Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СТЕРЖНЯ С НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕОЛОГИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ 18
1.1. О модели 18
1.2 Продольный удар о постоянной скоростью по недеформированному стержню 22
1.5 Автомодельная задача. Решение в окрестности
фронта 23
ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК 44
2.1 Дифференциальные уравнения характеристик и-условия на характеристике 44
2.2 Решение методом характеристик 46
ГЛАВА III. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
И ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН 54
3.1 Постановка задачи. Волновая схема движения тела 54
3.2 Алгоритм расчета распространения волн в окрестности фронта волны 58
3.3 Алгоритм расчета распространения и отражения волн 63
3.4 Анализ результатов численного решения 67
ГЛАВА IV. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРА НЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН ПРИ УДАРЕ 86
4.1 Постановка эксперимента 86
4.2 Исследование динамических свойств материалов по отраженным от закрепленного конца волнам. 94
4.3 Сравнение результатов численного исследования с экспериментальным и построение фазовых диаграмм напряжения-деформации 102
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ИЗ
Л И ТЕ Р А Т У Р А И5
- Продольный удар о постоянной скоростью по недеформированному стержню
- Дифференциальные уравнения характеристик и-условия на характеристике
- Постановка задачи. Волновая схема движения тела
- Исследование динамических свойств материалов по отраженным от закрепленного конца волнам.
Введение к работе
При расчетах на прочность во многих областях современной техники возникает необходимость принимать во внимание динамические эффекты материалов при ударных воздействиях. Прежде всего, это относится к исследованию воздействия на тела кратковременными интенсивными нагрузками и к изучению на основе этого исследования упруго-пластических и вязких свойств материалов. Эти свойства оказались существенными для описания поведения ряда новых материалов (в частности, полимеров), характеристики которых резко чувствительны к изменениям скоростей деформаций.
Исследования явления удара по тонким стержням, нитям и мембранам занимают важное место в динамике деформируемого твердого тела. Исследование распространения волн для всякой новой модели среды начинается с изучения плоских продольных волн и ложится в основу решения более сложных задач. Кроме того, продольные волны сопутствуют явлению поперечного удара в гибких связях. Развитие теории распространения волн в реологических средах было вызвано изучением динамического поведения металлов за пределами упругости и широким применением синтетических материалов. Исследования по теории волн в данной работе являются новым этапом в развитии теории неупругих волн, а именно, совершен переход от явлений, описываемых квазилинейной системой в частных производных первого порядка, к явлениям, описываемым квазилинейной системой второго порядка. Это было связано с необходимостью описания волн в полимерных нитях, что оказалось невозможным в рамках известных моделей. - 4 _
С развитием техники, с ростом ее скоростных показателей, с тенденцией к легкости все более широкое применение находят гибкие связи (нити, нитевые системы, мембраны, ленты и др.)» противостоящие импульсивным воздействиям. Изучение движения гибких связей приводит к интересным и важным для теории геометрически нелинейным задачам. Исследование поперечного удара по нитям связано с решением геометрически нелинейных задач, в рамках одномерной теории и простого напряженного состояния. Нить, подвергающуюся поперечному удару,можно встретить в задерживающих системах, в текстильном и швейном деле и др. Особо нужно отметить, что исследования по динамике нити могут служить теоретической основой для экспериментального определения динамических свойств материалов. Однако, задачи по динамике нитей весьма сложны в математическом отношении и эффективно могут быть решены только с использованием комбинации различных методов: аналитических, численных и экспериментальных.
Теоретические исследования задач о распространении упруго-пластических волн были начаты примерно в 40-х годах. Эти годы фактически явились периодом зарождения основ динамической теории пластичности. Основополагающие результаты в этой области принадлежат советскому ученому Х.А.Рахматулину, который в работе 61 впервые ввел понятие о волне разгрузки и решил обратным методом задачу о волне разгрузки. Позднее были опубликованы работы Т.Кармана и П.Дюве 28І , Д.Тейлора 97 , Х.А.Рахматулин, Т.Карман и П.Дюве исследовали распространение упруго-пластических деформаций, используя координаты Лагранжа. Та же задача в Эйлеровых координатах рассматривалась Д.Тейлором. Г.С.Шапиро 83I разработал прямой метод определения волны разгрузки с использованием метода конечных разностей. Последующие исследования освещены в работах Х.А.Рэхматулина (61 -70J , Г.С.Шапиро /65 , 84J, М.Уайта и Л.Графиса І98І , И.Крегса JS7J , Е.Ли и С.Таппера/89|, Х.Рихтера /94-1 и др.
Г.А.Домбровским и Г.В.Литвиновым 181 получено общее решение уравнений, описывающих продольное движение стержней для некоторых видов аппроксимации зависимости напряжение-деформация,и изучены некоторые задачи, в частности, задача о многократном отражении. Ряд задач об отражении и преломлении упруго-пластических волн были рассмотрены в работэх|22, 70 . Одновременно проводились экспериментальные исследования для определения динамических свойств материалов, а также для подтверждения допущений и результатов теоретического анализа. Первым исследованием, где рассматривались упруго-пластические волны при сложном напряженном состоянии, была работа Х.А.Рэхматулина /221. В ней был проведен качественный анализ распространения упруго-пластической волны в условиях сложного нагружения. Рассмотрено распространение накладывающихся волн сжатия и сдвига.
На основе теории распространения упруго-пластических волн разработаны методы нахождения динамической зависимости "напряжение-деформация" и определены свойства ряда конструкционных материалов 17,8,29,30,71,72J .
Несмотря на то, что упруго-пластическая модель во многих отношениях правильно отражает динамическое поведение ряда материалов, в последние десятилетия имеет место тенденция уточнения математического описания динамических свойств материалов. Явным свидетельством ограниченности упруго-ррэстической теории послужили опыты Б.М.Малышева 144,4-5 J и некоторые другие экспериментальные факты, в которых было обнаружено, что догрузочный импульс распространяется со скоростью упругих волн, а не со скоростью, определяемой динамической диаграммой.
В динамических задачах скорости деформации велики, и влияние их на кривую деформации может оказаться заметным. Исследование влияния скорости деформации и релаксационных свойств на продольные колебания стержня было проведено А.Ю.Йшлинским /2? I. Задача о распространении возмущений в полуограниченном стержне из материала Томпсона решена И.Н.Зверевым 21 I . Распространение возмущений в стержнях из материала Максвелла исследовано в работе І88І. Для описания динамического поведения материалов за пределом текучести В.В. Соколовским І77/ была предложена модель tudt-jt еолиial где 3? = SLqn (Г , (Г0 - предел текучести, К - физическая постоянная. Им рассматривается полубесконечный стержень с переменным поперечным сечением. В числовом решении сделано следующее упрощение для функции, выражающей релаксационные свойства материала:
В работе [78J В.В.Соколовский решает задачу распространения цилиндрических волн сдвига в бесконечном теле. В обоих случаях интегрирование уравнений осуществляется методом характеристик. Аналогичные исследования были проведены в 1951 году Л.Малверном І9ІІ , который первый обобщил физические зависимости следующим образом: где f(~fl])- функция, определяемая с помощью статических характеристик для простого растяжения. Используя это соотношение, Л.Малверн решил методом характеристик задачу о распространении волн в полубесконечном брусе. В другой работе этого же автора |92/ релаксационная функция ф разложена в ряд Маклорена. Из этого разложения можно получить линеаризованное физическое соотношение В.В.Соколовского. Следующей работой, содержащей определенные элементы новизны, явилось исследование Р.Рубина [95J, который рассмотрел задачу о распространении продольных волн в предварительно напряженном до предела текучести стержне. В работе применено следующее физическое соотношение гдхи _ d(j .орг/ґг-р ди )
Автор рассмотрел граничную задачу для полубесконечного стержня. Методом преобразования Лапласа получены интегральные представления решений, исследованы асимптотические свойства решения. Е.Ли (90J показал, что рассмотренный Р.Рубиным случай может быть обобщен на стержень без предварительного напряжения. Е.Ли записал физическую зависимость в следующем виде:
Пользуясь подстановкой (г = (г- (Го у г = е ~y он привел задачу к уравнению, исследованному Р.Рубином.
Л.В.Никитин /521 рассматривает распространение волн сдвига в круговом стержне за счет скручивающей импульсной нагрузки. Распространение волн сдвига в бесконечной пластине за счет поперечного удара вращающегося жесткого цилиндра исследовалось В.Н.Кукуджановым J38J . Это исследование представляет собой обобщение работы А.М.КочетковзJ36J, который решил проблему упруго-вязко-плэстических волн в бесконечной пластине за счет удара вращающегося цилиндра. П.Пежина 193] изучил вопрос о распространении сферических и цилиндрических волн в бесконечном упруго-вязко-пластическом теле. Он рассматривает тело в рамках модели, полученной наложением модели Максвелла и вязко-пластической модели с параллельным соединением вязкости и пластичности. Физические зависимости для такой модели были предложены А.Фрейден-талем |82j.
В обширном обзоре 13 излагаются феноменологические представления о построении динамических зависимостей между напряжениями и деформациями, о роли функционалов, характеризующих историю деформирования, и так называемом коэффициенте динашчес- кой чувствительности, характеризующем влияние скоростей деформаций на динамическое поведение материалов.
В статье /85/ дан единый подход к построению математических моделей, описывающих разрывные процессы. В работе/96 I описываются основные результаты последних теоретических и экспериментальных исследований в нелинейной вязко-упругоети, связанные с изучением процесса распространения волн. Дано унифицированное представление одномерных волн в нелинейных материалах с затухающей памятью, подчиняющееся функциональному соотношению с - история деформаций. Детальный разбор ряда вопросов по динамике реологических сред можно найти в статьях и монографиях [25,34,37,7l] .
В последние годы разрабатываются методы исследования распространения волн при общих определяющих соотношениях. В работах кз,8ІІ даны методы решения динамических задач линейной вязко-упругости.
Одним из проявлений временного фактора является запаздывание текучести. Это явление свойственно малоуглеродистым сталям, в которых при динамическом нагружении сверх предела текучести металл еще некоторое время остается упругим. Описанию явления, а также вопросу распространения волн в этих средах посвящены работы |40,60,79 I .
В связи с исследованием упруго-пластических волн начались интенсивные исследования динамического поведения материалов. Значительно развилась техника эксперимента. Ударное нагружение образцов осуществляется на копрах с падающим грузом, на маятниковых и ротационных копрах, пневмо-газовыми и пороховыми пушка- ми. Измерение механических параметров ведется механическими, фотографическими, оптическими и электрическими методами. Методы и результаты экспериментальных исследований широко освещены в литературе 117,19,35,44,59 І . В последнее время широкое распространение получил составной стержень Гопкинса. Однако при ско-ростях деформаций порядка 10 сек х применение его в силу ряда факторов усложняется. Если экспериментальнону исследованию динамических свойств материалов на основе теории упруго-пластических волн посвящено большое число работ, то об исследованиях волновыми методами вязко-упругих свойств почти ничего неизвестно. Исследование вязко-упругих свойств материалов при высоких скоростях носит пока оценочный характер 13,76 .
В связи с тем, что подробное изложение этих и других вопросов с соответствующим анализом приводится в монографиях и обзорных статьях 10,11,12,15,16,23,24,53,57,58,73,75 | , мы на них не будем останавливаться, а приведем лишь результаты некоторых важных исследований, опубликованных за последние годы и имеющих непосредственное отношение к теме диссертации.
Основы теории поперечного удара по гибким связям были заложены X. А. Рэхма тули ным. В работах 168,69 он впервые поставил и решил задачу о поперечном ударе острым клином (точечный удар) по гибким нитям при упругих и упруго-пластических деформациях и этим положил начало теории поперечного удара по гибким деформируемым связям при больших отклонениях формы от первоначально-прямолинейной. Общая теория продольно-поперечного удара по гибким связям отлична от обычно принятой "линейной"постзновки с учетом значительного отклонения формы нити от первоначально - II - прямолинейной, нелинейностью зависимости напряжения от деформации, а также спецификой граничных условий в области соприкосновения нити с ударяемым телом. Решение, найденное Х.А.Рзхмэтули-ном в цитированной выше работе, показывает, что часть нити имеет прямолинейную форму и по ней распространяется волна Римэнз. Автор вводит схему движения с одним изломом и выводит условие на изломах, т.е. в точках перехода поперечного движения в продольное и определяет деформацию и все характерные параметры нити.
За последние годы большое внимание привлекали полные уравнения, которые описывают движение деформируемой нити при больших прогибах 4-2,71 . Частично этот интерес обусловлен техническими приложениями физических явлений, описываемых этими уравнениями. Например, в работе 29 рассмотрена задача о поперечном ударе, имеющая точные решения типа простых волн, и показано, что эти уравнения обеспечивают фундаментальную теоретическую основу для проведения экспериментальных исследований поведения материалов при больших динамических деформациях и высоких скоростях деформирования.
В работе 120 рассмотрена задача о поперечном ударе по гибкой нити столь тупым клином, что его щеки оказывают влияние на характер движения нити. Особенность предложенной схемы решения поставленной задачи заключается в том, что вводятся сосредоточенные силы в точках излома; предполагается, что в области поперечных движений нить прилегает к щеке клина.
Автор работы 4-І вводит другую волновую схему движения при решении задачи об ударе тупым клином по гибкой нити, а именно, предполагается, что в области поперечных движений нить не приле- гает к щеке клина, а отскакивает от него. Обнаруженное им явление изучено как теоретически, так и экспериментально.
В работе 55I изучено распространение слабых и сильных разрывов в нитях с использованием системы уравнений, раздельно характеризующей продольные и поперечные возмущения. Выявлены условия существования сильных разрывов. Установлено существование продольно-поперечных волн, которые могут быть и слабыми, и сильными. В работе 56 также исследуется распространение волн при ударе по гибкой нити. Обобщены решения задач об ударе по нити на случай произвольной зависимости Т(). Показано, что типы волн и их положение в волновой схеме определяются натяжением и его первой и второй производными по деформации.
Авторы работы І86 несколько иными методами повторили исследование Х.А.Рахматулинэ |62J, рассмотрев частный случай - нормальный удар по гибкой нити при линейной зависимости натяжения от деформации.
В работах /6,54 исследовалась динамика пространственных форм гибких связей. Первыми были рассмотрены задачи об ударе гладким конусом по нити \в I и были решены автомодельные задачи. В работе /54-J был найден класс частных решений уравнений движения нити на поверхности абсолютно гладкого конуса.
Исследованию динамических задач деформируемых твердых сред с помощью численных методов посвящено много работ /26,33,56,73, 74,80 1 .
В работе /56 I рассматривается решение волновой задачи об определении усилий, возникающих в гибкой растяжимой нити бесконечной длины при поперечном ударе с переменной скоростью. Зави- - ІЗ - симость натяжения от деформации в общем случае предполагается нелинейной. В работе проведены расчеты двух вариантов для случая закона Гука.
В работе І80 дано решение задачи об ударе по конечной нити с массами на концах. В статье предлагается численный метод для решения указанной задачи, отличный от метода характеристик. Задача приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое интегрируется методом Рунге-Кутта.
В работе І73 I дается численное решение уравнений движения гибкой нити при многократных отражениях продольной волны от границ. Показывается, что для решения задачи очень эффективно могут быть применены однородные разностные схемы.
Работа 133 посвящена исследованию движения гибкой бесконечной нити, обладающей упруго-вязко-пластическими свойствами и подверженной поперечному нормальному удару с постоянной скоростью. При решении задачи используется численный метод характеристик, где закон деформирования принят в виде Мальвернэ-Соколов-ского.
Работа 174 посвящена изучению метода вычислительного эксперимента, как одного из основных математических средств исследования крупных научно-технических проблем, в частности, в области механики и ядерной физики.
В работе /14I приводятся экспериментальные результаты исследований полимерных нитей. Для описания кривых деформирования капрона, винипласта была использована модель стандартного линейного тела: где Т - время релаксации, - модуль длительного сопротивления, Ел- модуль мгновенной упругости. Показано, что при деформациях выше двух процентов эта модель оказалась мало пригодной для описания исследуемого процесса.
В работах 131,32 в основу исследований принят квазилинейный закон деформирования в виде Шё = & + Ф(*) dt dt который объединяет упруго-пластические и вязкие свойства материала. На основе этого закона деформирования разработаны два метода определения динамических характеристик, основанных на численном интегрировании уравнений движения с помощью ЭВМ и замерах натяжений в закрепленном конце образца при поперечном ударе.
Поперечный удар по нитям при различных случаях вязкого сопротивления растяжению исследован Д.Г.Агэлэровым /I-5J. Изучено влияние временных факторов на движение нити и дано объяснение экспериментально наблюдаемым явлениям. В работах [1-3, 7,8J автором решены ряд задач об ударе по вязко-нелинейно-упругим стержням. В основу исследований положено определяющее уравнение состояния, обладающее одновременно нелинейной-упругими и вязкими свойствами. dt Е(Ю dt *( J u; отличающееся от модели В.В.Соколовского /77 I переменностью модуля упругости. В работе [8J дана методика определения вязко-упругих характеристик материалов, подчиняющихся закону деформи- рования (I).
Задача о распространении и отражении волн в неупругих нитях при зависимости (I) численным методом характеристик исследована в работе |2б .
Однако вышеприведенные исследования в этой области показали, что полученные результаты совпадают в начальном этапе нагру-жения. Вместе с тем обнаруживаются некоторые несовпадения наибольших значений кривых. Отличие кривых вызвано реологическими эффектами высших порядков, не охваченных уравнением состояния (І). В случае, когда экспериментально полученные кривые зависимости 6 - t для различных скоростей удара расходятся веерообразно, модель типа (I) не подходит І72І .
В настоящее время большое внимание уделяется адекватным моделям. Однако при высоких скоростях деформирования некоторые явления оказываются вне поле зрения теории. В частности, размывание слабых разрывов при распространении волн не охватывается теорией, базирующейся на квазилинейном соотношении с производными напряжения и деформации первого порядка.
В работе /821 отмечено, что наиболее общее соотношение между напряжениями и деформациями должно иметь следующий вид: Ffaj, fy, fy... .v,v-,y,.--,M
Соотношения вида (2), включающие производные выше второго порядка, имеют небольшую практическую ценность, поскольку использование их требует задания большего числа начальных условий, чем число условий, которое обычно можно установить на основе физических соображений.
В предлагаемой pa боте исследуются распространение и отражение неупругих волн при законе деформирования, содержащем вторые производные параметров состояния - деформация, (Г - напряжение, і - время, <f(
Изучается влияние реологических эффектов высших порядков на процесс распространения и отражения волн в стержнях.
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
Во введении приводится краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации.
В I первой главы вводится понятие о квазилинейной модели, содержащей вторые производные параметров состояния. В 2,3 формулируется постановка автомодельной задачи и строится решение в окрестности фронта волны.
В I второй главы уравнение о распространении продольных волн сводится к квазилинейному гиперболическому уравнению второго порядка. Приводятся уравнения характеристик и условия на них. В 2 той же главы методом характеристик исследуется распространение волн в гибких связях при ударе.
Третья глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена численному решению задачи о распространении продольных волн в стержнях при заданных начальных и граничных условиях. Разрабатываются алгоритмы расчета распространения и отражения волн. Дан соответствующий анализ полученным численным результатам.
Четвертая глава состоит из четырех параграфов. В I формулируется постановка эксперимента и приводятся формулы для определения скорости удара. В исследуются динамические характеристики ряда материалов по отраженным ит закрепленных концов волнам. 3 посвящен построению фазовых и предельных диаграмм напряжения - деформации.
В работе результаты исследований представлены в виде таблицы и графиков.
В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.
Продольный удар о постоянной скоростью по недеформированному стержню
В данной работе в основу исследования волновых процессов положено следующее квазилинейное определяющее уравнение состояния
Имеются два подхода для вывода, т.е. для подтверждения важности данного уравнения при исследовании волновых процессов:
I) Исходя из общей зависимости (без явного учета тепловых и других физических явлений) между напряжением и деформацией, выведем определяющее уравнение состояния, содержащее вторые производные параметров. Сначала рассмотрим линейный случай
где К (і)- ядро ползучести.
В известных квазистатических опытах из-за невозможности мгновенно приложить нагрузку или дать деформацию и измерить мгновенно ядро ползучести или релаксации, начальные участки их, в частности, функции К остаются неопределенными. Обычно считается К{0)-оо . В квазистатических опытах время приложения нагрузки в лучшем случав составляет несколько тысячных долей секунды. В "волновых" опытах это время можно довести до стотысячных долей секунды. Таким образом, можно судить о практически предельных значениях К .
Полагая, что К имеет непрерывную производную на интервале 0 t о& » дифференцируем обе части вышеприведенного уравнения по -6 , получаем При малом интегралом в правой части можно пренебречь; в результате получится соотношение для тела Максвелла. Далее, рассмотрим нелинейный случай. Согласно теореме Фреше, если функция О (-6) принадлежит пространству Zp функций суммируемых в степени р или Ас - непрерывных функций на отрезке [о,tj , а деформация - есть непрерывный функционал в этом пространстве, то последняя может быть представлена в виде
Дифференциальные уравнения характеристик и-условия на характеристике
Первое уравнение - уравнение движения, второе - уравнение совместности, 8 - деформация, tf - скорость частиц, (J -условное напряжение, J% - начальная плотность, (f/(7) » 0((7) , JM-(G) " функции, характеризующие материал стержня. Нижние индексы в формуле (2.I.I) обозначают производные по координате х и по времени і
Дифференцируя первое уравнение системы (2.І.І) по sc , второе - по i. , получим
С учетом соотношения (2.1.3), третье уравнение системы (2.1.I) примет вид
Составим дифференциальные уравнения характеристик и условия на характеристики. Полные дифференциалы от величин О и 6 имеют вид
Так как вдоль кривой 2 и 2 заданы, то в уравнении (2.1.5) неизвестными являются значения которые должны, кроме того, удовлетворять уравнению (2.1.4). Итак, уравнения характеристик определяются из условия:
Заменяя любой столбец матрицы (2.1.6), составленной из коэффициентов .при неизвестных, свободными членами, имеем условия на характеристике
Далее, используя полученные данные в главе I, строим характеристическое решение на плоскости ґх7). Расчет проведен по формуле (2.2.5). Результаты расчета приведены в таблицах 6,7 и графически представлены на рисунках 3,4. При расчете в качестве данных для функции (//(?)бит использованы таблицы 1,3, что соответствует значениям реологической функции /С = /2 и К = у соответственно. Отметим, что при и, следовательно, фронт волны совпадает с характеристикой SC=Ct/oj6 , т.е. головной фронт распространяется со скоростью упругой волны.
Анализ полученных результатов показывает, что при (случай нелинейной упругости) в малой окрестности фронта распространяются только центрированные волны. При малом /С - f
( /С -У , таблица 6, рис.3) по мере удаления от фронта рядом с центрированными волнами возникают волны, не выходящие из начала координат, а из точек. При больших значениях реологической функции , таблица область распространения центрированных волн еще более уменьшается. На рисунках 3,4 штриховые линии соответствуют области постоянного значения параметров, сплошными линиями характеризуется функция Н т) Как видно из рисунка, как в случае
К Ц , так и К - /2 головной фронт распространяется со скоростью упругой волны. На рисунках наблюдается искривление характеристических линий при достаточном удалении от головного фронта. Это объясняется влиянием реологической функции $/&) , входящей в квазилинейную модель (I.I.I). Исследование распространения волн методом характеристик показывает, что в отличие
Постановка задачи. Волновая схема движения тела
Волновая схема движения тела согласно картограмме (рис.3) показана на рис.5.
В плоскости (х,6) областям (0 У) соответствуют: область (о) плоскости/г, j соответствует продольной невозмущенной области; она ограничена осью ОХ и характеристической линией 06 - передним фронтом центрированной волны; область (I) ограничена в плоскости (xj і) временной линией - и соответствует решению в малой окрестности точки удара;
области (П), (Ш), ограниченные временной линией "4 , и характеристической линией /W , а также область (ІУ) соответствуют распространению волн вдоль нити;
область (У) ограничена линиями Zft и /Zf, Jв плоскости (xji) , соответствует области взаимодействия распространяющихся и отраженных волн.
Задача состоит в нахождении решения в каждой области плоскости (x i).
Для построения решения в плоскости (х:7і) используются численные методы расчета, поскольку решение аналитическими методами не представляется возможным. Следует отметить, что применение численного метода характеристик для решения задач, связанных с неустановившимся процессами деформируемых сред, оказывается наиболее эффективным.
Исследование динамических свойств материалов по отраженным от закрепленного конца волнам.
В качестве образцов были приняты следующие нити: поливнил-хлоридные, латунные, ПЭЛ, капроновые, отоженные латунные и медные, ПЭВ-2 и т.д.
Проведены испытания с измерением натяжения на обоих закрепленных концах разноудаленных от точки удара. Образец устанавливался несимметрично относительно точки удара (зажимы датчиков удалены от точки удара на расстояние 1,7 м и 0,9 м). На расстоянии 0,5 ы от точки удара в сторону ближнего датчика установлен нож для отрезания нити в момент прихода поперечной волны. Концы нити прикрепляются к пьезоэлектрическим датчикам динамических усилий, предназначенным для измерения нагрузки при динамическом нэгружении испытуемых образцов на растяжение. Данный датчик состоит из металлического цилиндрического кольца, внутренняя поверхность которого выполнена с высокой точностью. В кольцо без зазора вставлен пьезоэлемент в форме диска. Кольца снабжено захватами, расположенными по его диаметру. К покладкам пьезоэлемента припаяны провода.
При действии растягивающих усилий, приложенных к захватам, происходит обжатие пьезоэлемента по его боковой поверхности, что вызывает появление на его покладках выходного напряжения, которое посредством проводов поступает на вход двухлучевого осциллографа C8-II. Осциллограммы, натяжение-время, отраженных волн приведены на рис.18-23.
На рис.18 приведены осциллограммы для латунной и отоженной латунной нитей длиной i0- 2,6 м, с диаметром do- 0,95мм, г = 20 атм. На рисунках верхняя кривая соответствует волне, регистрируемой на расстоянии Су = 1,7 м, а нижняя - на расстоянии f-2 = 0,9 м. Для отоженной латунной нити верхняя кривая не зарегистрирована.
На рис.1Э приведены осциллограммы ПЭЛ, do = 0,31 мм, = 10 атм и ПЭВ-2, d0 = 0,18 мм, Р = 10 атм.
На рис.20 приведены осциллограммы отоженной меди, d0= 0,65 мм, Р = 20 атм и капрона, do- 2,9 мм, Р- 20 атм. На рисунках 21-23 показаны осциллограммы поливнилхлорида, do = 3,0 мм и d0= 3,2 мм, соответствующие давлениям = 3,10,15,20,25,35 атм. Скорость распространения фронта волны определяется по формуле
