Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейные эволюционные уравнения волновых движений стратифицированной жидкости 14-67
1.1. Уравнение Кортевега - де Вриза в теории волновых движений стратифицированной жидкости 15-26
1.2. Расширенное уравнение Кортевега - де Вриза 26-44
1.3. Обобщенное уравнение Гарднера для внутренних волн в горизонтально неоднородном бассейне 44-54
1.4. Численная модель эволюции нелинейных внутренних волн, основанная на обобщенном уравнении Гарднера 54-66
1.5. Выводы 66-67
Глава 2. Нелинейная динамика уединенных внутренних волн 68-148
2.1. Свойства солитонов уравнения Гарднера . 70-75
2.2. Генерация солитонов и бризеров из импульсных возмущений 75-92
2.3. Затухание солитона внутренней волны 92-106
2.4. Трансформация солитона в зонах с переменной по знаку квадратичной нелинейностью 107-127
2.5. Трансформация солитона в зонах с переменной по знаку кубической нелинейностью 128-146
2.6. Выводы 146-148
Глава 3. Нелинейная динамика пакетов внутренних волн 149-190
3.1. Динамика длинноволновых групп в рамках модели Гарднера
3.2. Самомодуляция волновых пакетов и генерация бризеров
3.3. Динамика «демодуляционных» волновых пакетов
3.4. Нелинейная эволюция периодических возмущений
3.5. Выводы
Глава 4. Трансформация нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане
4.1. Кинематические характеристики поля внутренних волн в океане
4.2. Адиабатическое распространение солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане 201-217
4.3. Влияние нелинейности и вращения на распространение приливной внутренней волны 218-225
4.4. Моделирование и интерпретация натурных экспериментов с внутренними волнами 225-234
4.5. Статистические методы оценки повторяемости внутренних волн большой амплитуды 234-243
4.6. Выводы 243
Глава 5. Динамика примесей на водной поверхности в поле волн и течений 244-291
5.1. Структура пограничного волнового слоя в жидкости, покрытой пленками поверхностно-активных веществ 245-251
5.2. Динамика пленок поверхностно-активных веществ в поле нестационарных течений 252-261
5.3. Динамика пленок поверхностно-активных веществ в поле стационарных бегущих волн 262-268
5.4. Динамика примесей в поле финитных возмущений и волновых пакетов 269-275
5.5. Численное моделирование перераспределения концентрации поверхностных пленок под действием внутренних волн 276-290
5.6. Выводы 290-291
Глава 6. Генерация короткоживущих импульсов большой амплитуды 292-336
6.1. Нелинейно-дисперсионная фокусировка волн (на примере уравнения Кортевега - де Вриза) 293-311
6.2. Влияние модуляционной неустойчивости на формирование аномально больших импульсов в рамках нелинейного уравнения Шредингера 311 -324
6.3. Формирование аномальных волн в модели модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза 324-334
6.4. Выводы 335
Заключение 336-339
Литература 340-358
- Расширенное уравнение Кортевега - де Вриза
- Генерация солитонов и бризеров из импульсных возмущений
- Самомодуляция волновых пакетов и генерация бризеров
- Адиабатическое распространение солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане
Введение к работе
Актуальность темы и цели исследования
Интерес к внутренним волнам в стратифицированной жидкости возник достаточно давно, в начале 20-го века после открытия явления «мертвой воды» (резкое увеличение сопротивления при движении надводных кораблей в море с неглубоким пикноклином). Очень быстро стало понятно, что внутренние волны являются неотъемлемой частью динамики всех естественных водоемов (морей, озер и водохранилищ) вследствие вертикальной стратификации бассейнов по температуре, солености или течению. Внутренние волны влияют на сверхдальнее распространение акустических сигналов, на движение подводных аппаратов, на размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами на шельфе, на продуктивность планктона, на процессы вертикального перемешивания. Многочисленные данные наблюдений внутренних волн в морях и озерах суммированы в ряде книг и обзорах [Краусс, 1968; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин, Коняев, 1991; Imberger, 1998]; здесь же можно найти основы теории распространения, генерации и затухания внутренних волн. Существует также большое количество работ по лабораторному и численному моделированию процессов генерации внутренних волн различными источниками, упомянем здесь только часть работ [Степанянц, Стурова, 1985; Стурова, 2001; Мотыгин, Стурова, 2002; Кистович, Чашечкин, 1990; Арабаджи и др., 1999; Богатырев и др., 1999].
Наиболее сильное влияние на перечисленные выше процессы оказывают внутренние волны большой амплитуды, достигающие порой 100 м. Особый интерес здесь вызывают одиночные волны - солитоны или группы солитонов (солиборы), которые могут распространяться на большие расстояния без потери энергии. Они повсеместно наблюдаются в прибрежной зоне морей, так что ответ на поставленный в 1989 году вопрос «существуют ли внутренние солитоны в океане?» [Ostrovsky, Stepanyants, 1989] к настоящему моменту стал утвердительным. Для детальных исследований свойств сильнонелинейных волн и их влияния на разнообразные процессы в океане в течение последних 10 лет были организованы специальные международные экспедиции и проведено несколько специализированных симпозиумов [Apel et al, 1985; Jeans, 1995; Duda and Farmer, 1999; Warn-Varnas et al, 2003; Small et al, 1999a,b]. За последние годы выполнен большой объем лабораторных исследований свойств нелинейных внутренних волн в стратифицированных бассейнах (см., например, [Michalet, Barthelemy, 1998; Maderich et al., 2001; Grue et al., 1999, 2000]). Отсюда становится ясным актуальность
5 развития гидродинамической теории для описания динамики внутренних волн большой амплитуды.
Наибольшую популярность в теории внутренних волн получило уравнение Кортевега - де Вриза, выведенное в приближении слабой нелинейности и дисперсии еще в 1966 году [Веппеу, 1966]. Подчеркнем, что уравнение Кортевега -де Вриза, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости (одна из горизонтальных и вертикальная координаты). Трехмерность волновых движений приводит к модификации уравнения Кортевега - де Вриза - так называемому уравнению Кадомцева - Петвиашвили, впервые выведенному для внутренних волн в работе [Леонов, 1976]. Затем был проведен учет Кориолисовой силы, обусловленной вращением водного бассейна [Островский, 1978; Grimshaw et al, 1998]. Обобщение уравнения Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины сделано в 1978 году [Djordjevich and Redekopp, 1978]. По существу, основные идеи здесь были взяты из теории поверхностных гравитационных волн в однородной жидкости, где уравнение Кортевега — де Вриза было получено еще в 1895 году [Korteweg, de Vries, 1895]. Однако в отличие от поверхностных волн, ситуация для внутренних волн оказалась существенно более сложной. Так, еще в 1975 году в работе [Kakutani, Yamasaki, 1978] для случая внутренних волн в двухслойной жидкости было получено, что коэффициент квадратичной нелинейности обращается в нуль, если толщины слоев оказываются близкими. В этом случае необходимо выйти за первое приближение в асимптотической процедуре и выводить обобщения уравнения Кортевега - де Вриза. Такие обобщения были сделаны только для двухслойной жидкости [Koop, Butler, 1981]. Учитывая, что в естественных водоемах стратификация не сводится к двухслойной, необходимость получения расширенных уравнений Кортевега - де Вриза для жидкости с произвольной непрерывной и/или многослойной стратификацией становится актуальной. Такие работы начали выполняться только за последние 10 лет, в том числе и с участием автора [Lamb, Yan, 1996; Пелиновский и др., 2000; Grimshaw et al., 2002;Т31,Т34].
Другим важным направлением в теории внутренних волн является исследование стационарных уединенных волн - солитонов произвольной амплитуды без использования приближения слабой нелинейности. Первая работа здесь, основанная на нелинейной краевой задаче для функции тока, была еще сделана до войны [Dubriel-Jacotin, 1932] и эта идея затем была развита в работах Лонга [Long, 1956, 1972]. В случае жидкости с почти экспоненциальной стратификацией нелинейная волна может содержать замкнутый вихрь [Derzho, Grimshaw, 1997]. Аналитические результаты получены для сильно нелинейных
внутренних волн в двухслойной жидкости [Choi, Camassa, 1999], в частности было доказано существование «столообразных» солитонов предельных амплитуд (в приближении Буссинеска вершина солитона находится на половине полной глубины). Недавно эта работа была обобщена для так называемой 2.5 стратификации, когда скачок плотности разделяет две жидкости с экспоненциальными стратификациями [Voronovich, 2002]. Следует, однако, сказать, что во всех перечисленных работах рассматриваются только установившиеся движения. Совсем недавно феноменологически выведено эволюционное уравнение для описания сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Ostrovsky, Grue, 2003].
Естественно, что аналитические решения волновых задач механики стратифицированной жидкости в рамках исходных уравнений Эйлера или Навье - Стокса существуют только в нескольких идеализированных случаях. Благодаря растущим возможностям вычислительной техники в последние двадцать лет начали развиваться численные модели, основанные на прямом решении двумерных исходных уравнений гидродинамики (см., например, [Lamb, 1994; Vlasenko et al, 2003; Grue, et al, 1997; Канарская, 2004]). По существу, созданы численные лотки, в которых можно исследовать генерацию и распространение внутренних волн в бассейнах с произвольной стратификацией. Важно подчеркнуть, что в численных моделях сейчас учитывается переменность только глубины бассейна, а не ее стратификации по горизонтали. Следует отметить, что пока практические расчеты по этим моделям весьма трудоемки (недели непрерывного счета).
В теории внутренних волн стратификация жидкости обычно предполагается неизменной по горизонтали, что справедливо только для относительно малых экспериментальных лотков. Океанология и лимнология дает нам много примеров переменности температуры, солености и течений по горизонтали (и в диссертации частично приводятся такие данные). Их структура в теории описывается трехмерными уравнениями циркуляции океана и атмосферы, в которых внутренние волны игнорируются. «Включение» внутренних волн в такие модели пока еще дело будущего. Именно поэтому первой основной целью диссертации выбрана разработка приближенных моделей нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородной жидкости. Как будет показано далее, эта цель достигается при использовании обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза. Второй основной целью диссертации является исследование динамики внутренних волн «большой» амплитуды, когда
7 необходимо учитывать в асимптотических разложениях члены высших порядков по нелинейности.
Научная новизна работы и основные результаты
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
Выведено уравнение Гарднера (расширенное уравнение Кортевега - де Вриза) с переменными коэффициентами для описания трансформации нелинейных двумерных внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости переменной глубины с учетом плавной горизонтальной неоднородности полей плотности и течений. В общем случае трехмерных внутренних волн развит лучевой метод, включающий последовательность более простых задач: расчет лучевых траекторий в горизонтальной плоскости и решение обобщенного уравнения Гарднера вдоль лучей. Предложена численная реализация этой модели.
Доказано, что коэффициент кубической нелинейности в уравнении Гарднера может быть любого знака, а также равен нулю (ранее предполагалось, что он отрицателен). Приведен ряд аналитических моделей плотностной стратификации жидкости, в которых удалось рассчитать величину коэффициента кубической нелинейности в явном виде. Тем самым доказана возможность распространения в стратифицированной жидкости солитонов обеих полярностей, алгебраических солитонов и бризеров -нелинейных осцилляторных пакетов, не меняющих свои параметры при распространении.
Исследована начальная задача (задача Коши) генерации волн для уравнения Гарднера с положительным значением коэффициента нелинейности как с помощью метода обратной задачи рассеяния, так и с помощью прямого численного моделирования. Для трех выбранных типов начальных условий (потенциалов) различной топологии описано рождение только солитонов, рождение только бризеров, и рождение стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру.
Исследовано затухание солитонов в рамках уравнения Гарднера с различными знаками коэффициента кубической нелинейности и различными аппроксимациями диссипативных механизмов внутренних волн (горизонтальная диффузия, линейное и квадратичное придонное трение, а также интегральная диссипация в ламинарном пограничном слое). Получено, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа
8 диссипации. При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер.
Рассмотрена трансформация солитонов в рамках уравнения Гарднера с проходящим через ноль коэффициентом квадратичной нелинейности. В отличие от трансформации солитона Кортевега - де Вриза показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон одной полярности, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. Если коэффициент кубической нелинейности положительный, то существуют три возможных сценария. Волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку практически без изменения своей формы. Солитон средней амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега - де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Солитоны малой амплитуды трансформируются, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза. Аналогичные режимы исследованы для изменяющейся по знаку кубической нелинейности.
Выведено нелинейное уравнение Шредингера для волновых групп в рамках модели Гарднера для длинных внутренних волн. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. В области, где кубический нелинейный коэффициент уравнения Шредингера близок к нулю, то есть на границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих.
Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано, как решением обратной задачи, так и прямым численным
моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой.
Динамика демодуляционных волновых пакетов рассмотрена как для уравнения Гарднера, так и для уравнения Кортевега - де Вриза. Показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета: генерация свободных и вынужденных обертонов, среднего течения модулированным пакетом в воде, что сильно деформирует волновую группу, приводя к ее асимметрии и перекосу. При этом движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега - де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн в бассейне.
Создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, с помощью которого можно оценить горизонтальную изменчивость поля внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с глубиной бассейна, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует. Показано, что наличие сдвиговых течений может существенно изменять как линейные, так и нелинейные кинематические характеристики внутренних волн.
Исследован вклад нелинейности до второго порядка, вращения Земли и диссипации на распространение приливной внутренней волны на океанском шельфе. Результаты проведенных исследований показывают сопоставимую роль перечисленных выше эффектов на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега - де Вриза к моделям типа Гарднера.
Исследовано влияние горизонтально неоднородной океанической стратификации на «время жизни» солитонов внутренних волн. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.
Рассмотрена структура пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно -активных веществ, у поверхности раздела вода — воздух в поле внутренней волны. Показано, что предположение о том, что поверхностно - активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн и может рассматриваться как пассивная примесь, справедливо только для натурных условий, когда скорости распространения внутренних волн достаточно велики, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, поверхность которых обычно бывает покрыта пленкой с большим модулем упругости, а скорость распространения внутренних волн мала, поверхностно - активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения.
Получены точные и приближенные аналитические решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и волн. Показано, что учет нестационарных эффектов приводит к иной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений (даже если последние представляют собой стационарно движущиеся волны), чем в стационарном случае, а выход на стационарное состояние могут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.
Предложен механизм образования волн аномально большой амплитуды вследствие дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого механизма почти линейная, несмотря на ее большую амплитуду. Механизм нелинейно -дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальные волны могут генерироваться и на фоне «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.
Практическая значимость результатов работы
Практическая значимость проведенного исследования заключается в первую очередь в создании модели трансформации внутренних волн в морях и озерах с учетом реальной горизонтальной изменчивости гидрофизических полей. Предложенная модель использовалась в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:
«Исследование трансформации внутренних волн полусуточного приливного периода на Северо-Западном шельфе Австралии» - (двухсторонняя Программа сотрудничества в области науки и техники между Австралией и Россией) 1995 - 1997г.
«Трансформация нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне» - (РФФИ, № 96 -05 - 64108, № 00 - 05 - 64223), 1996 - 1998,2000 - 2002, г.;
«Численное моделирование динамики поверхностно-активных пленок в поле неоднородных и нестационарных течений» - (МНТЦ, № 1775р), 2000 - 2001г.;
«Extreme waves» - (INTAS-99-1637), 2000 - 2002г.;
«Impact of waves and currents on oil and other surfactants transport in coastal areas» -(INTAS -01 - 0330), 2002 - 2004r.;
а также в следующих проектах, выполняемых в настоящее время
«Нелинейная динамика стратифицированной прибрежной зоны» - (РФФИ, № 03-05-
64978), 2003-2005г.,
«Разработка рекомендаций по прогнозированию поля внутренних волн в Северном Ледовитом Океане и его морях на базе усовершенствованных математических моделей стратифицированной среды» - (подпрограмма «Исследование природы Мирового океана» федеральной целевой программы «Мировой океан»), 2003-2007г.;
«Large amplitude Alfen waves in magnetic plasma» - (Royal Society, UK), 2003 - 2004r.;
«Strongly nonlinear internal waves in lakes: generation, transformation and meromixis» -проект INTAS - 03-51-3728,2004 - 2006r.;
Результаты, полученные в диссертационной работе, также использовались при составлении серии международных учебных пособий в рамках образовательского проекта TEMPUS - TASIS № JEP-10460-98: «Физическое и численное моделирование в инженерной экологии», «Контроль и прогнозирование загрязняющих веществ в реках», «Разработка сценариев экологических катастроф» [ТІ 1, Т52, Т61].
12 Апробация работы
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Т4-Т8, Т10-Т20, Т22-Т27, Т29 - Т67] и докладывались на следующих международных конференциях: ежегодные сессии Научного Совета РАН по нелинейной динамике, Москва, Россия, 1994 - 2003; 18-й Международный конгресс по теоретической и прикладной механике (ШТАМ), Хайфа, Израиль, 1992; Международная рабочая группа "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане», Москва, Россия, 1993; международный симпозиум "Взаимодействие океана и атмосферы", Марсель, Франция, 1993; вторая Европейская конференция по механике жидкости, Варшава, Польша, 1994; международная конференция "Динамика атмосферы и океана", Москва, Россия, 1995; международная конференция по прибрежной динамике' 95, Гданьск, Польша, 1995; конференция по динамике жидкости, Мельбурн, Австралия, 1995; Генеральная Ассамблея Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1996; Вена, Австрия, 1997; Ницца, Франция, 2000 - 2004); международная конференция «Методы вычислений и их приложение» (СТАС97), Аделаида, Австралия, 1997; IGARSS'97, Сингапур, 1997; Евромех: «Поверхностные слики и мониторинг взаимодействия между океаном и атмосферой», Ворвик, Великобритания, 1998; Генеральная ассамблея IUGG, (Мельбурн, Австралия, 1997; Бирмингем, Великобритания, 1999); международное совещание «Солитоны внутренних волн: физика и приложение в акустике, биологии и геологии», Сидней, Канада, 1998; международное совещание «Акустика и океанография на Малин шельфе», Великобритания, 1998; 43 ежегодная конференция австралийского математического общества, 1999 (Мельбурн, Австралия); международное совещание по моделированию Северного и Средиземного морей (JONSMOD), Тулон, Франция, 2000; международная конференция по поверхностным волнам в жидкости (Ньютоновский Математический институт), Кембридж, Великобритания, 2001; девятый международный симпозиум по природным и техногенным катастрофам, Анталья, Турция, 2002; международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Нижний Новгород, Россия, 2003; международная конференция «Рубежи нелинейной науки», Нижний Новгород, Россия, 2001, 2004;
Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах ИПФ РАН, Нижегородского государственного технического университета, научных школ академика РАН В.И, Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина, Института океанологии РАН, Арктического и Антарктического института, Монашевском университете и Университете Нью Саус Вейлс (Австралия), университетах Лафборо и Шеффильда (Англия). Они также докладывались на семинарах в Институте теплофизики СО РАН,
13 Институте водных проблем (Польша), Океанском университете (Китай), Институте неравновесных физических систем и Университете Гваделупы (Франция), Национальном Сеульском университете (Корея), Тель-авивском университете (Израиль).
Автор выражает благодарность, прежде всего, научному консультанту профессору, лауреату Государственной премии России Ефиму Наумовичу Пелиновскому за большую помощь и безграничное терпение, проявленные им при обсуждении настоящей диссертации. Также автор выражает благодарность своим соавторам, профессору университета Лафборо Р. Гримшоу, совместно с которым было решено много интересных задач по динамике солитонов и волновых групп, д-ру К. Лэмбу, благодаря работе с которым была прояснена ситуация с неоднозначностью форм асимпотических уравнений следующих порядков, группе молодых исследователей: к.ф.-м.н. А.В. Слюняеву, к.ф.-м.н. О.Е. Полухиной, Н.В. Полухину, А.В. Кокориной и А.А. Красилыцикову, без которых не были бы написаны многие работы, д.ф.-м.н. Ю.А.Степанянцу, стоявшему у истоков развиваемой модели, к.ф.-м.н. Куркину А.А. за большой вклад в вычислительную работу, профессору Средиземноморского университета г. Марселя К. Харифу, совместно с которым были сделаны работы по генерации волн аномальной амплитуды, а также написаны учебные пособия, зам. директора Морского гидрофизического института Украины профессору Иванову В.А., благодаря которому автор принимал участие в двух океанских экспедициях, посвященных исследованию внутренних волн, д.ф.-м.н. И.В. Лавренову, благодаря которому арктические моря вошли в круг интересов автора, д.ф.-м.н. Е.Г. Морозову, совместно с которым была сделана работа по статистике внутренних волн, д-рам Дж. Смоллу и Дж. Скотту, а также д-ру Т. Шервину, благодаря работе с которыми была поведена верификация модели по натурным данным, д-ру Н. Заибо, благодаря сотрудничеству с которым автор вышел на новый круг проблем. Я не могу не вспомнить своего друга, соавтора многих научных работ, рано ушедшего из жизни д-ра Питера Холловея, совместно с которым было проведено первое моделирование реальной океанской ситуации по развиваемой модели.
Также автор благодарит коллектив отдела 230 Института прикладной физики РАН, академика РАН В.И. Таланова, д.ф.-м.н. А.Г.Лучинина, д.ф.-м.н. Ю.И.Троицкую, И.А. Соустову, к.ф.-м.н. А.И. Малеханова, В.Н. Ильину, Т.Г. Звереву за создание благожелательной, творческой атмосферы в отделе и отделении Гидрофизики ИПФ РАН, позволившей автору закончить диссертацию.
Расширенное уравнение Кортевега - де Вриза
Итак, уравнение Кортевега - де Вриза выводится с помощью асимптотических рядов в предположении значимости членов только первого порядка малости. Кортевега -де Вриза. Оно выводилось ранее как для волн на поверхности однородной жидкости [Marchant & Smith, 1990], так и для волн на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей [Butler and Koop, 1981]. Уравнение (1.2.1) не является интегрируемой системой в математическом смысле (в отличие от уравнения Кортевега - де Вриза), за исключением одного специфического соотношения между коэффициентами [Marchant & Smyth, 1996]. Тем самым оно не допускает упругого соударения солитонов, последние должны терять энергию в результате взаимодействия и т.п. Уравнение (1.2.1) используется для аналитического нахождения поправок к известному решению уравнения Кортевега - де Вриза (солитону) [Grimshaw, 1981; Gear & Grimshaw, 1983; Т38]. Между тем, как это часто бывает в асимптотических методах, уравнение следующего порядка приобретает новые свойства, которых нет в исходных уравнениях гидродинамики. Так, дисперсионное уравнение для линейных волн, вытекающее из (1.2.1) имеет вид со = -ркг + єрхк% (1.2.2) и при Pi 0 (типичный случай для внутренних волн) ведет к положительным значениям групповой скорости для коротких волн, в то время как в рамках исходных линеаризованных уравнений гидродинамики групповая скорость в системе координат, движущейся со скоростью с, является отрицательной. В результате возникает «нефизическое» излучение волновой энергии вперед, которого нет в рамках исходных уравнений [Marchant & Smyth, 1996; Osborne et al., 1998; Полухина и др., 2002]. Именно поэтому предпринимаются различные попытки модификации расширенного уравнения Кортевега - де Вриза, например, используя малый параметр є, асимптотически свести его к уравнению Кортевега — де Вриза с помощью ряда замен [Fokas, Liu, 1996; Чжи и Сигматуллин, 1997]. Тем самым расширенное уравнение (1.2.1) становится интегрируемым. Весьма перспективными представляются также попытки свести (1.2.1) к уравнению Камассы - Холма, правда, пока это сделано только для волн на поверхности однородной жидкости [Johnson, 2003, Dullin et al, 2003]. Уже из этого перечисления становится очевидной нетривиальность обобщений уравнения Кортевега - де Вриза. Во всех этих подходах принципиально используется масштабирование, сделанное в (1.2.1): «главные» слагаемые (квадратичная нелинейность и дисперсия) не могут быть сопоставимы со слагаемыми следующего порядка.
Между тем, уже отмечалось, для волн в стратифицированной жидкости, коэффициент квадратичной нелинейности может обращаться в нуль или становится достаточно малым. Мы уже приводили пример расчета этого коэффициента для волн на границе раздела двух жидкостей (1.1.26), откуда вытекает, что он может быть равным нулю, или близок к нему. Как показывают наши расчеты коэффициента квадратичной нелинейности, выполненные на основе натурных данных [ТЗЗ, Т34, Т50, Т23-Т25], эта ситуация является типичной для естественных внутренних волн в мелководных районах, особенно в эстуариях рек. Но тогда нарушается выбранное ранее масштабирование в уравнении (1.2.1), и мы должны принять, что а = е%, где % есть численный коэффициент порядка единицы. Кортевега - де Вриза, является полностью интегрируемой моделью. Оно имеет солитонные решения, причем взаимодействие солитонов происходит упруго, то есть без изменения их формы. Точные двухсолитонные решения уравнения Гарднера для любых знаков его коэффициентов найдены в работах [Слюняев, Пелиновский 1999; Слюняев 2001 а,б], точные многосолитонные решения уравнения Гарднера с отрицательным кубическим коэффициентом содержатся в работах [Романова, 1979; Горшков и Соустова, 2001; Gorshkov et al, 2004]. В частном случае, когда коэффициент квадратичной нелинейности обращается в нуль, и уравнение Гарднера сводится к модифицированному уравнению Кортевега - де Вриза, решение задачи Коши, содержащее многосолитонные и «многобризерные» волны, методом обратной задачи рассеяния найдено в наших работах [Т36, Т42]. Отметим также статьи [Miles, 1979, 1981; Grimshaw et al, 2002], где получено решение задачи Коши для уравнения Гарднера с отрицательной кубической нелинейностью.
Как будет видно из дальнейшего, нелинейная динамика волн существенно зависит от знака кубического коэффициента.
Общее выражение для коэффициента кубической нелинейности (1.2.7) достаточно сложно для определения его знака. В случае произвольной стратификации коэффициент находится численно. В работе [Lamb & Yan, 1996] рассматривался только один пример стратификации, когда пикноклин лежит у поверхности. Вычисление коэффициента кубической нелинейности привело к отрицательной величине. Детальный анализ действия кубической нелинейности на форму и скорость солитона дан в работе [Gear & Grimshaw, 1983]. В частности, в рассмотренных в этой статье примерах (постоянное сдвиговое течение или линейный профиль плотностной стратификации) вторая поправка к скорости солитона была отрицательной, как и в двухслойной жидкости. Однако, вторая поправка к скорости солитона является результатом действия нескольких членов второго порядка в модифицированном уравнении Кортевега - де Вриза: кубической нелинейности, нелинейной дисперсии и линейной дисперсии высших порядков, так что трудно выделить вклад только кубической нелинейности.
Генерация солитонов и бризеров из импульсных возмущений
Уравнение Гарднера с постоянными коэффициентами, как и уравнение Кортевега - де Вриза, относится к числу точно интегрируемых моделей нелинейной теории волн, в том смысле, что можно получить решение задачи Коши методом обратной задачи рассеяния. Как мы уже указывали в предыдущем параграфе, свойства солитонов существенно зависят от знака кубической нелинейности. Более того, от знака кубической нелинейности зависит также вид ассоциированной спектральной задачи, используемой в методе обратной задачи. Уравнение Гарднера с отрицательной кубической нелинейностью сводится к обычному уравнению Кортевега - де Вриза с помощью преобразования Миуры [Лэм, 1983], тем самым, доказывая его интегрируемость. Впервые решение задачи Коши для уравнения Гарднера было найдено достаточно давно [Miles, 1981], и сейчас эту проблему можно считать закрытой [Grimshaw et al, 2002]. Что же касается уравнения Гарднера с положительной кубической нелинейностью, то оно сводится к модифицированному уравнению Кортевега - де Вриза (естественно, тоже с положительной нелинейностью). Последнее также формально интегрируется, однако оно не было столь популярно, чтобы соответствующие решения были доведены «до конца». В виду их важности для динамики стратифицированной жидкости мы предприняли аналитическое и численное исследование процесса возникновения солитонов и бризеров из импульсных (исчезающих на бесконечности) начальных возмущений. Эти результаты опубликованы в [Т36].
Следует отметить, что для модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза масса не зависит от амплитуды солитона. Именно масса солитона будет играть ключевую роль в понимании процессов генерации солитонов из начальных возмущений. Многосолитонные решения могут быть найдены различными методами: методом обратной задачи рассеяния, формализмом Хироты или преобразованиями Бэклунда -Дарбу. Поиск комплексных решений в семействе двухсолитонных решений любым из этих методов дает другое семейство «стационарных» решений модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза — так называемое семейство бризеров, то есть осциллирующих волновых пакетов. Изолированный бризер является точным решением модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза (2.2.1), и он записывается в виде [Лэм, 1983].
Значения каждого из пары действительных корней соответствуют половине амплитуды солитона (без определения полярности) а = 2Л% 0. Каждое значение собственного числа из комплексного квартета соответствует параметрам бризера Лы = Я + ір. В то же время следует отметить, что полярность и положение солитона, а также фазовые сдвиги фо и во не могут быть определены с помощью собственных значений. Они должны определяться из дополнительных спектральных данных, связанных с собственными функциями фі и ф2, и здесь обсуждаться не будут.
Поскольку в спектре собственных чисел Л при произвольном потенциале и(х) будут, как уже упоминалось выше, присутствовать и чисто мнимые значения, соответствующие диспергирующему волновому хвосту, то ими также нельзя пренебрегать при определении формы сигнала методом обратной задачи. Однако, поскольку волновой хвост диспергирует, то его амплитуда будет падать, и в результате в волновом поле происходит выделение солитонов и бризеров, которые уходят (в обе стороны!) из области начального возмущения. Таким образом, учет вклада сплошного спектра собственных чисел в результирующий сигнал важен только на начальной стадии процесса. Поэтому основное внимание следует сосредоточить на исследовании дискретного спектра собственных значений краевой задачи (2.2.6).
Амплитуда солитона зависит как от высоты, так и от ширины начального возмущения. Исходя из (2.2.15) и (2.2.19), амплитуда солитона не может превышать величину начального возмущения более, чем в два раза, как и для уравнения Кортевега - де Вриза. Эти результаты подобны тем, что получены для солитоноподобного возмущения [Satsuma and Yajima, 1974]. Все различие заключается в структуре осциллирующих хвостов. Например, солитоноподобное возмущение с массой М = UL = п генерирует один солитон без хвоста, поскольку масса и энергия возмущения совпадают с массой и энергией солитона. Прямоугольный же потенциал с массой М = к , также дает один солитон, но еще и осциллирующий хвост, поскольку энергия начального возмущения в этом случае больше энергии солитона.
Самомодуляция волновых пакетов и генерация бризеров
Обычно в теории нелинейных волновых процессов рассматриваются уединенные волны - солитоны. Периодические и квазипериодические начальные условия изучены значительно хуже, хотя периодические волны значительно проще моделировать в лабораторных условиях (для этого требуется волнопродуктор простой конструкции). Если не касаться чисто математических статей, связанных с решением периодической задачи для интегрируемых уравнений типа Кортевега - де Вриза (см., например, книгу [Захаров и др, 1980]), то следует отметить работы, в которых проводились исследования устойчивости кноидальных периодических волн в рамках уравнения Кортевега - де Вриза и модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза [Driscoll, O Neil, 1976; Pelinovsky, Shavratsky, 1981; Пелиновский, Шаврацкий, 1976; 1977]. Важно подчеркнуть здесь также цикл работ Осборна и его школы [Osborn et al, 1998, 2000], в которых крайне тяжелые в математическом отношении решения периодической задачи для уравнения Кортевега - де Вриза применены к анализу реальных ветровых волн в мелком море и данных лабораторного моделирования. Однако квазипериодические волны в рамках рассматриваемого в настоящей диссертации уравнения Гарднера (да и по существу для уравнения Кортевега - де Вриза) не исследовались до последнего времени. Возникающие здесь проблемы связаны как с математическими трудностями решения ассоциированных спектральных задач в периодической области (так называемые многозонные потенциалы), так и с экспериментальными в связи с нелинейным взаимодействием дискретных спектральных компонент (так что трудно интерпретировать результаты, представленные на спектральном языке). Исследование динамики длинноволновых групп в рамках эволюционного уравнения для внутренних волн представляется весьма актуальным, поскольку наблюдаемые внутренние волны в природных водоемах, возбуждаемые баротропными приливными и сдвиговыми течениями, ветром и другими процессами, часто имеют вид квазипериодических волн или модулированных волновых пакетов.
По существу, основные результаты здесь получены в последние пять лет, и автор принимал активное участие в их получении. Эти результаты обсуждаются в настоящей главе. Сначала (параграф 3.1) мы выведем нелинейное уравнение Шредингера и его обобщение для квазипериодических длинных слабонелинейных внутренних волн, исходя из уравнения Гарднера. В частности, будет показана связь между бризерами в уравнении
Гарднера и солитонами огибающей в нелинейном уравнении Шредингера. В параграфе 3.2 обсуждаются основные режимы модуляционной неустойчивости волновых пакетов (для соответствующих знаков нелинейных коэффициентов в уравнении Гарднера), а в параграфе 3.3 - динамика «демодуляционных» волновых пакетов. Возможность точного решения исходного уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера в рамках обратной задачи, а также численное интегрирование обоих уравнений позволит оценить точность приближенных подходов для огибающих волновых пакетов. Теоретические результаты для демодуляционных волновых пакетов сопоставляются с данными специально выполненного лабораторного эксперимента (правда, для нестратифицированной жидкости). Исследована трансформация солитонов в рамках уравнения Гарднера с проходящим через ноль коэффициентом квадратичной нелинейности. В отличие от трансформации солитона Кортевега - де Вриза показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности толстый солитон одной полярности, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в толстый солитон, но противоположной полярности. Если коэффициент кубической нелинейности положительный, то существуют три возможных сценария. Волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку практически без изменения своей формы. Солитон средней амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега - де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона, преобразуется в бризер, и, может быть, слабый солитон противоположной полярности. Солитоны малой амплитуды трансформируются как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза.
Рассмотрена трансформация солитонов через точку смены знака коэффициента кубической нелинейности. Показано, что солитоны «положительной» полярности могут адиабатически проходить через точку смены знака кубического коэффициента, плавно меняя свою амплитуду. Солитоны «отрицательной» полярности могут существовать только при положительном знаке коэффициента кубической нелинейности, трансформируясь в бризер в точке перехода. Численно исследована трансформация толстого солитона при плавном росте по модулю отрицательного коэффициента кубической нелинейности. Показано, что процесс трансформации не является адиабатическим, и толстый солитон приобретает форму скошенного прямоугольника, за которым следует почти прямоугольная полочка противоположной полярности и далее дисперсионный волновой цуг. Дано качественное объяснение этому процессу.
Адиабатическое распространение солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане
Нелинейные внутренние волны солитоноподобной формы часто наблюдаются на океанских шельфах. Такие наблюдения были сделаны в различных регионах Мирового океана, включая российские моря (Охотское, Черное и Каспийское). Обзор наблюдений таких волн дан в работах [Ostrovsky, Stepanyants 1989; Jeans 1995]. Многие наблюдения демонстрируют влияние изменчивости морской среды, а именно глубины океана и горизонтальных вариаций стратификации, на эволюцию внутренних солитонов [Liu et al, 1998; Zheng etal, 2001].
Во многих случаях, из данных наблюдений очень трудно выделить данные об эволюции индивидуального солитона, так что не вполне понятно, является ли он эволюционно изменчивым или обусловлен локальными процессами генерации и диссипации приливной энергии. Именно поэтому, мы предприняли попытку оценить время жизни солитона в реальных условиях на основе компьютерных расчетов в рамках развиваемой нами модели, основанной на уравнении Гарднера и его обобщений. По существу, время жизни солитона в эволюционных задачах характеризует его адиабатичность, то есть плавность перестройки его параметров (амплитуды, длительности, скорости) без значительного изменения его формы. Согласно асимптотической теории (глава 2) такое возможно, если коэффициенты уравнения Гарднера будут изменяться достаточно плавно. Цель расчетов как раз и состоит в том, чтобы убедиться, выполняются ли условия адиабатичности на реальных океанических шельфах. Предварительно, мы суммируем основные следствия адиабатической теории в виде удобном для практических расчетов.
Плавность изменения параметров океанской среды обычно понимается как плавность на масштабе длины внутреннего солитона. Это приближение используется для того, чтобы пренебречь отражением волны. Для адиабатической трансформации солитона недостаточно одного этого условия, и требуется также, чтобы характерный масштаб изменчивости океанских параметров был больше, чем масштаб нелинейности и дисперсии модельных уравнений (1.3.23) и (1.3.27). Для того, чтобы определить область применимости полученных выше адиабатических формул к процессу трансформации внутреннего солитона, надо «выделить» все возможные неадиабатические факторы, даже если выполняются все условия на плавность изменения параметров среды. Во-первых, это приближение рушится для толстых солитонов, ширина которых с приближением к предельной амплитуде растет неограниченно. Почти то же самое происходит в противоположном случае, когда амплитуда солитона мала. В пределе Кортевега - де Вриза ширина солитона также растет и становится сравнима с масштабом неоднородности среды. Также при стремлении солитона к алгебраическому нарушается его устойчивость, и он разрушается, переходя в бризер (см. п. 2.4, 2.5). Адиабатическая теория будет нарушаться, если коэффициенты нелинейности и дисперсии меняют знак. Коэффициент дисперсии р всегда положителен для стабильных океанских ситуаций (см. (1.1.25)), но, как было показано ранее на модельных примерах, а далее будет подтверждено расчетом по реальным стратификациям шельфовых вод, оба коэффициента нелинейности могут менять знак. В то же время, как показано в п. 2.5, солитон не обязательно будет разрушаться в рамках уравнения Гарднера, если какой-либо из коэффициентов меняет знак. Рассмотрим случаи этих переходов более подробно.
Если оба коэффициента нелинейности одновременно обращаются в ноль, то солитон, без сомнения, разрушается (в рамках уравнения Гарднера). Когда только а проходит через ноль, то при отрицательных осі солитон будет разрушаться, на рис. 4.2.1 нет перехода между квадрантами III и IV. При положительных а.\ солитон может перейти на соответствующую (по полярности) ветку солитонных решений в другом квадранте при условии, что его амплитуда в точке поворота будет не меньше амплитуды соответствующего алгебраического солитона (см. п. 2.4). На рис. 4.2.1. показаны возможные переходы между квадрантами I и П. Если меняет знак только коэффициент кубической нелинейности aj, то также возможна адиабатическая трансформация солитонов между квадрантами I и III, а также II и IV, за исключением случаев, когда солитон стремится к толстому солитону. Эта простая классификация используется далее при оценке численных результатов трансформации солитонов в неоднородной среде. Конечно, на океанских шельфах есть участки, где параметры модели изменяются недостаточно плавно, или существуют критические точки, где адиабатическая теория нарушается. В этом случае солитон трансформируется с потерей своей индивидуальности как солитона, и можно говорить о солитоноподобной волне, имеющей конечное время жизни.
Для того, чтобы оценить неадиабатические эффекты и оценить время жизни солитона, мы провели соответствующее численное моделирование уравнения (1.3.27) для условий трех океанских шельфов из различных регионов, от тропиков до северных широт, принимая во внимание только плотностную стратификацию морских вод (в связи с отсутствием информации о течениях).
Внутренние волны на этом шельфе исследовались в течение многих лет [Holloway, 1987, 1994; Т44 - Т51], что сопровождалось измерениями стратификации воды на шельфе. Нами использованы наблюдения, сделанные в январе 1995 г. Наблюдения взяты с 11 точек (CTD станций) по трассе распространения волны, начиная с точки (19.2S, 115.7Е) до точки (19.8S, 116.5Е). Глубина при этом менялась от 416 м до 66 м; данные по стратификации усреднялись по периоду приливной волны. Коэффициенты уравнения Гарднера, рассчитанные по данным наблюдений, показаны на рис. 4.2.2. Следует отметить, что характерный масштаб изменчивости коэффициентов (порядка 10 км) превышает характерную длину выбранного солитона (1-2 км), так что необходимая для асимптотических подходов плавность изменения параметров выполняется.
Эволюция солитона с начальной амплитудой 15 м (рис. 4.2.4) идет по тому же сценарию до расстояния 45 км, где а меняет знак с отрицательного на положительный. Амплитуда волны в этой точке превышает амплитуду алгебраического солитона, и солитон трансформируется как солитон модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза. Коэффициент кубической нелинейности щ увеличивается почти в 10 раз на относительно коротком расстоянии от 42 км до 48 км, приводя к росту амплитуды волны в 2-3 раза. Естественно, трансформация солитона несколько отличается от адибатической, в частности, солитон сбрасывает с себя лишнюю массу в хвост (пьедестал), из которого рождается второй солитон. После 68 км щ опять становится отрицательным, и адиабатическая стадия заканчивается, такой переход является запрещенным. Далее солитоны трансформируются в волновые пакеты (бризеры) (см. рис. 4.2.4 для х = 63 - 70 км). Образующийся бризер в отличие от солитона в системе отсчета, движущейся вместе со скоростью линейной волны, движется в обратном направлении, что хорошо видно на рисунке 4.2.4. для х = 63 - 70 км. Далее при смене знака кубического коэффициента на отрицательный из бризеров опять генерируются солитоны другой полярности (см. рис. 4.2.4 для х = 72 км), которые опять распространяются влево. Появление групп вторичных солитонов на глубине порядка 50 м в наших расчетах вполне соответствует наблюдениям поля внутренних волн в этих точках [Т50]. Здесь никогда не наблюдались один или два единичных солитона.
Сравнение расчетных амплитуд солитонов с предсказаниями адиабатической теории показано на рис. 4.2.5 для расстояний до 50 км. До точки 42 km (aj меняет знак) разница между предсказанными и рассчитанными амплитудами достаточно мала. Поскольку у этого солитона амплитуда достаточно большая, то в точке 46 км, где а меняет знак, нет перехода через алгебраический солитон, и формально адиабатическая теория еще работает. Однако быстрое изменение параметров ведет к нарушению адиабатики. Хотя ход обеих кривых для солитона с начальной амплитудой 15 м одинаков, но разница между значениями уже большая.
