Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретическое обоснование выделения объективных критериев сложности задач 11
1.1. Ограничения, накладываемые на понятие "задача" . 11
1.2. Ограничения, накладываемые на понятие "сложность" 22
1.3. Классификационные характеристики сложности конкретно-практических задач 31
Глава II. Построение классификационных шкал и экспериментальная. Проверка значимости выделенных признаков классификации 47
2.1. Возможные типы "классификационных пространств" 48
2.2. Возможные способы упорядочения задач в классификационных пространствах 54
2.3. Экспериментальная проверка значимости выделенных классификационных признаков 60
Заключение 81
Библиография 83
Приложения 97
- Ограничения, накладываемые на понятие "задача"
- Ограничения, накладываемые на понятие "сложность"
- Возможные типы "классификационных пространств"
- Возможные способы упорядочения задач в классификационных пространствах
Введение к работе
В каких бы терминах в теоретических работах по дидактике и различным методикам обучения ни задавалась цель обучения, ее достижение применительно к каждому отдельному ученику на практике проверяется постановкой перед учеником ряда вопросов, в ответ на которые, он должен:
а) либо воспроизвести тот или иной отрезок текста учебника
(даты, описание явлений или технических установок, формулиров
ки правил и законов, последовательность доказательных рассужде
ний и пр.);
б) либо качественно или количественно определить недостаю
щие в предъявленном описании параметры явлений, что требует
воспроизведения некоторой последовательности действий (по усто
явшейся педагогической терминологии имеется в виду решение ка
чественных или количественных задач, выполнение лабораторных
работ и др.).1
В современной практике обучения соотношение числа вопросов, на которые должны быть даны ответы первого или второго рода различно для разных учебных предметов (для гуманитарных
1 Употребление в данном контексте термина "воспроизведение" не означает, что при проверке результатов обучения от ученика требуется дословное повторение соответствующего текста или порядка выполнения действий. Имеется в виду такое воспроизведение, при котором сохраняется смысл текста или общая направленность системы действий (в совокупности с получением правильного результата).
дисциплин преобладают вопросы, требующие ответов первого рода, а для дисциплин математического и естественнонаучного циклов -вопросы, требующие ответов второго рода). Однако общая тенденция (о чем убедительно свидетельствует фундаментальная публикация по учебным стандартам [130]) сводится к увеличению процентного соотношения вопросов, требующих ответов второго рода даже в таких учебных предметах, в которых ранее от учащихся требовалось лишь воспроизведение текста учебника.2
Указанная тенденция делает весьма актуальной для дидактики (а также предметных методик) проблему классификации задач по их сложности. Наличие такой классификации могло бы способствовать:
а) более четкому следованию дидактического принципа дос
тупности обучения при формировании у учащихся соответствую
щих умений и навыков;
б) реализации принципа индивидуального подхода к учащимся
в процессе обучения (варьирование сложности заданий в зависимо
сти от темпов усвоения учеником учебного материала и интереса к
той или иной области знаний);
По отношению к гуманитарным дисциплинам такая позиция наиболее основательно и последовательно была сформулирована И.Я.Лернером: "Развитие же мышления, в том числе и исторического, предполагает формирование умения рационально использовать творческий поиск при решении проблем, варьировать способы действия, подчинять действия условиям задачи, легко переключаться с одного действия на другое, умение взглянуть на проблему с неожиданной стороны и т.д., т.е. умение решать задачи" [64]
в) стандартизации требований к конечным результатам обучения по различным учебным предметам.
Сформулированная выше проблема давно интересует исследователей в самых различных областях знания. После работ Келлера, Вертгаймера и Коффки решение задач стало рассматриваться как почти единственный путь проникновения в структуру интимных механизмов мышления. Поэтому понятен и тот интерес, который проявляется значительным числом исследователей к построению классификаций задач. С ними часто связываются надежды на возможность естественного расчленения всего комплекса механизмов, обеспечивающих решение задач, на отдельные подсистемы; дидак-ты и методисты надеются на их основе разработать новые способы обучения учащихся, и т.д. При всей значительной теоретической и практической ценности различных классификаций задач в настоящее время можно насчитать весьма ограниченной число работ, в которых делается попытка их построения. Причем, большое число этих публикаций, относятся к области методики обучения [14], [15], [22], [93], [132] и др. Однако представляется необходимым констатировать, что ни одна из этих работ не привела к построению такой классификации, которая позволила бы с достаточной уверенностью различать задачи по их сложности.
Такое положение дел и позволило нам в качестве темы исследования выбрать проблему выявления объективных критериев сложности задач по предметам математического и естественнонаучного циклов учебных предметов.
Таким образом, объектом нашего исследования является множество тех ситуаций, которые могут быть названы задачами, а предметом исследования - определение совокупно-
emu объективных характеристик, позволяющих построить классификационную шкалу сложности задач.
Названные объект и предмет исследования определяют последовательность решения следующих конкретных задач:
ограничения множества задач, подлежащих классификации в рамках исследования,
выявления совокупности объективных характеристик классификации и их теоретическое обоснование,
-построения гипотетических шкал сложности ограниченного множества задач,
-экспериментальной проверки значимости выбранных объективных характеристик для оценки сравнительной сложности задач в рамках выбранного ограниченного множества.
Во всех работах, относящихся к самым различным областям знания (психологии, педагогике, прикладной математике и др.), в которых, так или иначе затрагивается проблема оценки сложности и построения классификационных шкал задач, исследователи оперируют некоторой моделью ситуации, содержащей три взаимодействующих компонента: "решатель" задачи3, окружающая решателя
3 Под "решателем" понимается живое существо или техническое устройство, осуществляющее решение: в психолого-педагогических исследованиях - человек, в зоопсихологии - животное, в прикладной математике - специально запрограммированное техническое устройство. Далее в тексте этот термин будет использоваться без кавычек.
"среда" и совокупность исходных указаний решателю о цели и возможных манипуляциях со средой (в среде). При этом последние два компонента объединяются в целостность, которая трактуется как условие задачи, в рамках которой и осуществляются попытки определения тех характеристик, которые могут быть положены в основу построения классификационной шкалы сложности задач. При этом в стороне остается то обстоятельство, что каждый конкретный решатель осмысливает условие задачи, опираясь не на свои непосредственные ощущения, а на то содержание ориентировочной основы действий, которые были усвоены в результате предварительного обучения: "...сами по себе экспериментальные данные представляют собой перемещение стрелок с приборах, щелчки в радиоустановках, прерывистые полоски в кадрах фотопленки и т.д. Все это вне связи с теорией не имеет никакого смысла и никакого научного значения. Пусть в результате эксперимента получена фотография, на которой видны две искривленные прерывистые линии, исходящие из одной точки. Сама по себе эта фотография ни о чем не говорит. Но для человека, знакомого с современной теорией элементарных частиц, эта фотография подтверждает факт одновременного рождения частицы и античастицы при взаимодействии фотона определенной энергии с веществом" [74].
Это обстоятельство позволило предположить, что выделение объективных характеристик, дающих возможность построить
4 Под "средой" задачи понимается совокупность объектов, с которыми оперирует решатель. В нашем случае - это тексты, набор математических символов, рисунки и др. Далее в тексте этот термин также используется без кавычек.
реальную классификационную шкалу сложности задач, связано с анализом роли и места предварительно усвоенного знания в анализе условия задачи и ее последующего решения.
Эта гипотеза и определила методологическую основу исследования, опирающуюся на совокупность основных закономерностей соотношения индивидуального и общественного познания, исследованных трудами отечественных философов ([13], [51], [52], [74] и др.), и фундаментальные положения теории деятельности, развитые в трудах [60], [61], [106] и др. представителей российской психологической науки.
В качестве методов исследования в работе были использованы: -теоретический анализ философской, педагогической и методической литературы;
поэлементный анализ и моделирование структуры научного знания;
специально организованные эксперименты с учащимися средних общеобразовательных школ.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования определяются тем, что в диссертации обоснована необходимость построения классификационных шкал определенного класса задач с учетом взаимодействия и взаимообусловленности всех трех компонентов задачной системы (среды, указаний и решателя), а не первых двух из перечисленных, как это имело место в предшествующих работах.
Установлены основные классификационные параметры и на их основе построен весь теоретически допустимый спектр классификационных шкал для выделенного множества задач.
Экспериментально установлена значимость выделенных классификационных параметров для решателей задач (учащихся средних общеобразовательных школ).
Практическое значение работы состоит в том, что выделенные в результате исследования классификационные параметры могут быть использованы для методистами и учителями для определения эквивалентности (тождества) сложности задач, предъявляемых учащимся как в ходе учебного процесса, как и при определении конечных результатов процесса обучения.
На защиту выносятся следующие положения:
Построение классификационной шкалы сложности конкретно-практических задач по предметам математического и естественнонаучного циклов требует учета взаимодействия и взаимообусловленности всех трех компонентов задачной ситуации - среды задачи, указаний и решателя.
На современном уровне психолого-педагогических и дидактических исследований процесса решения задач учащимися решатель может быть представлен в виде тех действий, которые осуществляются при осознании текста задачи - перевода с естественного языка на формальный.
Объективными характеристиками, задающими классификационную шкалу сложности конкретно-практических задач являются объективные характеристики формальной среды задачи: идеальные объекты, их качественное различие и число состояний, в которых находятся объекты в среде задачи.
Общая классификационная шкала сложности конкретно-практических задач строится на основе всех трех вышеперечисленных характеристик.
Результаты исследования прошли свою апробацию на ежегодных научно-практических конференциях Мордовского государственного педагогического института им.М.Е.Евсевьева (1998 - 2000), научно-методическом совещании в п.Ромоданово (Мордовия, 1999), заседании учебно-методической комиссии РИПКРО Мордовии (2000)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых дан в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной в исследовании литературы и приложения. Общий объем диссертации - 112 страниц машинописного текста.
Ограничения, накладываемые на понятие "задача"
В современной научной литературе точное и строгое определение этого термина отсутствует. Об этом в достаточно явной форме свидетельствует:а) определения термина задача в БСЭ, б) высказываний различных специалистов, занимающихся проблемами исследования и моделирования мыслительной деятельности человека.
Так, в БСЭ сказано: ЗАДАЧА, 1) поставленная цель, которую необходимо достигнуть, 2) Поручение, задание, 3) Вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и размышления (математическая задача, шахматная задача, логическая задача, письменная задача), проблема. 4) Один из методов обучения и проверки знаний и практических навыков учащихся, применяемый во всех типах общеобразовательных и специальных учебных заведений [11, с.227].
Уже из самого текста этого определения можно судить о неопределенности термина: во-первых, в п.З наряду с математическими и другими задачами присутствует какая-то "письменная задача" (разве при решении математических задач не надо писать?); во-вторых, математические задачи, упомянутые в п.З используются для проверки знаний, которое отнесено в отдельный п.4; в-третьих, при достижении поставленной цели также необходимо использовать знания, что выделено в отдельный п.З и т.д.
Не менее характерны и те тексты научных трудов в различных областях знания, в которых обсуждается этот термин.
Так, в работах по логике термин "задача" обсуждается в связи с проблемой "вопроса" (см., например, [9], [52], [112] и др.). Так, при обсуждении соотношения понятий "вопрос" и "задача" Ф.С. Лиман-тов [50] указывает, что следует отличать понятия проблемной и за-дачной ситуации от понятий "вопрос", "задача", "проблема". Он полагает, что последние понятия в отличие от первых являются фактами сознания, формами, отражающими объективные противоречия познавательного процесса. Наиболее общим из последних трех понятий Лимантов Ф.С. считает понятие задачи как требование выполнить некоторые действия. Исходя из этого, он различает поведенческие и познавательные (информационные) задачи. Проблема, с его точки зрения, есть частный случай задачи, когда поиск информации производится в форме исследовательской деятельности, при которой неизвестным является не только решение, но и процесс его нахождения. Вопрос же рассматривается как логическая форма, являющаяся элементом каждой проблемы, но не каждой задачи.
В психологической литературе имеются различные трактовки понятия задачи.
Один из известнейших исследователей в области психологии мыслительной деятельности - Л.Л.Гурова - отмечает: "Исследуя решение "задач вообще", мы можем это делать лишь только на примерах конкретных задач, но не обязательно таких, которые фигурируют в задачниках и сборниках для мыслительных упражнений. Понятие задачи...даже в том частном аспекте, который мы рассматриваем, значительно шире. Помимо множества видов задач, выделенных наукой в различных областях действительности (они могут иметь форму учебных задач), существуют самые различные задачи, выдвигаемые перед человеком общественной практикой (технические, задачи организации производства, руководства военными действиями, ведения юридического следствия и т.д.), задачи, возникающие в речевом общении людей (например, перевод иностранного текста), в игровой деятельности (игра в шахматы является в то же время решением задач) и многие другие. Очевидно, что никаким перечислением невозможно исчерпать понятия задачи в силу бесконечного разнообразия человеческой деятельности [29, с.7 и ел.]
Достаточно подробно анализируется проблема задачи и Г.А. Баллом [5], [6]. Указав, что "само понятие задачи никак нельзя признать четко определенным", автор отмечает, что термин "задача" употребляется в психологической и педагогической литературе "для обозначения объектов, относящихся к трем различным категориям: 1) к категории цели действий субъекта, требования, поставленного перед субъектом: в этом смысле термин "задача" ("Aufgabe") употребляли, например, психологи Вюрцбургской школы; 2) к категории ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута; 3) к категории словесной формулировки этой ситуации (такое понимание термина "задача" наиболее характерно для Рубинштейна С.Л. и его учеников)" [106, с.75]. Балл Г.А. считает, что в психологической литературе наиболее распространено употребление термина "задача" для обозначения объектов второй категории. Объекты же первой категории можно обозначать терминами "цель действия" или "требование задачи", а объекты третьей категории - термином "формулировка задачи". Термин же "проблемная ситуация", широко используемый для обозначения объектов второй категории, Балл Г.А. считает целесообразным использовать для обозначения лишь некоторого класса этих объектов. В конечном итоге Балл Г.А., анализируя различные трактовки, дает такую последовательность определений задачи во втором значении этого слова: 1. Задача есть ситуация, требующая от субъекта некоторого действия. 2. Мыслительная задача -ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным. 3. Проблемная задача, или проблема, - ситуация, требующая от субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным в условиях, когда субъект не обладает способом (алгоритмом) этого действия [106, с.79)]. Балл предлагает следующую типологию задач, которая основывается на признаках, касающихся: 1) характера предмета и требования задачи (при этом выделяются задачи индивидуальные и родовые; принципиально разрешимые и принципиально не разрешимые; материально направленные и идеально направленные, в том числе эпистемические); 2) характера отношений между предметом задачи, решающей системой и внешней средой (при этом выделяются, в частности, задачи внешние и внутренние, теоретические и практические); 3) характера отношений между требованием задачи и средствами, находящимися в распоряжении решающей системы (при этом выделяются задачи разрешимые и неразрешимые для данной решающей системы; задачи рутинные, квазирутинные и не рутинные; задачи четкие, квазичеткие и нечеткие). Заметим, что приведенная Баллом Г.А. последовательность определений, конечно, не охватывает многих точек зрения на понятие задачи, имеющихся в психологической литературе. Примером наиболее широкой трактовки понятия задачи является определение, данное Пономаревым Я.А., как "состояние возмущения взаимодействующей системы (как состояние ее неуравновешенности)" [100, с.209]. С этой точки зрения решают задачи планетарные системы и молекулы (см. там же, с.110). Задачи, которые возникают в системе взаимодействия субъекта - объекта и решаются специфическими для субъекта способами, рассматриваются Пономаревым как частный вид задач. Примером другого подхода к понятию задачи является трактовка, данная Рейтманом У.Р. в его книге "Познание и мышление". Указав, что термин "задача" используется в весьма различных ситуациях, например, при поиске информации или в тех случаях, когда задача отождествляется с целью, которую ставит перед собой кто-либо, Рейтман У.Р. спрашивает: "Что, собственно, имеют в виду когда говорят, что система информационных процессов имеет перед собой "задачу"?" Отвечая на этот вопрос, Рейтман У.Р. дает такое определение: "Система имеет перед собой задачу, когда она имеет или ей дано описание чего-то, но у нее еще нет чего-либо, что удовлетворяло бы этому описанию". И замечает, что "это определение охватывает все виды задач, ничуть не затемняя, однако, возможные различия между ними" [105, с. 178 -179). Несколько дальше Рейтман У.Р. так уточняет свое определение: "Мы порождаем задачу, когда связываем с описанием того, что мы желаем, требование, что должен быть получен, найден или создан элемент, удовлетворяющий этому описанию" [105, с.181]. Эсаулов А.Ф., рассматривая подход Рейтмана У.Р. к трактовке задач как весьма удачный, отмечает лишь несколько расплывчатый характер приведенного выше определения. Желая его уточнить, он дает такую дефиницию: "Задача - это более или менее определенные системы информационных процессов, несогласованное или даже противоречивое отношение, между которыми вызывает потребность в их преобразовании". И дальше: "Суть решения как раз и заключается в поисках преодоления путей такого несогласования, которое у целого класса задач может доходить до ярко выраженного противоречия" [143, с. 17].
Ограничения, накладываемые на понятие "сложность"
Само по себе понятие "сложность" может рассматриваться только по отношению к чему-либо: сложная функция, сложное вещество, сложное переплетение и т.д. Именно поэтому во всех известных нам по литературе случаям "сложность" рассматривается как характеристика некоторого абстрактного объекта - системы, рассматриваемого как некое целое, состоящее из отдельных элементов, объединенных между собой определенными связями (отношениями). При этом под элементом системы понимается такой ее компонент, который либо объективно не подлежит расчленению на отдельные более мелкие элементы, либо его дальнейшая нерас-членность оговаривается специально. Указывается, что сложность системы зависит от качественных и количественных различий составляющих ее элементов, свойств, связей и отношений (см., например, [63], [76], [81], [82], [84], [115], [116], [127], [139], [140]). Отмечается, что сложность может быть различных видов. Она может выступать как: - разнообразие и сложность состава системы, т. е. ее дискретных компонентов; - разнообразие и сложность свойств системы; - разнообразие и сложность связей и отношений системы; - сложность организации системы, зависящая от сложности связей элементов и от числа их иерархических уровней и подсистем.
Этот общенаучный подход к понятию "сложность" используется в современной дидактике при рассмотрении проблем, связанных с определением объема и последовательности изложения учебного материала. Так, В.С.Цетлин [138] прямо указывает: если сложность объекта вообще зависит от числа, разнородности и иерархии его элементов, от характера их связей и отношений, то эти же критерии характеризуют и педагогические объекты, в частности и те единицы содержания образования, которые могут быть рассмотрены как системы. Сложность содержания образования зависит, следовательно, от числа единиц входящих в него разнородных элементов, от иерархии этих элементов, от разнообразия их связей и отношений.
Однако при этом цитируемый автор предупреждает об опасности непосредственного переноса всех вышеуказанных характеристик сложности систем на любые дидактические объекты, в данном случае - на единицы содержания образования. Указывается, что не всегда объекты педагогики могут быть охарактеризованы как системы, строение их часто не поддается строгому описанию. В связи с этим вряд ли возможно трактовать структурную сложность в дидактике как абсолютную характеристику. Скорее, следует говорить о ней как об относительной, позволяющей сравнивать сложность однородных элементов содержания. Правомерно, например, сравнить по сложности систему понятий какого - либо естественнонаучного предмета и изученную в нем научную теорию. Система понятий в структурном отношении более проста, чем теория, так как состоит из однородных элементов (понятий), связанных логическими отношениями. Большая сложность научной теории как единицы содержания образования определяется тем, что в нее входят неоднородные элементы: факты, основные понятия, законы, основные положения, следствия, и связи между этими элементами не сводятся к логическим [84].
И далее говорится, что эти же критерии структурной сложности могут быть приложены не только к предметам естественнонаучного цикла. Они приложимы, например, к произведениям художественной литературы, составляющим единицы содержания в предмете "Литература". Ясно, конечно, что здесь сложность совершенно иного рода, нежели сложность элементов науки. Произведение литературы сложно по самой своей природе, в силу того, что это продукт художественной деятельности, в которой синкретически слиты образное отражение действительности, эмоции автора, его мировоззрение, этические идеалы. В противоречивом и очень сложном единстве находятся содержание и форма художественного произведения, форма композиционная и форма языковая. И все же различать произведения художественной литературы по сложности возможно. Сложность произведений художественной литературы коррелирует с их многоплановостью, многоплановые произведения (поэма, роман, драма) характеризуются большей сложностью, чем не многоплановые (басня, рассказ). В то же время один рассказ (повесть) может быть более сложным, чем другой. Многоплановость связана с количеством и связями нравственных и иных проблем, поставленных в произведении, широтой охвата действительности, количеством и взаимоотношением героев.
Примерно в том же самом ключе проблема сложности обсуждается и И.Я. Лернером [63] как по отношению к "таким конструкциям, которые требуют на основе исходных данных...найти искомое путем осуществления ряда промежуточных операций" (т.е. задачам), так и по отношению к текстам, в которых излагается подлежащий осознанию и усвоению учебный материал. При этом в качестве факторов, определяющих сложность автор относит количество данных в условии, подлежащих учету и взаимному соотнесению, расстояние между вопросом и ответом, определяемому числом промежуточных операций, и состав решения, т.е. число рядополож-ных выводов, делаемых в результате решения задачи.
Возможные типы "классификационных пространств"
Наиболее простая шкала сложности конкретно-практических задач получается в том случае, если мы будем учитывать лишь общее количество идеальных объектов (без их качественного различения) и то количество состояний, в которых эти объекты находятся11. В этом случае классификационное пространство задач наглядно может быть представлено в виде части плоскости, ограниченной осями координат одна из которых задает количество идеальных объектов (от 1 до т), а вторая - количество состояний, в которых находятся идеальные объекты (см. рис. №2):
Ясно, что каждому объекту должно соответствовать, как минимум, одно состояние. В противном случае этот объект просто не описан. Поэтому задач, для которых m>k, не бывает. Общее число
10 Под "классификационным пространством" мы понимаем множество конкретно-практических задач, соответствующих вьщеленным классификационным характеристикам.
1' Типичный пример такого подхода: в задаче N3 из приложения 4 арифметическая и геометрическая профессии рассматриваются без учета их качественного различия. возможных типов задач Si, исходя из такой классификации, выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых равно разности между максимально возможным числом состояний плюс единица и числом идеальных объектов:
Как уже было сказано, простота эта связана с условием качественной неразличимости идеальных объектов. Она не учитывает, что сами идеальные объекты могут качественно отличаться друг от друга.
Если же мы хотим учесть качественное различие идеальных объектов, то нам необходимо иметь в виду, что все задачи будут различаться - по общему числу идеальных объектов, - по типу качественно различных идеальных объектов, входящих в общее число -по числу состояний, в которых находятся эти идеальные объекты.
Добавление к этим двум характеристикам третьей - количества состояний, в которых находятся идеальные объекты - дает полное " классификационное пространство", учитывающее все объявленные классификационные характеристики (см. на след. стр. рис. №4 )
Проделанная работа по построению классификационных пространств конкретно-практических задач не может быть полной, если мы не обратим специального внимания на те особенности "пространства", которые связаны с возможными вариантами сочетаний качественно различных идеальных объектов и соответствующих им состояний в рамках одного и того же численного значения используемых характеристик.
Наиболее существо сказанного может быть пояснено на конкретном примере.
Пусть формализованные модели предъявляемых учащимся задач должны содержать не более двух качественно различных идеальных объектов А и В и пусть общее число объектов не может быть более трех. Кроме того, будем считать, что число состояний, в котором может находиться каждый из идеальных объектов не менее двух и не более трех.
При заданном количестве качественно различных идеальных объектов (один из которых будет обозначаться "А", а другой - "В") получаются девять различных типов задач, разбитых на три класса: А,В(1) АА, ВВ, АВ (2) AAA, ААВ, ABB, ВВВ (3)
Если теперь каждый тип задач разбить на подтипы с учетом числа состояний, в которых может находиться каждый объект, то будет иметь место следующая картина (количество состояний обозначается числовыми индексами):
Таким образом, с учетом трех перечисленных ограничений общее число формально определяемых видов задач равно 48.
Однако легко заметить, что среди вышеперечисленных задач наличествуют такие, содержательная структура которых по формальным признакам одинакова. Мы имеем в виду такие задачи, как А2Аз и АзА2, в которых разное количество состояний относится к качественно идентичным объектам.
Для примера: запись А3В2В3 означает, что формализованная модель конкретно-практической задачи содержит три идеальных объекта - один типа А и два типа В; объект А имеет три состояния, первый объект В - два состояния, второй объект В - три состояния.
Тут теоретически возможны два варианта. Если такие задачи для учащихся различаются по сложности, то полное множество возможных задач приведено выше. Если же они для учащихся идентичны по сложности, то необходимо оставить в полном перечне только одну задачу и все множество классифицируемых задач будет содержать лишь 30 типов задач и иметь вид:
Отсюда следует, что еще только выбор одного из возможных "классификационных пространств" не может быть осуществлен теоретически без соответствующего дидактического эксперимента.
Тем более требует эксперимента построение в рамках этих пространств классификационных шкал, т.е. упорядочения всего множества задач по возрастанию их сложности.
Возможные способы упорядочения задач в классификационных пространствах
Всякое упорядочение некоторого множества объектов так или иначе связано с измерением - операцией, посредством которой числа (или, по крайней мере, порядковые величины) приписываются вещам.
Совершенно очевидно, что это приписывание может представлять интерес лишь при условии, если оно совершается в соответствии с определенными правилами. Эти правила состоят в установлении соответствия между некоторыми свойствами чисел и некоторыми свойствами вещей. Они обосновывают значение измерения, так как часто гораздо легче проверить или использовать свойства чисел, нежели проверить или использовать непосредственно соответствующие им свойства вещей. Некоторые из этих правил относительно легко соблюдать, другие - несколько труднее.
Так, сравнительно легко найти критерий, позволяющий прийти к соглашению относительно смысла следующего выражения: "Эти двое учащихся во время объяснения учителя ведут себя одинаково (демонстрируют один тип поведения)". Еще легче условиться о символе, например, о числе для обозначения всех вещей, относящихся к одному и тому же классу, употребляя разные числа для различных классов.
Свойства вещей быть разными или одинаковыми исследователи приводят в соответствие со свойством чисел быть разными или одинаковыми. Подобный метод "измерения" может применяться в весьма различных обстоятельствах. Он является очень распространенным, потому что очень легко соблюдать правила, на которых он основывается. Но арифметическая трактовка чисел, обозначающих классы, была бы, разумеется, совершенно абсурдной и ничего не говорящей о соответствующих им вещах: это метод измерения является столь же малодейственным, сколь и общим.
Гораздо труднее исследователям найти, позволяющий договориться в общих чертах относительно смысла следующих, например, выражений: "Из этих двух различных ответов последний лучший; из этих различных профессий эта наиболее квалифицированная". Если им это удастся, они смогут обозначать ответы или профессии числами, пользуясь при этом уже двумя их свойствами, а не одним: следует, однако, чтобы различные ответы или профессии не только обозначались различными числами, но чтобы, кроме того, лучшему ответу или наиболее квалифицированной профессии приписывались арифметически более высокие числа, нежели те, которые приписаны менее хорошим ответам или наименее квалифицированным профессиям. Приписываемые, таким образом, числа откроют, очевидно, большие возможности для их использования, поскольку они будут обладать более многочисленными свойствами. Применение подобного метода измерения потребует, следовательно, более точной спецификации предполагаемых экспериментальных операций. Он будет более специфическим, но тем самым и более сильным, более действенным.
В области физического измерения часто можно применять довольно строгие правила, чтобы числа, приписываемые вещам, обладали всеми своими арифметическими свойствами. При современном уровне знаний в педагогических дисциплинах, напротив, невозможно найти для всех арифметических операций такие экспериментальные операции, которые будучи произведены на двух вещах, привели бы к такому эмпирическому результату, которых можно было бы предвидеть на основании соответствующей арифметической операции, произведенной на дух числах, приписываемых этим вещам. Психолог, дидакт, методист следовательно, чаще, чем физик, рискует произвести такую арифметическую трактовку своих измерений, которая оказалась бы лишенной всякого смысла. Гораздо важнее поэтому постичь связь, непременно устанавливающуюся между свойствами вещей, которые может определить эксперимент, и свойствами чисел, которые могут быть им приписаны, между экспериментальными условиями измерения и свойствами чисел, которые оно применяет.
К вопросу о том, возможно ли измерение в педагогических дисциплинах, следует прибавить еще один вопрос, а именно вопрос о том, благодаря какой технике - одновременно экспериментальной и математической - можно было до сих пор устанавливать соответствие между свойствами вещей и свойствами чисел, открывая тем самым возможность двойного - психологического и числового -чтения одной и той же формальной системы отношений. Это соответствие, это двойное чтение может устанавливаться на разных уровнях, от самых слабых и общих до самых сильных и специфических. В настоящее время (см., например, [43], [131], [146], [147]) принято различать четыре уровня, которые обозначают как шкалу наименований, шкалу порядка, шкалу интервалов и шкалу отношений.
Шкала наименований. Она получаются при применении самого общего и наиболее слабого из методов, позволяющих приписывать числа объектам, и употребление слова "измерение" на этом уровне может быть оправдано лишь в том случае, если придавать этому слову самое общее значение. Однако они довольно часто позволяют произвести числовую обработку при проведении психологических, дидактических или методических наблюдений и экспериментов.
Для того чтобы построить и использовать шкалу наименований, экспериментатор должен быть в состоянии расклассифицировать свои данные, то есть установить отношение равномерности, позволяющее ему распределить полученные данные в определенное число "дизъюнктивных" классов: каждый результат должен найти свое место в одном и только одном классе. Это условие предполагает, во-первых, чтобы полученные данные были отделены друг от друга, как элементы одной какой-то совокупности, и, во-вторых, чтобы был найден критерий, позволяющий отнести каждый объект или результат эксперимента к определенному классу.
Шкала порядка. Измерения, производимые при помощи шкал порядка, обладают прежде всего предыдущими свойствами; сверх того они обладают рядом новых свойств. Это обусловлено тем, что экспериментатор, пользующийся шкалами порядка, прежде всего способен установить между вещами отношение равенства и сверх того отношение порядка (последовательности). Для этого необходимо, чтобы он нашел такую операцию, прибор или тест, которые позволяет сказать, что А больше В, и обладает определенными свойствами. Нельзя, чтобы эта операция позволяла сказать одновременно, что А больше В и В больше А; и нужно, чтобы эта операция, позволяющая сказать, что А больше В и В больше С, позволяла также сказать, что А больше С. Поиски такой операции, которая обладала бы этими свойствами, составляет экспериментальный аспект построения шкалы порядка. Если эти поиски увенчаются успехом, то в таком случае можно приписать каждой вещи символ, взятый из совокупности символов, внутри которой также существует отношение порядка, например, номер, причем два символа всегда должны располагаться в таком же порядке, как и вещи, которым они приписаны. Некоторые операции, произведенные с помощью символов, позволят в таком случае предвидеть результат некоторых операций, осуществленных над вещами, и именно эти - то свойства символов и будут представлять интерес для экспериментатора.
Шкала интервалов. Для построения шкалы интервалов прежде всего необходимо, чтобы была найдена такая операция, которая позволила бы определить, что понимают, когда говорят, что дистанция (или разность) между двумя вещами равна разности (или дистанции) между двумя другими вещами. Если удастся найти такую операцию, то можно будет приписывать числа вещам таким образом, что двум экспериментально равным дистанциям (или разностям) будут соответствовать два равных числовых различия. Эмпирическое определение равенства двух дистанций, или двух разностей, представляет известные трудности, и психологи, поэтому часто вынуждены прибегать не только к экспериментальным кон-статациям, но и к некоторым постулатам. Мы будем отличать экспериментальные (или преимущественно экспериментальные) операции от операций, при которых широко пользуются, особенно при формулировке этих постулатов, языком и методами статистики.
