Содержание к диссертации
Введение
1 Волны в слоисто-неоднородной жидкости 9
1.1 Слоисто-неоднородная жидкость. Эффект «мертвой воды» 9
1.2 Неустойчивость Тонкса-Френкеля 14
1.3 Неустойчивости Рэлея-Тейлора и Кельвина-Гельмгольца ... 19
1.4 Нелинейные волны 33
2 Линейные периодические волны в стратифицированной идеальной жидкости конечной толщины 78
2.1 Эффект «мертвой воды» на гравитационных волных 35
2.2 Эффект «мертвой воды» на капиллярных волнах 49
2.3 Взаимодействие внешних и внутренних гравитационных волн в слоисто-неоднородной жидкости
2.4 О влиянии вязкости на внешние и внутренние волны в слоисто-неоднородной жидкости
3 Нелинейные периодические волны в стратифицированной идеальной жидкости конечной толщины
3.1 Нелинейный анализ эффекта «мертвой воды» для гравитационных волн
3.2 Нелинейный анализ эффекта «мертвой воды» для капиллярных волн
3.3 Нелинейное резонансное взаимодействие волн в слоисто-неоднородной жидкости 93 100
121
Заключение 142
Список литературы
- Неустойчивость Тонкса-Френкеля
- Неустойчивости Рэлея-Тейлора и Кельвина-Гельмгольца
- Эффект «мертвой воды» на капиллярных волнах
- Нелинейный анализ эффекта «мертвой воды» для капиллярных волн
Неустойчивость Тонкса-Френкеля
История изучения внутренних гравитационных волн в океане началась с океанографической экспедиции в Северной Атлантике (1893-1896) под руководством норвежского полярного исследователя Fridtjof Wedel-Jarlsberg Nansen [64]. Во время этой экспедиции F. Nansen неоднократно наблюдал внезапную потерю скорости судна «Fram», вплоть до полной его остановки, хотя море было спокойным и все двигатели работали в прежнем режиме. Этому явлению было дано название эффект «мертвой воды». Моряки неоднократно сталкивались с данным феноменом и до экспедиции Ф. Нансена, но ученые относили сообщения о неожиданных остановках судов к фантастическим вымыслам. Постепенно выявились некоторые характерные черты этого явления. Было замечено, что «мертвая вода» задерживает обычно суда средних размеров. Крупные суда и мелкие лодки, как правило, избегали его влияния.
Известный тогда метеоролог Vilhelm Friman Koren Bjerknes выдвинул гипотезу о том, что потеря скорости у судна, которую наблюдал Нансен на своем судне, идет за счет образования волн на поверхности границы раздела пресной и соленой воды. Впоследствии экспериментатор и ученик Бьернеса, Vagn Walfrid Ekman [41] поставил эксперимент, в котором наблюдал проявление эффекта «мертвой воды» в стратифицированной по плотности жидкости, и подтвердил гипотезу Бьеркнеса. Кроме того Ekman при проведение своих экспериментов с различными типа лодок, описал некоторые аспекты связанные с эффектом «мертвой воды»:
Сопротивление, которое испытывает корабль при движении в двухслойной жидкости намного больше, сопротивления при движении в однородной по плотности жидкости. Это происходит из за того, что на границе стратификации двух жидкостей энергия винтов корабля, идет на раскачку внутренних волн. Этот эффект проявляется максимально, когда скорость корабля меньше максимальной скорости внутренней волны [46], а максимальная скорость
Данная зависимость, сопротивления к движению корабля которую наблюдал Экман, показана на «Рис. 1.1». На этой фигуре экспериментальные точки, которые отмечены крестами, сравниваются с линейной теорией вязкого сопротивления (сплошные линии). Локальный максимум сопротивления в стратифицированной жидкости, наблюдается, когда скорость немного меньше сТ. При более высоких по сравнению с cf скоростях, сопротивление, испытываемое кораблем, подобно тому как если бы он двигался в однородной вязкой жидкости. Более современные исследователи [37, 43, 44, 50, 55, 56 62, 77] проводили аналогичные эксперименты, результаты которых совпадают с результатами Экмана. с глубиной 23 см, и случаем «мелкой воды» с глубинами 5 см и 2,5 см. Экспериментальные точки 5 обозначены крестами, а модель - сплошными линиями 1,4. 2. Другой вклад Экмана касается описания граничных волн, которые образуются при движении позади кормы корабля. А именно, он наблюдал два типа волн: поперечные и расходящиеся. Следует отметить, что легко могут наблюдаться только граничные волны, в отличие от поверхностных, амплитуда которых принимает очень малые значения. Отношение, связывающее амплитуды внешних и внутренних волн имеет вид — (ра - плотность воздуха,
Визуализацию этих волн можно найти из численного моделирования в работах таких ученых как Miloh [62], Yeung и Nguyen [81]. В их работах используется число Фруда, которое сравнивает среднюю скорость корабля со значением Сф .
Теоретические исследования внутреннего волнового сопротивления в эффекте «мертвой воды», используя модель жидкости с двумя слоями и свободной поверхностью, начались с работ Л.Н.Сретенского [25] и W.E. Lamb [19,53].
В слоисто-неоднородной жидкостью со свободной поверхностью и границей раздела каждая из границ раздела может генерировать волны. Волны порожденные свободной поверхность будем называть поверхностными, а волны порождаемыми границей раздела - внутренними. Суть эффекта «мертвой воды» заключается в том, что энергия источника (корабля или лодки) не равномерно распределяется между поверхностными и внутренними волнами: большая ее часть идет на увеличение амплитуды внутренних волн.
Заметный вклад в теорию волн в слоисто-неоднородной жидкости связан с именем Л.Н.Сретенского. В своей работе опубликованной в 1934 году он теоретически обосновал эффект «мертвой воды». Он показал, что сопротивление движущегося по свободной поверхности предмета зависит от амплитуды внутренних волн. Л.Н.Сретенский [25] исследует волновые движения на границе раздела бесконечно глубокой жидкости, заполняющей нижнюю половину трехмерного пространства XOYZ с плотностью р2, и волновые движения на свободной поверхности слоя жидкости толщиной h и плотностью рх находящийся на поверхности бесконечно глубокой жидкости, причем р2 р\. В более позднее время в своей монографии [26] Л.Н.Сретенский дал более компактное решение этой задачи в терминах волн в слоисто-неоднородной жидкости. Используя уравнение Бернулли, отбрасывая в нем квадраты скоростей частиц жидкости в виду их малости, Л.Н. Сретенский получает вертикальные отклонения точек свободной поверхности и поверхности раздела от их равновесных положений:
Началом теоретического исследования периодических волн бесконечно малой амплитуды на однородно заряженной поверхности идеально проводящей жидкости является работа Я.И. Френкеля [28]. В ней исследован вопрос о нахождении критических условий реализации неустойчивости поверхности жидкости по отношению к однородно распределенному электрическому заряду, индуцированному внешним электростатическим полем. Л.А. Тонке за год до появления работы Френкеля провел качественную оценку условий реализации этой неустойчивости [76]. Он получил критерий неустойчивости заряженной поверхности жидкости с точностью до коэффициента 2, сравнивая лапласовское давление под искажением, в виде сферического сегмента, рельефа плоской поверхности жидкости с давлением на него однородного электростатического поля, направленного перпендикулярно невозмущенной поверхности.
На практике, неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к электрическому заряду проявляется в том, что при превышении поверхностной плотностью заряда некоторого критического значения, с поверхности жидкости начинается сброс заряда в виде большого числа маленьких сильно заряженных капелек [5, 6, 75]. Сначала на поверхности образуются конусообразные выступы, - конусы Тейлора. Затем с вершин этих выступов электрическое поле начинает отрывать заряженные капельки [5, 6, 75].
Френкель строго вывел критерий реализации неустойчивости в рамках метода нормальных мод Рэлея [70], а саму неустойчивость, с течением времени стали, называть неустойчивостью Тонкса-Френкеля, чтобы почтить первооткрывателей. Он рассмотрел в линейном по бесконечно малой амплитуде волны приближении задачу определения спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной несжимаемой, идеально проводящей бесконечно глубокой жидкости. В системе координат OXYZ с осью OZ, направленной вертикально вверх, и плоскостью OXY, совпадающей с равновесной в поле сил тяжести плоской поверхностью жидкости, полная математическая формулировка этой задачи имеет вид [20, 28]:
Неустойчивости Рэлея-Тейлора и Кельвина-Гельмгольца
Пусть имеется жидкость со свободной поверхностью, физико-химические свойства приповерхностного слоя которой, отличаются от таковых в объеме жидкости. Такая ситуация складывается, например, в проливах, соединяющих водоемы с различной соленостью или температурой, при смешении потоков воздуха с различной температурой, при таянии льда на поверхности моря, когда на поверхности тяжелой соленой воды, появляется слой более легкой пресной. Последний пример и дал наименование эффекту, вынесенному в заглавие данной работы
Стратификация по глубине физико-химических свойств жидкостей имеет место не только в морских масштабах, но и в микроскопических. Так феномен динамического поверхностного натяжения, связан с образованием двойного электрического слоя у поверхности полярных жидкостей, приводящего к изменению их физико-химических свойств в приповерхностном (толщиной порядка сотни jum) слое по сравнению с объемными значениями [13, 30, 32]. Феномен самоорганизации магнитных коллоидов [17, 18] реализуется на пространственных линейных масштабах порядка единиц jum. Ориентирующее действие твердой подложки на молекулы жидкости и соответствующее изменение свойств жидкости в слоях толщинами порядка десятых долей jum связано с действием флуктуационных (они же дисперсионные и силы Казимира) сил [16, 23, 47]. В упомянутых ситуациях на границе областей стратификации возможно возникновение внутренних капиллярных волн и появляется основание для поиска аналога эффекта «мертвой воды» в диапазоне весьма коротких волн.
Рассмотрим две идеальные несжимаемые жидкости, верхняя из которых -диэлектрик диэлектрической проницаемостью имеет толщину h и плотность Pi, а нижняя - идеальный проводник с плотностью р2 заполняет в поле сил тяжести g (где g—ez, ez - орт декартовой системы координат) полубесконечное пространство z 0 (кроме того р2 Pi). Примем, что на границе раздела жидкостей (в равновесном состоянии z = 0) равномерно распределён электрический заряд, который создает в области пространства z 0 электростатическое поле. Будем исследовать капиллярно-гравитационные волны на свободной поверхности верхнего слоя жидкости и на границе раздела сред. где V. - поля скоростей в верхней и нижней жидкостях; п2 - вектор нормали к границе раздела сред; функции Fx (х, z,t) = z — (х, i) — h и F2 (х, z,t) = z — 2 (X 0 определяют уравнения свободной поверхности верхнего слоя жидкости Fi (х, z,t) = 0 и границы раздела жидкости F2 (х, z,t) = 0; l (х, і) и f2 (х, t) - возмущения свободной поверхности слоя и границы раздела сред, соответственно, амплитуды которых 2 h принимаются в качестве малого параметра задачи; Р и Р2 - гидродинамические давления в слое и нижней жидкости; Pat - постоянное давление верхней среды на свободную поверхность слоя (атмосферное давление); Р1сг, Р2а и PlE, Р2Е - капиллярные и электростатические давления на свободную поверхность и на границу раздела сред (индексы 1 и 2 относятся к верхнему слою и нижней бесконечно глубокой жидкости, соответственно). где верхний индекс означает порядок малости соответствующей компоненты электростатического потенциала и давления: нулём помечены равновесные значения, не связанные с возмущением (причем потенциалы равновесного невозмущенного состояния в силу симметрии задачи зависит только от координаты z), а единицей - добавки первого порядка малости к соответствующим давлениям, вызванные возмущением свободной поверхности и границы раздела, SO - добавки первого порядка малости к соответствующим потенциалам.
Для определения капиллярного давления на границу раздела и свободную поверхность жидкости удобно воспользоваться известным выражением:
Для определения давления электрического поля на свободную поверхность Рш и границу раздела сред Р2 воспользуемся общим выражением для электростатического давления на границу раздела двух диэлектрических сред: где индексы ех и in отмечают величины внешние и внутренние по отношению к поверхности раздела. В задаче электростатическое давление Р±Е является давлением на свободную поверхность жидкого диэлектрика, граничащего с вакуумом, т.е. диэлектриком с проницаемостью, равной единице. Заменяя в выражении (2.2.15) поле Еех на поле в верхней среде: E0=-VO0, внутреннюю диэлектрическую проницаемость єіп - на диэлектрическую проницаемость слоя жидкости є, а внешнюю - на проницаемость вакуума, равную единице єех = \, получим:
Для определения электростатического давления Р2Е на границу раздела проводника (бесконечно глубокая идеально проводящая жидкость) и диэлектрика (слой жидкости толщиной h) учтём, что в этом случае вектор напряжённости внешнего поля к, направлен по нормали и совпадает по модулю с нормальной проекцией: Еех = Ее . Заменяя в выражении (2.2.15) поле Еех на поле в верхнем слое Щ = S/Фі и переходя к пределу єіп — GO (т.к. диэлектрическая проницаемость проводника стремится к бесконечности), получим:
Эффект «мертвой воды» на капиллярных волнах
Из вида выражений (3.1.6) для временных зависимостей амплитудных коэффициентов ocx{t) и #2(V), рассмотрим две ситуации. В первой, когда волна возбуждается только на свободной поверхности ( 0, 2 = ) «Рис.3.1», и во второй, когда возбуждение происходит только на границе раздела жидкостей (
Из «Рис.3.1» видно, что при задании в начальный момент времени волнового возмущения свободной поверхности верхнего слоя волновые движения на свободной поверхности и на границе раздела сред имеют амплитуды одного порядка величины. При задании же в начальный момент времени волнового возмущения границы раздела жидкостей при ру - р2 s: р2 волновые движения на свободной поверхности и на границе раздела сред имеют амплитуды, различающиеся по величине примерно в /(/ _А) Vа3 («Рис.3.2»). Этот результат линейного анализа определяет смысл феномена «мертвой воды». Согласно существующим представлениям о взаимодействии волн [27], волны с волновыми числами, соответствующими выполнению условия fm () = О могут обмениваться энергией. Из численных расчетов следует, что знаменатели амплитудных множителей нелинейных поправок второго порядка малости /п, имеют далекие от ноля значения, но /22 в области малых kh имеет близкое к нулю значение «Рис.3.3-3.4», и можно надеяться, что в этой области может возникнуть квазирезонансный случай. Это означает, что гравитационные волны, порождаемые свободной поверхностью верхнего слоя, смогут взаимодействовать с гравитационными же волнами, порождаемыми нелинейным взаимодействием во втором порядке малости, имеющими удвоенные волновые числа, порождаемыми как свободной поверхностью, так и поверхностью раздела сред.
В квадратичном приближении по отношению амплитуды волны к ее длине найдено аналитическое решение задачи о расчете гравитационного волнового движения в двухслойной стратифицированной по плотности жидкости со свободной поверхностью.
Итак, уточнены особенности реализации феномена «мертвой воды». Показано, что феномен «мертвой воды» проявляется как в первом, так и во втором порядках малости. Имеется потенциальная возможность реализации внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия волн, порождаемых различными поверхностями: свободной поверхностью и границей раздела жидкостей. В линейных расчетах при задании в начальный момент времени волновой деформации на границе стратификации на свободной поверхности верхнего слоя жидкости генерируется волна с той же длиной, амплитуда которой в максимуме меньше максимума амплитуды волны на границе стратификации во столько раз, во сколько разница плотностей нижней и верхней жидкостей меньше плотности нижней жидкости. При задании начальной волновой деформации на свободной поверхности на границе стратификации генерируется волна с меньшей амплитудой, но имеющей тот же порядок величины, что и волна на свободной поверхности.
Нелинейный анализ эффекта «мёртвой воды» для капиллярных волн Пусть имеется бесконечно глубокая (в физическом смысле) слоисто-неоднородная жидкость со свободной поверхностью, физико-химические свойства верхнего слоя которой, отличаются от физико-химических свойств нижнего. Так феномен динамического поверхностного натяжения, связан с образованием двойного электрического слоя у поверхности полярных жидкостей, приводящего к изменению их физико-химических свойств в приповерхностном (толщиной порядка сотни /лт) слое, по сравнению с объемными значениями [16]. Феномен самоорганизации магнитных коллоидов реализуется на пространственных линейных масштабах порядка единиц /лт. Ориентирующее действие твердой подложки на молекулы жидкости и соответствующее изменение свойств жидкости в слоях толщинами порядка десятых долей /лт связано с действием флуктуационных сил [16, 23, 47]. В упомянутых ситуациях на границе областей стратификации возможно возникновение внутренних капиллярных волн и проявляется микроаналог эффекта «мертвой воды» в диапазоне весьма коротких капиллярных волн. Сам эффект «мертвой воды» на гравитационных волнах истолкован Л.Н. Сретенским в начале тридцатых годов XX века [25]. Однако нелинейные особенности взаимодействия гравитационных волн, порожденных различными поверхностями, при реализации этого эффекта стали объектом исследования лишь недавно. Аналогичной проблеме, сформулированной для капиллярных волн в капиллярном аналоге эффекта «мертвой воды» [14] посвящено настоящее рассмотрение.
Пусть имеются две идеальные несмешиваемые несжимаемые жидкости, из которых верхняя (в поле силы тяжести) имеет толщину h, плотность PY И характеризуется коэффициентом поверхностного натяжения сг , а нижняя - с плотностью / (по определению / Р\) заполняет в поле силы тяжести полубесконечное (в физическом смысле) пространство z 0. В реальности это означает, что толщина слоя жидкости на твердом дне значительно превышает величины капиллярных постоянных обеих жидкостей (или длины исследуемых капиллярных волн). Сразу подчеркнем, что поле силы тяжести в контексте нижеследующего изложения необходимо лишь для задания выделенного направления, которое может быть определено любым силовым полем, например, ориентирующим влиянием твердой стенки или свободной поверхности верхней жидкости. Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела сред обозначим о 2 Примем, что часть пространства над верхней жидкостью является вакуумом (представляет собой среду с плотностью, много меньшей плотностей обеих жидкостей, так, что её влиянием на капиллярное волновое движение в системе можно пренебречь). Будем исследовать устойчивость капиллярного волнового движения на свободной поверхности и на границе раздела сред, а также закономерности обмена энергией между волнами. Следует отметить, что модель несмешиваемых жидкостей описывает реальную ситуацию, если толщина переходного от жидкости с заданным набором физико-химических свойств к жидкости с иным их набором (толщина зоны стратификации), будет много меньше длин рассматриваемых волн и толщины слоя верхней жидкости. Математическая формулировка задачи имеет вид:
Нелинейный анализ эффекта «мертвой воды» для капиллярных волн
Выписанные выше решения исходной задачи справедливы вне области реализации резонансов, а в их малой окрестности они расходятся. Для детального исследования резонансов сформулируем задачу несколько иначе, задавшись целью получить эволюционные уравнения для амплитуд волн.
Решения задачи нулевого и первого порядков малости подставим в уравнения второго порядка малости. Все уравнения задачи второго порядка малости преобразуем к виду, в котором слагаемые с поправками второго порядка малости оставим слева, а все остальное перенесем вправо. - функция неоднородности в кинематическом уравнении на свободной поверхности, N2 - функция неоднородности в соотношении нормальных компонент напряженности на свободной поверхности, N3 - функция неоднородности в соотношении тангенциальных компонент напряженности на свободной поверхности, N4 - функция неоднородности динамического уравнения на свободной поверхности, N5,N6 - функции неоднородности в кинематических уравнениях на границе раздела сред, N$ - функция неоднородности в соотношении тангенциальных компонент напряженности на границе раздела сред, N9 - функция неоднородности динамического уравнения на границе раздела сред. Эти функции неоднородности легко получаются, но сами весьма громоздки, а потому не выписываются в данном изложении.
После подстановки решений нулевого, первого порядков малости в правые части уравнений и проектов решений второго порядка малости - в левые, избавимся от зависимости ехр(/Гх) в левых частях уравнений умножением на ехр(-гіГх), интегрирование оставит в правых частях уравнений только те слагаемые, в которых комбинации волновых чисел равны гКх. После описанной процедуры неоднородность Ns примет вид:
Неоднородность NG будет иметь аналогичный вид, за исключением коэффициентов Мп. Динамические условия в первом порядке малости позволяют установить соотношение между амплитудами, перейдем к системе уравнений относительно амплитуд на одной поверхности, конкретно выразим амплитуды на границе раздела сред через амплитуды на свободной поверхности. Полученная система из двух эволюционных уравнений получается переопределенной системы для неизвестных амплитуд на свободной поверхности, поэтому будет достаточным рассмотреть только одно эволюционное уравнение.
Представленные ниже результаты являются численными решениями, полученными в целях иллюстрирования для эффекта «мертвой воды». Эффект «мертвой воды» наблюдается весной, при таянии льдов в северных широтах, когда на поверхности соленой воды образуется прослойка пресных вод, или в проливах соединяющих водоёмы с разной солёностью. Для обсуждаемой модели «мертвой воды» плотность нижнего слоя соответствует плотности соленой воды относительно плотности пресной воды, а коэффициент межфазного натяжения на границе раздела сред оценивается согласно правилу Антонова. Для расчета величины межфазного натяжения т2 на границе раздела двух жидкостей с коэффициентами поверхностного натяжения т0 и а на границе с собственным паром соответственно, выражается соотношением: т2 = сг0 - т . В нашем случае коэффициент межфазного натяжения между соленой и пресной водой относительно коэффициента межфазного натяжения между пресной водой и воздухом: - = 1.0271; - - = 0.0106989. Принимается: Е0=9; =81.
Напряженность Е0 в принятых переменных обезразмеривается на cr /h . При 136 їі \000см единица напряжённости в четыре раза меньше размерной единицы напряжённости в системе Гаусса. Условие (3.2.3) является необходимым, но недостаточным. Для того, чтобы резонанс мог реализоваться волновое движение должно быть устойчивым и периодическим во времени. Частота волны должна быть вещественной. Там, где частота мнимая, движение апериодично, резонанса не может быть по смыслу этого явления. Проанализируем с этой точки зрения возможные резонансы (3.3.1), имея в виду, что частоты определяются соотношением (3.3.2).
Резонанс Q3. На «Рис.3.13» изображены поверхности инкремента неустойчивости волны с частотой sy (поверхность 1), инкремента волны с частотой s J (поверхность 2) и поверхность У3 — 4 ( ) - % (поверхность 3) пересечённые нулевой плоскостью JQ = О. Область устойчивости взаимодействующих волн правее поверхности 1 и 2. Область реализации резонанса лежит по линии пересечения поверхности 3 нулевой плоскостью, находящейся в области устойчивости взаимодействующих волн. Таким образом, резонанс Q3 реализуется.
Как показывают расчёты, такое положение дел остаётся неизменным при увеличении значения начальной амплитуды волны с частотой s% от 0.01 до 0.99 с шагом 0,05, и уменьшении начальной амплитуды волны с частотой sY }, соответственно, от 0,99 до 0,01 с тем же шагом 0,05, так чтобы сумма амплитуд равнялась единице. Некоторые из таких промежуточных расчётов проиллюстрированы на «Рис.3.21-3.24». Как видно из графиков внутренняя волна не только является катализатором резонанса, но и качественно влияет на его протекание. Легко заметить, что при малых начальных амплитудах внутренних волн характерное время передачи энергии между волнами относительно велико, а при дальнейшем увеличении начальной амплитуды внутренней волны характерное время передачи энергии уменьшается («Рис.3.20-3.24».), несмотря на то, что сама внутренняя волна в обмене энергиями не участвует. При дальнейшем увеличении начальной амплитуды внутренней волны частота передачи энергии (величина обратная характерному времени обмена энергиями) между волнами принимает значения сравнимые со значениями частот взаимодействующих волн, что приводит к изменению картины резонансного взаимодействия. В конечном итоге частота передачи энергии становится меньше частот взаимодействующих волн, что коренным образом меняет общую картину реализации резонанса.
