Введение к работе
Проектирование крыловых профилей, обладающих улучшенными аэродинамическими характеристиками, до сих пор является предметом особого интереса, поскольку от этих профилей зависят аэродинамические свойства самого крыла, а значит, всего летательного аппарата. Построить профиль, у которого были бы оптимальными все аэродинамические параметры (подъемная сила, аэродинамическое качество и др.), невозможно. Под термином «оптимальное аэродинамическое проектированием (см., например, [16]) обычно понимают улучшение одной из аэродинамических характеристик при наложении ограничений на другие.
При решении плоских задач аэродинамической оптимизации используются различные подходы, обзоры методов и результатов которых изложены, например, в работах [9], [20].
Один из подходов к аэродинамической оптимизации базируется на решении прямых краевых задачах аэрогидродинамики и позволяет по заданной геометрии профиля рассчитывать его аэродинамические характеристики при различных режимах обтекания (см., например, [48], [50], [51], [55]). Процедура проектирования в этом случае состоит в многократном решении прямой задачи с последовательной целенаправленной модификацией формы профиля для достижения наилучшего совпадения получаемых свойств профиля с желаемыми. Такой подход, как правило, трудоемок и требует наличия эффективного алгоритма, решающего прямую задачу. Однако он часто является единственно возможным способом проектирования профилей в рамках сложных моделей течения, описываемых, например, уравнениями Навье - Стокса. Сам процесс оптимизации состоит в отыскании экстремума некоторого аэродинамического параметра при наборе переменных проектирования, описывающих геометрию профиля, и при удовлетворении некоторого числа заданных ограничений. Эти ограничения могут быть аэродинамическими (например, на коэффициент подъемной силы или сопротивления), геометрическими (например, на максимальную толщину или площадь сечения) или ограничениями на свойства поля течения (например, на максималь -4 ную скорость на профиле или на максимальный градиент давления). В качестве оптимизируемой величины может выступать как определенная аэродинамическая характеристика (например, подъемная сила), так и невязка между заданным распределением скорости (оптимальным в некотором смысле) и распределением, получаемым на каждой итерации с помощью решения прямой задачи.
При применении методов, базирующихся на последовательном решении прямых задач, не получаются разомкнутые или самопересекающиеея контуры, так как оптимальное решение отыскивается в строго определенном классе.
К настоящему времени опубликовано большое число работ, в которых используется «прямой» подход к аэродинамической оптимизации описанный выше (см., например, [52], [53], [54]). Они отличаются друг от друга оптимизационными алгоритмами, методами расчета аэродинамических характеристик, а также способами представления геометрии профиля.
Как указывают многие авторы, описанный подход наиболее эффективен как аппарат усовершенствования известных аэродинамических форм и применяется в основном для решения задач модификации.
Отметим, что при использовании данного подхода функционалы экстремальных задач не зависят явным образом от искомой геометрии профиля. Это затрудняет исследование задач и приводит к значительным вычислительным трудностям при их численной реализации. Кроме того, двойной итерационный процесс, включающий итерационную процедуру (внешнюю) исправления геометрии в ходе численной оптимизации и итерационную процедуру (внутреннюю) решения прямой задачи, сопровождается большими затратами времени расчета, что является одним из главных недостатков этого подхода.
Другой подход к оптимизации аэродинамических форм, называемый «обратным», базируется на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [49]), позволяющей решать задачи построения крыловых профилей в несжимаемой жидкости и в дозвуковом потоке газа по заданному на контуре профиля распределению скорости потока. Отличительной особенностью ОКЗА является их конструктив -5 ный характер, так как речь идет не об изучении свойств готового объекта (прямая задача), а о создании профиля с заранее заданными свойствами. Эти свойства (в том числе и оптимальность аэродинамических характеристик) обеспечиваются за счет специального выбора исходного распределения скорости В зависимости от модели течения и способа параметризации исходных данных методы ОКЗА существенно отличаются друг от друга. Наиболее характерная ОКЗА заключается в нахождении формы непроницаемого крылового профиля по распределению скорости v потока как функции дуговой абсциссы s контура при заданной величине v скорости невозмущенного течения.
Алгоритм решения обратной задачи достаточно прост для численной реализации и не требует больших затрат машинного времени, возможности его применения к решению задач аэродинамической оптимизации ограничены определенными рамками. Дело в том, что не для каждой аэродинамической характеристики ясно, как следует задавать оптимизирующее ее распределение скорости. Кроме того, не разработан вопрос о включении в этот алгоритм дополнительных ограничений как на геометрию, так и на аэродинамические параметры.
Отметим также, что произвольному распределению скорости может соответствовать незамкнутый и самопересекающийся контур профиля, а заданная скорость набегающего потока может не совпадать с определенной в ходе решения. Таким образом, физически реализуемый профиль может быть получен только после определенной корректировки исходного распределения скорости, что существенно затрудняет практическое использование и ограничивает рамки применимости данного подхода.
Вместе с тем идея использования интегральных представлений решений ОКЗА при постановке задач аэродинамической оптимизации оказалась весьма плодотворной и привела к формированию нового раздела как теории ОКЗА, так и оптимального проектирования - теории вариационных ОКЗА. Развитию этой теории посвящены работы профессоров казанской школы Ф.Г. Авхадиева, Л.А. Аксентьева, A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, Д.В. Маклакова, А.В. Поташева, Д.А. Фокина; канди датов физ. - мат. наук Д.Ф. Абзалилова, Р.Ф. Марданова и других. К этому же научному направлению относится данная диссертация.
Настоящая работа посвящена поиску ответа на один из общих вопросов аэрогидродинамики, который в случае плоских течений можно сформулировать следующим образом: какую максимальную подъемную силу можно получить на профиле крыла и какова форма такого профиля. Исследованию этого вопроса посвящено значительное количество работ. Так, например, в [10] получено точное решение задачи максимизации подъемной силы дуги заданной длины и ограниченной кривизны при безотрывном ее обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) - доказано, что экстремалью будет дуга окружности. Обзор методов и результатов по построению крыловых профилей с высоким значением подъемной силы содержится в [8] (отметим, что в этой работе не отражены достижения российских ученых). В [11] рассмотрена задача об определении среди профилей с одной острой кромкой и заданной длиной периметра контура такого, который обладает наибольшей подъемной силой в равномерном на бесконечности потоке ИНЖ. Предложен численный метод решения, учитывающий приближенные условия без-отрывности обтекания. Без доказательства утверждается также, что в случае гладкого контура экстремалью будет круг и что этот результат следует из формул М. А. Лаврентьева (например, [12]) для вариации конформных отображений областей, близких к кругу. Доказательство этого факта как частный случай получено в [26} на основе решения соответствующей вариационной обратной краевой задачи (ОКЗ). При дополнительных ограничениях, имеющих физический смысл (условии безотрыв-ности обтекания с учетом вязкости потока в приближении пограничного слоя, учете сжимаемости среды и других), оптимизированные решения существенно отличаются от круга, а получить их удается только численно (см., например, [21], [27], [28], [13]). Вместе с тем решение в виде круга получается аналитически, при минимальных ограничениях, диктуемых математической моделью течения, и, следовательно, дает точную оценку сверху для подъемной силы, достижимую в случае течения ИНЖ.
Задачи, рассматриваемые в настоящей работе, как и в работах [26], [28], [21], [27], [13], относятся к классу вариационных ОКЗА. Следуя работам [20], [24] [26], термин «вариационные обратные краевые задачи» будем использовать для обозначения такого класса двумерных краевых задач с неизвестными границами, в которых искомыми являются как решение дифференциального уравнения в частных производных, так и сама область D его определения, причем последняя обладает некоторым экстремальным свойством, а на границе dD задается одно краевое условие. Экстремальное свойство D выражается в виде требования максимизации (минимизации) заданного функционала J (обычно при дополнительных ограничениях). По самой своей постановке названные задачи относятся, с одной стороны, к задачам оптимального проектирования (например, [14]), с другой стороны - к задачам оптимизации систем с распределенными параметрами (см. [15]), а применение методов теории ОКЗ позволяет свести их к задачам классического вариационного исчисления. При этом наличие или отсутствие дополнительных ограничений может существенно изменять картину разрешимости задач. Поэтому нужно определить, какие функционалы целесообразно рассматривать и какие дополнительные ограничения нужно привлекать. Из общих соображений ответы на эти вопросы найти затруднительно. Вместе с тем, естественным источником вариационных ОКЗ являются теории, связанные с моделированием природных явлений (например, течений жидкости или газа). Одной из них является классическая аэрогидродинамика.
Вариационные ОКЗА реализуют один из подходов к оптимизации аэродинамических форм и в двумерном случае заключаются в построении профилей, обладающих оптимизированными характеристиками (максимальными коэффициентом подъемной силой или аэродинамическим качеством, минимальным коэффициентом сопротивлением и др.). В случае течения ИНЖ или дозвукового течения газа в математическом плане они сводятся к вариационным ОКЗ для аналитических функций.
Ряд ярких результатов по решению вариационных ОКЗА получен в теории струйных и кавитационных течений, при решении оптимизационных задач теории фильтрации с депрессионными кривыми, при построении оптималь
