Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Онтогенез представлений о комбинаторике и вероятности 12
1.1. Стадии интеллектуального развития и проблема соотношения обучения и развития 13
1.2. Становление комбинаторного и вероятностного мышления у детей и подростков 23
1.3. Преподавание математики и проблемы усвоения комбинаторных понятий в средней школе 27
Глава 2. Психологические основы формирования математических понятий 38
2.1. Исследование психологических условий обучения математическим понятиям на основе теории поэтапного формирования умственных действий 39
2.2. Психологический анализ трудностей усвоения комбинаторных представлений при традиционном обучении 47
Глава 3. Разработка метода формирования обобщенного способа решения комбинаторных задач 55
3.1. Цель, задачи и общая схема исследования 55
3.2. Характеристика уровня общего умственного развития и комбинаторного мышления (результаты констатирующего эксперимента) 58
3.3. Содержание экспериментальной методики формирования 88
Глава 4. Экспериментальное формирование элементов комбинаторного мышления у учащихся начальной и средней школы 96
4.1. Описание хода формирующего эксперимента у младших школьников (4-й класс ) 97
4.2. Особенности формирования обобщенного способа решения комбинаторных задач у подростков (8-й класс средней школы) 111
4.3. Сравнительный анализ изменения показателей решения комбинаторных задач (результаты контрольного эксперимента) 118
Заключение 181
Литература 185
Приложения 193
- Стадии интеллектуального развития и проблема соотношения обучения и развития
- Становление комбинаторного и вероятностного мышления у детей и подростков
- Исследование психологических условий обучения математическим понятиям на основе теории поэтапного формирования умственных действий
- Характеристика уровня общего умственного развития и комбинаторного мышления (результаты констатирующего эксперимента)
Введение к работе
Работа посвящена изучению становления комбинаторного мышления у младших школьников и подростков в условиях стихийного развития и школьного обучения, а также в ходе целенаправленного формирования.
Аюуальность темы исследования определяется важностью комбинаторных способов рассуждения в общей структуре научного мышления, а также крайне низкой успешностью овладения ими не только в условиях стихийной практики, но и в рамках школьного обучения.
Однако не только обучение, но и само развитие комбинаторного мыиаешш -закономерности и логико-психологические основания его становления у детей и подростков - исследованы в психологии крайне слабо. Хотя обстоятельное изучение формирования комбинаторных структур мышления было начато в достаточно давних работах школы Ж. Пиаже (50-70-е годы прошлого века), в отечественной психологии данная проблематика, по сути, выпала из поля зрения исследователей. В современной психологической литературе она лишь «по касательной» затрагивается в работах отдельных авторов (В.В. Давыдов, А.Н. Поддьяков, ЮА Полуянов, Е. Fischbein, D.Schnarch, О. Huber и др.).
Фундамеїггальньїе экспериментально-генетические исследования Ж. Пиаже и Б.Инельдер показали, что способности к комбинаторике и вероятностной оценке самостоятельно у детей развиваются очень медленно и слабо, в результате понимание и интерпретация вероятностно-статистической информации находятся на крайне низком уровне. При стихийном, т.е. специально не направляемом, развитии даже элементарные вероятностные и комбинаторные представления в онтогенезе формируются довольно поздно - к концу подросткового возраста - и далеко не у всех, а, кроме того, по своим психологическим качествам они остаются представлениями житейского уровня.
Итак, формирование подлинных понятий комбинаторного мышления без специально организованного обучения не происходит, но и в рамках обычного школьного обучения, как констатируют математики, комбинаторные представления практически не формируются. Фактически только незгіачительная часть современных школьников - так называемых математически одаренных детей - самостоятельно, без специального обучения, в какой-то степени овладевает умением рассуждать на языке комбинаторных понятий (Медведева, 1990; Белокурова, 1993; Бунимович, 2002; и др.).
Между тем в современном обществе требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся существенно повышаются. Официальным признанием этого обстоятельства стало постановление Министерства образования Российской Федерации (от 23.09.2003) о планировании с 2006 года обязательного введения в программу общеобразовательной школы по математике раздела «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей».
Введение вфоятностночггатистической линии в школе, ставшее велением времени, одновременно породило немало проблем. К ее появлению оказались не готовы буквально все - от учителей до авторов школьных учебников, тем более что попытки включения в школьный курс математики понятия вероятности события, основ комбинаторики и статистики в нашей стране ранее уже предпринимались, но не вели к успеху. В силу своей изолированности и инородности данный материал оказался для детей слишком сложен, формален, плохо усваивался, чем полностью дискредитировал себя в глазах педагогов и вызвал негативное отношение учащихся (Березина, 1975; Волгина, 1977, и др.). Анализируя причины неудач, математики и педагоги (Е.А. Бунимович, Л.О. Бычкова, О.С. Медведева, ВДСелютин, АП. Шихова и др.) столкнулись с парадоксальной ситуацией: оказалось, что в начальной школе вводить комбинаторно-вероятностные понятия рано, так как большинству младших школьников еще недостает необходимой «логической зрелости», а также математического аппарата для описания комбинаторно-вероятностных представлений, но в старших классах- вводить их уже поздно, поскольку к фактически той же логической неготовности добавляется характерная для преподавания математики в этом возрасте формализация знаний (опора на предъявление и освоение материала в виде формул), которая серьезно препятствует подлинному освоению указанных понятий.
В последние годы в нашей стране осуществлены некоторые шаги к введению в школьный курс математики основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики: разработаны экспериментальные учебные программы, базисные и школьные учебные планы, выпущены новые учебники математики для средней школы, в которых представлен стохастический материал, появился ряд научно-методических работ, посвященных данной проблеме. В методической литературе встречаются примеры интуитивного приближения математиков к необходимости специального введения комбинаторных понятий, идет поиск особых приемов для их преподавания (Шихова, 1978; Белокурова, 1993; и др.). Однако в целом проблема методического обеспечения полноценного формирования комбинаторно-вероятностных понятий еще далека от решения.
Таким образом, классическая проблема психологии о соотношении обучения и развития применительно к усвоению детьми комбинаторно-вероятностных понятий встает с особой остротой. Действительно, самостоятельно, т.е. в ходе стихийно-спонтанного развития детей эти понятия у них практически не формируются, но в то же время без определенной «готовности», «зрелости» мышления ребенка, влиять на развитие которого математики не могут, попытки обучения им обречены оставаться сугубо формальными и малоэффективными. Очевидно, что выход из сложившейся ситуации лежит в области полидисциплинарных исследований: необходимо, в частности, объединение усилий педагогов и психологов, использующих современные достижения математики, дидактики, психологии. Следует заметить, что отдельные отечественные педагоги-математики понимают и признают необходимость учета законов психологической организации усвоения вероятностно-комбинаторных понятий (Медведева, 1990; Белокурова, 1993; Бунимович, 2002; Селютин, 2003; и др.), однако их попытки в этом направлении пока не привели к ощутимым результатам.
В сложившейся ситуации решение может дать подход к проблеме со стороны психологии. Как известно, отечественная возрастная и педагогическая психология обладает богатым опытом разработки психологических программ по разным дисциплинам для учащихся средней и высшей школы. Этот опыт, накопленный главным образом благодаря работам П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, Л.Ф.Обуховой и их многочисленных учеников и сотрудников, позюляет поставить вопрос о необходимости разработки специальной психологической пропедевтики комбинаторных понятий у детей (т.е. подготовительного, элементарного курса занятий, предваряющего более глубокое - собственно математическое - изучение дисциплины). Программа такой пропедевтики должна обеспечивать связь научных понятий в области комбинаторики с необходимым предметічо-практическим опытом деятельности и ориентировки детей в данной сфере, а также учитывать другие, собственно психологические, условия формирования элементов комбинаторного мышления.
Считается общепризнанным, что современный научный подход к построению методов обучения требует не только знания той или иной предметной области (в данном случае математики), но и учета возрастных особенностей познавательного развития детей, для которых предназначена методика, а также знания принципов психологически грамотной организации процесса усвоения знаний. В реализации этих требований мы обратились к достижениям двух ведущих психологических направлений — к работам по формированию научных понятий школы Л.С. Выготского, в частности, к теории поэтапного формирования действий и понятий П.Я. Гальперина, и теории онтогенетических стадий интеллектуального развития Ж. Пиаже. Исследования Ж.Пиаже дают не только возрастную картину становления комбинаторных структур, но и ценные средства оценки интеллектуального развития, тонкие диагностические задания. Теория поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина формулирует основные принципы построения психологически грамотного и потому эффективного обучения. В свою очередь, теория учебной деятельности и концепция построения учебного предмета Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова намечает способы организации содержания усваиваемого предмета.
Таким образом, в теоретическом плане актуальность вопросов, поднимаемых в данном исследоваїгаи, диктуется тем, что выявление содержания ориентировочной основы действий, необходимых для овладения детьми элементарными комбинаторными понятиями, раскроет психологические основы развития такой важной стороны интеллектуального развития, как комбинаторное мышление.
В практическом плане установление содержания и оптимальной психологической организации ориентировки детей в разных типах комбинаторных соединений необходимо для построения программы обучения, делающей доступным для школьников полноценное овладение комбинаторными понятиями.
Объектом исследования было интеллектуальное развитие учащихся начального и среднего звена школы.
В качестве предмета исследования выступило становление комбинаторного мышления у детей младшего школьного возраста и подростков.
Целью данного исследования стало определение психологических условий формирования понятий комбинаторного мышления и разработка программы обучения учащихся средней школы обобщенному способу решения задач на основные типы комбинаторных соединений (сочетания, размещения, перестановки).
В качестве гипотез исследования были выдвинуты следующие предположения:
1. Развитие комбинаторного мышления у детей связано с практическим опытом оперирования множествами и зависит от характера ориентировки в основных свойствах множества (объем, состав, порядок элементов и др.).
2. Усвоение полноценной ориентировки в свойствах множества и его элементов делает доступными понятия математической комбинаторики не только для подростков, но и для мтадишх школышков.
3. Формирование основных типов соединений из области математической комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки) служит эффективным средством развития комбинаторного мыипения детей и подростков.
Цель и гипотезы исследования обусловили постановку следующих задач:
теоретический анализ проблемы обучения и развития применительно к становлению понятий комбинаторного мышления у детей и подростков;
анализ трудностей усвоения детьми комбинаторных представлений при традиционном обучении математике в школе;
оценка уровня развития комбинаторного мышления детей и подростков;
выявление содержания полной ориентировочной основы действия учащихся по построению разных типов комбинаторных соединений;
разработка и опробование экспериментальной программы обучения решению комбинаторных задач, включающая пропедевтику комбинаторных представлений, в соответствии с принципами метода поэтапного формирования;
6) экспериментальное формирование обобщенного способа решения комбинаторных задач у младших школьников и подростков с учетом возрастных особенностей процесса;
сравнительная оценка эффективности экспериментальной и традиционной программ формирования комбинаторики;
прослеживание динамики изменений в комбинаторном мышлении детей и прочности усвоения комбинаторных понятий в отсроченном контрольном эксперименте.
Организация исследования предполагала три экспериментальных этапа.
1) Констатирующий этап был направлен на определение исходного уровня умственного развития детей, а также анализ трудностей усвоения комбинаторных представлений при традиционном обучении математике в школе.
2) В задачи формирующего этапа входило выявление содержания ориентировочной деятельности учащихся при овладении действием по составлению разных типов комбинаторных соединений; построение, опробование и коррекция программы пропедевтики и поэтапного освоения комбинаторных представлений.
3) На этапе контрольного эксперимента оценивалось влияние формирующей программы и предваряющей ее пропедевтики на показатели комбинаторного мышления, а таюке общего умственного развития детей. Специально прослеживалась динамика комбинаторных представлений у подростков в условиях стихийного развития.
Для более полной оценки эффективности экспериментальной программы параллельно ей проводилось обучение комбинаторным понятиям традиционным способом (в контрольных группах). Возрастные особенности комбинаторного мышления изучались путем сравнения показателей учащихся двух возрастных ступеней - младших школьников и подростков.
Методологическую основу исследования составляют: возрастно-психологический подход к анализу психического развития в онтогенезе, разработанный в работах Л.С. Выготского и его последователей, теория поэтапно-планомерного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина, теория учебной деятельности и концепция построения учебного предмета Д.Б. Эльконина и В.В.Давыдова, а также критерии оценки умственного развития, предложенные Ж. Пиаже и Б. Инельдер.
Методы исследования. Основным методом исследования, в соответствии с принципами которого составлялась пропедевтическая программа освоения комбинаторных представлений, служил метод поэтапно-планомерного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина. В ходе констатирующего и контрольного экспериментов использовались методики оценки общего умственного развития детей («Профессивные матрицы» Дж. Равена, «Дополнение до целого» Гриллс и Уилсон); задания Ж. Пиаже и Б. Инельдер на определение уровня операционального развития детей и комбинаторику, случайность и вероятность в их классической форме с использованием клинического метода; большой набор математических задач из учебно-методических пособий по математике на владение комбинаторно-вероятностными представлениями разного уровня сложности.
Полученные нами данные позволяют сформулировать следующие положения, выносимые на защиту:
В условиях стихийной жизненной практики и традиционных форм школьного обучения становление комбинаторного мышления у детей и подростков характеризуется значительными трудностями, медленным темпом, а также ярко выраженной индивидуальной вариативностью, при которой комбинаторные представления значительной части подростков сохраняются на уровне младшего школьного и даже дошкольного возраста.
Для успешного освоения логических предпосылок комбинаторного мышления детям требуется адекватный предметно-практический опыт оперирования множествами (составление различных множеств с учетом свойств их элементов и соотнесение с подмножествами). Поскольку стихийная жизненная практика и традиционные формы школьного обучения обычно не обеспечивают такого рода опыта, требуется специальная пропедевтика, в ходе которой дети могут приобрести опыт реального предметно-практического, а не только словесно-знакового действия с множествами (на основе формул).
Необходимым психологическим условием развития комбинаторного мышления у детей и подростков выступает ориентировка на такие свойства множества и его подмножеств, как объем, а также состав, порядок и повторяемость элементов.
Ориентировочная основа для трех типов комбинаторных соединений (сочетания, размещения, перестановки) должна строиться как единая, целостная система, наглядно раскрывающая связи между разными типами соединений, в отличие от их раздельного представления, общепринятого в существующих программах преподавания комбинаторики. Раскрывая генетически исходные отношения, такая ориентировка делает доступным освоение обобщенного способа решения комбинаторных задач, обеспечивает осознанность и системность комбинаторных понятий.
5. Экспериментальная программа пропедевтики и обучения понятиям математической комбинаторики, построенная на основе метода поэтапного формирования умственных действий, обеспечивает полноценное их усвоение учащимися не только подросткового, но и лаадшего школьного возраста, независимо от уровня их успеваемости.
6. Пропедевтика и поэтапное формирование основных типов соединений из области математической комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки) служат эффективным средством развития комбинаторного мышления детей и подростков. В свою очередь комбинаторный способ рассуждений оказывает ощутимое положительное влияние как на развитие операционального мышления учащихся (по критериям Ж. Пиаже), так и на их общее умственное развитие (по показателям теста Дж. Равена и др.).
Научная новизна работы определяется тем, что впервые исследовано и разносторонне охарактеризовано становление комбинаторного мышления младших школьников и подростков в условиях стихийного развития, школьного обучения, а также в ходе целенаправленного формирования; получена картина развития комбинаторного мышления у современного поколения отечествешіьк школьников, обнаруживающая его весьма значителыгую индивидуальную вариативность в темпах и достигаемом уровне комбинаторных представлений.
Показано значение адекватного предметно-практического опыта оперирования с множествами для успешного формирования основных комбинаторных понятий и недостаточность стихийной жизненной практики и школьного обучения. Обоснована необходимость специальной предметно-практической пропедевтики комбинаторных понятий. Выявлено содержание ориентировочной основы действий по составлению комбинаторных соединений. Показано, что ориентировка на такие свойства множества, как объем, а также состав, порядок и повторяемость элементов, служит необходимым психологическим условием становления комбинаторного мышления.
На основе метода поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я.Гальперина впервые разработана методика формирования комбинаторных действий, обеспечивающая полноценное овладение учащимися основами математической комбинаторики, а также стимулирующая развитие формально-операциональной логики (структур комбинаторного мышления по Ж. Пиаже). Показан ощутимый развивающий эффект, оказываемый усвоением комбинаторных понятий на общее умственное развитие детей и подростков.
Создана оригинальная программа обучения учащихся обобщенному способу решения комбинаторных задач, эффективность которой обусловлена одновременным представлением в единой системе всех трех типов математических соединений (размещений, перестановок, сочетаний). Получены эмпирические данные, убедительно свидетельствующие о целесообразности введения раздела о комбинаторике в программу по математике начальной школы (при условии соответствующего способа ее преподавания).
Теоретическое значение работы определяется тем, что классическая проблема соотношения обучения и развития получила конкретизацию и научное осмысление в отношении крайне мало изученной области мышления. Полученные результаты убедительно продемонстрировали продуктивность применения формирующей стратегии исследования в отношении такого сложного аспекта умственного развития, как комбинаторное мышление. Работа открывает новые перспективы в исследовании онтогенеза мышления, поскольку установленные в ней психологические условия формирования комбинаторных понятий проливают свет на механизмы становления базовых логических структур.
Практическое значение исследования заключается в разработке программы эффективного обучения обобщенному способу решения задач из раздела математической комбинаторики в начальном и среднем звене основной школы. Разработанная методика также может использоваться педагогами-математиками и представителями психологической службы на дополнительных занятиях в школе в качестве средства развития мышления учащихся, а также для организации психологической помощи (например, для «терапии успехом» слабоуспевающих учеников).
Выборка испытуемых. В исследовании приняли участие учащиеся 4-х, 8-х классов средней общеобразовательной школы №7 города Кимовска Тульской области.
Общая численность выборки детей, принимавших участие на разных этапах экспериментального исследования, составляет - 348 человек (168 мальчиков и 163 девочки). Возраст испытуемых начальной ступени школы - от 8;5 до 10;8 лет, возраст учащихся среднего звена школы - от 10;4 до 16;10 лет1.
Достоверность и надежность полученных результатов обеспечивалась научно-методологической обоснованностью исследования, использованием комплекса методов, адекватных его предмету, цели, задачам и гипотезам, репрезентативностью выборки, применением аппарата математической статистики для обоснования статистической достоверности полученных результатов (компьютерная программа SPSS. 10.05 for WINDOWS).
Апробация диссертации состоялась на заседании кафедры возрастной психологии МГУ, а также на Всероссийской научно-практической конффенции "Актуальные проблемы прикладной психологии" (2006 г., Калуга).
Структура исследования. Диссфтация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литфатуры содержит 143 наименования (из них 13 - на иностранных языках). Объем основного текста составляет 192 страницы. Приложения содержат таблицы данных, примфы заданий из формирующего и контрольного экспериментов, а также методические и статистические матфиалы, не вошедшие в основной текст работы.
Стадии интеллектуального развития и проблема соотношения обучения и развития
Последовательные этапы развития мышления в онтогенезе, как правило, описываются в психологии через характерные особенности доступных детям понятий -житейских, т.е. формирующихся на основе стихийно-практического освоения детьми окружающего мира, и научных, приобретаемых в процессе специального обучения. Оба вида понятий представляют собой специфический продукт речевого мышления и содержат в себе некоторое обобщение (тип производимой детьми группировки) -особенности выделяемых в предметах признаков, их устойчивость и ориентация на них при составлении группы (Давыдов, 1972). Уделяя в своих работах большое внимание анализу развития у детей обобщений, фиксированных в понятиях, Л.С. Выготский полагал, что по основной их форме можно определить уровень развития мышления.
Л.С. Выготский (1956) выделил и описал три основные, качественно отличные, но генетически связанные, ступени обобщения: сипкреты, комплексы и понятия. На стадии ашкретов ребенок группирует предметы по случайному впечатлению, часто не позволяющему выделить какие-либо объективные связи между ними. На следующей стадии - комплексов - объединение предметов происходит также на основе непосредственного (субъективного) чувственного опыта ребенка, но уже с учетом фактических связей. Эти связи, как и основания группировки, могут меняться, терять свои очертания, но всегда проявляются в определенной практической ситуации. Л.С.Выготский писал, что именно комплексное мышление ребенка делает «первые шаги по пути обобщения разрозненных элементов опыта» (там же, с. 198). Важную роль в образовании такого обобщения играет словесный знак, выполняющий функцию фамильного обозначения предметов, объединенных по определенному фактическому признаку. На данной стадии разные признаки еще равны в своем функциональном значении.
На высшей, понятийной, стадии развития мышления разрушается подчинение конкретному характеру ситуации и происходит объединение абстрактных признаков в понятии. Таким образом, подлинное понятие, по Л.С. Выготскому, возникает только тогда, когда в сознании субъекта синтезируется ряд абстрагированных (а не наглядных) признаков. Направляя внимание на соответствующий общий признак, слово на данной стадии выполняет уже другую функцию, чем в комплексном мышлении, - оно является средством абстрагирования, а не простого обозначения наглядного признака. Как подчеркивает В.В. Давыдов (1972), Л.С. Выготский определяет понятие как «осознаваемое обобщение», отражающее наиболее существенные свойства предметов и явлений, общие связи и соотношения. Такое понятие приближается к научному. Последнее же носит произвольный, осознанный и системный характер и приобретается только благодаря организованному обучению, что, однако, происходит достаточно поздно — обычно к подростковому возрасту - и вовсе не обязательно охватывает все области познания.
На предшествующих стадиях развития (а нередко и на последующих) наибольшее распространение имеет такая форма мышления, как псевдопонятие, т.е. «по внешним особенностям производимого обобщения - это понятие, но по типу процесса, приводящего к обобщению, - это комплекс» (Давыдов, 1972, с. 190). Механизмы возникновения и широкого распространения псевдопонятий Л.С. Выготский (1956) видел в процессе усвоения живой речи: взрослые не могут передать ребенку свой способ мышления, на основе которого производилось обобщение, поэтому ему приходится группировать указанные предметы своим особым способом. Доступное ребенку создание комплексов, охватывающих тот же круг предметов, что и понятия, делает возможным взаимопонимание с взрослыми. Но значение-комплекс - это еще не понятие, это псевдопонятие, так как в их основе лежат другие интеллектуальные операции (Давыдов, 1972).
Исследование развития житейских и научных понятий, образования искусственных понятий у детей разного возраста позволило Л.С. Выготскому разрушить предрассудок о том, что псевдопонятия являются исключительным достоянием ребенка, а обобщение в мышлении выступает только в наиболее развитой своей форме - в форме понятия. Л.С.Выготский замечает, что даже понятия взрослого человека, если их применение ограничено лишь сферой житейского опыта, часто не поднимаются выше уровня псевдопонятий и, «обладая всеми признаками понятия с формально логической точки зрения, все же не являются понятиями с точки зрения диалектической логики, оставаясь не больше, чем общими представлениями, т.е. комплексами» (1956, с. 204). Это значит, что понятия, встречающиеся в нашей житейской речи, являются не понятиями в собственном смысле этого слова, а общими представлеігаями о вещах и образуют переходную ступень от комплексов и псевдопонятий к истинным понятиям (Давыдов, 1972).
Процесс становления понятий Л.С. Выготский исследовал в разных аспектах, в том числе как проблему соотношения «житейских» (спонтанных) и «научных» понятий или проблему различия путей их формирования у детей. «Ряд понятий закладывается у ребенка в условиях широкого внесистемного общения с широкой социальной средой. Это близкие ему бытовые понятия, условно названные нами житейскими. Некоторые понятия возникают лишь в школе, в процессе обучения. Их источником не является личный опыт ребенка - они начинают свою жизнь со слова, с определения», - писал Л.С. Выготский (1956, с. 209).
Житейские понятия возггикают при столкновении ребенка с реальными вещами, с их конкретными свойствами, среди которых он постепенно, после длительного сопоставления, находит сходные черты и с помощью слова относит их к определенному классу предметов (образует «общее представление»); они с трудом осознаются ребенком, хотя он хорошо пользуется ими. Это путь от конкретного к абстрактному.
Развитие научного понятия, по мнению Л.С. Выготского, начинается не с непосредственного столкновения с вещами, а с работы над самим понятием, со словесного определения, выражающего определенную абстракцию. Ребенок с самого начала обучения устанавливает логические отношения между понятиями и лишь на этой основе происходит движение от понятия к вещи - от абстрактного к конкретному, связываясь с опытом. Поэтому само понятие осознается лучше, чем его предмет. Этот путь возможен только внутри специально организованного обучения детей научным знаниям и является его специфическим результатом (Давыдов, 1972).
В формировании подлинно научных понятий у детей Л.С. Выготский увидел три главных момента: установление зависимости между понятиями, т.е. образование их системы, осознание ребенком собственной мыслительной деятельности; возникновение особого отношения к объекту, позволяющее отражать в нем то, что недоступно житейским понятиям, т.е. проникать в сущность объекта (1956). Л.С. Выготский подчеркивает, что отдельное понятие может существовать только посредством системы понятий; существование последней неразрывно связано с рефлексией - обращением сознания на свою собственную деятельность. Рефлексия порождает особый тип обобщения, который присутствует в научном понятии, в высших формах человеческого мышления: «Абстракции и обобщения своей мысли принципиально отличны от абстракции и обобщения вещей» (там же, с. 304).
Становление комбинаторного и вероятностного мышления у детей и подростков
В ходе исследования стадии формальных операций Ж. Пиаже и Б. Инельдер разработали для детей разнообразные логические задачи, а также задания, связанные с материалом из некоторых научных дисциплин (физики, химии и др.). Целая группа экспериментов была направлена на изучение генезиса комбинаторных операций и операций, подобных комбинаторным (Inhelder, Piaget, 1958; Флейвелл, 1967). В результате этих исследований была получена развернутая содержательная и возрастная характеристика эволюции данной сферы мышления у детей.
Например, в одном из экспериментов детям давали пять бутылочек с бесцветными жидкостями, и просили найти комбинацию, при которой получается желтая жидкость. Испьпуемые разных возрастов по-разному выполняли предложенное задание. На дооперациоиашюм уровне дети обычно устанавливали между элементами несколько случайных ассоциаций, не понимая толком, что этими ассоциациями можно доказать. Дети, находящиеся на стадии конкретных операций, пытались решить эту задачу методом проб и ошибок: они смешивали растворы в случайном порядке. Однако, несмотря на появление систематического структурирования данных, оно еще было «не адекватно для решения задачи» (Флейвелл, 1967, с. 278): испьпуемые Пиаже смогли составить лишь отдельные немногочисленные комбинации из общего числа возможных. Подростки же действовали по-взрослому, подобно ученым или логикам: сначала они фиксировали весь набор возможных комбинаций смешения жидкостей, а затем формулировали гипотезы о возможных результатах и планомерно их проверяли. Проверив свои предположения, они получали результат, который был заранее логически обоснован.
В других экспериментах этой серии необходимо было найти число попарных комбинаций группы объектов А, В, С и т.д., например: АВ; АС; ВС и др.; или требовалось определить не комбинации, а возможные перестановки, например: ABC; АСВ; ВАС и др.; или имелась совокупность, содержавшая ряд элементов каждого типа, и испытуемый должен был установить все различные «аранжировки» парного типа, например: АА; АВ; ВА; ВВ и т.д Выполнение последнего эксперимента подтвердило гипотезу о том, что «действительно упорядоченный способ подсчета комбинаций, перестановок и аранжировок является в основном прерогативой подростков» (Флейвелл, 1967, с. 449).
Ж. Пиаже (1972) сопоставил позиции детей конкретно-операционального уровня и подростков, способных к формальному рассуждешло, при выведении некоторых простейших физических законов. Описывая поведение младших детей в экспериментальной ситуации, он отмечал, что испытуемые обращались непосредствешю к материалу, лежащему перед глазами, и действовали путем проб и ошибок, не стараясь выделить действующие факторы; их попытки ограничивались классификацией и упорядочиванием происходящего, наблюдением за сопряженными изменениями признаков. В отличие от них, подростки, после нескольких попыток, прекращали экспериментирование с материалом и принимались составлять перечень всех возможігьгх гипотез, которые затем начинали проверять, последовательно выделяя действующие переменные и изучая влияние каждой при условии, что другие переменные неизменны. Такой тип поведения, по мнению Ж. Пиаже, предполагает установление двух новых структур, первая из которых - комбинаторная система.
Итак, если на уровне конкретных операций ребенок в состоянии связать элемент с соседним, но соотнести любые два элемента еще не может, то подросток, овладев способом гипотетического рассуждения, может применить свою оботценную комбинаторную способность. Указанное исследование вновь показало, что элементарные системы классификации и сериации, наблюдаемые между 7-10 годами, еще не образуют комбинаторной системы; только «между 12-15 годами подростки, независимо от школьного обучения, начинают выполнять операции, связанные с комбинаторным анализом, системой перестановок» (Пиаже, 1972, с. 236).
Таким образом, по данным Ж. Пиаже и Б. Инельдер, к достаточно эффективному комбинированию факторов и анализу их взаимодействия способны лишь подростки и взрослые. Именно гипсп-етико-дедуктивная позиция, комбинаторный метод и другие свойства формального мышления дают средства для выделения тех переменных, которые могут служить причинами других явлений, для сохранения неизменным одного фактора с целью выявления последствий вариации другого и др. Поэтому подросток способен не только представить себе различные пути преобразовшшя данных для эмпирического их испытания, но и логически правильно истолковать результаты эмпирических проб.
Поскольку комбинаторные понятия образуют одно из оснований вероятностного мышления, представим далее общую линию его развития в онтогенезе. Проследить этапы формирования у детей представлений о вероятности также позволяет специальная серия экспериментов, осуществленных Ж. Пиаже и Б. Инельдер (Inhelder, Piaget, 1958; Флейвелл, 1967). В формировании вероятностных представлений Ж. Пиаже и Б. Инельдер выделили несколько периодов, аналогичных описанным выше применительно к комбинаторным представлениям. В течение первого периода (с 4 до 7 лет) дети еще не способны разделить возможные и необходимые события: «мьшшение здесь развивается в сфере непосредственной деятельности ребенка, оставаясь таким же далеким от понятия случайности, как и от операциональной дедукции» (Флейвелл, 1967, с. 275). Ребенок не может понять необратимость, внутренне свойственную случайным событиям, поэтому воспринимает чудеса в порядке вещей.
В течение второго периода (примерно с 7 до 11 лет) «ребенок открывает случайные события в их самой наивной форме - как непредсказуемые, в противоположность таким событиям, которые определенным образом детерминированы, и которые мотаю представить на основе логических операций» (там же, с. 276). Это открытие связано с развитием и вступлением в действие конкретных операций, связанных с классификацией, установлением отношений, освоением натуральных чисел, а также с причинными и пространственно-времетгыми отношениями.
В течение третьего периода, благодаря появлению формальных и, в частности, комбинаторных операций, подросток приобретает способность выразить числом степень уверенности в наступлении случайного события. Оценивание вероятности «является результатом сравнения совместимых обратимых событий, с одной стороны, и необратимых случайных событий, с другой, в то время как лишь малая часть универсума возможных событий реализуется в действительности. Открытие случайного распределеігия как функции «большого числа испытаний» в психологическом плане образует подлинную основу понимания вероятности» (Флейвелл, 1967, с. 276).
Исследование психологических условий обучения математическим понятиям на основе теории поэтапного формирования умственных действий
Формирование понятий, согласно П.Я. Гальперину, осуществляется в ходе активной деятельности субъекта. При этом главную и собственно психологическую сторону деятельности субъекта составляет ее ориентировочная сторона. В связи с этим и результаты, и сам ход обучения в решающей степени зависят от полноты и характера ориентировки субъекта, от того, в какой мере им фактически учитываются необходимые свойства объектов и условий среды (Гальперин, 1998).
Предметное действие, являясь исходным пунктом развития мышления, по ПЛ.Гальперину, состоит из двух частей - ориентировочной и исполнительной. Полагая, что именно ориентировочная часть образует психологический механизм действия, П.Я.Гальперин (1998) выделил три типа ориентировки в предмете (и соответствующие им типы учения). Картина последовательных этапов формирования умственных действий отображает закономерности процесса усвоения, раскрывает условия и психологические механизмы, лежащие в основе успешного обучения.
При первом типе внимание ученика обращено на «внешнюю форму образца, самого действия и его продукта» (Обухова, 1996, с. 307); ребенок самостоятельно, путем проб и ошибок, находит ориентиры для правильного вьшолнения действия. В этом случае окончательная структура действия устанавливается медлешю, не всегда осознается; успех обучения зависит от уровня интеллектуального развития ребенка, а сформированное действие чувствительно к сбивающим воздействиям. Ученик приобретает «житейскую мудрость», которой достаточно для действия в ограниченном круге житейских обстоятельств. Первый тип ориентировки лежит в основе традиционных форм обучения и объясняет большинство его трудностей и недостатков, зависимость от способностей (и уровня интеллектуального развития) ученика и т.д.
При втором типе ориентировки все необходимые условия для правильного выполнения действия выделяет экспериментатор (или педагог), таким образом, ребенку предоставляется полная система ориентиров, гарантирующих безошибочность действия, заданный диапазон его обобщенности, высокий уровень осознанности, критичности и других первичных и вторичных свойств действия. Однако данный тип обучения труден тем, что требует от учителя полной объективации всех условий, необходимых для выполнения действия и формирования полноценного понятия.
Обучение по третьему типу ориентировки направлено уже не на условия вьшолнения конкретного действия, а на принципы строения изучаемого материала, на предметные единицы, из которых он состоит, и законы их сочетания (Обухова, 1996). Это наиболее эффективный по своему развивающему потенциалу, но и наиболее трудный для практической реализации путь построения обучения.
Таким образом, по мнению П.Я. Гальперина, «ранее известные формы обучения, несмотря на внешнее разнообразие, оказались вариантами одного и того же метода, при котором умственная деятельность ученика в процессе овладения новым заданием происходит без достаточного руководства, контролируется главным образом по конечному результату и приходит к нему ощупью» (Гальперин, 1998, с. 358). Разброс индивидуальных показателей по успеваемости при традиционном обучении объясняется различием способностей учащихся. Картина радикально меняется при обучении в соответствии с методом поэтапного формирования: в этом случае происходит разделение ориентировочной и исполнительной частей действия, причем именно ориентировочной части уделяется главное внимание, поскольку она «в первую очередь отвечает за ход обучения и качество его результатов» (там же, с. 360).
Итак, деятельность ученика по усвоению понятий необходимо определенным образом организовать. П.Я. Гальперин выделил этапы такой организации («шкала поэтапного формирования»), в результате осуществления которых предметное действие трансформируется, интериоризуется и становится мыслью об этом действии, т. е. внутренним достоянием ребенка. Какою же содержание этих этапов?
На первом этапе создается мотивациопная основа формируемого действия. «Возбуждение познавательного интереса возможно путем необычного сопоставления фактов, которые до этого были известны ребенку с другой стороны и в других сочетаниях. Начинать нужно с чего-то известного, что служит для ребенка понятной отправной точкой познавательного движения. Но известное нужно тут же показать с новой стороны, чтобы вызвать удивление - начало всякого исследования» (Гальперин, 1998, с. 383).
На втором этапе происходит создание полного набора условии, обеспечивающих правильное выполнение нового действия, т.е. ориентировочной основы действия (ООД). В ней представлены цель, образец требуемого продукта, способ действия и существенные условия, на которые нужно ориентироваться для достижения цели. П.Я. Гальперин указывал, что схема ООД должна быть представлена во внешней, удобной для восприятия форме - в виде записи на карточке. Благодаря этому, перед ребенком с самого начала ясно выступают образцы того, чем ему предстоит овладеть; дальше они становятся «орудиями его деятельности и каркасом формируемых действий и понятий» (там же, с. 362).
Третий этап - формирование действия в материальной или материализованной форме: «Для уверенного воспитания действия его материал и отдельные его звенья должны выполняться или на оригинальных предметах - материально, или на моделях, схемах, чертежах, изображениях, словом, материализовано» (Гальперин, 1998, с. 360). На следующем этапе «действие отрывается от вещей и переносится в план громкой речи, именно речевая форма становится опорой его вьтолнения и главным предметом отработки» (там же, с. 300). Обобщенное содержание действия, отделяясь от конкретного содержания вещей, превращается в абстракции, которые «очищают и упрощают материал и тем существенно облегчают действие» (там же, с. 301).
Этап формирования действия во внешней речи про себя характеризуется постепенным исчезновением внешней, звуковой стороны речи: «становящееся действие остается внешним лишь в незначительном количестве ключевых ориентировочных и исполнительских моментов, по которым осуществляется контроль (как внешний, так и внутренний)» (Подольский, 2002, с. 23). Основное же содержание переносится во внутренний, умственный план. После указанных выше преобразований умственное действие «приобретает вид непосредственного одномоментного усмотрения решения проблемной ситуации» (там же, с. 23), что свидетельствует о наступлении последнего этапа - этапа «сбытойречи», или собственно умственного действия.
Характеристика уровня общего умственного развития и комбинаторного мышления (результаты констатирующего эксперимента)
Главными задачами этапа констатирующего эксперимента были: 1) оценка исходного уровня развития комбинаторно-вероятностных представлений у младших школьников и подростков, 2) определение их общего уровня умственного развития, а также 3) анализ трудностей, возникающих у детей при вьшолнении комбинаторных заданий. Для решения этих задач был подобран комплекс заданий, в состав которого входили четыре блока методик. 1. Первый блок содержал средства оценки общего умственного развития. Такая оценка была необходима для того, чтобы установить доступность разрабатываемой методики детям разного уровня интеллектуального развития. 1.1. «Прогрессивные матрицы» Дж. Равена, предназначенные для диагностики общего интеллектуального уровня детей и подростков в возрасте от 8 до 16 лет. Материал черно-белого варианта теста состоит из 60 матриц или композиций с пропущенным элементом. Задания разделены на 5 серий (А, В, С, Д, Е) по 12 однотипных, но возрастающей сложности матриц в каждой серии. Трудность заданий возрастает и при переходе от серии к серии. Обследуемый должен выбрать недостающий элемент матрицы среди 6-8 предложенных вариантов (Равен Дж., 1997). Для надежности результатов дополнительно детям предлагалась еще одна тестовая методика: 1.2. «Дополнение до целого» (Уилсон Г., 1994), направленная на оценку общего умственного развития детей от 5 до 11 лет. В тест входит 30 заданий разного уровня сложности, предполагающих владение целым рядом логико-математических и пространственных операций (например, операций на установление тождества либо различия элементов, закономерности их чередования, учет пространственной ориентация фигур и оперирование образами, определение числовых и комбинаторных соотношений и др.). По результатам выполнения теста подсчитывается «коэффициент успешности» решения заданий. 2. Второй блок заданий был направлен на оценку уровня операционального развития детей. Здесь применялись задачи Ж. Пиаже и К Ипельдер (Флейвелл Дж., 1967; Инельдер Б., 2001) на комбинаторш у, случайность и вероятность в их классической форме с использованием клинического метода. С помощью этих заданий оценивалась онтогенетическая составляющая развития комбинаторно-вероятностных представлений детей. Всего использовалось 5 задач, успешное выполнение которых предполагало владение испытуемыми методом комбинаторного анализа. Набор задач, тексты которых представлены в табл. 2, включал: 2.1. Задание на выявление интуитивных представлений о случайном распределении дискретных элементов в процессе их смешивания. 2.2. Случайность и подстроенное «чудо» в игре «Орел или решка». 2.3. Задача на квантификацию вероятностей - «Игра в лотерею». 2.4. Случайный выбор пар. 2.5. Объединение операций. 3. Для третьего блока диагностического комплекса был подобран целый ряд математических задач на выявление исходного уровня развития собственно комбинаторных представлений. Испьпуемым предлагались типичные задачи на основные виды комбинаторные соединений, обычно осваиваемые учащимися в школе. Задания были взяты из новых экспериментальных учебников по математике (Ткачева, 2003; Шеврина, 2003). Теоретически уровень сложности заданий предполагал их доступность для всех учащихся 7-8 классов общеобразовательных школ.
Набор задач па основные типы комбинаторных соединений - перестановки, сочетания, размещения без повторения и с повторением (всего 6 задач, их условия приведены в табл. 2) - позволил определить исходный уровень развития комбинаторных представлений и выявить типичные трудности, возникающие у школьников при выполнении комбинаторных заданий. Анализ указанных трудностей был необходим для определения содержания ориентировочной деятельности учащихся в процессе овладения действием по построению разных типов комбинаторных соединений. Напомним, в соединениях без повторения предполагается однократное использование в наборе каждого элемента множества, в соединениях с повторением каждый элемент может использоваться любое количество раз.
В четвертый блок диагностического комплекса были включены задания на понимание вероятности. Эти задания были заимствованы из исследования Э.Фишбейна и Д. Шварца (Fischbein et al., 1997), в котором прослеживалась последовательность стихийного формирования вероятностных представлений у детей и подростков. Задания этого типа позволяли оценить возможное влияние освоения комбинаторных понятий на эволюцию представлений о вероятности. Подчеркнем, что в отличие от отдельных, внешне сходных с ними задач из второго блока заданий (Ж. Пиаже и Б. Инельдер), также связанных с областью вероятностей, задачи Э. Фишбейна были направлены не на определение базовых логических (операциональных) структур, лежащих в основе рассуждений детей, а на конкретное исчисление вероятностей событии. Всего было предложено три задачи на самые распространенные вероятностные иллюзии (тексты представлены в табл. 2): 4.1. Задача на учет репрезентативности. 4.2. Задача на влияние предшествующего события. 4.3. Задача на сложное и простое событие. Рассмотрим далее последовательно результаты, полученные по описанным выше методикам при обследовании младших школьников и подростков - учащихся средней общеобразовательной школы № 7 города Кимовска Тульской области. Задания констатирующего эксперимента проводились индивидуально.
