Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Инварианты и законы сохранения в гидродинамике 22
1.1. Лагранжевы координаты 22
Кинематические свойства жидкости. Лагранжев базис, якобиан, динамика. Общее представление пассивного скаляра, вмороженного вектора, интегрирование уравнения непрерывности. Сохранение топологии магнитного поля при МГД эволюции .
1.2. Понятие инварианта 26
Примеры простых инвариантов. Производная Ли. 4 типа инвариантов в 2R3. Координатное определение. Представление сносимого тензора. Размножение вмороженных векторов.
1.3. Лагранжиан и законы сохранения 33
Закон сохранения в гидродинамике. Потенциалы Клебша. Построение жидкого лагранжиана. Теорема Нетер и комментарии. Симметрии Ли-Бэклунда.
1.4. Гамильтонов подход 43
Каноническое и неканоническое описания. Казимиры. Метод динамически допустимых вариаций.
Глава 2. МГД симметрии 50
2.1. Симметрии идеальной одножидкостной МГД 50
Симметрии Ли-Бэклунда 1 порядка для идеальной одножидкостной МГД. Скейлин-ги. Симметрии перемаркировки. Законы сохранения.
2.2. Многокомпонентная плазма 57
Лагранжиан многокомпонентной плазмы. Двужидкостные модели: холловская (ХМГД) и электронная (ЭМГД) магнитные гидродинамики, их симметрии и законы сохранения .
2.3. Холловское равновесие плазмы в токамаке 74
Особенности ХМГД равновесия плазмы в токамаке. Корректный переход к одножидкостной МГД. Аналитический пример.
Глава 3. Анизотропная бесстолкновительная магнитная гидродинамика 86
3.1. Общая структура уравнений 86
Гидродинамические переменные вместо дрейфовых, отсутствие априорного ордерин-га, моментные уравнения, тензоры давления и потоков тепла. Динамика диагональных форм.
3.2. Замыкание цепочки моментных уравнений 97
Известные способы обрыва. Физически мотивированные предположения: квазидву-меризация, скорректированная гидродинамика ЧГЛ, обобщение на случай произвольной анизотропии .
3.3. Примеры использования моментных уравнений для описания анизотропной плазмы 102
Шланговая неустойчивость однородной анизотропной плазмы с учетом КЛР ионов. Равновесие анизотропной плазмы с течениями. Предельные переходы (к изотропному случаю, к статике).
Глава 4. Вариационные условия МГД устойчивости 110
4.1. Устойчивость статических равновесий 110
Статический энергетический принцип БФКК для линейной устойчивости. Необходимость и достаточность. Проблема нейтральных смещений, их классификация. Нейтральные смещения статического равновесия плазмы, высшие вариации, маркировочные симметрии.
4.2. Функционал Ляпунова 118
Проблема построения функционала Ляпунова для одножидкостной МГД. Обзор известных подходов. Достаточное условие МГД устойчивости плазмы с течениями .
4.3. Устойчивость течений анизотропной и многокомпонентной плазмы Функционал Ляпунова для гидродинамики ЧГЛ. Вариационные условия устойчивости для ХМГД и ЭМГД.
4.4. Особенности динамики линейных систем 134
Двумерный пример с изолированным равновесием. Дополнительные законы сохранения. Соотношение спектрального и вариационного метода. Возможные МГД аналогии.
Заключение 142
Краткая характеристика основных результатов. Возможные перспективы. Благодарности. Литература 147
- Кинематические свойства жидкости. Лагранжев базис, якобиан, динамика. Общее представление пассивного скаляра, вмороженного вектора, интегрирование уравнения непрерывности. Сохранение топологии магнитного поля при МГД эволюции
- Лагранжиан многокомпонентной плазмы. Двужидкостные модели: холловская (ХМГД) и электронная (ЭМГД) магнитные гидродинамики, их симметрии и законы сохранения
- Известные способы обрыва. Физически мотивированные предположения: квазидву-меризация, скорректированная гидродинамика ЧГЛ, обобщение на случай произвольной анизотропии
- Проблема построения функционала Ляпунова для одножидкостной МГД. Обзор известных подходов. Достаточное условие МГД устойчивости плазмы с течениями
Введение к работе
В данной диссертации представлено систематическое теоретическое исследование лагранжевой структуры различных гидродинамических моделей замагниченной плазмы и вытекающих из этой структуры важнейших следствий, относящихся, в первую очередь, к инвариантным свойствам физических величин, описываемых рассматриваемыми моделями. Развит вариационный метод последовательного учета указанных инвариантных свойств при исследовании устойчивости стационарно движущейся плазмы.
Магнитогидродинамическое (МГД) описание плазмы имеет более чем полувековую историю и восходит к основополагающим работам Альфвена, суммированных в монографиях [1], [2]. За это время магнитная гидродинамика оформилась в самостоятельную науку, изучающую поведение проводящей жидкости в магнитном поле и динамику самого магнитного поля, связанную с движением проводящей жидкости, что отражено в многочисленных монографиях весьма общего содержания, таких как [3, 4, 5]. Не касаясь здесь многочисленных технических приложений магнитной гидродинамики к задачам металлургии, теории электролитов и пр. (см., например, [б, 7, 8, 9]), отметим, что в физике высокотемпературной плазмы такая одножидкостная МГД модель описывает наиболее "грубые", принципиальные закономерности макроскопического поведения плазмы в терминах плотности плазмы р, массовой скорости V, давления р и индукции магнитного поля В:
dtp-{-dW(pV) = 0, (0.1)
pdtV + p(V-V)V + Vp = -UotB x В , (0.2)
dtB = rot[V x B] . (0.3)
Все величины в (0.1)-(0.3) рассматриваются как функции времени и точки пространства, / = /(<,г). Система (0.1)-(0.3) должна быть дополнена описанием динамики давления, которую по аналогии с обычной гидро- или газодинамикой задают в виде уравнения состояния (см., например, [10]),
Р = р(р, V)
(0.4)
и уравнения теплового баланса. В частности, в адиабатических процессах плотность энтропии г]:
дм + V-Vt? = 0 . (0.5)
Очевидно, что такой способ задания динамики давления не вытекает из первопринципов движения и взаимодействия частиц плазмы, а является эмпирическим (основанным на термодинамике).
Физический смысл системы (0.1)-(0.5) прозрачен. Уравнение (0.1) - обычное для гидродинамики уравнение непрерывности, уравнение (0.2) - уравнение Эйлера для жидкости с учетом силы Ампера для тока проводимости, значительно превышающего ток смещения, уравнение (0.3) - уравнение Максвелла для напряженности электрического поля Е,
1 дВ
rotE=-ёж (-6>
в котором учтено отсутствие электрического поля в собственной системе отсчета хорошо проводящей плазмы,
Е + 1[УхВ]
vft - V2/с2 V ;
Уравнения (0.1)-(0.5) называют уравнениями идеальной одножид-костной магнитной гидродинамики, поскольку в них пренебрегается диссипативными эффектами, связанными с конечной электропроводностью плазмы, вязкостью и т.п. Учет этих эффектов в рамках магнитной гидродинамики возможен и, более того, даже обязателен при рассмотрении стандартных задач о МГД течениях [4, 5, 6], однако в данной диссертации основное внимание будет уделено именно идеальным моделям, вполне удовлетворительно описывающим многие физические процессы в высокотемпературной плазме современных термоядерных установок и многочисленных космических объектов (звезд). Это относится и к интересующей нас главным образом задаче устойчивости, когда быстрые МГД неустойчивости могут развиваться за времена существенно меньшие характерных диссипативных времен. Здесь уместно подчеркнуть, что мы не будем специально выделять случай несжимаемых течений, поскольку, как известно, сжимаемость может играть весьма заметную роль в проблеме устойчивости плазмы.
Описанная классическая МГД модель естественным образом распространяется на более реалистичную ситуацию, когда каждая компонента плазмы (электроны и ионы одного сорта) рассматривается как независимая жидкость со своими уравнениями непрерывности, движения и баланса тепла. С этой точки зрения одножидкостная МГД выглядит как вырожденный предельный случай двух- или многожидкостной МГД модели. Вырожденность означает, что одножид-костное приближение обладает меньшим набором степеней свободы, но вследствие этого же допускает большую свободу в распределении физических параметров в равновесии, нежели это возможно в рамках многожидкостной МГД (см., например, [11]; ниже это свойство будет проиллюстрировано в гл.З). Многожидкостная МГД модель особенно продуктивна для описания процессов переноса, когда существенно взаимодействие между различными компонентами плазмы [12], а также для рассмотрения движущейся плазмы с заметным различием в среднемассовых скоростях ионов и электронов [13].
Физической основой использования гидродинамических моделей для описания газа в терминах локальных функций, заданных в каждый момент времени во всех точках координатного пространства, служит механизм "упорядочения", нивелирующий возможные существенные отличия индивидуальных траекторий частиц газа. Таким упорядочивающим механизмом могут быть столкновения частиц, из-за которых функция распределения частиц газа (плазмы) оказывается близкой к максвелловской (разумеется, параметры максвелловской функции могут зависеть от точки пространства и от времени). Гидродинамическое приближение с очевидностью применимо на временах, значительно больших характерного времени такой релаксации функции распределения. Многожидкостные МГД модели базируются на известном факте, что релаксация в каждой компоненте происходит значительно быстрее, чем процессы обмена энергией между компонентами [14, 15]. Однако для плазмы в достаточно сильном магнитном поле даже в случае редких столкновений существует известный механизм упорядочения, связанный с быстрым циклотронным вращением заряженных частиц, что также позволяет использовать - в определенных пределах - МГД описание в терминах моментов функции распределения. При этом качественно плазма представляется как газ ларморовских кружков; количественно же эта интерпретация
связана с сохранением магнитного момента заряженной частицы в достаточно сильном и слабонеоднородном в постранстве и во времени магнитном поле. Кинетическое описание эквивалентно бесконечному набору моментов функции распределения, причем, как известно, в динамическое уравнение для некоторого момента входят моменты и более высокого порядка. Так в уравнении для давления фигурируют потоки тепла, в уравнениях для потоков тепла - четвертый момент и т.д. Поэтому для получения замкнутой системы уравнений МГД типа необходимы дополнительные предположения, позволяющие оборвать эту моментную цепочку. Введение таких предположений может основываться на различных физических соображениях и методически эквивалентно введению в одножидкостной МГД эмпирического термодинамического закона (0.5).
В целом область надежной применимости МГД уравнений хорошо известна (см., например, обзор [16]). Отметим, что, в соответствии с вышеуказанным, термин "МГД модели" используется в данной диссертации в широком смысле слова, т.е. включая многожидкостные и моментные уравнения МГД типа. Идеальность (в смысле пренебрежения диссипативными эффектами) рассматриваемых МГД моделей, предопределяет их лагранжеву структуру, позволяя тем самым реализовать обычную для классической механики схему их вывода из принципа наименьшего действия Гамильтона со всеми вытекающими из такого представления следствиями. Впервые для уравнений идеальной одножидкостной МГД такая схема была реализована Ньюкомбом [17], который продемонстрировал преимущества использования лагранжевых координат при рассмотрении динамики идеальной МГД системы. Введением лагранжевых координат уравнения непрерывности (0.1), вмороженности магнитного поля (0.3) и адиабаты (0.5) интегрируются, что позволяет, в частности, проанализировать устойчивость некоторого класса равновесных состояний плазмы в магнитном поле. Как известно, проблема устойчивости, понимаемая как анализ "близости" динамического состояния системы, выведенной из положения равновесия, к этому положению, является одной из наиболее интересных и исследуемых проблем гидродинамики. В физике плазмы, в частности, эта проблема имеет первостепенное значение для управляемого термоядерного синтеза. В литературе используется довольно разнообразная терминология (причем
не всегда корректно), поэтому, поскольку ряд основных результатов настоящей диссертации непосредственно относится к теории устойчивости, представляется целесообразным конкретизировать используемые термины и очертить статус рассматриваемых в диссертации задач.
Математически корректное определение понятия устойчивости было дано Ляпуновым.
Пусть х = Хо - стационарная точка равновесия динамического уравнения
dix. = F(x) : F(x0) = 0 . (0.8)
Эта точка (положение равновесия) устойчива, если Ve > 0 36 > 0 :
lix^~Xo|lLo<<5 =* Hx«-xo|| Обратим внимание на то, что это определение привязано к способу введения нормы в х-пространстве. Вводя эту норму по-разному, мы получим, вообще говоря, разные классы устойчивых траекторий и, соответственно, различные условия устойчивости. Известна основная теорема Ляпунова, выступающая как достаточное условие устойчивости. Теорема Ляпунова. Если существует скалярная функция 7(х) такая, что 1). U(x) — гладкая в окрестности хо , 2). U(xq) = 0 , 3е>0 : ||х-х0||<б =* СУ(х ф х0) > 0 , 3). dtU(x) = 0„17(х)1Ъ(х) < 0 , то стационарная точка х = Хо устойчива. Регулярного способа построения функционала Ляпунова не существует. Для консервативных систем естественным "кандидатом" в функционалы Ляпунова служит гамильтониан системы Н, автоматически удовлетворяющий условиям 1) и 3). В этом случае для получения вердикта об устойчивости достаточно проверить выпуклость Н в точке Хо (условие 2)). Тем не менее провести эту проверку для конкретных систем зачастую оказывается не так просто. На практике часто ограничиваются исследованием на устойчивость линеаризованных уравнений (отвечающих квадратичному гамильтониану). Используется следующая терминология. Положение равновесия (0.8) называется спектрально устойчивым, если линеаризованный оператор JDF(xo) не имеет положительной вещественной части. Тем самым гарантируется отсутствие возмущений, нарастающих вблизи положения равновесия экспоненциально быстро. Линейная устойчивость (по отношению к норме || || инфинитези-мальных возмущений ) реализуется, если V6 > 0 36 > 0 : U(t = 0)|| < 6 =* \\(t > 0)|| < є , где удовлетворяет линеаризованному уравнению динамики І = DF(x0) (точка над величиной обозначает производную по времени). Аналог теоремы Ляпунова для линеаризованной системы иногда называют условием формальной устойчивости, а именно, положение х = Хо системы (0.8) объявляется формально устойчивым, если существует сохраняющаяся величина ?7(х) : U = 0, первая вариация которой при х = Хо равна нулю, а вторая - знакоопределена (положительна или отрицательна V). Иерархия различных введенных понятий устойчивости для рассматриваемых здесь консервативных систем довольно очевидна. Спектральная устойчивость необходима и для линейной, и для нелинейной (по Ляпунову) устойчивости, поскольку присутствие экспоненциально растущей моды заведомо выводит траекторию из заданной (сколь угодно малой) е-окрестности положения равновесия. Достаточности здесь нет, т.к. даже в линеаризованной системе могут развиваться неэкспоненциально растущие возмущения (например, вдоль "полочки" потенциала). Линейная устойчивость не является ни необходимой, ни достаточной для устойчивости по Ляпунову. В самом деле, "полочка" потенциала может в действительности оказаться "ямкой", но не параболической, а, скажем, 4-ой степени, т.е. линейно неустойчивое равновесие реально может быть устойчивым. Известны и примеры того, что линейно устойчивые равновесия неустойчивы по Ляпунову [18]. Формальная устойчивость гарантирует линейную, но не наоборот. Для конечномерных систем формальная устойчивость гарантирует и нелинейную устойчивость (классический результат Лагран-жа). Континуальные же среды имеют некоторые особенности. Начнем с того, что все данные выше определения естественно переносятся и на континуальные среды переходом: вектор x(t) і— вектор-функция u(t, г) , функция /(х) і— функционал U[u] , производная Ц^ і— вариационная производная |^- , = 0 . "о = 0 і— 6U положение равновесия дх11 Описанная выше иерархия различных определений устойчивости также справедлива. Однако для континуальных сред известны примеры, когда формальная устойчивость не обеспечивает устойчивость по Ляпунову: система может иметь некоторое - или даже бесконечное - число направлений неустойчивых возмущений [19]. Тем не менее исследование формальной устойчивости является важным шагом на пути к выяснению устойчивости по Ляпунову; известны различные подходы к получению улучшенных критериев формальной устойчивости и - в некоторых частных случаях - условий нелинейной устойчивости, которые мы обсудим ниже. Здесь же отметим, что для известных гамильтонианов жидких сред, квадратичных по импульсам, контрпримера типа [19] не построено. Несмотря на отмеченную выше ограниченность понятий спектральной и линейной устойчивости, подавляющее число работ по исследованию устойчивости плазмы относится именно к ним (см. энциклопедические монографии [20]-[23]; подробный обзор основных подходов к описанию МГД неустойчивостей приведен в [24]). Методическая трудность корректного исследования спектральной устойчивости (особенно для случая неоднородной плазмы) заключается в необходимости отыскания наряду с собственными значениями также и собственных векторов, которые должны удовлетворять определенным граничным условиям. В результате вместо обычного для конечномерных систем дискретного спектра мы можем получить непрерывный, или даже отсутствие спектра вообще. Вместе с тем для ответа "да -нет" на вопрос об устойчивости исследуемого состояния равновесия знания реальной динамики системы не требуется; ответ может быть получен при помощи вариационных методов. Идея применения вариационного подхода для исследования устойчивости статического МГД равновесия впервые, по-видимому, была выдвинута Лундквистом [25] и реализована в работе Бернштейна, Фримана, Крускала и Калсруда (БФКК) [26], где показано, что положительная определенность функционала потенциальной энергии W вблизи положения равновесия, 62W > О, гарантирует спектральную устойчивость. Энергетический принцип БФКК (именуемый в англоязычной литературе <52W-npHHn.nnoM) получил весьма широкое распространение благодаря физической наглядности и простоте получения суждения об устойчивости простых МГД систем (см., например, [27]). Для практических целей крайне важно, что он обеспечивает и необходимое условие устойчивости, другими словами, если 3 : 62W[] < 0 , то рассматриваемое равновесие неустойчиво по отношению к линеаризованным МГД уравнениям [28]. Однако вплоть до недавнего времени [29] "за кадром" рассмотрения оставался вопрос о роли возмущений с и = 0, которые, как отмечалось выше, существенны для выявления возможной нелинейной неустойчивости. Помимо этого существование таких нейтральных возмущений может быть связано с симметрией МГД уравнений и отвечать возможным равновесным состояниям с течениями (V ф 0) . Попытка распространить подход БФКК на исследование МГД устойчивости стационарных состояний плазмы с течениями была предпринята Фриманом и Ротенбергом [30]. Однако полученный ими достаточный критерий устойчивости (модифицированный 62W-принцип) оказался слишком "жестким" и критерием, по-существу, не является: он весьма далек от необходимого и, более того, заведомо не выполняется, за исключением равновесий сравнительно узкого класса. Чрезмерная "жесткость" условия Фримана-Ротенберга связана с допущением в вариационной процедуре излишней свободы в варьируемых функциях, нежели это предопределено динамикой системы. А именно, импульсы и координаты в гамильтониане оказываются не вполне независимы; соответствующие связи могут быть следствием существования иных законов сохранения помимо энергии, присущих динамике системы. Устойчиво Неустойчиво Рис.1. Иллюстрация понятия устойчивости. Синим и красным цветами показаны соответственно устойчивая и неустойчивая фазовые траектории, стартующие из 6-окрестности положения равновесия Xq равновесные состояния линии постоянства инварианта Рис.2. Иллюстрация случая вырожденного равновесия (синяя кривая). Колебания (красные точки) происходят вдоль линии постоянства инварианта (зеленые кривые) Важность учета таких связей при анализе устойчивости была понята еще Ляпуновым, предложившим исследовать выпуклость функции U(x) только в подпространстве возмущений, отвечающих постоянству имеющихся инвариантов движения. Качественно эта идея проиллюстрирована на рис.2, где на схематически изображенной фазовой плоскости зеленые кривые являются линиями уровня некоторого инварианта движения. Система, выведенная из устойчивого положения равновесия О произвольным возмущением , будет колебаться (красные точки на рис.2) уже вблизи некоторого нового положения равновесия 0\, сохраняя постоянным значение этого инварианта. Очевидно, что для устойчивости важна не абсолютная выпуклость функции Ляпунова в точке Oi, а лишь вдоль линии уровня инварианта, что позволяет при гладкой зависимости инварианта от фазовых координат рассматривать вместо произвольных возмущений более узкий класс возмущений д, не меняющих значения инварианта в положении равновесия О . Применительно к гидродинамике эта идея была формализована Арнольдом [31]-[32], показавшим, что сохранение интеграла завихренности в идеальной жидкости приводит к расслоению фазового пространства на симплектические листы, причем аналогичным свойством обладают и другие инварианты-казимиры.1 Арнольдом же был указан рецепт перехода от исследования формальной устойчивости к устойчивости по Ляпунову [33]. Эти работы положили начало целому направлению, именуемому в англоязычной литературе "Energy-Casimir (ЕС) method", суть которого заключается в постро-ениии функционала Ляпунова по схеме U = Я + {Сг} , (0.9) где Н - гамильтониан системы, а {С,} - известный набор казимиров; далее исследуется поведение U вблизи положения равновесия. Литература по использованию ЕС-метода весьма обширна, укажем здесь лишь некоторых ключевых авторов, таких как Владимиров, Морри-сон, Моффат, Финн, Холм, см., например, [34] - [37]. Обзор [37] содержит большое количество конкретных примеров и является одной из самых цитируемых работ по данному вопросу. Однако следует отметить, что и в самой работе [37], и в более поздних работах тех 1 Разъяснение свойств казимиров - см. в 1.4 же авторов и их последователей подход, предложенный Арнольдом, реализован не полностью. Поскольку при надлежащем выборе набора казимиров {С{} первая вариация функционала U, заданного (0.9), действительно позволяет получить общее условие равновесия, авторы полагают, что накладываемые сохранением казимиров связи учитываются в вариационной процедуре автоматически - как в известном в вариационном исчислении методе множителей Лагранжа. Однако правило множителей Лагранжа справедливо лишь для первой вариации, поэтому при рассмотрении второй вариации или при выполнении нелинейных оценок о сохранении казимиров следует позаботиться специально, ограничивая соответствующим образом свободу варьируемых функций. Без этого ЕС-метод сводится просто к варьированию смещенного гамильтониана (0.9), что хотя и позволяет получить правильные (и достаточно общие) условия равновесия, но приводит по-прежнему к слишком жесткому условию устойчивости Фримана-Ротенберга [30]. Корректный учет ограничений в вариациях для исследования МГД устойчивости движущейся плазмы был проведен разными методами в работах [38, 39]; получен одинаковый результат. Впоследствие было показано [40], что этот результат может быть получен и в рамках гамильтоновой теории с использованием так называемого "метода динамически допустимых возмущений" [41, 42], хотя сами авторы метода ошибочно получили [43] более слабый результат Фримана-Ротенберга. Сказанное иллюстрирует важность аккуратного учета ограничений, связанных с сохраняющимися величинами в вариационной процедуре. Методическая трудность использования ЕС-метода заключается в том, что, как известно, гидродинамическая система уравнений (и МГД в том числе) может обладать бесконечным набором казимиров. Вместе с тем описанная в [17] и развитая в [29, 38] лагранжева процедура позволяет автоматически учесть при варьировании весь набор казимиров. Центр тяжести проблемы переносится на отыскание иных, некинематических законов сохранения, которые также следует учитывать для получения адекватного условия устойчивости. Для лагранжевых систем известна теорема Нетер [44], которая справедлива и для случая континуальных сред. Применение теоремы Нетер требует отыскания вариационных симметрии рассматриваемой системы уравнений. Симметрии МГД уравнений исследовались и ранее, однако цель таких исследований была обычно иной: знание симметрии позволяет строить некоторые точные решения (так называемые "инвариантные" решения) [45, 46]. Как правило, при этом ограничиваются поиском наиболее простой группы точечных симметрии (симметрии Ли); полная группа таких симметрии уравнений идеальной одножидкостной МГД была найдена Фуксом [47]. Нетривиальные же законы сохранения в гидродинамике (в том числе магнитной) обычно связаны с более сложной группой симметрии - симметрия-ми Ли-Бэклунда2. Некоторые такие симметрии уравнений идеальной МГД были рассмотрены в работе [48] и описаны в [49]. Вышесказанное обосновывает следующую схему получения вариационного условия устойчивости стационарного состояния идеальной жидкой среды: динамические уравнения - лагранжиан - симметрии -вариационные симметрии - законы сохранения - функционал Ляпунова, учитывающий инварианты + законы сохранения - вариационный (достаточный) критерий устойчивости. Причем последний переход осуществляется посредством варьирования с учетом ограничений на варьируемые функции, вытекающих из имеющихся законов сохранения. Данная схема реализована в настоящей диссертации для различных МГД моделей плазмы. Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 4 главы, 14 параграфов. Первая глава диссертации - вводная, служит для определения используемых понятий, описания их свойств и изложения основополагающих утверждений. В первом параграфе вводится понятие лагранжевых координат, строятся ко- и контравариантный базисы, определяется динамика базисных векторов. Следуя [30, 17], мы используем так называемую технику "эйлеризации" лагранжевых координат, когда лагранжевы метки выражаются через неподвижные (лабораторные) координаты, а не наоборот, что упрощает выкладки по сравнению с работой в пространстве лагранжевых координат, позволяя избежать необходимости отслеживать временное изменение метрики в пространственных интегралах и дифференциальных выражениях. Такое представление позволяет наиболее легко и наглядно проинтегрировать уравнения непрерывности (0.1), вмороженности 2Мы вводим это понятие в 1.3; соответствующая теория - см. [75, 95] (0.3) и адиабаты (0.5). Во втором параграфе первой главы разъясняется смысл инварианта жидкой среды; следуя Арнольду [50], формализм производных Ли вводится на основе понятия внешних дифференциальных форм. Такой способ легко приводит к нахождению 4-х* возможных типов инвариантов в трехмерном пространстве. Доказывается полезное утверждение об общем представлении произвольного "сносимого" объекта-тензора. Здесь же указано на возможность нетривиального размножения сносимых объектов, в частности, вмороженных векторов. В третьем параграфе обсуждаются различные способы построения лагранжиана жидкой среды: с использованием потенциалов Клебша и лагранжевого интегрирования. В общем виде формулируется теорема Нетер и некоторые важные комментарии к ней, устанавливающие в том числе ее необходимость для рассматриваемых систем гидродинамических уравнений и позволяющие сузить класс исследуемых вариаций при отыскании вариационных симметрии. В четвертом параграфе первой главы излагается статус гамильто-нова подхода к описанию МГД систем. Вводятся канонические и неканонические скобки Пуассона, разъясняется понятие казимира, описывается принцип динамически допустимых вариаций. Вторая глава диссертации посвящена проблеме симметрии МГД уравнений, в частности, симметрии Ли-Бэклунда первого порядка. Особое внимание уделяется так называемым "симметриям перемаркировки" ("relabeling symmetries"), роль которых для решения задач устойчивости долгое время недооценивалась [17, 30]. Между тем именно эти симметрии ответственны за существования законов сохранения типа перекрестной спиральности (cross-helicity) и стационарных течений плазмы; их анализ крайне важен для решения проблемы нелинейной устойчивости состояний равновесия. Применительно к идеальной одножидкостной МГД процедура отыскания симметрии Ли-Бэклунда 1-ого порядка изложена в первом параграфе второй главы. Среди них выделяется подкласс вариационных симметрии и устанавливаются отвечающие им законы сохранения. Рассматриваемые в диссертации многожидкостные модели описаны во втором параграфе. Важнейшие двужидкостные модели холлов- ской (ХМГД) и электронной (ЭМГД)3 магнитных гидродинамик выводятся из общего лагранжиана многокомпонентной плазмы (МКП). По той же схеме исследуются симметрии и законы сохранения, присущие этим моделям. Поскольку приближение ХМГД наиболее адекватно условиям в современных "пред-термоядерных" установках токамак, в третьем параграфе второй главы описываются особенности равновесия плазмы в токамаке в рамках уравнений ХМГД. Спецификой данного рассмотрения является прослеживание корректного перехода к пределу одножидкостной МГД как в используемых уравнениях, так и в получаемых решениях. Приводится пример нахождения аналитического ХМГД равновесия тороидально вращающейся аксиально-симметричной плазмы. Как уже отмечалось выше, условия удержания высокотемпературной плазмы в современных установках термоядерного синтеза в большей степени отвечают режиму сравнительно редких столкновений заряженных частиц плазмы, нежели области применимости классической МГД. В этой ситуации уравнения МГД типа строятся на основе моментов кинетического уравнения Власова. Выводу и анализу такой системы уравнений для сильно замагниченной плазмы посвящена третья глава диссертации. В первом параграфе третьей главы даны общая процедура вывода и структура моментных уравнений. Отличительной особенностью рассмотрения является использование гидродинамических переменных вместо дрейфовых, в частности, полной массовой скорости ионов вместо скорости электрического дрейфа, что соответствует идее обычного МГД описания, в котором электрическое поле исключено, и позволяет избежать априорного упорядочения различных составляющих дрейфовой скорости ионов. В этом параграфе приводятся общие выражения для динамики компонент тензоров давления и потоков тепла с учетом конечного ларморовско-го радиуса (КЛР) в первом порядке разложения по 1/Q, где Q - циклотронная чистота рассматриваемой компоненты плазмы (обычно, ионов). Некоторые возможные способы обрыва цепочки моментных уравнений обсуждаются во втором параграфе. Важно, что все предлагаемы употребили здесь аббревиатуру ЭМГД, следуя типовым сокращениям, принятым в англоязычной литературе: MHD, HMHD, EMHD. В русской литературе наряду с ЭМГД употребляется аббревиатура ЭМГ [51], имеющая тот же смысл - электронная магнитная гидродинамика. мые способы обрыва основаны не на распространенных в литературе явных или неявных предположениях о характере функции распределения (например, о ее близости к максвелловской, что может быть проблематично в условиях слабостолкновительной плазмы, в особенности при ее интенсивном дополнительном нагреве), а на физически прозрачных представлениях о характере неоднородности плазмы и малости величины 1/Q. Полученные здесь уравнения служат обобщением обычных адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу (ЧГЛ) [54], в частности, на случай сильно анизотропной плазмы. Некоторые конкретные примеры использования моментных уравнений для описания анизотропной плазмы приведены в третьем параграфе. Здесь разобрана задача о "шланговой" неустойчивости анизотропной плазмы с учетом КЛР ионов. Поскольку стартовой точкой для исследования проблемы устойчивости является состояние равновесия, следующий, третий параграф главы посвящен особенностям равновесных состояний анизотропной плазмы с течениями. Для аксиально симметричной конфигурации рассмотрен аналог уравнения Грэда-Шафранова, прослежен корректный способ переходов к статическому и изотропному случаям. Четвертая глава, посвященная вариационному подходу к проблеме МГД устойчивости, является ключевым разделом диссертации. В первом параграфе обсуждается энергетический принцип БФКК спектральной устойчивости статических равновесий плазмы в магнитном поле и возможное место проблемы нелинейной устойчивости. Суть проблемы состоит в том, что равновесие плазмы в системе со вложенными магнитными поверхностями всегда вырождено, т.к. заведомо существуют нейтральные смещения N : ^И^дг] = 0. Таким образом, для решения вопроса устойчивости необходимо исследовать характер этих смещений и отвечающие им высшие вариации функционала потенциальной энергии. В этом параграфе дается классификация нейтральных смещений и показывается, что в системах со вложенными магнитными поверхностями нейтральные смещения отвечают симметрии перемаркировки (для таких преобразований, сводящихся исключительно к изменению меток жидких элементов, в англоязычной литературе используется термин "relabeling"). Эта симметрия ответственна за возможное появления равновесий плазмы с макроскопическими течениями, в том числе, шировыми, которые, как известно, играют весьма важную роль в реализации режимов с улучшенным удержанием в современных токамаках. Проблеме построения функционала Ляпунова для исследования устойчивости таких стационарных состояний в рамках одножидкост-ной МГД посвящен второй параграф четвертой главы. Дается обзор ключевых подходов к этой задаче и выводится условие устойчивости, являющееся более "мягким" по сравнению с условием Фримана-Ротенберга. Вывод основан на явном учете законов сохранения, соответствующих симметриям перемаркировки. В отличие от ЕС-метода, связи, отвечающие этим законам сохранения и ограничивающие свободу в варьируемых функциях (а именно, в импульсах), учитываются и в равновесии, и в вариациях. В третьем параграфе данной главы аналогичная процедура вывода вариационного условия устойчивости применяется для различных гидродинамических моделей, к числу которых относятся анизотропная гидродинамика ЧГЛ, ХМГД и ЭМГД. Обсуждается специфика симметрии "одножидкостных по виду" уравнений ХМГД и ЭМГД, связанная с заложенной в эти модели физической двужидкостностью. Четвертый параграф главы посвящен вопросу о возможной роли законов сохранения, связанных с симметриями Ли-Бэклунда более высокого порядка. Рассмотрение ведется на примере модельной двумерной системы, допускающей точное решение линеаризованной задачи. Показано, что в рамках линейных уравнений существуют дополнительные законы сохранения, не связанные с вырождением положения равновесия (т.е. с симметрией перемаркировки). Учет этих законов оказывается существенным для уточнения "энергетического принципа" устойчивости. Обсуждается возможная процедура такого уточнения для линеаризованных МГД уравнений. В Заключении кратко суммированы основные результаты диссертации, обсуждается вопрос о перспективах изложенных в диссертации подходов. Следующие положения автор выносит на защиту. Утверждение о соответствии нейтральных возмущений статического равновесия плазмы в системах с магнитными поверхностями симметрии перемаркировки; Вывод о достаточности энергетического принципа Бернштейна-Фримана-Крускала-Калсруда для нелинейной устойчивости статиче- ских равновесий; Набор симметрии Ли-Бэклунда первого порядка для уравнений идеальной одножидкостнои МГД; Достаточное условие МГД устойчивости движущейся плазмы в системах с магнитными поверхностями; 5. Реализацию схемы "динамические уравнения — лагранжиан Моментные уравнения МГД типа для описания бесстолкнови-тельных трехмерных плазменных систем с учетом конечного лармо-ровского радиуса ионов без предположений о характере функции распределения; Обобщение адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу в рамках гипотезы "локального отклика" на случай произвольной анизотропии плазмы; Уравнения холловского равновесия вращаюшейся аксиально-симметричной плазмы в форме, допускающей предельный переход к одножидкостнои МГД. По теме диссертации опубликовано 23 научные работы (не считая аннотационных тезисов докладов). Уравнения (0.1)-(0.5) называют уравнениями идеальной одножид-костной магнитной гидродинамики, поскольку в них пренебрегается диссипативными эффектами, связанными с конечной электропроводностью плазмы, вязкостью и т.п. Учет этих эффектов в рамках магнитной гидродинамики возможен и, более того, даже обязателен при рассмотрении стандартных задач о МГД течениях [4, 5, 6], однако в данной диссертации основное внимание будет уделено именно идеальным моделям, вполне удовлетворительно описывающим многие физические процессы в высокотемпературной плазме современных термоядерных установок и многочисленных космических объектов (звезд). Это относится и к интересующей нас главным образом задаче устойчивости, когда быстрые МГД неустойчивости могут развиваться за времена существенно меньшие характерных диссипативных времен. Здесь уместно подчеркнуть, что мы не будем специально выделять случай несжимаемых течений, поскольку, как известно, сжимаемость может играть весьма заметную роль в проблеме устойчивости плазмы. Описанная классическая МГД модель естественным образом распространяется на более реалистичную ситуацию, когда каждая компонента плазмы (электроны и ионы одного сорта) рассматривается как независимая жидкость со своими уравнениями непрерывности, движения и баланса тепла. С этой точки зрения одножидкостная МГД выглядит как вырожденный предельный случай двух- или многожидкостной МГД модели. Вырожденность означает, что одножид-костное приближение обладает меньшим набором степеней свободы, но вследствие этого же допускает большую свободу в распределении физических параметров в равновесии, нежели это возможно в рамках многожидкостной МГД (см., например, [11]; ниже это свойство будет проиллюстрировано в гл.З). Многожидкостная МГД модель особенно продуктивна для описания процессов переноса, когда существенно взаимодействие между различными компонентами плазмы [12], а также для рассмотрения движущейся плазмы с заметным различием в среднемассовых скоростях ионов и электронов [13]. Физической основой использования гидродинамических моделей для описания газа в терминах локальных функций, заданных в каждый момент времени во всех точках координатного пространства, служит механизм "упорядочения", нивелирующий возможные существенные отличия индивидуальных траекторий частиц газа. Таким упорядочивающим механизмом могут быть столкновения частиц, из-за которых функция распределения частиц газа (плазмы) оказывается близкой к максвелловской (разумеется, параметры максвелловской функции могут зависеть от точки пространства и от времени). Гидродинамическое приближение с очевидностью применимо на временах, значительно больших характерного времени такой релаксации функции распределения. Многожидкостные МГД модели базируются на известном факте, что релаксация в каждой компоненте происходит значительно быстрее, чем процессы обмена энергией между компонентами [14, 15]. Однако для плазмы в достаточно сильном магнитном поле даже в случае редких столкновений существует известный механизм упорядочения, связанный с быстрым циклотронным вращением заряженных частиц, что также позволяет использовать - в определенных пределах - МГД описание в терминах моментов функции распределения. При этом качественно плазма представляется как газ ларморовских кружков; количественно же эта интерпретация связана с сохранением магнитного момента заряженной частицы в достаточно сильном и слабонеоднородном в постранстве и во времени магнитном поле. Кинетическое описание эквивалентно бесконечному набору моментов функции распределения, причем, как известно, в динамическое уравнение для некоторого момента входят моменты и более высокого порядка. Так в уравнении для давления фигурируют потоки тепла, в уравнениях для потоков тепла - четвертый момент и т.д. Поэтому для получения замкнутой системы уравнений МГД типа необходимы дополнительные предположения, позволяющие оборвать эту моментную цепочку. Введение таких предположений может основываться на различных физических соображениях и методически эквивалентно введению в одножидкостной МГД эмпирического термодинамического закона (0.5). В целом область надежной применимости МГД уравнений хорошо известна (см., например, обзор [16]). Отметим, что, в соответствии с вышеуказанным, термин "МГД модели" используется в данной диссертации в широком смысле слова, т.е. включая многожидкостные и моментные уравнения МГД типа. Идеальность (в смысле пренебрежения диссипативными эффектами) рассматриваемых МГД моделей, предопределяет их лагранжеву структуру, позволяя тем самым реализовать обычную для классической механики схему их вывода из принципа наименьшего действия Гамильтона со всеми вытекающими из такого представления следствиями. Впервые для уравнений идеальной одножидкостной МГД такая схема была реализована Ньюкомбом [17], который продемонстрировал преимущества использования лагранжевых координат при рассмотрении динамики идеальной МГД системы. Введением лагранжевых координат уравнения непрерывности (0.1), вмороженности магнитного поля (0.3) и адиабаты (0.5) интегрируются, что позволяет, в частности, проанализировать устойчивость некоторого класса равновесных состояний плазмы в магнитном поле. Как известно, проблема устойчивости, понимаемая как анализ "близости" динамического состояния системы, выведенной из положения равновесия, к этому положению, является одной из наиболее интересных и исследуемых проблем гидродинамики. В физике плазмы, в частности, эта проблема имеет первостепенное значение для управляемого термоядерного синтеза. В литературе используется довольно разнообразная терминология (причем не всегда корректно), поэтому, поскольку ряд основных результатов настоящей диссертации непосредственно относится к теории устойчивости, представляется целесообразным конкретизировать используемые термины и очертить статус рассматриваемых в диссертации задач. Поскольку при надлежащем выборе набора казимиров {С{} первая вариация функционала U, заданного (0.9), действительно позволяет получить общее условие равновесия, авторы полагают, что накладываемые сохранением казимиров связи учитываются в вариационной процедуре автоматически - как в известном в вариационном исчислении методе множителей Лагранжа. Однако правило множителей Лагранжа справедливо лишь для первой вариации, поэтому при рассмотрении второй вариации или при выполнении нелинейных оценок о сохранении казимиров следует позаботиться специально, ограничивая соответствующим образом свободу варьируемых функций. Без этого ЕС-метод сводится просто к варьированию смещенного гамильтониана (0.9), что хотя и позволяет получить правильные (и достаточно общие) условия равновесия, но приводит по-прежнему к слишком жесткому условию устойчивости Фримана-Ротенберга [30]. Корректный учет ограничений в вариациях для исследования МГД устойчивости движущейся плазмы был проведен разными методами в работах [38, 39]; получен одинаковый результат. Впоследствие было показано [40], что этот результат может быть получен и в рамках гамильтоновой теории с использованием так называемого "метода динамически допустимых возмущений" [41, 42], хотя сами авторы метода ошибочно получили [43] более слабый результат Фримана-Ротенберга. Сказанное иллюстрирует важность аккуратного учета ограничений, связанных с сохраняющимися величинами в вариационной процедуре. Методическая трудность использования ЕС-метода заключается в том, что, как известно, гидродинамическая система уравнений (и МГД в том числе) может обладать бесконечным набором казимиров. Вместе с тем описанная в [17] и развитая в [29, 38] лагранжева процедура позволяет автоматически учесть при варьировании весь набор казимиров. Центр тяжести проблемы переносится на отыскание иных, некинематических законов сохранения, которые также следует учитывать для получения адекватного условия устойчивости. Для лагранжевых систем известна теорема Нетер [44], которая справедлива и для случая континуальных сред. Применение теоремы Нетер требует отыскания вариационных симметрии рассматриваемой системы уравнений. Симметрии МГД уравнений исследовались и ранее, однако цель таких исследований была обычно иной: знание симметрии позволяет строить некоторые точные решения (так называемые "инвариантные" решения) [45, 46]. Как правило, при этом ограничиваются поиском наиболее простой группы точечных симметрии (симметрии Ли); полная группа таких симметрии уравнений идеальной одножидкостной МГД была найдена Фуксом [47]. Нетривиальные же законы сохранения в гидродинамике (в том числе магнитной) обычно связаны с более сложной группой симметрии - симметрия-ми Ли-Бэклунда2. Некоторые такие симметрии уравнений идеальной МГД были рассмотрены в работе [48] и описаны в [49]. Вышесказанное обосновывает следующую схему получения вариационного условия устойчивости стационарного состояния идеальной жидкой среды: динамические уравнения - лагранжиан - симметрии -вариационные симметрии - законы сохранения - функционал Ляпунова, учитывающий инварианты + законы сохранения - вариационный (достаточный) критерий устойчивости. Причем последний переход осуществляется посредством варьирования с учетом ограничений на варьируемые функции, вытекающих из имеющихся законов сохранения. Данная схема реализована в настоящей диссертации для различных МГД моделей плазмы. Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 4 главы, 14 параграфов. Первая глава диссертации - вводная, служит для определения используемых понятий, описания их свойств и изложения основополагающих утверждений. В первом параграфе вводится понятие лагранжевых координат, строятся ко- и контравариантный базисы, определяется динамика базисных векторов. Следуя [30, 17], мы используем так называемую технику "эйлеризации" лагранжевых координат, когда лагранжевы метки выражаются через неподвижные (лабораторные) координаты, а не наоборот, что упрощает выкладки по сравнению с работой в пространстве лагранжевых координат, позволяя избежать необходимости отслеживать временное изменение метрики в пространственных интегралах и дифференциальных выражениях. Такое представление позволяет наиболее легко и наглядно проинтегрировать уравнения непрерывности (0.1), вмороженности Мы вводим это понятие в 1.3; соответствующая теория - см. [75, 95] (0.3) и адиабаты (0.5). Во втором параграфе первой главы разъясняется смысл инварианта жидкой среды; следуя Арнольду [50], формализм производных Ли вводится на основе понятия внешних дифференциальных форм. Такой способ легко приводит к нахождению 4-х возможных типов инвариантов в трехмерном пространстве. Доказывается полезное утверждение об общем представлении произвольного "сносимого" объекта-тензора. Здесь же указано на возможность нетривиального размножения сносимых объектов, в частности, вмороженных векторов. В третьем параграфе обсуждаются различные способы построения лагранжиана жидкой среды: с использованием потенциалов Клебша и лагранжевого интегрирования. В общем виде формулируется теорема Нетер и некоторые важные комментарии к ней, устанавливающие в том числе ее необходимость для рассматриваемых систем гидродинамических уравнений и позволяющие сузить класс исследуемых вариаций при отыскании вариационных симметрии. В четвертом параграфе первой главы излагается статус гамильто-нова подхода к описанию МГД систем. Вводятся канонические и неканонические скобки Пуассона, разъясняется понятие казимира, описывается принцип динамически допустимых вариаций. Вторая глава диссертации посвящена проблеме симметрии МГД уравнений, в частности, симметрии Ли-Бэклунда первого порядка. Особое внимание уделяется так называемым "симметриям перемаркировки" ("relabeling symmetries"), роль которых для решения задач устойчивости долгое время недооценивалась [17, 30]. Между тем именно эти симметрии ответственны за существования законов сохранения типа перекрестной спиральности (cross-helicity) и стационарных течений плазмы; их анализ крайне важен для решения проблемы нелинейной устойчивости состояний равновесия. Поскольку приближение ХМГД наиболее адекватно условиям в современных "пред-термоядерных" установках токамак, в третьем параграфе второй главы описываются особенности равновесия плазмы в токамаке в рамках уравнений ХМГД. Спецификой данного рассмотрения является прослеживание корректного перехода к пределу одножидкостной МГД как в используемых уравнениях, так и в получаемых решениях. Приводится пример нахождения аналитического ХМГД равновесия тороидально вращающейся аксиально-симметричной плазмы. Как уже отмечалось выше, условия удержания высокотемпературной плазмы в современных установках термоядерного синтеза в большей степени отвечают режиму сравнительно редких столкновений заряженных частиц плазмы, нежели области применимости классической МГД. В этой ситуации уравнения МГД типа строятся на основе моментов кинетического уравнения Власова. Выводу и анализу такой системы уравнений для сильно замагниченной плазмы посвящена третья глава диссертации. В первом параграфе третьей главы даны общая процедура вывода и структура моментных уравнений. Отличительной особенностью рассмотрения является использование гидродинамических переменных вместо дрейфовых, в частности, полной массовой скорости ионов вместо скорости электрического дрейфа, что соответствует идее обычного МГД описания, в котором электрическое поле исключено, и позволяет избежать априорного упорядочения различных составляющих дрейфовой скорости ионов. В этом параграфе приводятся общие выражения для динамики компонент тензоров давления и потоков тепла с учетом конечного ларморовско-го радиуса (КЛР) в первом порядке разложения по 1/Q, где Q - циклотронная чистота рассматриваемой компоненты плазмы (обычно, ионов). Некоторые возможные способы обрыва цепочки моментных уравнений обсуждаются во втором параграфе. Важно, что все предлагаемы употребили здесь аббревиатуру ЭМГД, следуя типовым сокращениям, принятым в англоязычной литературе: MHD, HMHD, EMHD. В русской литературе наряду с ЭМГД употребляется аббревиатура ЭМГ [51], имеющая тот же смысл - электронная магнитная гидродинамика. Способы обрыва основаны не на распространенных в литературе явных или неявных предположениях о характере функции распределения (например, о ее близости к максвелловской, что может быть проблематично в условиях слабостолкновительной плазмы, в особенности при ее интенсивном дополнительном нагреве), а на физически прозрачных представлениях о характере неоднородности плазмы и малости величины 1/Q. Полученные здесь уравнения служат обобщением обычных адиабат Чу-Гольдбергера-Лоу (ЧГЛ) [54], в частности, на случай сильно анизотропной плазмы. Некоторые конкретные примеры использования моментных уравнений для описания анизотропной плазмы приведены в третьем параграфе. Здесь разобрана задача о "шланговой" неустойчивости анизотропной плазмы с учетом КЛР ионов. Поскольку стартовой точкой для исследования проблемы устойчивости является состояние равновесия, следующий, третий параграф главы посвящен особенностям равновесных состояний анизотропной плазмы с течениями. Для аксиально симметричной конфигурации рассмотрен аналог уравнения Грэда-Шафранова, прослежен корректный способ переходов к статическому и изотропному случаям. Четвертая глава, посвященная вариационному подходу к проблеме МГД устойчивости, является ключевым разделом диссертации. В первом параграфе обсуждается энергетический принцип БФКК спектральной устойчивости статических равновесий плазмы в магнитном поле и возможное место проблемы нелинейной устойчивости. Суть проблемы состоит в том, что равновесие плазмы в системе со вложенными магнитными поверхностями всегда вырождено, т.к. заведомо существуют нейтральные смещения N : И дг] = 0. Таким образом, для решения вопроса устойчивости необходимо исследовать характер этих смещений и отвечающие им высшие вариации функционала потенциальной энергии. В этом параграфе дается классификация нейтральных смещений и показывается, что в системах со вложенными магнитными поверхностями нейтральные смещения отвечают симметрии перемаркировки (для таких преобразований, сводящихся исключительно к изменению меток жидких элементов, в англоязычной литературе используется термин "relabeling"). Эта симметрия ответственна за возможное появления равновесий плазмы с макроскопическими течениями, в том числе, шировыми, которые, как известно, играют весьма важную роль в реализации режимов с улучшенным удержанием в современных токамаках. Проблеме построения функционала Ляпунова для исследования устойчивости таких стационарных состояний в рамках одножидкост-ной МГД посвящен второй параграф четвертой главы. Дается обзор ключевых подходов к этой задаче и выводится условие устойчивости, являющееся более "мягким" по сравнению с условием Фримана-Ротенберга. Вывод основан на явном учете законов сохранения, соответствующих симметриям перемаркировки. В отличие от ЕС-метода, связи, отвечающие этим законам сохранения и ограничивающие свободу в варьируемых функциях (а именно, в импульсах), учитываются и в равновесии, и в вариациях. В третьем параграфе данной главы аналогичная процедура вывода вариационного условия устойчивости применяется для различных гидродинамических моделей, к числу которых относятся анизотропная гидродинамика ЧГЛ, ХМГД и ЭМГД. Обсуждается специфика симметрии "одножидкостных по виду" уравнений ХМГД и ЭМГД, связанная с заложенной в эти модели физической двужидкостностью. Четвертый параграф главы посвящен вопросу о возможной роли законов сохранения, связанных с симметриями Ли-Бэклунда более высокого порядка. Рассмотрение ведется на примере модельной двумерной системы, допускающей точное решение линеаризованной задачи. Показано, что в рамках линейных уравнений существуют дополнительные законы сохранения, не связанные с вырождением положения равновесия (т.е. с симметрией перемаркировки). Учет этих законов оказывается существенным для уточнения "энергетического принципа" устойчивости. Обсуждается возможная процедура такого уточнения для линеаризованных МГД уравнений. Уравнения (1.29)-(1.31) дают в точности искомые уравнения непрерывности, адиабаты и вмороженности магнитного поля, (1.32) задает структуру поля скоростей через множители Лагранжа, которые, как видно из их динамики, заданной уравнениями (1.33)-(1.36), выступают в роли вышеописанных клебшей. Прямым дифференцированием (1.32) по времени нетрудно убедиться, что V действительно удовлетворяет уравнению движения (0.2) (при этой проверке наряду с (1.32)-(1.36) нужно использовать тождество (1.18)). Тем не менее нельзя утверждать, что выражение (1.28) решает задачу построения лагранжиана одножидкостной МГД полностью удовлетворительно [66]. Во-первых, потенциалы Клеб-ша к, Л, а оказываются неоднозначно определены в пространстве при ограниченном (вихревом) движении (этот недостаток, в принципе, преодолим для конкретной топологии движения). Во-вторых, если рассмотреть начальное состояние с V(t = 0) = 0, из уравнений (1.33)-(1.35) получим: т.е. клебши должны изменяться во времени и порождать V в соответствии с (1.32), что, в частности, означает отсутствие (кроме некоторых вырожденных случаев) стационарных состояний. Наконец, и это самое главное, выражение (1.11) задает отнюдь не общий, а некоторый частный вид скорости. К примеру, в изэнтропичной (г/ = const(r)) жидкости без магнитного поля (В = 0) V = — VA, что отвечает отсутствию завихренности. Ситуацию можно попытаться исправить, добавляя к лагранжиану (1.28) дополнительные связи в виде —pKi(dt + V-V)/7i, где кі,»/і - новые скалярные функции. При этом к\ и 77і оказываются пассивными скалярами, которые не войдут ни в одно из уравнений (1.29)-(1.36), кроме как привнеся "дополнительную свободу" в выражение для скорости (1.32). Вообще говоря, чтобы устранить все ограничения на тип поля скоростей, необходимо добавить бесконечное количество клебшей к,-, rji, т.е. учесть сохранение лагранжевых меток всех жидких элементов (так называемые "ограничения Лина" 5). Дополнительную свободу в функциональную зависимость V можно также привнести, добавляя в (1.28) и векторные клебши (по аналогии с (1.31) в виде pa.y(dtAi - [V х rotAi])) и пр. Понятно, что присутствие явно завышенного числа связей (и переменных) в лагранжиане (1.28) неоправданно увеличивает трудоемкость расчетов. Данное обстоятельство постоянно стимулирует попытки "разумного выбора" естественного числа ограничений. Так в работе [73] на примере модели многокомпонентной плазмы (МКП) устанавливается представление для скорости, требующее введения пяти потенциалов Клебша для обеспечения общности движения. Вместе с тем, как следует из логики предыдущего параграфа, общая кинематика жидкости и сохранение всех казимиров легко покрываются переходом к лагранжевому описанию жидкости. Иными. словами, введение базиса из трех пассивных скаляров (1.3) с J ф О позволяет автоматически наложить все ограничения Лина. Заметим, что для обычной жидкости и идеальной МГД возможности такого лагранжевого описания известны много лет (см., например, [17, 70]), однако до последнего времени они не использовались для поиска вариационных симметрии. Разумеется, конкретная гидродинамическая модель может содержать и уравнения для физических величин, не связанных непосредственно с течением жидкости (например, уравнения электромагнитного поля). В этом случае введение дополнительных потенциалов необходимо, однако это обычно можно сделать физически естественным способом (например, в терминах потенциалов поля - без фиктивного потенциала а как в (1.28)). Напомним, что, введя в качестве исходных независимых функций невырожденные лагранжевы координаты {аг} (J ф 0) и соответствующие базисы (1.3), мы можем неявно проинтегрировать уравнения для т/, р и В в виде (1.7)-(1.9), заведомо учитывая тем самым все связи, налагаемые уравнениями (0.1), (0.3), (0.5). Скорость выражается через аг = dtO? : Для упрощения записи вариаций введем вектор имеющий смысл инфинитезимального смещения плазмы. Тогда при варьировании по аг для вариаций физических величин нетрудно получить (непосредственно из(1.7)-(1.9),(1.37)): Подчеркнем, что определенное (1.38) смещение характеризует отклонения физических величин (1.39) от произвольного временного состояния плазмы, а не только от положения равновесия. Вариация обычной плотности лагранжиана (1.24), рассматриваемой как функция {# }, {с\г} , имеет вид: Единственный член вне производных содержит множителем произвольную функцию . Приравняв его к нулю, получим правильное уравнение Эйлера без всяких ограничений на структуру V, р, т]. Итак, идеальная одножидкостная МГД - лагранжева система. Вопрос о поиске законов сохранения для произвольной лагранже-вой среды решается в общем виде при помощи теоремы Нетер [44]. Здесь мы лишь кратко опишем соответствующий формализм, поскольку подробности можно отыскать в учебниках (см,, например, [74, 75]), и перечислим важные комментарии к этой теореме, необходимые для ее практического использования. Для сокращения записи в этом разделе (и только в нем) мы будем работать в расширенном координатном пространстве где полный набор независимых переменных {хг} включает в себя время и пространственные координаты в неком объеме Г, и = и(х) - зависимая вектор-функция, щ = Jp- , векторы набраны обычным шрифтом (полужирный шрифт оставляем для обычных векторов в трехмерном пространстве). При вариации плотности лагранжиана L = L(x,u,Ui,iiij...) мы будем писать д{ для обозначения частной производной в отличие от d{ для полной производной по независимой переменной х%.
—* симметрии —+ вариационные симметрии —* законы сохранения —*
функционал Ляпунова —* учет связей в вариациях —+ достаточное
условие устойчивости" для анизотропной одножидкостнои и квази-
одножидкостных холловской и электронной МГД моделей;Кинематические свойства жидкости. Лагранжев базис, якобиан, динамика. Общее представление пассивного скаляра, вмороженного вектора, интегрирование уравнения непрерывности. Сохранение топологии магнитного поля при МГД эволюции
Лагранжиан многокомпонентной плазмы. Двужидкостные модели: холловская (ХМГД) и электронная (ЭМГД) магнитные гидродинамики, их симметрии и законы сохранения
Известные способы обрыва. Физически мотивированные предположения: квазидву-меризация, скорректированная гидродинамика ЧГЛ, обобщение на случай произвольной анизотропии
Проблема построения функционала Ляпунова для одножидкостной МГД. Обзор известных подходов. Достаточное условие МГД устойчивости плазмы с течениями
Похожие диссертации на Магнитогидродинамические модели плазмы: :Лагранжевы свойства и проблема устойчивости
