Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 4
1.1 Адвективные течения 4
1.2 Течения и массообмен в жидкой зоне , X
1.3 Устойчивость термокапиилярного течения в жидкой зоне 14
1.4 Актуальность, научная новиша и практическая ценность работы, достовсрності. результатов 21
1.5 Содержание диссертации 22
2. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале 26
2.1. Основное состояние 26
2.2. Устойчивость адвективного течения 30
2.3. Численные результаты 33
2.3.1. Случай Рг=0 33
2.3.2.Малые числа Праидтля. Гидродинамическая мода 35
2.3.3. Спиральная колебательная мода 41
2.3.4, Монотонная спиральная мода 43
2.4. Обсуждение результатов 44
3. Влияние акустической волны на адвективное течение в горизонтальном канале и его устойчивость 46
3.1. Введение 46
3.2. Влияние акустической волны на стационарное адвективное течение 47
3.3. Влияние акустической волны па устойчивость адвективного течения 49
3.3.1 Канал квадратного сечения. Малые числа Праидтля 49
3.3.2 Канал относительной ширины 5 56
3.4. Заключение 65
4. Пульсационные и осредпенные течения в осесимметричном изотермическом жидком мостике при наличии высокочастотных вибраций 67
4.1. Уравнения движения 67
4.2. Генерация сетки 70
4.3. Вид уравнений движения в криволинейных координатах 72
4.4. Численный метод , 72
4.5. Численные результаты 74
5. Численное моделирование течений и тенломассонерсноса при ішраїцивании кристаллов но методу плавающей зоны 78
5.1. Введение 78
5.2. Постановка задачи. Определяющие уравнения и граничные условия 80
5.2.1. У равнения движения 80
5.2.2. Граничные условия для осреднепных полей 82
5.2.3 Граничные условия для пульсационных полей 87
5.2.4.Постановка задачи в цилиндрических координатах 88
5.3. Метод решения 89
5.4. Численные результаты 91
5.4.1. Случаи высоких частот 94
5.4.2. Моделирование распределения примеси 105
6. Влияние виораний на течения и тсплопсрсиос в жидкой зоне с педсформирусмой свободной поверхностью в условиях невесомости 106
6.1. Постановка задачи 106
6.1.1. Уравнения движения 106
6.1.2.Граничные условия для полей 108
6Л.З. Граничные условия для пульсационных полей 109
6.2. І Іолученис основного состояния 109
6.3. Влияние вибраций па основное течение 113
6.4. Анализ линейной устойчивости 115
6.5. Тестовые расчеты 117
6.6. Влияние вибраций па устойчивость основного течения 118
6.7. Влияние числа Прандтля 122
6.8. Выводы 125
Заключение 126
Список литературы
- Устойчивость термокапиилярного течения в жидкой зоне
- Устойчивость адвективного течения
- Влияние акустической волны на стационарное адвективное течение
- Вид уравнений движения в криволинейных координатах
Введение к работе
Актуальность работы. Изучение влияния вибрационно-акустических воздействий на конвективные течения имеет большое значение. Такого рода течения возникают во многих технологических процессах и геофизических явлениях. К ним относятся, в частности, атмосферная циркуляция Хэдли, некоторые типы движений в океане, коре и мантии Земли, процессы переноса в мелких водоемах, движение расплава в установках для получения кристаллов в горизонтальном варианте метода направленной кристаллизации (см.',2).
Одним из многообещающих методов получения высококачественных монокристаллов полупроводников является их выращивание из расплава методом плавающей зоны, позволяющее избежать нежелательного взаимодействия со стенками тигля. Конвективное течение в расплаве, ведущее к возникновению неоднородностей в распределении примесей и ухудшающее структуру кристалла, может быть в значительной степени устранено при осуществлении процесса в условиях микрогравитации. Однако, в отсутствие силы тяжести важную роль играет термокапиллярная конвекция, вызываемая наличием градиента поверхностного натяжения на свободной поверхности расплава. Проблема управления течениями и теплопереносом, вызываемыми термогравитационной и термокапиллярной конвекцией в жидкой зоне, вызывает большой интерес в последние годы в связи с необходимостью получения полупроводниковых кристаллов большого диаметра.
Цель работы
исследование структуры и устойчивости адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения;
исследование влияния акустической волны, распространяющейся вдоль оси горизонтального канала прямоугольного сечения, на структуру и устойчивость адвективного течения в нем;
исследование течения в изотермическом жидком мостике с деформируемой в среднем свободной поверхностью при наличии высокочастотных вибраций одного из торцов;.
исследование течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при высокочастотных вибрациях растущего кристалла;
исследование влияния высокочастотных вибраций одного из торцов на устойчивость осесимметричного течения в жидкой полузоне.
Научная новизна результатов
изучена устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале
прямоугольного сечения при ненулевых значениях числа Прандтля. Полу-
1 Авлуевский В.С, Бармин ИВ., Гришин СД, Лесков Л.В., Петров АП., Полежаев В.И., Савшев ВВ.
Проблемы космического производства. М.: Машиностроение, 1980. - 222 с.
2 Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов. Механика жидкости и газа т
18. М.: ВИНИТИ (Итога науки и техники), 1984 С. 198-26 9.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ [
БИБЛИОТЕКА | 3
і -і .— І -її '-^4>J
чены нейтральные кривые, изучена структура возникающих вторичных течений;
изучено влияние акустической волны на устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения. Показано, что характер этого влияния существенно зависит от значений чисел Прандт-ля и Рейнольдса: может иметь место как дестабилизация, так и стабилизация;
изучены пульсационные и средние деформации свободной поверхности и течения в изотермическом жидком мостике при высокочастотных вибрациях одного из торцов;
изучено влияние высокочастотных вибраций растущего кристалла на течения и тепломассообмен-при выращивании кристаллов методом плавающей зоны в условиях невесомости и земных условиях;
изучено влияние высокочастотных вибраций одного из торцов на устойчивость осесимметричного режима термокапиллярного течения в жидкой полузоне. Обнаружено, что вибрации малой и умеренной интенсивности оказывают значительное стабилизирующее действие. В то же время; при больших амплитудах вибраций появляется новый вибрационный механизм неустойчивости, так что интервал устойчивости осесимметричного течения оказывается ограниченным по числу Рейнольса как сверху, так и снизу.
Автор защищает:
результаты исследования стационарного адвективного течения в горизонтальном канате прямоугольного сечения и линейной устойчивости этого течения по отношению к пространственным возмущениям;
результаты исследования влияния акустической волны на структуру адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения и линейной устойчивости адвективно-акустического течения по отношению к пространственным возмущениям;
результаты численного исследования пульсационных и средних деформаций свободной поверхности и течений в изотермическом жидком мостике при вибрациях одного из торцов;
результаты прямого численного моделирования течений и тепломассообмена при выращивании кристаллов методом плавающей зоны при наличии высокочастотных вибраций растущего кристалла;
результаты численного исследования влияния вибраций на устойчивость осесимметричных режимов термокапиллярного течения в жидкой зоне с недеформируемой свободной поверхностью в условиях невесомости.
Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы для оптимизации технологии получения кристаллов полупроводников методами направленной кристаллизации и методом жидкой зоны.
Достоверность результатов подтверждается сравнением с известными предельными случаями плоского слоя для задачи об адвективном течении, сравнением с данными других авторов (в том числе экспериментальными) по
вибрационным течениям в жидкой зоне и с опубликованными данными по устойчивости стационарного осесимметричного течения в полузоне в отсутствие вибраций.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 11-ой и 12-ой Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 1997, 1999), на 1-ой Российской конференции по космическому материаловедению (10-12 ноября 1999, Калуга), на 51-st International Astronautical Congress (2-6 Oct. 2000, Rio de Janeiro, Brazil), на 16th IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation (Lausanne - August 21-25, 2000), на First International Symposium on Microgravity Research & Applications in Physical Sciences and Biotechnology (10-15 September 2000, Sorrento, Italy), на 33rd Scientific Assembly of COSPAR (16-23 July 2000, Warsaw, Poland), на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Екатеринбург, 2001), на 2nd China-Germany Workshop on Microgravity Science (Dunhuang, China Sept. 1-3, 2002), на XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg Russia, 2002), на Journee du GDR 2258, Reunioin generale du GDR (Paris, France, 27-28 May 2002), на Всероссийской конференции «Теория и приложения задач со свободными границами» (Бийск, 2-6 июля, 2002 г.), на Конференции молодых ученых 'Неравновесные процессы в сплошных средах' (Пермь, 2002), на II Всероссийской конференции по космическому материаловедению (Калуга, 2003), на Int. Conference «Advanced Problems in Thermal Convection» (Perm, 24-27 November, 2003).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 25 печатных работах [1-25]. Во всех работах автор диссертации проводил основные вычисления, принимал участие в постановке задачи и обсуждении результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из вводной части, 5 глав и заключения. Вводная часть содержит собственно введение и обзор литературы. Объем диссертации 140 страниц, в работу включено 72 рисунка. Список литературы содержит 163 названия.
Устойчивость термокапиилярного течения в жидкой зоне
При сильном термокапиллярном эффекте конвекция становится колебательной, что ведет к ухудшению качества получаемого кристалла (см., напр., [76]). Таким образом, возникает задача нахождения оптимальных условий для осуществления технологического процесса, а также поиска путей управления конвекцией в жидкой зоне.
В работе [77] было произведено численное исследование линейной устойчивости течения в жидкой зоне с недеформируемой свободной поверхностью, но с учетом эффектов плавления и кристаллизации и, следовательно, кривизны фронтов, относительно малых осссиммстричных возмущений. Однако более опасными являются трехмерные возмущения.
Эксперименты, проведенные с жидкостями с малым числом Прандтля, и имевшие целью изучение течения в модельной конфигурации полузоны, показывают, что двумерное базовое состояние переходит в нестационарное трехмерное течение при некотором критическом значении числа Марангони [78J, [79]. Найдено, что азимутальное число слабо надкритического течения определяется в первую очередь отношением высоты и радиуса [80]. Подробная структура возмущенного течения и его азимутальные волновые числа остаются в значительной степени неизвестными [81] из-за экспериментальных сложностей, связанных с измерением скорости и температуры в малых объемах жидкости (типичный масштаб длины в эксперименте порядка 3 мм), [82]. Тем пе менее, переходы от стационарного осесимметричиого к стационарному трехмерному и затем нестационарному режиму для расплавленного олова (Рг = 0.01, отношение высо-ты к радиусу 2.02) при росте разности температур в конфигурации полу юны экспериментально наблюдался в работах [83], [84].
Исследованию устойчивости течения в полузопс был также посвящен ряд теоретических и численных исследований. Использовались методы энергетического анализа [85], [86], анализа линейной устойчивости [87-90], прямого трехмерного численного моделирования [91-93]. Сейчас хорошо установлено, что для жидких мостиков с отношением высоты к радиусу порядка 1 неустойчивость впервые появляется в результате обычной бифуркации (монотонной) или бифуркации Хопфа (колебательной), в зависимости от числа Прандтля жидкости. В обоих случаях наиболее опасная мода не осе-симметрична. Эта зависимость свойств устойчивости от числа Прандтля впервые была обнаружена Рунном с соавторами в трехмерном счете с отношением вмеош к радиусу 1.2 и ади абати ческой свободной поверхностью. Они нашли, что для малых чисел Прандтля нестационарному течению предшествует бифуркация к стационарному трехмерному состоянию, но не привели критические значения параметров. Для единичного отношения сторон и малою числа Прандтля (Рг=0.01) Лснепстам и Лмоерг нашли, чго для этой бифуркации критическое число Рейнольдса 1960 с азимутальным волновым числом к-2. Слабопелинейный анализ в работе [94] для больших чисел Праидтля показ мнаст, что при 1.5 Рг 7,8 после потери устойчивости осесимметричиого состояния в полузоне образуется система стоячих волн, а при Рг 7.8 — система бегущих волн.
В работе [95] па основании результатов численного моделирования термокапиллярного течения в полузоне при отсутствии силы тяжести рассматривается природа корреляции между соотношением высоты и радиуса полузопы и критическим азимутальным волновым числом и предлагается модель вихревых пар.
Численное моделирование для геометрии полузоны было выполнено в работе [96] ;шя жидкостей с числом Прандтля 30 и 74. Было исследовано влияние линейного изменен ия числа Рейнольдса во времени на течение, что обычно бывет в экспериментах в микрогравитации, и проведено сравнение с экспериментами Maxus lb [97 и Spacclab D2 [98]. Кроме того, было дапо описание езруктуры течения для наблюдавшихся стоячих бегущих волн с азимутальным волновым числом 1.
Влияние объема жидкости на линейную устойчивость течения в полузоне при наличии и отсутствии силы тяжести с учетом статического искривления свободной поверхности для малых чисел Прандтля изучалась в работе [99J. В работе [100] рассматривались динамические деформации свободной поверхности, вызываемые как осссиммстричным, так и трехмерным течением в жидкой полутоне в пределе малых капиллярных чисел. Показано, что деформации ведущего порядка не оказывают обратного влияния на термокапиллярное течение ведущего порядка.
В работе [101] было проведено моделирование течения в полузонс для чисел Прандтля 0.01 и 0. Был найден переход от осесимметричнопого основного состояния к трехмерному стационарному течению и, при больших числах Рейнольдса. вторичный переход к трехмерному нестационарному течению. Так как критические числа Рейнольдса и Марапгони не очень сильно отличались дня обоих значений числа Прандтля, было сделано заключение, что неустойчивость при малых ненулевых числах Прандтля имеет гидродинамическую природу.
Численное моделирование колебательной конвекции в жидкой зоне при больших числах Прандтля выполнено в работе [102].
Моделирование трехмерных колебательных термокапилляриых течений и жидкой полузоне при Рг= 1 для отношения высоты к радиусу 0,75-1.6 и для широкого диапазона чисел Марангони было выполнено в работе [103]. Полученные результаты хорошо согласуются с данными линейного анализа устойчивости. Позднее аналогичные расчеты были проведены для жидкостей с Рг = 0, 0.0] и 0.02 при отношении высоты к радиусу от 0.6 до 2.2 [104]. Были найдены значения числа Рейнольдса, при которых происходит переход от осесимметричного к трехмерному стационарному течению, согласующиеся с данными линейного анализа, и прослежена вторичная потеря устойчивости с переходом к нестационарному трехмерному течению.
Численное моделирование трехмерной нестационарной термокапнллярпой конвекции в плавающей зоне с учетом эффектов плавления и кристаллизации, но с педефор-мируемой свободной поверхностью, в моноэллипсоидалыюй зеркальной печи в условиях микрогравитации для кремния методом конечных объемов было проведено в работе [105J (в целях тестирования расчетной программы проводились также вычисления для конфигурации полузоны), Исследованы переходы от осесимметричного стационарного режима к трехмерному стационарному и затем нестационарному. При наличии 6еі" іцих тепловых волн наблюдалось обратное плавление на фронте кристаллизации.
Численное моделирование осцилляции свободной поверхности жидкого мостика под воздействием нестационарною термокопвсктииного течения выполнено в работе [106]. На первом шаге, двумерное колебательное течение вычислялось ;іля мостика со статическим искривлением свободной поверхности. Затем с использованием полученного давления определялось динамическое искривление. Наибольшие динамические отклонения обнаружены вблизи горячего угла полузоны. В работе [107] экспериментально изучалась потеря устойчивости стационарным осесимметричным течением в полузонс с силиконовым маслом (Рг = 105) и переход к трехмерному движению. Исследовалось влияние на критическую разность температур объема жидкости в мостике.
Устойчивость адвективного течения
Перейдем к обсуждению устойчивости полученных стационарных адъективных течений. Для исследования устойчивости полученных численно стационарных решений, однородных вдоль оси z, рассмотрим сначала малые возмущения скорости и температуры, периодические вдоль оси цилиндра.
При Рг = 0 возмущения температуры обращаются в нуль, полому слагаемое, описывающее подъемную силу, в уравнении (2.27) отсутствует, уравнение (2.29) решать не требуется. Па границах области возмущения скорости и температуры исчезают, граничные условия для давления получаются проектированием уравнения Паиье-Стокса на направление нормали.
Для заданных значений числа Прандтля и волнового числа может быть найдено значение числа Грасгофз Gr0(), соответствующее нейтральным возмущениям. Для этого применялись два разных метода.
Численное исследование устойчивости стационарного течения по первому методу производилось следующим образом. Осуществлялось прямое решение уравнении (2.26) -(2.30) от некоторого начального состояния. Использовалась явная схема дискретизации по времени. Вычисления на каждом временном слое включали следующие этапы. Предварительно для компонент скорости использовалась упрощенная система уравнений, получаемая из (2.26)-(2.29) отбрасыванием членов, содержащих давление, и определялись промежуточные значения компонент скорости в узлах пространственной сетки м, v, vT-.
Анализ временной эволюции возмущений позволял строить нейтральные кривые. Счет продолжался до тех пор, пока временная эволюция возмущений не начинала определяться только наиболее опасной модой.
В соответствии со вторым методом, предполагалась экспоненциальная зависимость возмущений от времени: u4v,w,0,p - eh . Дискретизация уравнении методом конечных разностей со вторым порядком точности приводила к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений вида АХ = ЛВХ, где матрица Л комплексная и имеет ленточную структуру, в матрице В часть диагональных элементов равна единице, все остальные элементы равны кулю, X - вектор неизвестных. Не решение давало значение наибольшего инкремента Я и соответствующие поля возмущений скорости, температуры и давления. Положение нейтральной кривой определялось из условия Кс(Л) = 0. Дія решения алгебраической проблемы использовался разработанный Д.Н. Любимовым, Т.П. Любимовой и В.А. Морозовым программный пакет (см. [160]).
Особого рассмотрения требует случай к = 0 (спиральные возмущения). При этом оказывается возможным ввести для возмущений функцию тока и завихреніюсть, аналогично задаче о стационарном состоянии. Система (2.36)-(2.40) решалась по явной схеме, по повелению возмущении аналогично случаю пространственных возмущений определялось значение декрементов. При некоторых значениях параметров, однако, этот метод не позволял однозначно определять значение критического числа Грасгофа. В этом случае но явной схеме решалась полная нестационарная нелинейная система (2.15)-(2.17) без предположении о симметрии, іраница устойчивости находилась но предельному Gr, при котором удавалось получить стационарное решение.
Влияние акустической волны на стационарное адвективное течение
Рассмотрим влияние акустической волны, распространяющейся вдоль оси канала, на адвективное течение и его устойчивость. Пусть ноле скорости полны имеет нид v =a6)kcosa (t z/c), где к — орт оси z. Система координат выбрана аналогично тому, как это было в случае чисто адвективного течения, рассматриваемого и главе 2. Предполагается, что период колебаний мал по сравнению с характерными вязкими и теплопроводными временами. Это позволяет использовать осредненное описание движения жидкости. В рассматриваемой ситуации уравнения термоакустической конвекции для осредненных полей сводятся к обычным уравнениям тепловой конвекции и приближении Вуссинеска. Акустическая волна генерирует осредненпую завихренность и пограничных слоях вблизи твердых стенок канала. Эта завихренность распространяется по всему объему жидкости потоком и за счет вязкости, что ведет к формированию акустического течения. Процесс может быть описан при помощи эффективных граничных условий на внешней границе погранслоя. Поскольку толщина ноіраислоя мала, эти граничные условия могут быть перенесены непосредственно па твердую поверхность. Расчет дает для скорости па стенках канала значение v- = w = За3or/(4с). Кроме того, возможна интерпретация, и которой рассматривается адвективное течение в канале с движущимися стенками.
Делая те же предположения, что и при рассмотрении задачи об чисто адвективном течении в главе 2, и используя те же единицы измерения, получаем следующую систему уравнений и граничных условий для однородного вдоль капала течения. Полиостью аналогично тому, как это делалось в главе 2, могут быть введены функция тока ц/ и завихренность qr. (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) Зі ox 3T + J(w,y/) = Aw- Gry + a, = 0,и)г = Re,0r =0, JwdS = 0 —+./(0,r/) = — A0-w. at Pr По-прежнему делается предположение о четности полей И и в и нечетности полей у/ и ф в поперечном горизонтальном направлении. При этом никакой симметрией но вертикали в общем случае (Gr Ф 0, Re Ф 0) течение не обладает.
Система (3.6)-(3.9) после пространственной дискретизации методом конечных разностей итерировалась по времени по явной схеме вплоть до получения стационарного уравнения с заданной точностью. Значение завихренности на границе находилось по формуле Тома. Уравнение (3.7) сначала итерировалось с отброшенным слагаемым а, затем к полученному полю w добавлялась константа, определяемая условием равенства пулю расхода жидкости через поперечное сечение канала.
Примеры структуры течения в канале приведены на рис. 3.1-3.2. По мере роста числа Рейнольдса вклад акустического течения возрастает, и в итоге оно становится преобладающим. При этом жидкость движется в направлении ірадиепта температуры у стенок и в обратном направлении в центральной части капала. В поперечном сечении канала образуются два вихря, жидкость всплывает у оси капала и тонет у стенок. И рассматриваемом в работе диапазоне параметров вклады термогравитационного и акустического механизмов, однако, сравнимы, и течение имеет комбинированный характер. -0.40 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 а) -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 Ь) -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 с) . Рис. 3.2. Изолинии продольной компоненты скорости (а), функции токи поперечной компоненты скорости (Ь), отклонения температуры от теплопроводного распределения (с) для / = 1, Рг - 0.03, Re = 800, Gr = 90000. 3.3 Влияние акустической волны на устойчивость адвективного течении Рассмотрим влияние, оказываемое акустической волной па устойчивость стационарного течения. Методика, описанная в главе 2 и применявшаяся для анализа устойчивости чисто адвективного течения, без каких-либо изменений остается пригодной и в рассматриваемом случае. Все уравнения и граничные условия сохраняют спои вид.
Рассмотрим влияние акустической волны на устойчивость адвективного течения при / = I для различных значений числа Прандтля. Для Рг = 0.001 в рассматриваемом диапазоне чисел Рейнольдса наиболее опасной является гидродинамическая мода (рис. 3.3). С ростом числа Рейнольдса она стабилизируется и от Gro = 275000 без акустической волны доходит до Gro = 379000 при Re = 1000. Приблизительно с Re = 300 этот рост происходит практически линейно. Как только число Рейнольдса становится отличным от нуля, монотонная гидродинамическая мода становится колебательной (это справедливо также и для всех других рассмотренных значений числа Прандтля и ширины капала). Безразмерная частота нарастает от нуля до 399 при Rc= 1000.
Вид уравнений движения в криволинейных координатах
Все производные аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности внутри области и правыми или левыми разностями второго порядка точности на границах. Компоненты скорости, потенциал пульсациоиного течения, фупкпин/іі " определены в узлах сетки, а давление в центрах ячеек.
Расчет пульсациоиного течения и формы поверхности раздела жидкость-газ полностью независим от полей осредпенного течения. Таким образом, после дискретизации мы получаем линейную систему уравнений для Фи и нелинейную систему для/(и константы С), от которой зависит, в свою очередь, форма расчетной области и используемая сетка, и нелинейную систему для it, w,p.
При надлежащем выборе порядка счета узлов сетки, каждому из которых соответ-стиует число уравнений, равное числу определенных в этой точке неизвестных функций, отвечающие задаче матрицы Якоби являются ленточными (за исключением системы уравнений для средней формы: константа С присутствует в уравнениях из всех внутренних точек).
Система уравнений для {f,C) формируется естественным путем: точке у соответствует срока у матрицы, но имеется дополнительное уравнение номер ЛТ+1, содержащее условие для контактного угла и позволяющее найти С Решение получается при помощи подпрограмм DGEFA/DGESL из библиотеки UNPACK.
Видно, что действительная часть пульсационной деформации мала и убывает от вибрирующего торца к неподвижному. Это означает установление режима стоячей полны, когда волна, распространяющаяся от вибрирующего торца, и волна, отраженная от неподвижного торца, имеют приблизительно одинаковую амплитуду. В результате генерация осредненного течения у свободной поверхности приводит к образованию большого числа маленьких вихрей, размер которых определяется длиной пульсациоп-пых поверхностных волн. Наличие распространяющейся компоненты, то есть неточное сонпадснис амплитуды прямой и отраженной ноли имеет, однако, принципиальное зпа 75 чение, так как приводит к формированию глобального среднего течения. Иго амплитуда настолько велика, что на его фоне малые вихри остаются незаметными и проявляются только в маленьких добавочных деформациях средней формы зоны.
При частотах, достаточно отличающихся от резонансных, амплитуда прямой и отраженной воли близка к амплитуде вибраций, и в результате, как видно на Рис. 4.3-4.4, амплитуда стоячей волны близка к 2. При росте частоты, однако, длина волны уменьшается, градиент пульсационной скорости возрастает, и интенсивность генерации среднего течения увеличивается. Когда частота вибраций приближается к одной из собственных частот системы, амплитуда поверхностных волн резонансно растет и вызывает нарастание интенсивности среднего течения .
Для всех проверенных значений частоты вибраций деформация свободной поверхности мала. Действительно, средняя деформация свободной поверхности под воздействием высокочастотной вибрации определяется параметром В = ра2ео2К/(4(т). вычисления были проведены для фиксированной, довольно маленькой амплитуды вибрации й = 1.5 1(Г сти, использовалось большое значение коэффициента поверхностного натяжения (типичное для жидких металлов), так что для параметров, приведенных в Табли 76 це 1, даже для самой высокой из использовавшихся частот 2 kHz имеем # 0.156, в результате чего наибольшее среднее отклонение свободной поверхности от се положения при отсутствии вибраций меньше 1 процента. Заметим, что результаты но средней деформации свободной поверхности, вызванной вибрациями, полученные а данной работе, находятся в хорошем количественном соответствии с результатами, полученными при помощи вариационного принципа.
Типичный вид лагранжевой функции тока приведен на Рис. 4.5а-4.5Ь. Доминирующий вихрь, занимающий большую часть зоны, вызывается поверхностными волнами, распространяющимися от вибрирующего торца. Направление этого вихря таково, что жидкость движется вдоль свободной поверхности от вибрирующего торца к неподвижному.
Выращивание кристалла производилось в моноэллипсоидалыюй зеркальной печи. Поликристаллическая заготовка была неподвижна, в то время как растущий кристалл совершал высокочастотные колебания. Такая конфигурация позволяет подавлять при помощи вибрационной конвекции только термокапиллярнос течение, направленное к фронту кристаллизации. Кристалл вибрировал благодаря небольшому магниту па его основании, удерживаемому графитовыми фиксаторами и приводимому в движение электромагнитной катушкой, навитой вокруг ампулы. Катушка питалась через усили гель от высокочастотного генератора, что позволяло непрерывным образом менять частоту и амплитуду вибраций.
Рассматривается неизотермическая жидкая зона, поддерживаемая между двумя параллельными коаксиальными твердыми цилиндрами одинакового радиуса R. располо 81 женными на расстоянии L друг от друга. Один из цилиндров совершает монохроматические колебания в осевом направлении с круговой частотой (о и амплитудой а. Предполагается, что объем жидкости таков, что в отсутствие вибраций жидкий мостик является круговым цилиндром радиуса R. Из-за вибраций средняя форма мостика может отклоняться от цилиндрической, а мениск осциллирует вблизи своего среднего положения.
