Содержание к диссертации
Введение
I. Расчет аэродинамических характеристик обтекаемой пластинки с точечной особенностью в потоке (вихреисточник, источник, сток, вихрь) 18
1. Постановка задачи и метод решения, формулы определения аэродинамических характеристик 19
2. Расчеты, анализ, выводы 24
II. Построение крылового профиля с точечной особенностью в потоке 33
3. Постановка задачи, аналитическое решение, квазирешение, формулы определения аэродинамических характеристик 33
4. Результаты числовых расчетов и их анализ 42
III. Построение крылового профиля с несколькими особенностями в потоке 51
5. Постановка и решение обратной задачи аэрогидродинамики с вихреисточниками в потоке 51
6. Результаты и анализ числовых расчетов 58
IV. Оптимизация аэродинамических характеристик крыловых профилей с точечной особенностью в потоке 63
7. Задача максимизации подъемной силы окружности с вихрем в потоке 64
8. Максимизация подъемной силы гладкого профиля с вихрем в потоке 69
9. Оптимизация формы профиля с целью увеличения подъемной силы путем оптимального выбора расположения вихреисточника . 79
Заключение 92
Литература 94
- Постановка задачи, аналитическое решение, квазирешение, формулы определения аэродинамических характеристик
- Постановка и решение обратной задачи аэрогидродинамики с вихреисточниками в потоке
- Максимизация подъемной силы гладкого профиля с вихрем в потоке
- Оптимизация формы профиля с целью увеличения подъемной силы путем оптимального выбора расположения вихреисточника
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования и оптимизации крыловых профилей, обтекаемых потоком идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) при наличии в потоке точечных особенностей (вихреисточников, источников (стоков), вихрей). При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.
В настоящее время, несмотря на наличие программных средств, которые позволяют делать расчет течения вязкого сжимаемого газа, для решения задач проектирования по прежнему широко используется модель ИНЖ, дающая хорошее приближение описания течения маловязких жидкостей, к которым можно отнести воздух и воду. При установившемся движении ИНЖ потенциал скорости
Современные методы аэродинамического проектирования и модификации крыловых профилей можно разделить на два типа: прямые и обратные. Суть прямого метода состоит в последовательном многократном решении прямой задачи с последующей модификацией формы профиля для достижения свойств, близких к требуемым. Однако эти методы часто трудоемки и позволяют находить характеристики уже готового объекта. Мно- гие трудности, связанные с применением прямых методов, удается преодолеть, применяя обратные методы проектирования, которые базируются на теории обратных краевых задач и представляют собой процесс непосредственного восстановления формы профиля по заданным аэродинамическим характеристикам (например, по заданному распределению скорости или давления на профиле).
Теоретическую основу обратных методов аэродинамического проектирования крыловых профилей составляют обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., например, [18], [32], [34], [35], [39], [48], [51]), являющиеся частью общей теории обратных краевых задач (ОКЗ). В отличие от прямых краевых задач, в которых требуется найти функцию, удовлетворяющую в заданной области некоторому дифференциальному уравнению, а на границе области - заданному условию, в ОКЗ граница области и функция в этой области определяется по дополнительному краевому условию на границе.
В классической постановке ОКЗА неизвестная форма крылового профиля определяется по заданному на его контуре распределению скорости или давления как функции дуговой абсциссы s (см., например, монографию A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [18]), декартовой координаты х (см., например, работы Р.Б. Салимова [32, 33]), параметра у в канонической области (см., например, работу M.J. Lighthill'a [48]) и т.п. Аэродинамические характеристики искомого профиля при этом в большинстве случаев можно определить еще до решения задачи. Поэтому методы, основанные на теории ОКЗ для аналитических функций, получили широкое распространение при решении задач построения крыловых профилей.
История развития ОКЗА насчитывает около 80 лет. Первые постановки и решения таких задач были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weinig'a [54, 55], С. Schmiden'a [52], A. Betz'a [44], W. Mangler'a [51], Л.А, Симонова [34, 35], Г.Г. Тумашева [41], MJ. LighthilPa [48, 49]. Существенной особенностью ОКЗА является тот факт, что в большинстве случаев эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся. Это объясняется тем, что исходные данные в ОКЗА в значительной степени произвольны и поэтому решение для них существует только при выполнении условий физической реализуемости решения, так называемых условий разрешимости: искомый контур должен быть замкнутым и скорость на бесконечности, определяемая в ходе решения задачи, должна совпадать с заданной. Перечисленные условия содержатся в работах A. Betz'a [44] и подробно выведены в статьях W. Mangler'a [51], MJ. Lightill'a [49, 50] и Г.Г. Тумашева [40].
Один из простых способов удовлетворения условий разрешимости заключается во введении в исходное распределение свободных параметров, которые подбираются так, чтобы добиться замкнутой формы контура профиля. Так, например, J.L. Van Ingen [53] в основной ОКЗА задавал распределение скорости с тремя свободными параметрами. Аналогичный подход применили М J. Lightill [50], R. Eppler [46, 47] и Г.Ю. Степанов [36].
Другой эффективный подход к разрешению этой проблемы состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. W. Mangier [51] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции $(у) = In v(/), у є [0,2л-], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал В. Arlinger [43], допускавший изменения исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обеих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.
Ответ дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальной коррекции исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. A.M. Елизаровым в [21] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [19] совместно с Н.Б. Ильинским метод квазирешений был применен при решении основной ОКЗА, а в монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [18] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.
Следующая группа работ (40-60 годы) включала исследования по учету сжимаемости по модели газа Чаплыгина, из которых можно отметить работы Г.Г. Тумашева [38], L.C. Woods'a [56, 57], Г.Ю. Степанова [37]. Позже появились результаты, связанные с учетом вязкости в ОКЗА по модели пограничного слоя (ПС) (см., например, работы Г.Ю. Степанова [36], Л.Л. Лебедева [27] и J.L. Van Ingen'a [53]). Наиболее полный учет вязкости и сжимаемости дает применение уравнений Навье - Стокса (см., например, [45]). Построение профиля с желаемым распределением давления осуществлено в указанной работе путем коррекции геометрии некоторого исходного профиля, взятого за начальное приближение.
В настоящее время интерес к ОКЗА сохраняется. Новые результаты теории ОКЗ, запросы практики и увеличение мощности ЭВМ стимулируют развитие работ по ОКЗА и расширение класса решаемых задач: проектирование многокомпонентных крыловых профилей, гидродинамических решеток, задач модификации крыловых профилей с целью улучшения их аэродинамических характеристик, проектирование профилей вблизи экрана, профилей с устройствами активного управления потоком, профилей при наличии в потоке особенностей. Последние задачи представляют особый интерес.
Для улучшения аэродинамических характеристик, в частности, увеличения подъемной силы крыла самолета важно обеспечить безотрывное обтекание. Предельно достижимые значения коэффициента подъемной си- лы Су ограничены значениями подъемной силы при потенциальном обтекании. Среди различных приспособлений, применяемых для улучшения аэродинамических характеристик крыла, часто используется крыло с предкрылком или закрылком. Основы теории механизированных крыльев заложены трудами С.А. Чаплыгина и В.В. Голубева (см., напр., [42]). С.А. Чаплыгин проводил исследование в предположении плавного обтекания без образования срыва струй в условиях плоско - параллельного течения.
С иной точки зрения изучалась теория разрезного крыла в работе В.В. Голубева [16], где автор ставил себе задачей изучить влияние предкрылка (закрылка) на образование отрыва струй от поверхности крыла, причем предкрылок (закрылок) заменялся одним присоединенным вихрем и, следовательно, не учитывалось влияние его размера. В случае, когда размеры предкрылка или закрылка малы по сравнению с размерами основного профиля, такая замена возможна. При этом интенсивность вихря принимают равной циркуляции скорости на предкрылке или закрылке.
Задача об обтекании круга с вихрем была решена А.И. Некрасовым [30]. Так же он рассмотрел задачу обтекания бесконечно тонкого прямолинейного профиля под некоторым углом атаки и задачу обтекания бесконечно тонкого профиля, расположенного параллельно набегающему потоку при наличии в потоке вихря. В процессе решения он построил комплексный потенциал течения, нашел выражение скорости на профиле и определил силы давления, оказываемого потоком на прямолинейный профиль.
Задача об обтекании круга с вихрем была более детально исследована М.Т. Нужиным [39]. Им также была решена обратная задача о нахождении формы профиля по заданному на нем распределению скорости при наличии предкрылка или закрылка, заменяемых неподвижно связанным с профилем вихрем [39]. Было построено аналитическое решение задачи и приведены условия разрешимости. С использованием метода квазиреше- ний задача построения профиля с закрылком, замененным одиночным неподвижно закрепленным вихрем, решена Н.Б. Ильинским и А.В. Поташе-вым [23].
Однако развитие авиационной техники требует значительно большего увеличения коэффициента С . Прогресс в этом направлении связан с объединением систем, создающих тягу и подъемную силу. Для этого используется энергия силовой установки самолета (см., напр.,[4]). Такие установки называют энергетическими. В качестве источника энергии могут служить сжатый воздух от компрессора, струя реактивного двигателя или струя воздушного винта.
Принцип действия энергетических систем состоит не только в создании реактивных сил, но и в создании дополнительной циркуляции потока (суперциркуляции). Реактивная струя или струя воздушного винта образует своего рода жидкий закрылок, который дополнительно тормозит поток на нижней поверхности и увеличивает давление на нее. Под воздействием внешнего потока и турбулентного перемешивания траектория струи искривляется, постепенно приближаясь к направлению невозмущенного потока. В процессе искривления траектории струи давление по обе стороны от нее неодинаковы. Из-за разности давлений в поперечном сечении струи основной поток отклоняется от своего невозмущенного направления, а давление на верхней и нижней поверхностях профиля вблизи задней кромки не совпадают: на верхней поверхности давление меньше, чем на нижней. Дополнительная разность давлений на профиле, возникающая под влиянием выдуваемой струи, приводит к увеличению его подъемной силы. Приращение подъемной силы в этих условиях называют эффектом суперциркуляции.
Аналитическое исследование воздействия реактивной струи на аэродинамические характеристики обдуваемого профиля затруднительно. Одним из простейших способов математического моделирования струи яв- ляются точечные источники. Рассмотрев модельные задачи, можно получить расчетные формулы в явном виде.
Детальное изучение вопроса об обтекании профиля Жуковского при наличии на нем источников и стоков проведено в работе А.И. Некрасова [31]. Б.С. Баевым и В.Н. Журавлевым [5] также рассмотрена задача обтекания профиля при наличии на его поверхности источников и стоков. Авторы делают вывод о перспективности (с точки зрения увеличения подъемной силы) использование таких устройств.
Особый интерес ученых вызывают задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. Для этого решают вариационные ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимальным. Постановки таких задач восходят по-существу к работе М.А. Лаврентьева [25], который показал, что среди дуг известной длины и заданного максимума кривизны дужка окружности является наилучшей с смысле величины подъемной силы при ее безотрывном обтекании плоскопараллельным потоком ИНЖ с заданной на бесконечности скоростью. Улучшение константы (ограничения на кривизну) в этой задаче дано в работе СР. Насырова [29].
В статье В.И. Зубова [22] сказано, что из вариационных формул Лаврентьева для конформных отображений (см., например, [26]) следует, что максимальной подъемной силой среди замкнутых контуров заданного периметра обладает окружность при режиме обтекания с совпадающими точками разветвления и схода потока. Полное исследование этой задачи приведено в работе A.M. Елизарова [20]. В статье Д.Ф. Абзалилова и Н.Б. Ильинского [2] показано, что решением задачи нахождения формы гладкого замкнутого контура фиксированной длины, обладающего максимальной циркуляцией, со стоком заданной интенсивности, также будет окружность с совпадающими точками разветвления и схода потока. Отмечено, что наличие стока позволяет увеличить максимальную циркуляцию до значений, не достижимых на непроницаемом контуре. В работе Н.Б. Ильинского и Н.Д. Якимова [24] решена задача о максимизации подъемной силы дужки со стоком, оптимальной также получилась дужка окружности.
Настоящая диссертация посвящена построению крыловых профилей по заданному распределению скорости при наличии в потоке вихреисточ-ников, которые моделируют дополнительное воздействие на профиль. Случаи вихреисточника и вихрестока можно трактовать как модельные задачи, содержащие частные случаи физически возможных особенностей: сток, источник и вихрь.
Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов проектирования профилей крыла с точечными особенностями в потоке; поиск оптимальных по аэродинамическим характеристикам форм крыловых профилей и особенности; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация; анализ влияния особенностей на аэродинамические характеристики крыловых профилей.
Диссертация состоит из введения четырех глав, содержащих девять параграфов, заключения и списка литературы.
В первой главе настоящей диссертации рассмотрена задача обтекания пластинки с точечной особенностью в потоке.
В 1 изложены математическая постановка задачи и ее аналитическое решение. В качестве исходных данных задавались длина пластинки, величина и направление скорости набегающего потока, а также интенсивность и положение особенности, в качестве которой был взят вихреисточ-ник. Дальнейшее решение строилось в зависимости от переменной во вспомогательной плоскости. Получены соотношение для определения распределения скорости вдоль пластинки и формулы для коэффициента подъемной силы и силы сопротивления.
В 2 приведены примеры расчетов обтекания пластинки. Показаны зависимости коэффициентов подъемной силы и силы сопротивления от интенсивности вихреисточника. Были рассмотрены частные случаи источника (стока) и вихря. На основе полученных результатов сделаны выводы.
Во второй главе диссертации решена задача проектирования крылового профиля с точечной особенностью в потоке.
В 3 дана постановка задачи проектирования крылового профиля с вихреисточником в потоке. В качестве исходных данных задавались периметр профиля, величина скорости набегающего потока, интенсивность и положение вихреисточника. Исходное распределение скорости получено следующим образом: в найденном распределении скорости по пластинке бесконечные значения скорости в передней кромке ограничивались конечной величиной. Для решения использовались условия разрешимости задачи: условия замкнутости искомого контура и условия совпадения заданной величины скорости со значением, определяемым в процессе решения.
В 4 приведены примеры расчетов профилей, полученных при разных значения интенсивности и положения вихреисточника. Показана зависимость коэффициента подъемной силы и силы сопротивления от интенсивности вихреисточника. Рассмотрены частные случаи источника, стока и вихря.
В третей главе диссертации метод проектирования крыловых профилей при наличии в потоке особенности обобщен на случай системы из п особенностей.
В 5 дана постановка задачи и построено аналитическое решение. При решении использованы условия разрешимости задачи: условия замкнутости искомого контура и условия совпадения заданной величины скорости со значением, определяемым в процессе решения.
В 6 приведены результаты расчетов. В качестве примера была выбрана задача построения крылового профиля с предкрылком и закрылком, которые моделируются двумя точечными вихрями. Исходное распределение скорости было взято из прямого расчета профиля 30P20N. На основе полученных результатов проведен анализ и сделаны выводы.
Четвертая глава посвящена решению задачи оптимизации.
В 7 в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости поставлена и решена задача максимизации подъемной силы окружности при наличии в потоке точечного вихря. Дана математическая формулировка соответствующей оптимизационной задачи. Численно показано, что максимум подъемной силы достигается при симметричном обтекании и совпадении точек разветвления и схода потока. Задача нахождения максимума подъемной силы окружности при симметричном обтекании решена аналитически. Получена формула для коэффициента подъемной силы из которой сделан вывод о том, что при фиксированной величине интенсивности вихря добиться увеличения коэффициента подъемной силы можно за счет приближения вихря к окружности.
В 8 поставлена и решена задача максимизации коэффициента подъемной силы при обтекании гладкого контура с точечным вихрем в потоке. Полученную задачу оптимизации удалось свести к двум более простым. Первая задача имеет аналитическое решение. Вторая задача есть задача оптимизации положения особенности в потоке. В результате решения оптимальным контуром оказалась окружность.
В 9 задача максимизации коэффициента подъемной силы гладкого контура обобщена на случай вихреисточника в потоке. Решение задачи проведено численными методами > многомерной оптимизации. На основе полученных результатов проведен анализ и сделаны выводы.
В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.
Результаты проведенных численных расчетов представлены в диссертации в виде рисунков, графиков и таблиц.
На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:
Метод проектирования профиля крыла при наличии в потоке точечной особенности (вихреисточника, вихрестока, источника, стока, вихря).
Решение задачи обтекания пластинки с вихреисточником в потоке.
Обобщение решения задачи проектирования профиля крыла на случай системы вихреисточников в потоке.
Постановка и решение задачи максимизации подъемной силы путем выбора оптимальной формы контура и расположения вихреисточника.
Алгоритмы численной реализации, результаты числовых расчетов и сделанные на их основе выводы.
Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (руководитель - Н.Б. Ильинский); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханики) за 2006-2009 гг.; Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» за 2006, 2009 г.; XVIII школе-семинаре ЦАГИ «Аэродинамика летательных аппаратов» (Жуковский, 2007); X Международной научной школе «Гидродинамика больших скоростей» и международной научной конференции «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (к 145-летию со дня рождения академика А.Н. Крылова), Чебоксары, 2008; Девятой международной школе-семинаре «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2009).
По теме диссертации опубликовано 3 статьи в центральных изданиях и 7 тезисов. Основное содержание диссертации отражено в работах [6-15].
Содержание первой главы освящено в работах [6, 7, 12] В совместной работе [7] научному руководителю принадлежит постановка задачи и идея метода решения. Автором получено решение, разработан алгоритм численной реализации, составлена программа и проведены расчеты.
Работы [9-11, 13, 14] прослужили основой второй и третьей глав. В совместных работах [11, 14] научному руководителю принадлежит постановка задачи и схема ее решения; автором разработан соответствующий метод решения, алгоритм численного решения и проведены расчеты.
Содержание четвертой главы освящено в работах [8, 15].
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Н.Б. Ильинскому за предложенную тему исследований, постоянные консультации и полезные советы. Автор благодарит А.В. Поташева и Д.Ф. Аб-залилова за советы при выводе аналитических формул, Р.Ф. Марданова за помощь при численной реализации некоторых решений на ЭВМ. Также особая благодарность всем сотрудникам Отдела краевых задач НИИММ за обсуждение результатов диссертации на семинарах Отдела, полезные замечания и внимание.
Следует отметить и финансовую поддержку Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-08-01153), федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России 2009-13 годы» (гос. контракт № П1124).
Постановка задачи, аналитическое решение, квазирешение, формулы определения аэродинамических характеристик
Постановка задачи. В физической плоскости z (рис. 7) искомый непроницаемый крыловой профиль обтекается плоским установившимся безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости со скоростью VQQ ; контур Lz этого профиля ищется замкнутым и гладким за исключением задней кромки В, где внутренний к области течения угол равен єгс, 1 s 2. Тогда в силу гипотезы Жуковского-Чаплыгина точкой схода потока будет точка В. Система координат выбрана так, что ее начало совпадает с задней кромкой профиля, а ось абсциссы х направлена параллельно скорости Voo, причем величина vM известна (всюду далее скорость безразмерная, отнесенная к v ). Безразмерная дуговая координата s, отнесенная к заданному периметру L искомого контура профиля L:, отсчитывается от s - 0 в задней кромке до я = 1 на ней же так, что при возрастании s вдоль Lz область течения Gz остается слева. Хорда профиля, то есть расстояние от задней кромки В профиля до наиболее удаленной точки на контуре L_, обозначена через Ъ, угол атаки - через а (рис. 7). В точке О (zx = х1 + /у]) расположен вихреисточник интенсивности Q.X = Q -iT\, где Q = Q/(v x b)-безразмерная интенсивность источника, а pj = Гі liyjj) - безразмерная интенсивность вихря (у безразмерных величин далее штрихи будем опускать). Значение Q является положительной величиной в случае источника и отрицательной в случае стока. Знак Г і определяет направления раскручивания вихря. При Гі 0 вихрь раскручивается против часовой стрелки, при Гі 0 - по часовой стрелке. Величина Г2: считается известной. Требуется определить форму крылового профиля и его аэродинамические характеристики. В силу предположения о безвихревом характере обтекания существует потенциал скорости ф (v = grad ф = Уф ), связанный с функцией тока \\i условиями Коши-Римана Комплексный потенциал потока w(z) = (p(x,y) + iy(x,y), z-x + iy является аналитической функцией в области течения G (во внешности искомого профиля). Циркуляция скорости Г0 вокруг Lz будет Так как контур Lz профиля предполагается непроницаемым, примем на нем функцию тока v/ = 0. Требуется найти замкнутый контур Lz, ограничивающий область G , содержащую бесконечно удаленную точку, и аналитическую в G (за исключением точки z-zx -вихреисточника) функцию w(z), имеющую в окрестности бесконечности представление где ck,dk- коэффициенты ряда Тейлора.
В итоге пришли к внешней обратной краевой задаче для аналитической в области Gz функции w(z), имеющей простой полюс и логарифми ческую особенность в бесконечно удаленной точке и логарифмическую особенность в точке Zj, а на искомой границе известное значение Аналитическое решение. Выберем в качестве канонической области внешность единичного круга G, ={ : 1} во вспомогательной плоскости й, (рис. 2). Комплексный потенциал w(Q обтекания единичного круга со скоростью ще1 , циркуляцией Г = Г0 - Г} и вихреисточником интенсивности Qt в точке С,0 имеет вид (1.2), где "0 = г0е Го - образ точки zx в плоскости Q; м0,Р,С0 -действительные константы, об определении которых будет сказано ниже. Рассмотрим в области G, функцию имеет логарифмическую особенность в точках обращения скорости VB ноль (в С, - С,т и С, = С,с). Учитывая такой характер поведения, удобнее рассмотреть аналитическую в области Gv и непрерывную в G функцию где т = rmelYm, с = е1Гс - образы точек разветвления потока Ми Св плоскости С,. Сопоставляя cp(s) (2.1) и ср(у), где установим зависимость я = ,s(y), 0 у 27i, подставив которую в v(s), найдем v(y) = v(Xy)), а следовательно, и S(y) = R.e%(e y). Тогда функция %(Q найдется как решение задачи Шварца для G. по формуле Из условия Imx() = 0 следует, что а0 =0. Учитывая (2.2), определим функцию конформно отображающую G. на G_. Если в полученном выражении учесть, что dwdC в плоскости С, может быть представлена в виде Перейдя в выражении (2.5) к предельным значениям при %-eiy, найдем параметрические уравнения искомого контура L крылового профиля о z Окончательный вид параметрических уравнений искомого контура Lz крылового профиля можно представить в виде: понимается в смысле главного значения по Коши. В решение (2.6) входят неизвестные параметры м0,р, jn,ym,Rm, C0,y0,R0. Для их определения составим систему уравнений.
Для этого сначала проинтегрируем выражение dw/dC, из (2.4): А,В,С,ПЛтЛоЛс связаны между собой соотношениями Учитывая эти равенства, из первого и последнего выражений (2.9) получим соотношения: добавить условия то придем к замкнутой системе для отыскания неизвестных параметров. Квазирешение. Известно, что в результате решения ОКЗА для заданных распределений скорости контур крылового профиля может оказаться разомкнутым, то есть физически не реализуемым. Чтобы избежать этого, необходимо удовлетворить условиям замкнутости контура Lz Условия замкнутости искомого контура эквивалентны требованию однозначности функции z( ), что будет достигнуто, если приравнять нулю вычет с_л = res(dz/d) Для определения с_х запишем равенство (см. (2.5)) Учтя формулу (2.3), представим функцию в виде где Теперь можно записать соотношения производной dz/d на бесконечности будет иметь вид Следовательно, c_! = —u0 (ATJ + є -1) exp(-//? - a0 ) и для замкнутости контура искомого профиля должно быть ах=\-є. Подставив сюда выражение для ах из формулы (2.10) и выделив реальную и мнимую части, получим условия замкнутости в виде (2.11) Кроме условий (2.11) для разрешимости рассматриваемой задачи должно быть выполнено еще одно условие, условие совпадения заданной величины скорости Уэд со значением, определяемым в процессе решения. С одной стороны v известно, с другой стороны определяется из
Постановка и решение обратной задачи аэрогидродинамики с вихреисточниками в потоке
Постановка задачи. В физической плоскости z (рис. 14) искомый непроницаемый крыловой профиль обтекается плоским установившимся безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости со скоростью vOT; контур Lz этого профиля ищется замкнутым и гладким за исключением задней кромки В, где внутренний к области течения угол равен ел, 1 s 2. Начало координат выбрано в точке В, а ось абсцисс направлена параллельно скорости набегающего потока Voo . Величина этой скорости известна. На контуре Lz задается распределение скорости потока v = v(s), О s 1, которое схематично изображено на рис. 15. Безразмерная дуговая координата s, отнесенная к заданному периметру L искомого контура профиля Lz, отсчитывается от s = 0 в задней кромке до 5 = 1 на ней же так, что при возрастании s вдоль L: область течения Gz остается слева.
Хорда профиля, т. е. расстояние от задней кромки В профиля до наиболее удаленной точки на контуре L,, обозначена через Ъ, угол атаки - через а (рис. 14). В точках Ok(zk=xk+iyk, к = \,п) расположены вихреисточники интенсивности Q = Qk +iTk, Q =Qk /(v b), k = \,n - безразмерные интенсивности вихреисточников (у безразмерных величин далее штрихи будем опускать). Значение Qk О соответствует источнику, Qk О - стоку. Знак Гк определяет направления раскручивания вихря. При Тк 0 вихрь раскручивается по часовой стрелке, при ГА: 0 — против часовой стрелки. Величины Qk, zk считаются известными. Требуется определить контур Lz профиля крыла и найти коэффициенты подъемной силы С и силы сопротивления Сх уха Метод решения. Для решения этой задачи воспользуемся методом, изложенным в главе II. Рассмотрим в плоскости комплексного переменного % каноническую область \С\ 1 - внешность круга единичного радиуса, которую обозначим через G , а ее границу j j = 1 - через L (рис. 16). Рис. 16 Комплексный потенциал w(Q обтекания единичного круга со ско-ростью и0е р, циркуляцией Г = Г0 + ГЛ и вихреисточниками интенсив А=1 ности 0.к,к-\,п в расположенных в точках С,к, к = \,п имеет вид где ок = гоке Уок,к = \,п образы точек гк в плоскости С, соответственно; w0,P,C0-действительные константы, об определении которых будет сказано ниже. Для решения задачи введем в рассмотрение аналитическую в области Gr функцию Действительная часть функции х(С) на А? известна Таким образом, функция %(,) восстанавливается по действительной части 5(,) оператором Шварца Если теперь учесть, что производную комплексного потенциала можно представить в виде то из (3.2) получим рейдя в выражении (3.4) к предельным значениям при = е/у, найдем параметрические уравнения (2.6) искомого контура L крылового профиля. Здесь мнимая часть функции %(Q на окружности С, = е1у также определяется через интеграл Гильберта (2.7).
В решение (2.6) входят неизвестные параметры и0,$,уп,С0утк, rmk, Yok rQk к-1,п. Всего An + 4 неизвестные величины. Для их определения составим систему. Для нахождения критических точек течения, т. е. точек с нулевой скоростью, имеем уравнение помещается в точке В ((1, = 1). Это равносильно тому, что она является отображением острой задней кромки профиля. Если к (3.5) добавить условия: (всего 2п + 3 условия), то придем к замкнутой системе уравнений для определения неизвестных. Известно, что построенный по формулам (2.6) контур крылового профиля может оказаться разомкнутым. Чтобы избежать этого, необходимо удовлетворить условиям замкнутости искомого контура Lz. Условия замкнутости искомого контура эквивалентны требованию однозначности функции z(C,) (отсутствию логарифмической особенности), что будет достигнуто, если приравнять нулю вычет с_х = res (dzl d). Кроме того, надо выполнить условия совпадения заданной величины скорости уда со значением, определяемым в процессе решения. Это достигается устремлением в формулах (3.2) и (3.3) переменой к бесконечности. Таким образом, условия разрешимости примут вид: Для их выполнения, согласно способу квазирешения [18], исходное распределение скорости подправляется так, чтобы новое распределение скорости минимально отличалось от заданного. Здесь & (у) - функция, удовлетворяющая условиям (3.5), (3.6). Наконец, распределение коэффициента давления с по контуру профиля Lz определяется по формуле а соответствующие безразмерные коэффициенты сопротивления и подъемной силы по формулам: А в приведенной системе координат: 6. Результаты и анализ числовых расчетов. При решении обратных краевых задач аэрогидродинамики при наличии в потоке точечных особенностей нужно уметь задавать распределение скорости по искомому контуру профиля. Нами в качестве такого распределения использовалось распределение скорости из решения панельным методом прямой задачи обтекания крылового профиля 30P30N (рис. 17) с предкрылком и закрылком. Были найдены распределения скоростей по основному профилю и по предкрылку и закрылку. На рисунке 18 показано распределение скорости по основному профилю 30P30N, которое использовалось в качестве исходного распределения скорости при решении обратной задачи. При решении задачи построения крылового профиля предкрылок и закрылок заменялись точечными вихрями. Контур получился разомкнутым, для его замыкания строилось квазирешение. В результате решения задачи удалось построить замкнутый контур крылового профиля и найти его аэродинамические характеристики (рис. 19, табл. 13). На рис. 19 представлены крыловые профиля: исходный (сплошная линия) и полученный путем решения обратной краевой задачи с двумя вихрями в потоке (штриховая линия). В целях наглядности найденные профили располагались так, что их хорды совмещались с осью абсцисс, причем длина хорды принималась за единицу.
Максимизация подъемной силы гладкого профиля с вихрем в потоке
Постановка задачи. В плоскости z искомый замкнутый гладкий контур X, (рис. 24 а) фиксированного периметра L обтекается потенциальным потоком ИНЖ с заданной скоростью vOT набегающего потока. В некоторой точке О потока находятся вихрь заданной интенсивности Г . Через Г обозначим циркуляцию потока по любому контуру, охватывающему контур Lz и вихрь. Предполагается, что реализуется схема течения с тремя критическими точками, две из которых располагаются на I. (С -точка разветвления потока, В - точка схода), а третья (точка М) - в потоке. Также предположим, что не реализуется схема течения, изображенная на рис. 24 б с чисто циркуляционным течением вокруг контура X. и вихря в точке О, так как для такой схемы возможно любое сколь угодно большое значение циркуляции Г. Точку В схода потока примем за начало координат, ось абсцисс выберем параллельно направлению скорости набегающего потока. Требуется определить такую форму контура Lz и найти такое положение точки О расположения вихря, чтобы коэффициент подъемной силы С =2r/(v00L) был максимальным. Выбор управляющих параметров. Введем в рассмотрение каноническую область G/- H l 1 j в плоскости (рис. 24 в). Соответствующие точки в плоскостях z и будем обозначать одинаковыми буквами. Для взаимно-однозначного конформного отображения областей Gr и Gr потребуем соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей Z и С, и выполнение условия означающего, что скорость на бесконечности в канонической области также направлена вдоль оси абсцисс. Комплексный потенциал vt ( ) = op + Л/ обтекания окружности с циркуляцией Tj в точке С,0 = r0e Yo и циркуляцией Г на бесконечности имеет вид где и0 - модуль скорости потока на бесконечности в плоскости . Комплексно-сопряженную скорость dw/d обтекания единичного круга с вихрем в потоке можно записать, воспользовавшись методом особенностей, В это соотношение входят неизвестные параметры: с — е Ус, ъ = еГь, Ст = гте Гт определяющие положение критических точек С,В,М. Для нахождения этих параметров достаточно продифференцировать соотношение (4.8) и привести его к виду (4.9).
Но удобнее использовать другой способ. Рассмотрев (4.9) на границе круга = егу, найдем распределение скорости и[у) по поверхности единичной окружности в виде (4.3) и уста новим зависимость (4.2) между угловыми координатами критических точек, которую используем для нахождения ус. Пусть [ik,[k = 1,5) - параметры Уь,Уо,г0,ут,гт, которые будем называть управляющими. Из выражения (4.9) в окрестности бесконечно удаленной точки, в которой поток имеет вихрь с циркуляцией Г, получим соотношения: где ности и периметру контура, имеет вид Рассмотрев поведение комплексно-сопряженной скорости (4.9) вблизи точки 0, получим ограничение Еще одно ограничение следует из невозможности течения, изображенного на рис. 24 в. Это ограничение будет выполняться в случае, если Выбор управляющей функции. Введем аналитическую в области Gr функцию Полностью определяющую вид контура Lz в физической плоскости. Для нахождения этой функции достаточно задать ее вещественную часть на границе. Поэтому в качестве управляющей функции выберем (y)-Rex(e r). Из теории ОКЗА (см., напр., [18]) известно, что S{y) должна удовлетворять трем условиям разрешимости: Первое условие следует из задания величины скорости v на бесконечности, второе и третье обеспечивают замкнутость Lz. Распределение скорости по искомому контуру Lz определяется по формуле Преобразовав (4.15), получим квадратуру для нахождения формы искомого контура. Отсюда также следует связь между заданным периметром L контура и параметром и0: Исключив величину щ скорости из соотношений (4.12) и (4.13), придем к следующей оптимизационной задаче. Математическая формулировка оптимизационной задачи.
Найти функцию S(y) и пять параметров \ik, при которых функционал принимает максимальное значение с учетом трех ограничений (4.16) на вид функции S(y), условий (4.11) и (4.14) на параметры \ik и связи Вся сложность решения поставленной задачи состоит в наличии ограничений (4.18), связывающего управляющую функцию S(y) и параметры juk. Для ее решения используем следующую теорему. Теорема. Пусть функция f(x,y) \(x,y)GD) ограничена сверху. Тогда Доказательство. Пусть a = sup f(x,y). Тогда a sup f(x,y), а это влечет a sup[sup/(x,j )]. Обратно, пусть є 0 произвольно. По ОПреде-дг у лению sup существует точка (х0,у0 еП такая, что f(x0,y0) a-e. Тем более У х у Следствие. Если, в частности, функция обладает максимами (т.е. супремумы достигаются в области D), то Используя эту теорему, оптимизационную задачу удается разделить на две более простые задачи. Пусть скорость и0 0 - заданное вещественное число. Задача 1. Найти функцию (х) удовлетворяющую условиям разрешимости (4.16) и уравнению Задача 2. Найти параметры pk,k = l,5, при которых функция f\ (/ ) принимает максимальное значение при ограничениях Задача 1 имеет аналитическое решение. Согласно [20] 1. При и0 V LUTT решение не существует; 2. При uQ = y LIln решение существует и единственно, S{f) = 0; 3. При и0 v00L/2n: существует бесконечное множество решений. Задачу 2 можно трактовать как задачу оптимизации расположения критических точек и вихря при обтекании окружности при фиксированной скорости набегающего потока «0 и интенсивности вихря Гт.
После ее решения определится значение оптимизируемой функции f\{jU/c) которое будет зависеть от и0: f0(ii0) = maxf{(\ik). Согласно (4.12) оптимизируе мый коэффициент подъемной силы также будет функцией от и0: Суа {Щ ) = 2иоЛ {Щ ) I (voo ) Если эта функция будет возрастающей, то максимум С будет достигаться при максимально возможном значении U0=VXL/2TZ И оптимальным контуром будет являться окружность. Схема решения задачи 2. Эта задача представляет собой задачу максимума функции пяти переменных при двух ограничениях равенствах и одном ограничении неравенстве. Численный анализ этой задачи показал, что оптимуму достигается при обтекании окружности, симметричном относительно оси ординат. Симметричность картины обтекания является необходимым условием единственности решения задачи, т.к. в противном случае существует как минимум два симметричных относительно оси ординат обтекания окружности с одинаковыми значениями коэффициента подъемной силы. Рассмотрим симметричный случай подробнее. Вихрь и критическая точка М располагаются на оси ординат под единичной окружностью: у0=ут=Зп/2; из (4.2) следует ус = 7t — у6. Условие (4.11) при этом выполняется автоматически. Второе ограничение равенство (4.18) удобно использовать для нахождения rm. Таким образом, имеем задачу максимизации функции /15 зависящей от двух параметров (уь и г0) при одном ограничении неравенстве /4 О. На рис. 25 а представлены изолинии /\{уь го) в области /4(у6,г0) 0 существования решения при Tl/(yaoL)=0.1. Видно, что оптимум достигается в случае уь=-%12 (т. е. точки С и В совпадают) и является граничным (f4 = 0).
Оптимизация формы профиля с целью увеличения подъемной силы путем оптимального выбора расположения вихреисточника
Постановка задачи. В плоскости z искомый замкнутый гладкий контур L. (см. рис. 28) фиксированного периметра L обтекается потоком ИНЖ с заданной скоростью v набегающего потока. В точке О находятся вихреисточник. Предполагается, что две критические точки (С - точка разветвления потока, В - точка схода) располагаются на контуре, а третья (точка М) — в потоке. Также предполагается, что не реализуется течение аналогичное течению вокруг контура и вихря, изображенному на рис. 24 б. Так для такой схемы возможно любое сколь угодно большое значение циркуляции Г. Интенсивность Ql = Q + iTl вихреисточника задана. Интенсивность Q берется со знаком «плюс» для источника и со знаком «минус» для стока. Знак Г{ определяет направление раскручивания вихря; Г\ О вихрь раскручивается по часовой стрелке, при Гг 0 - против часовой стрелки. Точка В схода потока принята за начало координат, ось абсцисс выбрана параллельно направлению скорости набегающего потока. Требуется определить форму контура L. и найти такое положение вихреистчника, чтобы коэффициент подъемной силы С а = 2r/(vxL) был максимальным. Выбор управляющих параметров. Также как и в предыдущей задаче введем в рассмотрение каноническую область G {\ \ і) в плоскости " (рис. 2). Соответствующие точки в плоскостях z и будем обозначать одинаковыми буквами. Для взаимно однозначного конформного отображения областей Gz и G потребуем соответствие бесконечно удаленных точек плоскостей ги(и переход точки В (z = 0) в точку = 1. Комплексно-сопряженную скорость dw/d обтекания единичного круга с вихреисточниками в потоке можно записать, воспользовавшись методом особенностей (см., напр., [18]).
Функция dwld имеет простой нуль в точке т = гте Гт ; в точке о = г0е Го расположения вихреисточника функция dwIdC, имеет простой полюс, а на бесконечности равна и0е . Таким образом где и0 и /3 - соответственно модуль и аргумент скорости потока на бесконечности в плоскости g; juk, = 1,5 - свободные параметры (ус, у0, ут, Г0 Гт) Рассмотрим (4.19) на границе круга С 1- Установим связь между углом р и угловыми координатами точек разветвления потока и угловыми координатами точек положения особенностей Найдем распределение скорости u(y) = ±\dw/d\-= ;у (знак «+» выбирается при совпадении направления обхода контура с направлением скорости, а «-» в обратном случае) по поверхности единичной окружности. Выражение для распределения скорости можно записать в виде Рассмотрим поведение dwld в окрестности бесконечно удаленной точки, в которой поток имеет сток интенсивности —Q и вихрь с циркуляцией Г = Г0 + Гр Из (4.19) следует, что разложение функции Ф(С) в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид где функция Ш-к) = 2фіпр -sin(yc -Р) + (r0 + l/r0)sin(y0 -P)-(rm +l/rm)sm(ym -p)], /2( ) = 27t[cosP-cos(Yc-P) + (ro+1/ b)cos(y0-p)-(r/w+l/r/„)cos(y/w-p)]. Коэффициент подъемной силы, отнесенный к скорости уж на бесконечности и периметру L контура, имеет вид (4.12). Рассмотрев поведение комплексно-сопряженной скорости (4.19) вблизи точки 4о, получим ограничение где Введем еще одно ограничение где w( ) имеет вид (1.2), аналогичное условию, которое вводили для задачи с вихрем. Выбор управляющей функции. В качестве управляющей функции выберем (/) (см. 8), которая удовлетворяет условия разрешимости (4.16). Распределение скорости по искомому контуру Lz определяется по формуле для нахождения формы искомого контура. Отсюда также установим связь между заданным периметром L контура и параметром щ (4.17). Исключив величину и0 скорости из соотношений (4.12), (4.22) и (4.23), придем к следующей оптимизационной задаче.
Математическая формулировка оптимизационной задачи. Максимизируемый функционал в нашем случае имеет вид Нужно найти функцию #(у). у є [0,27t] и параметры \ik, к = 1,5, при которых функционал принимает максимальное значение с учетом трех условий разрешимости (4.16), условий заданости интенсивности вихреисточника: и условия f4 (ід .) 0. Таким образом, в поставленной задаче, как и в предыдущей, имеются ограничения (4.26), связывающие искомую функцию S(y) и параметры juk. Используя теорему (см. 8), разделим эту задачу на две более простые. Задача 1. Найти функцию S(y), удовлетворяющую условиям разрешимости (4.16) и уравнению Задача 2. Найти параметры juk,k = 1,5, при которых функция Л ІМк) принимает максимальное значение при ограничениях /2(Mk) = Q/uo /з(Мк) = Гі/ио /л(Мк) -Как уже отмечалось ранее, задача 1 имеет аналитическое решение. Задачу 2 можно трактовать как задачу оптимизации расположения критических точек и особенности при обтекании окружности и фиксированной скорости набегающего потока uQ и интенсивности вихреисточника Q{. После ее решения определится значение оптимизируемой функции fi(juk), которое будет зависеть от и0: /0(M0) = maxyj((a/t). Согласно (4.12) оптимизируемый коэффициент подъемной силы также будет функцией от Если эта функция будет возрастающей, то максимум Суа будет достигаться при максимально возможном значении u0=vaoL/2iz и оптимальным контуром также будет являться окружность. Схема решения задачи 2. Исследование задачи 2 - оптимизации коэффициента подъемной силы на окружности - начнем с простейших случаев. Пример 1. При Ql -0 имеем обтекание окружности без особенности (см., например [26]). Имеется всего один свободный параметр ус и требуется максимизировать
