Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Последние десятилетия характеризуются интенсивным освоением морских берегов, океанического шельфа и прибрежных регионов. Внутренние гравитационные волны оказывают важное влияние на гидрологический режим шельфовой зоны. Интенсивные внутренние волны представляют особый интерес, так как могут затруднять осуществление хозяйственной деятельности человека на шельфе, влияя на сверхдальнее распространение акустических сигналов, движение подводных аппаратов, размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами, продуктивность планктона, процессы вертикального перемешивания, перенос примесей и загрязнений. Очевидно, что создание прогностических моделей, позволяющих предсказывать возможность существования и свойства интенсивных внутренних волн в зависимости от условий среды, является актуальной и практически значимой задачей.
В мелких морях вертикальная стратификация плотности нередко имеет трехслойную структуру с хорошо различимым сезонным пикноклином на глубине ~ 100 м и основным пикноклином на большей глубине [4]. Так, например, Балтийское море имеет более или менее постоянную трехслойную структуру, вызванную стоком пресных вод у поверхности и проникновением наиболее соленой воды в придонные слои через Датские проливы [7]. Различимая трехслойная стратификация плотности встречается и в ЮжноКитайском море [12]. Некоторые аспекты волновой динамики в трехслойной жидкости были исследованы ранее в рамках слабонелинейных [3, 11] и полнонелинейных моделей [6, 9, 10], главным образом численно. Многие важные вопросы, однако, остались не исследованными. В трехслойной жидкости существуют две волновые моды, и так называемые медленные волны почти не изучены в литературе. В трехслойной среде могут распространяться специфические классы нелинейных уединенных волн – бризеры, которые пока еще слабо исследованы как аналитически, так и численно. Кроме того, при некоторых соотношениях параметров среды уравнение Кортевега – де Вриза вырождается, и необходим учет нелинейности высших порядков. Все это указывает на актуальность проблемы изучения внутренних волн в трехслойной жидкости.
Цели диссертационной работы
Основной целью диссертационной работы является изучение динамики нелинейных гравитационных волн в трехслойной жидкости. В частности, предполагается:
-
Вывести расширенное уравнение Кортевега – де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей для волн первой (быстрой) и второй (медленной) моды в трехслойной жидкости.
-
Произвести уточнение динамики волн первой моды в рамках слабонелинейной теории в частном случае жидкости с симметричной трехслойной стратификацией при одновременном вырождении коэффициентов
квадратичной и кубической нелинейности в обобщенном уравнении Кортевега – де Вриза.
3. Исследовать влияние эффектов полной нелинейности на процессы генерации и свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости, в том числе на вертикальную структуру волновых полей.
Научная новизна результатов работы
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
-
Получено расширенное уравнение Кортевега – де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Продемонстрировано, что для медленной (второй моды) невозможно, чтобы оба нелинейных коэффициента (квадратичной и кубической нелинейности) одновременно обращались в нуль, в то время как для быстрой (первой) такое возможно, что было известно ранее. Тем не менее, для медленной моды возможно обращение квадратичной нелинейности в нуль, в то время как коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Показано, что в частном случае симметричной трехслойной стратификации коэффициенты нелинейного эволюционного уравнения для медленной моды совпадают с аналогичными коэффициентами двухслойной жидкости, если одну из границ переместить в середину потока.
-
Выведено так называемое «2+4» уравнение Кортевега – де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Это уравнение не является полностью интегрируемым, но допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия, приводящие к образованию дисперсионных пакетов.
3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных
локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном
пределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями
(солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей –
эволюционных уравнений типа Кортевега – де Вриза. Численным
интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано
существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой
квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой
среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов
моделирования с решениями уравнения модифицированного Кортевега – де
Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных
оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование
количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью
слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по
сравнению с полно нелинейной моделью.
-
Выполнено исследование вертикальной структуры солитонов, полученных путем численного интегрирования начальной задачи для полной системы уравнений гидродинамики в сопоставлении с солитонами расширенного модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза для трехслойной среды. Выявлены количественные различия структуры профиля горизонтальной и вертикальной скорости течений в солитоне в рамках слабо и сильно нелинейных моделей.
-
Доказано, что бризер может трансформироваться в солитон в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).
-
Показано, что вклад внутренних волн в формирование придонных потоков сравним с вкладом приливных волн даже для областей, находящихся на достаточно большой глубине по сравнению с пикноклином, что доказывают результаты численных экспериментов для Охотского моря, а, значит, бароклинная составляющая придонных скоростей должна учитываться при решении инженерных задач, связанных с обеспечением безопасности экосистем океанов и морей. Важно отметить, что коротковолновые цуги, наблюдаемые во всех расчетах, вносят основной вклад в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.
Положения, выносимые на защиту
-
Уравнение Гарднера для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Для быстрой моды коэффициенты квадратичной и кубической нелинейности могут менять знак. Для медленной моды коэффициент квадратичной нелинейности может менять знак, а коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен.
-
«2+4» уравнение Кортевега – де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Оно допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической.
-
Результаты сопоставления выводов полнонелинейной и слабонелинейной теории внутренних волн. В частности, в рамках исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, в то время как в классической слабонелинейной теории солитоны остаются узкими.
-
Процесс трансформации солитона в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн.
-
Важность учета сильнонелинейных эффектов в описании вертикальной структуры солитонов и их вклада в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.
Практическая значимость результатов работы
Предложенные в работе модели нелинейных волн в трехслойной жидкости могут применяться для изучения природных и технологических
процессов и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Они позволят прогнозировать условия существования солитонов и бризеров в природных водоемах, стратификация которых близка к трехслойной. Важным практическим приложением теории является оценка придонных и приповерхностных скоростей во внутренних волнах, необходимых для расчета транспорта донных наносов и поверхностных загрязнений.
Апробация работы
Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: IX международной конференции MEDCOAST (Сочи, 2009); XV Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово – Томск, 2009); IV и V Сахалинских молодежных научных школах «Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз» (Южно-Сахалинск, 2009, 2010); XIV, XV Нижегородских сессиях молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2009, 2010); Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2009 – 2012); XII Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2010); Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010); X международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010); XV – XVIII Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2009 – 2012); IX – XI Международной молодежной научно-технической «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010 – 2012); Конференции, посвященной 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН «Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе» (Южно-Сахалинск, 2011).
Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева и НИУ ВШЭ – Нижний Новгород.
Структура и объем диссертации
