Введение к работе
Актуальность темы диссертации, посвященной теоретическому изучению зависимости динамики процессов в модели нелинейного кольцевого интерферометра от физических факторов : нелинейности, диффузии, запаздывания, поворота поля, обусловлена несколькими обстоятельствами.
Во-первых, тем, что диссертационное исследование позволяет найти области параметров интерферометра, обеспечивающих тот или иной характер процессов в нем.
Во-вторых, в свою очередь, это облегчает решение прикладных задач, связанных с использованием нелинейного кольцевого интерферометра в адаптивной оптике1, устройствах обработки информации2, синтезе моделей искусственных нейро-сетей.
В-третъих, опыт, накопленный в ходе моделирования процессов в интерферометре, способен стимулировать развитие нелинейной оптики фоторефрактивных кристаллов3, повышает методический потенциал, требующийся для изучения детерминированного хаоса4 и динамики двумерных структур средствами вычислительного эксперимента, а также для совершенствования педагогического процесса в контексте изучения синергетики5, нелинейной оптики6 и вычислительной математи-
7 КІГ.
Сформулированы следующие цели диссертации.
1Лукин В.П., Фортес Б.В. Адаптивное формирование пучков и изображений в атмосфере. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 1999. 214 с.
2Новые физические принципы оптической обработки информации : Сб.ст. / Под ред. С.А. Ахманова, М.А. Воронцова. М.: Наука, 1990. С. 13-33; 263-32G.
3Кириллов A.M., Шандаров СМ. Фоторефрактивная решетка вблизи границы кубического кристалла с приложенным электрическим полем / Квантовая электроника, 1999. Т. 26. № 2. С. 185-188.
4Владимиров С.Н. Автопараметрический механизм хаотизации движения в автогенераторе с полосовым фильтром и запаздыванием // Изв. вузов. Сер. физ., 1990. № 4. С. 91-97.
5Трубецков Д.И. Колебания и волны для гуманитариев : Учебное пособие для вузов. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1997. 392 с.
6Ахманов С.А., Никитин СЮ. Физическая оптика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 656 с.
тМалинепкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1997. 255 с.
Изучение и идентификация режимов динамики модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре в зависимости от коэффициента нелинейности, запаздывания и поворота оптического поля в контуре обратной связи интерферометра.
Изучение закономерностей бифуркационного поведения модели процессов в интерферометре в зависимости от коэффициента нелинейности и коэффициента диффузии.
Изучение самоорганизации структур в модели кольцевого интерферометра с учетом коэффициента нелинейности, запаздывания и поворота оптического поля в контуре обратной связи, диффузии молекул нелинейного жидкого кристалла.
Изучение динамики в модели процессов, описывающей внешнее воздействие на интерферометр.
5. Изучение возможности применения модели процессов
в нелинейном кольцевом интерферометре для решения задач
сингулярной оптики и в практике обучения студентов нели
нейной оптике и синергетике.
Методы исследования. Для достижения поставленных целей был выбран метод математического моделирования и компьютерной визуализации, опирающийся на следующие методы вычислительной математики: Рунге-Кутты, дихотомии, расщепления, сеток, прогонки; а также инструментальные методы : фазовых портретов, бифуркационных диаграмм и анализа устойчивости решений, вычисления показателей Ляпунова и временного спектра. При интерпретации динамических явлений использовались понятия теории колебаний и синергетики.
Защищаемые положения.
1. В "точечной" модели нелинейного кольцевого интерферометра с поворотом на угол А оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка и временем запаздыванием Т в контуре обратной связи при Д = 90, 120, 180, Т — г (где т -время релаксации нелинейной части показателя преломления) и коэффициенте нелинейности К > 5.04; К > 5.09; К > 5.22 соответственно имеют место бифуркации удвоения периода; причем: число Фейгенбаума (4.6692), оцененное по 2, 3, 4-й бифуркациям, составляет 4.50; для некоторых интервалов величины К существуют "окна периодичности" (например, для
К = 5.34 при Д = 90).
2. "Точечная" модель нелинейного кольцевого интерферо
метра с поворотом на угол А = 120 оптического поля в попе
речной плоскости лазерного пучка и отсутствием запаздыва
ния Т = 0в контуре обратной связи при коэффициенте нели
нейности К > 7 обладает десятками устойчивых и неустойчи
вых стационарных состояний (например, 33-м неустойчивым -
при К — 10) ; при К — 10.31 "точечная" модель демонстриру
ет переход а режим динамического хаоса. В случае поворота
на угол Д = 0 и 180 модель демонстрирует отсутствие как
периодических, так и хаотических режимов.
При наличии времени запаздыванием Т в контуре обратной связи строение бифуркационных диаграмм (на плоскости: стационарное решение —- коэффициент нелинейности К) показывает, что с ростом К возрастание числа неустойчивых состояний не исключает возможности появления устойчивых стационарных состояний, однако размер их областей притяжения сокращается. Следовательно, в реальном устройстве хаотическая динамика неизбежна.
3. Для пространственной модели (в случае аксиальной сим
метрии) нелинейного кольцевого интерферометра с поворотом
оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка и
отсутствием запаздывания Т = 0 в контуре обратной связи
свойственны следующие особенности: скачкообразный (по ко
эффициенту нелинейности К) характер бифуркации стацио
нарного решения не зависит от коэффициента диффузии D мо
лекул жидкого кристалла; темп изменения бифуркационного
значения коэффициента нелинейности Kq с ростом диффузии
D тем больше, чем выше порядок ветви бифуркационной диа
граммы.
Для двумерной пространственной модели с поворотом оптического поля сложность структур возрастает как с ростом коэффициента нелинейности Ко, так и с ростом времени запаздывания Т; причем дифракция ограниченного пучка препятствует сохранению сложности.
4. Возможно управление (внешним воздействием) нелиней
ной динамикой кольцевого интерферометра посредством изме
нения коэффициента нелинейности К и/или начальных рас-
пределений фазовых набегов.
5. Применение нелинейного кольцевого интерферометра позволяет идентифицировать порядок винтовой дислокации волнового фронта светового пучка, поступающего на вход интерферометра, по виду структур, формирующихся в поперечном сечении пучка в интерферометре.
Достоверность защищаемых положений и результатов доказывается, во-первых, соответствием данных вычислительных экспериментов, проведенных в рамках моделей процессов в интерферометре различного уровня общности. Так, результаты изучения "точечной" модели с запаздыванием при Г = О совладают с результатами для модели без запаздывания; вид зависимости нелинейного фазового набега от времени u(t) для модели с диффузией при D -> О преобразуется к виду u{t) для "точечной" модели; для "точечной" модели с запаздыванием оцененное число Фейгенбаума (4.6692) составляет близкое значение 4.50, что подтверждает правильность определения тида бифуркаций: бифуркации удвоения периода.
Во-вторых, - итогом сопоставления результатов моделирования с известными из литературы данными теоретических и экспериментальных работ, а именно: полученные в ходе численного моделирования данные соответствуют опубликованным результатам натурного эксперимента; описания хода динамики структурообразования совпадают с результатами других авторов (С.А. Ахманов, М.А. Воронцов, А.В. Ларичев, В. Фирф, P.P. Мударисов); изменение в "точечной" модели (защищаемые положения 1-2) угла поворота Д оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка, имитирующее, например, вращение призмы в контуре обратной связи интерферометра, демонстрирует эффекты, повторяющие приведенные в литературе данные8 ; зависимость границы устойчивости бифуркационного параметра стационарного решения, рассматриваемая в контексте защищаемого положения 1, в частном случае отсутствия поворота (А = 0) совпадает с зависимостью,
8Akhmanov S.A., Vorontsov М.А., Ivanov V.Yu., Larichev A.V., and Zheleznykh N.I. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures // J. Opt. Soc. Am. B. 1992. Vol. 9. № 1. P. 7&-90.
полученной в рамках модели К. Икеды9; строение бифуркационной диаграммы в случае "точечной" модели (защищаемое положение 1) с поворотом на угол А = 180 оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка и отсутствием запаздывания Г = 0 в контуре обратной связи совпадает - при малых значениях коэффициента нелинейности К - с результатами, приведёнными в литературе; утверждение в защищаемом положении 2 о наступлении динамического хаоса, полученное методом вычисления показателей Ляпунова, согласуется с фактом "оптической турбулентности", наблюдавшейся в экспериментах М. А. Воронцова с соавторами; содержание защищаемого положения 5 согласуется с утверждением Е.Н. Князевой и СП. Курдюмовым о влиянии рассеивающего фактора (в частности, диффузионного) на структурообразование, когда "распад структуры сменяется объединением, максимальное развитие неоднородностей - их замыванием, сглаживанием"10.
В-третьих, - анализом результатов применения аналитического и численного метода исследования устойчивости стационарного решения "точечной" модели нелинейного кольцевого интерферометра с учетом и без учета времени, запаздыванием Т в контуре обратной связи (защищаемые положения 1-2).
Научная новизна. В диссертации выяснены закономерности поведения нескольких "точечных" и пространственно распределенных моделей процессов в кольцевом интерферометре в зависимости от: нелинейности, поворота оптического поля в поперечном сечении лазерного пучка, запаздывания поля в цепи обратной связи, диффузии молекул жидкого кристалла (дифракции лазерного пучка). Найдены области параметров, служащие границами бифуркаций, изучено строение бифуркационных диаграмм стационарных состояний, идентифицированы типы бифуркаций. Выявлены закономерности строения бифуркационных диаграмм, фазовых портретов и временныхфурье-спектров. Дана оценка числу Фейгенбаума для "точечной" мо-
эЛавда П.С. Нелинейные колебания й волны. М.: Наука. Физматлит, 1997. 496 с.
10Князева Е.Н., Курдюмов СП. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994. 239 с.
дели интерферометра (с запаздыванием) и показана возможность наступления динамического хаоса. Установлено сходство между влиянием нелинейности и запаздывания на усложнение строения двумерных оптических структур в пространственно распределённой модели. Предложено использовать нелинейный кольцевой интерферометр для диагностики оптических вихрей.
- Научная ценность защищаемых положений и результатов диссертации определяется тем, что отчасти ликвидированы отмеченные выше пробелы, касающиеся знания особенностей процессов в интерферометре с двумерной обратной связью, содержащем керровскую среду: найдены величины физических параметров его модели и начальные условия, при которых возможен статический, периодический и хаотический режимы, а в последнем случае - "окна периодичности". Установлены зависимости строения бифуркационных диаграмм (на плоскости : стационарное решение — коэффициент нелинейности К), структуры фазовых портретов и временного фурье-спектра нелинейного фазового набега от параметров модели. Определены условия, при которых имеют место бифуркации удвоения периода. Установлено сходство между влиянием запаздывания оптического поля в контуре обратной связи интерферометра и влиянием нелинейности керровской среды на сложность возникающих структур. Совокупность защищаемых положений и результатов позволяет поставить модель кольцевого интерферометра в ряд с моделями других нелинейных динамических систем, в которых (в определенных интервалах фактора неравновесности) возможно возникновение диссипативных структур. Осуществленная в диссертации исследовательская методика, предполагающая совместный анализ построенных фазовых портретов, бифуркационных диаграмм, вычисления показателей Ляпунова и спектров Фурье, продуктивна при изучении поведения других синергетических систем, описываемых нелинейными параболическими уравнениями.
Практическая значимость защищаемых положений и результатов диссертации имеет несколько аспектов. Знание закономерностей бифуркационного поведения нелинейного кольцевого интерферометра с запаздыванием в цепи обратной свя-
зи.и поворотом поля в поперечной плоскости пучка позволяет выбрать области параметров, при которых режим функционирования прибора устойчив. В частности, показана возможность управления нелинейной динамикой кольцевого интерферометра посредством изменения коэффициента нелинейности и/или начальных распределений фазовых набегов. Это даёт ориентиры для реализации кольцевых систем оптической обработки информации, в том числе - для скрытой ее передачи в режиме динамического хаоса. Использование нелинейного кольцевого интерферометра для идентификации винтовых дислокаций оптических вихрей обладает тем преимуществом перед известными интерферометрическими схемами, что позволяет обойтись без опорного пучка. Моделирующая программа, а также коллекции фазовых портретов и структур пригодны для использования в учебном процессе.
Сведения о внедрении результатов диссертации и рекомендации по их дальнейшему использованию. Результаты анализа нестационарных и периодических процессов в модели нелинейного кольцевого интерферометра используются с 1998 г. в учебном процессе на радиофизическом ф-те, с 1999 г. -на физико-техническом ф-те ТГУ (имеются справки о внедрении). Составлены и изготовлены на ризографе методические указания для студентов "Регулярная и хаотическая динамика в моделях Лоренца и кольцевой оптической системы".
Результаты диссертации целесообразно использовать : для развития принципов скрытой передачи оптической информации ; при разработке систем адаптивной атмосферной оптики и сингулярной оптики; в учебном процессе в вузе при изучении студентами вопросов нелинейной оптики и синергетики, а также связанных с ними методов вычислительной математики.
Публикация результатов и апробация работы. Основные результаты опубликованы в 24 работах (в том числе в 5 журнальных статьях, в тезисах 16 докладов и 3 статьях, депонированных в ВИНИТИ). Материалы диссертационной работы докладывались на международных и всероссийских конференциях: "Новые информационные технологии в университетском образовании" (г. Новосибирск, 1997), "Всесибирские чтения по математике и механике" (г. Томск,
1997), "Cosmic Ecology and Noosphere" (Крым, Partenit, 1997), "Качество - стратегия XXI века" (г. Томск, 1998), "Самоорганизация природных, техногенных и социальных систем: междисциплинарный синтез фундаментальных и прикладных исследований" (г. Алма-Ата, 1998), "Хаос'98" (Саратов, 1998), "Циклы природы и общества" (г. Ставрополь, 1997-1999), "Математика. Компьютер. Образование" (г. Дубна, 1998; г. Пущино, 1999), "Методология науки" (г. Томск, 1999), "Лазеры на переходах атомов и молекул" (г. Томск, 1999), "Образовательные технологии: состояние и перспективы" (Томск, 1999), "Sibconvers'99. Application of the conversion research results for international cooperation"(Томск, 1999), "Моделирование неравновесных систем" (г. Красноярск, 1999).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 130 наименований, приложения, 33 иллюстраций. Полный объём диссертации - 136 страниц.
