Содержание к диссертации
Введение
Проектирование двухэлементного крылового профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости 18
1. Постановка задачи, её аналитическое решение 18
2. Условия разрешимости 28
3. Случай построения крылового профиля вблизи экрана 30
4. Числовые расчеты, анализ, выводы 35
II. Учет слсимаемости и вязкости потока в задаче построения двухэлементного крылового профиля 45
5. Построение двухэлементного крылового профиля при дозву ковом обтекании 45
6. Учет вязкости по модели пограничного слоя 52
7. Совместный учет вязкости и сжимаемости 65
8. Математическое моделирование дозвукового обтекания про филя биплана 66
9. Числовые расчеты, анализ, выводы 70
III. Оптимизация двухэлементного крылового профиля в до звуковом потоке вязкого газа 82
10. Постановка задачи, метод решения 82
11. Числовые расчеты, анализ, выводы 88
Заключение 93
Литература
- Случай построения крылового профиля вблизи экрана
- Числовые расчеты, анализ, выводы
- Учет вязкости по модели пограничного слоя
- Числовые расчеты, анализ, выводы
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования и оптимизации двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых идеальной несжимаемой жидкостью или дозвуковым потоком вязкого газа. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.
Вопрос об аэродинамическом расчете двухэлементного крылового профиля (профиля биплана) всегда привлекал внимание исследователей. Сложность проектирования таких профилей обусловлена двусвязпостью области течения, а процесс решения связан с рядом специфических проблем таких, как способ параметризации исходных данных, выбор канонической области, выполнение условий разрешимости и т.д. Однако несмотря на эти трудности существует ряд работ, в которых рассмотрены как прямые, так и обратные подходы к решению этой задачи.
Под прямым подходом (см., напр., [50], [45], [17]) понимают задачу нахождения аэродинамических характеристик заданного профиля (прямая задача). Такой подход применяют и для решения задач модификации профилей, именно, исследователь подбирает форму профиля со свойствами, близкими к требуемым, путем многократного решения прямой задачи.
В [50] предложен метод решения прямой задачи обтекания многокомпонентного профиля идеальной несжимаемой жидкостью (ИНЖ), основанный на вихревой теории. Дан подробный вывод интегральных уравнений задачи. Особенностью метода является то, что удовлетворение условию
Жуковского-Чаплыгин а осуществлено не в задней кромке, а в точке, отстоящей от кромки па 0.01 хорды по биссектрисе угла. Проведено сравнение с другими методами, отмечены преимущества.
В ряде случаев существенное значение приобретает учет влияния вязкости набегающего потока, позволяющий точнее определить аэродинамические характеристики профиля. Модели ИНЖ не достаточно для учета подобного влияния. При числах Рейнольдса порядка (105 — 106) теория пограничного слоя (ПС) (см., напр., [33], [42]) дает хорошие результаты, лишь незначительно усложнив решение задачи. В [45] описана итерационная процедура расчета аэродинамических характеристик многокомпонентного профиля в вязком несжимаемом потоке методами теории потенциала. При этом на каждом шаге итераций проводилось "подправление" геометрии профиля наращиванием на его контур толщины вытеснения.
В [17] рассмотрен метод расчета отрывного и безотрывного вязкого обтекания систем крыловых профилей при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха набегающего потока. Метод основан на зональном подходе. Излагаются теоретические основы методов вязко-невязкого взаимодействия. Подробно описан квазиодновременный метод, позволяющий производить расчет не только безотрывного, но и развитого отрывного обтекания в рамках теории ПС. Расчет невязкой части течения производился панельным методом симметричных особенностей. Для расчета пограничного слоя как ламинарной его части, так и турбулентной использовались интегральные методы.
Несмотря на очевидные достоинства, прямой подход имеет свои недостатки. Так, например, для выбора подходящей формы контура профиля необходим значительный опыт в проектировании, а сам процесс требует значительных затрат вычислительных средств.
Обратный подход основан на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., напр., [40], [54], [24], [47], [9], [22]). Неизвестная
форма крылового профиля отыскивается по заданному на его контуре распределению давления или скорости как функции дуговой абсциссы s, декартовой координаты х или полярного угла окружности j в канонической области, причем в зависимости от способа параметризации исходных данных методы решения ОКЗА различны. Особенностью ОКЗА является их конструктивный характер, так как в этих задачах требуется найти такую форму границы, при которой обтекание обладало бы нужными свойствами. Другой особенностью ОКЗА является тот факт, что эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся, а заданная скорость набегающего потока может не совпадать с величиной скорости, определяемой в ходе решения задачи.
Условия замкнутости искомого контура и условие совпадения заданного значения скорости со значением, определяемым в процессе решения, называются условиями разрешимости. Названные условия по-существу содержатся в работах А.Бетца [44] и подробно выведены в статьях В. Ман-глера [54], М. Лайтхилла [52] и Г. Г. Тумашева [39].
Один из способов удовлетворения условий разрешимости заключается в использовании в качестве исходных данных многопараметрических семейств распределений скорости. Так поступали, например, Дж. Ван Ин-ген [58], М. Лайтхилл [53], Г.Ю. Степанов [37].
Другой способ состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. В. Манглер [54] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции S(~f) = lnV(7)> 7 Є [0)27г], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал В.Арлингер [43], допускавший изменение исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обоих работах остался от-
крытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.
Ответ на этот вопрос дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальном "подправлении" исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. В [20] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [21] метод квазирешения применен при решении основной ОКЗА, а в [24] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.
В настоящее время методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решении задач построения крыловых профилей. Большое количество работ посвящено проектированию многокомпонентных крыловых профилей, и в частности профилей биплана.
В одном из первых исследований [35], в котором на искомых профилях биплана задавалось распределение скорости в виде функции дуговой абсциссы искомого контура, области течения ставилась в соответствие внешность двух дуг единичной окружности во вспомогательной плоскости. Задача Дирихле решалась путем сведения к двум задачам Римана. В [40] предложен несколько иной путь решения, а именно, в качестве вспомогательной области выбирался прямоугольник. Вид комплексного потенциала брался из монографии [36]. Функция Мичела-Жуковского восстанавливалась по формуле Билля. Однако вопрос о способах выполнения условий разрешимости задачи в [35, 40] остался открытым.
В [37] решена задача построения решеток бипланов по методу годографа скорости. Комплексный потенциал искомого течения в физической плоскости находился как аналитическая функция комплексной скорости в заданной области годографа скорости. Замкнутость профилей обеспечивалась вариацией исходного годографа скорости и свободных параметров.
В [24] для выполнения условий разрешимости обратной краевой задачи аэрогидродинамики применен способ квазирешения некорректных за-
дач математической физики. Однако учитывая, что этот способ разработан лишь для односвязных областей, один из профилей, в частности, закрылок, заменялся системой вихрей. В результате подобного предположения решение задачи удалось получить лишь в случае, когда размеры одного профиля малы по сравнению с размерами основного профиля.
В [49] предложен метод решения, основанный на интегральных соотношениях для функции Мичела-Жуковского в кольце. Существенным является то, что на искомых профилях биплана задано распределение скорости в виде функции полярного угла окружности 7 в канонической области. Решение задачи сведено к быстрому преобразованию Фурье. Выполнение условий разрешимости достигалось вариацией коэффициентов ряда Фурье.
Предложенный в работе [56] метод решения обратной задачи для системы к профилей может быть рассмотрен в каком-то смысле как обобщение метода, развитого Манглером [54] и Лайтхиллом [52] для случая изолированного профиля. Канонической областью выбрана внешность к окружностей. Аналогично [49] распределения скорости вдоль искомых контуров профилей заданы функциями полярного угла окружности. В качестве вспомогательной взята функция, предложенная В. Манглером [54]. Функция комплексной скорости в канонической области, а также вспомогательная функция записаны в виде степенного ряда. Решение задачи, заключающееся в нахождении конформного отображения канонической области на внешность искомых профилей, сведено к нахождению неизвестных коэффициентов разложения. Приведены условия разрешимости.
В [48] описан численный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей. Для достижения заданной точности использован итерационный процесс, использующий комбинацию прямого и обратного методов и реализующий решение обратной задачи для каждого из профилей по отдельности с последующим пересчетом распределений скоростей для системы профилей путем решения прямой задачи. Вариацией свободных
параметров исходных распределений скорости изолированных профилей удается добиться совпадения значений скорости многоэлементного профиля на отдельных сегментах со значениями, заданными пользователем.
Очень часто требуется найти форму профиля крыла с оптимальными аэродинамическими характеристиками (максимальной подъемной силой, минимальным сопротивлением,максимальным аэродинамическим качеством и т.п.). Один из подходов к оптимизации профилей основан на решении прямых краевых задач (см., напр., [55]). Суть подхода заключается в определении оптимального контура среди многопараметрического семейства контуров определенного типа (например, с ограничениями на толщину, кривизну) за счет подбора свободных параметров.
Вследствие того, что оптимальное решение ищется в заданном классе, искомые профили получаются замкнутыми, без точек самопересечения. Как правило, методы, основанные на этом подходе, используются для модификации форм уже существующих профилей.
Другой подход базируется на теории ОКЗ. Первый способ оптимизации формы профилей заключается в решении вариационных ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимизационным. Термин "вариационные обратные задачи" был введен Л.А. Аксентьевым [8]. Постановки и решения вариационных ОКЗА были даны в работах М.А. Лаврентьева [31], В.И. Зубова [30], A.M. Елизарова, Н. Б. Ильинского, А. В. Поташева [24], Д.А. Фокина [46], и др. Из последних работ можно отметить работы Д. Ф. Абзалилова, Н. Б. Ильинского, Р. Ф. Марданова [6], А. М. Елизарова, А. Н. Ихсановой, Д. А. Фокина [25], В. Г. Леонтьева, А. В. Поташева [32].
Второй способ оптимизации методами ОКЗ состоит в оптимальном выборе исходного распределения скорости. В [51] приведен обзор работ и изложен метод построения высоконесущего крылового профиля, суть которого заключается в подборе распределения скорости с максимальной площадью эпюры вдоль верхней поверхности профиля. В качестве исходного было
выбрано полочное распределение Стрэтфорда, обеспечивающее безотрыв-ность обтекания. Для обеспечения замкнутой формы профиля найденное распределение было модифицировано.
В работе [55] этот метод был обобщен на случай двухэлементного профиля. В отличие от [51] форма профиля биплана, соответствующая оптимальному распределению скорости, определяется итеративно путем вариации геометрии начального приближения - произвольного двухэлементного профиля. Процесс завершается при совпадении распределения скорости, найденного из решения прямой задачи, с оптимальным. В случае, если сходимость итеративного процесса неудовлетворительная, необходимо поменять начальное приближение.
Работа [24] содержит математическое обоснование применения отмеченного способа оптимизации. В частности, доказано, что полочные распределения являются экстремальными в задаче максимизации площади эпюры распределений скорости с заданными значениями формпараметра. Доказано, что при фиксированном значении скорости в задней кромке профиля среди полочных распределений существует единственное, максимизирующее площадь эпюры. Для случая полностью турбулентного ПС указана оптимальная функция скорости. Решена задача максимизации подъемной силы для диапазона углов атаки.
Целью настоящей диссертации является развитие численно-аналитических методов аэродинамического проектирования двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых как идеальной несжимаемой жидкостью, так и дозвуковым потоком вязкого газа; поиск двухэлементных профилей с максимальным аэродинамическим качеством; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация.
Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих одиннадцать параграфов, заключения и списка литературы.
В первой главе диссертации в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости решена задача проектирования двухэлементного крылового профиля по заданным на искомых контурах профиля распределениям скорости или давления как функций дуговой абсциссы этих контуров, зависящих от конечного числа параметров.
В 1 изложены математическая постановка задачи и её аналитическое решение. В качестве исходных данных задавались периметры контуров, распределения скоростей в виде функций дуговых абсцисс искомых контуров, величина скорости набегающего потока, расход между профилями и разность потенциалов между точками разветвления потока. Углы в задних кромках считались равными нулю. Суть решения заключалась в нахождении конформного отображения двухсвязной области течения на прямоугольник. Вид комплексного потенциала взят из [36]. Вспомогательная функция Мичела-Жуковского восстанавливалась по формуле Билля (см., напр., [Ю]). Приведены формулы для определения аэродинамических характеристик полученного профиля.
В 2 определены условия разрешимости задачи. Для их удовлетворения исходные распределения скоростей задавались зависящими от конечного числа параметров. Часть из них определялась условиями разрешимости. За счет других обеспечивалось нужное поведение скорости.
В 3 рассмотрен случай построения крылового профиля экраноплана. Экран моделировался методом зеркального отражения. Задача сведена к расчету обтекания двух симметрично расположенных профилей.
В 4 приведены примеры расчетов профиля экраноплана, профилей с закрылком. Исходные параметрические распределения скорости были выбраны в виде, обеспечивающем безотрывность обтекания. На основе полученных результатов сделаны выводы.
Во второй главе диссертации задача построения двухэлементного крылового профиля обобщена на случай учета вязкости и сжимаемости потока.
Аналогично [24] применялся подход, при котором вязкость учитывалась по модели пограничного слоя (ПС), сжимаемость - по модели газа Чаплыгина. Исходные распределения приведенной скорости взяты из класса гидродинамически целесообразных распределений (см., например, [37]), что обеспечивает безотрывное обтекание профилей в рамках принятой схемы плавного обтекания. Выполнение условий разрешимости достигнуто введением в исходные распределения скорости свободных параметров.
В 5 рассмотрена задача построения двухэлементного крылового профиля при дозвуковом обтекании. Описаны способы учета сжимаемости потока по формуле Кармана-Цзяна и модели газа Чаплыгина (см., напр., [41], [33], [24]). Последний способ, как более точный, был использован для решения поставленной задачи.
В 6 изложено решение задачи построения двухэлементного крылового профиля в потоке вязкой жидкости. Способ учета вязкости потока по модели пограничного слоя позволил свести поставленную задачу к задаче нахождения контуров полутел вытеснения в потоке ИНЖ по заданным вдоль границ полутел распределениям скорости.
В 7 результаты двух предыдущих параграфов были объединены, что позволило решить задачу построения двухэлементного профиля для случая одновременного учета вязкости и сжимаемости потока.
В 8 приведены основные формулы для прямого расчета двухмерного дозвукового турбулентного обтекания крылового профиля биплана вязким газом. Описана модель турбулентности Спаларта-Аллмараса (см., напр., [26]).
В 9 представлены примеры прямого и обратного расчетов профиля с закрылком. На основе полученных результатов сделаны выводы.
В третьей главе диссертации решена задача построения двухэлементного крылового профиля, обладающего максимальным аэродинамическим качеством при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа. Использован
обратный подход, заключающийся в оптимальном выборе исходного распределения скорости(см., напр., [40, 55]).
В 10 даны постановка и решение задачи. В качестве исходных данных как и в 7 задавались периметры контуров, распределения приведенных скоростей в виде функций дуговых абсцисс контуров полутел вытеснения, величины Маха М^ и Рейнольдса ІЇЄоо течения на бесконечности, расход между контурами полутел вытеснения и разность потенциалов между точками разветвления потока. Углы в задних кромках считались равными нулю. Суть решения заключалась в отыскании значений свободных параметров, соответствующих оптимальному (с точки зрения максимального аэродинамического качества) распределению приведенной скорости.
В 11 приведен результат расчета профиля с закрылком, обладающего максимальным аэродинамическим качеством. Сделаны выводы.
В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.
Результаты приведенных численных расчетов представлены в диссертации в виде рисунков, графиков и таблиц.
На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:
Метод решения задачи построения двухэлементного крылового профиля на основе аппарата эллиптических функций в потоке идеальной несжимаемой жидкости по заданным на искомых контурах профиля распределениям скорости или давления как функций дуговой абсциссы этих контуров.
Обобщение метода построения двухэлементного крылового профиля на случай одновременного учета вязкости по модели пограничного слоя и сжимаемости в приближении газа Чаплыгина.
Численно-аналитическое решение задачи оптимизации двухэлементного крылового профиля, обладающего оптимальными аэродинамическими характеристиками при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа.
Алгоритмы численной реализации решений задач, результаты число-
вых расчетов, их анализ, выводы.
Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (руководитель - Н.Б. Ильинский); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханики) за 2002-2005гг.; Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники" (ЦАГИ, Жуковский, 2002); VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002); Международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 2002, 2004); Совместном российско-немецком семинаре НИИММ КГУ и IAG (Казань, 2003 г.); Второй научно-практической конференции молодых ученых и специалистов "Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности" ("ОКБ Сухого", Москва, 2004); XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004г.); Пятой Международной школе-семинаре "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2005).
По теме диссертации опубликовано 5 тезисов и 4 статьи в центральных и региональных изданиях; одна статья отправлена в печать (МЖГ).
Основное содержание диссертации изложено в работах [1, 2, 3, 4, 5,13,14, 15, 16]. В совместных работах [1, 2, 3, 4, 5], послуживших основой первой главы, соавторам принадлежит идея метода решения. Автор участвовал в разработке метода решения, составил алгоритм его численной реализации, провел числовые расчеты. Совместно с соавторами выполнен анализ полученных результатов и сформулированы выводы.
В работах [13, 14, 15, 16] (основа второй и третьей глав) научному руководителю принадлежит постановка задачи и схема решения. Автор разработал метод решения, составил алгоритм численной реализации и провел числовые расчеты.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Н.Б. Ильинскому за предложенную тему исследований, полезные замечания и существенную помощь при написании диссертации. Автор также признателен доктору физико-математических наук, профессору А.В. Поташеву за советы по реализации решений на ЭВМ и кандидату физико-математических наук Д.Ф. Абзалилову за помощь в преодолении некоторых математических трудностей. Автор благодарит всех сотрудников Отдела краевых задач НИ-ИММ за постоянное обсуждение результатов диссертации на семинарах Отдела краевых задач. Следует отметить финансовую помощь Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 02-01-00061, 99-01-00365, 01-01-04004, 05-01-10642з), позволившую ускорить выполнение и написание диссертации.
Случай построения крылового профиля вблизи экрана
Под условиями разрешимости обратной краевой задачи аэрогидродинамики понимают условия замкнутости искомых контуров крыловых профилей и условие совпадения заданной скорости К» с определяемой в процессе решения. В случае двухэлементного крылового профиля к этим условиям надо добавить еще и условие (1.8). Условия замкнутости эквивалентны требованию однозначности функций Zk — Zk{k), что записывается так /1 + 1/21 = 0, У"(«Ж = 0 (2.1) о о С учетом факта dwfdz = Voo получим Imx(ia) = 0, Rex(ia) = 0 (2.2) Первое из условий (2.2) служит для определения неизвестной / (или ho), а второе есть еще одно условие разрешимости.
Таким образом, для разрешимости задачи необходимо выполнение условий (1.8), (2.1) и второго из (2.2). Для этого воспользуемся введенными в распределения скорости (1.1) свободными параметрами (фиг.6).
Будем обеспечивать нужное поведение скорости, выбирая его из класса ГЦРС. Одним из основных требований гидродинамической целесообразности является требование безотрывности обтекания. Из теории пограничного слоя (ПС) (см., напр., [33], [42]) известно, что отрыв потока может происходить лишь на участках торможения, характеризуемых отрицательными градиентами скорости. Поэтому распределение скорости на возможно d, v_ isL . ; W sa / Фиг. 6 большей части контура следует задавать неубывающим, а на оставшейся части достраивать его так, чтобы выполнялось условие безотрывности.
В настоящей работе был применен способ [23] построения безотрывных "полочных" распределений скорости, основанный на задании на участке торможения (фиг.7) желаемого распределения формпараметра f(s). V- L v3 fl участок торможения / 0 J O-o Г\ 1 (Г s„ і t S Фиг. 7 Формула расчета функции скорости на участке торможения [а\, 1] для случая f(s) = /о = const имеет вид1 _Л 71 v = vz[l + vl-xd{(j- jl)lc где а — (s — sa)/(l — sa) - безразмерная координата; CQ = со/(/ — sa) подробности см. в гл. II. f \v(r)\ dr-hv3 (o"i — (TQ), at Є [ao, сі]; величина со характеризует вклад ламинарного участка; at - координата точки перехода ламинарного ПС в турбулентный; эмпирические константы а, 6, п и d- известны; сгі находится из v(l) = V\.
Случай построения крылового профиля вблизи экрана Задачами построения профиля вблизи экрана занимались многие исследователи (см., напр., [27], [18], [34], [56], [57]). Одни из них [27] решали эту задачу сведением к односвязной области путем введения под экраном фиктивного потока ИНЖ. Другие [34] для того, чтобы избавиться от мно-госвязности вводили в рассмотрение многолистную риманову поверхность.
Ряд авторов решал задачу в полной постановке. В работе [56] решение задачи, заключающееся в нахождении конформного отображения внешности искомых профилей на внешность к окружностей, сведено к нахождению неизвестных коэффициентов разложения функции комплексной скорости и вспомогательной функции в степенной ряд. В [18] при решении задачи использовался классический аппарат эллиптических функций совместно с современным методом квазирешений.
В настоящей работе приведено решение задачи построения профиля над экраном как частного случая более общей задачи проектирования двух-элементного крылового профиля. Решение получено при использовании аппарата эллиптических функций и метода свободных параметров. Экран моделировался методом зеркального отражения.
Постановка задачи. В физической плоскости z (фиг.8,а) искомый непроницаемый крыловой профиль АВ экраноплана, обтекается установившимся безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости; контур L профиля считается гладкими за исключением задней кромки В, где внутренний к области течения угол равен 2п.
Начало декартовой системы координат выбрано так, что точка, смещенная вверх относительно начала координат на величину 2Л, совпадает с задней кромкой искомого профиля, а ось абсцисс параллельна направлению заданного вектора скорости г набегающего потока. Периметр I профиля известен. Дуговая абсцисса s контура профиля отсчитывается от нуля в точке В до І в ней же так, что при возрастании s область течения остается слева. На распределение скорости v = v(s) наложены те же ограничения что и в основной задаче. Знак v связан с направлением обхода, поэтому, v(s) 0 при s Є [0,5а), v(s) 0 при s (sa, /].
Считаем, что известен расход q = q /2 между профилем и экраном, экран предполагаем непроницаемым. Требуется найти форму профиля и его аэродинамические характеристики.
Решение. В качестве характерного линейного размера выберем величину I периметра профиля экраноплана, а в качестве характерной скорости возьмем значение V o скорости на бесконечности. В дальнейшем будем предполагать величины отнесенными к этим характерным размерам.
Для того, чтобы воспользоваться решением предыдущего параграфа, зеркально отразим профиль относительно экрана (фиг.8, штриховая линия). Распределение скорости v вдоль контура Lf отраженного профиля определено формулой v (s) = —v(l — s). Считаем, что полученная таким образом симметричная система профилей обтекается потоком ИНЖ, движущимся равномерно со скоростью г . При этом области Gz в плоскости w будет соответствовать плоскость с двумя полубесконечными разрезами АВ и А В соответственно. Область Gz в плоскости z конформно отобразим на прямоугольник со сторонами ш\ и W2 = І7г/2. Контуру L соответствует верхняя сторона прямоугольника, а контуру L - нижняя (фиг.10).
Числовые расчеты, анализ, выводы
Рассчитанные в ходе решения новые распределения скорости изображены сплошной и штриховой кривыми на фиг.14,а, соответствующие им профили на фиг.14,6.
На практике удобнее вместо расхода q и разности потенциалов (р зада вать координаты задней кромки #2 основного профиля L2- Это приводит к увеличению числа уравнений и свободных параметров (6+2 шт.), но не вносит существенных трудностей в численное решение.
Покажем, как влияет положение задней кромки В і на форму, геометрические и аэродинамические характеристики профилей, построенных по одинаковому распределению Vk(sk) (кривые 1,2 на фиг,14,а или кривая 1 на фиг.15-16). Результаты расчетов приведены на фиг,15, фиг.16 и в табл.2, где координаты (XQ, Уо) задней кромки В отнесены к периметру биплана, а относительная максимальная толщина с указана в процентах от хорды соответствующего профиля. а) основной профиль б) закрылок
Изначально положение основного профиля определялось координатами х0 = -0.1324, уо = 0.0832 (строки 1,7 табл.2).
При перемещении основного профиля по прямой у = 0.0832 (фиг.15 и первые шесть строк таблицы 2) отличия в форме профилей и в распределениях Vk(sk) скорости на них незначительны. При сдвиге основного профиля вправо по горизонтали на 25% от его первоначального положения (XQ, уо) (т.е. при приближении профиля к закрылку) значения углов атаки а и хорд b практически не изменились. рост коэффициента подъемной силы по основному профилю составил менее процента. Сдвиг профиля влево на 13% привел к уменьшению толщины профилей и величины коэффициента подъемной силы основного профиля (Cv основного профиля уменьшился на 6%, а суммарный коэффициент Су биплана составил 96% от первоначального). Перемещение основного профиля по вертикали х — —0.1324 (фиг.16) оказало более заметное влияние на форму и характеристики профилей. Смещение основного профиля вниз на 5% вызвало уменьшение величины расхода в 1.6 раза (8 и 11 строки табл. 2) и привело к росту Су основного профиля на 6% и падению Су закрылка на 12%. Величина коэффициента подъемной силы системы профилей увеличилась на 3.5% по сравнению с исходной. Изменились и толщины профилей. Основной профиль стал толще на 3% (с = 30%), закрылок - на 6% (с — 27%). Противоположный резуль-тат наблюдается при сдвиге основного профиля вверх на 20%: Су профиля уменьшается на 6%, Су закрылка увеличивается на 12%; уменьшение толщины профиля составило 3% (с = 24%), закрылка - 5% (с — 16%).
Из приведенных в табл.2 и на фиг.15-16 результатов можно сделать следующие выводы: - перемещение основного профиля по горизонтали не оказывает существенного влияния на аэродинамические характеристики биплана; форма профилей меняется слабо, изменения происходят преимущественно в области задней кромки основного профиля; - сдвиг основного профиля по горизонтали сказывается более на величине разности потенциалов /? ; увеличением XQ не удалось добиться уменьшения расхода д ; - вертикальное перемещение основного профиля влияет как на величину ? , так и на Су системы профилей; - приближение основного профиля к закрылку по вертикали приводит к заметному увеличению скорости на диффузорном участке1 и в задней кромке основного профиля, что позволяет получать более высокие значения Су для основного профиля и для системы профилей в целом; профили становятся толще, хорды уменьшаются; - случай смещения основного профиля влево по горизонтали практически идентичен по результатам случаю смещения вверх по вертикали; и в том и в другом случаях происходит падение величины коэффициента подъемной силы биплана за счет уменьшения Су основного профиля; отличия в характеристиках бипланов незначительны.
В заключение рассмотрим еще один тестовый расчет. Построим двухэлементный крыловой профиль с периметрами контуров 1\ — І2 = 1 по одинаковому полочному безотрывному распределению скорости Vk(sk) = v(s), к = 1, 2. Для исключения взаимного влияния профилей друг на друга возьмем величины расхода и разности потенциалов равными д —10, tp = -5, В силу произвольности задания исходного распределения скорости искомые профили оказались разомкнутыми. Для замыкания контуров применим метод свободных параметров. В результате новые распределения Vk несколько отличаются от исходного, и незначительно друг от друга. Будем сравнивать один из профилей биплана, например L2) и крыловой профиль в безграничном потоке (так называемый изолированный профиль), построенный по распределению v2 (фиг.17,а) методом ОКЗА (см., напр., [24]). На фиг.17,6 сплошной кривой отмечен профиль L2, точками - изолированный профиль. Как и ожидалось, контуры практически совпали
Учет вязкости по модели пограничного слоя
При проектировании профилей крыльев летательных аппаратов существенное значение приобретает учет влияния вязкости набегающего потока, позволяющий определить такие важнейшие аэродинамические характеристики, как профильное сопротивление и аэродинамическое качество. Модели ИНЖ не достаточно для учета подобного влияния. Применение уравнений Навье-Стокса для описания течения значительно усложняет поиск решения. Выход из положения - использование приближенных методов.
При числах Рейнольдса порядка Re 106 теория пограничного слоя (см., напр., [33], [42]) дает хорошие результаты, лишь незначительно усложнив решение задачи. Согласно этой модели влияние вязкости скажется лишь в сравнительно тонком пограничном слое и в следе за профилем. Распределение давления по контуру профиля, обтекаемого безотрывно потоком вязкой жидкости, совпадет с распределением давления при обтекании ИНЖ контура полутела вытеснения, получаемого путем наращивания на контур профиля толщины вытеснения 5 . Полутело вытеснения в следе ограничено двумя конгруэнтными линиями тока1.
Покажем, что если профиль обтекается вязкой жидкостью с образованием ПС, то эквивалентный по расходу поток ИНЖ обтекает полутело вытеснения. меньше, чем Qn на величину Q\ pv S , где и(у) - распределение продольных скоростей. Имеет место равенство откуда 5 5 PVCOS - pv S = pju(y)dy, 5 = J (і- Щ dy (6.1) о о где 5 - толщина вытеснения.
Рассмотрим полутело вытеснения, построенное наращиванием на контур профиля толщины вытеснения 6 (см. фиг.18,6 сплошная линия ММ ). Расход ИНЖ через сечение AD для полутела вытеснения составляет Qполутела = Pvoo{v " ) Учтя (6.1) запишем 5 д 3ела = PV x 8 -pj{Voo- u(y)) dy = р u(y)dy = QB о о
Постановка задачи. В физической плоскости z (фиг. 19,а) искомые непроницаемые крыловые профили А Вь (&=1,2) обтекаются плоским установившимся потоком вязкой жидкости с заданным числом Рейнольд-са ifepo на бесконечности; контуры Lk профилей считаются гладкими за исключением задних кромок Bk, где внутренний к области течения угол равен 27Г.
Начало декартовой системы координат выбрано в задней кромке В\ профиля Li, а ось абсцисс параллельна направлению заданного вектора скорости Уж набегающего потока. Периметры профилей известны и равны 1%.
Предполагая безотрывным характер обтекания и малыми толщины ПС, дуговые абсциссы 5 контуров профилей и полутел вытеснения на участке Вк АкВк" считаем совпадающими и отсчитываемыми от 0 в точках Дь до lk в Bk" так, что при возрастании s& область течения остается слева. a б Фиг. 19
Ограничения на исходные распределения скорости vk = Vk{sk,dj), sk [0,1k]-, к = 1,2, j = l,m, вдоль границ полутел вытеснения В АкВ " аналогичны описанным при постановке задачи в 1. Известны расход q между контурами полутел вытеснения и разность потенциалов tp между точками Ач и А\. Требуется определить форму профилей и их аэродинамические характеристики. Решение. Поставленная задача может быть сведена к задаче нахождения контуров полутел вытеснения в потоке ИНЖ по заданным вдоль границ полутел вытеснения распределениям скорости.
Таким образом, последовательность действий по отысканию толщины вытеснения 5* ламинарного ПС такова. По распределению скорости v(s) — Vk(sk) вдоль границы полутела вытеснения рассчитаем функцию формпараметра f(s) по формуле (6.5). Функцию 5**(s) определим из (6.3), а конкретные значения H(s) = 8*(s)/S**(s) найдем интерполяцией табличных значений зависимости #(/). Неизвестную функцию толщины вытеснения получим из 6*{s) = H{s)5**(s)
В случае расчета турбулентного ПС приближенный метод Кочина-Лойцянского базируется на использовании интегрального соотношения импульсов, по внешнему виду совпадающего с аналогичным соотношением (6.2).
Числовые расчеты, анализ, выводы
В физической плоскости z искомые непроницаемые крыловые профили А\ В\ (к — 1,2), представляющие двухэлементный профиль биплана, обтекаются плоским установившимся дозвуковым потоком вязкого газа с заданными числами Рейнольдса Re и Маха М на бесконечности; контуры L& профилей считаются гладкими за исключением задних кромок Bk, где внутренний к области течения угол равен 2-7Г.
Начало декартовой системы координат выбрано в задней кромке Bi профиля Li, а ось абсцисс параллельна направлению скорости набегающего потока. Периметры профилей известны и равны Ik Как и ранее дуговые абсциссы Sk контуров профилей и полутел вытеснения на участках Bk AkBk " будем считать совпадающими и отсчитывать их от нуля в точках Bk до Ik в Bk " так, что при возрастании Sk область течения остается слева.
Ограничения на исходные распределения приведенной скорости А& = Vk{sfadj)/a = Xk(sk,dj), Sk Є [0,Щ, к = 1,2, j = l,m по контурам полутел вытеснения Bk AkBk" аналогичны описанным при постановке задачи 5. Известен расход q между контурами полутел вытеснения и разность потенциалов tp между точками Л 2 и А\. Требуется определить форму профилей и их аэродинамические характеристики.
Решение. Воспользуемся предположением, что для дозвуковых скоростей внешнего потока сжимаемостью внутри ПС можно пренебречь. При этом рассматриваемая задача сведется к задаче нахождения контуров полутел вытеснения, обтекаемых потоком газа Чаплыгина (см. 5). Форму искомых профилей найдем, отступив на участках Bk AkBk" полутел вытеснения внутрь на толщину вытеснения 5J(s). Последняя находится из расчета ПС однопараметрическим методом Кочина-Лойцянского, изложен иым в 6. Основные характеристики ПС, соответствующие исходным распределениям Aft определены формулами (6.3) - (6.6).
Расчет аэродинамических характеристик будем осуществлять по формулам (6.7, 6.8, 6.9), где коэффициент давления Срк отыскивается из (5.10), а вместо отношения Vofc/vco в (6.9) следует положить АОА/АОО.
Условия разрешимости. В качестве таковых будем считать условия (6.10) замкнутости искомых профилей, условие (1.8) однозначности функции х и условие (5.11) совпадения заданной скорости Х с определяемой в процессе решения. Выполнение условий разрешимости осуществим подбором части свободных параметров {d\, d,2, d ) введенных в исходные распределения А приведенной скорости. Оставшиеся свободные параметры используем для по-строения безотрывных распределений А ; по схеме, описанной в 6.
Математическое моделирование дозвукового обтекания профиля биплана Приведены основные формулы для прямого расчета двухмерного дозвукового турбулентного обтекания крылового профиля биплана вязким газом. Описана модель турбулентности Спаларта-Аллмараса (см., напр., [26]).
Постановка задачи. Требуется рассчитать обтекание крылового профиля биплана вязким сжимаемым потоком с заданными числами Маха Моо и Рейнольдса Reoo- Поток считается дозвуковым. Направление оси х в физической плоскости z совпадает с направлением скорости на бесконечности. Геометрия профиля биплана известна (фиг.20).
Решение. Расчет прямой задачи проводится поэтапно. На первом этапе требуется дискретизировать область течения, то есть построить сеточную модель. Второй этап заключается в задании физико-механических tL свойств модели потока (вязкости, плотности, теплоемкости, теплопроводности, и.т.д.) и в определении граничных условий (на бесконечности, на твердой стенке). На третьем этапе необходимо выбрать модель турбулентности. После этого можно приступать к математическому описанию задачи.
Обычно полагают, что движение сложных нестационарных потоков строго описывается уравнениями Навье-Стокса. В случае турбулентного течения решение точных уравнений Навье-Стокса невозможно. Один из альтернативных способов представления этих уравнений, в котором не учитываются мелкомасштабные турбулентные пульсации - метод осреднения по правилам Рейнольдса (см., напр., [33]). Опустив процесс вывода, запишем уравнения Рейнольдса осредненного движения жидкости в общем виде dxj дхі dt + дхі - + Г" pUiUi дхі (8.1) (8.2) где актуальные скорости щ и давление р заменены на средние по времени щ, р и пульсационные составляющие и р по правилу щ =Щ + и {, р = рЛ-р С учетом гипотезы Буссинеска о структуре напряжения трения осред ненного движения _ _ ди дй Т 7"лам "г "Ттурбі лам = / д ! Тгурб = Р "5 on an где fit - динамический коэффициент турбулентной вязкости, получим выражение напряжений Рейнольдса —ри[и через кинетическую энергию пульсационного движения к = и {и = (и и -\- и и -Ь u zur3) —ри\ufj = fit ( д— - + -л- J — oP 4) % — символ Кронекера (8.3)
Динамический коэффициент турбулентной вязкости fit является характеристикой потока и изменяется от нулевого значения на твердой стенке до максимума в центре потока. Для определения fit используют различные модели турбулентности.
