Содержание к диссертации
Введение
1 Глауберовские когерентные состояния, одноатомный мазер, модель Джейнса - Каммингса и ее обобщения 10
1.1 Метод когерентных состояний в квантовой оптике 10
1.2 Модель Джейнса-Каммингса 14
1.3 Эксперименты с одноатомным мазером 21
1.4 Обобщении модели Джейнса-Каммингса 24
2 Релаксация фотонной моды в резонаторе и уравнение Фоккера - Планка 28
2 1 Кинетическое уравнение для фотонов и уравнение Фоккера - Планка 28
2 2 Пропагатор уравнения Фоккера-Планка 31
3 Обобщения модели Джейнса - Каммингса в резонаторе конечной добротности. Случай неподвижного атома 38
3.1 МДК с учетом релаксации фотонной моды 38
3.2 МДК с учетом много квантовых переходов 51
3.3 МДК с учетом переходов с разными частотами 59
3.4 МДК с учетом "мазерного" приближения и произвольного начального состояния атома 65
3.5 МДК в случае нулевой температуры резонатора 76
3.6 Контур линии излучения 90
3.7 Чистота (purity) атомной подсистемы в системе "атом + поле" 95
4 Обобщенная МДК с учетом движения атома, релаксации фотонной моды и атомной подсистемы. Модель одноатом ного мазера 101
4.1 МДК с учетом движения атома 101
4.2 Сравнение моделей движущегося и покоящегося атома. Эксперименты с одноатомным мазером 105
Заключение 113
Список использованных источников и литература
- Модель Джейнса-Каммингса
- Пропагатор уравнения Фоккера-Планка
- МДК с учетом переходов с разными частотами
- Сравнение моделей движущегося и покоящегося атома. Эксперименты с одноатомным мазером
Введение к работе
Актуальность проблемы
Простейшей и наиболее фундаментальной системой для изучения взаимодействия излучения с веществом является единичный двухуровневый атом, взаимодействующий с электромагнитным полем одной моды резонатора. В рамках этой модели, как оказалось, могут быть описаны практически все основные эффекты, возникающие при взаимодействии излучения с веществом. Введенная Эйнштейном (см., например, [1]), модель вновь вызвала интерес почти полвека спустя, когда Джейнсом и Каммингсом ([2]) было найдено точное решение для вероятности переходов между уровнями в так называемом приближении вращающейся волны, исключающем из рассмотрения антирезонансные слагаемые (модель Джсйнса-Каммингса (МДК)). Однако лишь в последнее время интерес перестал быть чисто чеоретическим, поскольку реализация одноатомного мазера и микролазера ([3]-[5]) предоставила возможность непосредственного исследования таких систем и экспериментальной проверки основных положений квантовой электродинамики |6].
Актуальность создания новых методов расчета динамики взаимодействия двухуровневого атома с квангованным электромагнитным полем с учеюм диссипативного окружения, обусловлена тем, что разработанные к настоящему времени динамические теории одноатомного мазера имеют ограниченную область применимости. Они либо справедливы не при всех значениях параметров модели мазера ([7]-[11]), либо при получении "точных результатов"исключитсльно громоздки [12], что затрудняет их практическое использование.
Потребность в разработке точной и простой в применении теории одноатомного мазера связана также с возможными потенциальными применениями для так называемых Q-компьютеров (квантовых компьютеров) ([13]-[16]) и применениями для кодирования и декодирования сигналов, передаваемых по квантовому каналу (квантовая криптография). Современ- нос состояние дел в этой интенсивно развивающейся области современной физики отражено в монографии [17| и сборнике статей [18].
Цель диссертационной работы
Цель диссертационной работы заключается в исследовании качественных и количественных особенностей динамики и релаксации фотонных и атомных состояний в неидеальном резонаторе в системе из двухуровневого атома (как неподвижного, так и движущегося сквозь резонатор), взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем и диссипативпым окружением, на основе математического аппарата, использующего технику когерентных состояний.
Для реализации поставленной цели решаются следующие основные задачи:
Формулировка гамильтонианов, описывающих динамику системы в различных обобщениях МДК и вывод кинетического уравнения для редуцированной матрицы плотности системы "атом+фотонная мода".
Построение точного аналитического решения для редуцированной матрицы плотности с использованием техники когерентных состояний и скрытой динамической симметрии модели Джейнса-Каммингса.
Исследование на основе найденной матрицы плотности поведения наблюдаемых величин, актуальных для понимания особенностей динамики одноатомного мазера (среднего числа фотонов в моде, инверсии населенности уровней атома, вероятности изменения состояния атома в полости, Q-фактора Фано-Манделя).
Получение явного аналитического выражения для спектра излучения системы "атом -і- поле" в резонаторе.
Научная новизна
Научная новизна результатов состоит в том, что:
Впервые найдено точное представление матрицы плотности модели Джейнса-Каммингса с фотонными потерями для произвольного на чального состояния фотонной и атомной подсистемы.
Построена точная последовательная динамическая теория одноатомного мазера, свободная от дополнительных ограничений на параметры модели.
Впервые найдено точное выражение для спектра излучения в модели одноатомного мазера для произвольного начального состояния системы.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием строгих математических методов; детальным анализом общих физических принципов, лежащих в их основе; сравнением с результатами, полученными в других работах для частных случаев, сравнением с экспериментами с одноатомным мазером.
Научная и практическая ценность результатов
Найденное точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели Джейнса-Каммингса с фотонными потерями открывает новые возможности в теоретическом и экспериментальном исследовании одноатомного мазера.
Развит общий подход к описанию диссипативных систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации. Этот подход может быть также применен для решения других задач резонаторной квантовой оптики.
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для определения оптимальных параметров экспериментальных установок, генерирующих неклассические состояния света, запутанные состояния "атом-Июле" и другие заданные состояния атомной подсистемы
На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Метод нахождения матрицы плотности систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингера для системы без диссипации.
2. Точное выражение для матрицы плотности обобщенной модели Джейнса- Каммингса в резонаторе с потерями для неподвижного и движущегося в резонаторе атома (модель одноатомного мазера).
3. Точное выражение спектра излучения модели одноатомного мазера
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на II (1998),IV (2000),V (2001),VII (2003),IX (2005) Международной научной молодежной школе "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань); Физика высоких энергий и квантовая теория поля (Самара, 2003); IX Международных Чтениях по квантовой оптике (Сапкт-Пегербург, 2003); Международной школе молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике (Saratov Fall Meetings, Saratov, 2003); VIII Международном симпозиуме "Фотонное эхо и когерентная спектроскопия "(PECS-2005, Калининград), Всероссийской научной конференции "Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века"(Самара, 2005), Научной конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века"(Самара, 2005), Самарской региональной конкурс-конференции научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике (Самара, 2003-2005), а также на научно-практических конференциях и научных семинарах в Самарском государственном университете.
Работа над диссертацией поддержана грантом Министерства образования и науки Самарской области для студентов, аспирантов и молодых ученых 2005 года (№ 182Е2.4К).
Публикации
По теме диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.
Личное участие автора
Все результаты, составившие основу диссертации, получены лично автором или при его определяющем участии.
Объем и структура работы
Диссертация изложена на 114 с. печатного текста. Она состоит из вве- дения, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего 151 наименований. Общий объем диссертации - 128 страниц текста (в том числе 37 рисунков).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:
Во введении показана актуальность настоящего исследования, сформулированы цель работы, выбор объекта и методов исследования.
В первой главе, на основе имеющихся литературных исі очников, сформулированы основные идеи метода когерентных состояний в квантовой оптике и приведено решение идеальной МДК. Дан обзор экспериментов с од-ноатомиым мазером и описаны основные существующие пути обобщения МДК.
Во второй главе изучены особенности релаксации фотонной моды в резонаторе и сформулирован подход, использующий формализм уравнения Фоккера-Планка для символа матрицы плотности.
В третьей главе, рассматриваются все более общие случаи: стандартная МДК с фотонными потерями и атомом, возбужденным на верхний уровень, одноквантовыми переходами и произвольным начальным состоянием фотонной моды;
МДК с фотонными потерями и атомом, возбужденным на верхний уровень, многоквантовыми переходами и произвольным начальным состоянием фотонной моды;
МДК с фотонными потерями и атомом, возбужденным на верхний уровень, невырожденным взаимодействием и произвольным начальным состоянием фотонной моды;
МДК с фотонными потерями и "атомной" релаксацией, вырожденным и невырожденным взаимодействием и произвольным начальным состоянием фотонной моды и атома Кроме того детально исследован частный случай МДК при нулевой температуре резонатора, который необходим для получения аналитического выражения для спектра излучения и сравнения результатов моделирования с расчетами других авторов ([8],[9],[10],[11]).
На основе развитого подхода последовательно строится матрица плотности модели и исследуется временная динамика наблюдаемых величин, важных для последующей интерпретации результатов теории и сравнения с экспериментом: среднего числа фотонов, инверсии населенности уровня, Q-фактора Фано-Манделя, описывающего дисперсию числа фотонов. Рассчитан спектр излучения модели МДК и проведен анализ "чистоты"(purity) состояний атомной подсистемы в модели неподвижного атома.
В четвертой главе построена матрица плотности обобщенной МДК в модели с движущимся сквозь резонатор атомом. Проведено сравнение динамики наблюдаемых в модели покоящегося и движущегося атома с использованием двух видов модовых функции квантовоэлектродинамическо-го резонатора. На основе найденных выражений для матрицы плотности выполнен анализ экспериментов с одноатомным мазером.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Модель Джейнса-Каммингса
Модель Джейнса-Каммингса (МДК) - точно решаемая квантово - механическая модель взаимодействия атома с полем. Она впервые была введена в 1963 г. в работе [2] для теоретического изучения особенностей спонтанного излучения атома, помещенного в идеальный резонатор, частота которого очень близка к частоте некоторого перехода в атоме
Рассмотрим взаимодействие атома, локализованного в идеальном резонаторе, с электромагнитным полем полости. Известно ([37], [41], [42]), что взаимодействие поля излучения Е с одноэлектронным атомом можно описать в дипольном приближении следующим гамильтонианом: H = HA + HF-efE. (1.17)
Здесь Нд и Нр - операторы энергии атома и поля излучения соответственно в отсутствие взаимодействия, и f - радиус-вектор электрона. В дипольном приближении поле предполагается однородным по всему обьему атома.
Гамильтониан свободного поля Нр выражается через операторы рождения и уничтожения следующим образом:
Отметим, что через Uk обозначена круговая частота &-ой моды поля. Гамильтониан атома НА И оператор дипольного момента ег можно выразить через операторы атомных переходов: {г)} представляет собой полный набор собственных энергетических состояний атома, т.е. ]Г]г \і) {і) = і.
Тогда из уравнения для собственного значения НА\І) = Щг) следует, что а также где 7и = е{г\т\з) матричный элемент электрического дипольного момента В дипольном приближении оператор электрического поля вычисляется в координатах точечного атома. Для атома, находящегося в начале системы координат, имеем выражение
Здесь, для простоты, мы используем базис линейной поляризации и действительные единичные векторы поляризации. Далее, подставляя НА, Нр,ег и Е в выражения для исходного гамильтониана, получаем: В выражении гамильтониана мы опустили в нервом члене энергию нулевых колебаний. Далее, для простоты, будем считать Ту действительной величиной.
Оператор (7_ переводит атом из верхнего состояния в нижнее состояние, тогда как а+ переводит атом из нижнего состояния в верхнее состояние.
В гамильтониане энергия взаимодействия состоит из четырех членов. Член а 7_ описывает процесс, в котором атом переводится из верхнего состояния в нижнее состояние, и испускается фотон моды к Член а сг+ описывает противоположный процесс. Энергия сохраняется в обоих случаях Член a,k J- описывает процесс, в котором атом переходит из верхнего состояния в нижнее состояние, и фотон уничтожается, что приводит к по- іере энергии, примерно равной 2/шл Аналогично, аст+ описывает процесс с увеличением -энергии на 2fko. Пренебрежение членами, которые не сохраняют энергию, соответствует приближению вращающейся волны. В результате такого приближения получается упрощенный гамильтониан, который имеет вид:
Гамильтониан такого вида, который описывает взаимодействие одиночного атома с многомодовым нолем, является отправной точкой во многих расчетах в области квантовой оптики.
Из полученного гамильтониана следует, что взаимодействие одномодо-вого квантованного поля частоты v с одиночным двухуровневым атомом описывается гамильтонианом:
Именно этот гамильтониан и был введен ДжеЙнсом и Каммингсом в их знаменитой теперь статье [2]. В этой работе им удалось показать, что после сделанных приближений, взаимодействие атома и моды идеального резонатора описывается точно. Для этого был использован достаточно громоздкий метод, основанный на анализе гейзенберговских уравнений движения для наблюдаемых, в число которых входит оператор полуразности населенностей уровней атома.
Мы получим точное решение модели Джейнса-Каммингса, отыскав в явном виде оператор эволюции МДК
Поскольку интересуются переходами между уровнями системы, то удобно работать в представлении взаимодействия. Гамильтониан в этом представлении имеет вид Детали решения этого уравнения и техники "распутывания" прекрасно изложены в ([43],[44]).
Полученное решение для МДК несложно обобщается на случай т— квантовых переходов, т.е. если в исходной модели переход атома из верхнего в нижнее состояние сопровождался излучением одного фотона с частотой и, близкой к о), то в обобщенной модели атомный переход будет сопровождаться излучением или поглощением т фотонов с частотой и, так что ти близко к со [45].
Джейнс и Каммипгс [2], найдя решение своей модели другим методом, предсказали осцилляции Раби полуразности населенности уровней атома с частотой Qn для начального n-фотонного состояния поля. В более поздней работе [1] предсказаны интересные явления затухания и возобновления осцилляции Раби для случая когерентного начального состояния фотонов в полости. Последнее можно объяснить интерференцией колебаний Раби с разными частотами Пп в суперпозиции n-фотонных состояний, вовлеченных в когерентную динамику, и тем, что Ctn Jn + 1. (См., например, обзорную статью [46].) Эти предсказания нашли полное подтверждение в уникальных экспериментах Г. Вальтера и др. с одноатомиым мазером [4, 3].
Поскольку МДК является одной из фундаментальных моделей современной квантовой оптики, представляет интерес рассчитать для нее и некоторых ее обобщений геометрическую фазу, что было проделано в работах автора ([47]-[49]). В связи с тем, что эти расчеты слабо связаны с основной темой диссеріации, мы их здесь не приводим.
Задача об изолированном двухуровневом атоме, взаимодействующем с квантованным электромагнитным полем одной моды высокодобротного резонатора, хорошо известна в квантовой оптике и лазерной физике как модель Джейнса-Каммингса. Эта модель широко применялась в теоретических исследованиях сразу после изобретения мазеров и лазеров. Однако долгое время интерес к ней был чисто академическим, поскольку константы связи "атом-Июле" были слишком малы на экспериментальных установках и кроме того в реальных экспериментах взаимодействовали макроскопические количества атомов и фотонов. После появления лазеров с перестраиваемой частотой появилась возможность создавать большие населенности высоко возбужденных атомных состояний, характеризующихся значением главного квантового числа валентного электрона п 1 (эти состояния обычно называются ридберговскими). Такие возбуждённые состояния, если атом локализован в высокодобротном резонаторе, являются очень удобными для наблюдения фундаментальных квантовых эффектов взаимодействия атома с излучением.
Пропагатор уравнения Фоккера-Планка
В лазерной спектроскопии, квантовой оптике и радиофизике одной из центральных является задача описания малой динамической подсистемы, находящейся в контакте с термодинамически равновесной подсистемой - термостатом, с которой она слабо взаимодействует. Динамической называется та часть замкнутой квантовой системы, которая имеет конечное число степеней свободы, дискретные уровни энергии и, без учета взаимодействия с окружением, описывается простыми динамическими уравнениями. Диссииативная подсистема является окружением динамической и обладает очень большим (в пределе бесконечным) числом степеней свободы и (ква-зи)непрерывным спектром. Мы рассмотрим далее задачу о релаксации фотонной моды в резонаторе ([119)-(123]). В этом случае взаимодействие динамической и диссипативной подсистем можно описать гамильтонианом: Н = На + Нт + НаТ, (2.1) где На = Ьюал а - гамильтониан фотонной моды (динамической подсистемы), Яг = Ylj hwjtfbj - гамильтониан термостата, который в случае радиационного механизма релаксации моделируется бесконечным набором гармонических осцилляторов с частотой и)3, Нат = J2%i (fja+ j + їзаЩ) гамильтониан взаимодействия, котором оставлены лишь резонансные чле ны, которые не исчезают при усреднении но периоду (приближение "вращающей волны"), fj— константа взаимодействия j—го осциллятора с полем динамической подсистемы.
Усредняя (2.5) по переменным термостата, используя (2.6) и (2.7) в марковском приближении, учитывающем, что динамическая подсистема из-за взаимодействия "забывает" свою предысторию с момента t = 0 до момента i = /-, что выражается условием pa{t ) pa{t), получим кинетическое уравнение для матрицы плотности pa(t) динамической системы или редуцированной матрицы плотности pa(t) = p{t) = Tr-граТ Выводы: В данной главе детально изучен метод уравнения Фоккера-Планка на примере процесса релаксации фотонной моды в неидеалыюм резонаторе с потерями. Исследованы математические подходы к построению явных решений УФП. Показано, что в Фоковском базисе матричные элементы матрицы плотности фотонной моды выражаются сверткой символа
PQ начальной матрицы плотности фотонной моды и некоторого полинома Fnm, для которого найдено явное выражение. Крайне полезная система полиномов Fnm естественным образом возникнет и в теории одноатомного мазера. Рассчитана производящая функция для этой системы полиномов, что позволит в следующих главах существенно упростить необходимые вычисления динамики физических величин, опираясь на решения УФП для МДК в неидеальном резонаторе.
В данной главе будет рассмотрена серия обобщений МДК в резонаторе конечной добротности ([131]-[133]).
Рассмотрим эволюцию двухуровневого атома, взаимодействующего с одной модой квантованного электромагнитного поля в резонаторе конечной добротности.
В начальный момент времени атом находится в возбужденном состоянии, фотонная мода находится в некотором состоянии, описываемом Р-символом Глаубера-Сударшана:
Известно, что последняя величина является непосредственно измеряемой в экспериментах с одноатомным мазером [3].
В этом и следующих параграфах после получения серии явных выражений для наблюдаемых величин представлены типичные их зависимости от времени (Рис. 3.1 - Рис. 3.18). При этом соотношения между всеми параметрами модели, кроме времени взаимодействия, выбираются соответствующими экспериментальным работам в [3),(4]). Для удобства проведения численного моделирования выбрана система единиц, в которой константа взаимодействия д = 1, при этом значения всех остальных параметров модели пересчитывались в соответствии с указанными экспериментальными данными. Время взаимодействия бралось в несколько раз больше, для того, чюбы теоретически продемонстрировать особенности динамики модели, недостижимые в современных экспериментах. На всех графиках, кроме спектра излучения, по оси абсцисс отложено безразмерное время в единицах коисганты взаимодействия "атом-Июле" д.
Для построения явных зависимостей наблюдаемых величин нами был разработан пакет прикладных программ в среде разработки Delphi. Расчетная программа формировала файл данных, который загружался в программу Grapher 4,0.
На Рис. 3.1 представлена зависимость среднего числа фотонов в моде ог времени для начального когерентного состояния моды, кривые 1-3 соответствуют различным значениям константы затухания -ур. Из приведенных зависимостей видно, что чем больше константа затухания, тем более процесс релаксации фотонной моды доминирует над взаимодействием атома с полем.
Рис. 3.2 показывает зависимость среднего числа фотонов в моде от времени для начального когерентного состояния поля, кривые 1-3 соответствуют различным значениям расстройки д. Нетрудно видеть, что чем больше расстройка, тем слабее взаимодействие атома с полем. И это вполне логично, ведь чем больше расстройка, тем далее система от резонанса, тем ниже вероятность взаимодействия атома с полем. На кривой 3 полевая мода практически только релаксирует, не взаимодействуя с атомом.
На Рис 3.3 показана зависимость полуразности населенностей уровней шома от времени для начального когерентного состояния моды Кривые 1-3 соответствуют разным значениям расстройки 6. В случае резонанса S — 0 (кривая 1) наблюдается знаменитое восстановление и уничтожение осцилляции Раби, значение инверсии населенности со временем меняется во всем допустимом диапазоне зналений. примерно от —0.5 до 0.5. В случаях S -ф 0 (кривые 2 и 3) наличие расстройки показывает, что изначально возбужденный атом, в случае если полость находится не в резонансе с частотой его перехода, практически не взаимодействует с полем.
Рис. 3.4 показывает зависимость полуразности населенностей уровней атома от времени для начального теплового состояния моды. Кривые 1-3 соответствуют разным значениям расстройки 6. Характер зависимостей ог расстройки 5 аналогичен изображенному на Рис. 3.3, то есть, при увеличении расстройки атом сохраняет свое начальное состояние и значение полуразности населенностей близко к начальному значению 0.5.
На Рис. 3.5 изображена зависимость 3_Фактора Фано-Манделя от времени для различных начальных состояний поля. Хорошо известно ([3], [27], [37]-[39]), что Q-фактор Фано-Манделя (нормированная дисперсия распределения фотонов в моде) указывает на характер статистики в моде, слу чаю Q = 0 соответствует пуассоновское распределение фотонов, Q 0 -субпуассоновское и Q О - суперпуассоновское распределения. Из приведенных зависимостей видно, что начальное когерентное состояние (кривая 1) примерно сохраняет тип статистики, оставаясь пуассоиОБСКИМ. Начальное тепловое состояние сохраняет ярко выраженную супер пуассо но векую статистику распределения фотонов в моде, в отличие от состояния с определенным числом фотонов, сохраняющего субпуасоиовский характер статистики.
МДК с учетом переходов с разными частотами
Аналогично находятся выражения для Q— фактора Фано - Манд ел я и полуразности населенности атома, здесь они не приводятся из-за громоздкости, однако далее приведена серия графиков, на которых показана динамика их временной зависимости.
На Рис. 3.14 изображена динамика среднего числа фотонов для начального когерентного состояния в зависимости от начального состояния атомной подсистемы Из приведенных зависимостей видно, что если ачом был возбужден (кривая 1), то он увеличивает число фотонов в моде, и осцилляции идут при увеличившемся среднем числе фотонов больше, чем в начальный момент времени. Если атом был не возбужден (зависимость 5), то это уменьшает1 число фотонов в моде, и осцилляции идут при среднем числе фотонов меньшем, чем в начальный момент времени. Остальные случаи состояния атомной подсистемы (кривые 2-4) являются промежуточными между этими крайними случаями.
На Рис. 3.15 изображена динамика среднего числа фотонов для начального когерентного состояния в зависимости от константы затухания атомной подсистемы 7А- ВИДНО, ЧТО с увеличением константы затухания среднее число фоюнов уменьшается, но не очень сильно. Можно сделать вывод о слабой зависимости среднего числа фотонов от константы затухания атомной подсистемы.
Рис 3.16 показывает зависимость инверсии населенности для начального когерентного состояния фотонной моды и равновероятного состояния атомной подсистемы в зависимости от расстройки б. Характер зависимости аналогичен ранее рассмотренным случаям, с увеличением расстройки амплитуда осцилляции резко уменьшается.
На Рис. 3.17 показана динамика полуразности населенностей атомных уровней для начального когерентного состояния полевой моды в зависимости от константы затухания атомной подсистемы уд, атом в начальный момент времени возбужден. Из графиков видно, что с увеличением константы затухания амплитуда осцилляции полуразности уменьшаеіся, но не сильно. Для большей наглядности на графике показана координатная сетка
На Рис. 3 18 изображена динамика Q-фактора Фано-Манделя для начального когерентного состояния в зависимости от начального состояния атомной подсистемы. Из приведенных зависимостей видно, что во всех случаях характер статистики постоянно изменяется, однако если атом был возбужден (кривая 1), то статистика больше субпуассоновская, чем супер-пуассоновская, В случае если атом изначально не возбужден, то напротив, статистика скорее суперпуассоновская. Остальные случаи (показанные зависимостями 2-4) являются промежуточными между этими крайними.
Рассмотрим частный случай найденных решений для матрицы плотности обобщенных МДК для нулевой температуры резонатора {v) = 0. Необходимость более детального исследования этого частного случая обусловлена тремя факторами: во-первых, многие авторы изначально рассматривают термостат при нулевой температуре ([7]-[11], [93]), поскольку в реальных одноатомных экспериментах стенки резонатора поддерживаются при низких температурах 1К), во-вторых, как будет показано, все основные формулы сохранят свой вид, в-третьих, выражение для функции Fnm(ao, і) резко упрощаются, что позволяет вычислить в явном виде контур линии излучения модели одноатомного мазера.
Приведенные далее в этом разделе графики сопоставляются с результатами других авторов, полученными в секулярном приближении, которое оправдано только при 7F С д. А именно, Рис 3.19 и 3.20 построены для тех же начальных состояний, что и в работе [7]; Рис 3.21 и 3,22 - }8];Рис 3.23 - [9];Рис 3.24 и 3.25 - [10].
Если сравнить приведенные графики с результатами численного моделирования других авторов, то легко заметить, что в области малых значений константы связи jp с д {к/д 0.001) наблюдается полное согласие результатов, однако с увеличением константы затухания {к/д 0.01) наблюдается расхождение результатов из-за применения другими авторами секулярного приближения, что ставит под сомнение его применимость при достаточно больших константах затухания. Подход, развитый в данной диссертации, позволил получить матрицу плотности и явные аналитические выражения для наблюдаемых при любых соотношениях между параметрами модели и, на наш взгляд, является более последовательным и универсальным.
Сравнение моделей движущегося и покоящегося атома. Эксперименты с одноатомным мазером
То есть, для получения решения модели с движением атома можно воспользоваться явным видом матриц плотности из предыдущей главы. Просто нужно компоненты оператора эволюции, отвечающего идеальной МДК с неподвижным атомом, заменять соответствующими компонентами оператора эволюции идеальной МДК, соответствующей движущемуся атому.
Для построения явных зависимостей в виде графиков был разработан пакет программ в среде разработки Delphi. При этом в отличие or программы для предыдущей главы, в которой требовалось только табулирование известных функций, для построения зависимостей из данной главы пришлось решать систему дифференциальных уравнений для атома в идеальном резонаторе (4.4) методами Руиге-Кутта 4-го порядка [151]. Расчетная программа формировала файл данных, который загружался в программу Grapher 4.0.
Выводы: Взяв за основу данные эксперимента с одноатомным мазером [3] и варьируя параметрами, удалось получить наборы значений, которым соответствуют экспериментальные точки. При этом полученные данные находятся в согласии с заявленными экспериментаторами. А именно, результаты, показанные на графиках Рис. 4.4, 4.5, прекрасно согласуются как с экспериментальными точками, так и теоретическим расчетом группы Вальтера, выполненным ими для идеальной МДК в пренебрежении фотонными потерями. Однако наш расчет позволяет описать динамику системы для больших значений среднего числа фотонов (Рис. 4.6) в резонаторе, для которых потери уже существенны. Заметим, что в работе [3] экспериментальные значения не описаны теоретически. Таким образом, построенная нами теория описывает одноатомный мазер в широком диапазоне параметров модели.
Сформулируем основные выводы и результаты диссертационной рабо і ы:
1 Исследованы качественные и количественные особенности динамики и релаксации фотонных и атомных состояний в неидеальном резонаторе в системе из двухуровневого атома (как неподвижного, так и движущегося сквозь резонатор), взаимодействующего с квантованным электромагнитным полем и диссипативным окружением.
2. Впервые найдено точное решение модели Джейнса - Каммингса с фотонными и атомными потерями. Рассчитаны временные зависимости инверсии населенностей атома, числа фотонов, Q— фактора Фано в зависимости от начального состояния динамической фотонной моды в неидеалыюм резонаторе, хорошо согласующиеся с известными экспериментальными данными.
3. Построена точная последовательная динамическая теория одноатомного мазера, свободная от дополнительных ограничений на параметры модели (расстройка; соотношение между константами взаимодействия и затухания, произвольность начального состояния системы, как полевой моды, так и атома).
4. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для определения оптимальных параметров экспериментальных установок, генерирующих неклассические состояния света, запутанные состояния "атом+поле" и другие заданные состояния атомной подсистемы
5. Впервые рассчитано явное аналитическое выражение для спектра излучения системы "атом+поле" в резонаторе для разных начальных состояний фотонной моды. Предсказан дублетный характер спектра излучения вне зависимости от начального состояния полевой моды.
6. Развит общий подход к описанию диссипативных систем типа обобщенной МДК, сводящий решение кинетического уравнения для матрицы плотности к решению уравнения Шредингсра для системы без диссипации Этот подход может быть также применен для решения аналогичных задач квантовой оптики (атомы в лазерных ловушках, диссипативная динамика квантовых точек, диссипативная динамика атомов в резонаторе с учетом нелинейных свойств среды и дополнительных внешних воздействий при помощи лазерных полей).
