Содержание к диссертации
Введение
1. Применение представлений нелинейной динамики для разработки принципов и устройств информационной оптики 15
1.1. Ключевые понятия нелинейной динамики. Самоорганизация и детерминированный хаос в динамических системах 15
1.2. Описание нелинейного кольцевого интерферометра 21
1.3. Основные результаты исследований процессов в нелинейном кольцевом интерферометре и его применение 25
1.4. Некоторые тенденции развития информационной оптики 32
1.5. Применение детерминированного хаоса в оптических системах для решения задач криптологии , 35
Выводы 39
2. Методы исследований процессов в нелинейной динамике (на примере изучения модели нелинейного кольцевого интерферометра) 41
2.1. Ляпуновские характеристические показатели как средство исследования поведения динамических систем 41
2.2. Критерий «странности» аттрактора. Виды дробных размерностей аттракторов 45
2.3. Гипотеза Каплапа-Йорке 49
2.4. Принципы корреляционного анализа световых полей 52
2.5. Описание динамики нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре посредством обыкновенных дифференциальных уравнений 53
2.5.1. Модель процессов в приближении медленно меняющихся амплитуд, фаз, модуляций положения плоскости поляризации, времени запаздывания и потерь энергии поля 53
2.5.2. Точечные модели процессов в интерферометре 58
2.6. Анализ влияния физических факторов на поведение в моделях динамики нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре 62
2.6.1. Влияние нелинейности и потерь: анализ устойчивости 62
2.6.2. Роль диффузии 69
2.6.3. Роль запаздывания 74
Выводы 77
3. Пространственный детерминированный хаос, условия его возникновения в нелинейном кольцевом интерферометре и роль физических факторов 78
3.1. Понятие и определение пространственного детерминированного хаоса 78
3.2. Обоснование перехода от обыкновенных дифференциальных уравнений к дискретным отображениям 83
3.3. Построение моделей дішамики нелинейного фазового набега на языке дискретных отображений 86
3.3.1. Модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре: случаи монохроматического и бихроматического излучения на входе 86
3.3.2. Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом TV-фотонных процессов 88:
3.3.3. Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре в случае насыщения нелинейности 92
3.3.4. Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учетом многих проходов в контуре обратной связи 96
3.4. Анализ влияния физических факторов на характеристики пространственного детерминированного хаоса в моделях нелинейного кольцевого интерферометра 101
3.4.1. Бифуркационные диаграммы и линии бифуркаций для модели
в виде обыкновенных дифференциальных уравнений 101
3.4.2. Демонстрация явления пространственного детерминированного хаоса в нелинейном кольцевом интерферометре 103
3.4.3. Особенности строения карт ляпуновских характеристических показателей и дробной размерности аттракторов дискретного отображения: случаи монохроматического и бихроматического излучения на входе 107
3.4.4. Анализ результатов моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёхфотонного поглощения 118
3.4.5. Анализ результатов моделирования процессов в кольцевом интерферометре в случае насыщения нелинейности 122
3.4.6. Анализ результатов моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом многих проходов поля в контуре обратной связи 124
3.5. О возможности расширения области применения гипотезы Каплана-Йорке 131
3.5.1. О процедуре «экструзии» фазового пространства 131
3.5.2. Правомерность процедуры экструзии: случай нелинейного кольцевого интерферометра 133
3.5.3. Проверка правомерности процедуры экструзии фазового пространства в случае отображения окружности 135
Выводы 136
4. Модификация моделей нелинейного кольцевого интерферометра для решения задач информационной оптики 140
4.1. Двухконтуриый нелинейный кольцевой интерферометр 140
4.1.1. Модель динамики оптического поля в двухконтурном нелинейном кольцевом интерферометре 141
4.1.2. Обзор результатов моделирования процессов в двухконтурном нелинейном кольцевом интерферометре 145
4.2. Исследование динамики процессов в «точечной» модели двухконтурного нелинейного кольцевого интерферометра с поворотом поля 147
4.2.1 Стационарные решения и анализ их устойчивости 147
4.2.2 Особенности строения бифуркационных диаграмм 150
4.3. Определение параметров двухконтурного нелинейного кольцевого интерферометра с помощью корреляционного анализа 156
4.3.1. Случай с поворотом поля в одном контуре обратной связи 156
4.3.2. Случай с одинаковым поворотом поля в обоих контурах обратной связи 162
4.3.3. Случаи с разными поворотами поля в контурах обратной связи 164
4.4. Влияние расстройки параметров шифратора и дешифратора на результат дешифрации 167
Выводы . 173
Заключение 175
- Основные результаты исследований процессов в нелинейном кольцевом интерферометре и его применение
- Критерий «странности» аттрактора. Виды дробных размерностей аттракторов
- Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом TV-фотонных процессов
- Модель динамики оптического поля в двухконтурном нелинейном кольцевом интерферометре
Введение к работе
Развитие современной нелинейной оптики в определённой мере происходит под воздействием нескольких важных тенденций. Во-первых, сказывается влияние синср-гетической парадигмы с её вниманием к проблеме сложного, в том числе - сложного поведения в нелинейных системах [1, 2]. Во-вторых, расширяется выбор подходов к решению проблем обработки информации вообще. В частности и в особенности, это касается задач адаптивной оптики (включая атмосферную [3]), задач управления параметрами оптических полей [4, 5], разработки принципов и оптических устройств обработки информации [6-8].
Самостоятельным научно-техническим направлением становится в последнее время создание методов и систем конфиденциальной связи, использующих изучаемое синергетикой явление детерминированного хаоса [9, 10]. Причём именно в оптических системах этот феномен исследован недостаточно как в теоретическом, так и экспериментальном плане, хотя изучение его ведётся почти четверть века [11—16]. Детерминированный хаос имеет универсальный характер, он обнаруживается в системах самой различной природы [17-24]. На фундаментальное значение исследований хаоса указывает лауреат Нобелевской премии академик В.Л. Гинзбург. В своём обзоре «проблем, представляющихся особенно важными и интересными с учетом ситуации на конец XX века» [25] он отвёл 11-е по важности место (из 30-ти) следующему комплексу научных направлений: «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы».
Состояние вопроса и актуальность темы диссертации. Среди оптических систем, представляющих интерес одновременно во всех указанных аспектах, выделяется нелинейный кольцевой интерферометр (НКИ).
Начиная с классических работ К. Икеды и его соавторов (1979-1986) [11], проводятся теоретические и экспериментальные исследования поведения кольцевого интерферометра с керровской нелинейностью и запаздыванием. Этой теме посвящено много работ, например С.А, Ахманов и М.А. Воронцов с коллегами, 1990-1997 [12, 26-29]; П.С. Ланда, 1987 [17]; Н. Adachihara, Н. Faid, 1993 [30]; VJ. Firth, 1994 [31]; Н.Н.Розанов, 1997 [13]; J. Garcia-Ojalvo, R. Roy, 2001, 2002 [9,10]; C.C. Чесноков, A.A. Рыбак, В.И. Станичук 2000, 2001 [14, 32]; H.M. Рыскин, А.А. Балякин, 2001-2003 [15, 16]. Они различаются по содержанию и форме моделей, что связано с выбором физических приближений и математического аппарата, а также по методам получения результатов.
Изучение моделей процессов в кольцевом интерферометре, предпринималось в предположении отсутствия дифракции, диффузии, крупномасштабного преобразования поля для случая однородности среды в поперечном сечении. Тогда становится возможным использование аппарата одномерных дискретных отображений [11]. Другие авторы, наоборот, придерживаясь традиции нелинейной оптики, изучают модели тех же процессов, построенные на базе дифференциальных уравнений в частных производных, но в приближении бесконечно малого запаздывания и монохроматического излучения.
Теоретический анализ явлений в НКИ проводится в приближении одного прохода или больших потерь [12, 14, 26, 30, 32]. При исследовании моделей процессов в кольцевом интерферометре, в данных работах, авторы также часто пользуются приближением мгновенного отклика среды (по сравнению со временем запаздывания в интерферометре). В реальных НКИ имеет место запаздывание (задержка) поля в контуре обратной связи. Изучение её роли весьма актуально. Как известно, в аналогичных радиотехнических устройствах при изменении времени задержки возникает цепь бифуркаций. На основе систем с запаздыванием возможно построение генераторов колебаний сложной формы - колебаний со множеством близких частот, между которыми существует обмен энергией и т.д. [17, 22, 33, 34].
В последнее время появились модели, предполагающие двухчастотность оптического поля, поступающего на вход нелинейного кольцевого интерферометра [15,16,35].
До сих пор в текущей литературе незаметна тенденция сравнительного анализа результатов, полученных в рамках различных подходов и моделей, в контексте систематизации закономерностей, выявляемых на их основе. Показательно также, что количество работ, в которых обсуждаются возможности применения полученных результатов, весьма мало.
Насколько можно судить по материалам конференций и научно-технической периодике, внимание специалистов по вопросам распространения лазерного излучения в нелинейных средах постепенно начинает переключаться на изучение факторов и механизмов, ограничивающих рост процессов, лежащих в основе нелинейных явлений. В работах (В.Е. Семенов и др., 2000 [36]; А.П. Сухоруков с коллегами, 2000 [37]; N.NRosanov et cd., 2001 [38]) подчёркивается необходимость учёта подобных механизмов при теоретических исследованиях и моделировании процессов распространения лазерного излучения в нелинейных средах. Однако в литературе неизвестны работы, в которых учтено влияние ограничения нелинейности применительно к каким-либо кольцевым системам.
Возможность использования нелинейного кольцевого интерферометра для управления лазерным излучением активно изучается с начала 1990-х гг. [4, 5, 26]. В статье [39] рассматривается вариант НКИ с дополнительным контуром обратной свя зи, содержащим фурье-фильтр, использование которого позволяет управлять формообразованием структур и подавлять турбулентный режим.
Однако в ранее опубликованных статьях не приводится каких-либо результатов по изучению сложной динамики в подобной оптической системе, в частности, режима детерминированного хаоса. Так, не изучен вопрос о том. как влияют на бифуркационное поведение параметры НКИ с дополнительным контуром обратной связи. Это обстоятельство ограничивает дальнейшее рассмотрение подобного устройства в плане применения его режимов функционирования в системах обработки оптической информации (в том числе - скрытой передачи сообщений), управления параметрами лазерного излучения.
В литературе широко освещены вопросы, касающиеся изучению временных [13, 16, 24, 40, 41] и пространственно-временных [11, 13, 42-46] процессов в кольцевых оптических системах. Однако не был проявлен интерес к изучению особенностей пространственных распределений величин каких-либо значимых характеристик (например, показателя преломления среды, амплитуды, фазы волны) оптической системы, функционирующей в статическом режиме.
Следовательно, представляется актуальным дополнить изучение - в указанных выше аспектах - закономерностей нелинейной динамики и бифуркационного поведения в моделях НКИ.
Актуальность избранной темы диссертации подтверждается и поддержкой исследований автора Федеральным агентством образования Минобрнауки РФ (Программа: «Развитие научного потенциала высшей школы»), проект № 60321.
Целями и вытекающими из них задачами диссертации являются:
1) построение моделей процессов в интерферометре в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и на языке дискретных отображений, а также соответствующих компьютерных программ, учитывающих: во-первых, его параметры:
— время запаздывания,
— тип крупномасштабного преобразования поля в контуре обратной связи (КОС),
— наличие многих проходов поля через НКИ;
— наличие TV-фотонных процессов в нелинейной среде;
— наличие насыщения нелинейности;
— наличие дополнительного контура обратной связи и его параметров; во-вторых, параметры оптического излучения:
— немонохроматичность светового ПОЛЯ,
— вид поляризации света,
— наличие модуляции фазы световой волны, — наличие модуляции амплитуды световой волны,
— наличие модуляции положения плоскости поляризации.
2) Выяснение роли различных групп параметров в моделях интерферометра на сложную динамику процессов в нём.
3) Разработка теории, моделей и изучение особенностей пространственных распределений характеристик оптического поля на выходе НКИ, функционирующего в статическом режиме.
4) Аналитическое и численное исследование устойчивости решений и выяснение условий наступления бифуркаций различных типов в модели процессов в НКИ с дополнительным контуром обратной связи.
5) Изучение возможности использования различных схем интерферометра для целей обработки (главным образом, скрытой передачи) информации.
Для решения поставленных задач исследования были выбраны: —- методы теории устойчивости Ляпунова,
— методы теории колебаний и бифуркаций,
— методы численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных,
— техника вычислительного эксперимента,
— понятия нелинейной оптики, теории множеств, теории графов и криптологии.
Результатом проведенных исследований стали следующие научпые положения, выносимые на защиту:
I. В модели динамики нелинейного фазового набега в НКИ (с поворотом оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка на угол Д=120°) в приближеіши отсутствия диффузии имеют место — в зависимости от параметров нелинейности К и видности у - мягкая бифуркация Андронова-Хопфа (бифуркация рождения предельного цикла) либо жёсткое разрушение предельного цикла.
II. Пространственный детерминированный хаос - это статическое состояние не линейной динамической системы с распределенными параметрами такое, что последовательность подмножеств Р( множества скалярных динамических переменных Р, выделяемая «наблюдателем» по некоторому (обусловленному особенностями динамической системы) регулярному алгоритму, является нерегулярной, апериодической, обладающей основными свойствами случайного процесса. Причём подмножества Р, равномоищы, не совпадают (Р Р,- при Щ\ покрывают множество динамических переменных Р (Р = U/Pj), и пересечения Р;пРя-і равномощны.
Ш. Для ш-мерной динамической системы, описываемой совокупностью т (т»\) эволюционных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вектора динамических переменных q(r)={ ?i(f), q2(t), ..., qm(t)}, в случае статического режима (dq/d7=0) возможен переход к /-мерному дискретному отображению с пространственной эволюционной переменной, где j m, а количество итераций ограничено и не превышает т-\. При таком переходе в модели нелинейного кольцевого интерферометра для замкнутой цепочки транспозиционных точек имеет место (не)устойчивость в дискретном отображении, если статическое состояние системы (не)устойчиво.
IV. Для модели изменения нелинейного фазового набега в кольцевом интерферометре проявляется чувствительность сложной динамики к трёхфотонному процессу, когда интенсивность низкочастотного компонента Ь2 в спектре велика настолько, что верно условие 2 Ь2(фъ)и2 1, где рь - размерный параметр, характеризуюпщй долю потерь энергии на единицу длины нелинейной среды протяжённостью /. При 2 Ь2 (7рь)/2«1 влиянием трёхфотонного процесса можно пренебречь.
V. Для «точечной» модели двухконтурного нелинейного кольцевого интерферометра (ДИКИ) в приближении больших потерь и пренебрежении временами 41 запаздывания поля в контурах обратной связи, в которых потери равны, когда оптическое поле в поперечной плоскости лазерного пучка поворачивается на угол А, 2кМ/т (где /=1, 2; т и М,, - целые числа, определяющие количество транспозиционных точек и шаг перемещения по ним), причем Д,=0, Д. 0:
- если т — чётное, то строение бифуркационных диаграмм (БД) такое же, что и для модели одноконтурного НКИ с Л=0;
- если т - нечётное, то структуры БД для модели ДИКИ существенно отличаются от аналогичных для моделей НКИ как с Л=Л„ так и с A Aj.
VI. В качестве основы устройства конфиденциальной связи двухконтурныЙ не линейный кольцевой интерферометр с различными временами запаздывания tej, произвольной комбинацией углов Дь Д2 поворота оптического поля в поперечной плоскости лазерного пучка и удвоенных коэффициентов потерь/передачи уь У2 в контурах обратной связи более устойчив тс «взлому» (методами корреляционного анализа) значений teh Д„ у,-, чем одноконтурный НКИ, где i \, 2.
Достоверность защищаемых положений. Достоверность I положения обеспечивается, во-первых, результатами моделирования процессов в нелинейном кольцевом интерферометре на основе программ, испытанных на тестовых задачах, а также подвергнутых проверке с помощью независимо созданных программ; во-вторых, согласием с известными представлениями о причинах сложной динамики; в-третьих, согласием со структурой бифуркационной диаграммы, построенной в книге [12, с. 278, рис. 6.9] для случая Д=180° и Д=120° [47, с. 77, рис. 3.8; 48] в НКИ. Достоверность II и III положений основывается, во-первых, па строгом математическом выводе дискретного отображения с пространственной эволюционной переменной; во-вторых, в пользу корректности этих положений говорит следующий факт. Детерминированное, но нерегулярное распределение нелинейного фазового набега U, (т.е. пространственный детерминированный хаос) в поперечной плоскости выходного лазерного пучка в НКИ формируется тогда и только тогда, когда множество Р разбивается на подмножества Р„ которые удовлетворяют условиям, указанным в выдвинутом теоретико-множествешюм определении аростраиственного детерминированного хаоса (ПДХ). Данное утверждение базируется на комплексе расчётов и построений; с одной стороны структур f/(r, t), генерируемых в НКИ, а с другой - дискретного пространственного распределения Uj (эквивалент временной реализации), фазового портрета, спектра Фурье, ляпуновских характеристических показателей Л (ЛХП), фрактальной размерности Д
Корректность модели, методики и данных вычислительных экспериментов доказывает сходство карт D0(K, у), Л(АГ, у) с картой динамических режимов [24, с. 72] и с картой распределения старшего ляпуновского показателя Л на плоскости параметров отображения Икеды в [24, с. 163].
Достоверность IV положения подтверждается данными вычислительных экспериментов, послуживших основой для построения комплекса карт ЛХП: А(К, у), А(К, Ktos), A(iC Ф), А(К, а), A(KbQs, Ц\ а его содержание согласуется с классическими представлениями нелинейной оптики о трёхфотонных процессах в керровских средах [49, с. 195-196].
Достоверность V положения доказывается анализом комплекса построенных бифуркационных диаграмм. Модели, алгоритмы и компьютерные программы, использовавшиеся, для построения БД, протестированы путём сведения к случаю одноконтурного НКИ.
Достоверность VI положения подтверждается серией вычислительных экспериментов на базе моделей ДНКИ и НКИ. Построение авто- и кросскорреляцнонных функций для временных реализаций амплитуд в точках поперечного сечения лазерного пучка на выходе ДНКИ демонстрирует невозможность восстановления значений параметров модели ДНКИ. Кроме того, содержание шестого положения согласуется с результатами компьютерной имитации процесса шифрации и дешифрации информационного сигнала с помощью ДНКИ и НКИ.
Новизна защищаемых положений
Новизна I положения заключается в том, что для широкого интервала значений параметров нелинейности и потерь исследован характер переходов между динамическими режимами в модели (2.17).
Новизна 11 и Ш положений заключается в разработке содержания понятия пространственного детерминированного хаоса и вытекающей из неё идеи рассматривать дискретное отображение с пространственной эволюционной переменной - в противоположность традиционному подходу (например, К. Икеды), оперирующему временной переменной. Кроме того, новизну положению Ш придаёт демонстрация (на конкретном примере) того свойства, что устойчивость статического состояния НКИ обусловливает устойчивый режим в дискретном отображении и наоборот. В литературе подобные выводы не обнаружены.
Новизна IV положения характеризуется, во-первых, предложением учесть роль трёхфотонного процесса, во-вторых, построением соответствующей математической модели, в-третьих, выдвижением адекватных приёмов изучения влияния физических факторов и представления результатов моделирования.
Новизна V положения обусловлена тем, что до сих пор в литературе не предпринимались попытки построения и анализа БД для моделей ДНКИ.
Новизна VI положения характеризуется отсутствием в литературе анализа устойчивости ДНКИ как шифратора к «взлому» значений его параметров.
Научная ценность защищаемых положений
Научная ценность II положения состоит в математической строгости определения пространственного детерминированного хаоса, которое необходимо для идентификации ПДХ в контексте анализа пространственных распределений параметров оптического излучения, НКИ и других нелинейных систем.
Научная ценность ГО положения заключается в том, что, во-первых, в общем случае для многомерной динамической системы в статическом режиме обоснован переход от её модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к многомерному дискретному отображению; во-вторых, анализ устойчивости системы (на примере НКИ) в статическом состоянии сводится к анализу дискретных отображений (ДО) и не требует обращения к модели в форме ОДУ, поэтому отпадает необходимость в привлечении методов вычислительной математики для решения ОДУ.
Научная ценность IV положения заключается в указании условий, при которых начинается влияние генерации третьей гармоники на сложную динамику в модели НКИ, когда на его вход поступает лазерное излучение высокой интенсивности.
Научная ценность V положения состоит в том, что выполнен анализ устойчивости найденных стационарных решений для «точечной» модели двухконтуриого НКИ и выяснена зависимость их расположения от управляющего параметра, а также их поведения при изменении параметров модели. Практическая значимость защищаемых положений
Практическая значимость I положения способна проявиться при создании оптической системы обработки информации.
Практическая значимость V положения заключается в том, что указаны условия, при которых модели двух- и одноконтурного НКИ равносильны с точки зрения бифуркационного поведения.
Практическая значимость VI положения состоит в том, что выяснено и обосновано преимущество двухконтурного НКИ как основы криптосистемы оптического диапазона. Например, результат дешифрации чувствителен к несовпадению углов поворота поля в контурах обратной связи интерферометра-шифратора и в дешифраторе, причём значения этих углов не вскрываются средствами корреляционного анализа.
Внедрение результатов диссертации и рекомендации по их дальнейшему использованию
Большинство результатов диссертации получены автором в период 1998-2005 гг. Ряд результатов внедрён в учебный процесс (на кафедре квантовой электроники и фотоники ТГУ): в курсы «Основы синергетики», «Функциональная электроника» и «Нелинейная оптика», в содержание НИПС 3-6-го курсов. Результаты диссертации, касающиеся: содержания модели процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом трёхфотонных явлений, а также методики построения и интерпретации карт дробной размерности аттракторов, использованы в НИР на кафедре общей физики РГППУ (г. Екатеринбург). Копии документов о внедрении представлены в Приложении А.
Апробация работы и публикации
По теме диссертаций опубликовано 50 печатных работ: 12 статей (из них 5 - в журналах РАН и журналах серии «Известия вузов», 1 - в российских научно-методических журналах, 3 - депонировано в ВИНИТИ, 2 - в SPIE, 1 - в ШЕЕ), материалы 38-ми докладов на конференциях (втом числе-29-ти-на международных).
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:
- научных семинарах кафедры квантовой электроники и фотоники ТГУ;
-научных семинарах кафедры электронных приборов Томского университета систем управления и радиоэлектроники;
-на международных и всероссийских конференциях: «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1999-2004), «Циклы. Cycles» (Ставрополь, 1999, 2002, 2005), «Современные проблемы физики и технологии» (Томск, 2001-2004), «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2001-2002), «Восьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых» (Екате рипбург, 2002), «Математика. Компьютер. Образование.» (Дубна, 2002), «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2002), «Организация структур в открытых системах» (Алматы, 2002), «Оптика и образование» и «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2002, 2004), «Оптика-2003» и «Оптика-2005» (Санкт-Петербург), «Кристаллофизика 21-го века» (Москва, 2003), «Atomic and Molecular Pulsed Lasers» (Томск, 2003, 2005), «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, 2003-2005), «58-я Республиканская научная конференция молодых ученых, магистрантов и студентов» (Алматы, 2004), «Анализ и синтез как методы научного познания» (Таганрог, 2004), «IV International young scientists conference on applied physics» (Киев, 2004, 2005), «Frontiers of nonlinear physics» (Нижний Новгород, 2004), «Fundamental Problems of Opto- and Microelectronics» APCOM 2004 (Хабаровск, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2004), «Physics and Control» (Санкт-Петербург, 2005), «Systems of Optical Security» (Варшава, 2005).
Личный вклад диссертанта
В диссертации использованы только те результаты, в которых автору принадлежит определяющая роль. Опубликованные работы написаны либо без соавторов, либо в соавторстве с сотрудниками научной группы. В совместных работах диссертант принимал участие в расчётах, объяснении и интерпретации результатов моделирования. Постановка задач исследований осуществлялась научным руководителем, а в ряде случаев - и к.ф.-м.н. Измайловым И.В.
Автор признателен за помощь им, а также к. ф.-м. н. доценту ТУСУР А.Л. Магазинникову - за консультации по методам математического моделирования и анализа устойчивости. Автор благодарен коллективу кафедры квантовой электроники и фотоники ТГУ за многолетнюю моральную поддержку. В работе автору - в той или иной форме — помогали соавторы: как старшие, так и младшие «по званию», среди них - СМ. Авдеев, П.Е. Денисов, СВ. Лесина, М.Е. Назаров, И.В. Романов, Д.А. Шергин.
Структура и объём диссертации
Приведённые цели и задачи определили структуру и содержание исследования. Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, списка литературы и Приложений. Общий объём диссертации 217 страниц текста, в том числе 86 рисунков и 4 таблицы (на 53 стр.), 5 Приложений (на 18 стр.). Библиографический список (на 20 стр.) включает 262 наименования.
Основные результаты исследований процессов в нелинейном кольцевом интерферометре и его применение
Идеи синергетики все шире применяются во многих областях естественных и гуманитарных наук. В объектах, изучаемых в физике, химии, биологии, науках о Земле возможно возникновение нелинейных волновых явлений, таких как автоволньт, генерация стационарных и движущихся структур, турбулентность. Подобные явления и их механизмы интенсивно исследуются сейчас методами синергетики.
Синергетика, или концепция самоорганизации, называемая часто нелинейной динамикой, а в англоязычной литературе - нелинейной наукой (Nonlinear Science) и наукой о сложности (Science of Complexity), представляет собою междисциплинарное научное направление, сложившееся в основном к концу 1970-х гг. Впервые термин «синергетика» прозвучал в 1969 г., когда профессор Штутгартского университета Герман Хакен рассказал в своем докладе о синергетическом эффекте - сходном поведении элементов в системах различной природы при переходе от неупорядоченности к порядку.
Термин «синергетика» был выбран, потому что на древнегреческом языке слово cruvspyia означает «содействие», «соучастие» и подчеркивает согласованность, когерентность функционирования частей, отражающуюся в поведении системы как: целого. Заметим, что термин «система» (от др.-греч. суиатгц.а — составленное из многих частей, соединенное в одно целое) означает совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность, причём свойства этого целого несводимы к сумме свойств частей. Таким образом, название для новой дисциплины оказалось удачным и не только потому, что отлично подчеркивало роль коллективного поведения подсистем, образующих систему, но и указывало на то. что синергетика как общее название процессов самоорганизации имеет огромный междисциплинарный потенциал.
Напомним, что под динамической (детерминированной) системой понимают какой-либо физический объект, математическую модель или процесс, состояние которых однозначно определено (детерминировано) совокупностью некоторых величин В начальный момент времени, а с помощью функционального оператора МОЇКНО найти состояние системы в любой наперед заданный момент времени [51].
По мнению творцов и методологов синергетики: Г. Хакена [52,53], И.Р. Пригожина [54], Е.Н. Князевой, СП. Курдюмова [55], В.Г. Буданова [56], - сущность синергетики раскрывают следующие ключевые положения. 1. Исследуемые синергетикой динамические системы, или системы с поведением (бихевиоральные системы), обладают структурной сложностью, т.е. состоят из нескольких или многих одинаковых либо разнородных частей, которые находятся во взаимодействии друг с. другом. Кроме того, эти системы отличаются функциональной, или поведенческой, сложностью. Мерой се часто служит алгоритм (инструкция) наименьшей длины, позволяющий управлять системой или предсказывать ее поведение на основе данных о предшествующем развитии системы. 2. Для сложных систем характерно свойство гомеостатичности. Гомеостаз, или гомеостазис, (от др.-греч. битое; - подобный + ахаащ стояние) - это поддержание программы функционирования системы, ее внутренних характеристик в определённых пределах, позволяющих ей следовать к своей цели. Согласно Н. Винеру, система с поведением имеет цель. Благодаря наличию цели система формирует корректирующие сигналы, позволяющие ей «не сбиться с курса». Эта корректировка осуществляется за счет отрицательных обратных связей.
Цель поведения системы в состоянии гомеостаза называют аттрактором (от англ. attract, лат. attrahere — привлекать), т.е. «притягиватель», или притягивающее множество в фазовом пространстве. С простейшими аттракторами мы встречаемся в механике: маятник с трением, останавливающийся в нижней точке, - это аттрактор положения равновесия (точка в фазовом пространстве). Принцип гомеостаза объединяет идеи общей теории систем, кибернетики и синергетики. 3. Кроме того, для подавляющего большинства сложных систем характерно свойство иерархичности (от др.-греч. іерос, - священный + аруг\ - власть), т.е. рас положение частей системы в порядке от высшего к низшему. Основным смыслом структурной иерархии, является составная природа вышестоящих уровней по отно шению к нижестоящим. То, что для низшего уровня есть структура («космос»), для высшего есть бесструктурный элемент «хаоса», строительный материал. То есть «космос» предыдущей структуры служит «хаосом» последующей. Например, вселенная составляет иерархию по многим признакам: нуклоны образованы кварками, ядра - нуклонами, атомы - ядрами и электронами, молекулы — атомами, .... общество - людьми и т.д. Возможна и иерархия нематериальных объектов: так, в языке это слова, фразы, тексты, в мире идей это мнения, взгляды, идеологии парадигмы. Известно, что вселенная составляет иерархию по масштабам длин, вре мен, эпергий. В последнем случае это означает, что базисные структуры вселенной (начиная от кварков и кончая живыми организмами) принимают не какие угодно значения эпергий, но увеличиваются с относительным шагом, составляющим - 100 раз, начиная от кварков и кончая живыми организмами. Само же число уровней необозримо велико, и в каждой базисной структуре существует множество подуровней.
Всякий раз части, объединяясь в иерархическую систему, передают ей часть своих функций, степеней свободы, которые далее выражаются «от лида коллектива» всей системы, причём на уровне отдельной части этих понятий могло и не быть. Например, общественное мнение «выражает» мифический среднестатистический субъект, и вполне может оказаться, что именно так никто из членов данного сообщества не думает. Эти коллективные переменные располагаются на более высоком иерархическом уровне, нежели части системы. Следуя Г. Хакену, их принято называть параметрами порядка. Их смысл в том, что они описывают в сжатой форме смысл поведения и цели-аттракторы системы. Описанная природа параметров порядка называется синергетическнм принципом подчинения, когда изменение параметра порядка согласованно (когерентно) управляет поведением множества частей низшего уровня.
При рассмотрении двух соседних уровней в иерархии принцип подчинения гласит: долгоживущие переменные управляют короткоживущими, вышележащий уровень, нижележащим. Так, микроскопические движения беспорядочно снующих молекул складываются в осязаемый порыв ветра, который уносит их на огромные по сравнению с микроперемещениями расстояния. Важным свойством иерархических систем является невозможность полной редукции, сведения свойств структур более сложных иерархических уровней к языку более простых уровней системы. Каждый уровень имеет внутренний предел сложности описания [56]. 4. Когерентность (от лат. cohaero - сцепляться), т.е. согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких или очень многих процессов. В последнем случае говорят о коллективных, или кооперативных, явлениях. Так, в лазерном веществе характеристики световых волн, порождаемых в актах вынужденного испускания, идентичны, что обеспечивает кооперативный характер процесса усиления света и позволяет получить высокую его интенсивность. 5. Изучаемые динамические системы являются нелинейными. Свойства материальных сред в таких системах зависят от одной или нескольких переменных, например, от амплитуды процессов в системе.
Критерий «странности» аттрактора. Виды дробных размерностей аттракторов
Устойчивость состояния равновесия. Если частное решение х(г) системы является состоянием равновесия, то матрица линеаризации А рассматривается только в одной точке фазового пространства и, следовательно, является матрицей с постоянными элементами а1}. Собственные вектора и собственные значения матрицы А не меняются во времени, а ляпуновские показатели совпадают с действительными частями собственных значений: X,- = Rep,. По знакам спектра ЛХП можно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости состояния равновесия. Чтобы проанализировать поведение фазовых траекторий в локальной окрестности состояния равновесия, нужно знать также и мнимые части собственных значений матрицы линеаризации. На фазовой плоскости (N=2) состояние равновесия характеризуется двумя собственными значениями матрицы А (двумя корнями квадратного характеристического уравнения): pi и р2. На плоскости возможны следующие случаи: 1) pj и р2 действительные отрицательные числа (в этом случае состояние равновесия — устойчивый узел); 2) pt и р2 - действительные положительные числа (состояние равновесия - неустойчивый узел) , 3) р! и р2 - действительные числа разных знаков (состояние равновесия - седло); 4) pi и р2 - комплексно сопряженные, причем І?ерь2 0 (состояние равновесия -устойчивый фокус); 5) pi и р2 - комплексно сопряженные, причем Rep\,2 0 (состояние равновесия - неустойчивый фокус); 6) pi и р2 — чисто мнимые: Рь2=±г й (состояние равновесия - центр) [23, 177].
Чтобы определить, к какому типу особых точек принадлежит состояние равновесия, достаточно знать Rep = 1, 2,..., N. Аттракторами являются состояния равновесия, асимптотически устойчивые по всем направлениям, спектр ЛХП которых со стоит только из отрицательных показателей (устойчивые узел и фокус). В случае неустойчивости по всем направлениям (т.е. абсолютной неустойчивости) состояние равновесия является репеллером (неустойчивые узел и фокус). Если спектр ЛХП содержит и положительные, и отрицательные показатели, то состояние равновесия сед-лового типа. Причем величины X; 0 определяют размерность неустойчивого многообразия, а величины Х-, О - устойчивого [178].
Устойчивость хаотических решений. Фазовые траектории, принадлежащие регулярным предельным множествам (состояния равновесия, предельный цикл, тороидальная поверхность), являющихся аттракторами, устойчивы по Ляпунову, а принадлежащие репеллерам и седлам неустойчивы. Иначе обстоит дело в случае хаотических предельных множеств. Хаотическая траектория, принадлежит ли она хаотическому аттрактору, репеллеру или седлу, обязательно неустойчива хотя бы по одному направлению. Значит, в спектре ЛХП хаотического решения обязательно присутствует хотя бы один положительный ляпуиовскии показатель. Неустойчивость фазовых траекторий и притягивающий характер предельного множества, которому они принадлежат, не противоречат друг другу, если представить, что фазовые траектории, стартующие из близких начальных точек бассейна притяжения, стремятся к аттрактору, но на аттракторе разбегаются. Можно сказать, что траектории на хаотическом аттракторе неустойчивы по Ляпунову. Такое поведение траекторий возможно для аттракторов, обладающих сложной геометрической структурой, и поэтому называемых странными [179].
Что же касается понятия хаотического поведения, то оно не связано непосредственно со сложной геометрией аттрактора, и означает неустойчивость фазовых траекторий, рост малого начального возмущения во времени, перемешивание элементов фазового объема и, как следствие, непредсказуемость поведения системы на достаточно больших временах. Траектории на хаотическом аттракторе могут иметь и более, чем одно направление неустойчивости (более чем один положительный ляпуиовскии показатель). В этом случае хаос называется гиперхаосом [23].
Следует отметить, что оперирование ЛХП продуктивно при теоретическом изучении динамических систем с запаздыванием, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, например уравнением Икеды [180]. Напомним, что одной из таких систем является оптический нелинейный кольцевой интерферометр. К. Икеда предложил модель процессов в НКИ и обнаружил в модели режим детерминированного хаоса [17]. Опыт использования расчёта спектров ЛХП для изучения зависимости динамического режима в модели нелинейного кольцевого интерферометра от параметров интерферометра отражен в [181, 182]. В цитированных статьях исследовался процесс установления величин ЛХП в модели НКИ с новоротом оптического поля на Д-120 для отдельных значений параметра нелинейности К и потерь у.
В традиционном понимании размерность геометрического множества есть число измерений, с помощью которых можно задать положение точки на геометрическом объекте [183]. В типичных случаях метрические размерности (связанные с расстоянием между двумя точками некоторого множества) принимают одинаковую величину -фрактальную размерность [184].
Обратимся к введённому ранее понятию аттрактора. Примерами так называемых простых (с точки зрения их строения) аттракторов служат устойчивый фокус или предельный цикл. В отличие от них хаотические аттракторы характеризуются сложной геометрической структурой - вследствие экспоненциальной неустойчивости отдельных траекторий (обсуждавшейся в п. 2.1). Эти аттракторы соответствуют нестационарным, нерегулярным процессам.
Критерием «странности» хаотического аттрактора является нецелочисленная (иначе говоря, дробная, или фрактальная) размерность как характеристика его геометрической структуры.
Напомним, что фрактал (от лат. fractus - преломлённый, нецелый) является структурой, обладающей в некоторой степени «самоподобием». Это «самоподобие» должно проявляться на многих уровнях, то есть при изменении масштаба в пространстве (или во времени) [64]. Примеры объектов с фрактальной размерностью на плоскости - снежинка, кривая Коха, кривая Пеано [183, 184].
Для описания размерности имеется несколько подходов, кратко излагаемых ниже и для удобства систематизированных в форме таблицы.
Понятие дробной размерности опирается на анализ понятия целой евклидовой Е или топологической размерности D0 (связана с непрерывными фигурами). Фракталы можно рассматривать как множества точек, вложенных в пространство. В частности, точка имеет топологическую размерность 2 = 0. Гладкие кривые - окружности, прямые и т.п. - имеют топологическую размерность Д)= 1. Размерность поверхности Do= 2, объемных тел D0 - 3, гипертел - более высокие значения Do-Первыми понятие нецелочисленной размерности ввели Ф. Хаусдорф и А. Безикович. Размерность множеств D больше его топологической размерности. Если имеем кривую (чья топологическая размерность равна 1), то ее можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний. Причем это можно делать до такой степени, что она плотно покроет конечную площадь. Тогда ее размерность достигнет двух. Определение меры, по Хаусдорфу, опирается на математическую абстракцию практического способа измерения длин, площадей и объемов, когда измеряемый объект покрывается эталонами с определенными мерами. Для обычных объектов оценки мер сходятся при определенном переходе к асимптотике, являющейся истинной мерой объекта.
Модель процессов в нелинейном кольцевом интерферометре с учётом TV-фотонных процессов
С физической точки зрения ясно, что структуры, соответствующие неустойчивым статическим состояниям, формироваться в НКИ не смогут - в отличие от устойчивых. Но переносится ли характеристика устойчивости статического состояния как целого (состояния системы (3.6)) на устойчивость соответствующего режима в отображении (3.7)? И обладает ли режим в отображении сложностью (оцениваемой хотя бы на уровне визуального восприятия)? С целью выяснения был предпринят расчёт для замкнутой ЦТТ, состоящей из ш=126 точек. На рис. 3.12 - для устойчивого (А,= - 0.00807, Д)=0.17549) и неустойчивого (Х=0.89427, Д,=0.96147) состояний -представлены: дискретные пространственные реализации, фазовые портреты, спектры Фурье для амплитуды и фазы [199]. Результаты расчёта позволяют ответить утвердительно на заданные вопросы.
Особенности строения карт ляпуновских характеристических показателей и дробной размерности аттракторов дискретного отображения: случаи монохроматического и бихроматического излучения на входе
Перейдём к рассмотрению свойств аттракторов ДО (3.7), соответствующих незамкнутым цепочкам транспозиционных точек, когда т—ко. Удобным способом исследования свойств динамической системы служит построение распределений некоторой характеристики её поведения на секущей плоскости, т.е. карт на плоскости параметров. Их построение способно, например, помочь решению задачи оптимизации параметров и/или режимов, обеспечивающих наибольшую степень скрытности передачи сообщения, замаскированного пространственным детерминированным хаосом (Приложение Г). Режим работы динамических систем определяют ляпуновские характеристические показатели Л и дробная размерность аттрактора, соответствующего динамике в модели. Предполагаемую связь между дробной размерностью аттрактора D (ёмкостью аттрактора как множества) и ЛХП выражает гипотеза Каллана-Йорке [24, с. 188-190].
Известно, что строение карт ЛХП зависит от начальных условий. Поэтому целесообразно построить карты ЛХП для ДО в координатах; параметр нелинейности К -начальное состояние U\. Несмотря на предположение об однородности характеристик НКИ и немодулировашюсти входного излучения будем считать, что возможно управлять величиной U\, например, варьируя интенсивность входного поля в цервой точке ЦТТ (/ —К\). Подобное построение можно воспринимать как зависимость инициально-финального отображения (ИФО) [239] от параметра . Теперь проиллюстрируем приведённое в п. 3.4.1 положение о взаимосвязи строения бифуркационных диаграмм статических состояний U для ОДУ и инициально-финальных отображений для ДО (3.7). Для этого совместим изображение бифуркационных диаграмм с контрастной картой (sgn Л), построенной в тех же координатах (рис. 3.13) [199].
Из этих построений видно, что если на бифуркационной диаграмме присутствуют устойчивые состояния (жирные линии), то на карте ЛХП им соответствуют прилежащие к ним области начальных условий, влекущих регулярное поведение системы (светлые области на рис. 3.13). Причём в случае монохроматического поля зависимость A(t/i) имеет период 2л: (рис. 3.13, а, г). Корректность подхода, опирающегося на совместный анализ карты и бифуркационной диаграммы, предполагает построение максимально возможного количества БД для различного числа ОДУ.
Таким образом, объединение карт ЛХП с БД может служить достаточно эффективным приёмом, облегчающим морфологическую интерпретацию карт и позволяющим объяснять наличие регулярной либо хаотической (тёмные области на рис. 3.13) динамики в модели. Моделирование показывает, что появление второго компонента в спектре излучения играет существенную роль. Уже при доле Q& амплитуды светового поля с высокой частотой, превышающей 0.1, и при относительно малом параметре бихроматич-ности #=0.1 в структуре карты заметны изменения. А при Qa=0.5 и д=0.5 (когда частоты одинаковых по амплитуде компонентов отличаются втрое) происходит усложнение структуры карты. Оно проявляется в обогащении её мелкими деталями и увеличении доли значений U\, соответствующих хаотическим режимам [240].
Обратимся к независимым расчётам ЛХП и фрактальной размерности (ёмкости) D0 [241-243]. Сравненяе рис. 3.14, а -3.14, б, 3.14,г-3.14, д, 3.15, а-3,15, б, 3.15,е-3.15,г, 3.15,ж- 3.15,з показывает наличие структурных инвариантов в строении карт ЛХП и Г 0. Исходя из предположения о справедливости гипотезы Калл апа-Йорке указанное сходство карт (построенных с помощью двух различных программ) можно рассматривать как верификационный сюжет.
Как и следовало ожидать, значения фрактальной размерности D0 лежат преимущественно вблизи целых: 0 и 1 (рис. 3.14, в, е, 3.15, в, е, и). Причина, из-за которой имеет место слабая «дробность» Do, возможно, лежит в погрешности вычисления значений D0. Дело в том, что точность вычисления D0 зависит от длины массива обрабатываемых данных. Но с ростом длины массива нелинейно возрастает время, требуемое для вычисления Do- Таким образом, на практике обычно выбирают условный оптимум соотношения между допустимой точностью и временем расчетов. Сказанное иллюстрирует таблица 2, в которой приведено несколько значений D0, вычисленных при различных длинах массивов и соответствующих им затратах машинного времени.
Модель динамики оптического поля в двухконтурном нелинейном кольцевом интерферометре
Исследования проводились на основе построения и анализа карт ляпуновских характеристических показателей на плоскости параметров модели А(К, у): параметр нелинейности К -удвоенный коэффициент потерь у (рис. 3.28). A priori можно ожидать, что хаотический режим будет отсутствовать в области находящейся в интервале K xKs, где Ks - параметр нелинейности, пропорциональный интенсивности насыщения /s, х равен приблизительно 1-2. Но результаты моделирования на рис. 3.28 показывают, что значение параметра нелинейности К, при котором имеет место хаотическое поведение, зависит от у. И области (на картах), в которых имеет место хаотическое поведение, локализуются даже при K KS. Так, в структуре карт присутствуют области, в которых сохраняются морфологические особенности типичные для карт при Ks=oo. В то же время, как и ожидалось, при K KS структура карт практически не меняется.
Очевидно, что насыщение нелинейности в модели НКИ влияет на конфигурацию и положение областей значений параметров нелинейности К и потерь у, при которых реализуется пространственный детерминированный хаос в НКИ. Кроме того, представляется важным нахождение способов управления нелинейностью, а тем самым -сложным поведением. Например, для этого можно в контур обратной связи НКИ поместить дополнительный элемент с насыщением нелинейности.
Покажем важность учёта - при моделировании - многих проходов поля в копту-ре обратной связи НКИ. Для сравнения с результатами, полученными в случае одного прохода (п. 3.4.2), построим фазовые портреты, карты фрактальной размерности аттракторов Д,, графики плотностей распределения значений Do для этих карт и рассчитаем долю Р площади карт, соответствующую тому или иному интервалу значений Ц).
Напомним, что изменение нелинейного фазового набега Ц- в НКИ в приближении больших потерь либо в случае одного прохода КОС задаётся дискретным отображением (3.7); Тогда как взаимосвязанное поведение амплитуд ЙИСГ„ ЬИСІІ И фаз фне о Уне двухчастотного оптического поля, а также формируемого ими нелинейного фазового набега /,- в НКИ с учётом многих проходов поля через КОС описывает система уравнений (3.38)-(3.41). Таким образом, мы имеем дело с ситуацией, когда сопоставляются два приближения одной и той же модели, отражающие различные условия распространения поля через КОС, и необходимо выяснить, в какой степени это повлияет на строение карт.
Как известно, максимальная размерность фазового пространства, соответствующего динамической системе, определяется минимальным количеством независимых переменных, необходимых для полного описания поведения системы. Отсюда можно сделать вывод, что система, описываемая дискретным отображением (3.7), имеет размерность фазового пространства равную 1 (уравнение относительно одной переменной - нелинейного фазового набега /,). А модель (3.38)-(3.41) с учётом многих проходов поля через КОС определяет максимальное значение размерности фазового пространства системы равным 4 (модель относительно четырёх переменных: aaari, bHcri,
Из самых общих соображений можно ожидать, что результаты моделирования дискретного отображения (3.7) и системы уравнений (3.38)-(3.41): продемонстрируют разные количественные характеристики режимов (например, разные значения Л, DQ); 2) будут отличаться в части, касающейся строения карт (расположение и форма областей тех или иных динамических режимов на плоскости параметров модели); 3) эти отличия не будут распространяться на некоторые структурные особенности карт.
На рис. 3.29 представлены карты дробной размерности Do аттрактора, соответствующие моделям НКИ в приближении одного прохода (левый столбец) и с учётом многих проходов поля КОС (правый столбец), построенные при различных параметрах спектра входного излучения. Карты дробной размерности Л0 в правом и левом столбцах по-разному окрашены: в левом столбце карты чёрно-белые, а в правом - в градации серого цвета. Белый цвет соответствует минимальному значению дробной размерности (D(f=0), а чёрный — максимальному значению. Из рассмотрения и сравнения структуры этих карт вытекает подтверждение сделанных выше трёх предположений. Действительно, из рис. 3.29 видно, что для различных приближений в модели расположение областей, соответствующих тем или иным режимам, в основном неизменно, хотя их структура претерпевает некоторые вариации.
Насколько известно, в литературе нет методических рекомендаций по сравнительному анализу карт подобного рода. Поэтому затруднительно дать объективную оценку степени изменения в строении карт. В этой связи можно предложить - для количественной основы сравнения карт - расчёт долей Р площади карты, соответствующей тому или иному диапазону значений Z)0.
В соответствии с таким подходом на рисунках 3.30 и 3.31 представлены графики плотностей распределения значений фрактальной размерности D0 для карт Du{K y) при различных значениях параметров спектра входного излучения и фиксированных интервалов параметров модели Кє[0; 15], ує[0; 1]. В таблице 3 представлены процентные соотношения, рассчитанных долей Р площади карт, соответствующих тому или иному интервалу значений DQ. Из совместного рассмотрения рис. 3.30, 3.31 и таблицы 3 видно, что процентные соотношения для Д)Є[0; 0.1] и D0e[0.1; 0.9], во-первых, зависят от набора значений параметров модели; во-вторых, их отличие для разных моделей тоже зависит от набора значений параметров; в-третьих, это отличие не превышает 8% (для ga=0.1; =0.5). И, соответственно, процентные соотношения для Д)є[0.9; 1] в случае приближения одного прохода и для Д)Є[0.9; A) max] в случае учёта многих проходов поля через КОС НКИ тоже соизмеримы либо близки. То есть все значения О0, соответствующие режиму пространственного детерминированного хаоса, из интервала [0.9; 1] равномерно перераспределились в интервале [0.9;DQmax] (рис. 3.30. 3.31). Этот факт свидетельствует о том, что при изучении модели (3.38)-(3.41) с учётом многих проходов поля через контур обратной связи результаты моделирования дают более точные оценки характеристик (в частности, фрактальной размерности Д) аттрактора) ПДХ.
