Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Гибридный метод частиц в ячейках для моделирования столкновительной плазмы 34
1.1 Прямое моделирование Кулоновских соударений 35
1.2 Уравнение Ланжевена для модельных уравнений типа Фоккера-Планка 42
1.3 Уравнение Ланжевена для Кулоновских столкновений 58
1.4 Физическая модель пристеночного слоя Токамака 66
1.5 Гибридный метод РІС для плазмы и нейтрального газа 72
1.6 Моделирование бифуркации в SOL плазме Токамака 88
ГЛАВА 2. Кинетичекие модели на основе метода конечных объёмов для плазмы с кулоновскими столкновениями 102
2.1 Метод расщепления для электрон-ионной плазмы с Кулоновскими столкновениями 105
2.2 Конечно-разностная аппроксимация операторов 119
2.3 Моделирование нелокального переноса в плазме 141
2.4 Кинетическое моделирование стационарных течений пристеночной плазмы в экспериментальных Токамаках 149
Алькатор 160
TdeV 176
Дублет 187
2.5 Численное исследование переходных течений в пристеночной плазме Токамака 192
ГЛАВА 3. Метод конечных объёмов для газа и плазмы с упругими и неупругими столкновениями. 207
3.1 Консервативные конечно-разностные модели некоторых операторов упругого и неупругого рассеяния газа и плазмы 209
3.2 Моделирование рециклинга нейтралов в пристеночной плазме Токамака 227
3.3 Кинетическое моделирование термоэлектрического эффекта в пристеночной плазме Токамака 238
3.4 Кинетическое моделирование серии вспышек пристеночных мод в SOL плазме Токамака 247
3.5 Кинетическое моделирование линейной плазменной установки 256
ГЛАВА 4. Кинетические модели плазменных космических двигателей 266
4.1 Прямое кинетическое (РІС) моделирование миниатюрного плазменного двигателя с анодным слоем 269
4.2 Фоккер-Планковская модель плазменного двигателя с высоким удельным импульсом 282
4.3 Численное исследование работы геликонного источника плазмы 293
ГЛАВА 5. Консервативные, адаптивные и гибридные методы кинетического и жидкостного моделирования газа и плазмы 329
5.1 Полностью консервативный кинетический метод для столкновительных газа и плазмы 330
5.2 Применение консервативного кинетического метода для моделирования течений газа и плазмы 345
5.3 Универсальный адаптивный метод рекурсивного дробления и укрупнения сетки (РДУ) 365
5.4 Численный анализ бифуркации решений нелинейного уравнения теплопроводности со стоком 376
5.5 Гибридный метод частиц и конечных разностей для моделирования газа и плазмы со столкновениями 391
Заключение 398
Литература
- Уравнение Ланжевена для Кулоновских столкновений
- Моделирование нелокального переноса в плазме
- Моделирование рециклинга нейтралов в пристеночной плазме Токамака
- Фоккер-Планковская модель плазменного двигателя с высоким удельным импульсом
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Овладение управляемой термоядерной реакцией и создание ракетных двигателей с высоким удельным импульсом являются одними из ключевых вопросов, которые человечество должно решить в ближайшем будущем. Инженерное конструирование и оптимизация работы установок управляемого термоядерного синтеза (уУТС) и плазменных ракетных двигателей (ПРД) базируется на понимании сложных физических процессов, протекающих в них. В силу относительно высоких температур от долей электронвольта до десятков килоэлекгронвольтов топливо в уУТС и ПРД находится в форме плазмы - газа с различной степенью ионизации (от 1% в плазменном источнике до почти 100% в ядре ТОКАМАКа).
Наиболее полное описание динамики плазмы в уУТС и ПРД дается кинетическими уравнениями для функций распределения её компонентов - электронов, ионов и нейтралов. Эти уравнения содержат в себе всё многообразие сложных процессов, протекающих одновременно в плазме: пространственный перенос частиц, радиационные потери, самосогласованные и внешние электрические и магнитные поля, а также упругие и неупругие элементарные плазмохимические процессы, происходящие в объёме и на обращенных к плазме материальных поверхностях рассматриваемых установок. Решение кинетических уравнений дает качественное понимание нелинейного взаимовлияния плазменных процессов и их количественные характеристики, необходимые для оптимального инженерного проектирования.
Кинетические явления в плазме могут в ограниченном числе идеализированных случаев быть исследованы аналитически, но полное теоретико-аналитическое решение систем кинетических уравнений невозможно из-за большой размерности, сложных граничных условий и геометрии, временной и пространственной разномасштабное протекающих в плазме процессов, сильной нелинейности. Чисто экспериментальный подход ограничен; не даёт полной физической картины и далеко не все важные характеристики поддаются опытному измерению. К тому же стоимость современных лабораторных установок чрезвычайно высока. Последнее обстоятельство требует объединения усилий многих стран. Яркими примерами международной научной кооперации являются наземный проект термоядерного Токамака-реакгора Интернациональный Термоядерный Экспериментальный Реактор (ИТЭР) и орбитальный проект Международной Космической Станции (МКС).
Актуальность кинетического исследования стационарных и переходных режимов течения пристеночной плазмы в scrape-off layer (SOL) диверторного Токамака продиктована необходимостью решения задачи УТС в установках типа Токамак в рамках программы ИТЭР. В
частности, проблемы энергосъёма с использованием дивертора и диверторных пластин.
Актуальность кинетических расчетов пристеночной плазмы конкретных диверторных Токамаков Апькатор (МТИ, Кембридж), Дублет (Ла-Хойя, США), TdeV (Канада) и линейной установки PISCES (Калифорнийский университет) была продиктована их актсганьшучастием в проекте ИТЭР и возможностью прямо сравнить численную модель-с данными экспериментов.
Актуальность кинетического моделирования миниатюрного, плазменного двигателя продиктована необходимостью создания космических двигателей для микро-спутников и трудностью диагностирования из-за крошечных размеров.
Актуальность численного анализа работы прототипа плазменного двигателя с высоким удельным импульсом большой мощности необходима для понимания взаимосвязи физических процессов и оптимизации работы двигателей, которые, возможно, будут использованы для быстрых экономичных межпланетных перелётов и поддержания МКС на околоземной орбите.
Цель работы состояла в:
1)разработке кинетической модели пристеночной scrape-off layer (SOL) плазмы Токамака, учитывающей её специфику;
2)создании консервативных численных методов, обеспечивающих корректное моделирование широкого спектра физических процессов в плазме, в т.ч. столкновительных;
3)проведении численных экспериментов по идентификации нелокальных эффектов в SOL плазме ИТЭРа и ряда экспериментальных Токамаков, а также в линейной установке;
4)анализе экспериментальных методов диагностирования, сравнении данных кинетических расчётов с опытными данными и с результатами жидкостных расчетов; объяснению с кинетических позиций ряда неожиданных зависимостей;
5)кинетическом исследовании бифуркации параметров пристеночной плазмы (переход в дегачмент) при повышении средней плотности плазмы и при варьировании потока тепла, входящего в SOL слой;
6)количественных рекомендациях для инженерного проектирования дивертора ИТЭРа, а также для внесения кинетических поправок в жидкостные транспортные коды;
7)создании кинетической модели на основе столкновительного метода частиц для моделирования миниатюрного плазменного двигателя, проведении расчетов и их сравнения с данными эксперимента.
8)применении конечно-разностного кинетического метода для оделирования течения плазмы в проектируемом космическом двигателе высоким удельным импульсом большой мощности с целью оличественного прогноза его рабочих характеристик;
9)построении модели плазмохимической кинетики в геликоновом сточнике плазмы, гибридной модели течения газа в системе питания, равнении расчётных и экспериментальных данных, объяснении кспериментальных наблюдений, предсказании работы источника в акууме и при изменении геометрических размеров;
10)создании новых консервативных адаптивных численных методов ля исследования столкновительных плазменных систем, в т.ч. с ифуркацией решений, и численного исследования бифуркации гационарных решений нелинейного анизотропного уравнения еплопроводности с источником.
Научная новизна. Перечислим новые результаты, полученные первые в данной работе.
1)Разработан гибридный метод численного моделирования SOL лазмы Токамака на основе столкновигельного метода макрочастиц, оторый позволяет одновременно рассматривать динамику электронов и онов. Метод учитывает кулоновские соударения, а также процессы онизации и возбуждения атомов [изотопов водорода] электронным даром, резонансной перезарядки и рекомбинации на стенке. Впервые айден метод расчёта амбиполярного электрического поля для метода астиц в ячейках. Динамика нейтралов описывается в кнудсеновском риближении и учитывает их рециклинг.
2)Впервые кинетическая модель применена для исследования ифуркационного перехода аттачмент-детачмент SOL плазмы для двух редельных геометрий дивертора - узкого и широкого. Обнаружено, что ереход наблюдается при тех же значениях бифуркационного параметра, то и в экспериментальных и теоретических работах. При этом впервые бнаружена существенная неравновесность функций распределения (ФР) лазменных компонентов, которая приводит к росту пристеночного отенциала и к погрешностям при зондовом измерении температуры в иверторе. Найдено, что средняя скорость течения плазмы в предслое -озвуковая. Сравнение кинетических расчетов с широко используемыми сидкостными моделями, говорит о недостаточности простых коррекций ипа флакс-лимита для учёта кинетических поправок.
3)Разработан оригинальный консервативный метод конечно-азностного моделирования электрон-ионной плазмы с кулоновским бменом. Предложена новая схема расчёта продольного амбиполярного лектрического поля, расчёта плавающего потенциала и поддержания
строгой квазинейтральности системы. Впервые в численных расчётах воспроизведены результаты Брагинского для продольной электронной и ионной теплопроводности и для коэффициента термосилы (-0.71) в пределе малых чисел Кнудсена, и рассчитано значение этих величин для конечных длин пробега.
4)Впервые для диверторныхТокамаков Алькатор, ДублетиTdeV (и ИТЭРа) проведено кинетическое моделирование стационарного течения электронов в SOL слое на плазменном фоне, который брался из эксперимента. Рассматривались разряды с присоединённой и с отошедшей плазмой. Получены стационарные функции распределения. По ним оценены погрешности зондовых измерений. Показано, что диверторные пробники завышают температуру в 2-6 раз. Объяснён эффект возрастания разницы показаний двухсторонними плазменными зондами при увеличении средней плотности в SOL плазме. Хотя столкновительность плазмы растет при этом на порядок, одновременно происходит переход к детачменту, который характеризуется ростом пространственных градиентов, что, в свою очередь, вызывает рост асимметрии ФР электронов.
5)Кинетически моделировались нестационарные режимы распространения тепла в пристеночном слое Токамаков. Моделировались одна и несколько локализованных мод - ELMob (Edge Localized Modes). Последние типичны для режимов с детачментом, который считается основным для ИТЭРа. Показано, что прорыв ELMa вызывает возрастание неравновесности ФР, росту транспортных коэффициентов и скачку пристеночного потенциала в несколько раз, что приводит к усилению эрозии пластин и должно учитываться при их проектировании.
буТечение плазмы в линейной установке впервые исследовалось при помощи кинетического конечно-разностного метода. Показано, что 2%-ая плотность пучка горячих электронов, образующихся на катоде дугового разряда источника плазмы, объясняет аномально высокую амплитуду экспериментально измеренного пристеночного потенциала и асимметрию температуры в точке, при её измерении двухсторонним зондом.
7)Создана консервативная кинетическая модель частично ионизованной плазмы на основе метода конечных объёмов, позволяющая одновременно рассчитывать ФР электронов, ионов и нейтралов. Она учитывает следующие процессы: ионизацию и возбуждение атомов электронным ударом, перезарядку иона и атома, нелинейные Кулоновские столкновения, трёхчастичную и поверхностную рекомбинацию, упругие соударения атомов с электронами и с нейтралами. В основе лежит известный метод дробных шагов, однако, аппроксимации операторов столкновений оригинальны: обеспечивается полная консервативность и сохраняется неотрицательность всех ФР.
8)Впервые метод прямого моделирования частиц газа и плазмы применён к кинетическому моделированию работы миниатюрного плазменного двигателя на эффекте Холла. Модель учитывает ионизацию и возбуждение атомов ксенона, их рекомбинацию на электродах. Плавающий потенциал и электрическое поле рассчитываются самосогласованно, равно как и течение плазмы в скрещенных полях. Показано, что течение плазмы пульсирующее. Удельный импульс и тяга в модели и в эксперименте взаимно близки.
9)Численно исследована кинетика плазмы в плазменном двигателе с ВЧ нагревом ионов типа несимметричный пробкотрон. Расчёты показывают возможность получения плотной плазмы и достижения удельного импульса, превышающего нынешний уровень втрое. Показано, что распределения электронов и ионов взаимно не термализованы, а скорость истечения плазмы из сопла сверхзвуковая.
10)Построена модель химической кинетики плазмы в геликоновом разряде. Модель учитывает диссоциации молекул и молекулярных ионов водорода электронным ударом, ионизации и возбуждения нейтральных частиц, конверсию теплового потока на стенке. В ней рассчитываются по гибридной модели главные параметры течения слабоионизованного газа. Рассчитывается состав плазмы и температура компонентов. Показывается важность лаймановского излучения и Франк-Кондоновских нейтралов. Обсуждается, при каких предположениях экспериментальные зависимости могут воспроизводиться с хорошей точностью. Показывается важность эффекта остаточного давления в вакуумной камере. Предсказываются характеристики источника при изменении геометрических и физических параметров разряда.
11)Разработан конечно-разностный метод моделирования столкновительной плазмы [или газа], сохраняющий массу, импульс и полную энергию, что строго доказывается. Метод применён к решению классической пучково-плазменной задачи. Показано, что в расчётах методом частиц были пропущены интересные тонкие эффекты.
12)Разработан адаптивный сеточный метод рекурсивного дробления и укрупнения (РДУ) сетки для моделирования замагниченной плазмы с сильной анизотропией транспортных коэффициентов. Метод обладает рядом уникальных свойств. Последние демонстрируются на исследовании бифуркации решений нелинейного уравнения теплопроводности с сильно нелинейным источником и с высокой анизотропией коэффициентов теплопроводности. Численно найдены области сосуществования решений, приводятся примеры таких решений, в том числе с резкими фронтами.
Научная и практическая ценность. Научная ценность состоит в ряде точных математических результатов, полученных в работе, и в физических эффектах, объясненных при помощи кинетических моделей.
Практическая ценность прямо связана с многочисленными экспериментами и экспериментальными установками, которые рассчитывались и анализировались в -данной работе. -Отдельно ^отметим анализ и сравнение экспериментальных методик определения температуры плазмы, которые нуждаются в кинетических поправках.
Поправки должны использоваться также в жидкостных кодах, -предполагающих равновесность ФР, что, как показано, неверно.
Развитые в работе методы кинетического и адаптивного моделирования столкновительной плазмы и газа могут быть использованы для исследования плазмы газового разряда, космической и ионосферной плазмы, когда числа Кнудсена соответствующих течений таковы, что жидкостное рассмотрение становится неудовлетворительным.
Результаты расчетов используются при проектировании Токамака-реактора ИТЭР и различных типов плазменных двигателей.
Реализация и внедрение. Результаты исследований использованы при выполнении многочисленных хоздоговорных НИР с ИКИ РАН, ИАЭ им. Курчатова, ХФТИ, СФТИ, по международному проекту ИТЭР, гранту РФФИ № 94-0204341, грантам Министерства Энергетики США и НАСА.
Методики и программы расчёта переданы группам исследователей на Токамаках Алькатор, Дублет, TdeV и линейной установки PISCES, а также в центральную команду проекта ИТЭР.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всесоюзных Конференциях, Семинарах и Школах (Харьков-88, Сухуми-89, Сочи-91, Звенигород-93), международных конференциях по УТС [1, 11], по динамике разреженного газа [7, 13] по численному моделированию [70-72, 112-115] и теории [27-29, 51-54, 73-75] плазмы, конференциях Европейского [56-57, 80, 84, 110-111] и Американского [21-23, 32-35, 45-50, 61-64, 84-88, 90-93, 106-109] физических обществ, на конференциях МАГАТЭ [44, 82], на международных совещаниях по теории пристеночной плазмы [17, 65-69, 76-77, 95-99, 101-103], аэрокосмических конференциях [104, 116-117], на научных семинарах в ряде ведущих научных центров мира (МФТИ, ХФТИ, СФТИ, ЛГУ, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, ИОФАН, ВЦ РАН, ИКИ РАН, Курчатовский НЦ (СССР/Россия), Лос-Аламоская, Ливерморская, Принстонская Лаборатории, НАСА (Хьюстон), МТИ (США), Каламская Лаборатория (Англия), Юлихский Центр (ФРГ), Сиберсдорфский Научный Центр (Австрия), Университет г. Мехико (Мексика), Канадский Центр Магнитного Синтеза).
Автором сделаны приглашённые доклады на Ежегодной Конференции отделения плазмы Американского Физического Общества (Денвер, США) [45], на Международном совещании по теории пристеночной плазмы (Оксфорд, Англия) [65], и обзорный доклад на V Международном Конгрессе по динамике жидкости (Мексика) [105].
Публикации. Результаты выполненных за последние 15 лет исследований нашли отражение в 117 публикациях, приведённых в конце автореферата диссертации.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, пяти приложений и библиографии. Работа изложена на 451 странице машинописного текста, содержит одну таблицу, 213 рисунков и схем, список цитированной литературы из 290 наименований.
Личный вклад автора. Основные результаты работы, касающиеся разработки кинетических методов, численных алгоритмов, расчётных программ, математических и физических моделей получены автором.
Часть результатов получена в соавторстве с научными работниками
различных организаций: Ю.С.Сиговым, Г.И.Змиевской, В.Б.Красовицким,
В.Д.Левченко, И.И.Силаевым (ИПМ им М.В.Келдыша РАН),
В.ККарасём, Я.Б.Файнбергом (ХФГИ), В.П.Сидоровым (СФТИ),
В.И.Петвиашвили, СИ.Крашенинниковьш, А.С.Кукушкиным,
Т.К.Соболевой (НЦ Курчатовский Инст.), А.С.Холодовым (МФТИ), Д.Сигмаром, А.А.Батищевой, П.Катто, К.Молвигом, БЛабомбардом, (МТИ), М.Шукри (TdeV), Л.Шмитцем (PISCES), Дж.Воткинсом(Дублет), с руководимым автором аспирантом Д.Сзабо, и с другими соавторами.
Уравнение Ланжевена для Кулоновских столкновений
Обнаружена интересная эволюция плотности нейтралов и плазмы на диверторе и на экваторе. На диверторе плотность нейтралов падает, а плотность плазмы растет при прорыве эльма. Плотность плазмы падает на экваторе -30% при прорыве эльма. Это означает, что плазма смещается к дивертору. Её плотность растет в 3-4 раза, а плотность нейтралов уменьшается на порядок.
Эти изменения можно трактовать как смену детачмента плазмы на её аттачмент. Иными словами, в расчёте наблюдается бифуркация режима течения плазмы в пристеночном слое: режим с отошедшей плазмой на примерно удвоенное время активности эльма сменяется режимом с присоединённой плазмой. При этом наблюдается гистерезис плазменных параметров: переход к аттачменту происходит быстрее, чем возврат в детачмент. Интересно, что при прорыве эльма скорость перезарядки растёт, а кулоновского обмена падает. В результате разница электронной и ионной температур возрастает.
Параграф 3.5 посвящен кинетическому моделированию течения плазмы в линейной плазменной установке, используемой для исследования взаимодействия плазмы с различными материалами, - Pisces (Калифорнийский университет) [71].
В данном типе установок существует дополнительный источник неравновесности. В силу особенностей дугового разряда функция распределения (ФР) электронов в источнике в первом приближении состоит из Максвелловского ядра и 1-3% пучка энергичных электронов, ускоренных в пристеночном слое катода до энергий ЮОэВ.
Расчёты показывают следующие макроскопические следствия наличия высокоэнергетичного пучка низкой плотности в плазме установки PISCES: большая часть теплового потока переносится хвостом ФР и драматически растёт пристеночный потенциал. Данные обстоятельства надо учитывать при проектировании и интерпретации данных линейных установок. Актуальным для космонавтики является вопрос создания двигателя с высоким удельным импульсом. Большинство подобных двигателей использует плазму в качестве рабочего тела. Исследованию работы двух плазменных двигателей посвящена 4-я глава.
Много усилий в настоящее время уделяется созданию миниатюрных плазменных двигателей. В п.4.1 будет рассмотрена одна из разновидностей двигателя на эффекте Холла - с анодным слоем [156]. Поперечные размеры двигателя порядка 5мм, что затрудняет экспериментальную диагностику. Параметры плазмы таковы, что, возможно, его исследование на масштабе разделения пространственного заряда. В этом случае можно пытаться применить гибридный метод столкновительного РІС и МС, развитый в первой главе. Метод расширен на 2D3V и использует неравномерную сетку.
Расчёты показывают, что действительно у анода образуется тонкий слой, в котором сосредоточены падение потенциала и ионизационный источник. Основные характеристики в расчёте отличаются от экспериментальных данных не более чем на 30%. При этом обнаружено, что тяга двигателя осциллирует с некоторой характерной частотой, что может быть причиной низкого к.п.д. двигателя.
Для того чтобы достичь высокого удельного импульса, необходимого для быстрого перелёта к планетам, необходимо использовать протоны (Н), нагретые до 100-1000 эВ. Это невозможно сделать в традиционных конфигурациях типа Холловского или ионного двигателей. Поэтому в п.4.2 исследуется кинетически система: источник плазмы - радиочастотный нагрев - магнитное сопло [147]. Данная конфигурация представляется гибкой, позволяет варьировать удельный импульс в широком диапазоне, и не имеет внутренних электродов. Однако она новая и требует кинетического анализа.
Магнитная система состоит из последовательного набора магнитных сопел. Поэтому в кинетическую модель была добавлена продольная сила, учитывающая градиент поля, а также источник плазмы и нагревные члены, описывающие передачу энергии электронам в источнике и ионам в зоне высокочастотного (ВЧ) нагрева.
Кинетические расчёты течения плазмы в системе трёх магнитных зеркал показывают, что электронная и ионная ФР неравновесны. Температура электронов в системе практически постоянна, а ионов - очень немонотонна. При этом продольная и поперечная температуры ионов значительно различаются. Наблюдается сильный эффект магнитной ловушки - плотность плазмы в ней вдвое выше средней. Плазма разгоняется в магнитном сопле до сверхзвуковой скорости. При умеренном нагреве, как показывает расчёт, возможно, получить удельный импульс в 3 раза превосходящий другие плазменные движки.
Для производства плазмы в ряде плазмодвигателей используется геликоновый источник, работающий в кинетическом режиме. Поэтому в п.4.3 развита плазмохимическая модель разряда, которая прямо сравнивается с экспериментом [152]. Сначала строится физическая модель, которая учитывает процессы ионизации и диссоциации молекул водорода, диссоциации молекулярных ионов, ионизации и возбуждения атомов, их конверсию на стенке, нагрев электронов и истечение смеси из сопла. После этого выводятся 13 уравнений для концентраций плазменных компонентов и их температур. При этом плазма предполагается квазинейтральной, а геометрия источника учитывается в коэффициентах.
Моделирование нелокального переноса в плазме
В предыдущей главе был описан столкновительный метод частиц в ячейках для математического моделирования плазмы при наличии Кулоновских соударений. Оказывается, что в силу свойственных ему статистических флуктуации, для количественного численного описания нелинейной динамики замагниченной плазмы требуется порядка 10 на каждую пространственную ячейку. В линейном случае это число может быть понижено на 1-2 порядка. Конечно, расчеты проводятся с гораздо меньшим числом частиц TV 10 -10 (при числе пространственны узлов К 10 ), а удовлетворительная статистика достигается путем усреднения по времени. При этом в принципе невозможно изучать быстрые переходные процессы, поскольку невозможно набрать достаточную статистику. Метод не позволяет точно рассчитать нелинейное амбиполярное поле и пристеночный потенциал. Отметим также, что в силу очень медленной сходимости ос —= любое решение, полученное на его основе, не является строго сошедшимся. Действительно, даже для ЭВМ с одинарной точностью представления действительных чисел (4 байта) надо иметь N 10 для обеспечения сходимости до машинной точности (для 32 двойной точности - N » 10 ), что пока нереально. Также в силу того, что численный шум зависит от числа частиц в ячейке принципиально невозможно при постоянной пространственной плотности макрочастиц применять адаптивные численные методы, в которых объём ячейки не фиксирован и может мельчиться сколь угодно. Отметим, что сходимость не улучшается с уменьшением временного шага At. Например, вычисление плавающего потенциала поглощающей стенки основано на суммировании по N- r заряженных частиц (медленных ионов), сталкивающихся со стенкой на каждом временном шаге. При очевидно, Njy - 0и, соответственно, нет сходимости.
Число операций на частицу при моделировании с использованием стохастического уравнения Ланжевена (1.69-1.70) в простейшем линейном случае достигает нескольких сотен. Возникает резонный вопрос: нельзя ли найти решение кинетического уравнения (КУ) за меньше чем N «10 арифметических операций? При этом хотелось бы покрыть нелинейный случай, точно определять амбиполярное поле, избавиться от статистического шума, разрешать одинаково точно функции распределения (ФР) легких электронов и тяжёлых ионов как в тепловой части ФР (Е = Тр), так и физически интересных надтепловых частиц с энергиями Е 2Тр.
Почему важно аккуратно разрешать высокоэнергетичную часть ФР, где находится меньшая часть частиц (26% при Е 2Тр, см. рис.2.1)?
Известно, что плавающий потенциал водородной плазмы определяют электроны с энергиями Е ЗТр [66, 87], а 80% потока тепла переносится частицами с Е = 5-9Тр [56]. Оба процесса являются очень важными.
Первый используется в плазменных зондах для диагностирования плотности и температуры плазмы, а второй определяет важнейшую характеристику - теплопроводность плазмы, критическую для проблематики УТС вообще, и для энергосъёма, в частности. процентами, а второй - только 2-ми процентами от общего числа частиц плазмы. Отметим, что есть и другие процессы - пучки вторичных электронов в разрядах [71], убегающие электроны в лазерном термоядерном синтезе [35], циклотронный и нижнегибридный нагрев плазмы [38] и т.д., требующие кинетического подхода. Все вышесказанное и определило разработку новых моделей столкновительнои плазмы на основе консервативных сеточных методов [15,22, 73], рассматриваемых далее. статистической флуктуации Snp /пр =10 -10 говорит о высоком уровне нейтральности. Таким образом, электрическое поле не может быть получено из уравнения divE - Ал;е{пі -пе) для распределения электрического заряда. Он флуктуирует в 7-8 знаке, что за пределами точности расчетов (2-3 знака). Пространственный размер должен быть, по крайней мере, порядка 10Ар, чтобы подход, основанный на неявном методе Пуассона, был применим [74]. Поэтому в нашем случае электрическое поле ровно такое, чтобы обеспечить нейтральность плазмы. При квазистационарном течении плазмы не должно происходить накопления зарядов в системе. Это означает, что на временах больше времени релаксации заряда - электронного плазменного периода (порядка
КГ11 -10"105 для интересующих нас параметров) - течение плазмы амбиполярное, т.е. формально сила электрического поля компенсирует все остальные силы, действующие на частицы плазмы. Кулоновское —8 —7 столкновительное время порядка 10 -10 s, что много больше плазменного. Пролётное время для иона порядка 10 -10 s является временным масштабом выравнивания давления в системе. Обезразмерим систему уравнений. Выберем следующие базовые единицы: длина [х] = Ю0ст, энергия [JcT] = leV, электрический заряд [q] = e = 1.6022х 1(Г19С, масса [т] = Мр =1.6726 х КГ27 kg .
Выбор системы координат.
Преобразуем систему уравнений к удобной системе координат. Удобство системы координат определяется в первую очередь потребностями описания скоростного пространства. Желательно все рассмотрение проводить на одной и той же скоростной сетке, если это возможно. Нас интересуют режимы с перепадом температуры max I min При этом мы хотим различать детали функции распределения (ФР) с точностью до Av O.lK у оси. Последнее относится как к электронам, так и к ионам. Поскольку Vj/VS 42.6, то отношение шага сетки к максимальной сеточной скорости Av// 10- . Т.о. использование равномерной сетки в цилиндрической системе координат означает К&10 узлов, что неприемлемо. Реальный предел К = \0 -10 . Значит надо использовать неравномерную сетку. Т.к. мы хотим, чтобы скоростное разрешение электронной и ионной ФР было одинаковым при скоростях порядка тепловой и на хвостах, т.е. чтобы отношение Av/Vj = const. Последнее уравнение имеет решение геометрическая прогрессия скоростного шага: Avn=aAv ,,n = 2,...,N.
Моделирование рециклинга нейтралов в пристеночной плазме Токамака
В данном разделе детально описываются разностные аппроксимации операторов перезарядки, ионизации и возбуждения нейтрального атома электронным ударом, упругих соударений атомов с атомами и с электронами, рекомбинации. Каждый оператор последовательно добавляется в схему расщепления (2.24). Рассмотрение ведется в сферической аксиальносимметричной системе координат.
Аппроксимация оператора перезарядки
В общем виде изменение функций распределения нейтральных атомов и ионов в результате перезарядки записывается в виде следующего интегро-дифференциального уравнения: нейтралов, соответственно. Считаем, что массы ионов и атомов в пределах точности вычислений равные. Перезарядка, как легко показать, сохраняет массу, импульс и энергию системы взаимодействующих ионов и атомов. В этом смысле данный процесс упругий. Его отличие от Фоккер-Планка в том, что он не локальный. Произвольные по амплитуде скачки в пространстве скоростей возможны для сколь угодно малых временных шагов. Также выше и размерность: в (3.1) интегралы берутся по всему где CTQX-Ы усредненное по ячейкам сечения перезарядки, а \v-it ..,, усредненный же модуль скорости, Qjj, Сім - объёмы ячеек. Заметим, что сечение данной реакции - очень медленная функция энергии (часто в теоретических моделях вообще полагается константой [105]). Второе замечание касается усреднения скорости. Фактически надо усреднить по двум коаксиальным кольцам конечной (переменной!) толщины. Здесь возможны два подхода - аналитический (набор тонких колец) и численный. В результате мы остановились на промежуточном. Одно из колец делится по углу на равные части (обычно 16-32), и из фиксированной точки другого кольца высчитывается конечное число модулей скорости до геометрических центров другого. Средний модуль получается линейным осреднением по последним. Отметим, что вычисление средних величин достаточно выполнить один раз в начале расчёта, поскольку вычисления ведутся с одной и той же скоростной сеткой в каждом пространственном сечении. Поскольку скоростная сетка простирается до 20 тепловых электронных скоростей, оператор перезарядки можно рассчитывать не на всей сетке, ограничившись лишь
В принципе можно саппроксимировать уравнения (3.3) конечными разностями [22, 27], записать, например, неявную схему, которая будет абсолютно устойчивой, т.к. в правой части имеем сток частиц. Однако мы выбрали тот же путь, что и при аппроксимации оператора пространственного переноса, а именно использование аналитического решения исходной непрерывной задачи (3.3).
Как следует из рис.3.1 перезарядившаяся масса ионов из ячейки -/У, попадает в ту же самую ячейку, но распределения атомов fll и, наоборот, из /дг в fi . При этом экономится перенормировка объёмов. Поскольку S(t) - const, то количество ушедших ионов равно количеству прореагировавших атомов. Поскольку они остаются в тех же ячейках (но в разных распределениях) то сохранение импульса и энергии выполняются автоматически.
Данный парный алгоритм применяется поочередно ко всем ячейкам, начиная с малых модулей скорости и продвигаясь к большим.
Тестирование заключалось в проверке консервативности, где точность была 8 знаков, неотрицательности ФР и Максвеллизации произвольных начальных распределений ионов и атомов.
Аппроксимация операторов ионизации и возбуждения атома электронным ударом. Важнейшими элементарными процессами в плазме (в том числе водородной) являются ионизация и возбуждение нейтрального атома, находящегося в основном состоянии, электронным ударом:
В случае ионизационных процессов, полный Больцмановский столкновительный оператор для электронов [44-46], сталкивающихся с тяжелыми атомами может быть упрощен на основе следующих предположений: а) направление вектора скорости электрона до и после соударения с нейтралом сохраняется, б) электрон теряет энергию, равную порогу данной реакции плюс энергия вторичного электрона, в) ион наследует энергию и импульс нейтрала плюс остаток, потерянный электронами, г) вторичный электрон рождается с минимальной скоростью (в нашем случае - V\) в направлении налетающего первичного. В результате имеем (в пределе бесконечно малого отношения масс налетающей к покоящейся частице) что с точностью до те IМj 1/1836
Отметим, что непосредственное применение данного алгоритма может привести к отрицательному множителю перед ФР нейтралов. Чтобы этого не произошло, можно либо дробить шаг, либо использовать неявные итерации, используя при расчёте скорости ионизации плотность нейтралов на следующем временном шаге. Оба подхода увеличивают число вычислений на порядок, что неудовлетворительно.
Рассмотрим более привлекательный на наш взгляд подход, который отчасти напоминает метод используемый для оператора перезарядки. А именно, рассмотрим связанные уравнения для электронной ФР и для ФР нейтралов. Поскольку последняя локализована в силу приближения
Далее в численной схеме определяется суммарная потеря энергии и импульса электронами. Разница приплюсовывается к ионной компоненте, используя метод консервативной коррекции, изложенный в Приложении В и сохраняющий неотрицательность ФР.
Оператор, описывающий возбуждение атомов водорода Н(п = 1) Н(п = 2), аналогичен (даже несколько проще) оператора ионизации. Для него используется немодифицированный метод (3.16), поскольку плотность нейтралов не изменяется. Считаем, что неупругая энергия немедленно высвечивается в виде фотона, который в силу оптической прозрачности плазмы дает вклад в потери на излучение в линии Lya водорода (Приложение Г).
Фоккер-Планковская модель плазменного двигателя с высоким удельным импульсом
Течение разреженного газа в системе труб и каналов является хорошо исследованной задачей, начиная с основополагающих работ Пуазейля и Кнудсена. В данной работе подобные течения уже рассматривались в Главе 4, применительно к течению газа в системе питания плазменного двигателя большой мощности. Поскольку степень ионизации плазмы порядка 1%, то движение газа можно в первом приближении рассматривать как независимое от плазмы. Одномерная гибридная модель, предложеная автором в Гл.4 опирается на предельные выражения для вязкого ламинарного и Кнудсеновского течения. Поскольку число Кнудсена для газа варьируется в интервале 0.1-10, то желательно кинетическое рассмотрение подобного течения с переменной столкновительностью. Интересно проверить воспроизведёт ли кинетическая модель величины скоростей течения газа, насколько ФР будет отлична от Максвелловской и будет ли течение иметь двумерную структуру или будет квази-одномерным.
Данная схема имитирует кварцевую трубку радиуса R и длиной L, коаксиальную с длинной трубой (вакуумная камера) радиуса 4R. Область моделирования [0,Lx L]x[0,Ly=4R] покрывает примерно 1.5L в аксиальном направлении.
О граничных условиях. В нашей двумерной Декартовой модели у=0 является плоскостью симметрии. Газ инжектируется через короткий вертикальный отрезок [0,R] (пунктир) с Максвелловским распределением при комнатной температуре Т0. Плотность газа варьируется таким образом, чтобы поток массы /и (в стандартных куб. см. в мин.) отвечал заданному в эксперименте. Второй вертикальный отрезок x=Lx (пунктир) является поверхностью свободного разлёта газа, поэтому через неё нет импорта частиц. На всех прочих внутренних поверхностях, обозначенные на Рис.5.2 сплошными линиями, газ отражается обратно в объём диффузно с Максвелловским распределением при температуре стенки Tw. Поскольку масса газа при этом не изменяется, то локальное граничное условие таково:
Приходящая функция /+ бралась для простоты в виде Максвелловской функции с теми же первыми моментами, что и /_. В отсутствие границы, система описываемая (5.45) сохраняет число частиц, их энергию и две проекции импульса, что использовалось в качестве элементарного теста. Результаты расчётов течения газа.
Рассматривалось течение газа в системе, изображенной на Рис.5.2, и описываемой уравнением (5.44). Физические параметры соответствуют параметрам эксперимента VX-10 [259-260].
Течение вязкое и ламинарное. Профиль плотности газа в узком канале квази-одномерный, но не линейный, как ожидалось, а вогнутый. Профиль скорости здесь имеет параболическую форму (прилипание), в то время как в широком канале становится плоским, как должно при плавном переходе в Кнудсеновский режим.
Газ дважды разгоняется до околозвуковой скорости с М-0.5 в конце узкого и М-0.8 в конце широкого канала. На большей части узкого канала М 0.03-0.1 в согласии с данными одномерной модели.
Результаты расчётов показывают, что плотность газа снаружи кварцевой трубки (здесь расположена геликонная антенна) порядка Если не откачивать этот газ, то разряд зажжётся не только внутри канала, но и снаружи, что приведёт к потерям ВЧ-мощности и может повредить внутренние элементы (в первую очередь-криогенные магниты). В лабораторном эксперименте для откачки используется турбо насос. В космосе можно ограничить приток газа в нежелательные участки системы установкой диафрагм и сбросом остаточного газа в окружающее вакуумное пространство. Расчёты показывают, что положительный понижающий эффект на давление остаточного газа может дать установка диафрагмы в узком канале Рис.5.4, который следует П, 10 ОП сопоставить с
Поскольку наши расчёты кинетические, то получить ответ на вопрос: насколько ФР газа близка к равновесной Максвелловской.
Пучково-плазменная неустойчивость является важной классической задачей физики плазмы. Она исследовалась теоретически многими авторами [34, 2]. Большинство результатов получено для линейной стадии развития неустойчивости [39]. В нелинейном случае теоретическое рассмотрение [65] предполагает существование малых параметров, например, малую плотность пучка по отношению к плотности плазмы. Распределение по скоростям для последней предполагается Максвелловским. В то же самое время интересным является изучение нелинейного насыщения неустойчивости. Это возможно сделать только численно. Для численного анализа применялись как методы частиц в ячейках [64], так и сеточные методы
Ни те, ни другие не были полностью консервативными (это, не необходимое условие, важнее, видимо, плотно покрывать фазовое пространство) . Пространственно-скоростное разрешение позволяло лишь охватить линейную стадию и несколько колебаний системы при насыщении неустойчивости. В силу этого тонкие эффекты были незамечены. Помимо этого, известно, что простейшая пучково-плазменная система имеет много характерных параметров: размер пучка, его плотность, плотность захваченных частиц, плазменная частота, инкремент неустойчивости, частота колебаний захваченных частиц, и т.д. Поэтому исследовать все возможные комбинации трудоёмко. В силу вышесказанного мы применим разработанный в предыдущем разделе консервативный метод расщепления для исследования одной частной физической задачи.
