Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Течение в неоднородном поле массовых сил 16
1.1. Постановка задачи 16
1.2. Стационарное течение 22
1.3. Анализ линейной устойчивости течения к малым возмущениям 28
1.4. Структура нелинейных волн 38
Глава 2. Волны в реологически сложных жидкостях 42
2.1. Постановка задачи. Стационарное течение 43
2.2. Анализ линейной устойчивости 48
2.3. Эволюционная система уравнений для обобщенно - ньютоновской жидкости 55
2.4. Нелинейные режимы течения пленки обобщенно - ньютоновской жидкости 63
2.5. Анализ линейной устойчивости течения жидкости Шведова -Бингама 74
Глава 3. Течение пленки по плоскости с микрорельефом . 80
3.1. Постановка задачи 82
3.2. Течение по плоскости с локализованной неровностью 87
3.3. Стационарное течение по периодическому рельефу 92
3.4. Нелинейные волновые режимы течения над синусоидальным дном 97
Заключение 105
Литература 107
- Стационарное течение
- Структура нелинейных волн
- Анализ линейной устойчивости
- Течение по плоскости с локализованной неровностью
Введение к работе
Актуальность работы. Пленочные течения жидкости широко применяются в различных технологиях, например, при организации процессов испарения, конденсации, тепло- и массообмена. В таких случаях, как правило, жидкость течет по твердой поверхности под действием массовой силы, например, стекает по стенке под действием силы тяжести. Многочисленные эксперименты показали, что при этом свободная поверхность пленки редко оказывается плоской: обычно она покрыта теми или иными волновыми структурами. Наличие таких волн может сказываться на проводимых технических процессах как положительно (приводить к интенсификации массообмена), так и отрицательно (создавать области локального перегрева при использовании пленки как хладагента). С этой точки зрения представляется важным построение математических моделей нелпнейной волновой дпнамикті жидких пленок, а также разработка механизмов управления режимами пленочного течения с помощью создания неоднородного поля массовой силы, использования реологически сложных жидкостей или внесения внешних возмущений через твердую поверхность.
Цель диссертационной работы — изучение возможности управления параметрами течения жидкой пленки с помощью внешних воздействий. Для достижения указанной цели решались следующие задачи:
Изучить стационарное течение пленки вязкой жидкости по криволинейной вращающейся поверхности, выяснить влияние формы твердой поверхности на характеристики стационарного течения, развитие неустойчивости в линейной постановке и на эволюцию структуры нелинейных волн.
Выяснить влияние реологических свойств среды на неустойчивость ста-
ционарного отекания пленки неныотоновской жидкости по вертикальной плоскости. Исследовать зависимость параметров волновых режимов течения от выбранной реологической модели.
3. Исследовать стекание пленки по поверхности с микрорельефом, проследить влияние структуры твердой поверхности на стационарное течение и характеристики нелинейных волн.
Научная новизна работы. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми.
Впервые изучена эволюция структуры нелинейных волн на криволинейных вращающихся поверхностях. Определены формы твердых поверхностей, на которых растекающаяся под действием центробежных сил пленка имеет постоянную толщину; найдены значения безразмерных управляющих параметров, при которых течение этой пленки наиболее устойчиво.
Выведена нелинейная система уравнений, описывающая течение пленки конечной толщины произвольной обобщенно - ньютоновской жидкости. Впервые исследовано влияние реологической модели на параметры волн.
Обнаружены качественно различные типы волн в пленке неньютоновской жидкости, стекающей по наклонной плоскости с микрорельефом. Получено объяснение стабилизации течения при конечной величине неровностей.
Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы. Достоверность результатов диссертации обусловлена точностью численных и аналитических методов, применявшихся при постановке и расчете соответствующих задач, и совпадением результатов с опубликованными в ранее изученных частных случаях. Полученные результаты качественно и количественно согласуются с опубликованными в литературе экспериментальными данными.
Практическая ценность работы определяется возможностью исполь-
зования исследуемых в работе механизмов управления течением пленки. Выводы о способах стабилизации потока и интенсификации волнообразования, сделанные в работе, могут быть использованы при проектировании технологических устройств, использующих пленочные течения, и при планировании экспериментов.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
Семинар кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. Г.Г. Черного, 2007, 2008 г.
IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, г. Нижний Новгород, 2006 г.
XXXIV Международная летняя школа - семинар "Advanced problems in mechanics", г. Санкт-Петербург, 2006 г.
Научная конференция "Ломоносовские чтения" МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006 г. - 2008 г.
XV школа - семинар "Современные проблемы гидроаэромеханики", г. Сочи, 2007 г.
III Всероссийская конференция "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент, приложения", г. Бийск, 2008 г.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в девяти печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 116 страниц.
Стационарное течение
Часто в задачах о течении тонких пленок по вращающейся поверхности обратное число Экмана Е-1 = H2LUQ/V МОЖНО считать малым. В приближении Е-1 С 1 конвективные члены несущественны и система уравнений значительно упрощается. В [36] стационарное решение строится методом разложения по степеням этого параметра, при дополнительном предположении « 1. В [23] численно изучается течение при конечных числах Экмана. Найдено стационарное решение в промежуточной области, где конвективные члены существенны, и показано, что при конечных числах Экмана решение при больших расстояниях от оси сходится к асимптотическому. Изучалась зависимость длины участка формирования асимптотического течения от начального распределения скорости и числа Экмана. В работе [5] выводится система уравнений, описывающая течение пленки неньютоновской жидкости по произвольной поверхности вращения. Рассмотрено движение пленки под действием центробежных и гравитационных сил на некоторых поверхностях, силы Кориолиса при этом не учитываются. Конвективные члены в этой работе также не учитывались.
При специальных условиях, наложенных на профиль скорости во входном сечении, в [22] построено автомодельное решение полной системы уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим случай Е-2 1, С 1. Физически это соответствует преобладанию вязких сил над инерционными в тонкой пленке. В этом случае рассматриваемая задача (1.6) — (1-П) существенно упрощается. Пусть при х = хтт задана толщина пленки h = 1, а также расход жидкости q = J0 udy. Для определения компонент скорости и — С/, v = E_1V, w = W, формы свободной поверхности h — Я и давления р = Р в стационарном течении получаем следующую задачу: Uw + F2Rt = О, Vyy = 2FURb Wy = -{Ux + 21ІЩ, Py = -F2Zf, y = 0: Z7 = О, V = 0, W = 0] y = H{x): UHXR = W, [/, = 0, Vu = 0, P = -7(x + ); x = жШіП : Я = 1, g = 1. При этом преобразовании мы заменили г% и тц на R и —Z соответственно. Порядок отброшенных при этом членов есть, согласно (1.1), О (є). Эту систему можно разрешить в конечном виде. U = F R, (уя - ) , V = F3R (-/,3у + ±y h - , W = -F2R(: {У- [RpHb + 2R(.H + RR H) - -(Я% + 2Я) і , I 2 3 J (1.12) P = -F2Zi{H-y)-1{X + Z!:), H = I - - j exp ( —-(z - ЖЩІП) J , q = ехр(-2(ж - Жшш)). Для того чтобы удовлетворить условиям нормировки при х = :rmin определим F = л/3/.R o- Через R$0 обозначено R (xmin). Из полученного решения найдем уравнение образующей поверхности, по которой будет растекаться пленка постоянной толщины. Для этого необходимо, чтобы Що Я ехр (—2{х — жтіп)) = const или Де = a{Rnun/R)\ а 1. Отсюда получим выражение для Щ Z, D о V "mm ІХ It/: ZR = = - ЧТ—- = \R4 - a RL: и найдем в квадратурах форму поверхности: R Z(R) = Z0 + y R4 - a df, a 1, (1.13) R, где величины с тильдой обезразмерены по R0. Кривая, которая задается таким уравнением, изображена кривой 1 на рис. 1.1. При отыскании асимптотического решения (1.12) при х = жтш задавалось интегральное граничное условие нормировки Q — 1. При этом профили продольной, азимутальной и поперечной скоростей находятся по формулам (1.12). Если же распределение скоростей во входном сечении отличается от такового, существует область перестройки течения. Для описания произвольного стационарного течения будем использовать систему (1.6) — (1.11), в которой отбросим малые члены порядка є и выше. При этом конвективными членами порядка Е-2 пренебрегать нельзя: Щ (их + 2и) + wy = О, иуу + F2R + 2E lFvRt - Е 2 [игьЩ + wuy + R u2 - v2)] = О, vyy - 2E_1 FuR - E 2 [uvx + wvy + 2uvR \ = 0, py = -F2Z6 у = О : и = О, v = О, w; = 0; т/ = h(x) : икхЩ = w, иу = 0, % = 0, р = -у(х + -%). (1-15) ж = жть: /i = l, u = uin(2/), v = i;in( ). Уравнение для р и соответствующее граничное условие отделяются от уравнений для определения и, v, w, значит в этом приближении распределение давления будет также описываться (1.12). Для численного решения задачи (1.14) — (1.15) воспользуемся методом поверхностей равных расходов [36]. Этот метод позволяет путем исключения поперечной скорости w получить уравнения для линий тока. Неизвестная форма свободной поверхности при этом также легко находится.
При x — xm\n задаются значения hn; значения un, un определяются из (1.15). Для вычисления вторых частных производных по у в правых частях уравнений (1.18) использовалась конечно-разностная аппроксимация производных на неравномерной сетке, образованной семейством линий hn в сечениях х — const. Для вычисления второй производной на слое использовался пятиточечный шаблон. Это позволяет аппроксимировать правую часть уравнений со вторым порядком точности по у. При этом значения правых частей выражаются через un, vn и hn явным образом и система (1.18) рассматривается как система обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном решении задачи Коши использовалась неявная двухслойная разностная схема второго порядка точности по х. Нелинейные алгебраические уравнения решались с помощью итераций и метода пятидиагоналыюй прогонки [11]. При тестировании программы использовались результаты, изложенные в [23].
В численных расчетах рассматривался следующий пример. Форма поверхности определяется (1.13) так, что толщина пленки на ней согласно асимптотическому решению постоянна. При этом полагалось а = 1, хт\п — 0. Во входном сечении профиль продольной скорости соответствует (1.12) и{у) = — 3(уН — 2/2/2), а азимутальной — незакрученной жидкости и (у) = —EF. На рис. 1.2 показаны зависимости толщины пленки от расстояния до оси для различных значений Е-1. Видно, что возможны две ситуации: при малых зна чениях Е- вблизи места подачи наблюдается локальное увеличение толщины пленки, после которого толщина монотонно спадает к асимптотическому значению. При больших же Е-1 толщина пленки сначала уменьшается, потом увеличивается, превышая значение на бесконечности, а потом монотонно к нему спадает.
Описанная зависимость толщины пленки от координаты объясняется тем, что жидкость растекается вдоль радиуса диска и вовлекается во вращение за счет вязкости. Заметим, что отношение конвективных членов к вязким, согласно (1.14) есть Е-2. При больших Е-2 первые преобладают и жидкость сначала растекается, при этом ее толщина уменьшается, а во вращение вовлекается только когда слой становится достаточно тонким, и сила вязкого трения увеличивается. Если же влияние вязкости велико, то жидкость начинает закручиваться непосредственно около места подачи и там наблюдается локальное утолщение.
Отметим, что на некотором расстоянии от места подачи решение задачи (1.14) — (1.15) совпадает с (1.12) вне зависимости от значения числа Е и профиля скорости во входном сечении, что соответствует общим свойствам уравнений типа пограничного слоя. Расчеты показали, что для фиксированного входного профиля длина участка формирования асимптотического течения пропорциональна Е-1/2. Такие же результаты были получены с помощью асимптотических методов в [55] и численно в [23].
Итак, мы выяснили, что постоянная толщина пленки будет наблюдаться только при достаточно больших х, что может быть неудобно с технологической точки зрения. Для того, чтобы получить пленку постоянной толщины уже в начале криволинейного участка, форма которого определяется (1.13), необходимо перенести участок формирования течения ближе к оси вращения.
Структура нелинейных волн
Для исследования нелинейных волн в пленках в настоящее время применяются два подхода. Один из них основан на расчете произвольного течения путем численного решения уравнений Навье - Стокса. Этот метод позволяет проследить, как развивается течение, учесть возможные внешние нестационарные факторы. Основная идея этого метода состоит в полном численном повторении натурного эксперимента. Другой подход, требующий меньших вычислительных ресурсов, и, следовательно, открывающий больше возможностей для параметрического исследования, состоит в максимальном упрощении исходной системы с сохранением основных свойств решений.
Применительно к рассматриваемой задаче в [65] анализируется численное решение уравнений тонкого слоя, описывающих течение по плоскому диску. Авторы просчитывают течения, возникающие при подаче жидкости со слабо пульсирующим расходом, и наблюдают сначала экспоненциальный рост малых возмущений, а потом эволюцию волн конечной амплитуды. В более поздней работе [66] те лее авторы исследовали влияние конечных по величине пульсаций расхода и периодических неровностей на диске.
Другой подход к исследованию нелинейных осесимметричных волн применяется в [39, 74]. В этих работах краевая задача для уравнения Навье — Стокса сводится к системе эволюционных уравнений для интегральных характеристик, впервые описанных в [34]. В настоящей работе проведено численное исследование нестационарных уравнений тонкого слоя, описывающих течение пленки по плоскому диску. Изучен процесс развития нелинейных осесимметричных волн из малых периодических по времени возмущений. Будем считать, что в каждой точке волновая структура такова, что имеется равновесное распределение энергии по гармоникам для данных значений управляющих параметров. Это означает, что в некоторой системе отсчета волна неподвижна и не изменяет свою форму. Для отыскания волн такого вида можно искать решение задачи (1.25) в форме q(t,x) — g(i) = q(x — — ct), h(t, x) — /i(i) = h(x - ci), где с — фазовая скорость волны. После подстановки h и q в такой форме система эволюционных уравнений (1-25) при Щ = 1 превращается в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение (1.29) Задача состоит в отыскании нетривиального решения, удовлетворяющего условиям периодичности: h{x) = h(x + 2жоГх), h (x) = h (x + 27ГОГ1), h" (x) = h"(x + 2 a l).
Это нелинейное уравнение в зависимости от волнового числа имеет несколько решений. Двупараметрическое многообразие решений описано в [26, 27] и более подробно в [72]. Также в [26, 27] указан более простой метод построения одной регулярной волны с заданным пространственным периодом, наиболее устойчивой к малым возмущениям, который и использовался в настоящей работе.
Звездочкой обозначено комплексное сопряжение, а — волновое число. Подставляя решение в указанном виде в (1.24), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно q k\t), h (t). Нелинейности в правых частях вычисляются псевдоспектральным методом, который заключается в следующем. Рассмотрим на периоде набор точек хь, к — —N,..., N, X-N + Zn/a — XN, равноотстоящих друг от друга. Тогда для любой функции f(x) существует взаимнооднозначное соответствие между набором значений f(xk) и набором коэффициентов разложения f(k\ Переход от одного набора к другому осуществляется с помощью дискретного преобразования Фурье. С вычислительной точки зрения удобно, чтобы N = 2J. Итак, для вычисления Фурье-коэффициентов некоторой нелинейной функции, например, (q2/h)x можно вычислить значения функции диЛ,в каждой точке, посчитать / = q2/h, найти коэффициенты разложения функции /, а затем воспользоваться простыми формулами дифференцирования функции, записанной в виде отрезка рядя Фурье.
Интегрирование системы (1.25) по времени велось достаточно долго, пока не сформируется регулярная волна. Критерием остановки вычислений было выравнивание фазовых скоростей различных гармоник.
Профили нелинейных волн на плоском диске (а) и на криволинейной поверхности (б) вблизи точки потери устойчивости; на плоском диске (в) и на криволинейной поверхности (г) при S — 0.12.
На рис. 1.6 показаны профили волн в разных точках поверхности при зна чениях параметров pi = 0.2, р2 = 1-Ю4. Рассматриваются те же поверхности, что и при анализе линейной устойчивости. Так как указанная точка принадлежит области Т \ на плоскости параметров, на криволинейной поверхности неустойчивость начнется дальше, чем на диске, а именно, соответствующие значения 8СТ = 0.142 и 6cr = 0.144 для криволинейной поверхности и плоского диска соответственно. Значение волнового инварианта / в каждом случае также вычислялось в рамках линейной теории. Профили волн для плоского диска и криволинейной поверхности представлены на рис. 1.6 а,б соответственно. Те же вычисления были проведены для 5 = 0.12 (рис. 1.6 в,г). На плоском диске профиль волны меняется слабо, тогда как для криволинейной поверхности изменение профиля волны и ее спектрального состава существенно. По мере удаления от оси вклад высших гармоник уменьшается. Для указанных волн на плоском диске число гармоник, относительная амплитуда которых больше Ю-4 составляет 18, для волн на криволинейной поверхности при эволюции, показанной на рис. 1.6 это число уменьшается с 15 до 3.
При использовании пленок в химических технологиях часто приходится иметь дело с жидкостями, вязкость которых не подчиняется закону Ньютона о линейной связи тензора напряжений и тензора скоростей деформаций. Такими неньютоновскими жидкостями являются, например, растворы и расплавы полимеров, а также суспензии. Для описания таких сред приходится вводить более сложные функциональные зависимости между вязкими напряжениями и скоростями сдвига, часто включающие в себя величины деформаций (вяз-коупругие среды), ускорений (вязкопластические). Жидкости, для которых можно найти однозначную связь между вязкими напряжениями и скоростями сдвига называют обобщенно - ньютоновскими. Выделяют два больших класса обобщенно - ньютоновских жидкостей: псевдопластические, вязкость которых уменьшается с ростом скорости сдвига, и дилатантные, для которых эта зависимость обратная. К первому классу относятся, например, большинство растворов и расплавов полимеров, а ко второму — смесь мелкого песка или крахмала с водой. Как правило, неньютоновское поведение жидкостей связано с тем, что характерное время релаксации молекул оказывается сравнимым с характерным временем задачи. Поэтому в качестве общего безразмерного параметра, описывающего степень отличия поведения жидкости от ньютоновского используют число Деборы De = rrU/H, где тг — время релаксации молекул, UIН — характерное значение скорости сдвига. Конкретное выражение для связи тг с параметрами среды задается реологической моделью.
Анализ линейной устойчивости
Рассмотрим устойчивость описанного выше стационарного течения к малым нестационарным возмущениям. Пусть u(t,ж, у) = щ(у) + u(t,х,у), v(t, х,у) = v(t,х, у), р( х У) = Р( х. Z/) К х) = 1 + h(t, х) и величины, обозначенные тильдой, много меньше единицы. Подставим решение в таком виде в обобщенные уравнения Навье - Стокса и отбросим члены второго и более высоких порядков малости. Граничные условия перенесем с искривленной свободной поверхности на невозмущенный уровень у = 1. Отметим, что в случае ньютоновской реологии (г) = 1) полученное уравнение сводится к классическому уравнению Орра - Зоммсрфельда. Исследование указанной задачи на собственные значения для ту = 1 проведено в работе Трифонова [29]. В частности, в этой работе показано, что при больших значениях числа Капицы Ка = ар1 ъ/(#1/3 /4/3) результаты соответствуют асимптотическим, полученным Benjamin [45].
Уравнение (2.17) дает возможность получить запись уравнения Орра -Зоммерфельда для любой конкретной среды. В частности, для проверки использовались результаты работ Заметалина [10] и Yih [87], где были получены соответствующие уравнения для степенной жидкости и для среды с реологическим законом т] = 1 4- 2МІ2, (М = const).
В работе Sisoev et al [73] рассматривалась спектральная задача линейной устойчивости для степенной жидкости с параметром п 1. При этом авторы указанной работы не выводили обобщенное уравнение Орра - Зоммсрфельда, пользовались системой уравнений (2.14). Результаты работ [29, 73, 87] использовались при тестировании численного метода.
В работе Yih [87] описан метод приближенного аналитического решения уравнения Орра - Зоммерфельда в случае малых волновых чисел. Для произвольной реологии применение этого приема затруднительно, так как приводит к весьма громоздким вычислениям, однако для степенной жидкости решение может быть построено. Здесь D\,..., D4 — константы интегрирования, которые находятся из граничных условий. В [87] показано, что значение одной из констант D2, 2 или D4 может быть выбрано произвольно, так как первое приближение VQ содержит слагаемые с теми же показателями степени /г, и задача линейна. Будем считать, что D\ = 0.
Как показали численные расчеты, данная формула достаточно точно предсказывает величины интервала волновых чисел неустойчивых возмущений даже при конечных значениях aRe, однако при этом получаемые коэффициенты усиления оказываются сильно завышенными.
Численный метод решения поставленной задачи на собственные значения (2.17) — (2.19) состоял в следующем. Для определения собственных функций и собственных значений использовался метод стрельбы. При фиксированном значении с рассматривалось два вектора w\ = {vi v v v ") И W — = (г 2, г 2, v2i 2") J которые образуют базис в пространстве векторов, удовлетворяющих граничному условию при у = 1. Эти векторы были взяты в качестве начальных условий для задачи Коши для уравнения (2.17) на отрезке [0,1]. о (0) В результате численного интегрирования получались новые вектора w\ = = (vi,ViiVi,v" ) и «4 — ( 2, 25 2 5 )- Условием того, что рассматриваемое число с есть собственное значние заключается в том, что некоторая линейная комбинация векторов Xiw\ + \2vJ2 удовлетворяет граничному условию (2.18). Это эквивалентно условию F(c) = vi(0) «2(0) v[(0) v 2(0) (2.21)
Так как задача (2.17) - (2.19) линейна, значение F(c) не зависит от выбора вектров w[ и и 2 Уравнение (2.21) решалось методом Ньютона. Данный способ вычисления с(а) позволяет применить метод Ньютона решения алгебраических уравнений и для нахождения нейтральной кривой а = 0 в плоскости параметров (о;, Re).
Задача на собственные значения решалась для степенной жидкости при 0.5 п 2 и чилах Рейнольдса от Ю-2 до 103 и для модели Эйринга для 0 De 10 при тех же значениях Re. Во всех случаях был обнаружен конечный диапазон волновых чисел вида [0,а:п], соответсвующих растущим возмущениям. При этом нормированное нейтральное волновое число зависит от числа Рейнольдса следующим образом. При малых Re оно постоянно, а при больших начинает убывать. При фиксированном значении числа Капицы (обобщенного числа Капицы для степенной жидкости) Ка = ap-W/igWtpi 3) (Ка - ар(п-2)/(п+2) д{Зп-2)/(п+2) /(п+2) мшше числа Рейнольдса соответствуют малым значениям We, то есть неустойчивыми являются длинноволновые возмущения. Отметим, что длинноволновых приближениях, приведенных в настоящей работе (2.20), а также в работе [45], также число anvWe_1 есть величина постоянная.
2.3. Эволюционная система уравнений для обобщенно -ньютоновской жидкости
Как и в разделе 2.2, будем рассматривать периодические по пространству решения (а/ Є Ж), растущие или затухающие со временем (с = cv + ге,). Різ (2.32) видно, что скорость нейтральных возмущений не зависит от волнового числа и равна сго — Ъ\+А Значение этого выражения полностью определяется принятой реологической моделью.
Течение по плоскости с локализованной неровностью
Пусть ho отлично от константы на конечном отрезке, например, дно представляет собой ступеньку или плоскость с небольшим препятствием. Анализ (3.16) показывает, что при любых значениях 5, В: п имеется ровно один отрицательный действительный корень, а остальные два либо положительны, либо являются комплексно сопряженными с положительной действительной частью. Вверх по потоку при не очень малом наклоне (В kS + -j- (6.75(2n + I)2)1/3) перед неровностью будут располагаться нарастающие с ростом х осцилляции. При В кд + (6.75(2?i + 1)2)1 3 (3.16) имеет только действительные корни, т.е. на бесконечности с обеих сторон от препятствия толщина будет монотонной функцией х. Отметим однако, что последний случай на практике реализуется редко. Наличие осцилляции перед препятствием было также отмечено авторами [62] как результат численного эксперимента. Рассматривались локализованные неровности двух типов: ступенька (3.17) и горка (3.18).
Исследование таких течений проводилось численно. При достаточно большом х = х задавалась толщина пленки и ее две производные, исходя из соотношения h = І-Нсехр(Лг), где с некоторая постоянная, подлежащая подбору, а Л — отрицательный корень (3.16). Далее, методом Рунге - Кутта уравнения (3.14) с правой частью, соответствующей (3.17) или (3.18) интегрировались до достаточно большого по модулю отрицательного х . Константа с подбиралась так, чтобы в х решение мало отличалось от единицы. В расчетах полагалось А = 1. Изучался перепад толщин d = hmax — /imm в зависимости от высоты препятствия а при различных параметрах потока 5, В, п. Зависимость d(a) слабо отличается от линейной в исследованном диапазоне параметров (S Є (0.04; 0.4), В Є (0; 1), п Є (0.3; 3), а Є (0; 1)). В работе [75] решение строилось с помощью разложения по малому параметру а/2 в приближении Стокса. В результате сравнения этого решения с численным было получено, что вплоть до значений а/2 = 0.7 все члены, кроме линейного по а вносят незначительный вклад в значение амплитуды а7.
Отметим, что одна и та же величина а для одной и той же жидкости при разных значениях S, В соответствует разным размерным значениям высоты ступеньки или препятствия. Для сравнения расчетных данных с экспериментальными необходим пересчет значений безразмерных параметров. На рис. 3.3 и 3.4 показаны зависимости перепада толщин от числа Рейнольдса для изучаемых рельефов. При расчетах полагалось постоянным число Капицы. Видно, что с увеличением влияния инерционных членов возрастает величина неровностей свободной поверхности. Такой вывод был также сделан в работе [59] в результате обработки экспериментальных данных. Так, график для ступеньки является монотонным, а для горки имеет минимум в окрестности n = 1. Отметим, что минимум толщины при течении над горкой наблюдается в окрестности наивысшей точки препятствия, а при течении по ступеньке выше ступеньки по потоку. Кроме того, абсолютное значение минимума в первом случае меньше, чем во втором, а значения максимумов примерно одинаковы. Разное поведение описываемых графиков объясняется тем, что при сходном поведении hmax(n), функция hm[n(n) резко уменьшается с ростом п при течении по горке.
Видно, что 1, то есть наличие неровностей приводит к увеличению средней толщины пленки. Кроме того отметим, что уравнение (3.25) можно было получить из (3.19) быстрее, просто проведя линеаризацию этого уравнения в окрестности h = 1. Однако проведенный анализ показал, что такое решение имеет меньшую погрешность, чем О (а2). Рассмотрим зависимость амплитуды свободной поверхности и разности фаз между дном и поверхностью от волнового числа.
В расчетах исследовалась амплитуда и сдвиг фаз между свободной поверхностью и дном в зависимости от амплитуды возмущений дна и волнового числа. Для наглядности представления было введено нормированное волновое число s = a/\/l5S, что соответствует отношению данного волнового числа к нейтральному на вертикальной стенке для ньютоновской жидкости с данным расходом [35]. Для построения решения использовался численный метод, основанный на быстром преобразовании Фурье и псевдоспектральном методе. В расчетах количество гармоник выбиралось так, чтобы коэффициент при наивысшей гармонике равнялся нулю в пределах точности вычислений. Как правило рассматривалось 26 - 27 гармоник, однако существенный вклад в формирование течения вносили не более четырех.
На рис. 3.7 а приведена зависимость амплитуды d возмущений свободной поверхности от волнового числа при различных фиксированных параметрах потока. Видно, что численное решение слабо отличается от приближенного аналитического (3.25). На рис. 3.7 б для тех же значений параметров пока зано значение сдвига фаз Аф. Для фиксированного волнового числа (s = 1) на рис. 3.7 в построена зависимость амплитуды свободной поверхности от параметра п. На рис. 3.6 представлена форма свободной поверхности над синусоидальным дном при следующих параметрах: 5 = 0.15, В = 1, п = = 1, 5 = 0.5, а = 0.3.
Расчеты показали, что амплитуда колебаний свободной поверхности практически линейно зависит от амплитуды неровностей дна. Так как формула (3.25), есть решение линеаризованной задачи (3.19), указанное приближенное решение можно использовать и для описания течения по более сложному периодическому рельефу дна, такому, например, двояко периодическому, какое описано в [78].
При малых значениях а колебания фазовой скорости близки к гармоническим. При а = 0.01 за период фазовая скорость отклоняется от среднего значения на 8%. Среднее значение при этом несколько меньше, чем на гладкой стенке. Изменения профиля волны по мере движения вдоль рельефа становятся более заметными при увеличении амплитуды стенки. На рис. 3.9 представлены профили волны в различные моменты времени. Максимумы на твердой поверхности расположены в точках ах = 7г/2, 37г/2. Видно, что над возвышениями стенки имеют место утолщения пленки. В данном случае, тем не менее, амплитуда стенки невелика и не может разрушить структуру волны. За период по времени максимальная толщина пленки меняется примерно на 0.2, что составляет 10% от средней величины. Абсолютное изменение максимальной толщины оказывается в 5 раз больше перепада уровня твердой поверхности. Еще более сильные изменения претерпевают волны за период при а = 0.05. Профили волн в различные моменты времени представлены на рис. 3.10. Происходящее можно описать следующим образом. Основной горб имеет максимальную высоту, когда находится над максимумом стенки. Далее, функция /го(х) имеет отрицательную производную, фазовая скорость первой гармоники увеличивается за счет увеличения толщины. При этом энергия не успевает перекачиваться в высшие гармоники. Происходит опрокидывание -волны (переход от третьего к четвертому моменту времени). В этот момент толщина пленки резко уменьшается, и возрастает энергия высших гармоник. При дальнейшем движении по впадине за счет нелинейного взаимодействия гармоник возрастает амплитуда на основной длине волны и ситуация приходит к исходному состоянию. В данном случае фазовая скорость первой гармоники меняется за период в четыре раза. Скорости более высоких гармоник изменяются менее значительно. Максимальная толщина пленки при этом в течение периода изменяется от 1.58 до 2.33, тогда как перепад уровней стенки составляет 0.1.
