Содержание к диссертации
Введение
1. Динамика неизотермических многофазных многокомпонентных сред 26
1.1. Тепловая конвекция в двухфазной среде, несущей мелкодисперсную примесь, в статическом и переменном силовом поле 26
1.2. Динамика хемо-конвективных структур 42
1.3. Динамика реагирующих многокомпонентных сред с зашумленной и запаздывающей обратной связью 51
1.4. Вопросы управления тепло и массопереносом 59
2. Динамика конвективных течений в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку 67
2.1. Постановка задачи 67
2.2. Определяющие уравнения и граничные условия 70'
2.3. Численный метод 72
2.4. Конечно-амплитудные режимы плоской конвекции 74
2.5. Конечно-амплитудные режимы трехмерной конвекции 81
2.6. Экспериментальное исследование: конвективная камера, методика измерений и. обработки данных 88
2.7. Структура течений: численное моделирование против эксперимента 94
2.8. Обсуждение результатов 102
3. Тепловая конвекция жидкости в присутствии мелких твердых частиц 104
3.1. Модель многоскоростной монодисперсной среды 104
3.2. Вывод*обобщенных-уравнений Буссинеска для мелкодисперсной двухфазной среды 113
3.3. Конвекция в запыленной среде, заполняющей плоский-вертикальный слой 118
3.4. Метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи 122
3.5. Влияние оседающей примеси на устойчивость течения 124
3.6. Сравнение результатов с другими работами 130
4. Влияние вибраций на конвективную устойчивость течения, несущего мелкие твердые частицы 139
4.1. Вибрации конечной частоты 139
4.1.1. Обсуждение принципов построения модели 139
4.1.2. Вывод обобщенных уравнений Буссинеска 144
4.1.3. Основное течение в плоском слое, подогреваемом сбоку: точное решения уравнения Навье-Стокса 148
4.1.4. Спектрально-амплитудная задача 153
4.1.5. Сходимость метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи 156
4.1.6. Влияние симметрии 0(2) на тип решений 161
4.1.7. Параметрический резонанс 167
4'. 1.8. Сравнение с экспериментальными данными 168
4.2; Влияние нестационарных сил на устойчивость пульсационного течения *. 174
4.211. Нестационарные силы сопротивления 174
4.2.2. Вывод определяющих уравнений 179
4.2.3. Спектрально-амплитудная задача 187
4.2.4. Влияние нестационарных сил на устойчивость течения 192
4.2.5. Сравнение с экспериментом 194
4.3. Вибрации высокой частоты 196
4.3.1. Принципы построения асимптотической модели 196
4.3.2. Пульсационные компоненты величин 199
4.3.3. Осредненные уравнения 202
5. Динамика хемо-конвективных движений» 206
5.1. Обзор экспериментальных данных 206
5.2. Модель однослойной системы с фиксированным градиентом реагента на границе 213
5.2.1. Модельные уравнения 213
5.2.2. Основное состояние 216
5.2.3. Аналитическое решение для неустойчивости Марангони 219
5.2.4. Гравитационные типы неустойчивости 221
5.3. Модель двухслойной системы в приближении плоского реактора Хеле-Шоу 224
5.3.1. Вывод определяющих уравнений конвекции-реакции-диффузии в приближении ячейки Хеле-Шоу 224
5.3.2. Основные приближения двухслойной модели 230
5.3.3. Динамика основного состояния: движение фронта реакции 237
5.3.4. Линейная теория устойчивости нестационарных процессов 246
5.3.5; Неустойчивость Марангони 252
5.3.6. Численный метод расчета надкритических движений 257
5.3.7. Нелинейная динамика: неустойчивость Марангони 263
5.3.8. Нелинейная динамика: гравитационные типы конвекции 268
5.3.9. Обсуждение результатов 275
5.4. Управление структурообразованием в плоском реакторе Хеле-Шоу 279
5.4.1. Механизм внешнего управления структурообразованием в реакторе Хеле-Шоу 279
5.4.2. Сравнение с экспериментальными данными 284
6. Стохастические колебания в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью 286
6.1. Химические реакции с запаздыванием .286
6.2. Стохастическое описание динамических систем 289
6.3. Модификация метода Гиллеспи для химических реакций с запаздыванием 292
6.4. Реакция деградации протеина с запаздыванием 297
6.4.1. Детерминистское описание 297
6.4.2. Стохастическое описание 299
6.5. Модель с отрицательной обратной связью 308
6.5.1. Детерминистское описание* 308
6.5.2. Численный анализ стохастической системы 313
6.6. Обсуждение полученных результатов 316
7. Активное управление равновесием жидкости в термосифоне 317
7.1. Экспериментальное управление равновесием жидкости в прямоугольном термосифоне 317
7.2. Модель одномерного течения в термосифоне 322
7.2.1. Вывод модельных уравнений 322
7.2.2. Линейный анализ устойчивости квазиравновесия жидкости 327
7.2.3. Нелинейная динамика в области неустойчивости -... 331
7.2.4. Влияние шума на управление устойчивостью квазиравновесия 336
7.2.5. Обсуждение 340
Заключение 342
Литература
- Динамика реагирующих многокомпонентных сред с зашумленной и запаздывающей обратной связью
- Конечно-амплитудные режимы плоской конвекции
- Метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи
- Сходимость метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи
Введение к работе
Актуальность темы. Рассматриваемые в диссертации многофазные многокомпонентные жидкости широко представлены в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. Можно уверено сказать, что с неоднофазными смесями приходится иметь дело гораздо чаще, чем с однофазными. Всё это делает задачу описания и изучения таких сред одной из актуальнейших проблем механики сплошных сред.
Основная проблема математического моделирования многофазных систем заключается в построении замкнутых уравнений движения смеси при заданных физико-химических свойствах каждой фазы в отдельности и заданной исходной структуре смеси. Описание реальных гетерогенных смесей осложняется по двум причинам. Во-первых, осложняется описание процессов в отдельных фазах (таких, как сжимаемость, вязкость, теплопроводность и др.), имеющих место и в однофазных средах. Во-вторых, возникает проблема описания эффектов межфазного взаимодействия (таких, как фазовые переходы, химические реакции, капиллярные эффекты, обмен импульсом и энергией на межфазной границе). Таким образом, число явлений, которые должны найти свое отражение в уравнениях многократно возрастает. В результате, не смотря на то, что общие принципы построения таких моделей сформулированы более 30 лет назад, теперь уже понятно, что надежды на получение универсального уравнения движения для произвольной многофазной среды, как это удалось сделать для однородной жидкости (уравнение Навье-Стокса), иллюзорны. Определенное сочетание фаз и их структуры, способов взаимодействия в каждой конкретной задаче требует усилий по получению модельных уравнений, специфических именно для этой среды. Данная работа восполняет этот пробел по отношению к нескольким типам неоднородных систем.
Актуальной задачей остаётся организация исследований, выходящих за пределы замкнутых специализаций, сформировавшихся на поле механики гетерогенных сред. В этой связи значительный интерес, подпитываемый технологическими приложениями, вызывают вопросы о влиянии на процессы самоорганизации в гетерогенных системах всевозможных усложняющих факторов - таких, как периодическое изменение внешнего силового поля, химические превращения между фазами, нестационарные силы трения между фазами, наличие поверхности раздела и т.д. Такого рода комплексные исследования постепенно появляются в литературе, но общее их количество пока совершенно не достаточно. Представленная работа содержит результаты, полученные на пересечении интересов нелинейной химии и теории конвективной устойчивости.
Отдельный интерес представляют вопросы управления неравновесными процессами в неоднородных средах. Наличие различных механизмов неустойчивости делает гетерогенные течения чувствительными к воздействию всякого рода внешних и внутренних факторов. Не смотря на популярность данной темы в физике, вопросам управления конвекцией в литературе было уделено недостаточное внимание. Данная работа содержит новые результаты по управлению конвективными течениями пассивного и активного типа. Кроме того, рассматривается важный вопрос о влиянии шума и запаздывания на эффективность управления.
Целью работы является построение замкнутых систем уравнений для нескольких типов многофазных многокомпонентных неизотермических сред в условиях статического и переменного внешнего силового поля; изучение механизмов конвективной неустойчивости и сложных динамических режимов поведения, свойственных этим системам; поиск способов управления динамикой и структурообразованием гетерогенных сред как пассивного, так и активного типа; изучение влияния на эффективность управления шума и запаздывания в управляющей подсистеме.
Научная новизна. В диссертационной работе впервые получен ряд замкнутых моделей для тепловой конвекции в запыленной среде в приближении Буссинеска, учитывающих как действие силы Стокса, так и эффекты нестационарных сил трения. В случае переменного инерционного поля обнаружен резонансный эффект стабилизации течения за счет подавления возмущений запаздывающим действием силы Бассэ. Для двухслойной многокомпонентной системы двух несмешивающихся жидкостей, в объеме которых проходит экзотермическая реакция нейтрализации, предложена модель плоского реактора Хеле-Шоу. Дано объяснение необычной регулярности фронта пальчиковых структур, формирующихся в результате кооперативного действия процессов реакции, конвекции и диффузии. Изучена пространственно-временная динамика хемо-конвективных структур. Предложен способ внешнего управления процессами структурообразования внутри реактора Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок реактора. Построена последовательная теория стохастических колебаний в многокомпонентных реагирующих средах белковых молекул, регулирующих свою численность посредством запаздывающей обратной связи. Обнаружен эффект возбуждения в подкритической области колебаний за счет взаимодействия шума и запаздывания обратной связи. Впервые предложена модификация алгоритма Гиллеспи, используемого для численного моделирования стохастических реагирующих систем, на случай запаздывающих реакций. Дано
объяснение возбуждению паразитных колебаний в задаче об активном управлении равновесием жидкости в прямоугольном термосифоне посредством обратной связи. Исследованы нелинейные динамические режимы и структурообразование в задаче о вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку.
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается сравнением теоретических предсказаний с экспериментальными данными, с точными решениями в предельных случаях, с известными теориями в области их применимости и прямыми численными расчетами, а также обоснованностью физических представлений, положенных в основу предлагаемых моделей, использованием апробированных методов исследований.
Практическая ценность. Ряд полученных новых результатов носят общий характер и могут быть использованы не только в механике жидкости. К ним можно отнести обнаружение и объяснение эффекта возбуждения колебаний за счет взаимодействия шума и запаздывания обратной связи. Этот феномен, как оказалось, может объяснить такие разные явления как возбуждение нерегулярных паразитных колебаний при активном управлении равновесием жидкости в термосифоне, так и возникновение автоколебаний в процессах транскрипции/трансляции генов. Полученные теоретические результаты в области моделирования многофазных многокомпонентных систем углубляют понимание явлений в гетерогенных средах, расширяют представления о присутствующих в них механизмах неустойчивости и структурообра-зовании. Некоторые результаты стали заметным вкладом в методологию исследований. К ним относится, например, модификация классического метода Гиллеспи для численного моделирования стохастических дискретных систем на случай процессов с запаздыванием. Часть задач, представленных в диссертации, прямо инициирована разработчиками технологических и физических экспериментов, проводимых как в условиях орбитального полета, так и в лабораторных условиях. К ним можно отнести вопросы управления хемо-конвекцией в реакторе Хеле-Шоу, термовибрационной конвекции в запылённой среде, а также управление равновесием жидкости в термосифоне.
Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов INTAS (№93-2492, 1994-95 гг.), Правительства Российской Федерации (Приказ №1513 от 9.11.1995 г.), Международного научного фонда ISSEP (а96-2188,1996 г.), французского министерства Ministere de l'Enseignement Superieur et de la Recherche (1993-94 гг., 1995-96 гг.), Международного центра фундаментальной физике в Москве ICFFM (1995-96 гг.), Федеральной целевой программы «Интеграция» (№97-03, 1997-98 гг.), Североамериканского космического агентства NASA (Project ТМ-18, 1995-97 гг.),
Российско-европейской сети по параллельным вычислениям (Project ITDC-203, 1995-97 гг.), Европейского космического Агентства ESA (Prodex 14556/00/NL/ Sfe(IC), 2001-02 гг.; Project АО-99-083, 2002-03 гг.), бельгийского министерства Office for Scientific, Technical and Cultural Affairs (2002-03 гг.), Североамериканского национального института здоровья National Institute of Health (NIH ROl GM69811-01, 2004-06 гг.), Российского фонда фундаментальных исследований (№96-01-00932, №97-01-00559, №00-01-00334, №06-08-00754-а, №07-01-96043-р_урал_а, №07-01-97612-р_офи, 1995-2009 гг.). Результаты работы применялись при планировании и интерпретации экспериментов, проводимых в Пермском государственном университете (Россия), Брюссельском свободном университете (Бельгия), Дрезденском технологическом университете (Германия), Калифорнийском университете в Сан Диего (США), а также использованы рядом научных организаций, в частности, Российским и Европейским космическими агентствами, Североамериканским институтом здоровья.
Автор защищает:
Результаты расчетов надкритических движений в плоском вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку;
Вывод замкнутой системы уравнений конвекции двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы для случая статического и переменного силового поля с учетом вязкого трения между фазами;
Результаты расчетов порогов конвективной устойчивости двухфазной среды, заполняющей обогреваемый сбоку вертикальный слой;
Вывод замкнутой системы уравнений конвекции двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы для случая переменного силового поля с учётом влияния сил нестационарного трения;
Обнаружение резонансного эффекта стабилизации течения за счет подавления возмущений запаздывающим действием силы Бассэ;
Вывод модельных уравнений для процессов реакции-конвекции-диффузии в двухслойной многокомпонентной среде несмешивающихся жидкостей в плоском реакторе Хеле-Шоу;
Результаты исследования нелинейной динамики и структурообразова-ния в двухслойной многокомпонентной среде с экзотермической реакцией нейтрализации, действующей в объёме;
Объяснение механизма самоорганизации пальчиковых структур;
Идею внешнего управления структурообразованием в реакторе Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок реактора;
Результаты исследования стохастических колебаний в многокомпонентных реагирующих средах белковых молекул, регулирующих свою концентрацию посредством запаздывающей обратной связи;
Модификацию метода Гиллеспи на случай запаздывающих реакций;
Результаты исследования активного управления равновесием жидкости в прямоугольном термосифоне посредством обратной связи;
Объяснение механизма возникновения паразитных колебаний в задаче об активном управлении квазиравновесием жидкости в термосифоне.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995-2001), COSPAR-1996 (Birminham, 1996), Joint Xth European and Vlfli Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (St.Peterburg, 1997), Third International Conference on Multiphase Flow (Lyon, 1998), V Международном семинаре по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 1998), VIII-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XXIX Summer School «Advanced Problems in Mechanics» АРМ 2001 (St.Peterburg, 2001), March Meeting of American Physical Society (Los Angeles, 2005), SPIE conference «Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics» (Bellingham, 2005), 5th International Aerospace Congress (Moscow, 2006), 3-ей Всероссийской научно-практической конференции ИММОД-2007 (С.-Петербург, 2007), Ш Всероссийской научной конференция ЭКОМОД-2008 «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий» (Киров, 2008). Результаты исследований были представлены на семинарах доктора К.Эккерт (TUD, Дрезден, 2003), проф. ПНиколиса (ULB, Брюссель, 2003), проф. Д. Хасти (UCSD, Сан Диего, 2005), проф. В.И. Полежаева (ИПМ, Москва, 1997), а также в Европейском Космическом Агентстве ESA (Нордвийк, 2003). Кроме того, результаты работ по теме диссертации регулярно докладывались и обсуждались на Пермском гидродинамическом семинаре им. Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого в 1992-2010 годах (11 выступлений).
Полностью диссертационная работа обсуждалась на Пермском гидродинамическом семинаре (ПермГУ, рук. проф. Д.В.Любимов) и научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. акад. РАН В.П.Матвеенко).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 43 печатные работы, в том числе 29 статей в отечественных и зарубежных журналах и сборниках научных трудов и материалов конференций.
Личный вклад автора. Работы [31,32] выполнены без соавторов; в работах [6, 8, 11, 13, 15-17, 22, 28, 30], выполненных совместно с экспериментаторами, автору принадлежат все теоретические результаты, а в экспериментальной части этих работ автору принадлежат некоторые методики обработки данных (например, метод восстановления фазового портрета), кроме того, автор принимал участие в обсуждении и интерпретации данных экспериментов. В ранних работах по двухфазной среде [1-3, 7, 12,14] автору принадлежит участие в выводе модельных уравнений, выбор и реализация численного метода, интерпретация полученных результатов. В работах [4-5, 9-10] автору принадлежит участие в постановке задачи, совместный вывод модельных уравнений с одним из соавторов, численные расчеты. В работах [18-21] автору принадлежит постановка задачи и все численные расчеты; вывод модельных уравнений и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавтором. В работе [23] автору принадлежит постановка задачи, получение модели, выбор и реализация численного метода, обсуждение и интерпретация полученных результатов проведена совместно с соавтором. В важных для диссертации работах [24] и [29] автору в теоретической части принадлежит постановка задачи об управлении, получение модели, выбор и реализация численного метода, участие в интерпретации полученных результатов; физический эксперимент был поставлен по просьбе автора. В работах [25-27] автору принадлежат аналитические расчеты, численные результаты, а также разработка модификации алгоритма Гиллеспи; обсуждение и интерпретация полученных результатов была проведена совместно с соавторами.
Автор благодарен своему учителю Д.В. Любимову, а также Г.З. Гершу-ни, И.Р. Пригожину, Г. Николису, Г. Хомси, А.А. Черепанову, Ю.К. Брату-хину, В.И. Полежаеву, В.И. Юдовичу за многочисленные полезные обсуждения. Автор также благодарен коллегам и соавторам А.В. Зюзгину, Г.Ф, Путину, B.C. Теплову, Д.Н. Вольфсону, А. Де Вйт, К. Эккерт, Д. Хасти, Л. Цим-рингу, Б. Ру, Т.П. Любимовой, в тесном сотрудничестве с которыми были получены результаты данной работы.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы (первая глава), шести глав с изложением результатов, заключения и списка цитированной литературы, включающего 286 наименований. Общий объем работы 375 страниц, включая 93 рисунка и 2 таблицы.
Динамика реагирующих многокомпонентных сред с зашумленной и запаздывающей обратной связью
Структура работыи І объем. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего 286 наименований. Общий объем работы 375 страниц, включая 93їрисунка и 2 таблицы:.
Во введении показана актуальность проблемы и дана? общая характеристика работы, обсуждается новизна идостоверность результатов. Первая главасодержит обзор литературы по теме диссертации:
Вторая глава посвящена исследованию нелинейной динамики и струк-турообразования в вертикальном слое однородной жидкости, подогреваемом сбоку и находящемся в статическом поле тяжести. В п. 2. V обсуждаются основные трудности теоретического и экспериментального; исследования колебательной неустойчивости, возникающей при больших числах Прандтля. Получено выражение для; минимальной- высоты; слоя экспериментальной установки, при которой возмущения во встречных потоках успевают развиться до состояния взаимодействия между собой, и есть возможность произвести сравнение с теоретическими результатами; полученными в приближении бесконечного слоя. Определяющие уравнения; граничные условия-, и свойства- симметрии уравнений приводятся в п. 2.2. Подробносттгчисленного метода для исследования динамики как,плоских, так и трехмерных и течений обсуждаются в п. 2.3; В следующем п. 2.4 приводятся результаты, полученные для конечно-амплитудных режимов плоской конвекции: обсуждается характер первичной бифуркации Хопфа, строится бифуркационная диаграмма, исследуется вопрос о пространственно-временной эволюции течения при увеличении числа Грасго-фа. Демонстрируется переход к хаотическому поведению через цепочку бифуркаций Хопфа. Результаты численного исследования конечно-амплитудных режимов трехмерной конвекции приводятся в п. 2.5 — выясняются особенности временной динамики и пространственного структурообразования в системе. Детали экспериментального исследования той же системы приводятся в разделе 2.6. Среди них упор сделан на методиках измерения и обработки данных. Подробно излагается метод восстановления фазового портрета. Раздел 2.7 посвящен сравнению результатов численных расчетов и экспериментальных данных. Выявляется как качественное, так и количественное согласие между теорией и экспериментом. В п. 2.8 отмечаются основные факторы, которые позволили достичь такого согласия, подводятся итоги проведенного исследования.
Третья главас посвящена исследованию тепловой конвекции в двухфазной среде, состоящей из жидкости (газа) и мелких тяжелых частиц в статическом поле тяжести. В п. 3.1 обсуждаются общие принципы построения» асимптотических моделей в многофазных средах, приводятся основные приближения, закладываемые в модель. Вывод замкнутой системы определяющих уравнений для мелкодисперсной- двухфазной; среды, в приближении Буссинеска производится в разделе 3.2. В следующем п. 3.3 в рамках полученных уравнений рассматривается конкретная задача об устойчивости плоскопараллельного течения запыленной среды в вертикальном слое, подогреваемом сбоку и находящемся в статическом поле тяжести: производятся координатные преобразования, и формулируется спектрально-амплитудная задача. Детали метода Га-леркина, использованного для решения этой задачи, приводятся в п. 3.4. Результаты численного исследования задачи устойчивости излагаются» в п. 3.5: приводится карта устойчивости основного течения и выясняется влияние оседающей в поле тяжести примеси на устойчивость этого течения. Сравнение с экспериментальными данными и результатами других авторов, полученными в рамках других моделей, производится в заключительном параграфе 3.6.
В четвертой главе исследуется вопрос о влиянии переменного инерционного поля на устойчивость течения двухфазной среды, состоящей из жидкости (газа) и мелких тяжелых частиц. В разделе 4.1. рассматриваются вибрации конечной частоты. Основные принципы построения асимптотической модели обсуждаются в п. 4.1.1. Вывод замкнутой системы определяющих уравнений производится в п. 4.1.2. В п. 4.1.3. выводится аналитическое выражение для плоскопараллельного пространственного пульсационного течения, возникающего в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку и совершающем продольные горизонтальные вибрации: Приводятся профили скорости для этого течения. Спектрально-амплитудная-задача для бесконечно малых возмущений формулируется в п. 4.1.4. Детали численного-метода и особенности применения метода Флоке обсуждаются в п. 4.1.5. Следующий п. 4.1.6 посвящен изучению влияния симметрии 0(2) на возможной тип решения. Доказывается, что в случае отсутствия примеси возможны только синхронные решения. Результаты решения спектрально-амплитудной задачи и особенности параметрически возбуждаемых вторичных течений обсуждаются в п. 4.1.7. В заключительном п. 4.1.8 производится сравнение с существующими экспериментальными данными, выясняется качественное согласие, но существенное количественное расхождение с экспериментом.
Раздел 4.2 главы 4 посвящен изучению влияния нестационарных сил трения, таких как сила Бассэ и сила присоединенных масс, которые при определенных условиях могут возникать между фазами. В п. 4.2.1 приводятся сведения о нестационарных силах трения между фазами, даются классические результаты, полученные для них. Вывод замкнутой системы определяющих уравнений для эволюции неизотермической двухфазной среды, состоящей, из жидкости и мелкодисперсной примеси, в приближении Буссинеска производится в п. 4.2.2. Конкретная задача об устойчивости течения в вертикальном слое запыленной среды, подогреваемой сбоку и совершающей горизонтальные продольные вибрации конечной частоты, решается в п. 4.2.3: выводится основное пульсационное течение, формулируется спектрально-амплитудная задача для возмущений. Результаты расчетов областей резонансного возбуждения конвекции приводятся в п. 4.2.4, обсуждается влияние наследственной силы Бассэ на устойчивость течения. В п. 4.2.5 производится сравнение с экспериментальными данными и выявляется как качественное, так и количественное согласие.
В заключительном разделе 4.3 главы 4 рассматривается случай вибраций высокой частоты. Принципы осреднения уравнений и построения асимптотических моделей обсуждаются в п. 4.3.1. Процедура разложения и получение пуль-сационных компонент величин производится в п. 4.3.2. Замкнутая система ос-редненных уравнений выводится в п. 4.3.3, обсуждается структура-новых уравнений.
Конечно-амплитудные режимы плоской конвекции
Вопросы управления процессами тепломассопереноса вызывают значительный интерес, как с фундаментальной точки зрения, так и в связи с многочисленными технологическими приложениями. Работы, посвященные этой проблеме по цели управления условно можно разбить на две группы: задачи управления течениями, в том числе развитыми или даже хаотическими, и задачи стабилизации механического равновесия жидкости. Хаотическое поведение достаточно часто проявляется как в природе, так и в рукотворных устройствах. В некоторых случаях хаос несет положительное влияние, например, при интенсивном перемешивании в химических реакциях, когда он служит эффективным механизмом тепломассопереноса и ускоряет скорость реакции. Однако во многих других ситуациях, хаос может привести к вибрациям, разрушению .механических систем, температурным пульсациям, ведущим к нарушению безопасного функционирования теплообменных систем, что является нежелательным.
В настоящее время достаточно много работ посвящено использованию средств управления, предопределяющих режим течения. Такой тип управления, при котором меняется параметр внешнего воздействия на систему, относят к пассивному типу. Например, в работе [157] с помощью увеличения шероховатости трубы вызывается хаотический режим течения для интенсификации перемешивания. В [158] показано, что периодический подогрев конвективной петли может вызывать переход к хаосу. С другой стороны, пассивные средства (рифление, добавка полимеров, мягкие стенки) могут использоваться для подавления турбулентного режима течения [159]. В работе [160] численно исследуется возможность управления течением газа с помощью магнитного поля. В [161] показано, что осевое постоянное магнитное поле подавляет тепловую и концентрационную капиллярную конвекцию. В принципе, в рамках этого подхода любая задача о внешнем влиянии на конвективную систему и выявлении карты устойчивости этой системы в зависимости от параметров воздействия может рассматриваться как задача об управлении. Например, весь спектр вибрационных воздействий на однородную жидкость и многофазную среду, рассмотренный выше в Разделе 1.1 можно трактовать как исследование возможностей пассивного управления конвективной системой.
Гораздо меньшее внимание в литературе уделено использованию активного управления конвективной системой посредством обратной связи. При активном управлении целью является изменение состояния конвективной системы через подавление или, наоборот, усиление естественно возникающих малых возмущений течения в реальном времени. Управляющий параметр при этом сам становится функцией времени и состояния управляемой системы. Введение обратной связи является, преимуществом, поскольку приводит к более эффективному и «адресному» управлению. Автоматическое управление при помощи обратной связи не требует постоянного слежения человека за состоянием систем, что существенно упрощает их использование. Вот почему с точки зрения технологии актуальна организация управления, действующего по принципу «включил и забыл». Проблема использование управления с обратной связью в сплошных средах подробно рассматривалась в монографии Ю.П. Ладикова [285] - крупнейшего специалиста в этой области. Главный вызов того времени (остаётся он таковым и сейчас) - стабилизация неустойчивостей высокотемпературной плазмы, возникающих в токамаках. Поэтому в монографии внимание, прежде всего, концентрируется на задачах управления-устойчивостью плазмы, жидких металлов, в химическом и термоядерном реакторе. Автор развивает идею о пространственно-распределённом регуляторе, который активно взаимодействует с объектом регулирования (тоже пространственно-распределённой средой) и может значительно улучшить её динамические характеристики с точки зрения производственных процессов. Главный вопрос, который возникает в каждом конкретном случае - а реализуемо ли здесь регулирующее устройство в принципе? Ведь в отличие от классической постановки задачи в теории автоматического регулирования, где объект и регулятор являются системами с сосредоточенными параметрами, здесь объект и управляющее устройство представ 62 ляют собой континуальные среды, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Автор отвечает утвердительно и приводит ряд примеров, в каждом из которых предлагает структуру такого устройства.
Вообще, одной из первых вопросами активного управления хаосом занималась группа, возглавляемая Йорком [162-163]. В этих работах в численном эксперименте была продемонстрирована возможность стабилизации хаотического движения при помощи относительно малых возмущений. Правда, при этом рассматривалось управление не конкретно конвективными пространственно-распределенными системами, а некоторой абстрактной малоразмерной динамической системой. Тем не менее, эти идеи нашли свое подтверждение в лабораторном эксперименте [164], где удалось стабилизировать хаотические вибрации магнитной ленты с помощью приложенного магнитного поля.
Большой вклад в исследование вопросов управления внесла исследовательская группа во главе с Бау [158, 165-174]. В их экспериментальной работе [165] управление с обратной связью поддерживало стационарное течение в конвективной петле, в случае, когда тепловые условия таковы, что в отсутствии управления существует хаотический режим. С помощью расчетов и лабораторного эксперимента в [166-168] продемонстрировано, что использование управления с обратной связью может привести к изменению скорости и вида течения в тороидальной конвективной петле, подогреваемой снизу и охлаждаемой сверху. Теоретически было показано, что управление отклонением термосифона от вертикального положения или изменением тепловых условий на границах позволяет дестабилизировать или восстанавливать стационарный и колебательный типы течения, а также вызывать или подавлять хаотический режим движения: В более свежих работах интересы этой исследовательской группы переместились к использованию нейросети для управления хаотической конвекцией [169], более сложного (нелинейного) алгоритма управляющей подсистемы [174], управление течениями в микро-жидкостных [172] и даже нано-жидкостных [173] системах. Последние приобрели свою популярность при использовании в биохимических экспериментах. Управлению конвекцией Маран-гони посвящена работа [171]. Наконец, в совсем свежих работах [170, 174] рассмотрена возможность управления конвекцией Релея-Бенара в плоском слое жидкости, подогреваемом снизу.
Перейдем к рассмотрению второй группы задач. Существует широкий круг технологических процессов, в которых желательно отсутствие конвективного движения в условиях, когда значения числа Рэлея выше, чем те, при которых возникает свободная тепловая конвекция. Для этого используются разнообразные способы, например, подавление конвективного движения магнитной жидкости с помощью наложения магнитного поля [175] или вынос технологических установок на борт орбитальных станций в условия невесомости. Значительное число-работ, обзор которых содержится в [176, 177], посвящено подавлению конвекции Рэлея-Бенара в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу и охлаждаемом сверху при помощи модуляции условий на границах. Наиболее часто для этого используется периодическая модуляция разности температур поперек слоя. Однако такая методика оправдывает себя только при небольших отклонениях параметра Рэлеяот критического значения [178]. Более того, как показано в [179, 180] колебания температуры на горизонтальных гра-ницах могут привести к возбуждению конвекции. К недостаткам обсуждаемого метода управления стоит отнести и тот факт, что при лабораторной реализации не удается достичь равномерного изменения температуры в слое жидкости из-за влияния конечной теплопроводности реальных жидкостей. Изменение температуры границы приводит к образованию вблизи нее теплового скин-слоя, что существенно осложняет задачу [181].
Метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи
Важно отметить, что примененный в этой главе метод позволил получить непротиворечивую замкнутую систему в рамках обобщенного приближения Буссинеска. Это значит, что ни один из безразмерных параметров, фигурирующих в конечных уравнениях, не совпадает ни с одним из асимптотических параметров задачи - Ga, /3 или r/h, но является их конечной по величине комбинацией
Конвекция в запыленной среде, заполняющей плоский вертикальный слой
На основе полученных уравнений рассмотрим конкретную задачу, связанную с конвективной устойчивостью течения суспензии. Как это видно из выражения (3.30), в зависимости от соотношения между плотностями жидкого и твердого материалов, частицы могут оседать или всплывать под действием выталкивающей силы. Чтобы иметь возможность в качестве основного состояния рассматривать однородное движение частиц вдоль слоя с некоторой фиксированной скоростью, очевидно, необходимо предположить постоянную «подсыпку» частиц. При таком предположении естественно взять геометрию полости в виде плоского вертикального слоя. Кроме того, подобная задача рассматривалась в ряде работ [8, 17, 46], что дает возможность провести сравнение с результатами, полученными на основе других моделей.
Рассмотрим двухфазную систему жидкость (газ) — твердые частицы, заключенную в плоский вертикальный слой — 1 х 1, — оо _у оо, — oo z oo
Движение жидкости, несущей частицы, вызывается разностью температур 20, приложенной на границах слоя. Чтобы упростить уравнения (3.33-3.36), рассмотрим следующий предельный случай: пусть отношение плотностей фаз стремится к бесконечности D— оо, а доля твердых частиц в единице объема стремиться к нулю (р— 0. При этом будем предполагать, что их произведение % — (pD остается конечным. При таком подходе логика обобщенного приближения Буссинеска, изложенная в предыдущем параграфе, не страдает. По существу, - это массовая концентрация частиц в единице объема, - характеристика, которая учитывает не только объемную долю твердой фазы, но и насколько частицы тяжелы по отношению к жидкости. Указанный предельный случай охватывает достаточно широкий круг задач, в частности, и задачу, рассмотренную в работах [8, 46], где двухфазная среда состояла из воздуха, содержащего мелкие древесные опилки (Z =415). В приближении тяже 119 лых частиц выражение (3.31) приводит к следующим ограничениям на изменение массовой концентрации: д /дх=0, dg/dz=0. Фактически это означает, что частицы настолько тяжелы, что эффектами отклонения частиц от движения вдоль линий силового поля за счет увлечения их течением можно пренебречь. Хотя массовая концентрация может меняться вдоль линий силового поля д /ду О, рассмотрим более простой случай. Как видно из уравнения (3.35), ему удовлетворяет решение, при котором массовая концентрация остается неизменной как по пространству, так и по времени. Таким образом, уравнение для сразу же можно исключить из рассмотрения. При этом, к управляющим параметрам добавляется еще один - 0. Учитывая эти замечания, система уравнений где индекс «f» был опущен, так как уравнения движения свелись к рассмотрению поведения только одной среды - жидкости. Движение твердой фазы однозначно определяется соотношениями (3.36). Уравнения (3.38-3.40) должны быть решены совместно со стандартными граничными условиями для вертикального слоя (2.6). В этом случае уравнения (3.38-3.40) имеют стационарное плоскопараллельное решение V(0, Vy(x),0), Т (х), которое соответствует движению жидкой и твердой фаз в теплопроводном режиме: Уу = \ві{-х), Т0=-х. (3.41) Линеаризуя уравнения (3.38-3.40) около основного состояния (3.41), мы получаем уравнения для малых возмущений скорости и, температуры в и давления р. Изучая структуру уравнений (3.38-3.39), можно заметить, что влияние твердой фазы проявляет себя, прежде всего, в двух похожих слагаемых в пра 120 вой части уравнений (3.38) и (3.39), пропорциональных скорости оседания частиц в поле силы тяжести.
Согласно Сквайру [225], в случае плоских изотермических течений несжимаемой жидкости трехмерной задачи для возмущений эквивалентна двумерная задача с меньшим числом Рейнольдса. Доказательство может быть проведено путем поворота системы координат [225]. В рассматриваемой конвективной задаче основное течение характеризуется не только распределением скорости, но и распределением температуры, которая при повороте осей ведет себя отлично от скорости. Поэтому теорема Сквайра для трехмерных возмущений в конвективном потоке не имеет места. Однако, сам метод поворота координатных осей и в этом случае дает результаты, аналогичные теореме Сквайра.
Такое доказательство было проведено в кандидатской диссертации автора [254]. Опираясь на этот результат, мы можем ограничиться рассмотрением лишь плоских возмущений, полагая все поля не зависящими от оси z. Таким образом, мы можем ввести в рассмотрение функцию тока где обозначает волновое число вдоль координаты у.
Решение спектрально-амплитудной задачи (3.51-3.53) существует лишь при определенных значениях параметров, т.е. это задача на собственные числа. Решение задачи устойчивости сводится к нахождению собственных чисел Я в зависимости от параметров задачи - чисел Gr, Р, S, волнового числа к и построению соответствующих собственных функций ф(х) и І9(Л). Собственные значения Я служат инкрементами характеристических возмущений, определяя поведение этих возмущений во времени. Вообще говоря, это комплексные числа, т.е. Я = Яг + ЇЛ;. Вещественная часть характеризует быстроту затухания или нарастания возмущений. Если Лг 0, то возмущение затухает; Яг 0соответствует нарастающим возмущениям. Мнимая часть определяет фазовую скорость возмущения d) = Aj/k. Отметим, что в отличие от задачи устойчивости фазовая скорость в лабораторной системе отсчета зависит от большего числа параметров:
Сходимость метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи
Перейдем к изложению результатов расчетов спектрально-амплитудной задачи (4.54-4.56). Все вычисления были выполнены для фиксированного значения числа Прандтля Р=26, которое соответствует керосину Т—1, использованному в качестве рабочей жидкости в работе [53]. На Рис.4.6а на плоскости обратная частота I/O,— параметр 4g- представлены нейтральные кривые, разделяющие область устойчивости и область параметрического возбуждения вторичного течения для трехфазных значений параметра. 5=0,10,50. Область неустойчивости располагается выше кривой. На Рис.4.66 для разных значений параметра двухфазной среды представлены минимальные значения; волнового числа возмущений.
Численные расчеты подтвердили вывод, сделанный в предыдущем параграфе: все наиболее опасные возмущения при S=0 относятся к «целому» типу, для которого частота осцилляции вторичного течения совпадает с частотой внешнего воздействия. При появлении твердой примеси критическое возмущение становится;квазипериодическим. Однако, при больших и. средних значениях частоты отклонения от «целого» типа настолько малы (в пределах 1-2%), что с практической.точки зрения интереса не представляют. Обнаружено, что такое квази-«целое» решение существует для Є1 1.6. Вместе с тем, стоит отметить различие временного поведениям соседних полосах неустойчивости. Как показывают расчеты, вещественная и мнимая части возмущений, имеют в соседних полосах различный период осцилляции, - они либо совпадают, либо отличаются в два раза.
Как видно, при увеличении, параметра, 5, а, следовательно,, и массовой концентрации примеси, порог параметрического возбуждениягвторичного течения сдвигается в область больших значений амплитуд модуляции. При этом, в пределе высоких частот, пороговое значение амплитуды Ag для «чистой» жидкости и жидкости с примесью практически совпадает.
Как уже отмечалось выше, экспериментальная работой Зюзгина и Путина [53], в которой исследовалось влияние горизонтальных вибраций на устойчивость подъемно-опускного течения в вертикальном слое, была фактически пионерской в изучении параметрически возбуждаемых вторичных конвективных течений. Любопытно, что указанный эффект авторы работы обнаружили во многом случайно, так как диапазон частот вибраций, реализованных в эксперименте, считался высокочастотным. Так как эта работа так и не была опубликована в реферируемых журналах, остановимся на ее результатах подробнее.
Авторы исследовали устойчивость плоскопараллельного конвективного течения керосина, находящегося в вертикальном слое, подогреваемом сбоку. Система подвергалась горизонтальным линейно-поляризованными инерционным ускорениям, приложенным в продольном направлении. Уникальный вибростенд, сконструированный авторами, позволял варьировать амплитуду вибраций в пределах 0.2- 6.0 см, а частоту - в интервале 0.5 30 Гц. Для сравнения: обычно используемые для изучения вибрационных эффектов электродинамические вибростенды имеют амплитуду колебаний около 1 мм, а получаемые с их помощью вибрационные скорости даже на самых высоких частотах в сотни герц относительно невелики. Именно поэтому был использован механический вибратор. Хотя частоты колебаний таких вибраторов обычно не превышают нескольких десятков герц, получаемые с их помощью значения параметра ааз за счет значительной амплитуды оказываются большими, чем у электродинамических вибростендов.
Специфика эксперимента требовала использования значительных концентраций алюминиевой пудры, которая позволяла визуализировать течение в стробоскопическом освещении, работающем в такт с вибрациями. Пудру с некоторыми оговорками можно отнести к мелкой и достаточно тяжелой примеси.
Точки, лежащие на оси Rav = 0, отвечают случаю отсутствия вибраций. Когда число Грасгофа меньше критического, в слое существует устойчивое подъемно-опускное движение. У горячей стенки жидкость поднимается вверх, а у холодной - опускается вниз. При достижении параметром Грасгофа критического значения (для керосина Gr»115, см. Таблицу 1 Главы 2), основное течение теряет устойчивость и возникает плоский колебательный режим течения. Его структура представляет собой систему горизонтальных продольных валов, расположенных на границе раздела встречных потоков. Интенсивность соседних вихрей меняется в противофазе.
При включении вибраций (Rav 0) в области параметров А подъемно-опускное течение продолжает оставаться устойчивым. Вертикальная линия соответствует границе возникновения вибрационной конвекции и отделяет область А от области параметров С и D, если частота вибрации достаточно велика (со \9Гц) и области С, если со \9Гц (низкие частоты). При этом авторы [53] отмечают, что во всех экспериментальных реализациях, при различных значениях перепада температур между теплообменниками и амплитудой колебаний о, при частотах вибраций ниже со \9Гц, порог возникновения неустойчивости существенно сдвигался в область больших значений Gr, а структура надкритического движения имела вдвое больший характерный размер. Структуры виброконвективных течений, возникающие при высоких и низких частотах вибраций, приведены на Рис.4.8а,б соответственно. На Рис.4.7 слева от граничной линии располагается область D, где существует устойчивое подъемно-опускное течение, а справа - область С, которая отвечает зоне неустойчивости.
На основе этого авторы заключают, что для данного вертикального слоя жидкости, частоты вибраций, лежащие в интервале от 19 Гц и выше, удовлетворяют высокочастотному приближению (Рис.4.8а). Если же линейная частота колебаний полости не превышает 19 Гц, вибрации возбуждают режим резонансной природы (Рис.4.86).
Теоретическое исследование вибрационной конвекции в вертикальном слое для однородной жидкости (см. например [8], а также обзор в монографии-[4]) показывает, что в случае горизонтальных вибраций в плоскости слоя задача о поведении спиральных возмущений не содержат скорости основного течения. Поэтому данная проблема совпадает с задачей устойчивости механического квазиравновесия в невесомости при наличии поперечной разности температур и вибрации в плоскости слоя. Как известно, это равновесие теряет устойчивость при критическом числе Рэлея JRav = 133.1 с критическим волновым числом =1.61 (вертикальная линия на Рис.4.7). Горизонтальная линия на Рис.4.7 соответствует порогу возникновения пространственного колебательного режима движения, вызванного взаимодействием вибрационного и термогравитационного механизмов неустойчивости подъемно-опускного течения.
В заключении произведем сравнение результатов развитой в этой главе теории с экспериментальными результатами из работы Зюзгина и Путина [53], полученными для резонансной колебательной моды. На Рис.4.9 с одной стороны представлены результаты наших расчетов (линии) и, с другой стороны, экспериментальные данные (квадратные точки). Теоретические кривые построены для трех значений параметра двухфазной среды S= 0,10,50 и минимизированы по волновому числу. Для удобства результаты по оси абсцисс представлены в логарифмическом масштабе. Область неустойчивости располагается выше кривой. Из-за конструктивных особенностей установки экспериментальные измерения были проведены в следующем диапазоне значений безразмерной частоты вибраций: 100 П 250.
