Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Колебания и волны в поперечно-неоднородной пластине 7
1. Постановка задачи 8
2. Общее представление решения уравнений стационарных колебаний 8
Глава II. Однородные решения неоднородной пластины 13
3. Сведение к спектральным задачам 13
4. Критические частоты и моды 14
Глава III. Затухание волн в пластине при малой диссипации энергии . 22
5. Постановка задачи 23
6. Исследование затухания волн методом теории возмущений 30
7. Локализация колебаний 32
8. Некоторые результаты численного анализа 36
Глава IV, Колебания двухслойной пластины на поверхности акустической среды 40
9. Постановка задачи 40
10. Построение решения методом интеграла Фурье 44
11, Критические частоты и моды двухслойной полосы 49
12. Квазикритические и квазиоднородные моды и локализация коле баний 53
13. Характеристика направленности в дальнем поле 58
14. Результаты численного анализа 60
Заключение 74
Список литературы
- Общее представление решения уравнений стационарных колебаний
- Критические частоты и моды
- Исследование затухания волн методом теории возмущений
- Квазикритические и квазиоднородные моды и локализация коле баний
Введение к работе
Актуальность темы. В практике, применяя ультразвуковые методы исследования акустических сред и объектов, расположенных в них, приходится сталкиваться с ситуациями, когда ультразвуковую энергию нужно ввести в среду через упругие пластины или оболочки. Иными словами, нет возможности акустическую среду непосредственно нагрузить ультразвуковым устройством. В связи с этим возникает ряд задач, решение которых может способствовать созданию устройств, позволяющих достичь необходимого эффекта. Одна из таких проблем состоит в выборе рабочих частот и распределения амплитуд внешнего воздействия так, чтобы колебания локализовались в окрестности области приложения ультразвуковой энергии, а энергия по возможности не уходила вдоль стенки. Вторая задача, тесно связанная с первой, состоит в дополнительном подборе параметров так, чтобы звуковая энергия в акустической среде не рассеивалась, а концентрировалась в виде узко направ ленного луча, иными словами, чтобы давление имело узконаправленные характеристики.
В связи с этим в диссертации исследуются две проблемы. Первая посвящена изучению затухания нормальных волн в поперечно-неоднородных пластинах в случае, когда материал не является идеально-упругим, при отсутствии излучения звука через ее лицевые поверхности и возможности подбора амплитуд внешней нагрузки так, чтобы колебания локализовались в конечной области. В случае локализации колебаний можно использовать модель полуограниченного тела (термин введен И.И. Воровичем), частным представителем которой является, например, бесконечная слоистая пластина (поперечно-неоднородный слой). Вторая проблема - возможность создания узко направленных характеристик звука при просвечивании акустической среды через упругие
слоистые элементы.
«ЙН
і..і. ...» д Ml/
*"Д- НАЦИОНАЛЬНАЯ j БИБЛИОТЕКА ., |
В диссертации главное внимание уделяется изучению поведения волновых полей на критических частотах и возможности локализации колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки.
Научнаяновизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:
Методы определения коэффициента затухания в поперечно-неоднородном слое на критической частоте, порожденного внутренними потерями.
Реализация методов для трехслойной пластины на критических частотах.
Построение алгоритма подбора нагрузки с целью локализации колебаний.
Реализация алгоритма для трехслойной пластины.
Исследование затухания нормальных волн в неоднородной полосе, лежащей на поверхности акустической среды.
Исследование проблемы просвечивания акустической среды через двухслойную пластину.
Практическая ценность диссертации состоит в том, что полученные результаты могут бьпь использованы для подбора параметров ультразвуковых устройств, применяемых для просвечивания акустических сред через неоднородные среды (работа вьшолнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 01-01-00454, 04-01-00069 и программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» НШ-2113.2003.1).
На зашиту выносятся результаты, сформулированные выше в разделе научная новизна.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (Ростов-на-Дону, 2003 г.), 8-й Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2002 г.), 3-й Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г.), на семинарах кафедры теории упругости РГУ.
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в работах [1-4], список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертационной работы составляет 80 страниц, список литературы включает 47 наименований.
Общее представление решения уравнений стационарных колебаний
Важным циклом работ аналитического направления для изучения волновой картины в слоистых средах являются работы [24, 25, 26] по применению матричной технологии в теории слоистых сред: каждый слой характеризуется своей матрицей, определяемой параметрами слоя. Для определения характеристик волны, прошедшей несколько слоев, соответствующие матрицы следует перемножить. В терминах произведения матриц характеризуется также и дисперсионное уравнение.
Несмотря на то, что проблеме распространения волн в неоднородных телах посвящено большое количество работ [1, 2, 3, 4, 17, 18, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47], вопросу поведения волновых полей в окрестности критических частот посвящено сравнительно небольшое число исследований. Одним из первых таких исследований, где задача математически изучалась достаточно полно, была работа [8]. Для твердых волноводов типа цилиндра математическая сторона вопроса детально была исследована в [13].
Проблема затухания нормальных волн в однородной полосе на основе метода комплексных модулей упругости (комплексных скоростей РН и PS-волн) подробно исследована в [5, 22], однако из поля зрения авторов этих работ выпал особый случай - затухание волн в окрестности критических частот. Этот случай для однородного слоя детально изучен в [10], а для слоя, лежащего на поверхности идеальной акустической среды — в работе [20]. В [19] рассмотрена задача об определении амплитудно-частотной характеристики упругой полосы, лежащей на поверхности жидкости на критических частотах при воздействии на внешнюю лицевую поверхность пластины сосредоточенной, периодически меняющейся нагрузки.
В диссертационной работе обосновываются и защищаются следующие новые выводы: - методы определения коэффициента затухания в поперечно-неоднородном слое на критической частоте, порожденного внутренними потерями; - реализация методов для трехслойной пластины на критических частотах; - построение алгоритма подбора нагрузки с целью локализации колебаний; - реализация алгоритма для трехслойной пластины; - исследование затухания нормальных волн в двухслойной полосе, лежащей на поверхности акустической среды; - исследование проблемы просвечивания акустической среды через двухслойную пластину.
Актуальность поставленных и исследованных задач вытекает из недостаточного уровня их исследования и практической значимости для создания устройств ультразвукового просвечивания акустических сред через упругие стенки.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.
В первой главе на основе трехмерных уравнений теории упругости рассматривается задача о гармонических колебаниях поперечно неоднородной пластины, физико-механические свойства которой описываются произвольными кусочно-непрерывными функциями. Строится общее представление решения уравнения стационарных колебаний.
Во второй главе задача при однородных граничных условиях на лицевых поверхностях пластины сведена к двум спектральным задачам с парой спектральных параметров, роль которых выполняет круговая частота и волновое число. Особое внимание уделяется критическим частотам, при которых в спектре волновых чисел существуют кратные собственные значения.
Дается их классификация и получены дифференциальные уравнения, описывающие распределение критических мод в области, занятой пластиной.
В третьей главе рассматриваются колебания трехслойной пластины симметричного строения, при этом исследуется затухание нормальных волн на критических частотах методом, основанном на введении комплексных упругих характеристик. Решается задача локализации колебаний на критической частоте путем подбора распределения амплитуды внешней нагрузки.
В четвертой главе рассматривается задача о распространении и затухании волн в упругой двухслойной полосе, лежащей на поверхности идеальной сжимаемой жидкости, на критических частотах. Решается проблема локализации колебаний таким образом, чтобы подвить распространение звуковой энергии вдоль пластины. Методом стационарной фазы изучаются возможности формирования диаграмм направленности звукового давления в акустической среде. Построенная теория иллюстрируется серией расчетов для систем сталь-резина-вода, сталь-резина-воздух.
Критические частоты и моды
Здесь а = щ, а2 } - вектор-функция, штрих означает производную по z, С = Су L В = ШуII, А= Ajj - матрицы-функции (В - матрица транспо нированная к матрице В ), со следующими отличными от нуля элементами: Сц =//, С22 = А + 2/л, В]2 = //, В2\ = А, Л] = А + 2{г, А22 = /л Обозначим через Л], Л2 спектры задач (3.2), (3.3) по параметру к. При любом вещественном значении частоты со спектр Л = Л д. KJ Л/я- (/? = 1,2), где подмножество Ар. содержит конечное число 2R собственных значений (СЗ), симметрично расположенных на вещественной оси, Л] . — неограниченное симметричное множество, состоящее из вещественных СЗ, Л2 — симметричные неограниченные множества комплексных СЗ (чисто мнимые СЗ также будем относить к категории комплексных).
Если kv є Л(, к„ є Л2 — простые СЗ, то им соответствует однородное элементарные решения первого (индекс v) и второго (индекс р) рода, которые определяются следующими выражениями u]v = av(z)d2m2v, ulv = -av(z]d]m2v, u3v = 0 (3.4) Am2v + h mlv = 0, m2v = m2v(xux2) U\P = lp(z)d\mip U2P = а\Р{г)@2т\р ЩР = іквірфЩр (3.5) iSmXp + k2pmXp = 0, щр = mXp(xux2)
Частоту (Ос будем называть критической, если среди СЗ кп є Л ,-(fi ) существует кратное СЗ кс. Пару (кс,0)с) назовем критической, а элементарные решения, соответствующие критической паре, будем называть критическими модами.
Рассмотрим случай, когда кс = 0. Подстановка к = 0 в (3.2) приводит к следующей задаче, для определения множества критических частот: 0«іУ+/х»2ло=О, %( )= О (4.1)
Подстановка к = 0 в (3.3) приводит к двум задачам для определения множества критических частот:
Рассмотрим вначале задачи (4.1), (4.2), которые хотя и совпадают, но являются следствием двух различных задач (3.2), (3.3). Множества значений ю = сог {г — 1,2,...), при которых эти задачи имеют нетривиальные решения, назовем критическими частотами первого рода. Соответствующие собственные функции 3Q, Л01 обозначим через щг. При этом собственный вектор задачи (3.3) имеет вид а0г = {# о - 0}. Поскольку к — 0 — кратное СЗ, то корневые подпространства исходной задачи (3.3) не исчерпываются собственным вектором. У задачи (3.3), как показывают исследования [10, 13], проведенные для однородной пластины, в зависимости от параметров возможны различные варианты. Обратимся к их описанию.
Для этого рассмотрим задачу (3.3) и составим уравнения для определения присоединенных векторов. Имеем Z(0, юг )лтг = Fmr, т = 1,2,... (4.4) Flr =-atZ(0,air 0r. Fmr =-dkZ(0,o)r)am_]r - д\ъ(0,а г)&т_2г Здесь д% — производная по спектральному параметру к. Поскольку каждая из задач (4.4) является «задачей на спектре», то существование их решений возможно только при выполнении условий
При т = 1 из уравнения (4.4) вытекает, что а1г = У оГуЩг2} где а1г2 определяются решением задачи
Если d]r О, то жорданова цепочка исчерпывается двумя векторами a0r» а1г если d\r = О, то существует еще, по крайней мере, пара присоединенных Векторов &2г » а3г
Рассмотрим теперь задачу о построении элементарных решений (мод), соответствующих критическим парам (0,й г). В этом случае значение kc = 0 по совокупности элементарных решений первого и второго рода является четырехкратным, если d\r Ф 0, и имеет более высокую кратность (всегда четную), если dlr = 0. Для получения системы дифференциальных уравнений, описывающих распределение амплитуд критических мод по переменным хх, х2 можно воспользоваться приемом, использованным ранее [9,32].
Пусть d]r 0. Тогда множество элементарных решений, соответствующих критической паре (0,й г) определяется соотношениями для компонент вектора смещений Если в спектрах Л], Л2 есть одинаковые по величине критические частоты первого и второго рода (б)с cor = а)д, третий особый случай), то спектральной паре \0,о)с) соответствуют продольная и поперечная критические моды вида "а = вОгФа «3 = » $\b\ + 52&2 = t $2Ь\ $\Ъ2 = Ua = 0, «з =a0q2
Описанные случаи критических частот и мод не исчерпывают всех возможных. Известно [14], что в однородном слое отдельные дисперсионные кривые w = 0)\к) могут иметь локальные минимумы на спектральных парах (±с,й)с), кс 0. Согласно [11, 13] такие спектральные пары принадлежат дисперсионным кривым, для которых в их истоке (0, (Ос) выполняются условия d\r 0 \сІ2д 0J.
Исследование затухания волн методом теории возмущений
Эффект просвечивания акустической среды через твердую стенку (упругую однородную или слоистую пластину) зависит от ряда факторов. Так, например, если возбуждать колебания системы пластина-жидкость путем гармонически изменяющегося нормального давления, распределенного по конечной области S поверхности пластины, не контактирующей с жидкостью, то, поскольку пластина — волновод, при высокочастотных колебаниях весьма вероятно, что значительная часть подводимой энергии будет распространяться вдоль пластины. В таком случае, даже в идеальных системах (не учитывающих внутренние потери в материале пластины и жидкости) просвечивание не будет эффективным. Поэтому возникает проблема локализации колебаний в окрестности области приложения внешнего давления. Эта проблема была достаточно подробно исследована для однородной пластины, лежащей на поверхности жидкости [20], причем частота возбуждения колебаний совпадала с одной из критических частот пластины. Эффект просвечивания определяется также диаграммой направленности звукового поля в жидкости, которая при заданных параметрах пластины, существенно зависит от распределения амплитуды давления и геометрических параметров области S.
Постановка задачи.
Рассмотрим задачу о распространении волн в двухслойной упругой полосе, лежащей на поверхности акустической среды.
Декартову систему координат л х2 (рис 4,1) выберем так, что 5j ={- » JC] ос 0 х2 й]}, 5,2={-oo x1 oq/ij jf2 A} - подобласти составной полосы, й(, А 2 — толщины слоев, /г = /11+/. So = {- i ос 2 - } область, занятая акустической средой. Обозначим через ft.-, .-, /7.- модули сдвига, коэффициенты Пуассона, плотности материалов (соответственно j —1,2 ).
Пусть волновые процессы в области SJU USQ возбуждаются нормальными напряжениями, приложенными к лицевой поверхности л; 2= 0, и изменяются по гармоническому закону ехр(— icoi). Описанная задача сводится к нахождению решений в областях S .- уравнений гармонических колебаний
Оператор U( ) каждому вектору Y0 = [у l0,y 20. 30 40]» гДе m0 =ут(0), ставит в соответствие вектор Y(j, который удовлетворяет уравнениям (10.1) и условию непрерывности (10.3).
Элементы матриц U( ) и U = U(l) обозначим соответственно через Uтп( ) и &тп (m»w==l»2,3,4). С учетом принятых обозначений и граничных условий (10.2) имеем Yo = ivio 2oA/J где у к), у 20 - произвольные постоянные. Параметры /г, и Kj характеризуют отношение волновых сопротивлений поперечных и продольных волн соответственно.
Нули функций і(П) и /)2(П) будем называть критическими частотами первого и второго рода соответственно и обозначим их Q (/. и П 2г (г = 1,2,...).
Обозначим через Y = {Y Y }, Y = [ , 2 3 4] собственный вектор (СВ), соответствующий критической спектральной паре. Его j компоненты имеют следующую структуру: Y = [y?jl ,0,0, jy4 j Д ir и -компоненты У/ Р» 2» уз»Ч Д 0.2г- Поскольку ус =0 - кратное СЗ, то возможно существование присоединенного вектора Y = JVJ , Y2 L 7 которого определяются решением неоднородной задачи
Элементарные решения wy- описывают толщинные резонансы (продольный и поперечный). Элементарные решения w.-, как следует из выражений (11.7), (11.8), неограниченно растут при % —»±оо, что является следствием предположения об идеальной упругости материалов полос и отсутствия излучения энергии через лицевые поверхности в силу принятых граничных условий (11.1). Заметим, что условие (11.6) эквивалентно условию (0,ПС) 0 (11.9)
Если d = О, то существует по крайней мере еще два присоединенных вектора (11.3) Y = У ,У2) {s 2,3), у-компоненты которых определяются решением неоднородных задач Заметим, что резонансные моды не переносят энергии вдоль полосы, поскольку их удельный средний за период поток энергии через поперечное сечение полосы равен р j= Jw Jw a = Q, w =w, ,w2J
Это свойство резонансных мод, как будет видно из дальнейшего, оказывается важным в проблеме локализации колебаний в окрестности конечной области приложения внешней нагрузки сг]22І/-=0 — М\ [)
В заключение этого параграфа заметим, что для каждой резонансной частоты уравнение (П-3) имеет конечное число 2N вещественных корней а =±а„ (« = 1,...,#;«„ 0) и счетное симметричное множество комплексных Yk- Хорошо известно [13, 14], что потоки энергии мод, соответствующих вещественным корням (однородным модам), отличны от нуля, потоки энергии, соответствующие комплексным корням (неоднородным модам) равны нулю. Поэтому только однородные моды «ответственны» за перенос энергии в неограниченном волноводе.
Квазикритические и квазиоднородные моды и локализация коле баний
Приведем некоторые результаты численного исследования задачи. Расчеты проводились для системы сталь-резина-вода со следующими значениями параметров:
Мнимые части ус , уп наглядно иллюстрируют разницу в скорости затухания квазикритической и квазиоднородных мод. Заметим, что в данной задаче затухание выбранных мод обусловлено излучением звуковой энергии в полуограниченную акустическую среду (в воду).
На рис.4.3 приведен график распределения амплитуды внешнего давления g{%) (использовананормировка g{ )d \\ при котором амплитуды однородных мод в областях ] а\ равны нулю.
На рис.4.4 приведены графики и22(Л); сплошная линия соответствует распределению давления g\g) и иллюстрирует локализацию колебаний в окрестности области приложения внешней нагрузки, штриховая линия - распределению давления g ()=0.08333 \ а).
На рис. 4.5 изображена характеристика направленности поля давления в дальнем поле, соответствующая распределению давления g{) при C = Q2i (сплошная линия) и распределению давления g ( ) = 0.08333 ( а) (штриховая линия). При этом длина звуковой волны в воде Л1В = 2.4519А, или т = ah/X\B = 2.447. Из приведенных графиков видно, что для распределения давления g\q) характеристика направленности не имеет боковых лепестков и имеет характер остро направленного луча, в то время как для распределения g () характеристика не обладает этим свойством.
На рис. 4.6 показана зависимость максимального давления в воде в дальнем поле от частоты. Этот рисунок наглядно иллюстрирует рост амплитуды давления в окрестности критических частот второго рода (поперечный резонанс).
На рис. 4.7 изображена характеристика направленности поля давления в дальнем поле, соответствующая распределению давления g\) при Q = Q22 (длина звуковой волны в воде - = 1.061/г, т2 —ahjA B =5.655). На рис. 4.8 изображена характеристика направленности поля давления в дальнем поле, соответствующая распределению давления g () = 0.08333 ( я) при П = Q 22 = 5.51. Из сравнения рисунков видно, что в данном случае характеристики направленности практически совпадают и имеют более острую направленность.
На рис. 4.9 изображена характеристика направленности поля давления в воздухе со следующими значениями параметров /?0=16г/лі3, CQ =330 м/с, соответствующая распределению давления g{) при } = П2і (длина звуковой волны в воздухе Я]В = 0.543Л, Wj =11.047). В случае С1 = С122 ( 2в =0.235Л, т2 =25.532), а также для распределения давления g ( ) = 0.08333 Й) при Q = Q2l и = 22 характеристика направленности практически остается такой же, как и для случая Q — Q 21 Кроме того были проведены расчеты для а = 0.5, /й2 =0.921. Изменение параметра а практически не повлияло на вид характеристики направленности.
На рис. 4.10 показана зависимость максимального давления в воздухе в дальнем поле от частоты. Из графика видно, что излучение в воздух можно осуществить только на критической частоте. Так, например, если П = П2у± 0.001 0 = 12,3), то ± . m«&j±M0l)_a072i ± 023 ± =0064 в то время как для воды
Из проведенного анализа вытекает, что для системы сталь-резина-воздух излучение в воздух через двухслойную пластину можно осуществить только на резонансных частотах второго рода.
Была проведена серия расчетов для исследования влияния внутренних потерь в материале пластины на характеристику направленности поля давления в воде. Были введены комплексные модули На рис. 4.11 изображена характеристика направленности поля давления в дальнем поле в воде при учете влияния внутренних потерь в полосе, соответствующая распределению давления g\) при Q = 021.
