабым возмущениям, вне зависимости от их полярностей. Разделим сильные возмущения на аддитивную и мультипликативную модуляцию. Столкновения между стационарными импульсами также являются примером сильных возмущений. Очень часто они используются для исследования устойчивости нелинейных уединенных волн. Так если импульсы, соответствующие стационарным решениям, остаются неизменным в ходе взаимодействия, а их суммарный фазовый сдвиг равен нулю, то это указывает на солитонный характер этих уединенных волн.
Связанные уединенные волны накачки и гармоники в пределе большой фазовой расстройки
Моделирование взаимодействия однополярных и разнополярных стационарных импульсов модели РМД при низкой относительной скорости их столкновения не показало образования связанных импульсов. Для того чтобы исследовать все возможности образования связанного состояния двух уединенных волн, бьши также исследованы взаимодействия между двумя импульсами, имеющими нулевую относительную скорость (с равными значениями а), первоначально расположенными на различных расстояниях от друг друга.
Когда два стационарных импульса, имеющих одинаковые скорости, находятся на близком расстоянии друг от друга, то их хвосты перекрываются. В этой области перекрытия импульсы взаимодействуют между собой, в результате чего в пространстве между ними возникает квазигармоническая волна, а сами импульсы в результате энергообмена перестают быть одинаковыми: часть энергии одного импульса передается другому. После того как импульсы перестали быть одинаковыми по амплитуде, их скорости также становятся различными, и импульсы начинают расходиться (импульсы с большей амплитудой движутся медленнее по оси г). При дальнейшем распространении скорость и форма каждого импульса постоянны. Рисунок 2.20 иллюстрирует взаимодействие двух близко расположенных импульсов, соответствующих значениям а =5, ц = 1/3, центры которых расположены на расстоянии двух полуширин стационарного импульса. На рис. 2.20а и 2.206 сталкиваются разнополярные импульсы, на рис. 2.20в - однополярные. При столкновении разнополярных импульсов, передний импульс получает энергию в результате взаимодействия, в результате чего его скорость уменьшается, а амплитуда возрастает. Если он является импульсом с положительной полярностью, то амплитуда второго заднего импульса с отрицательной полярностью уменьшается, а скорость увеличивается, следовательно траектории двух импульсов пересекаются (рис. 2.20а). После их столкновения возникает новый импульс отрицательной полярности, имеющий маленькую амплитуду. Если передний импульс имеет отрицательную полярность, то его амплитуда также возрастает, а амплитуда второго импульса положительной полярности уменьшается, импульсы сталкиваются с образованием периодических волн и дополнительного импульса отрицательной полярности (рис. 2.206). Наоборот, при взаимодействии двух однополярных импульсов, большую энергию получает импульс, находящийся сзади, поэтому траектории импульсов при дальнейшем распространении не пересекаются, см. рис. 20 в. При этом, чем больше расстояние между исходными импульсами, тем меньше различие между амплитудами импульсов, образовавшихся в результате энергообмена. Во всех этих случаях взаимодействие приводит к перераспределению энергии между импульсами, в результате чего они расходятся без образования связанного состояния.
На рис. 2.21 сплошной линией показаны траектории движения центров взаимодействующих импульсов с различными полярностями (ср. рис. 2.20а), а пунктирами - одно полярных импульсов с таким же значением а =5. Начальное расстояние между импульсами равнялось трем полуширинам стационарного импульса. На таком расстоянии хвосты импульсов перекрываются, что ведет к передаче энергии от одного импульса к другому. Однополярные импульсы взаимодействуют на некотором расстоянии между их центрами, после чего траектории импульсов расходятся без пересечения (ср. рис. 2.20в). Каждый импульс принимает постоянную форму (различную для каждого из них) и движется по своей новой траектории, определяемой его скоростью. В случае взаимодействия разнополярных импульсов в результате энергообмена происходит столкновение переднего импульса положительной полярности (траектория 2 на рис 2.21) с импульсом отрицательной полярности (траектория 1). После их столкновения также возникает новый импульс отрицательной полярности с малой амплиту дой (его траектория на рис. 2.21 не показана).
С увеличением расстояния между импульсами, их взаимодействие друг с другом уменьшается, и импульсы движутся с постоянной скоростью без существенного изменения амплитуды. Если в начальных условиях расстояние между стационарными импульсами составляет от пяти полуширин (в этом случае импульсы уже не перекрываются), то форма и скорость импульсов не меняются, они движутся по параллельным фазовым траекториям вне зависимости от полярностей обоих импульсов. Таким образом, ни в одном из рассмотренных случаев взаимодействия импульсов с равными или противоположными полярностями не наблюдается формирования связанного состояния.
Моделирование столкновений однополярных импульсов, распространяющихся на фоне непрерывной волны, не показало существенных отличий от аналогичных взаимодействий в неполяризованной среде. При значительном различии в скоростях импульсов взаимодействие происходит практически упруго (рис. 2.22а), а импульсы проходят друг через друга. С уменьшением их относительной скорости энергообмен происходит на некотором расстоянии между центрами, так что полностью они не перекрываются (рис. 2.226).
Чем ближе скорости сталкивающихся импульсов, тем больше расстояние, на котором они эффективно обмениваются энергией, на рис. 2.23 это выглядит так, словно импульсы меняются местами при взаимодействии, после чего расходятся.
Столкновение двух импульсов с близкими скоростями, соответствующих значениям а=1.2 и а=1.3 при величине параметра энгармонизма третьего порядка ц=0.3.
Эффекты, возникающие в результате столкновений стационарных импульсов на постоянном фоне (рис. 2.24), проявляются таким же образом, как и для стационарных импульсов, распространяющихся на нулевом фоне (в отсутствие предварительной поляризации среды). Единственным отличием от столкновений между импульсами на нулевом фоне (ср. рис. 2.24 и рис. 2.19) является то, что в предварительно поляризованной среде (при постоянной относительной скорости импульсов) наиболее неупруго происходят столкновения между стационарным отрицательным импульсом (с меньшим значением а) и более медленным положительным (с большим значением а) (см. рис. 2.246). Так как в этом случае для заданного значения а, амплитуда стационарного отрицательного импульса больше, чем у положительного.
Инкремент модуляционной неустойчивости в области нормальной дисперсии
В данной главе исследовалась устойчивость стационарных решений модели РМД методами численного моделирования. Показано, что стационарные импульсы, существующие как в неполяризованной, так и в предварительно поляризованной среде, обладают устойчивостью по отношению к слабым возмущениям, вне зависимости от их полярностей. Исследование устойчивости стационарных импульсов относительно сильных возмущений показало, что если амплитуда аддитивной модуляции в виде гармонической волны сравнима с амплитудой самого импульса, то стационарный импульс остается устойчивым как в случае высокочастотной, так и низкочастотной модуляции. При рассмотрении мультипликативной модуляции продемонстрировано, что низкочастотные модулированные входные сигналы распадаются на периодические линейные и нелинейные волны. Высокочастотные квазибризерные импульсы модели РМД по своим свойствам близки к бризерам вполне интегрируемых сие Исследование устойчивости стационарных импульсов относительно столкновений показало, что взаимодействие между однополярными импульсами, характеризующихся существенно различающимися скоростями является почти упругим. В этом случае оказывается, что импульсы взаимодействуют так, как если бы это были солитоны, для которых при значительной разнице в их амплитудах, происходит независимое прохождение одного солитона через другой. Однако в отличие от солитонного случая, суммарный фазовый сдвиг отличен от нуля даже при столкновениях однополярных импульсов. Взаимодействие между разнопо-лярными импульсами зависит от соотношения между их амплитудами. Когда амплитуды сталкивающихся импульсов существенно различны, столкновение близко к упругому, после него возникает слабая гармоническая волна. Если же амплитуды сталкивающихся разнопо-лярных импульсов близки, то в результате столкновения появляются линейные и нелинейные периодические волны, а амплитуды импульсов после взаимодействия изменяются. Скорости импульсов после взаимодействия отличаются от своих первоначальных значений. При взаимодействии возникает также дополнительный импульс отрицательной полярности малой амплитуды. Исследования столкновений между стационарными импульсами на постоянном фоне показали, что взаимодействие стационарных импульсов происходит так же как и для стационарных импульсов, распространяющихся на нулевом фоне (в отсутствие предварительной поляризации среды). При значительном различии в скоростях импульсов взаимодействие практически упругое, а импульсы проходят друг через друга. С уменьшением их относительной скорости энергообмен происходит на некотором расстоянии между центрами, так что полностью они не перекрываются.
Распад мощного входного импульса на ряд солитонов является широко известным явлением в экспериментах по численному моделированию вполне интегрируемых систем. Начальные импульсы, имеющие энергию существенно меньшую, чем стационарный импульс, трансформируются по мере распространения в диспергирующие волновые пакеты. Напротив, мощные исходные импульсы распадаются, сопровождаясь излучением периодических волн, на ряд стационарных импульсов, каждый из которых распространяется со своей постоянной скоростью без изменения формы. Профиль исходного импульса определяет темпы процесса распада, величину пороговой энергии (превышение которой приводит к данной картине распада) и параметры образовавшихся уединенных и распределенных волн. Эти явления могут происходить как в среде, находящейся в равновесии (с нулевой поляризацией), так и в средах, выведенных из положения равновесия внешним постоянным электрическим полем.
В этой главе будет проведен анализ генерации второй гармоники (ГВГ) в поле ультракороткого импульса и распространения предельно коротких импульсов в квадратично нелинейных средах. В первом разделе в общем виде записана система динамических уравнений ГВГ в одноосном кристалле. Во втором разделе рассмотрены два типа фазового синхронизма, получены поправки к уравнениям, описывающим генерацию второй гармоники, порядок малости которых определяется параметром (&Ltp) l, где tp- длительность импульса и &L частота несущей волны, отвечающая волне накачки. Эффекты дисперсии групповых скоростей учтены до второго порядка, нелинейной восприимчивости - до первого порядка. Влияние дисперсии групповых скоростей третьего порядка и более высокого порядка дисперсии нелинейной восприимчивости рассмотрены в третьем разделе на примере ГВГ в условиях фазового синхронизма первого типа. При условии большой отстройки от фазового синхронизма в четвертом разделе найдены два новых решения, описывающих стационарную эволюцию уединенных волн накачки и гармоники в области как аномальной, так и нормальной дисперсии групповых скоростей. Причиной подавления сингулярности в стационарном решении в области нормальной дисперсии групповых скоростей является наличие дисперсии нелинейной восприимчивости второго порядка. В заключение главы обобщены полученные результаты.
Исследование распространения и взаимодействия электромагнитных волн в последние несколько десятков лет привлекало большое внимание в связи с развитием волоконной оптики и поиском различных применений оптических солитонов. Оптические волокна оказались именно той средой, в которой в полной мере проявились все характерные свойства солитонов [78-80]. Нелинейные свойства материала, из которого изготовляются волокна, определяются кубической восприимчивостью третьего порядка %(3), величина которой довольно мала (например, для стеклянных волокон у}ъ) «10 14 СГСЭ). Тем не менее, существуют среды, нелинейные свойства которых характеризуются нелинейной восприимчивостью второго порядка х(2)» величина которой существенно больше (для кристалла KDP Х(2) «3-10 9СГСЭ). Интерес исследователей к квадратично нелинейным средам, в значительной мере обусловлен более сильным проявлением их нелинейных свойств, что особенно существенно для слабых полей. Неудивительно, что генерация второй гармоники (ГВГ) стала одним из первых экспериментально реализованных нелинейно-оптических эффектов. Опыт был проведен Франкеном с сотрудниками, наблюдавшими генерацию второй гармоники при пропускании излучения рубинового лазера через кристалл кварца [81]. Если прежде процесс ГВГ рассматривался как способ получения когерентного излучения, то современные исследования продемонстрировали ряд новых приложений этого процесса. Конкуренция дисперсии или дифракции и взаимопревращения волн основной частоты и второй гармоники приводит к образованию стационарного импульса - двухчастотного солитона [82-85] или двух взаимозахваченных пучков - пространственного солитона [86-89]. Замечено [90-92], что в квадратично нелинейных средах отсутствует волновой коллапс для любой пространственной размерности, что приводит к возможности образования многомерных солитонов. Периодическое изменение показателя преломления (или эффективного показателя преломления в волноводах) приводит к созданию распределенной обратной связи (брэг-говского зеркала). В квадратично нелинейной среде это позволяет при определенных условиях распространяться в ней стационарному импульсу, называемому щелевым солитоном [93-95]. Ранее щелевые солитоны обсуждались применительно к кубично нелинейным (в частности, керровским) средам [96-100]. В работах [101-104] рассмотрен случай дискретной самофокусирующей системы с квадратичной нелинейностью, отвечающей ГВГ в решетке туннельносвязанных нелинейных волноводов.
