Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые вопросы теории моделирования как предмета семиотического и психолого-педагогического анализа, 10
1. Модель как форма мышления и как средство познания 10
2. Модель как средство интерпретации и объяснения.Модель и наглядность. 14
3. Отношение модели к пространству и времени. 20
4 Что считать моделью. Построение модели. 23
5. Цель обучения математике 27
6. Классификация учебных моделей и модели умственных действий при формировании математических понятий и при решении задач, 33
7, Ситуации понимания и объяснения при интерпретации. 43
Глава 2. Моделирование при формировании математических понятий. Классификация и интерпретация знаково-математических моделей 53
1. Моделирование при формировании математических понятий . 53
2, Классификация математических моделей, . 60
3, Интерпретация и объяснение математических моделей в начальной школе. 70
Глава 3. Семиотический и психолого-педагогический анализ процесса решения учебных текстовых задач при помощи моделирования» Модель умственных действий при решении задач 87
1. Традиционные методы обучения умению решать задачи . 87
2, Цель обучения начальной математике и умению решать задачи в альтернативной методике, . 98
3, Семиотический и психолого-педагогический анализ процесса решения задачи. 100
4, Процессы схематизации при моделировании
5» Опознание инварианта в процессе решения задачи* ,115
6. Классификация типов задач. 130
7. Задачи с неопределёнными ситуациями и неопределёнными объектами 138
8. Результаты экспериментального обучения 146
Заключение 183
Приложения . IS5
Литература 169
- Модель как форма мышления и как средство познания
- Моделирование при формировании математических понятий
- Традиционные методы обучения умению решать задачи
Введение к работе
Актуальность исследования - в разработке некоторых.вопросов, теории модалирования ти психосемиотики,а, также .псюсологогпедагощ-'-. ческих.проблем,разрешаемых.при помощи моделирования^ частности, при образовании.и объяснении.понятий,при интерпретации^знакошх.ма-. тематических _ моделей: и при решении учебных текстовых ..задач.
Предмет.исследования.- вопросы теории моделирования и психолого?. педагогические проблемы,связанные с процессами моделирования.
Объект исследования, - учебная деятельность^ моделированию математических понятий,в частности,знаковых.моделей,и в процессе решения задач при обучении математике младших ..школьников.
Проблема.исследования - состоит.в нахождении.концептуальной, основы и методологической установки в отношении интерпретируемости математической модели и знака и решении психолого-педагогических, проблем,связанных с формированием математических понятий,в частности^ интерпретацией знаковых моделей при помощи моделирования на стадии овладения математическими знаками и развития математическо-. го мышления вообще.
Цель исследования - построение моделей учебной деятельности при формировании математических понятий,включая знаковые модели,и при решении учебных текстовых задач.Реализация этой цели предполагает решение следующих.задач:
выявить процессы моделирования при генетическом подходе.к структуре понятия,
теоретически обосновать и показать на примерах интерпретирует мость математических,моделей,
определить этапы моделирования,характер моделей,их последовательность и закономерности их построения,
выявить психолого-педагогические,проблемы,возникаюп^иена разных, этапах учебной.деятельности и показать пути их,разрешения-при;помо---
З-..
щи ^моделирования.
йзло^енннй^ринодииальныйгподход,цель и задачи исследования определяют.следующие типтезы:
I.Интерпретируемость данного математического понятия,модели,зна-^
ка,зависит от наличия подтекста - информации,накопленной человече
ством,о предыдущих ступенях познания.В процессе обучения этот под
текст, может быть.представлен в виде модели становления сознания,
структура которой имеет свою иерархию,сопоставимую с закономерным
появлением ступеней познания в их историческом развитии и закрепле
нием в итоге в знаке. ..
При интерпретации и объяснении знаковых.математических моделей этот исторический путь надо пройти в миниатюре,выделяя его главные вехи,что и достигается моделированием.Выстраивая модель умет-, венных действий соответственно модели становления человеческого познания,мы конкретизируем каждый этап моделью становления познания в онтогенезе. В результате модель умственной.деятельности.имеет сложную структуру,состоящую из двух параллельно идущих.моделей становления познания в фило- и онтогенезе,представленных цепочками моделей, соответствующих этапам познания,
Выпадение какой-либо модели из этих цепочек допустимо.лишь в том случае,если эта модель была сформирована в прежнем опыте и за-, нимает своё "законноеиместо в структуре данного понятия или процес-, са решения задачи.В противном случае логический ход мыслей останав-. ливается,задача не решается,понятие или не формируется,или формиру-; ется неполноценно.
2.В основу задачи положено отношение-инвариант,и если задача не в одно действие,то количество отношений соответственно увеличивается. Благодаря моделированию становится возможным опознание инварианта, от которого зависит логический вывод и последующий ход реше-, ния задачи.
4 .
\ Методы исследования;
психологический анализ учебников по математике для начальных, классов,методических положений,принципов и рекомендаций,.
изучение философской и психологической литературы, по семиотике и моделированию,.
теоретический анализ состояния знаний о математическом языке по вопросу его интерпретируемости,
теоретический анализ психосемиотических проблем при восприятии и переработке знаково-математической.информации,
применение этих теоретических положений на практике - в течение многих лет работы в начальных: классах,общеобразовательной школы,. что определяет достоверность и надёжность результатов исследования.
Методологической,основой;исследования являются:
теоретические положения о модели и моделировании в работах Штоф-фа В. А.,Славина А.В. ,Вартофского М. с философских ^позиций,ЇЬмезо Ж.В. ,Ломова,В.Ф. ,Рубахина,В.Ф. -с,позиций,психосемиотики,
теория поэтапного формирования умственных действий П.Я»Гальпериг; на /Н.Ф.Тащзиной,Л.Ф.Обуховой и др./,
концепция учебной деятельности Д.В.Эльконина,В.В.Давыдова,
психолого-педагогичеекие принципы'обучения математике в трудах Л.Д.Кудаящева,Л.М.Іридмана,Г.^ройденталя и др.,
теория и практика моделирования при решении учебных текстовых задач /Л«М.#ридман,Е.М.Семёнов,B.C.Герасимова,П.М.Эрдниев и др./.
Научная новизна в общем виде состоит в генетическом подходе к вопросам теории моделирования и применению метода моделирования в учебной:деятельности,в отдельных.же областях это выражается в следующем. . '
В области пеиховшиотшш,: -в развитии и разработке общих вопросов теории моделирования,та-; ких как - моделирование как средство объяснения,модель и наглядность,
понятие о главном изоморфном отношении /Г.И.О./,отношение модели к пространству и времени,процессы схематизации при.моделировании,цель построения и вывод модели,новая информация,которую даёт модель,
- выдвинуто теоретическое положение о принципиальной интерпретируе
мости . математической модели,доказана её способность отражать дейст
вительность в зависимости,от вида математической модели,её места и
функции в. математическом языке,
-выдвинуто и разработано положение о подтексте математического понятия,модели как знании,накопленном человечеством и хранящем информацию об исторических ступенях познания,
- предложена классификация математических моделей в зависимости от
их.функции в математическом языке,отношении к пространству,и вре
мени и способности отражать данный фрагмент действительности.
В области психологии
Генетический подход к формированию понятий имеется в трудах. В.В.Давыдова и др. ,ігринципь\ последовательности,поэтапности и усло-; вия сокращения умственных,действий реализуются в исследованиях. П.Я.Гальперина и др.Наше исследование,находясь в общем русле,этих?. положений,имеет следующее принципиальноеотличие; другая .точказрения на процессы формирования умственных действий - психрсемидече-, екая,В результате мы^имеем-не только ..другие этапы деятельностиг Психосемиотический взгляд на процессы интерпретации моделей /пня-~ тия,знаковой.модели,задачи-модели /,как обобщащий,позволяет вый- ти на системный подход и к общей проблеме,и к её.аспектам.,
Идея соотношения онтогенеза сознания с-его..историческим.развитием оформилась в философии /Г.Гегель,Ф.Энгельс,Г.В.Плеханов, І.М.Кедров/ в виде констатации общего положения о развитии индиви-. дуального сознания как сокращённом воспроизведении ступеней,исторически пройденных человеческим сознанием,"оставляя в стороне психологическую суть вопроса"/56 >е« 52 /-Новизна нашего исследования в принятии этого положения и разработке сопутствующих ему психо-
холого-педагогических проблем.
В методике преподавания математики
Наш подход к обучению математике принципиально,отличается от традиционного по главному.вопросу а соотношении логики, и математики с предметной действительностью.И логические,и математические модели мы связываем с предметной областью,в то время как традиционное объяснение строится в основйом только на логической схеме рассуждений. Отсюда проистекают различия в объяснении.и математических, моделей,и задач.Моделирование же выступает как средство реализации такого подхода.
Мы ставим вопрос о принципиальной,интерпретируемости математи-* ческого знака и,произведя классификацию математических моделей,показываем, как происходит их интерпретация и.объяснение,в отличие от традиционного подхода,когда алгебраические знаки ввели в программу начальной школы без всякого объяснения,явочным порядком,несмотря на то,что уже в 70-е годы были наработаны и имелись в печати примеры объяснения алгебраических.моделей при помощи образногграфических, схем. /Г,Г.Микулина,Г.И.Минская^Ж///, c,I68-I88,2II /.Частично это явление можно объяснить тем,что не.была.доказана,интерпретируемость математического знака в принципе.
Вопреки сложившемуся мнению,что ход,решения задачи зависит от логического вывода,полученного в результате построения дедуктивной цепочки рассуждений от вопроса задачи,мы утверждаем,что он зависит от опознания инварианта задачи в первую очередь,а логический вывод возникает.только на основе этого опознания.Традиционный дедуктивный логический меіфл. рассуждений не приводит к опознанию инварианта, оно достигается путём.моделирования.
Эти рассуждения могли бы остаться на,уровне формального теоретизирования, если не показать,что же представляет,из себя .инвариант не только.с известной всем слов^сно-логич:еекфй.стфрН,н^,и со.сторона ,обобщённой конкретики.
Мы нашли и предъявили сам инвариант в виде образно-графиче-. ской модели и показали,как соотносится эта модель с другими моделями-схемами - текстовой,логической,математической,:
Что же касается составных задач,то в них количество отношений-инвариантов увеличивается,и соответственно увеличивается количество вдеалижированных образных моделей,являщихся предметным фун-, даментом для построения логической цепочки рассуждений.К моменту ПО-,! явления в учебном процессе составных задач при правильном обучении, школьник имеет весь необходимый набор этих моделей в свёрнутом виде,.
Обучение умению.решать задачи имеет целью,а сама задача является средством - математизации действительности /этот термин встречается у Л.Д.Кудрявцева,84 ,с.5б, и у Г.Фройденталя ,/<ЙГ,с.40,136, где он выступает как.цель обучения математике вообще /,а не развития логического мышления, как традиционно представляется.В виде,сопутствующего продукта появляется и культура мышления,в частности, развивается и логическое мышление.Математизация,т.е.перевод данного фрагмента действительности в знаковую модель,достигается путём моделирования.
Чтобы выявить инвариант задачи,мы ^рассматривая задачу,как ло-:
гическую модель с трёхзвенной структурой,берём.только одно отноше-.
ние,т.к. в составных.задачах эта трёхзвенность уже затушёвана.По
этому наша область исследования в основном ограничена.самими про
стейшими задачами- в одно действие,а ещё точнее,нас интересует .путь.-,
от реальной ситуации до появления знаковой модели и моменты блоки-.
рования мысли ребёнка,на этом пути,в отличие от авторов,интересу
ющихся связями между отношениями. задачи /Л.І.іридман /ср.шк. /,.,..
Е.М.Семёнов /мл.кл./,.Г.Боданскийи др./. . ч
Скорее,наш подход согласуется с подходомВ.С,Герасимовой^так-. же находящемся в русле психрсемиотики,при: котором моделироваш<іе трактуется как переход .с одного,урошя сознания щ< другфf *боле$.;}
обобщенный,/ В.С.Герасимова,^^с.^38 /.Но то,обстоятельство,что оФь^і ектом..нашего, исследования являются младшие школьники, обязывает, нас , найти .некоторое. дополнительные модели,находящиеся .у ,'5-7-кяаееников в сформированном,свёрнутом виде.
Шервые. мы.. вводим деление задачи ой. ситуации на 3. пространствен-, но-временных плана /пр9странственш>те и временньте ситуации /и благо-, даря такому делению.находим образно-графическую модель инварианта, являющуюся ключом к решению задачи.
Впервые также порождение и прочтение текста задачи с последую-, щим её решением рассматриваем как знаковое общение,актуализированную социальную связь с возможньм неудачным общением /по М.Доналдсон/ или псевдо-,квазиобщением:/по Т.М.Дридзе./.Появляющиеся в результа-. те такого неудачного общения задачи классифицируем на задачи с неоп*; ределённътми объектами;и задачи с неопределёнными ситуациями.Показы-, ваем пути разрешения психолого-педагогических проблем при помощи дополнительного моделирования с целью выявления в первом случае структуры объекта,а во втором - структуры ситуации.
Моделирование при решении учебных текстовых задач описано.мно-, гими авторами; / Л.М.ФридмануЕ.М.Семёнов,,Г.Боданский,Г.Г.Микулина, Г.ЇЇ.Минская и др./,но в них моделирование выступает как метод,допо-, лнительный к существующему ныне словесно-логическому дедуктивному методу.У нас же моделирование выступает как необходимое средство опознания инварианта и вытесняет господствующий ныне традиционный подход.
Практическая значимость исследования - в определении путей формирования понятий,при помощи моделирования,интерпретации и объяснения знаковых математических моделей ?и успешного обучения уме-, нию решать задачи в начальной школе.Разработаны и предлагаются к практическому применению некоторые модели понятий,таблицы типов
/инвариантов/ задач,представленных в.виде моделей - текстовых,образно-графических и геометрических.
Основные лоложения,№носимые на защиту
I.Главным и необходимым условием формирования полноценного понятия, интерпретации знака,модели,обучения умению решать задачи в младших классах считаем построение модели умственных действий в соответствии с моделями становления познания в фило-и онтогенезе. Благодаря опоре на эти модели,становится возможной интерпретация знаковых моделей;;и успешное, обучение умению решать задачи,и эти уче-. бные процессы рассматриваются как имеющие цель - математизацию действительности,
^Моделирование,.при ..формировании математических понятий,в частности, знаковых моделей,и при, решении задач выступает.как перевод сознания с одного уровня мышления на другой,более обобщённый,при корректно поставленной задаче и сформированности у ученика понятий, входящих ;в структуру данной задачи,В противном же случае необходимо дополнительное моделирование для раскрытия структуры понятия,ситуации и объекта.
2,Классификация математических моделей в зависимости от их функции в математическом языке,их способности отражать внешнюю дей*. ствительность или процессы мышления и по отношению к пространству и времени..
4.Зависимость хода решения задачи от опознания её инварианта.
5.Отношение-инвариант,положенное в основу задачи,имеет два ви-, да: логическая модель и её предметный фундамент - образно-графическая. Саму задачу мы рассматриваем как логическую модель,имеющую трёхзвенную структуру,соответственно и задачнуто ситуацию мы делим на 3 пространственно-временных плана и,благодаря такому членению ситуации,выходим на образно-графическую модель инварианта.
Апробация работа *
Материалы исследования по мере их получения использовались.в практике собственной;работыт в качестве учителя начальных, классов ЮР'.-147,28,50 школ. г.Москвы ? учит ел ей-емежников ^ и другие, учителей ,на-, чальных классов,Материалы,диесертационного исследования об&улща~, лись на методических объединениях школы №50 г.Москвы с участием учителей.математики,начальной школы и методистов Института усовер- .---; шанствования учителей.Диссертация обсуждалась,на заседаниях кафе-, дры психологии МГСЩ /1988,1989 / и на научньтх конференциях МИШ
/I988fI99#.
Структура, и объём, работы
Диссертация состоит из введения,3-х глав,заключения,библиографии и приложений.
Модель как форма мышления и как средство познания
Модель как форма мышления существует также давно, как и само, мыщление, отображения действительности, без памяти невозмо кно какое-либо поведение организ-ма.Модель внешнего.мира -это часть памяти,в которой хранятся зна-, ния /представления/о внешнем мире и его свойствах,Полнота таких знаний .зависит от,степени сложности данного организма и разнообразия его мира обитания.Говоря о памяти,следует упомянуть и врождённую память /врождённая модель мира. /,позволяющую специфично /для каждого вида / реагировать на ситуации,не встречавшиеся ранее 16У, с.31 /.
Можно представить себе такие вехи в развитии памяти: память врождённую,память структурную,определяемую фиксированными.соотношениями между частями объекта,и,наконец,память в обычном смысле слова, способную фиксировать новую информацию / там же,с.25,/.Далее ав- торы пишут,что -запускающим" элементом,определяющим характер поведения, служит не цель,а некое представление о некой.итоговой ситуации, возникшей в результате динамического изменения среды,в частности из-за активных действий..самого живого существа.Способность замещать, реальный.объект представлением о нём и использовать это представле-; ние для планирования последующих действий кажется нам весьма существенным зародышем возникновения сознания.
Модели,символы и знаки носят непроизвольный характер,несмотря на активность индивида,пока эта активность не направлена.избирательно на построение такого/заместителя .Любые.две.вещи во вселенной,связывающее их между собой.Но из всего этого богатства лишь некоторые вещи мы отбираем и используем в качестве моделей других вещей.Этфт, отбор происходит на основе определения релевантных свойств,которые связывают вещи между собой с дальнейшим учётом ограничений относительно того,что может быть превращено,в модель,а что нет.Чтобы всё это произошло,в дело должна вступить наша собственная познавательная деятельность.
Т.о.,хотя модельное отношение представляется нам диадичнцм,на самом деле оно триадично 149 ,с.34 /.Границами моделирования явля-: ются не некоторые внутренние.границы различных сущностей,а границы, наших представлений о них.Когда мы говорим о моделях,то подразумеваем именно, произвольные модели,выступающие как осознанное средство познания.Когда говорим о моделировании,то подразумеваем деятельность с триадичной структурой: субъект - объект - модель. Несмотря.на то,что моделям,моделированию и различным его видам посвящена обширная литература как философско-методологическая,так и специальная,несмотря также на то,что..в настоящее время вряд ли найдётся.сколько-нибудь,серьёзное исследование котором не испольт зовались бы понятия модели и моделирования,-нам всё.же представля-. етея,что до сихпорнет полной ясности и единого понимания того,что такое модель и что может.дать в научном исследовании моделирова-. ние,а,также.каково.его,взаимоотношение с остальной,методами,научного исследования, тпишут авт оры J Зі , с ЛI /.
Моделирование при формировании математических понятий
Понятия могут выступать в виде разных,моделей,в том числе,и, знаковой,Каково состояние знаний о математике как науке,о математи-, ческом языке,знаках и моделях?А,Н.Колмогоров так характеризует предмет математики как науки: "...Математика изучает материальный, мир с особой точки зрения,...её непосредственным объектом являются пространственные форм и количественные отношения действительного мира.Сами,эти формы и отношения в их чистом виде,а не конкретные материальные тела являются той реальностью,которая изучается мате-,, матикой" .
Б.М.Ведров пишет, чт о "математика, абстрагируется от специфической, качественной определённости изучаемого предмета и учитывает лишь количественную его сторону"// ,0.4. /.Есть и другая позиция: "Некоторые разделы, современной математики, называют уже "неколичест-, венными".Сегодня математик более чем когда-либо склонен назвать свой язык не количественным порядковым" Н&% ,с.37,/.Имеются,и мнения о том,что математика изучает модели /Л.Д.$удрявцев,Л.М.рид-, мш,А.В,Крутецкий и др,/: "Как чистая, так и прикладная математика изучает математические структуры, только в чистой математике они изучаются сами по себе в прикладной они,во-первых,являются моделями реальных явлений во-вт ріж, і елью, изучен в этом случае,является изучение реальных явлений,которое, они моделируют" .
Т.о,,чистая математика совершенствует математический.язык,от шшфовывает свой математический.аппарат,чтобы изучать реальную,дей-, ствительнос-ть,так что всё,равно всё сводится к одной,цели,- изучение законов прифоды.А "пространственные формы и количественные отноще-. ния" - это не предмет изучения,а те стороны.действительности,которое математика выделяет,абстрагируясь;от других., стор9н,Щцеляет не для того,чтобы заниматься изучением только,этих сторон действительности .как опору- для построения своей знаковой системы Взгляд с т.зр. семиотики позволяет ответить на многие вопросы, связанные со спецификой математики как науки и, её. языка. Таїфааприт. мр,у А.І.Лосева мы находим,что "математическое обозначение,имеет своим предметом те.или иные системы бескачественных отношение,при, условии однородности,неизменности и,неподвижности как самих этих, отношений,так и составляющих их элементов"Д" ,сДО /.
Упрёк в неподвижности,неизменности можно(сразу.отвести,с позиции семиотики :"В знаке фиксируются обобщения и абстракции,выработан-, ные.не отдельным человеком,а обществом" 14d ,сЛ5 /,и чтобы усвоение этих знаний стало возможным,необходимо закрепление.значений, символизация.И такое закрепление значений есть в.любой знаковой,си-ь стеме: буквы,обозначающие совершенно определённые звуки,значения слов;,в музыке ноты и другие знаки; .физические и химические.форму? лы - это также модели,и в них схематизированы,и символизированы,понятия. Вызывает сомнение также.и положение о "бескачественных отно-: тениях".Могут ли быть отношения - бескачественными? ;Думается,что нет.Да ,и модель,с её связями,и отношениями,в том числе и математи- , ческая,бескачественной быть не может.
Традиционные методы обучения умению решать задачи
Есть задачи,которые ученик решает сразу,только успев прочитать, без всяких наводящих вопросов,Это задачи на нахождение суммы в одио_ действие,но их и было очень мало,и из учебников 90 г.изъяли и эту: "Саша поймал 4 рыбки,а Миша 3 рыбки.Сколько всего рыбок поймали де-г ти?"А есть такие задачи,и их большинство,в которых приготовлены "сюрпризы",и каждый раз новый сюрприз,а вопросно-ответная система, предлагаемая методикой,"скользит"мимо этих препятетвий,не задевая, и не раскрывая их.
"Около дома 10 уток и кур.Уток 8.Сколько кур около дома?".- Per бёнок,пока ещё медленно читающий и медленно думающий,так и понимает ,что 10 уток и ещё сколько-то кур,И вдруг оказывается,что уток вовсе не 10,а 8. Это как удар из-за угла! И если в задаче что-то "нам неизвестно",то это - как 10 уток превратились в 8.
Выход из,этого конфликта такой: надо сказать,что число 10 относится и к уткам,и к курам,и обвести эти слова овалом,объединить их графически: 10(уток и кур )
Заметим кстати,что ни один бы учитель так задачу не ормулирог вал бы.Он предпочёл бы следующий текст: "Около доща гуляли утки и куры,Всего их было 10 и т.д. "Текст задачи учебника составлен так неестественно,видимо,с целью заставить ребёнка логически рассуждать и очень напоминает тесты Ж.Пиаже,которые критикует М.Доналд-, сон,например: "Кого больше - коров или чёрных лошадей пруда росло 9 осин, 4 осины спилили,Сколько осин осталось, у пруда?! /-Бесполезно спрашивать,что известно и что неизвестно,т»к. первоклассник не может сформулировать,что ему неизвестно обобщённое значение небытия и как его перевести на математический язык,
И как.сравнить высоту стола и стула в дм,ведь только взрослый человек,знает,что надо представить высоту в виде вертикальной,линии, отбросив всё остальное..,й что такое "куски ткани",один в 7 м, а другой на,3 м больше,и как их сравнить? -.Надо как минимум их "развернуть"и посмотреть,что из этого получится,и никто из перво-, клаесников не ведает,что в результате они будут иметь два прямоугольника. ..И ещё - не надо принимать во внимание ширину,7 м и 3 м-это длина,а про ширину надо забыть
Как найти длину дорожки /"Одна девочка прошла до встречи 24 м, а другая на 8 м больше"/,если дети никогда ещё "метрами не ходили"? Как узнатьглубину второго колодца,если городские дети ещё не успели туда заглянуть,а надо эти колодцы ещё мысленно вытащить из земли,представить в виде полых брусков и,отключившись от объёма,сравнить по высоте получившшйзя геометрические фигура. Могут ли дети 6-7 лет проделать эту мыслительную работу без помощи взрослого? А если составители задач не чувствуют этого разрыва в опыте,то есть ли гарантия,что учитель исправит положение?
Как уже отмечалось,из модельного отношения-можно выделить субъекта моделирования вместе с его целями построения модели,с его установками, его мироощущением,На такое структурирование задачной ситуации и объекта никто и не расчитывал.Задачи составлены с расчётом, что детей не должно интересовать,что в задаче сравнивается - стулья или колодцы,они должны подходить обобщённо: раз больше /всё равно, что /,значит ибавить,меньше - отнять.
