Содержание к диссертации
Введение
1. Поведение капли на твердой подложке в поле высокочастотных и акустических вибраций 32
1.1. Получение определяющих уравнений 33
1.1.1. Постановка задачи 33
1.1.2. Задача о пульсационном движении 35
1.1.3. Уравнения среднего движения 39
1.1.4. Вариационный принцип 43
1.2. Колебания полусферической капли в акустическом поле 50
1.2.1. Собственные звуковые колебания полусферической капли 50
1.2.2. Решение задачи пульсационного движения 52
1.2.3. Колебания полусферической капли в отсутствие капиллярных сил 56
1.2.4. Вынужденные колебания капли с учетом поверхностного натяжения жидкости 59
1.3. Осредненная форма несжимаемой капли в квазиравновесии 64
1.3.1. Задача о пульсационном движении несжимаемой капли 64
1.3.2. Квазиравновесная форма капли, близкой к полусферической65
1.3.3. Метод граничных элементов 68
1.3.4. Влияние вибраций на среднюю форму капли в квазиравновесии 73
1.4. Заключение 76
2. Влияние вибраций на гидродинамику расплава при выращивании кристаллов бесконтактным методом бриджмена 78
2.1. Постановка задачи 79
2.2. Пульсационное течение 81
2.3. Среднее течение 87
2.3.1. Изотермический случай 87
2.3.2. Неизотермический случай 90
2.4. Влияние параметров ампулы и интенсивности вибраций на течения в расплаве 94
2.4.1. Влияние формы верхней части ампулы на генерацию течений 94
2.4.2. Течение при уменьшенном радиусе технологического канала 96
2.4.3. Влияние амплитуды вибраций на среднее течение 99
2.5. Заключение 103
3. Влияние акустического поля на вторичное конвективное течение в слое 105
3.1. Постановка задачи 107
3.2. Слабо-нелинейный анализ 113
3.2.1. Метод амплитудных функций 113
3.2.2. Описание численных методов решения и результаты вычислений 121
3.3. Прямое численное моделирование 129
3.3.1. Описание метода 129
3.3.2. Полученные результаты 132
3.4. Заключение 140
4. Волновой рельеф на границе жидкостей различной вязкости при горизонтальных вибрациях 141
4.1. Постановка задачи 142
4.2. Метод сквозного счета 144
4.2.1. Определяющие уравнения 144
4.2.2. Численный алгоритм 147
4.2.3. Процедура уточнения дистанционной функции 149
4.3. Результаты численного моделирования 152
4.3.1. Тестирование алгоритма. Неустойчивость Релея-Тейлора 152
4.3.2. Волновой рельеф на границе раздела жидкостей различной плотности 154
4.4. Заключение 160
Основные результаты диссертации 161
- Колебания полусферической капли в акустическом поле
- Влияние вибраций на среднюю форму капли в квазиравновесии
- Влияние параметров ампулы и интенсивности вибраций на течения в расплаве
- Описание численных методов решения и результаты вычислений
Введение к работе
Вибрации являются одним из перспективных способов управления неоднородными гидродинамическими системами, сочетающим в себе сравнительную простоту реализации и низкоэнергетичность. Как показывает практика, с помощью вибрационного воздействия можно значительно усовершенствовать многие технологические процессы, с другой стороны, вибрации часто являются трудноустранимым сопутствующим явлением технологических процессов, и возникает необходимость исследовать эффекты, которые они вызывают.
В настоящее время поведение гидродинамических систем в вибрационных и акустических полях изучается в большом количестве работ. Исследованию влияния вибраций на гидродинамические системы посвящены работы [1-3]. Большое количество примеров воздействия вибраций на различные механические системы обсуждается в работах И.И.Блехмана [4,5].
Воздействие высокочастотных поступательных вибраций на неоднородные гидродинамические системы, как правило, приводит к возникновению осредненных эффектов. Обсудим основные работы, в которых исследуется осредненное влияние вибраций на неоднородные гидродинамические системы.
1.1.1. Генерация течений в вязких пограничных слоях
Во многих ситуациях характерное время вязкой или другой диссипации оказывается значительно больше периода вибраций, в этом случае поведение гидродинамических систем в вибрационных полях может быть описано в рамках осредненного подхода. Поля скорости, температуры, давления (и, если нужно, другие) разбиваются на две составляющих — пульсационную, характерное время изменения которой сравнимо с периодом вибраций, и осредненную, не зависящую от вибрационного времени.
Осциллирующее движение жидкости может быть рассмотрено в без-диссипативном приближении всюду, кроме тонкого пограничного слоя
(толщины 8 = yjv/co , v - кинематическая вязкости жидкости, со - частота
вибраций), формирующегося вблизи твердых поверхностей и поверхностей раздела сред. Вследствие вибраций в пограничном слое, генерируется завихренность, которая затем за счет диффузии или конвективным образом переносится в основной объем, приводя к возникновению среднего движения.
Одним из первых осредненное описание динамики жидкостей применил Рэлей [6]. В частности он показал, что стоячая звуковая волна генерирует средне течение вблизи твердой стенки, что приводит к возникновению системы вихрей. Установлено, что интенсивность среднего течения пропорциональна квадрату скорости вибраций и не зависит от вязкости жидкости. В работе [7] отмечено, что в решении Рэлея ошибочно пренебрегалось сжимаемостью жидкости. Показано, что учет сжимаемости в пограничном слое, вообще говоря, принципиален, однако в задаче, изученной Рэлеем, результат остается неизменным.
Генерацию осредненного течения в случае произвольного потока несжимаемой жидкости впервые описал Г.Шлихтинг [8]. Полученные формулы он применил к задаче о натекании пульсирующего потока на неподвижный цилиндр. В настоящее время течения генерируемые вибрациями в несжимаемой жидкости около твердых стенок часто называют шлихтинговскими.
В работе [9] показано, что генерация средних течений в пограничных слоях высокочастотными малоамплитудными вибрациями может быть описана с помощью эффективных граничных условий. При этом значение скорости среднего течения на внешней границе пограничного слоя переносится для основного течения на твердую границу. Граничное условие, справедливое в случае вибраций с неоднородной фазой, получено в [10].
В наиболее общем и простом для использования виде формула, описывающая генерацию осредненного течения в пограничном слое вблизи
твердой поверхности, выведена в [11]. Показано, что средняя скорость на границе пограничного слоя вычисляется следующим образом:
FdivF
и =
1—і
VVV +
і ґіЛ„Л Л зЛЛ„ ,-Л і
4р0с
Vz V * J
PV + K.C,
где Р, V — амплитуды пульсационного давления и скорости, с - скорость
звука, к.с. — комплексно-сопряженные слагаемые. Расчет, проведенный по этой формуле, показывает, что в случае бегущей вдоль слоя плоской волны; скорость акустического течения постоянна вдоль границы и равна За2со2 /4с
(а - амплитуда звуковой волны). Аналогичный результат можно получить и из [7], если устремить к нулю толщину пограничного слоя.
Генерация- осредненного течения вблизи свободной поверхности изучена в [9]. Подробное обсуждение граничных условий на твердой и свободной границах или поверхности раздела содержится в [1].
1.1.2. Вибрационная конвекция
Неравномерный нагрев жидкости приводит, в .силу теплового расширения, к появлению неоднородностей плотности. В поле тяжести это является причиной возникновения переменной по пространству силы и, как следствие, конвективного движения жидкости. Обычно неоднородности плотности, обусловленные градиентом температуры, малы, и зависимость плотности от температуры линеаризуется: p=p0(l-j3(T-TQ)). Здесь Г0, р0 -характерные температура и плотность жидкости, f5 - коэффициент объемного расширения. В таких случаях для описания конвекции можно использовать систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости с дополнительным слагаемым в уравнении движении, которое имеет смысл силы Архимеда. Систему уравнений, полученную таким путем, принято называть уравнениями тепловой конвекции в приближениях Буссинеска [12]. Необходимо заметить,
что гравитационное поле приводит к возникновению гидростатического распределения давления pQ--pQgz (z - вертикальная координата). Конвективное движение является эффектом первого порядка по параметру Буссине-ска /Зв, где 9 - характерный перепад температур.
Вибрации могут оказывать значительное влияние на конвективные течения. Разнообразные явления, возникающие при взаимодействии вибрационных полей с неоднородной по плотности жидкостью, привели к образованию новой отрасли гидродинамики - вибрационной конвекции.
В работе [13] впервые для исследования влияния вибраций на конвективные течения был применен осредненный подход. Исследована конвективная устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя жидкости под действием высокочастотных поступательных вибраций. Полученную в работе систему осредненных уравнений часто называют уравнениями Зеньковской-Симоненко. Математическое обоснование метода осреднения приводится в работе [14].
При выводе уравнений Зеньковской-Симоненко накладывается несколько ограничений на амплитуду и частоту вибраций. Считается, что частота вибраций со, с одной стороны, велика по сравнению с обратными диссипативными временами (co^>v/h2 ,а>У2> %/h2), с другой достаточно мала, чтобы не возбуждалось акустических волн (&>«:c//z). Здесь j -коэффициент температуропроводности, h — характерная толщина слоя. Амплитуда вибраций а предполагается не слишком большой: а(36«: h. Последнее условие позволяет не учитывать нелинейные слагаемые при описании пульсационного течения. Интенсивность среднего течения, генерируемого вибрациями, характеризуется вибрационным числом
Грасгофа Gv =(acoJ36h/vy/2. Вибрационная конвекция, описываемая
уравнениями Зеньковской-Симоненко, является эффектом второго порядка по параметру Буссинеска рв.
Дальнейшее развитие исследований по вибрационной конвекции дано Д.В. Любимовым в [11]. Получены уравнения вибрационной конвекции, справедливые для широкого класса задач. В частности, корректно описываются непоступательные вибрации, наличие свободных поверхностей и погруженных в жидкость подвижных твердых включений. Следует отметить, что в системах со свободными поверхностями или подвижными твердыми телами пульсационное течение могут генерироваться и в изотермическом случае. Вибрационные эффекты в такого рада системах проявляются значительно сильнее, интенсивность среднего течения оказывается пропорциональна первой степени малого параметра рв.
Уравнения вибрационной конвекции, записанные как в общем виде, так и различных предельных случаях, а также подробную библиографию по вибрационной конвекции и результаты наиболее важных исследований можно найти в монографии [1].
1.1.3. Уравнения термоакустической конвекции
Приближения вибрационной конвекции накладывают ограничение сверху на частоту вибраций. В ситуациях, когда частота такова, что в жидкости возникает звуковая волна, необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Уравнения термоакустической конвекции, корректно описывающие различные механизмы осредненного взаимодействия акустического поля и тепловой конвекции, получены в работе [11]. При выводе данных уравнений предполагались выполненными следующие условия:
а «С/, <5 «С/, g
+- rotw x (и + S)
+ — 2
v J c2{ dt
V(7 = -VII + 77AM + <7g,
^ + (u + S)Va = -p/3zAT-^-Dv, divw = 0,
dt Cp
2&
= с2АФ .
Здесь Ф — потенциал пульсационной компоненты скорости, и — средняя скорость движения жидкости, Т - ее температура, а — отклонение энтропии жидкости от равновесного значения, П - перенормированное давление, Dy —
диссипативная функция, вычисленная по пульсационному полю скорости, р - средняя плотность, g - ускорение свободного падения, г\ — коэффициент динамической вязкости, у-Ср/Су - отношение теплоємкостей при
постоянном давлении и постоянном объеме. Чертой сверху означена операция осреднения по периоду акустических колебаний. Все параметры жидкости считаются постоянными.
Уравнения содержат вектор пульсационного транспорта, S, называемый иногда вектором Стокса. Осредненные уравнения гидродинамики с учетом пульсационного транспорта были впервые выведены Лонге-
Хиггинсом. Вектор S вводится следующим образом: S = (/V)w, где вектор
/ - пульсационное смещение: w=df/dt, f = 0. При этом v=m + S
является средней лагранжевой скоростью жидкости [11].
В работе [11] также получена система уравнений «слабой» акустической конвекции, показано, что акустическими эффектами можно пренебречь при h/Л <: рв (а не h/Я <: 1, как предполагалось ранее).
Рассмотрен частный случай, когда пульсационное поле скорости имеет вид плоской волны: w=acojcosco(t-x/c),(j - орт оси х). В этом случае
уравнения термовибрационной конвекции существенно упрощаются, т.к. все средние величины, определяемые акустическим полем, пространственно
однородны. Действительно, w2=a2co2/2 = const, следовательно, слагаемое, содержащее этот член, имеет градиентный вид, а значит, лишь еще раз перенормирует давление. Вектор пульсационного транспорта в данном случае постоянен и направлен вдоль оси х. Также можно считать, что а = -р/Л, и пренебречь аэродинамическим нагревом (малые числа Маха),
что позволяет опустить диссипативное слагаемое в уравнении переноса тепла. В результате получим обычные уравнения тепловой конвекции в приближениях Буссинеска [12]:
dv 1
— + (vV)v = Vp + vAv+gjJTy,
dt p
+ (vV)T = #AT, divv=0,
где v - средняя лагранжева скорость, у - единичный вектор, направленный вертикально вверх, ар- еще раз перенормированное давление. Таким образом, в данном случае пульсационные поля не входят в уравнения для осредненных величин, влияние акустической волны заключается лишь в погранслойной генерации среднего течения.
Далее обсудим результаты некоторых исследований, близких по тематике к задачам, рассмотренным в диссертации.
1.1.4. Поведение деформируемого включения в вибрационном поле
Исследование колебаний капель и газовых пузырьков берет свое начало с известных работ Рэлея (Rayleigh, 1878). В дальнейшем различными авторами проводилось теоретическое и экспериментальное изучение поведения капель и пузырей в вибрационных полях. Рассмотрен широкий
диапазон частот - от сравнимых с собственными частотами колебаний формы включений до акустических.
Известно, что для сферического пузырька, заполненного достаточно разреженным газом, нижняя собственная частота колебаний объема мала по сравнению с характерными звуковыми частотами. Давление внутри пузырька пространственно однородно, его изменения во времени связаны с изменением объема адиабатическим законом. Эта, так называемая "дышащая" мода (breathing mode), была подробно исследована Рэлеем [16]. Получено нелинейное эволюционное уравнение для радиуса пузырька, определена частота малых колебаний. Для малых плотностей газа эта частота может быть сравнима с частотами колебания формы. В этом случае при изучении колебаний формы важно учитывать изменения объема газового пузырька. Подобные явления изучались в,работах Лонге-Хиггинса [17, 18], посвященных исследованию возбуждения звукового поля за счет колебаний формы газового пузырька. В работе [19] в сходных предположениях рассматривалось резонансное взаимодействие колебаний формы и "дышащей" моды.
Спектр частот собственных колебаний капли, взвешенной в жидкости другой плотности был получен Чандрасекаром [20]. Поведение полусферической капли, помещенной на твердую осциллирующую подложку изучено в работах [21,22]. Получены собственные частоты и декременты затухания колебаний полусферической капли (для осесимметричных мод); изучены линейные и нелинейные колебания капли, в частности, возникающие резонансные явления. Влияние инерции жидкости, окружающей каплю, изучено в работе [22]. В этой же работе рассмотрены неосесимметричные моды собственных колебаний.
В статье [23] изучены вынужденные колебания подвешенной на стержне капли. Учтена тяжесть и вязкость жидкости, используется метод конечных элементов. В качестве начальных условий используются статические условия. Изучены изменения формы и полей скорости, обнаружены хорошо заметные резонансные явления. Последовательно изучено влияние тяжести
(как положительной, так и отрицательной), нелинейности, размеров капли и ее равновесной формы. Обнаружены гистерезисные явления - скачкообразное изменение отклика при изменении частоты. Неоднозначная зависимость амплитуды колебаний от частоты получена в [24], с использованием метода продолжения по параметру. Данный эффект аналогичен классическому явлению гистерезиса амплитудно-частотной характеристики в первичном резонансе для уравнения Дюффинга [25].
В работе [26] исследована параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний формы почти сферической капли; показано, что для главных резонансов неустойчивость появляется при выполнении условия синхронизма со = Cln + Q,I+1, со — частота вибраций, Qn, QH+1 - частоты двух соседних
мод собственных колебаний. Такое условие резонанса связано с тем, что моды собственных колебаний взаимодействуют через трансляционную моду.
В работах [27, 28] рассмотрено поведение капли в акустическом поле, состоящим из двух компонент с близкими частотами. Комбинационная частота, равная разности частот двух компонент, оказывалась близка к собственным частотам низших мод колебаний капли, и в эксперименте [27] наблюдалось резонансное возбуждение квадрупольных колебаний капли на указанной комбинационной частоте. В теоретической работе [28] было показано, что эти колебания не являются параметрическими, порог возбуждения у них отсутствует. Таким образом, в данном случае речь идет о резонансе вынужденных колебаниях.
Под действием высокочастотных вибраций высокой интенсивности наблюдается резонансное возбуждение высших мод колебаний капли, что может приводить к атомизации капли: выбросу малых частей жидкости со свободной поверхности. Экспериментально атомизация капли, находящейся на осциллирующей твердой подложке, изучалась в работе [29]. На основе данных, полученных в ходе эксперимента, формулируется эмпирическая теория, в которой в систему вводится нелинейное трение. В работе [30]
проводится численное моделирование процесса атомизации в полной нелинейной вязкой постановке.
Другой интересной областью исследований жидкостей с поверхностью раздела является изучение динамики контактной линии. Движение линии контакта находится в противоречии с условиями вязкого прилипания жидкости и приводит к появлению сингулярностей (как показано в работе [31], сингулярности отсутствуют только для нулевого контактного угла). В силу этого, в непосредственной близости к движущейся контактной линии необходимо учитывать силы негидродинамической природы. Например, при растекании жидкости по твердой поверхности образуется прекурсивная пленка, в которой существенны короткодействующие ван-дер-ваальсовы силы взаимодействия жидкости с подложкой [32-34]. Ситуация коренным образом меняется при колебательном движении с высокой частотой. В этом случае вязкость существенна лишь в тонких пограничных слоях вблизи твердой поверхности и поверхности раздела. В соответствии с этим имеет смысл искать решение невязкой задачи вне пограничных слоев, учитывая динамику краевого угла с помощью эффективного граничного условия. Наиболее часто используется условие, предложенное Л.М.Хокингом [35]: скорость движения контактной линии пропорциональна отклонению краевого угла от его равновесного значения. Например, в работе [36] использовалось условие Л.М.Хокинга при описании собственных и вынужденных колебаний пузыря на твердой подложке. Показано, что зависимость скорости движения контактной линии от краевого угла приводит к взаимодействию колебаний формы и объема пузыря. Также в работе получен критерий необходимости учета сжимаемости пузыря.
При изучении поведения пузырька, находящегося на твердой подложке, в земных условиях, значительный интерес представляет явление отрыва. Условия, соответствующие отрыву пузырька, формулируются в различных работах. Во многих работах (см., например, [37]) считается, что пузырек отрывается, если рассчитанная по полному объему пузырька подъемная сила
превышает вертикальную составляющую силы натяжения в точке контакта. Другая модель отрыва предложена в [38]. Построена кривая равновесных состояний: вертикальный размер пузырька в зависимости от его объема. Обнаружено, что указанная кривая является неоднозначной: одному значению объема соответствуют две различных формы пузырька, одна из которых устойчива, другая (с образованием шейки вблизи линии контакта) — нет. Предполагается, что отрыв происходит в точке касательной бифуркации при критическом значении объема, для которого устойчивое и неустойчивое решения совпадают. В ходе экспериментального исследования, проведенного в этой же работе, обнаружено достаточно хорошее согласие с экспериментом.
Осредненная форма капли, окруженной осциллирующей жидкостью иной плотности, изучена в работе [39] при малых скоростях вибраций и в [40] для конечной интенсивности вибраций. В [39] сформулирован вариационный принцип, позволяющий определить осредненную форму поверхности: состоянию квазиравновесия соответствует минимум некоторого функционала. Показано, что капля сплющивается вдоль оси вибраций, ее форма достаточно хорошо описывается сплюснутым эллипсоидом вращения. Примеры эффективного применения вариационного принципа к задачам определения равновесной формы свободной поверхности в отсутствие вибраций можно также найти в [41]. Осредненная форма капли, помещенной на осциллирующую твердую подложку, ранее не рассматривалась.
В работе [42] проведено численное моделирование движения капли в вибрационном поле. Рассматривается невязкая несжимаемая капля, окруженная невязкой, но сжимаемой средой (газом). Рассмотрены колебания формы и поступательное движение капли, а также эффекты, связанные с их взаимодействием. При малых отклонениях формы капли от сферической, динамика аксиально-симметричной капли описана с помощью сферических гармонических функций (полиномов Лежандра). В случае конечных отклонений поверхности, динамика капли исследовалась с помощью метода граничных
элементов. Показано, что в определенной области параметров существует устойчивая равновесная форма капли. Данная форма была вычислена с помощью введения в систему искусственной диссипации энергии. Определены верхний и нижний пределы интенсивности акустического поля, при котором возможна левитация капли. Изучено взаимодействие между поступательным движением капли и колебаниями формы. Показано, что данные движения можно рассматривать отдельно друг от друга, вследствие значительной разности в скоростях данных процессов (период колебаний формы капли много больше периода трансляционного движения). Взаимодействие становится значительным, если начальные деформации поверхности капли велики. В данном случае, периоды колебаний формы капли и трансляционного движения одного порядка. В результате взаимодействия возбуждаются моды колебаний формы капли высоких порядков.
1.1.5. Выращивание кристаллов бесконтактным методом Бриджмена
Развитие современных технологий предъявляет все более высокие требования к качеству монокристаллов. Управляя течениями в расплаве в ходе выращивания кристалла, можно существенно влиять на качество получаемого монокристаллического материала.
В полупроводниковой микроэлектронике для получения монокристаллического материала широко применяется метод Бриджмена. При выращивании кристаллов этим методом исходное сырье помещается в герметичную ампулу и расплавляется, затем ампула медленно выводится из горячей зоны печи в более холодную, при этом на заостренном дне ампулы образуется кристалл-зародыш, из которого в ходе дальнейшего движения тигля формируется монокристалл.
Вибрационное воздействие является одним из перспективных способов управления процессом кристаллизации. Высокая эффективность использова-
ния аксиальных низкочастотных вибраций при выращивании кристаллов методом Бриджмена была продемонстрирована в экспериментах [43,44]. В работе [44] показано, что аксиальные вибрации твердого тела, погруженного в расплав уменьшают неоднородность распределения примеси по длине выращиваемого кристалла.
Исследование влияния низкочастотных вибраций круговой поляризации проводилось в [45]. Такие вибрации генерируют сильное течение, распространяющееся от свободной поверхности жидкости. Обнаружен большой градиент скорости, уменьшающийся от свободной поверхности. Полученный профиль скорости зависит от амплитуды и частоты вибраций, а также от диаметра тигля. В отсутствие протяжки (т.е. при нулевой скорости движения тигля) форма фронта кристаллизации зависит от частоты вибраций. Как только генерируемый вибрациями поток жидкости приближается к межфазной границе, вогнутость фронта уменьшается. В работе [46] найдены параметры вибраций, необходимые для предотвращения флуктуации фронта кристаллизации и уменьшения его искривления при скорости движения ампулы, большей 10 мм/час.
Результаты теоретических исследований влияния высокочастотных вибраций можно найти в [47, 48]. Показано, что вибрации являются эффективным средством уменьшения сегрегации примеси на фронте кристаллизации в процессе направленной кристаллизации вертикальным методом Бриджмена.
В последние десятилетия проводится большое количество экспериментов по выращиванию кристаллов методом Бриджмена в условиях микрогравитации. На начальном этапе исследования проводились с целью получить кристалл со значительно улучшенными свойствами. В настоящее время микрогравитация стала средством, позволяющим более подробно исследовать процессы, проходящие в ходе роста кристалла, с целью более подробно изучить фундаментальные процессы, проходящие при росте кристаллов.
Данные исследования должны помочь повысить качество кристаллов, выращиваемых в земных условиях.
В ходе экспериментов по выращиванию кристаллов методом Бриджме-на, проведенных в космосе в 70-х годах 20-го века, было обнаружено, что в процессе роста может наблюдаться отделение кристалла от стенки ампулы. При этом уменьшаются механические напряжения вблизи стенки ампулы, что положительно влияет на качество монокристалла. Установлено, что кристалл может расти без контакта со стенкой, даже если изначально расплав находился в закрытом контейнере и соприкасался со стенкой. В работах [49,50] проводится обзор результатов экспериментов. Описаны условия, при которых наблюдался бесконтактных рост кристаллов, анализируется зависимость качества кристаллов от условий роста и наличия контакта кристалла со стенкой ампулы.
Теоретическое исследование условий, обеспечивающих устойчивый рост кристалла без контакта со стенкой ампулы в Земных условиях и условиях микрогравитации, проведено в [51-54]. Для обеспечения отделения кристалла и предотвращения попадания расплава в зазор между ампулой и кристаллом в нижней части ампулы создается повышенное давление. В работе [51] проведен линейный анализ устойчивости роста кристалла на основе условия устойчивости, полученного в работе Татарченко [52]: рост кристалла устойчив, если кривизна мениска положительна на линии контакта трех фаз. Кривизна мениска определяется с помощью формулы Лапласа. Разработана методика, позволяющая определять величину давления, необходимого для обеспечения бесконтактного роста кристалла. Выращен кристалл GaSb, неравномерность поверхности которого близка к величинам, наблюдаемым в ходе экспериментов в космосе. При проведении эксперимента наибольшие трудности вызвало загрязнение поверхности мениска, что приводило к прекращению скольжения контактной линии вдоль стенки ампулы. В результате процесс роста становился неустойчивым. В работе [53] авторы используют новый метод для контроля давления газа в нижней части
ампулы, основанный на изменении температуры инертного газа. Разработанная методика позволяет изолировать инертный газ в ампуле и избежать возможного загрязнения контактной линии.
В работах [55, 56] проведены эксперименты по выращиванию кристаллов GeGa бесконтактным методом Бриджмена в ампулах, сделанных из различных материалов: кварца, кварца с графитовым и BN покрытием, а также pBN. Проведен анализ формы и устойчивость мениска при различных условиях эксперимента. В статье [55] особое внимание уделено изучению качества поверхности выращенного кристалла. Показано, что в тех частях кристалла, где процесс роста проходил без контакта со стенкой ампулы, искривления поверхности кристалла значительно уменьшаются. Данный эффект объясняется уменьшением радиальной компоненты градиента температуры при отделении кристалла от ампулы, что в свою очередь, снижает механические напряжение, возникающие вблизи поверхности кристаллизации.
1.1.6. Устойчивость адвективного течения в вибрационных полях
Адвективным течением называется конвективное течение, возникающее в плоском горизонтальном слое жидкости, находящимся между двумя твердыми стенками, на которых поддерживается продольный градиент температуры [57]. Особенность данного типа течений состоит в том, что скорость жидкости перпендикулярна подъемной силе. Интерес к изучению подобных течений связан с рядом геофизических приложений. В частности, адвективные течения могут наблюдаться в океане и мантии Земли, а также в атмосфере вследствие, к примеру, циркуляции Хэдли. Кроме того, такого рода течения возникают во многих технологических процессах, например, при выращивании кристаллов горизонтальным методом Бриджмена.
Адвективное течение имеет кубический профиль скорости (течение с таким же профилем формируется в вертикальном слое между нагретыми до разной температуры плоскостями). Распределение температуры описывается нечетным полиномом пятой степени. С теоретической точки зрения интерес к исследованию адвективного течения во многом обусловлен многообразием механизмов неустойчивости. Профиль скорости адвективного течения имеет точку перегиба, вблизи которой может развиваться гидродинамическая мода неустойчивости. Несмотря на то, что в любом вертикальном сечении температура на границах слоя одинакова, конвективное движение жидкости приводит к формированию потенциально неустойчивой вертикальной стратификации вблизи верхней и нижней границ слоя. Вследствие этого возможно возникновение рэлеевской моды неустойчивости. Задача исследования устойчивости адвективных течений не допускает преобразования Сквайра [58], т.е. не удается свести задачу о пространственных возмущениях к соответствующей плоской задаче.
Актуальность изучения устойчивости адвективных течений объясняется большим количеством технологических приложений данной задачи, которые обсуждаются в [59,60]. Плоскопараллельное течение (как для обеих твердых границ, так и для свободной верхней, на которой учитывается термокапиллярный эффект) получено в [57]. Задача линейной теории устойчивости адвективного течения рассматривалась многими авторами, подробный анализ работ проведен в [61].
В работе [62] изучалась устойчивость адвективного течения относительно плоских возмущений. Обнаружены две моды неустойчивости: при малых числах Прандтля наиболее опасны монотонные возмущения гидродинамического типа. Эта мода связана с возникновением вихрей на границе встречных потоков. Критическое число Грасгофа растет с увеличением числа Прандтля, т.к. при конечных Рг в центральной части слоя имеется устойчивая температурная стратификация, затрудняющая развитие неустойчивости. В гидродинамическом пределе (Рг = 0) критическое число Грасгофа совпада-
ет с точкой потери устойчивости изотермического течения с кубическим профилем. Волновое число наиболее опасных возмущений монотонно уменьшается с ростом числа Прандтля.
При умеренных и больших значениях числа Прандтля обнаружена рэ-леевская волновая мода неустойчивости. Данный тип неустойчивости связан с развитием конвективного движения в неустойчиво стратифицированных слоях вблизи твердых границ. С ростом Рг критическое число Грасгофа уменьшается. При больших Рг управляющим параметром задачи становится Ra = GrPr.
Задача устойчивости адвективного течения относительно спиральных возмущений (валов, с осями параллельными основному потоку) рассмотрена в [63]. Показано, что при любых значениях Рг спиральные возмущения оказываются опаснее плоских рэлеевских. Обнаружены две монотонные
МОДЫ НеуСТОЙЧИВОСТИ раЗЛИЧНОЙ ЧеТНОСТИ ОТНОСИТеЛЬНО СереДИНЫ СЛОЯ'.
Данные моды неустойчивости, как и плоская рэлеевская, связана с рэлеев-ским конвективным механизмом. Критические числа четной и нечетной мод близки. Спектр возмущений приводится в работе [64].
Собственные функции линейной задачи изучались в [65]. Для гидродинамической моды суммарное движение, возникающее вследствие неустойчивости, имеет вид системы неподвижных вихрей на границе встречных потоков. Плоские рэлеевские моды характеризуются возмущениями ячеистой структуры, практически полностью локализованными в верхней или нижней части слоя. Критические возмущения для данной моды вырождены по направлению распространения волны. Волна с отрицательной фазовой скоростью распространяется в верхнем потоке; нижний поток практически не возмущен. Для волны с положительной фазовой скоростью ситуация обратная. В широкой области чисел Прандтля размер конвективной ячейки порядка толщины неустойчиво стратифицированного слоя. Фазовая скорость волновых мод слабо зависит от числа Прандтля.
Для спиральной монотонной моды неустойчивости нечетные возмущения имеют структуру двух расположенных друг над другом вихрей с противоположным направлением циркуляции [65]. В случае же четного возмущения основные вихри имеют одинаковые направления циркуляции, а между ними образуется слабый согласующий вихрь противоположной циркуляции. Центры основных вихрей расположены в зонах неустойчивой стратификации.
В работе [66] обнаружена еще одна - спиральная колебательная мода неустойчивости. По своей физической природе она связана с возбуждением внутренних волн в слое устойчивой стратификации; волны распространяются в направлениях, перпендикулярных осям спиральных возмущений. Эта мода наиболее опасна в сравнительно узкой области чисел Прандтля от 0.14 до 0.45.
Таким образом, с ростом числа Прандтля наблюдается следующая картина: при Рг<0.14 наиболее опасны плоские монотонные возмущения, затем при 0.14 < Рг < 0.45 - спиральные колебательные, а при больших значениях числа Прандтля - спиральные монотонные.
Большое количество работ посвящено прямому численному моделированию адвективного течения: [67] (течение в бесконечном слое), [68,69] (в замкнутых полостях). В работе [67] с помощью метода сеток изучалась структура вторичных течений и характер ветвления решений вблизи порога устойчивости. Расчеты проведены для чисел Прандтля 0.1 и 1; моделировались гидродинамическая, релелеевская и спиральная монотонная моды неустойчивости. Расчеты подтвердили критические значения числа Грасгофа, найденные в линейной теории, а также форму критических возмущений. Вблизи минимумов нейтральных кривых происходит мягкое ответвление вторичного режима, причем его амплитуда вблизи порога растет с надкри-тичностью по корневому закону, а конвективная составляющая поперечного теплового потока — по линейному закону.
Устойчивость адвективного течения изучалась экспериментально в работе [70]. В качестве рабочей жидкости использовался спирт (Pr = 16.1). Экспериментальные результаты хорошо согласуются с выводами теорией: в диапазоне 54 < Gr < 72 развивалась неустойчивость относительно монотонных спиральных мод (теоретическое значение Gr= 55) с волновыми числами 2.9 < кт< 4.3 (теоретическое значение кт ~ 4).
В статье [71] положено начало изучению адвективного течения под действием вибраций. Рассмотрена структура плоскопараллельного течения для случаев продольных, вертикальных и поперечных (но горизонтальных) вибраций, теплопроводных и теплоизолированных границ. В случае продольных вибраций течение вытесняется к границам и ослабевает с ростом вибрационного числа Грасгофа. Вертикальные и поперечные вибрации качественно не меняют профили скорости и температуры адвективного течения.
Устойчивость адвективного течения при продольных и поперечных вибрациях изучена в [72,73], соответственно. Установлено, что продольные вибрации повышают порог устойчивости адвективного течения для всех чисел Прандтля, причем стабилизирующее влияние на разные моды неустойчивости оказывается неодинаковым. В результате при малых числах Прандтля неустойчивость, как и в отсутствие вибраций, связана с гидродинамическими возмущениями. С увеличением числа Прандтля гидродинамическую моду сменяет волновая спиральная и при больших значениях числа Прандтля наиболее опасной становится плоская тепловая мода, которая без вибраций не была наиболее опасной ни при каких значениях числа Прандтля.
В случае поперечных вибраций наблюдается стабилизация плоских рэ-леевских и гидродинамических возмущений. Спиральная монотонная мода возмущений также стабилизируется поперечными вибрациями, причем при больших числах Прандтля четная мода стабилизируется сильнее нечетной и становится менее опасной. Спиральная волновая мода неустойчивости стабилизируется слабо.
В статье [74] изучена структура плоскопараллельного виброконвективного течения в наклонном слое при продольном градиенте температуры и произвольной оси вибрации. Получены условия квазиравновесия, исследована устойчивость течения по отношению к плоским длинноволновым возмущениям. Показано, что при произвольном угле наклона оси вибраций (не продольные и не поперечные вибрации) осредненное течение возникает и в невесомости.
Влияние бегущей звуковой волны на устойчивость адвективного течения изучалось в работе [75]. Получен профиль комбинированного течения и изучена его устойчивость. Показано, что в зависимости от параметров задачи наиболее опасными являются плоские, спиральные или трехмерные возмущения. При слабом акустическом воздействии наиболее опасны плоские гидродинамические возмущения. По мере увеличения интенсивности акустического воздействия, кризис становится обусловленным трехмерными возмущениями. При достаточно сильном воздействии наиболее опасными являются спиральные монотонные возмущения. В этой области параметров наблюдается заметное понижение устойчивости течения. Проведен также слабо-нелинейный анализ задачи, получено дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию амплитудных функций. Позднее, при численном исследовании, этого амплитудного уравнения, было обнаружено, что для спиральной монотонной моды возможно жесткое возбуждение конвекции [76].
1.1.7. Волновые структуры на поверхности раздела двух несмешиваю-щихся жидкостей при горизонтальных вибрациях
Исследование линейной устойчивости поверхности раздела идеальных несмешивающихся жидкостей, движущихся параллельно плоской поверхности раздела, так, что относительная скорость содержит как постоянную, так и
периодическую составляющие, осуществлено в работе [77] для случая бесконечно глубоких слоев. Показано, что имеется два типа неустойчивости: неустойчивость типа неустойчивости Кельвина - Гельмгольца, возникающая при скорости колебаний, превосходящей некоторую пороговую величину, и параметрическая неустойчивость, возникающая безпороговым образом.
Образование квазистационарного волнового рельефа на поверхности раздела двух горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей под действием горизонтальных вибраций было экспериментально обнаружено в работе [78]. Теоретическое исследование этого явления на основе высокочастотного приближения (вязкой диссипацией пренебрегалось) в работах [79, 80] показало, что возникновение рельефа носит пороговый характер, а основным механизмом неустойчивости плоской поверхности раздела является неустойчивость Кельвина - Гельмгольца на границе раздела осциллирующих встречных потоков. Получено следующее выражение для нейтральной кривой:
Ь2= (рх+Рг?
thkh. (1.20)
IpiPiiPi-Pi? Здесь b — аш амплитуда скорости вибраций. Если глубина жидкости велика
(kh » 1), то критическая скорость вибраций вычисляется по формуле
ак + {р{-р2)^-к
ьг= (Л+Рі?
2Р\Р2(Р\-Рг? В этом случае функция Ь2(к) имеет минимум в точке
Ir 2_(Рі-Рг) S
Кт — '
а а минимальное значение критической амплитуды скорости вибраций
U 2 (Р\ +Р2У \ ( \ Iі/ 2
2р\Рг(Р\-рг) Волновой рельеф не может формироваться при толщинах слоев, меньших
некоторого значения. В этом случае неустойчивость носит длинноволновой
характер. Плоская поверхность жидкости при таких толщинах слоев будет неустойчива, если
~ 2Р\Рг(Р\- Pi)
Исследование в рамках линейной теории устойчивости при конечных частотах [81] показало, что параметрический резонанс, обусловленный перекачкой энергии пульсационного движения в капиллярно-гравитационные волны, для реальных ситуаций несущественен, так как порог его возбуждения оказался значительно выше порога возбуждения неустойчивости Кельвина - Гельмгольца.
В работе [82] экспериментально и численно обнаружено явление удвоения длины волны квазистационарного рельефа, происходящее при достаточно малых надкритичностях. Более подробно это явление исследовано в работе [83].
В экспериментах [84] было обнаружено формирование квазистационарного волнового рельефа на границе раздела однородная жидкость-взвесь твердых частиц в жидкости и было показано, что реализующиеся длины волн хорошо описываются линейной теорией для случая двух однородных жидкостей при нулевом коэффициенте поверхностного натяжения. Также было обнаружено, что кроме квазистационарного волнового рельефа могут существовать режимы с медленно дрейфующим рельефом.
Явления на поверхности раздела жидкость-взвесь были теоретически исследованы в работах [85, 86], где была построена осредненная теория с учетом взаимодействия между частицами взвеси и несущей жидкостью, включая силы Бассе, эффект присоединенных масс и силы Стокса. Было также показано, что наряду с монотонной неустойчивостью, приводящей к образованию стационарного рельефа, возможна колебательная неустойчивость, которая может привести к дрейфу рельефа или к возникновению стоячих волн. Возбуждение квазистационарных периодических структур на
поверхности раздела жидкость-взвесь под действием поступательных вибраций нелинейной поляризации исследовано в работе [86].
В работе [87] экспериментально исследовалось образование квазистационарных структур на поверхности раздела фаз для двухфазной системы С02 при температуре, близкой к термодинамической критической точке.
Определена зависимость критической длины волны от амплитуды скорости вибраций. В экспериментах, описанных в [88], исследовались условия возникновения волнового рельефа и надкритическая динамика системы, состоящей из двух жидкостей: силиконовое масло и охлаждающая жидкость GaldenHT135.
Надкритические режимы волнового рельефа к настоящему времени изучены слабо. Остается недостаточно исследованной устойчивость надкритических режимов не только при больших, но даже и при малых надкритичностях. Слабо изучена роль вязкости в возбуждении волнового рельефа, в частности, влияние вязкости на зависимость критической длины волны от амплитуды и частоты вибраций.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Исследование влияния высокочастотных поступательных вибраций на поведение неоднородных гидродинамических систем, с теоретической точки зрения, интересно вследствие разнообразия наблюдаемых эффектов. В частности, вибрации могут быть причиной появления новых устойчивых конфигураций деформируемых границ и поверхностей раздела. Примерами такого рода эффектов являются изменение средней формы деформируемого включения в пульсационном поле и формирование регулярных структур на границе раздела двух несмешиваю-щихся жидкостей при горизонтальных вибрациях. Исследование осредненно-го влияния периодического воздействия актуально и с практической точки зрения. Во многих технических процессах вибрации часто являются трудноустранимым сопутствующим явлением, и возникает необходимость исследовать эффекты, которые они вызывают. В тоже время вибрации являются одним из перспективных способов управления течениями, сочетающим в себе сравнительную простоту реализации и низкоэнергетич-ность. Так, контролируемые вибрации могут быть использованы для управления течениями, а, следовательно, и тепломассопереносом, в ходе процесса выращивания кристаллов методом Бриджмена.
Исследования, вошедшие в диссертацию, проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (04-01-00422-а, 06-01-00693-а, 07-01-00695-а), Научно-образовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах» (РЕ 009-0), программы поддержки Ведущих научных школ (НШ-1981.2003.1), программы «Михаил Ломоносов» 07/08.
Целью работы является исследование влияния поступательных вибраций на неоднородные гидродинамические системы; изучение характеристик пульсационного поведения, влияния вибраций на среднюю форму деформи-
руемых границ и поверхностей раздела, генерацию осредненных течений и их устойчивость.
Научная новизна работы.
Впервые исследовано поведение полусферической капли на подложке, совершающей нормальные колебания акустической частоты.
Исследовано влияние высокочастотных вибраций на среднюю форму капли, помещенной на твердую подложку.
Проведено численное моделирование космического эксперимента по выращиванию кристаллов бесконтактным методом Бриджмена.
На основе метода сквозного счета с использованием технологий параллельного программирования и адаптивной сетки разработан эффективный алгоритм численного исследования систем двух несмешивающихся жидкостей в инерционных полях.
Впервые проведено прямое численное моделирование волнового рельефа, формирующегося на границе раздела двух жидкостей с сильно различающимися вязкостями при горизонтальных вибрациях.
Автор защищает:
результаты исследования поведения капли жидкости на твердой подложке, совершающей высокочастотные нормальные вибрации;
результаты численного моделирования гидродинамики расплава при выращивании кристаллов бесконтактным методом Бриджмена;
результаты слабо-нелинейного анализа устойчивости по отношению к спиральным возмущениям и прямого численного моделирования термоакустического адвективного течения;
результаты численного моделирования волнового рельефа, формирующегося на горизонтальной границе раздела двух жидкостей с сильно различающимися коэффициентами вязкости.
Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; соответствием численных и аналитических результатов в предельных случаях и с результатами других авторов в тех случаях, где возможно сравнение.
Практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть полезны при разработке новых методов управления течениями расплава в ходе выращивания кристаллов методом Бриджмена. Разработанный в ходе выполнения диссертации новый алгоритм численного моделирования динамики системы двух жидкостей может быть использован при исследовании других эффектов в двухфазных средах. Исследование поведения капель и слоев в вибрационном поле важно для многих технологических приложений, например, для задач смазки, управления теплоотводом с поверхностей, проблем микроэлектроники.
Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: 11-я Всероссийская конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 2002; Конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2002, 2003, 2004, 2005, 2006); International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, 2003; Областная научно-практическая конференция молодых ученых и студентов "Молодежная наука Прикамья - 2004", Пермь, 2004; Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая), Пермь, 2005; XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", Saint-Petersburg (Repino), 2006; Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», Бийск, 2008; Всероссийская конференция молодых ученых
«Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2008; семинар Кристаллографического института Фрайбургского ун-та, Фрайбург, Германия, 2008; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, ПТУ, Пермь, 2008.
Публикации. Основные материалы диссертации изложены в работах [110-126], одна из которых опубликована в издании, входящем в список ВАК. Работы [110-118] выполнены диссертантом лично. В [120-125] автор проводил вычисления и участвовал в обсуждении результатов. В работах [119, 126] исследование и обработка результатов проведены диссертантом, анализ осуществлен совместно с соавторами.
Колебания полусферической капли в акустическом поле
Рассмотрим предельный случай малых амплитуд вибрационной скорости при конечных значениях сил поверхностного натяжения, т.е. ситуацию, когда Q 1. Очевидно, что малость амплитуды вибрационной скорости не означает малость частот, и условия (1.1), (1.2) могут быть выполнены. При малом значении вибрационного параметра, квазиравновесная форма капли определяется поверхностным натяжением, как видно из (1.37), ее поверхность является сегментом сферы. Будем считать, что равновесный краевой угол прямой, в этом случае средняя форма капли является полусферой. Уравнение поверхности капли (1.9) запишется в виде Здесь и далее используются сферические координаты г,9,ф, начало координат помещено в равновесный центр капли. Проанализируем сначала собственные звуковые колебания полусферической капли, т.е. колебания, происходящие в отсутствие переменных внешних сил и обусловленные сжимаемостью жидкости и поверхностным натяжением. Отбрасывая в уравнении (1.21) и граничных условиях (1.20) слагаемые, описывающие влияние колебаний подложки (и опуская тильды над амплитудами пульсационных полей), получим задачу о собственных звуковых колебаний полусферической капли: где к - искомая собственная частота, As = 8 1 199/9.9(8 1 9/919) - угловая часть оператора Лапласа. Осесимметричное ограниченное в начале координат решение уравнения (1.70), удовлетворяющее граничным условиям на твердой поверхности, имеет вид: где j2n{kr) - сферические функции Бесселя первого рода, P2n(cos3) — полиномы Лежандра четного порядка. Заметим, что произвольный член ряда (1.73) является собственной функцией задачи и может рассматриваться отдельно. Условие на свободной границе дает дисперсионное соотношение: Здесь штрихом обозначена производная по аргументу. Проанализируем это условие при малых значениях р. Для конечных значений меридионального числа п второе слагаемое можно отбросить. В результате получаем уравнение, определяющее собственные частоты акустической моды: Для решения, не зависящего от угла & (п = 0), функция Бесселя имеет вид jQ(x) = s mx/x. Собственные частоты, соответствующие данной моде, равны корням уравнения sin л: = 0. По известному решению для потенциала скорости, используя граничное условие (1.20), легко найти пульсационное отклонение поверхности от ее среднего положения.
Вычисление решения (1.78) проводилось с помощью математического пакета Maple. Ряд (1.78) заменялся рядом с конечным верхним пределом N. При этом N должно быть достаточно велико, т.к. ряд (1.78) вблизи вершины капли (# = 0) знакопеременный, и, несмотря на то, что он сходится, абсолютные величины слагаемых уменьшаются медленно. Сравнение результатов, полученных для различных значений N, показывает, что необходимо вычислять не менее 40 слагаемых, чтобы обеспечить точность порядка 3 %. Расчеты проводились при N = 50. Ввиду необходимости вычислений сферических функций Бесселя высокого порядка расчеты проводились с количеством значащих цифр, равным шестидесяти. Для тестирования алгоритма суммирования рядов (1.78) результаты вычислений сравнивались с решением, полученным в пределе малых к. При низких частотах вибраций подложки решение задачи (1.21), (1.20) можно искать в виде разложений по малому параметру к2: В нулевом порядке получим задачу о колебаниях капли несжимаемой жидкости, рассмотренную в [21]: Здесь введен новый безразмерный параметр, равный квадрату отношения, собственной частоты колебаний формы к частоте колебаний подложки, Р = РIк2 = a/(pQR3a 2). Очевидно, что в случае слабосжимаемой жидкости /3 должен быть конечен. Решение (1.85)-(1.87), удовлетворяющее уравнению Лапласа, запишем в виде р0= Апг2пР Рост амплитуды колебаний слабосжимаемой капли при увеличении к происходит по квадратичному закону. На рис. 1.2 приведена зависимость амплитуды колебаний объема капли от частоты вибраций подложки. Формула (1.94) хорошо описывает отклонение поверхности при к 0.6. Таким образом, вычисления, проведенные при малом значении параметра к, хорошо согласуются с результатами, полученными в пределе слабосжимаемой жидкости. Начнем изучение пульсационного движения капли с анализа ситуации, когда частота колебаний подложки велика по сравнению с первыми собственными частотами колебаний формы капли: со2 » a/(pR3) (/?«;1). В этом случае влиянием поверхностного натяжения можно пренебречь.
Условие баланса нормальных напряжений (1.20) на свободной поверхности запишется просто: На рис. 1.5 изображены максимальные по периоду колебаний отклонения поверхности капли при безразмерной амплитуде вибраций 0.02. Штрихпунктирная линия соответствует моменту времени, когда подложка находится в верхнем і положении, сплошная линия показывает форму капли через полпериода колебаний. Вблизи контактной линии отклонение поверхности и, соответственно, нормальная компонента скорости пульсационного течения стремятся к бесконечности, т.е. ряд (1.97) расходится. Этот результат объясняется несогласованностью граничных условий: на свободной поверхности потенциал скорости линейно возрастает с увеличением нормальной к подложке координаты, а на основании капли нормальная производная потенциала равна нулю, т.е. на линии контакта дср/dS терпит разрыв. Однако, можно показать, что в пределе г — 1, # —» я" /2 пульсационное отклонение поверхности равно Таким образом, вблизи контактной линии особенность для отклонения поверхности / логарифмическая, т.е. интегрируемая. Следует также отметить, что потенциал скорости всегда остается конечным. 1.2.4. Вынужденные колебания капли с учетом поверхностного натяжения жидкости Рассмотрим случай, когда частота колебаний подложки сравнима с частотами собственных колебаний формы капли со1 а урЯЛ. При таких частотах поверхностное натяжение будет играть важную роль. Однако, как уже отмечалось ранее, для большинства жидкостей значение параметра /? мало, поэтому, будем считать, что коэффициент J3 мал, но конечен: Полученные в результате вычислений формы капли показаны на рис. 1.6. Отклонения поверхности соответствуют моментам времени, когда подложка находится в верхнем и нижнем положениях. Учет поверхностного натяжения приводит к появлению дополнительного набора собственных частот колебаний формы капли. При этом резонансным образом могут возбуждаться высокие моды колебаний формы капли.
Влияние вибраций на среднюю форму капли в квазиравновесии
В соответствие с вариационным принципом (1.67) в квазиравновесии функционал равный полной энергии минимален [2]. В1 данном случае функционал равен сумме кинетической энергии пульсационного движения (Г.56) и поверхностной энергии, пропорциональной площади свободной поверхности. Функционал не содержит потенциальной энергии пульсационного движения, т.к. в ходе решения пульсационной задачи предполагалось, что жидкость несжимаема. В полной энергии отсутствует также слагаемое, пропорциональное площади контакта жидкости, с подложкой. Это означает, что коэффициенты поверхностного натяжения на границах подложка-жидкость и подложка-газ совпадают (в отсутствие вибраций это приводит к полусферической форме капли). Интеграл по объему в (1.56) можно преобразовать в интеграл по свободной поверхности, записывая кинетическую энергию пульсационного движения в следующем виде: Средняя поверхность капли задавалась в виде Такое разложение обеспечивают гладкость поверхности капли на вершине. В результате, функционал энергии (1.68) определялся значениями коэффициентов с. Минимизация функционала энергии проводилась с помощью процедуры NOONF, входящей в библиотеку IMSL 77. Данная процедура использует метод последовательного квадратичного программирования для нахождения абсолютного минимума функции на заданном интервале, причем на функцию могут быть наложены нелинейные ограничения [98]. Таким ограничением в рассматриваемой задаче является требование постоянства объема капли. В ходе вычислений объем капли поддерживался равным объему полусферы единичного радиуса. Тестовые расчеты показали, что даже небольшого числа членов разложения (1.133) достаточно для описания формы капли. Вычисления проводились при N = 10. При малых значениях вибрационного параметра результаты, полученные с помощью вариационного принципа, хорошо согласуются с решением в пределе Q 1 (рис. 1.14). При увеличении вибрационного параметра характер изменения осред-ненной формы капли существенно не изменяется, площадь основания капли увеличивается, высота капли уменьшается. На рис. 1.15 изображена осредненная поверхность капли в состоянии квазиравновесия при конечных значениях вибрационного параметра. Следует отметить, что вибрации изменяют квазиравновесный контактный угол. При увеличении вибрационного параметра в динамическом условии (1.37) вблизи контактной линии основную роль играет слагаемое Q{V пср) , что приводит к уменьшению квазиравновесного контактного угла. В главе изучено влияние высокочастотных и акустических вибраций на форму капли, помещенной на осциллирующую твердую подложку.
Вследствие значительной разницы в характерных временах поля скорости, плотности и давления разделены на осредненные и пульсационные части. Получены уравнения и сформулированы граничные условия для задачи пульсационного и осредненного движения сжимаемой капли. Получен вариационный принцип для сред, в которых важна сжимаемость жидкости. Показано, что с течением времени функционал энергии уменьшается и достигает минимума в состоянии квазиравновесия. Показано, что для капли, близкой к полусферической, решение пульса-ционной задачи может быть найдено аналитически в виде рядов по полиномам Лежандра. Получены частоты собственных звуковых колебаний полусферической осесимметричной капли. Обнаружены резонансы акустической моды колебаний капли: Вычисления показали, что вблизи контактной линии пульсационные отклонения поверхности стремятся к бесконечности. Несмотря на это потенциал пульсационной скорости всегда конечен. Получено решение пульсационной задачи с учетом поверхностного натяжения жидкости. Показано, что при наличии поверхностных сил отклонения поверхности ограничены. В данном случае вблизи поверхности капли появляются мелкомасштабные течения, резонансным образом возбуждаются высокие моды колебаний формы капли. Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях полусферической капли в пределе слабосжимаемой жидкости. Показано, что рост амплитуды колебаний при увеличении к происходит по квадратичному закону, что хорошо согласуются с решением пульсационной задачи при малом значении параметра к. Изучено влияние вибраций на квазиравновесную форму капли при малом значении вибрационного параметра. Предполагалось, что поверхность капли в отсутствие вибраций полусферическая. Вычисления показали, что под воздействием вибраций высота капли уменьшается, а площадь основания увеличивается. При этом деформация поверхности меняется пропорционально вибрационному параметру. При конечных значениях вибрационного параметра квазиравновесная форма может значительно отличаться от сферической. В данном случае пульсационная задача решалась численно методом граничных элементов. При этом для простоты жидкость считалась несжимаемой. Для определения осредненной формы капли в случае конечных значений вибрационного параметра использован вариационный принцип. Полученные результаты хорошо согласуются с решением в пределе малых значений вибрационного параметра.
При увеличении вибрационного параметра характер изменения осредненной формы капли существенно не изменяется: площадь основания капли увеличиваться, высоты уменьшается. При увеличении вибрационного параметра средний контактный угол уменьшается. Метод Бриджмена широко применяется в полупроводниковой микроэлектронике для получения монокристаллического материала. При выращивании кристаллов методом Бриджмена исходное сырье помещается в герметичную ампулу и расплавляется, затем ампула медленно выводится из горячей зоны печи в более холодную, при этом на заостренном дне ампулы образуется кристалл-зародыш, из которого в ходе дальнейшего движения тигля формируется монокристалл. Развитие современных технологий предъявляет все более высокие требования к качеству монокристаллов. Управляя течениями в расплаве в ходе выращивания кристалла, можно существенно влиять на качество получаемого монокристаллического материала. Одним из наиболее перспективных способов управления процессом кристаллизации является вибрационное воздействие. Предполагается, что вибрации кристалла позволят уменьшить механические напряжения между кристаллом и стенкой ампулы и создадут благоприятные условия для уменьшения плотности дислокаций в растущем кристалле. Настоящая глава диссертации посвящена изучению течений, возникающих в ходе выращивания кристалла германия бесконтактным методом Бриджмена под действием аксиальных вибраций кристалла. Исследование связано с экспериментом, проведенным в 2007 г. на спутнике ФОТОН Конструкторским бюро общего машиностроения. В соответствии с условиями эксперимента математическая модель процесса выращивания кристаллов должна учитывать отделение кристалла от стенки ампулы и существование дополнительного (технологического) канала в верхней части ампулы (рис. 2.1). Размер мениска вблизи поверхности кристалл-расплав мал (80-100 мкм), при этом поверхностные силы не дают расплаву проникать в область между стенкой ампулы и кристаллом. Предполагалось, что часть технологического канала заполнена расплавом, верхняя граница расплава свободна. Кристалл совершает аксиальные вибрации по закону: г =r0 + ау s m(cot), где у - единичный вектор, направленный вдоль оси z. Объемными силами, возникающими вследствие микрогравитации, можно пренебречь, так как микрогравитационные ускорения ампулы много меньше (порядка 10"6м/с2) вибрационных ускорений кристалла.
Влияние параметров ампулы и интенсивности вибраций на течения в расплаве
Проведенные расчеты показывают, что значительный вклад в среднее течение дает генерация завихренности в вязких пограничных слоях около стенок ампулы. Вследствие этого представляется актуальной задачей исследование среднего течения, возникающего в ампулах разной геометрии. Рассмотрим течения расплава в ампуле со сглаженным углом между верхней стенкой ампулы и технологическим каналом. Сглаживание производилось путем срезания части стенки ампулы под углом 45 градусов к вертикали. Размер среза характеризуется безразмерной высотой среза Hs. Остальные параметры задачи в данной серии расчетов не изменялись. Рис. 2.13 иллюстрирует влияние сглаживания угла на пульсационное течение. Как видно, пульсационное поле качественно не меняется при таких изменениях геометрии ампулы. Поля средних течений приведены на рис. 2.14. Сглаживание угла между верхней стенкой ампулы и технологическим каналом приводит к появлению одного или нескольких дополнительных вихрей вблизи угла. В результате интенсивность основного вихря, появляющегося вследствие поверхностно-волновой генерации среднего течения вблизи свободной верхней поверхности, немного уменьшается. Структура и интенсивность среднего течения вблизи мениска при этом практически не меняются. Проведено исследование среднего течения в случае уменьшенного в два раза радиуса технологического канала (R{ = 0.1 см). Уменьшение І?, приводит к сдвигу частот собственных колебаний, первый резонанс наблюдается при частоте вибраций 550 Гц (рис. 2.15). Как и в случае /?, =0.2 см, при переходе через резонанс фаза колебаний верхней поверхности изменяется на ж, что обуславливает резкое изменение амплитуды колебаний свободной поверхности вблизи кристалла. В рассмотренном ранее случае Rx = 0.2 см площадь свободной поверхности в технологическом канале велика по сравнению с площадью поверхности в зазоре между кристаллом и стенкой ампулы. Поэтому изменения амплитуды колебаний поверхности в зоне отрыва кристалла практически не оказывали влияние на пульсационное течение в технологическом канале. В случае Rx=0.l см с ростом частоты вибраций амплитуда колебаний поверхности мениска возрастает, что приводит к уменьшению амплитуды колебаний свободной поверхности в технологическом канале (рис. 2.18). Уменьшение радиуса технологического канала приводит к возрастанию интенсивности пульсационного течения вблизи свободной поверхности канала.
В результате при /?,=0.1 см, интенсивность среднего течения довольно велика даже при малых частотах вибраций. Функция тока среднего течения при различных частотах вибраций приведена на рис. 2.19. Как видно, с ростом частоты колебаний кристалла интенсивность вихря, генерируемого в технологическом канале, меняется не очень сильно, а среднее течение вблизи мениска становится более интенсивным. На рис. 2.20-2.22 представлены численные результаты, иллюстрирующие зависимость интенсивности и структуры среднего течения от амплитуды вибраций, рис. 2.20-2.21 соответствуют случаю широкого технологического канала (Rx =0.2 см), на рис. 2.22 показаны результаты для узкого канала (/?,=0.1 см). Как видно, уменьшение амплитуды вибраций приводит к снижению интенсивности среднего течения. Например, в случае Rx = 0.2 см при амплитуде вибраций 5 мкм вихрь, генерируемый в технологическом канале, не достигает дна ампулы даже при частотах, близких к резонансной. Проведено численное моделирование течений, возникающих в ходе выращивания кристалла германия бесконтактным методом Бриджмена под действием аксиальных вибраций кристалла. Изучено влияние частоты и амплитуды вибраций на интенсивность и структуру течений в расплаве. Исследование связано с экспериментом, проведенным в 2007 г. на спутнике ФОТОН Конструкторским бюро общего машиностроения. Вибрации кристалла приводят к возбуждению колебаний свободной поверхности в верхнем технологическом канале и в зазоре между кристаллом и стенкой ампулы. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний свободной поверхности в технологическом канале от частоты вибраций показывает наличие резонансов в системе. Для значений параметров, использованных при вычислениях, первый резонанс наблюдается при частоте 190 Гц, частота второго резонанса близка к 400 Гц. При переходе через резонанс фаза колебаний свободной поверхности в технологическом канале меняется на к. Амплитуда колебаний свободной поверхности вблизи мениска возрастает при увеличении частоты вибраций. Пульсационное течение расплава пространственно неоднородно, поэтому приводит к генерации осредненного течения в пограничных слоях вблизи свободных поверхностей и твердых стенок. Генерация особенно сильная в верхнем технологическом канале, где высоки градиенты пульсаци-онной скорости. Вследствие этого среднее течение сконцентрировано в верхней части ампулы. При малой интенсивности вибраций течение генерируется благодаря конвекции Марангони. В частности, среднее течение около кристалла имеет форму локализованного вблизи мениска вихря. При увеличении интенсивности вибраций, вследствие развития термовибрационной конвекции, становится заметным вихрь, охватывающий всю нижнюю часть расплава. Структура среднего течения вблизи резонанса определяется шлихтин-говской генерацией. Интенсивность верхнего вихря сильно возрастает, и он может достичь нижней границы ампулы. В интервале частот 250-350 Гц наблюдается минимум интенсивности среднего течения в верхней части ампулы. Интенсивность среднего течения вблизи кристалла возрастает с увеличением частоты или амплитуды вибраций Уменьшение амплитуды вибраций приводит к снижению интенсивности среднего течения, структура течения при этом качественно остается такой же.
Исследовалось также влияние формы верхней части ампулы на генерацию среднего течения. Вычисления показали, что сглаживание угла между технологическим каналом и верхней стенкой ампулы приводит к уменьшению интенсивности среднего течения. Уменьшение радиуса технологического канала приводит с смещению резонансных частот. В частности при R{ =0.1 см первый резонанс наблюдается при частоте вибраций 550 Гц. При уменьшении радиуса канала интенсивность пульсационного течения в верхней части ампулы возрастает, вследствие этого среднее течение также усиливается. В данной главе диссертации исследуется влияние бегущей звуковой волны на конвективное течение в горизонтальном слое, на границах которого поддерживается линейное распределение температуры. Интерес к изучению подобных течений связан с рядом геофизических и технологических приложений. К ним относятся, в частности, атмосферная циркуляция Хэдли, некоторые типы движения в океане, коре и мантии Земли, движение расплава в установках для получения кристаллов. Для многих технических приложений особенно важна задача управления устойчивостью адвективных течений, поскольку потеря устойчивости обычно приводит к резкому изменению характера течения. Линейная задача устойчивости адвективного течения рассматривалась многими авторами, подробный анализ работ можно найти в [12]. В частности, известно, что при больших и умеренных числах Прандтля важную роль играют монотонные трехмерные возмущения типа продольных валов (спиральная мода). Конвективные валы локализованы в пристеночных областях, где жидкость стратифицирована неустойчиво. Влияние бегущей звуковой волны на устойчивость адвективного течения изучалось в работе [75]. Получен профиль комбинированного течения и изучена его устойчивость; показано, что в зависимости от параметров задачи наиболее опасными являются бегущие плоские возмущения, стационарные продольные валы и наклонные волны. Проведен также слабо-нелинейный анализ задачи, получено дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию амплитудных функций. Позднее, при численном исследовании этого амплитудного уравнения, было обнаружено, что для спиральной монотонной моды возможно жесткое возбуждение конвекции [76]. Этим фактом и вызван интерес к более подробному исследованию вторичного течения в виде продольных валов.
Описание численных методов решения и результаты вычислений
Численный метод решения однородных задач основан на идее ортогонализации линейно независимых решений при численном интегрировании уравнений. В практике конвективных исследований этот способ впервые применили Р.В. Бирих и Р.Н. Рудаков в ходе исследования устойчивости плоскопараллельного течения между вертикальными плоскостями, нагретыми до разных температур [89, 90]. Необходимость процедуры ортогонализа- ции связана с наличием малых параметров (Юг) и (ЮгРг) при старших производных. В ходе интегрирования среди решений появляются осциллирующие и быстро растущие. При этом теряется линейная независимость частных решений [89]. Обозначая амплитуды возмущений функции тока, проекции скорости и температуры через со1 можно переписать систему (3.28) в виде В рассматриваемой задаче щ-щ, co2=vl, сог-л\ х, а 4=3{, соъ-и[, а 6 = v,, со1- рх, 0)% = 3Х . Граничные условия на левой границе слоя определяют начальные значения для четырех из восьми функций со1 . Остальные четыре функции могут задаваться произвольно, что позволяет построить четыре линейно независимых решений системы (3.65) со\к) (здесь к - номер частного решения). Начальные значения произвольно задаваемых функции сук (/ = 5,...,8) в разных решениях выбираются как компоненты четырех взаимно ортогональных векторов: где St . - символ Кронекера. В процессе интегрирования начальные направления этих векторов восстанавливаются дополнительным линейным преобразованием решений [89]. Пусть после некоторого шага интегрирования получены частные реше- ния а ,(1), в ?\ со?\ fljf4 (/ = 1,...,8). Построим четыре линейных комбинации этих решений: Потребуєм, чтобы преобразованные функции &\к (/ = 5,...,8) были такими же, как и в начале интегрирования, т.е. удовлетворяли уравнениям (3.66). Получаем систему из 16 линейных уравнений для величин а1к. С помощью вычисленных коэффициентов по формулам (3.67) можно определить остальные компоненты частных решений. Полученные значения функций со; (/ = 1,...,8) принимаются в качестве начальных условий для следующего шага интегрирования. Производимые при ортогонализации линейные преобразования позволяют сохранить линейную независимость решений во всей области интегрирования.
При этом меняется вклад каждого частного решения в общее решение. Это не отражается на собственных значениях спектральной задачи, но требует проведения восстановительных операций для построения собственных функций [90]. Собственные функции рассматриваемой краевой задачи находятся как линейная комбинация частных решений: Для построения собственных функций по данной формуле необходимо провести над ортогонализованными решениями обратные преобразования. На некотором шаге интегрирования т выражение (3.68) приобретает вид где Ат- ... А2А1 - матрицы, составленные из коэффициентов alk. Для вычисления собственных значений и собственных функций написана программа на языке Fortran 90. Алгоритм программы построен согласно рекомендациям, сделанным в [90]. Сначала определяется собственные значения краевой задачи. Затем система дифференциальных уравнений интегрируется повторно. После каждой процедуры ортогонализации вычисляется матрица Вт = АтВт_{, (В0).. = Sjj с помощью которой могут быть вычислены восстановленные базисные решения Коэффициенты ск в формуле (3.68) находились из условий на правой границе: Получаем систему однородных алгебраических уравнений для ск: Определитель данной системы всегда равен нулю, следовательно, значение одного из коэффициентов произвольно. Этим объясняется невозможность определения амплитуды течения в первом порядке. После вычисления остальных коэффициентов в точках ортогонализации определяются собственные функции Wt. Необходимое для сходимости метода количество точек ортогонализации определялось опытным путем. Оказалось, что необходимо порядка 300 точек ортогонализации. Для повышения точности определения собственных функций расчеты проведены при количестве точек ортогонализации, равном 500. Для нахождения обратных матриц, умножения матриц, решения систем линейных уравнений и вычисления определителя матрицы использованы функции библиотеки IMSL Fortran 90 MP версии 4.0. Интегрирование осуществляется методом Рунге-Кутта 4-5 порядка точности. При нахождении собственных значений критические числа Грасгофа определялись с помощью метода одномерных секущих, а соответствующие волновые числа наиболее опасных возмущений вычислялись поиском минимума функции Gr(Ar), используя метод парабол. В результате расчетов определены собственные числа линейной задачи устойчивости и собственные функции линейной и сопряженной задач. Собственные числа с хорошей степенью точности совпали с критическими числами, определенными в работе [75]. Построены кривые устойчивости, отражающие зависимость критического числа Грасгофа от числа Рейнольдса (рис. 3.4). Из графиков видно, что акустическое воздействие значительно снижает границу устойчивости плоскопараллельного течения. Собственные функции линейной задачи также хорошо согласуются с видом вторичного течения, полученным в [75]. Акустическое воздействие приводит к существенному изменению надкритических режимов. В частности, подавляется вторичное течение в нижней части слоя. Более подробное исследование влияния акустического воздействия на вторичное течение проведено в ходе прямого численного моделирования. Для нахождения собственных функций неоднородных задач второго порядка (3.42), (3.45), (3.47) удобно представить ее решение в виде суперпозиции общего решения однородной задачи и частного решения неоднород-ной: где щ\со)\со)\со) - частные решения однородной задачи, щ- частное решение неоднородной задачи. Метод нахождения общего решения однородной задачи рассмотрен ранее.
При вычислении частного решения неоднородных задач в качестве начальных условий может использоваться вектор, все компоненты которого равны нулю. Однако, в ходе интегрирования может значительно увеличиться проекция частного решения на быстро растущее собственное решение, вследствие чего возрастает погрешность определения собственных функций. Этот эффект можно устранить следующим способом. Как известно, к частному решению неоднородной задачи можно добавить любую линейную комбинацию частных решений однородной задачи. В ходе интегрирования производится преобразование частного решения в точках ортогонализации: Коэффициенты bt подбираются таким образом, чтобы в преобразованном частном решении функции соч5, а 1, со , col были такими же, как и в начале интегрирования, т.е. нулевыми. Для восстановления частного решения производится преобразование обратное (3.74). При этом необходимо учитывать, что частные решения однородной задачи также ортогонализуются, следовательно, перед восстановлением частных решений неоднородной задачи необходимо восстановить частные решения однородной задачи. Коэффициенты cj находились из граничных условий на правой границе. Таким образом, используя результаты вычислений собственных функций линейной задачи, можно получить решение данной неоднородной задачи. При решении линейной задачи собственные функции определялись только в некотором наборе точек, поэтому для интегрирования частного решения неоднородной задачи необходимо интерполировать собственные функции линейной задачи. Интерполяция осуществлялась квадратичным сплайном с использованием процедуры, входящей в математическую библиотеку IMSL Fortran Неоднородная система (3.50) состоит из дифференциальных уравнений, которые могут быть проинтегрированы аналитически. Для собственной функции скорости получаем Вычисление интегралов, необходимых для определения собственных функций, производилось методом средних прямоугольников. С помощью рассмотренных численных методов могут быть найдены все функции, необходимые для определения коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения (3.52). По формулам (3.54)-(3.61) проведено вычисление этих коэффициентов в широком диапазоне значений параметров задачи. Установлено, что константа Ландау К всегда положительна, следовательно, характер ветвления решений вблизи порога мягкий. Коэффициенты системы (3.52) ранее были получены в [75]. С использованием этих коэффициентов в [76] проведено численное моделирование уравнений (3.52); в частности, сделан вывод о возможности жесткого возникновения неустойчивости.
