Содержание к диссертации
Введение
1 Двухмерные электромагнитные кристаллы 16
1.1 Решетка идеально проводящих проводов 16
1.1.1 Постановка задачи 17
1.1.2 Дисперсионное уравнение 19
1.1.3 Коэффициент отражения от полупространства 25
1.1.4 Квазистатический предел 29
1.1.5 Заключение 35
1.2 Решетка реактивно нагруженных проводов 36
1.2.1 Постановка задачи и теоретическая база 37
1.2.2 Индуктивные нагрузки 38
1.2.3 Емкостные нагрузки 40
1.2.4 Нагрузки в виде параллельных резонансных LC контуров 42
1.2.5 Заключение 44
1.3 Решетка спиралей 45
1.3.1 Постановка задачи 45
1.3.2 Теоретическая база 47
1.3.3 Поляризация индивидуальной спирали 48
1.3.4 Дисперсионное уравнение 50
1.3.5 Материальные параметры 52
1.3.6 Численный расчет 54
1.3.7 Заключение 57
Заключение к главе 1 58
Трехмерные электромагнитные кристаллы 59
2.1 Решетка электромагнитных рассеивателей 59
2.1.1 Теория дисперсии 60
2.1.2 Расчет компонент динамической диады взаимодействия 62
Итоговые формулы 70
2.1.3 Проверка полученных результатов 71
2.1.4 Численный расчет 72
2.1.5 Заключение 74
2.2 Невзаимные электромагнитные кристаллы 75
2.2.1 Общие соображения 75
2.2.2 Дипольное приближение 78
2.2.3 Общее дисперсионное уравнение 80
2.2.4 Коэффициент отражения, характеристический импеданс и эффективные материальные параметры 84
2.2.5 Квазистатический предел 85
2.2.6 Численный пример 86
2.2.7 Заключение 90
Заключение к главе 2 91
Обратные волны и отрицательная рефракция в фотонных кристаллах 92
3.1 Введение 92
3.2 Определения понятий 94
3.3 Дисперсионное уравнение 97
3.4 Отрицательная рефракция без обратной волны 100
3.5 Обратные волны без отрицательной рефракции 104
3.6 Многоволновое преломление на низких частотах 106
3.7 Отрицательная рефракция при всех углах падения 110
3.7.1 Прямые волны рядом с точкой М ПО
3.7.2 Обратные волны рядом с точкой Г 112
Заключение к главе 3 113
Заключение 115
Литература 117
- Решетка идеально проводящих проводов
- Дисперсионное уравнение
- Решетка электромагнитных рассеивателей
- Отрицательная рефракция без обратной волны
Введение к работе
Современное состояние вопроса
Данная диссертационная работа посвящена аналитическому моделированию электромагнитных свойств двух- и трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллов с различной внутренней геометрией, а также изучению возможности наблюдения эффектов обратных волн и аномальной рефракции в таких материалах.
Интерес к фотонным кристаллам и их приложениям появился около пятнадцати лет назад. Изучение электромагнитных свойств фотонных кристаллов и структур (PBG - Photonic Band Gap structures) является чрезвычайно актуальным как для микроволнового, так и для оптического диапазонов. Такое внимание к этим структурам обусловлено их дисперсионными свойствами, а именно наличием полосы полного отражения - частотного диапазона волн, которые практически не распространяются в этих кристаллах. Данные структуры находят применение в частотно-селектирующих и волноводно-резонаторных устройствах. Другими словами, эти искусственные кристаллы привлекают к себе внимание исследователей также благодаря крайне интересным возможностям управления светом, открывающимся с их помощью. Начало исследованиям фотонных кристаллов было положено пионерскими работами профессоров Э. Яблоновича и С. Джона [1, 2] в 1987 году в оптическом диапазоне. В последнее время появилось множество литературы по тематике фотонных кристаллов, см., например, [3, 4, 5, 6]. Начиная с 2000 года, область исследования фотонных кристаллов расширилась, распространившись также на другие частотные диапазоны. Стали рассматриваться кристаллы, состоящие не только из диэлектрических и металлических включений простой формы, но и из включений, обладающих магнитными свойствами (благодаря сложной геометрии включений или собственным магнитным свойством материалов). Такие структуры получили название электромагнитных кристаллов [7].
В связи с крайней сложностью электромагнитных процессов в фотонных кристаллах, анализ их дисперсионных и отражательных свойств обычно производится численными методами. Существует множество численных моделей прохождения электромагнитных волн в фотонных кристаллах, основанных на таких методах, как FDTD или МоМ (метод моментов). Основными среди них признаны метод Пендри, использующий условия квазипериодичности поля в фотонном кристалле так, что для получения коэффициентов в дисперсионном уравнении достаточно решить уравнения Максвелла численно (методом конечных разностей) в масштабе одной ячейки, и метод Блоха-Флоке, приводящий к бесконечной системе дисперсионных уравнений путем разложения поля по пространственным гармоникам (см., например, работы группы профессора Дж. Пендри [3, 8]).
Что же касается численно-аналитические методов, то первые работы по их построению для двумерных фотонных кристаллов (включения в виде бесконечных цилиндров) такие как [9], появились совсем недавно, лишь в 1994 г. Подобные работы в литературе редки и носят единичный характер. Этот подход (использующий так называемое обобщенное тождество Рэлея) пока что не распространен на случай трехмерных фотонных кристаллов из-за не преодоленных до сих пор ограничений метода. Первые работы, в которых предложена аналитическая модель трехмерного фотонного кристалла, такие как [10, 11], появились лишь в 2000 г.
Аналитический подход позволяет получить дисперсионное уравнение в явном виде. Ограничением применимости подхода [10] являются достаточно малые размеры включений по сравнению с длиной волны. Это ограничение в данной работе будет сохранено. Кроме этого, недостатком [10] является необходимость аналитического решения задачи об отражении наклонно падающей плоской волны от одного (двумерного) слоя включений, так как в явное дисперсионное уравнение в качестве основного пара- метра входит импеданс двумерного слоя как функция отношения компонент волнового вектора основной пространственной гармоники. Из-за этого недостатка модель [10] применялась лишь для простейшей геометрии решетки и включений (орторомбическая решетка, сферические и цилиндрические включения).
В это же время профессор Дж. Пендри опубликовал статью [12], вызвавшую растущий интерес к средам с обратными волнами и отрицательной рефракцией. Эти среды были впервые рассмотрены профессором В.Г. Веселаго в работе [13] в 1968 г. Хотя предпосылки к рассмотрению таких сред были сделаны задолго до этого. Еще в 1940 г. академик Л.И. Мандельштам, читая свои лекции на физическом факультете Московского института, говорил о возможности существования таких сред [14]. Теоретические предсказания Веселаго были экспериментально проверены группой Р. Шелби (R. Shelby) и Д. Смита (D. Smith) [15, 16, 17] в микроволновом диапазоне при помощи одноосного аналога среды Веселаго, состоящего из решетки проводов и резонансных рассеивателей с магнитными свойствами (split ring resonators, SRR:s).
Эффекты обратных волн и отрицательной рефракции можно наблюдать также и в некоторых фотонных (электромагнитных) кристаллах [18, 19, 20, 21, 22] при определенных условиях. Это неудивительно, поскольку близкие эффекты наблюдаются в одномерных и двухмерных периодических структурах [23, 24]. Более того, аналогичное явление было предсказано еще академиком Л.И. Мандельштамом [25, 26].
Целями данной работы являются:
Создание аналитической модели фотонных кристаллов, основанной на принципе локального поля, позволяющей производить расчет дисперсионных кривых и коэффициентов отражения без привлечения численного моделирования.
Адаптация модели для фотонных кристаллов с различными внутренними геометриями, включающими в себя как двухмерные так и трехмерные взаимные и невзаимные кристаллы, и рассмотрение нескольких видов таких кристаллов.
Рассмотрение возможности создания управляемых фотонных кристаллов в диапазоне СВЧ.
Анализ возможностей существования эффектов обратных волн и отрицательной рефракции (вместе или по отдельности) в немагнитных фотонных кристаллах.
Краткое содержание
В данной диссертационной работе приведен метод, основанный на принципе локального поля, позволяющий исследовать дисперсионные свойства различных периодических структур. Этот метод позволяет получить трансцендентное дисперсионное уравнение, которое может быть решено как численно, так и приближенно аналитически. Кроме того, построена модель отражения от полупространства, позволяющая рассчитывать коэффициент отражения через известные решения дисперсионного уравнения.
Работа состоит из введения, трех глав и заключения.
В первой главе рассматриваются дисперсионные и отражательные свойства двухмерных электромагнитных кристаллов в виде прямоугольных решеток из бесконечных параллельных 1) идеально проводящих проводов, 2) реактивно нагруженных проводов, 3) спиралей из идеально проводящих проводов. Построена аналитическая теория дисперсии и отражения для таких структур. Приводятся результаты расчетов дисперсионных кривых и зависимостей коэффициента отражения от полупространства от частоты. В квазистатическом приближении найдены материальные параметры для рассматриваемых структур. Демонстрируется наличие низкочастотной пространственной дисперсии в решетке из идеально проводящих проводов, а также возможность создания магнитной стенки при помощи полупространства из такого материала на частоте, соответствующей верхней границе низкочастотной зоны. Выявляется возможность изменения дисперсионных и отражательных свойств кристалла из проводов путем внесения в провода реактивных нагрузок. Внесение индуктивных нагрузок эффективно сужает ширину низкочастотной запрещенной зоны, а кристалл из проводов нагруженных на резонансные контура приобретает зону пропускания около частоты резонанса контура, причем на самой частоте резонанса кристалл становится прозрачным, а на частотах, соответствующим нижней и верхней границам зоны пропускания полупространство такого кристалла становится магнитным и электрическим стенками соответственно.
Вторая глава посвящена трехмерным электромагнитным кристаллам, образованным решетками с элементарной ячейкой в виде параллелепипеда, состоящими из 1) малых электрических рассеивателей, 2) малых ферритовых сфер. При анализе трехмерных структур используется аналитическая модель, аналогичная модели, используемой для описания дисперсии и отражения от двумерных электромагнитных кристаллов. На примере решетки из малых невзаимных ферритовых сфер продемонстрированы возможности расчета дисперсионных кривых, коэффициентов отражения от полупространства и эффективных материальных параметров. Детально проанализирована структура запрещенной зоны, образующийся вблизи частоты собственного резонанса включений.
В третьей главе подробно обсуждаются вопросы существования эффектов обратных волн и отрицательной рефракции фотонных (электромагнитных) кристаллов на примере трехмерной решетки малых изотропных рассеивателей. Приводится классификация прямых и обратных волн, положительной и отрицательной рефракции, а также прямых и обратных волн по отношению к границе раздела. Показано, что при рассмотрении различных эффектов на различных частотах в фотонных кристаллах возможно наблюдать описанные эффекты как по отдельности, так и вместе.
Актуальность
Работа посвящена исследованию дисперсионных и отражательных свойств фотонных кристаллов, которые являются быстро развивающимся направлением современной фо-тоники. При помощи фотонных кристаллов становится возможным управление светом и создание новых приборов, которые могут использоваться в различных отраслях тех- ники. Фотонные кристаллы являются одной из основных частей на основе которых планируется создание оптического компьютера, поскольку при их помощи можно создавать как волноведущие устройства, и разветвители, так и суперпризмы и другие компоненты. В работе затрагивается вопрос существования материалов в которых могут наблюдаться эффекты обратных волн и отрицательной рефракции, подобные наблюдаемым в среде Веселаго. Данный вопрос является в данный момент крайне актуальным, поскольку при помощи среды Веселаго возможно создание идеальных псевдолинз [12] и высокодобротных резонаторов крайне малого размера [91].
Научная новизна
Аналитическое моделирование фотонных (электромагнитных) кристаллов является одним из важнейших и в то же время наименее развитым направлением исследования этих материалов. В данной диссертационной работе предлагается оригинальный метод, позволяющий без привлечения сложных численных вычислений получать информацию о дисперсионных и отражательных свойствах фотонных кристаллов. Более того при его помощи становится возможным не только анализ известных геометрий фотонных кристаллов, но и проектирование новых материалов с необходимыми свойствами. Кроме того, возможно получить материалы, свойства которых могут быть изменены не только при помощи смены геометрии но и путем изменения каких либо внешних факторов. Иными словами могут быть получены управляемые фотонные кристаллы. Показано существование низкочастотной пространственной дисперсии в решетке из проводов и доказано, что при помощи полупространства, заполненного таким материалом, может быть получена магнитная стенка. В работе предложена концепция бианизотропных и невзаимных электромагнитных кристаллов. Существование эффектов отрицательной рефракции и обратных волн в фотонных кристаллах, как впрочем и в других периодических структурах является известным фактом, однако обобщение и систематизация результатов, приведенные в данной работе являются оригинальными.
Положения, выносимые на защиту
В электромагнитных кристаллах, образованных прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих цилиндров, существует сильная пространственная дисперсия на низких частотах.
Граница полупространства, заполненного решеткой из параллельных проводов, обладает свойствами магнитной стенки на частоте, соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны (коэффициент отражения по электрическому полю при нормальном падении равен +1).
Дисперсионными свойствами решетки из проводов можно управлять путем внесения реактивных нагрузок: индуктивные нагрузки сужают ширину низкочастотной запрещенной зоны, емкостные нагрузки превращают материал в искусственный диэлектрик, а нагрузки в виде параллельного резонансного контура создают резонансную полосу пропускания.
Электромагнитный кристалл, образованный прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих спиралей, сочетает в себе свойства кристалла из проводов, нагруженных на параллельные резонансные контура, и бианизотроп-ного материала.
Метод локального поля позволяет рассчитать дисперсионные и отражательные свойства трехмерного фотонного кристалла вблизи запрещенной зоны, образующейся около частоты собственного резонанса малых включений.
Метод изочастот позволяет объяснить эффекты обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Эти эффекты могут существовать независимо друг от друга.
Список публикаций
Белов П.А. Дисперсионные и отражательные свойства двухмерного электромагнитного кристалла из реактивно нагруженных проводов, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. — СПб: СПбГИТМО, 2002. — с. 162 - 170.
Белов П.А., Симовский К.Р. Аналитический расчет дисперсионных кривых для трехмерных фотонных кристаллов, — В кн.: Оптические и лазерные технологии. - СПб: СПбГИТМО, 2001. - с. 58-66.
Белов П.А., Аналитическая модель распространения электромагнитных волн в трехмерных фотонных кристаллах, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики: Сборник статей // С.А. Алексеев, П.А. Белов, В.Г. Беспалов и др.; Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. - СПб: СПбГИТМО, 2000. - с.202-210.
Белов П.А., Симовский К.Р. Формулы типа Лоренц-Лорентца и Клаузиуса-Мосотти для анизотропных искусственных диэлектриков // Вестник Молодых Ученых: Физические Науки. 2000. — Т. 1. — с. 34-40.
Белов П.А., Симовский К.Р., Кондратьев М.С., Булыгин Д.О. Возбуждение дифракционной решетки из бианизотропных частиц плоской электромагнитной волной // Известия вузов. Приборостроение. — 1998. — Т. 41, № 3. — с. 21-32. Belov Р.А., Marques R., Maslovski S.I., Nefedov I.S., Silverinha M., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit II Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 67. - 113103. Belov P. A. Backward waves and negative refraction in uniaxial dielectrics with negative dielectric permittivity along the anisotropy axis// Microwave and Optical Technology Letters. — 2003. — Vol. 37, No. 4. — pp. 259-263. Belov P.A., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Two-dimensional electromagnetic crystals formed by reactively loaded wires // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66. - 036610.
9. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Nonreciprocal microwave bandgap structures II Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66. - 016608. Maslovski S.I., Tratyakov S.A., Belov P.A. Wire media with negative effective permittivity: a quasi-static model /// Microwave and Optical Technology Letters. — 2002. - Vol. 35, No. 1. - pp. 47-51. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonant reflection from dipole arrays located very near to conducting planes // J. Electromagnetic Waves Applic. — 2002. — Vol. 16, No.l. — pp. 129-143. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Dispersion and reflection properties of artificial media formed by regular lattices of ideally conducting wires // J. Electromagnetic Waves Applic. - 2002. - Vol. 16, No. 8. - pp. 1153-1170. Belov P.A., Simovski C.R. Reflection properties of layer or half-space of particulate photonic crystal // SPIE Proc. - 2001. - Vol. 4453. — pp. 18-29. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonance reflection properties of dipole grids near ideally conducting planes // SPIE Proc. - 2001. - Vol. 4467. - pp. 265-272. Belov P.A. Analytical model of electromagnetic wave reflection from layer or half-space of photonic crystal // SPIE Proc. - 2001. - Vol. 4416. - pp.334-339. Belov P.A., Simovski C.R. Oblique propagation of electromagnetic waves in regular 3D lattices of scatterers (dipole approximation) // SPIE Proc. — 2000. — Vol. 4073. — pp. 266-276. Simovski C.R., Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Interaction effects in two-dimensional bianisotropic arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1999. - Vol. 47, No. 9. - pp. 1429-1439. Simovski C.R., Belov RA., Kondratjev M.S. Electromagnetic interaction of chiral particles in three dimensional arrays // J. Electromagnetic Waves Applic. — 1999. Vol. 13. - pp. 189-203. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Excitation of multilayered grids of bianisotropic particles by plane wave // SPIE Proc. - 1998. - Vol. 3323. - pp. 691-698. Kondratjev M.S., Simovski C.R., Belov P.A. Reflection and transmission of plane waves in bianisotropic planar grids // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. — pp. 669-678. Belov P.A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Analytical-numerical study of electromagnetic interaction in two-dimensional bianisotropic arrays // SPIE Proc. — 1998. - Vol. 3323. - pp. 679-690. Belov P.A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Problem of the local field for plane grids with bianisotropic particles // SPIE Proc. - 1997. - Vol. 3039. - pp. 680-691. Simovski C.R, Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Excitation dyadics for the grids of chiral and omega particles // SPIE Proc. — 1997. — Vol. 3039. - pp. 692-703.
Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях: URSI/IEEE XXVII Convention on radio science, Espoo (Finland), 2002. XXIV General Assembly of URSI, Maastricht (Nitherlands), 2002. XIV Int. Conf. on Microwaves, Radar and Wireless Communications (MIKON 2002), Gdansk (Poland), 2002.
4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON 2002) and European Symp. on Photonic Crystals, Warsaw (Poland), 2002.
International Seminar Day on Diffraction, St. Petersburg (Russia), 2002. NATO ARW Bianisotropics 2002, 9th International Conference on Electromagnetics of Complex Media, Marrakech (Morroco), 2002.
2002 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium and USNC/-URSI National Radio Science Meeting, San Antonio, TX, (USA), 2002 (invited presentation).
ICEAA 01, International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, Torino (Italy), 2001.
International conference for young scientists Optics'2001, St. Petersburg (Russia), 2001. The 11th Finnish Electromagnetics Meeting Electromagnetics'2001, Vaasa (Finland), 2001. PECS 3, Workshop on Photonic and Electromagnetic Crystal Structures, Scotland (UK), 2001.
International Seminar Day on Diffraction Millennium Workshop, St. Petersburg (Russia), 2000. Bianisotropics'2000, 8th International Conference on Complex Media, Lisbon (Portugal), 2000. MMET2000, Kharkov (Ukraine), 2000.
2000 IEEE Antennas and Propagation International Symposium and USNC/URSI National Radio Science meeting, Salt Lake City, Utah (USA), 2000.
Решетка идеально проводящих проводов
Материал, образованный решеткой параллельных металлических цилиндров, широко известен в микроволновом диапазоне как искусственный диэлектрик обладающий отрицательной диэлектрической проницаемостью [27, 28] на низких частотах. При помощи него конструируются поляризационные и частотные фильтры, разрабатываются импе-дансные поверхности [29]. Электромагнитные свойства этого материла все больше привлекают интересы оптиков [30, 31]. На основе этого материала удалось синтезировать среду Веселаго [12, 13] в микроволновом режиме [15, 16, 17].
Исследования среды из параллельных проводов аналитическими методами приводили к простым выводам об отрицательности диэлектрической проницаемости такой среды (вдоль направления проводов). Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты для среды из проводов очень напоминает плазменную, что явилось причиной другого названия этой среды: искусственная плазма. Кроме классических аналитических подходов [27, 28, 30, 31] следует отметить также и различные численные методы [9, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41]. Однако ни один из этих методов не позволяет описать диэлектрические свойства среды из проводов при помощи простых и в то же время аккуратных аналитических выражений.
Ниже приведена полная аналитическая теория среды из решетки тонких прово дов и показано, что такая среда не может быть описана при помощи локальной диэлектрической проницаемости. Среда из проводов обладает сильной пространственной дисперсией, проявляющейся начиная с самых низких частот, и может быть описана лишь при помощи нелокальных параметров среды.
Начало такому исследованию положено работой [42], и развито в [43, 44, 45]. При этом используется приближение локального поля, описанное в [46] для трехмерных решеток рассеивателей.
Рассмотрим среду из параллельных проводов, образованную прямоугольной решеткой бесконечно длинных тонких проводов помещенной в изотропный диэлектрик, см. рис. 1.1. Обозначим размеры элементарной прямоугольной ячейки через а х Ь, а радиус проводов го. Провода предполагаются тонкими по сравнению с размерами ячейки, а также длинной волны А в окружающей провод среде, т.е. г о С а, 6, А. Однако никаких допущений относительно соотношения размеров ячейки решетки и длины волны не предполагается.
Выберем систему координат таким образом, чтобы ось OZ совпадала с осью некоторого провода, который мы далее будем называть нулевым. Оси ОХ и OY направим таким образом, чтобы структура была периодична с периодом а в направлении оси ОХ и с периодом b в направлении оси OY, см. рис. 1.1 В такой координатной системе радиус вектора расстояний от оси нулевого провода до провода с номером т, п может быть записан в виде Rm ra = тахо + пЬуо.
Мы предположили, что толщина проводов мала по сравнению с остальными параметрами системы, что позволяет нам пренебречь поляризацией проводов поперек их оси и описывать провода при помощи линейных токов, протекающих по их осям. Задавшись вопросом о собственных модах описанной регулярной системы мы предполагаем, что распределение токов по проводам может быть описано при помощи волнового вектора Я = (Ях, Яу, Яг)Т следующим выражением:
Дисперсионные характеристики среды из проводов могут быть найдены путем решения задачи о собственных модах системы. Будем следовать рассуждениям предложенным в [46] для случая трехмерной решетки. Предполагая, что собственные моды являются плоскими волнами (1.1) с пространственной зависимостью e 4xX+flyy+qzZ\ можно записать выражение для локального поля, действующего на нулевой провод:
Вычисление двойных расходящихся сумм в выражении (1.7) для константы взаимодействия является сложной с математической точки зрения задачей. Прямое вычисление двойной суммы ряда невозможно, поскольку ряд является абсолютно расходящимся в случае отсутствия потерь в диэлектрике, вмещающем провода. Однако используя метод бесконечно малых потерь вычисление суммы этого ряда становится возможным.
Дисперсионное уравнение
Рассмотрим задачу об отражении плоской электромагнитной волны, падающей из однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью Є\ от полупространства, за полненного средой из проводов с границей перпендикулярной оси X: х 0 или т 0. Пусть падающая волна распространяется с волновым вектором k = (kx,ky,kz)T, а ее электрическое поле Ег не имеет компоненты перпендикулярной проводам и волновому вектору к одновременно. Будем учитывать только одну распространяющуюся моду в среде из проводов, то есть пренебрежем влиянием поверхностного слоя и будем "работать1 области первого частотного диапазона ка 2-к, чтобы запретить распространение мод высших типов. Предположение об отсутствии поверхностного слоя основано на том факте, что его влияние на коэффициент отражения мало [46]. В рамках описанного предположения распределение токов в слоях среды из проводов дается выражением (1.1), где qx - константа распространения, которая может быть найдена путем решения дисперсионного уравнения (1.17) с qy — ky, qz — kz. Запишем уравнения для тока текущего в некотором слое среды из проводов с номером (М 1) через поля созданные всеми слоями и полем падающей волны:
Полученный коэффициент отражения вещественен для случая распространяющихся мод, когда qx вещественен. Для затухающих мод из полосы непрозрачности когда qx чисто мнимый, наблюдается эффект полного отражения: \R\ — 1. Следует отметить, что выражение (1.35) выведено в предположении, что мода решетки распространяется (затухает или переносит энергию) от поверхности вглубь решетки. Это означает, что набходимо выбирать правильный знак qx прежде чем подставлять в формулу (1.35).
Многомодовое распространение.
Расчет коэффициента отражения от полупространства, заполненного рассматриваемым кристаллом, можно произвести используя подход [46, 43]. В соответствии с [46, 43] коэффициент отражения для волны не имеющей компоненты поля перпендикулярно проводам может быть найден следующим образом: решая дисперсионное уравнение (1.17) при qy = ку, qz = kz находим волновые вектора qW мод которые могут распространяться в кристалле, а далее, коэффициент отражения дается формулой:
Результаты расчета коэффициента отражения от полупространства, заполненного решеткой из проводов с коэффициентом объемного заполнения среды / = 0.001, а также картина мод представлены на рис. 1.4. Наблюдаются три типа мод. Распространяющиеся моды имеют Ira(g) = 0, а затухающие Im(g) 0. При этом затухающие моды могут быть подразделены еще на два класса: обычные экспоненциально затухающие Re( 7) = 0 и экспоненциально затухающие с изменением направления тока от слоя к слою Re(g) = IT/а. Последний тип мод (комплексные моды) можно наблюдать вблизи пространственного резонанса. На рис. 1.4 в верхней части изображены только вещественные части распространяющихся мод, мнимые части которых нули. В средней части изображены только мнимые части затухающих мод, причем их вещественные части являются нулевыми, если нет надписи Re(g) = -к/а. Тонкие линии показывают моды вмещающей среды, рассмотренной как периодическая система, представляющая из себя решетку проводов с бесконечно малыми поляризуемостями.
Интереснейшее свойство наблюдается на частоте, близкой к границе низкочастотной запрещенной зоны. На такой частоте кристалл обладает коэффициентом отражения равным +1, то есть ведет себя как магнитная стенка, в отличие от электрической стенки с коэффициентом -1, которая наблюдается на низких частотах. Этот факт чрезвычайно важен в антенной технике, поскольку антенна поднесенная к магнитной стенке не испытывает паразитного влияния своего отражения, как это обычно случается в случае электрической стенки, и более того магнитная стенка усиливает в два раза излучение антенны. Однако для рассматриваемой структуры низкочастотная запрещенная зона распространяется вплоть до Л 4а, что крайне не удобно с практической точки зрения, поскольку характерная толщина структуры оказывается слишком велика. Следует отметить, что эффект магнитной стенки сохраняется, если рассматривать только несколько (4-5) слоев проводов, именно поэтому понижение границы нижней запрещенной зоны играет столь значимую роль для возможных приложений.
Решетка электромагнитных рассеивателей
В данном разделе приведен метод, позволяющий рассчитывать дисперсионные кривые для фотонных кристаллов, образованных малыми одинаковыми включениями (возможно, сложной формы) расположенными в узлах трехмерной орторомбической решетки (элементарная ячейка в виде прямоугольного параллелепипеда). Проведены расчеты для простейшей структуры - кубической решетки - и показано, что даже такая структура может иметь полосу непрозрачности, если образующие ее включения являются резонансными в необходимой полосе частот.
Данное исследование является продолжением работ [10, 11], в которых был предложен аналитический подход, позволяющий получить в явном виде дисперсионное уравнение для фотонных кристаллов, образованных трехмерной орторомбической решеткой рассеивателей. Ограничением применимости подхода [10] являются достаточно малые размеры включений по сравнению с длиной волны (это ограничение в данной работе будет сохранено). Кроме этого, недостатком [10] является необходимость аналитического решения задачи об отражении наклонно падающей плоской волны от одного (двумерного) слоя включений, так как в явное дисперсионное уравнение в качестве основного параметра входит импеданс двумерного слоя как функция отношения компонент волнового вектора основной пространственной гармоники. Из-за этого недостатка модель [10] применялась лишь для простейшей геометрии решетки и включений (орто-ромбическая решетка, сферические и цилиндрические включения).
Рассмотрим регулярную трехмерную решетку с элементарной ячейкой в виде прямоугольного параллелепипеда а х Ь х с, образованную рассеивателями некоторой определенной формы, расположенными в ее узлах (см. рис. 2.1). Вмещающая среда предпола гается изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е. Будем исследовать распространение собственных мод в такой структуре.
Воспользуемся допущением, что размер частицы мал по сравнению с длиной волны и характерными размерами решетки. Это даст нам возможность применить для описания возбуждения частицы приближение локального поля, а взаимодействие частиц считать чисто дипольным. Предполагая вклад остальных мультиполей пренебрежимо малым мы ограничиваем рассмотрение случаем Kd 1, где К - волновое число вмещающей среды, ad- характерный размер включения. Ограничения налагаются лишь на размеры частиц. Отношение характерных размеров элементарной ячейки и длины волны может быть и весьма большим.
В рамках изложенного рассеиватель описывается единственной величиной - диадой поляризуемости а(и ), зависящей от частоты возбуждающего поля. Дисперсионное уравнение для рассматриваемой структуры, устанавливающее связь между волновым вектором к = {кх, ку, kz)T собственных волн из первой зоны Бриллюэна р = Poe jkr и частотой может быть записано в следующем виде [67]:
Эта сумма является диадным аналогом динамической константы взаимодействия (1.7) из главы 1 для случая решетки рассеивателей и является обобщением понятия статической диады взаимодействия известной из теории искусственных диэлектриков [48]. Из формулы (2.4) видно, что ряд (2.5) сходится тем хуже, чем меньше мнимая часть К. При этом, при чисто вещественном К ряд вообще говоря расходится. Таким образом, при суммировании этого ряда необходимо применять только определенный выше метод суммирования, основанный на физическом предположении о бесконечно малых потерях в среде.
Из формул (2.5) и (2.4)несложно видеть, что все 9 компонент диады взаимодействия могут быть получены из двух путем перестановки переменных. При этом достаточно вычислить две компоненты:
Отрицательная рефракция без обратной волны
Наиболее интересными структурами, в которых можно наблюдать эффекты обратных волн и отрицательной рефракции, являются периодические структуры [23, 24]. В частности, некоторые фотонные (электромагнитные) кристаллы [18, 19, 20, 21, 22] при определенных условиях обладают подобными свойствами. В данном разделе рассмотрены основные закономерности проявления таких эффектов в трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллах общего вида. Однако, в качестве примера будет рассмотрен элементарный фотонный (электромагнитный) кристалл, образованный трехмерной кубической решеткой ах ах а малых (по сравнению с периодом решетки и длиной волны во вмещающей среде) изотропных рассеивателей, помещенных в изотропный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью є (см. рис. 3.4).
При анализе рассматриваемой системы удобно пользоваться изочастотными характеристиками кристалла [18] (контурами или поверхностями зависимости компонент волновых векторов среды при фиксированной частоте). В соответствии с (3.1), поверхности изочастот рассматриваемого кристалла являются сферами с центрами в точках с координатами (2тгт/а, 2тгп/а, 2тт1/а)т и радиусом К. Эти сферы изочастот не пересекаются при К а 7Г (а Л/2), а при К а 7г образуют множественные пересечения (их количество тем больше, чем больше величина Ка). С практической точки зрения, более удобным оказывается использование двухмерных изочастотных характеристик в виде контуров, являющихся сечениями изочастотных поверхностей плоскостями. Например, далее будут использоваться изочастоты (qx,qy) соответствующие условию qz = 0. Для рассматриваемого кристалла контуры изочастот являются окружностями с центрами в точках с координатами (2тгт/а, 2-кп/а) и радиусом К (не пересекающиеся при Ка 7Г и пересекающиеся при К а 7г).
При обсуждении эффектов, возникающих вблизи запрещенных зон, когда элементарная формула (3.1) становится неадекватной, мы даем ссылки на работы, в которых произведены соответствующие численные расчеты. Приводимые в данной главе графические материалы носят исключительно иллюстративный характер и не являются результатами строгих расчетов. Однако, они адекватно иллюстрируют основные принципы и передают свойства волн в рассматриваемых фотонных (электромагнитных) кристаллах.
Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных примеров, необходимо отметить, что поскольку в фотонном (электромагнитном) кристалле волновой вектор моды определяется с точностью до вектора 2л(т,п,1)Т/а, или, другими словами, вместе с любой модой, которой соответствует волновой вектор q, возбуждается весь набор мод с волновыми векторами qmnj = q + 27r(m, п, 1)т/а, то приведенные выше определения будут применяться по отношению к волновому вектору из первой зоны Бриллюэна. Альтернативным, и, вероятно, более естественным, было бы определение главного волнового вектора в каждой конкретной задаче, как волнового вектора той пространственной гармоники, которая обладает наибольшей амплитудой. Однако, такой подход является более сложным и не дает ничего принципиально нового.
Рассмотрим задачу рефракции плоской электромагнитной волны, падающей в плоскости OXY из изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью є на границу раздела, перпендикулярную оси OY, связанной с кристаллом. Выберем частоту и настолько низкой, что решетка во вмещающей среде будет электродинамически густой (Ка С 27г) (в терминах длин волн это означает, что период решетки а много меньше длины волны А = 2ТТ/К во вмещающей среде: а А). Следует отметить, что решетка может быть электродинамически густой по отношению к вмещающей среде, однако, при этом может оказаться электродинамически редкой по отношению к среде, из которой падает волна (если эта среда является более электрически плотной, чем вмещающая среда (є є)). При достаточно большой є, путем изменения угла падения можно получить как малые по сравнению с К = у/єш/с, так и большие значения тангенциальной компоненты волнового вектора падающей волны k( (kt Є [Q...y/ёш/с]). Тангенциальная компонента волнового вектора сохраняется при переходе через границу раздела, так что преломленные волны будут иметь ту же тангенциальную компоненту волнового вектора, что и падающая волна (qt = \at). Изочастотные характеристики для рассматриваемого случая приведены на рис. 3.6.а (при qz = 0).
