Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Одномерные волны ориентации в нематическйх жидких кристаллах 11
1.1. Вариационное уравнение динамики нематических жидких кристаллов. Одномерный случай
1.2. Групповая классификация одномерных уравнений ориентации
1.3. Полная и частичная интегрируемость уравнений ориентации
1.4. Условия на разрывах ориентации. Автомодельная задача о распространении волны переориентации
1.5. Затухание волны переориентации. Влияние на характеристики среды 5"6
ГЛАВА II. Движение тел в ориентированной жидкости GZ
2.1. Сферические колебания пузырька в нематике 62
2.2. Движение малого тела в плоском поле ориентации нематика
2.3. Задача о взаимодействии двух сфер
2.4. Оценки энергии неплоского поля ориентацииней тика
Заключение
Литература
- Вариационное уравнение динамики нематических жидких кристаллов. Одномерный случай
- Условия на разрывах ориентации. Автомодельная задача о распространении волны переориентации
- Движение малого тела в плоском поле ориентации нематика
- Оценки энергии неплоского поля ориентацииней тика
Введение к работе
Данная диссертация посвящена динамическим задачам механики ориентированных жидкостей, связанных с распространением одномерных нелинейных волн и движением твердых тел и пузырьков в таких средах. Физическими примерами ориентируемых жидкостей служат широко используемые в технике и медицине жидкие кристаллы, суспензии и коллоидные растворы с анизотропными по форме частицами, растворы полимеров и другие. I. Вопросы теоретического и экспериментального исследования ориентированных жидкостей .как сплошных сред с внутренними степенями свободы векторной природы [Ъ5~\ отражены в ряде монографий и обзоров [_л. t % 14 ; \5 , A3 ; &8 } 36; 38, Ь9 , 44 ~] Первой здесь следует считать работу Коссера [441 » которые ввели для описания анизотропии частицы сплошной среды ориентированный триэдр. Позже эта идея нашла применение в механике деформируемого твердого тела, в частности, в теории дислокации \_ 5~\
В связи с открытием нематических жидких кристаллов получил развитие более простой вариант теории,связанный с введением одного вектора. Здесь следует назвать работы Франка \_52~\ , 0зеенабЗЗ , Эриксена [ЗЭ , 50 ,5i~\ , Лесли [5"8"]« Основные описываемые явления: анизотропия вязкости несущей несжимаемой жидкости, инерция, упругость и релаксация векторного поля ориентации. Длина вектора ориентации частицы сплошной среды может служить мерой упорядочивания микроскопической ориентации и, в частности, вдали от состояний среды, отвечающих фазовым переходам, например, в изотропную жидкость, считается равной единице. Краевые условия обычно сводятся к заданию вектора ориентации на ориентирующих стенках сосуда.'
К хорошо исследованным разделам физики и механики нема-тических жидкостей можно отнести следующие. Статика жидких кристаллов, классификация особенностей поля ориентации -диклинаций. Влияние электрического и магнитного полей на эффекты ориентации. Диэлектрические свойства и проводимость. Устойчивость равновесия во внешних полях. Оптические свойства. Термодинамические свойства жидких кристаллов с учетом фазовых переходов. Волны малой амплитуды, их распространения, дисперсия скорости звука и затухание. Стационарные течения ориентированных жидкостей в трубах и каналах при наличии внешнего электромагнитного поля, их устойчивость и переход к турбулентности.
Специально здесь следует отметить работы, связанные с механическими эффектами. Линейные задачи и связанная с ними теория звука развиты в работах ^4- 7 Ъ 7 3<3 , ^-4^. Задачам равновесия поля ориентации в разных аспектах посвящены многие исследования. Равновесие в электромагнитных полях и связанный с ним эффект Фредерикоа рассмотрены в \_ А5~ ; ЯЛ-, 3^ ; GO 3 Дефекты в нематике теоретически исследованы в [л5 ) Ц-& ) 64- , Gb~\ . Влияние граничных условий на конфигурацию нематика освещено в работах [}\5;33 62^. Динамические задачи о взаимодействии течения и упругих деформаций поля ориентации в основном связаны со стационарным рассмотрением [d. , Я, , - 41, 4^,45,64]. Вопросы об устойчивости ламинарных стационарных течений и переходе в турбу-летный режим рассмотрены в [а^ — 2/3 3 . Равновесный переход нематика в изотропную фазу изучен в работах MS, 5*3, 54, 5^, 5
2. В данной работе исследуются вопросы о распространении одномерных нелинейных волн, в частности, разрывов ориентации, и в идеальной постановке движения твердых тел и пузырьков.
Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав и заключения.
В первой главе в основном рассматриваются одномерные волны ориентации в нематических жидких кристаллах.
В первом параграфе на основе вариационного уравнения Л.И.Седова \.Ъ%~\ сформулирована полная термодинамическая модель ориентированной нематической среды, представляющая собой несжимаемую вязкую теплопроводную жидкость с наличием дополнительных определяющих параметров, связанных с единичным вектором ориентации и его первым производным. Вектор ориентации входит в модель в четной степени. Наряду с известными уравнениями и соотношениями вариационное уравнение позволяет вывести новые краевые условия, в частности, условия на разрывах вектора ориентации и на свободных поверхностях, которые используются в дальнейшем.
Здесь также введены уравнения одномерного движения. В этом случае среда движется как твердое тело, и уравнения для ориентации отделяются в сопутствующей системе отсчета от остальных уравнений. При этом коэффициенты X 7 К^ ;КЛ? К^ ptt связанные со свойствами инерции (д) , упругости ( Kt) и релаксации ( р^ , считаются постоянными, не зависящими от температуры. Уравнение движения служит для определения давления, уравнение энергии - температуры.
Во втором параграфе дана полная групповая классификация одномерных уравнений ориентации. На основании известных алгоритмов отыскания групп симметрии дифференциальных уравне- ний выведена и решена система уравнений в частных производных, определяющая операторы бесконечно-малых преобразований. В зависимости от специализации пяти параметров I получены 17 типов различных групп симметрии, содержащих в ряде случаев произвольные функции.
В третьем параграфе рассматриваются специальные случаи, когда система двух уравнений ориентации может быть полностью или частично проинтегрирована. Здесь имеются следующие возможности. Оба уравнения сводятся к обыкновенным и легко интегрируются. Одно уравнений - обыкновенное интегрируемое, второе - в частных производных. Уравнения сводятся заменой переменных к линейным. Благодаря наличию симметрии при
К^-Ц^-К. ("одноконстантное" приближение) и pt=o можно указать два первых интеграла, содержащих произвольные функции, и свести систему к одному уравнению типа Sin, _ Gordon. » которое допускает солитонные решения -46, \^г~] Физически специализация параметров означает ту или иную степень приближения при постановке различных задач, например, возможность пренебречь инерцией ориентации, релаксацией или некоторыми упругими постоянными.
В этом параграфе также рассмотрено инвариантно-групповое решение общей системы уравнений, отвечающих нелинейной бегущей волне. Результаты 1.2, 1.3 представлены в работе
В четвертом параграфе с помощью вариационного уравнения выведены условия на разрывах вектора ориентации или его первых производных. Здесь изучаются следующие классы функций: вектор ориентации непрерывен, частично непрерывен или разрывен. Интегральные соотношения, связанные с сохранением полного импульса и энергии среды, дают формулы для скачков давления и внутренней тепловой энергии. В предположении, что последняя растет с ростом энтропии, отсюда при адиабатическом процессе получено ограничение на скорость распространения разрыва.
В качестве примера рассмотрена автомодельная задача о скачке переориентации при отсутствии релаксации. Найдено кусочно-постоянное решение, согласно которому скачок распространяется с максимально возможной скоростью звука. Исследована единственность полученного решения при достаточно малой величине скачка. Из энергетических соображений как правило отбора решений используется максимальность интеграла действия.
В пятом параграфе исследовано влияние затухания волны переориентации на давление и температуру среды. В предположении І-0;Кі-К5_=К5 распространение плоско-поляризованной волны описывается линейными уравнениями теплопроводности, для температуры - с источником, связанным с релаксацией ориентации. Существенный рост температуры и падение давления вблизи начального скачка переориентации показывают, что такие скачки, связанные, например, с действием переориентирующих стенок, могут приводить к фазовым или структурным превращениям.
Во второй главе рассматриваются задачи, связанные с движением твердых тел и пузырьков в нематических жидкостях. В первом параграфе решена сферически-симметричная задача о радиальных колебаниях газового пузырька. В результате решения внешней задачи о движении жидкости и учета необходимых краевых условий, в частности, связанных с радиальной ориен- тацией директора на поверхности пузырька, выведено уравнение движения его границы. По сравнению с известным уравнением Релея здесь существенный вклад дают анизотропная вязкость и упругость поля ориентации. Последнее обстоятельство аналогично действию внутреннего давления препятствует в данном случае сжатию пузырька. Физически говоря, среда стремится избегать образования сферической особенности поля ориентации. Поведение радиуса пузырька подробно исследовано для идеального нематика.
Во втором параграфе рассматривается задача о движении тел в идеальной ориентированной жидкости при отсутствии инерции ориентации. Показано, что в этом случае как и в идеальной изотропной несжимаемой жидкости, остается справедливым закон сохранения завихренности, В частности течение жидкости можно считать потенциальным. Выведен интеграл Коши--Лагранжа. После решения вспомогательной краевой задачи о распределении вектора ориентации может быть сформирован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, в котором варьированию подлежат только обобщенные координаты формы тела.
Эффективное решение указанной задачи возможно в частном случае, который реализуется при подходящих краевых и начальных условиях, когда поле ориентации остается параллельным некоторой плоскости. В этом случае поле ориентации описывается решением линейной задачи Дирихле. Развита теория присоединенной ориентации, аналогичная теории присоединенных масс, В основном приближении выведен лагранжиан движения твердого тела, малого по сравнению с характерным масштабом внешнего потока. Рассмотрен пример сферы с постоян- ным на ней полем ориентации. Наличие ориентации среды приводит к ее угловым колебаниям относительно внешнего поля.
В третьем параграфе исследована задача о взаимодействии двух сфер с плоским полем ориентации. В связи с известными гидродинамическими решениями этой задачи обсуждаются следующие случаи: движение сферы вдоль и перпендикулярно линии центров, движение сфер, малых по сравнению с расстояниями между ними. В частности подробно рассматривается задача о вертикальном падении сферы под действием силы тяжести на плоскости. Показано, что на достаточно больших расстояниях от плоскости упругая сила сопротивления превьшает гидродинамическую силу отталкивания, а эффект частоты колебаний сферы возрастает при приближении к плоскости. Качественное исследование показывает, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости. Оседание частицы возможно только при учете релаксации ориентации к ориентации плоскости.
В четвертом параграфе рассматривается нелинейная задача о движении тел при неплоском поле ориентации. Даны двусто ронние оценки упругой энергии ориентации среды с помощью решения вспомогательных линейных задач Дирихле. В качестве примера рассмотрена задача о движении сферического газового пузырька с собственной сферической ориентацией во внешней покоящейся жидкости с однородным полем ориентации. Вычисле на оценка безразмерной постоянной, связанной с энергией ориентации, вида 8,3 ^ * ^ №f% , что представляет- ся практически удовлетворительным.
В отличии от задачи с внешним сферическим распределением ориентации в данном случае линии тока поля директора стремятся выпрямиться, сжимая пузырек и способствуют его охлопыванию аналогично силе поверхностного натяжения.
Основные результаты второй главы представлены в работе
В заключении перечислены основные результаты работы, которые выносятся на защиту.
Автор выражает глубокую благодарность своим научным ру ководителям - акад. Л.И.Седову и доц. А.Н.Голубятникову -за постоянное внимание и поддержку в работе.
Вариационное уравнение динамики нематических жидких кристаллов. Одномерный случай
В третьем параграфе рассматриваются специальные случаи, когда система двух уравнений ориентации может быть полностью или частично проинтегрирована. Здесь имеются следующие возможности. Оба уравнения сводятся к обыкновенным и легко интегрируются. Одно уравнений - обыкновенное интегрируемое, второе - в частных производных. Уравнения сводятся заменой переменных к линейным. Благодаря наличию симметрии при
К -Ц -К. ("одноконстантное" приближение) и pt=o можно указать два первых интеграла, содержащих произвольные функции, и свести систему к одному уравнению типа Sin, _ Gordon. » которое допускает солитонные решения -46, \ г ] Физически специализация параметров означает ту или иную степень приближения при постановке различных задач, например, возможность пренебречь инерцией ориентации, релаксацией или некоторыми упругими постоянными. В этом параграфе также рассмотрено инвариантно-групповое решение общей системы уравнений, отвечающих нелинейной бегущей волне. Результаты 1.2, 1.3 представлены в работе
В четвертом параграфе с помощью вариационного уравнения выведены условия на разрывах вектора ориентации или его первых производных. Здесь изучаются следующие классы функций: вектор ориентации непрерывен, частично непрерывен или разрывен. Интегральные соотношения, связанные с сохранением полного импульса и энергии среды, дают формулы для скачков давления и внутренней тепловой энергии. В предположении, что последняя растет с ростом энтропии, отсюда при адиабатическом процессе получено ограничение на скорость распространения разрыва.
В качестве примера рассмотрена автомодельная задача о скачке переориентации при отсутствии релаксации. Найдено кусочно-постоянное решение, согласно которому скачок распространяется с максимально возможной скоростью звука. Исследована единственность полученного решения при достаточно малой величине скачка. Из энергетических соображений как правило отбора решений используется максимальность интеграла действия.
В пятом параграфе исследовано влияние затухания волны переориентации на давление и температуру среды. В предположении І-0;Кі-К5_=К5 распространение плоско-поляризованной волны описывается линейными уравнениями теплопроводности, для температуры - с источником, связанным с релаксацией ориентации. Существенный рост температуры и падение давления вблизи начального скачка переориентации показывают, что такие скачки, связанные, например, с действием переориентирующих стенок, могут приводить к фазовым или структурным превращениям.
Во второй главе рассматриваются задачи, связанные с движением твердых тел и пузырьков в нематических жидкостях. В первом параграфе решена сферически-симметричная задача о радиальных колебаниях газового пузырька. В результате решения внешней задачи о движении жидкости и учета необходимых краевых условий, в частности, связанных с радиальной ориентацией директора на поверхности пузырька, выведено уравнение движения его границы. По сравнению с известным уравнением Релея здесь существенный вклад дают анизотропная вязкость и упругость поля ориентации. Последнее обстоятельство аналогично действию внутреннего давления препятствует в данном случае сжатию пузырька. Физически говоря, среда стремится избегать образования сферической особенности поля ориентации. Поведение радиуса пузырька подробно исследовано для идеального нематика.
Во втором параграфе рассматривается задача о движении тел в идеальной ориентированной жидкости при отсутствии инерции ориентации. Показано, что в этом случае как и в идеальной изотропной несжимаемой жидкости, остается справедливым закон сохранения завихренности, В частности течение жидкости можно считать потенциальным. Выведен интеграл Коши--Лагранжа. После решения вспомогательной краевой задачи о распределении вектора ориентации может быть сформирован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, в котором варьированию подлежат только обобщенные координаты формы тела.
Эффективное решение указанной задачи возможно в частном случае, который реализуется при подходящих краевых и начальных условиях, когда поле ориентации остается параллельным некоторой плоскости. В этом случае поле ориентации описывается решением линейной задачи Дирихле. Развита теория присоединенной ориентации, аналогичная теории присоединенных масс, В основном приближении выведен лагранжиан движения твердого тела, малого по сравнению с характерным масштабом внешнего потока. Рассмотрен пример сферы с постоянным на ней полем ориентации. Наличие ориентации среды приводит к ее угловым колебаниям относительно внешнего поля.
В третьем параграфе исследована задача о взаимодействии двух сфер с плоским полем ориентации. В связи с известными гидродинамическими решениями этой задачи обсуждаются следующие случаи: движение сферы вдоль и перпендикулярно линии центров, движение сфер, малых по сравнению с расстояниями между ними. В частности подробно рассматривается задача о вертикальном падении сферы под действием силы тяжести на плоскости. Показано, что на достаточно больших расстояниях от плоскости упругая сила сопротивления превьшает гидродинамическую силу отталкивания, а эффект частоты колебаний сферы возрастает при приближении к плоскости. Качественное исследование показывает, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости. Оседание частицы возможно только при учете релаксации ориентации к ориентации плоскости.
Условия на разрывах ориентации. Автомодельная задача о распространении волны переориентации
Так оценка FH сверху с помощью (2,88) ( S\vt в L ) в случае ооесимметричного поля, когда Ч есть полярный угол, слабая. Для бесконечно большого объема VGb) интеграл расходится, В этом случае можно использовать другое представление вектора Д , связанное со стереографической проекцией сферы на плоскости. Вместе с (2,87) введем комплексную переменную:
Так как вектор А входит квадратично в исследуемые уравне-ния, всегда можно считать. В силу соотношения: которое одновременно указывает и на точность оценки типа 1 4- что практически может быть вполне удовлетворительным. Отыскание нижней грани здесь также сводится к решению двух линейных задач Дирихле, При малых 8 в основном приближении оценка сверху согласно (2.96) совпадает с оценкой снизу по формуле (2,89),
Приведем также формулы для компонент вектора А в декартовых координатах: В качестве примера рассмотрим задачу о сфере со сфериче-оки распределенным на ней полем вектора А1 в однородном внешнем поле Ао В этом случае поле ориентации нематика можно считать осесимметричным. Ч5 можно считать полярным углом, и подлежит определению угол в В сферической системе координат X , . , ф график 01( Л") на сфере - R имеет вид: TV:L рис, 2.3 здеоь Л отсчитывается от направления внешнего поля Д0 Оценка (2.89) снизу находится путем решения внешней задачи Дирихле для 6 с помощью разложения в ряд по сферическим гармоникам. Для этого достаточно разложить функцию б Сл) на сфере. Первые члены разложения имеют вид:
Сравнение величин (2.98) и (2.99) показывает, что оценка FH снизу согласно неравенствам (2.96) хуже в данном случае оценки (2.89). Согласно теории размерности [33"3 энергия Франка FH - К , где - безразмерная постоянная и неравенства (2.90), (2.96) позволяют оценить величину С 9 -108 8, П1 $ $ ,Я6 (2.100) Решение данной задачи может быть использовано, например, для вывода уравнений одномерного движения пузырька переменного радиуса RGfc) в покоящейся однородно ориентированной жидкости, В этом случае соответствующий лагранжиан имеет вид: где Up - внутренняя энергия газа. Наличие энергии Франка внешней жидкости приводит к силе, способствующей охлопыванию пузырька, в отличие от задачи со сферическим распределением ориентации (см. 2.1). Это обстоятельство связано с тем, что в первом случае линии тока векторного поля А стремятся выпрямиться, сжимая препятствие, а во втором энергически выгодным оказывается расширение пузырька, связанное с уменьшением сферической кон-центрации векторного поля А . Отметим, что при относительно малых радиусах указанная сила может преобладать над силой поверхностного натяжения. Таким образом, в работе получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту, В рамках модели Эриксена-Лесли для ориентированных не-матических жидкостей решены следующие задачи.
Дана полная групповая классификация уравнений распространения одномерных волн ориентации, связанная со специализацией коэффициентов этих уравнений. Исследована полная и частичная интегрируемость уравнений ориентации, что связано с описанием распространения нелинейных волн, в частности со-литонов. Выведены условия на разрывах и решена автомодельная задача о волне переориентации. Изучен процесс ее затухания. Показано, что диссипация энергии, связанная с релаксацией вектора ориентации, дает существенный рост температуры и падение давления в состоянии, близком к скачку переориентации, что может приводить к фазовым или структурным превращениям.
Выведен вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, для движения тел в потенциальном потоке идеальной ориентированной жидкости, на основании которого развита теория присоединенной ориентации. Для плоского поля ориентации получены уравнения движения малого твердого тела в неоднородном потоке и уравнения движения двух сфер. Решена задача о падении сферы на плоскость. Показано, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости.
Решены задачи о движении о колебаниях сферического газового пузырька во внешних однородном и сферическом полях ориентации.
Движение малого тела в плоском поле ориентации нематика
Задача о взаимодействии тел в нематике представляет собой частный случай общей задачи о движении тел в нематике, когда поверхность тел, движущихся в нематике, является не-связной. Поэтому вое результаты предыдущего параграфа /годны при рассмотрении взаимодействия малых тел, в частности двух малых сфер. Но задача о взаимодействии двух сфер в нематике, как и задача о взаимодействии двух сфер в изотропной жидкости, может быть решена в ряд т.е. можно получить точные решения этих задач в виде ряда для сфер любого размера. Для изотропной жидкости этот ряд получен после решения задачи (2.42), (2.43) разными авторами для различных случаев \j /3,5 ] . Для нематика особенность задачи состоит только в том, чтобы получить точное решение задачи (2.44) для общего поля директора или (2.44 ), (2.48) для одноконстантного приближения с плоским полем директора.
Рассмотрим взаимодействие двух сфер Ь± ) радиусов соответственно R _ , Р в идеальном нематике с плоским полем -содиректора в одноконстантном приближении. Мы ограничимся случаем, когда сферы тверды т.е. когда RL , R считаются постоянными. Расстояние между центрами сфер обозначено через а . Сферы движутся с поступательными скоростями (U u ) и C V3j.,uL) , где ML , u. - проекции скоростей на оси, связывающей центры сфер, л , 1%, - перпендикулярные состав-ляющие (рис/2). Углы вращения сфер обозначены через сОА , ,
Задача (2.65), (2.66), (2.67) может быть решена с помощью функции Грина задачи Дирихле, которая находится для области вне сфер методом отражения особенностей 6 При произвольных функциях =ft » решение задачи является сложным. Однако для случая, когда $-1 постоянные, задача аналогична задаче о электростатическом равновесии двух зараженных сфер, а формула (2.64) представляет собой энергию такого же электрического поля. В этом случае решение становится обозримым и легко может быть найдено прямым методом отражения особен-ностей, как и решение задачи (2.61), (2.62), (2.63) f 2-! . Мы ограничимся рассмотрением этого случая.
Рассмотрим в качестве примера задачу о движении сферы малого размера над плоскостью. Движение сферы в идеальной несжимаемой жидкости, занимающей полупространство над плоскостью, рассмотрено в [ о ] Движение малой сферы в неоднородном потоке идеальной несжимаемой жидкости рассмотрено.
Пусть в нематике, занимающем полупространство над плоскостью эс/ty , имеется сфера радиуса R , которая движется по оси Ъ . Пусть \ - расстояние от центра сферы о плоскости ХЦ/ . На сфере /бкреплено однородное плоское поле директора А .На бесконечности нематик находится в равновесии и вектор А равен Ао На плоскости хху вектор А тоже равен А0 Движение рассматриваемой сферы представляет собой частный случай взаимодействия двух сфер, поэтому можно легко вывести уравнения движения сферы из полученных выше формул. Мы имеем выражение для Кн » подставляя в (2.68) R - R -R и ut= U1= q :
Оценки энергии неплоского поля ориентацииней тика
В качестве примера рассмотрим задачу о сфере со сфериче-оки распределенным на ней полем вектора А1 в однородном внешнем поле Ао В этом случае поле ориентации нематика можно считать осесимметричным. Ч5 можно считать полярным углом, и подлежит определению угол в В сферической системе координат X , . , ф график 01( Л") на сфере - R имеет вид: рис, 2.3 здеоь Л отсчитывается от направления внешнего поля Д0 Оценка (2.89) снизу находится путем решения внешней задачи Дирихле для 6 с помощью разложения в ряд по сферическим гармоникам. Для этого достаточно разложить функцию б Сл) на сфере. Первые члены разложения имеют вид:
Сравнение величин (2.98) и (2.99) показывает, что оценка FH снизу согласно неравенствам (2.96) хуже в данном случае оценки (2.89). Согласно теории размерности [33"3 энергия Франка FH - К , где - безразмерная постоянная и неравенства (2.90), (2.96) позволяют оценить величину С 9. Решение данной задачи может быть использовано, например, для вывода уравнений одномерного движения пузырька переменного радиуса RGfc) в покоящейся однородно ориентированной жидкости, В этом случае соответствующий лагранжиан имеет вид где Up - внутренняя энергия газа. Наличие энергии Франка внешней жидкости приводит к силе, способствующей охлопыванию пузырька, в отличие от задачи со сферическим распределением ориентации (см. 2.1). Это обстоятельство связано с тем, что в первом случае линии тока векторного поля А стремятся выпрямиться, сжимая препятствие, а во втором энергически выгодным оказывается расширение пузырька, связанное с уменьшением сферической кон-центрации векторного поля А . Отметим, что при относительно малых радиусах указанная сила может преобладать над силой поверхностного натяжения. Таким образом, в работе получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту, В рамках модели Эриксена-Лесли для ориентированных не-матических жидкостей решены следующие задачи.
Дана полная групповая классификация уравнений распространения одномерных волн ориентации, связанная со специализацией коэффициентов этих уравнений. Исследована полная и частичная интегрируемость уравнений ориентации, что связано с описанием распространения нелинейных волн, в частности со-литонов. Выведены условия на разрывах и решена автомодельная задача о волне переориентации. Изучен процесс ее затухания. Показано, что диссипация энергии, связанная с релаксацией вектора ориентации, дает существенный рост температуры и падение давления в состоянии, близком к скачку переориентации, что может приводить к фазовым или структурным превращениям.
Выведен вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, для движения тел в потенциальном потоке идеальной ориентированной жидкости, на основании которого развита теория присоединенной ориентации. Для плоского поля ориентации получены уравнения движения малого твердого тела в неоднородном потоке и уравнения движения двух сфер. Решена задача о падении сферы на плоскость. Показано, что сфера в общем случае будет совершать поступательно-вращательные колебания на некотором удалении от плоскости.
Решены задачи о движении о колебаниях сферического газового пузырька во внешних однородном и сферическом полях ориентации.
