Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Изгибный краевой резонанс в тонкой упругой пластине 23
1.1. Постановка задачи. Изгибная волна "рэлеевского" типа 23
1.2. Случай шарнирно опертых краев: аналитическое решение 28
1.3. Изгибные моды бесконечной тонкой пластины-полосы 34
1.4. Случаи свободных и жестко закрепленных боковых сторон: приближенное решение 44
1.5. Случай свободных боковых сторон: численное решение и результаты 54
1.6. Случай жестко закрепленных боковых сторон: численное решение и результаты 64
1.7. Краевой резонанс при антисимметричных изгибных колебаниях пластины 69
1.8. Колебания прямоугольной пластины 79
ГЛАВА II. Резонансы волны Рэлея в полуполосе 95
2.1. Постановка задачи 95
2.2. Случай перекрестных граничных условий на боковых сторонах: аналитическое решение 99
2.3. Случаи свободных и жестко защемленных сторон: приближенное решение 104
2.4. Случай свободных боковых сторон: численное решение и результаты... 134
2.5. Случай жестко защемленных боковых сторон: численное решение и результаты 145
2.6. Антисимметричные краевые резонансы 156
ГЛАВА III. Явление краевого резонанса в полубесконечном упругом цилиндре 178
3.1. Постановка задачи 178
3.2. Трехмерная поверхностная волна и моды кругового цилиндра 180
3.3. Приближенные формулы для частот краевых резонансов 184
3.4. Численное решение и результаты 188
ГЛАВА IV. Кромочные волны в полубесконечной плите 195
4.1. Постановка задачи 195
4.2. Антисимметричная кромочная волна 203
4.3. Симметричная кромочная волна 206
ГЛАВА V. Резонансы поверхностных волн в оболочках 209
5.1. Постановка задачи о колебаниях полубесконечной круговой цилиндрической оболочки 209
5.2. Поверхностные волны, распространяющиеся вдоль торца полубесконечной цилиндрической оболочки 214
5.3. Асимптотический анализ и получение приближенных дисперсионных соотношений для трех типов поверхностных волн в оболочке 222
5.4. Асимптотический анализ резонансов поверхностных волн в круговой цилиндрической оболочке 242
5.5. Постановка задачи о колебаниях продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки 259
5.6. Асимптотический анализ волн типа Стоунли в круговой цилиндрической оболочке и получение приближенных уравнений для частот граничных резонансов 265
5.7. Явления краевого и граничного резонансов в оболочках вращения 276
ГЛАВА VI. Приближенное описание резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния для полого упругого цилиндра 292
6.1. Постановка задачи о рассеянии плоской акустической волны полым упругим цилиндром и ее точное решение 292
6.2. Модель типа шепчущей галереи 298
6.3. Модель типа плоского слоя 313
Заключение 321
Литература 322
- Случаи свободных и жестко закрепленных боковых сторон: приближенное решение
- Случай перекрестных граничных условий на боковых сторонах: аналитическое решение
- Трехмерная поверхностная волна и моды кругового цилиндра
- Асимптотический анализ и получение приближенных дисперсионных соотношений для трех типов поверхностных волн в оболочке
Введение к работе
Актуальность изучения колебательных процессов в обол очечных и пластинчатых конструкциях, в том числе толстостенных, связана с их широким применением в авиастроении, судостроении, приборостроении, строительстве. Необходимость в высокой надежности работы машин и механизмов и, в то же время, в снижении материалоемкости производства предъявляет высокие требования к методам расчета и оптимизации динамических параметров конструкций, прежде всего таких важных характеристик, как резонансные частоты.
В связи с интенсивным развитием вычислительной техники в настоящее время появилась возможность рассчитать и оптимизировать динамические параметры элементов конструкций в достаточно широком частотном диапазоне. В таких расчетах возникает проблема интерпретации полученных результатов, поскольку колебания упругого тела на высоких частотах имеют весьма сложный характер. Вследствие этого большое значение приобретает разработка методов, позволяющих проанализировать рассматриваемую задачу с качественной стороны. Основой таких методов служит понимание причины возникновения явления резонанса. Если тело можно рассматривать как отрезок некоторого волновода, то для интерпретации резонансных явлений в нем, как правило, используется понятие нормальных волн, называемых также модами. В этом случае явление резонанса связывается с накоплением энергии распространяющихся мод. В большинстве случаев такого понимания резонанса достаточно для получения представления о характере динамического поведения рассматриваемого объекта. Однако этот подход оказался неприменим к явлению краевого
резонанса, впервые обнаруженному в 1956 г. Е. Shaw [158] при экспериментальных исследованиях колебаний круглого диска. Появление термина "краевой резонанс" было обусловлено локализацией области интенсивных движений около края диска. Также в работе [158] было установлено, что в окрестности частоты краевого резонанса в спектре диска существуют почти горизонтальные участки - плато. С ними связано необычное явление в распределенных колебательных системах - при существенном изменении одного из размеров тела одна из его собственных частот практически не меняется, причем это имеет место в области частот ниже частоты толщинного резонанса. Аналогичные экспериментальные работы проведены для конечных цилиндров [129,148,152,166] и прямоугольных пластин [66], при этом также обнаружено явление краевого резонанса. Результаты этих работ согласуются с результатами численного решения задач о вынужденных колебаниях прямоугольника [49,67,68,71] и конечного цилиндра [49,69,136,150], в которых были найдены резонансные частоты с локализованными около края формами и плато в спектре частот.
Слабая зависимость частот краевого резонанса от размеров тела вызвала интерес к изучению этого явления в полуполосе и полубесконечном цилиндре. Краевые резонансы в полуполосе изучались в работах П. Торвика и других авторов [126,133,135,160,161], В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко с соавторами [64,65,68,70], Ле Хань Чау [90]. Явлению краевого резонанса в полубесконечном цилиндре посвящены работы В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [72,94]. Также этот резонанс был обнаружен в работах [149,166]. В большинстве работ, касающихся краевого резонанса в полубесконечных телах отмечается, что амплитуда колебаний на резонансной частоте остается конечной. Это является следствием радиационного демпфирования краевого резонанса распространяющейся модой. Исключение составляет случай равного нулю значения коэффициента Пуассона, рассмотренный в работе В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [70]. В этом случае, как показано в работе
[70], распространяющаяся мода не связана с нераспространяющимися, и демпфирование краевого резонанса отсутствует. В работе [156] представлено математическое доказательство существования действительного собственного значения.
В большинстве упомянутых работ для получения численного решения используется метод разложения по модам, называемый также методом однородных решений. При решении задач для полубесконечной полосы этот метод является наиболее удобным, поскольку позволяет автоматически удовлетворить граничным условиям на полубесконечных боковых сторонах.
Начало исследования мод положено работами Рэлея [154] и Лэмба [146], а также работами Похгаммера [153] и Кри [130], в которых изучались моды плоского слоя и кругового цилиндра, соответственно. Подробный численный анализ уравнений Похгаммера-Кри и Рэлея-Лэмба был осуществлен только в середине двадцатого столетия. Обзор исследований этих уравнений для случая однородного изотропного материала имеется в монографии [71]. Было обнаружено, что эти уравнения на любой частоте имеют конечное число чисто действительных или чисто мнимых корней, и бесконечное множество комплексных корней. Представляя решение в виде линейной комбинации мод и определяя неизвестные коэффициенты таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям на сечении волновода, можно получить решение задачи. Для построения разрешающих систем для неизвестных постоянных применяются различные методы: метод коллокаций [166], вариационные методы [161,162], соотношения обобщенной ортогональности [15]. Возможность представления точного решения задачи бесконечной суммой мод исследовалась в работах И.И. Воровича [42,43], И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [45,46], Ю.А.Устинова и В.И. Юдовича [123], П.Ф. Папковича [99] и других авторов [63,100 и др.]. В монографии И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [47] подробно изложен метод однородных решений в применении к нерегулярным твердым волноводам, предложен
универсальный способ построения алгебраических систем для коэффициентов разложения по модам. Отдельного рассмотрения требуют случаи, когда дисперсионное уравнение имеет кратные корни [47,124]. Моды изгибных колебаний полосы в рамках теории Кирхгофа исследовались в работах [16,18,87].
В работах И.П. Гетмана и О.Н. Лисицкого [44] и И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [47] рассмотрено явление граничного резонанса при падении симметричной и антисимметричной волн Лэмба на границу раздела составной полосы. При этом отмечается, что понятие граничного резонанса может рассматриваться как естественное обобщение понятия краевого резонанса на случай двух граничащих между собой волноводов.
В настоящей работе явления краевого и граничного резонансов
объясняется накоплением энергии поверхностной волны,
распространяющейся вдоль торца либо линии стыка. Такое понимание природы упомянутых явлений позволило качественно показать наличие бесконечного спектра краевых или граничных резонансов в полуполосе в условиях плоской деформации, в полубесконечном цилиндре, в полуполосе в условиях изгиба.
История исследования поверхностных волн началась со статьи Рэлея [155]. В работе Стоунли [159] изучен аналог волны Рэлея для случая двух контактирующих полупространств с различными упругими свойствами. В настоящее время известно большое число поверхностных волн, аналогичных волнам Рэлея и Стоунли, и подробно изучены их свойства (см. работы [3,9,10,11,13,26,48,73-81,86,101] и обзоры [12,27].
В данной работе также рассматриваются явления краевого и граничного резонанса в тонких упругих оболочках.
Теория оболочек развита в монографиях В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова [41,60,92,98].
Сложность трехмерных уравнений теории упругости для оболочек не позволяет получить точные аналитические решения. Поэтому при исследовании колебаний оболочек используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений. Одним из таких подходов является использование двухмерных теорий.
Существует много путей построения уравнений двухмерных теорий оболочек и пластин. Среди прочих методов, согласно классификации [1,2], выделяются асимптотические методы. Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математически уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности. Поэтому асимптотические методы играют важную роль как при построении приближенных уравнений теории оболочек, так и при получении решения этих уравнений. Это позволяет применять богатый асимптотический аппарат с физической интерпретацией решения на всех этапах его разработки.
Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А.Л. Гольденвейзера [51-62,134]. Введение фундаментального понятия показателя изменяемости НДС по пространственной координате и проведение операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости позволило построить для статических задач основной итерационный процесс, приводящий в первом приближении к двухмерным теориям оболочек, и дополнительный, приводящий к теориям принципиально нового типа - теории плоского и антиплоского погранслоя. Итерационный процесс позволил также взглянуть на погрешность двухмерных теорий оболочек и пластин с асимптотической точки зрения, определяя форму ее зависимости от значений показателя изменяемости НДС.
В работе Ю.Д. Каплунова, И.В. Кирилловой, Л.Ю. Коссовича [83] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двухмерные системы уравнений.
Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем, Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [137]. Приведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы (как стационарные, так и нестационарные) на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двухмерные теории высшего порядка для пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами.
При изучении колебаний тонких оболочек на основе двухмерных теорий асимптотические методы также очень эффективны. Большое значение имеют метод расчленения НДС и метод экспоненциальных представлений [95,125]. Применение этих методов к исследованию колебаний тонких оболочек рассмотрено в работах А.Л. Гольденвейзера [52,53,55,57,58], В.В. Болотина [21,22], П.Е. Товстика [105-122], А.Л. Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика [62]. Математическое обоснование метода расчленения НДС приведено в статье [40].
В монографии [62] разработан метод расчленения НДС в применении к решению задач о свободных колебаниях оболочек. Показано, что для широкого класса задач напряженно-деформированное состояние колеблющейся оболочки можно представить в виде наложения главного и дополнительного напряженно-деформированных состояний. Приведена классификация видов колебаний оболочки. В зависимости от характера НДС и его изменяемости выделены: квазипоперечные колебания с малой
изменяемостью, квазитангенциальные колебания, колебания рэлеевского типа, квазипоперечные колебания с большой изменяемостью.
Наиболее хорошо изучены колебания круговой цилиндрической
оболочки. Важную роль при этом играет исследование корней
характеристического уравнения. Асимптотический анализ
характеристического уравнения для свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки рассмотрен в [62,96,97].
Значительное число работ посвящено свободным колебаниям оболочек вращения [4,93,105-122], также такие колебания подробно рассмотрены в монографии [62]. Задача о свободных колебаниях оболочки вращения сводится к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Применение метода расчленения НДС и метода экспоненциальных представлений позволяет определить с необходимой точностью собственные частоты и собственные формы колебаний, а также плотность распределения собственных частот. Задачи о колебаниях оболочек вращения могут усложняться наличием точек поворота - точек, при переходе через которые изменяется характер поведения решения, например, экспоненциально затухающее решение сменяется осциллирующим. Для построения приближенных интегралов, описывающих переход через точку поворота, применяется хорошо разработанный метод эталонных уравнений [95,116,117,125,147].
Большое практическое значение имеет определение наинизшей собственной частоты колебаний оболочки. Для достаточно тонкой оболочки она будет находиться среди сверхнизких частот - частот, беспредельно убывающих с уменьшением толщины оболочки. Последние реализуются лишь тогда, когда колебания оболочки близки к исследованным Рэлеем [104] колебаниям без растяжений и сжатий, т.е. когда срединная поверхность оболочки испытывает деформации, близкие к тем, которые в теории поверхностей называются изгибаниями. Для определения собственных
частот таких колебаний удобно использовать формулу Рэлея [104]. Сверхнизкочастотные колебания рассматривались в монографии [64] и в работах [88,91,113,114,118-120 и др.].
Важное место при изучении колебаний занимает исследование свойств решений дисперсионных уравнений. В работах В.Л. Березина, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича [14,128] асимптотические приближенные теории применены к синтезу дисперсионных кривых для цилиндрической
* оболочки как трехмерного упругого тела. Теория Кирхгофа-Лява и теория
высокочастотного длинноволнового приближения используются,
соответственно, в окрестности нулевой частоты и частот толщинных
резонансов. Теория высокочастотного коротковолнового приближения
используется вне этих окрестностей. Доказано наличие областей перекрытия
решений по приближенным теориям. Показано, в частности, что в своей
** области применения теория Кирхгофа-Лява достаточно хорошо
аппроксимирует точные дисперсионные кривые.
Описанные выше асимптотические методы теории оболочек применяются в данной работе для вывода приближенных дисперсионных уравнений для поверхностных волн. И в этом случае представление краевого и граничного резонансов как резонансов поверхностных волн позволило приближенно описать резонансные частоты.
Также в работе развиваются методы качественного анализа резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, актуальность которой связана с широким использованием гидроупругих систем во многих отраслях современной техники. По теме рассеяния акустических волн опубликовано довольно много работ. Ссылки на основные из них могут быть найдены в монографии [25]. В задачах акустического рассеяния рассмотрение плоской гармонической волны считается основополагающим, так как, располагая таким решением, можно достаточно просто перейти к более общим постановкам. Резонансная теория рассеяния, распространенная на задачи гидроупругости X. Юбераллом [131], Г. Гаунардом [132], Н.Д. Векслером
* 12
[25] и некоторыми другими исследователями, является весьма удобным аппаратом для систематического изучения основных параметров дифракционных процессов. Основным элементом этой теории является анализ резонансов парциальных мод. При этом явные приближенные формулы, описывающие поведение резонансных кривых, могут иметь большое значение для выявления общих закономерностей процесса рассеяния.
Асимптотические методы, развитые в теории оболочек, могут быть применены и в задаче рассеяния. В работе [127] получена асимптотическая модель, уточняющая теорию Кирхгофа-Лява и описывающая взаимодействие оболочки с жидкостью. Область применимости этой модели достаточно широка, но тем не менее на высоких частотах требуется построение иной асимптотики - коротковолновой. Также область применимости модели из работы [127] уменьшается с ростом толщины оболочки. Для очень толстостенных оболочек, которые лучше назвать полыми цилиндрами, также возможно построение только коротковолновой асимптотики. Такие асимптотики рассматриваются в данной работе, поскольку основное их назначение - описать резонансы поверхностных периферических волн.
Заметим, что явления краевого и граничного резонансов относятся к широкому классу резонансных явлений, связанных с локализацией колебаний, вызванной различными причинами. Это может быть локализация около различного вида неоднородностей (трещин, включений и т.п.). Такие явления подробно рассмотрены в работах В.А. Бабешко и И.И. Воровича с соавторами [5-7,42 и др.]. В пластинах переменной толщины возможно возникновение локализации колебаний в окрестности точки максимума (или минимума) толщины пластины и напоминающей форму типа "прыгающего мячика" в акустике [122,162]. Также можно возбудить резонансы с локализованной формой, присоединяя к телу массы или пружины со специально подобранными свойствами [19,89].
В данной работе рассматриваются только те резонансы с локализованной формой, которые могут быть связаны с поверхностными волнами.
Цель работы:
Разработка методов качественного анализа резонансов поверхностных волн для широкого класса задач о колебаниях упругих пластин, оболочек и сплошных цилиндров.
Аналитическое и численное исследование явлений краевого и граничного резонанса в различных объектах, в том числе при изгибных колебаниях полуполосы для разных способов закрепления краев; в полуполосе, находящейся в условиях плоской деформации, при различных вариантах граничных условий на боковых сторонах; в сплошном упругом цилиндре со свободной боковой поверхностью.
Исследование поверхностных волн, распространяющихся вдоль кромки полубесконечной плиты со свободными лицевыми поверхностями, в трехмерной постановке. Сопоставление полученных результатов с соответствующими результатами классической теории Кирхгофа и теории обобщенного плоского напряженного состояния в случае плиты малой толщины.
Асимптотический анализ явления краевого резонанса в цилиндрической оболочке открытого профиля, а также в замкнутой оболочке вращения.
Построение асимптотических моделей для приближенного описания резонансов поверхностных волн в задаче рассеяния акустических волн полым цилиндром.
В первой главе рассмотрено явление краевого резонанса в полуполосе, находящейся в условиях деформации изгиба. Для описания изгибных колебаний применяется классическая теория Кирхгофа.
В п. 1.1 приводится постановка задачи и записывается решение однородной задачи об изгибных колебаниях полубесконечной пластины, соответствующее изгибной волне "рэлеевского" типа. На боковых сторонах пластины ставится один из следующих вариантов граничных условий: (I) шарнирно-опертые края; (II) свободные края; (III) жестко закрепленные края. На бесконечности ставится условие отсутствия источников энергии.
В п. 1.2 рассматривается случай I. Записывается дисперсионное
уравнение, соответствующее граничным условиям шарнирного опирання. На основе метода однородных решений записывается точное решение задачи. При этом выясняется, что форма резонансных колебаний совпадает с формой изгибной волны "рэлеевского" типа.
В п. 1.3 рассматриваются изгибные моды бесконечной полосы в случаях II и III. Свойства этих мод будут использованы в дальнейшем для исследования явления изгибного краевого резонанса. Записываются асимптотики в окрестности нулевой частоты, частот запирания. Для распространяющихся мод упомянутые асимптотики сращиваются с помощью метода Паде. В конце параграфа рассматриваются антисимметричные моды, для которых получены аналогичные результаты.
В п. 1.4 качественно исследуется явление изгибного краевого резонанса в случаях II и III. Результатами этого исследования являются приближенные формулы для резонансных частот и метод оценки амплитуды и ширины резонанса. В основу качественного исследования положено предположение (полностью подтвердившееся) о том, что, как и в п. 1.2, в рассматриваемых случаях явление краевого резонанса связано с изгибной волной "рэлеевского" типа. Основную трудность при обобщении результатов п. 1.2 на случаи II и III представляет тот факт, что моды в рассматриваемых случаях имеют две компоненты с различными законами изменения по поперечной координате, т.е. их линейная комбинация никогда не совпадет с формой изгибной волны "рэлеевского" типа. Эта трудность преодолевается
следующим образом: по аналогии со случаем шарнирного опирання предполагается, что существуют две нераспространяющиеся моды, скорости затухания которых приближенно совпадают со скоростями затухания составляющих изгибной волны "рэлеевского" типа. Тогда линейная комбинация таких мод позволяет приближенно удовлетворить граничным условиям на торце, следовательно, построить приближенную собственную форму. Частоты, на которых происходит упомянутое совпадение, можно принять за приближенные частоты краевого резонанса. Далее предложен метод оценки амплитуды и ширины резонанса, использующий разложение решения в окрестности приближенного значения резонансной частоты.
В п. 1.5 и 1.6 приближенные значения характеристик краевых резонансов, вычисленные по полученным выше формулам, сопоставляются с результатами численного решения, которое не содержит предположения о связи краевого резонанса с изгибной волной "рэлеевского" типа. В этих параграфах для получения численного решения также применяется метод однородных решений, но при определения коэффициентов ряда используется метод коллокаций.
В п. 1.7 рассматривается случай антисимметричных изгибных колебаний полуполосы.
В п. 1.8 изучается явление краевого резонанса в ограниченных телах. Рассматриваются изгибные колебания длинной прямоугольной пластины в окрестности частоты краевого резонанса. Численное решение задачи, также основанное на методе однородных решений, показало, что в окрестности частоты краевого резонанса кривые, отражающие зависимость резонансной частоты прямоугольника от его длины (спектральные линии), имеют характерное "плато". Если на частоте краевого резонанса существуют также распространяющиеся моды, то плато имеет разрывы. Кроме того, оно обладает некоторой степенью искажения по сравнению с кривой, которая получилась бы без учета распространяющихся мод. Для первого
* демпфированного резонанса получена асимптотика спектральной линии в
окрестности частоты краевого резонанса, которая показывает, что степень искажения плато определяется шириной краевого резонанса в случае полубесконечной полосы. Таким образом, оценка этой величины, полученная в п. 1.4, может быть использована и в задаче для ограниченного тела.
Во второй главе рассматривается явление краевого резонанса в полуполосе на основе динамических уравнений плоской задачи теории упругости.
В п.2.1 приводится постановка задачи. На боковых сторонах полуполосы ставится один из следующих вариантов граничных условий: (I) условия скользящей заделки, (II) свободные края, (III) жестко закрепленные края.
В п.2.2 рассматривается случай граничных условий, допускающих
W разделение переменных, т.е. случай граничных условий (29) или (30).
Показано, что в этом случае форма краевого резонанса точно совпадает с формой волны Рэлея.
В п.2.3 качественно анализируются случаи II и III. Получены приближенные формулы для резонансных частот, оценки для амплитуды и ширины резонанса по аналогии с тем, как это было сделано в главе I. При этом показано, что Эти графики показывают, что в рассматриваемой задаче существует не один краевой резонанс, а бесконечный комплекснозначный спектр краевых резонансов, резонансная форма которых близка к форме волны Рэлея. Ранее этот факт не отмечался.
В п.2.4 и 2.5 приводятся результаты численных расчетов, подсверждающих выводы из п.2.3.
В п.2.6 рассматривается случай антисимметричных колебаний, для которого получены аналогичные результаты.
В третьей главе исследуется явление краевого резонанса в
полубесконечном цилиндре со свободной боковой поверхностью.
* 17
Аналогично предыдущему показано, что и в данной задаче существует бесконечный спектр краевых резонансов как при осесимметричных, так и при неосесимметричных колебаниях цилиндра. Свойства высших краевых резонансов в цилиндре аналогичны свойствам высших краевых в полуполосе со свободными боковыми сторонами, изученных в главе И. В частности, форма высших краевых резонансов близка к форме трехмерной поверхностной волны в цилиндрических координатах, что показывает связь явления краевого резонанса с поверхностной волной и в данном случае.
В четвертой главе изучаются кромочные волны в полубесконечной плите, на лицевых поверхностях и на кромке которой ставятся условия свободного края. Для описания колебаний плиты формулируется трехмерная задача, которая после отделения одной координаты сводится к двумерной задаче, аналогичной рассмотренной в главе II. Рассматривается первая волна при симметричных и антисимметричных колебаниях плиты. Показано, что если длина волны значительно превосходит толщину плиты, кромочные волны с достаточной точностью описываются двумерными теориями пластин. При этом, симметричному случаю соответствует планарная волна "рэлеевского" типа, антисимметричному - изгибная волна "рэлеевского" типа. С уменьшением длины волны фазовая скорость кромочных волн стремится к фазовой скорости угловой волны.
В пятой главе развитые в главах I и II методы обобщаются на случай оболочки.
В п.5.1-5.4 изучается явление краевого резонанса в полубесконечной круговой незамкнутой цилиндрической оболочке. С использованием асимптотических методов теории оболочек показано, что существует три типа рассматриваемых резонансов: изгибный краевой резонанс, тангенциальный краевой резонанс и сверхнизкочастотный краевой резонанс. Первые два являются аналогами резонансов, изученных в глава I и II соответственно. Третий тип резонансов характерен только для оболочек.
В пп.5.5, 5.6 рассматривается задача о колебаниях незамкнутой продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки, составленной из двух однородных полубесконечных оболочек с различными свойствами материала. По аналогии со случаем однородной полубесконечной оболочки изучается явление граничного резонанса в цилиндрической оболочке и также выделяются три типа резонансов.
В п.5.7 изучаются явления краевого и граничного резонансов в замкнутых оболочках вращения. Для случая большой изменяемости по окружной координате рассматривается два типа резонансов - изгибный и тангенциальный, являющиеся аналогами соответствующих резонансов в круговой цилиндрической оболочке.
Шестая глава посвящена приближенному описанию резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния для полого упругого цилиндра. Считается, что на цилиндр падает плоская волна, направление распространения которой перпендикулярно его поверхности, так что рассматриваемая задача является двумерной. Строятся асимптотические модели, позволяющие приближенно описать резонансы поверхностных волн, распространяющихся вдоль направляющей цилиндра и возбужденных акустическим воздействием. Первая модель предназначена для описания волн типа шепчущей галереи в толстостенных цилиндрах, вторая - для описания волн типа Лэмба в тонкостенных цилиндрах.
В заключении диссертации сформулированы основные результаты и выводы.
На защиту выносятся следующие положения:
Исследование изгибных и планарных колебаний полосы при различных граничных условиях на боковых сторонах.
Распространение предлагаемой теории на случаи замкнутой и открытой цилиндрической оболочки и оболочки вращения с произвольным меридианом.
Анализ интерфейсных колебаний продольно-неоднородных полос и оболочек.
Обоснование связи краевых резонансов с поверхностными волнами Рэлея и интерфейсными волнами Стоун ли и их обобщениями.
Анализ и классификация локализованных периферических волн в задачах рассеяния для толстостенного цилиндра.
Вывод асимптотических формул для частот и форм резонансных колебаний в каждом из рассматриваемом случаев и их сопоставление с результатами численных расчетов.
Научная новизна.
В диссертации предложена методика исследования резонансов поверхностных волн для широкого класса задач со сложными граничными условиями.
Качественно и численно исследованы краевые резонансы в полуполосе в условиях плоской деформации. В частности, впервые показано существование бесконечного комплекснозначного спектра краевых резонансов.
Аналогичные результаты получены в случае изгиба полуполосы в рамках теории Кирхгофа.
Установлена связь явлений краевого и граничного резонансов с поверхностными волнами Рэлея и Стоунли в упругих телах различной конфигурации. Получены приближенные формулы для резонансных частот и оценки для амплитуды и ширины резонансов.
Выполнен качественный анализ решения задач рассеяния акустических волн упругими цилиндрами.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается применением апробированных моделей и математически обоснованных методов, как численных, так и методов асимптотического анализа. Используемые численные методы тестируются на модельных
задачах. Результаты расчетов сопоставляются с асимптотическими оценками, полученными аналитически. Хорошее совпадение асимптотических оценок и численных данных, а также убедительная физическая интерпретация служат свидетельством достоверности результатов и основанных на них выводов.
Практическая значимость.
Разработанные методы качественного и количественного анализа резонансов поверхностных волн могут быть применены в работе конструкторских бюро при расчетах различных элементов конструкций, испытывающих краевые динамические воздействия. Эти методы допускают обобщение на родственные задачи для тел более сложной формы либо с более сложными механическими свойствами.
Предлагаемые в работе асимптотические модели, описывающие резонансы поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, могут представлять интерес в геофизике и биомеханике. Развитые в диссертации идеи пригодны для совершенствования вычислительных алгоритмов и программ, применяющихся в инженерной практике.
Результаты диссертационной работы применяются при чтении спецкурсов по специальности "Механика" на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.
Апробация работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на:
международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения", Москва, 1999;
V Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике, Эдинбург, 1999;
конференции мех.-мат. факультета "Актуальные проблемы математики и механики, Апрель-2000", Саратов, 2000;
международном семинаре "Дни дифракции" (Санкт-Петербург, 2000,
2001,2002 г.);
VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.);
5-ой международной конференции "Проблемы колебаний" (Москва, 2001 г.);
международной конференции "Поверхностные волны в анизотропных и слоистых средах и обнаружение дефектов" (Москва, 2002);
международном симпозиуме "Сингулярность, асимптотические методы и осреднение в механике" (Ливерпуль, Англия, 2002 г.);
ЕВРОМЕХ коллоквиуме 439 "Математическое моделирование динамического поведения тонких упругих структур" (Саратов, 2002 г.).
В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством д. ф.-м. н. профессора Л.Ю. Коссовича.
Случаи свободных и жестко закрепленных боковых сторон: приближенное решение
Формула (1.2.6) показывает, что напряжения моды w) не совершают работы на перемещениях моды w при к I. Это означает, что в рассматриваемом случае моды "попарно разделяются", другими словами, степень возбуждения А:-той пары мод не влияет на степень возбуждения I-той пары мод при к I.
Найдем собственные частоты задачи (1.2.3), (1.2.4) и (1.2.8). Рассмотрим линейную комбинацию "парных" мод где Ск1 и Ск2 - постоянные. Нетрудно убедиться, что (1.2.7) совпадает с (1.1.11) при Подставляя (1.2.8) в (1.1.13), получим искомые собственные частоты Действительно, на частотах (1.2.9) функция (1.2.7) после определения констант Ск1 и Ск2 совпадет с формой изгибной волны "рэлеевского" типа, т.е., будет удовлетворять однородным граничным условиям на торце (1.1.8). С другой стороны, однородные граничные условия на боковых сторонах (1.1.4) удовлетворены в силу того, что (1.2.7) является линейной комбинацией мод. Собственные формы, соответствующие частотам (1.2.9), имеют вид (1.1.14) при р = Pfc. Рассмотрим теперь задачу о вынужденных колебаниях (1.1.3), (1.1.4) и (1.1.7). Ее решение, полученное методом разделения переменных, может быть найдено в работе [82]. Здесь мы получим решение другим методом, который допускает обобщение на случаи II и III. Будем искать решение в виде (1.1.16). С учетом обозначений (1.2.2) представление (1.1.16) примет вид Вычислим, исходя из представления (1.2.10), величины Мх(0,у) и N x(0,y), входящие в граничные условия (1.1.7), и потребуем, чтобы их работа на перемещениях каждой из мод w\ ) равнялась работе заданной нагрузки. Это приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений для постоянных Скх и Ск Соотношения ортогональности (1.2.6) показывают, что система (1.2.11) распадается на счетное множество систем двух уравнений с двумя неизвестными: (1.2.13) Q.Jwc.U +Ск,2Ікк,21 Bfc,l» -k,l1kk,l2 + Q,2/wc,22 %2 1: = 1,2,... Решая систему (1.2.13), находим Г - ,\Jkk,22"Bk,2Jkk,2l Q Вк,2ІккМ Вк,\1кк,12 ,. ІЛ\ Jkk,llJkk,22 Jkk,2\Jkk,\2 Jkk,l\1kk,22 Jkk,2\Jkk,\2 После определения коэффициентов Cki можно рассчитать любую характеристику НДС, используя представление (1.2.10) и формулы (1.1.2). Определитель системы (1.2.13) преобразуется к виду det(/ ;)=( i - Ъг){ r ,2 [(1-vX -0.5)2 -P2]2 --rfc)1[(l-v)(/:-0.5)2+p2]2}u2. (1.2.15) Сравнение (1.2.15) и (1.1.12) показывает, что частоты (1.2.9) являются резонансными частотами рассматриваемой задачи. В образовании к -того резонанса участвуют только моды w\ , при этом другие моды не оказывают влияния на резонанс. В качестве примера рассмотрим колебания полуполосы, возбуждаемые нагрузкой ( У2Л (1.2.16) Щіу , N„(y) = 0. х v п J На рис. 1.3 приведена зависимость амплитуды прогиба в точке с координатами (0,0) от частоты. Рис. 1.4 и 1.5 иллюстрируют захват энергии изгибной волной "рэлеевского" типа. На рис. 1.4 представлена зависимость прогиба (сплошная линия) от координаты х (у = 0) на частоте (3 = 1.498561, лежащей вблизи второй резонансной частоты Р2 = 1-498576. Штриховой линией показан первый член ряда (1.2.10), штрихпунктирной линией -второй член ряда. На рис. 1.5 те же величины приведены для р = 1.497927.
Случай перекрестных граничных условий на боковых сторонах: аналитическое решение
Таким образом, функцию (1.4.4) можно считать приближенной формой, а корни уравнения (1.4.2) - приближенными собственными частотами. Обозначим их (3 .2), где к = 1,2,... - номер собственной частоты, при этом А:-тая частота соответствует точке пересечения кривой R1 с дисперсионной кривой r2fc_,(P). Свойства моды пг позволяют получить явные приближенные формулы для р , следовательно, и для искомых собственных частот. Подставляя (1.4.2) в дисперсионные уравнения (1.3.3) и (1.3.4), используя (1.4.5) и тот факт, что tga2 пп — і когда р -» со, находим Формула (1.4.6) совпадает с формулой, полученной в работе [144] на основе метода Болотина [20]. Можно получить и другую приближенную формулу, используя близость р к частотам запирания (см. рис. 1.8, 1.9). Подставляя (1.4.2) в (1.3.17) и разрешая полученное уравнение относительно Р, получим где Кк имеет вид (1.3.18). Формула (1.4.8) лучше работает на низких частотах, (1.4.6) - на высоких. Обсудим теперь влияние погрешностей приближенной собственной формы (1.4.4). Если в этой форме заменить второе слагаемое группой мод, дисперсионные кривые которых расположены вблизи прямой R2 (например, для четвертого резонанса в случае II это моды 10 и 13), то граничные условия на боковых сторонах будут удовлетворены, но появятся дополнительные погрешности в граничных условиях на торце. Чтобы устранить эти погрешности, а также погрешность от третьего слагаемого функции (1.4.4), следует ввести в рассмотрение остальные моды. Поскольку система мод является неортогональной, поступим следующим образом: исходя из представления (1.1.16) вычислим величины Мх(0,у), N x(0,y) и потребуем, чтобы их работа на перемещениях каждой из мод w n равнялась нулю. В результате получим следующую бесконечную однородную систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных констант где величины ]тп определены формулами (1.3.8), 1 = 0 в случае II и / = 1 в случае III. В общем случае нельзя утверждать, что в окрестности частот щ.) из системы (1.4.9) можно выделить какую-либо замкнутую конечную подсистему. Таким образом, в образовании собственной формы участвуют все моды, в том числе и распространяющиеся. Последние уносят часть энергии на бесконечность, что приводит к появлению мнимой части собственной частоты. Эта мнимая часть мала, поскольку в основном собственная форма формируется модой иР х и модами, дисперсионные кривые которых расположены вблизи кривой R2.
Теперь рассмотрим неоднородную задачу (1.1.3), (1.1.5) или (1.1.6), (1.1.7). Ясно, что собственные частоты однородной задачи соответствуют частотам краевых резонансов. Анализ, проведенный выше, показывает, что эти резонансы являются резонансами изгибной волны "рэлеевского" типа. Кроме того, нами получены приближенные формулы для резонансных частот, а также указан способ нахождения мод, вносящих основной вклад в формирование резонанса. Также мы выяснили, что в рассматриваемых случаях закрепления боковых сторон краевой резонанс демпфируется распространяющимися модами, следовательно, амплитуда резонанса имеет конечное значение. Далее предложен метод, позволяющий оценить амплитуду и ширину резонанса.
Будем искать решение задачи в виде (1.1.16), удерживая п0 членов ряда. Потребуем, чтобы работа величин Мх(0,у) и N x(0,y) на перемещениях каждой моды иги равнялась работе заданной нагрузки. В результате получим неоднородную систему, аналогичную системе (1.4.9): Введем дополнительные частные решения, соответствующие составляющим формы изгибной волны "рэлеевского" типа, причем медленно затухающая составляющая совпадает с первым слагаемым моды иг :
Трехмерная поверхностная волна и моды кругового цилиндра
Коэффициенты Ст определяются из граничных условий при у = ±п, которые формулируются таким образом, чтобы устранить невязки в условиях (1.1.5) и (1.1.9) (случай И) или (1.1.6) (случай III), возникающие из-за слагаемого wH. При этом используется метод коллокаций. В случае II точки коллокаций выбираются так же, как в системе (1.5.1). В случае III, где требуется удовлетворить граничным условиям по прогибу и углу поворота, интегральные условия не ставятся. Условия по прогибу удовлетворяются в точках х$ = 0.5Z0 + 0.5/0 т/щ (га = 0,7 ), по углу поворота - в тех же точках, но при т = 0,щ-1. Результаты сравнения решений, полученных двумя описанными выше способами, представлены в табл. 1.11 (случай II) и 1.12 (случай III). Здесь п$ и щ — число членов разложения по модам в направлении х и в направлении у, соответственно, є - отношение максимальной по модулю разности значений прогиба, вычисленных различными способами, к максимальному по модулю значению прогиба, найденному при разложении по модам в направлении х (максимумы ищутся по площади пластинки). Данные таблиц 1.11, 1.12 подтверждают корректность результатов, полученных с помощью метода коллокаций. Далее мы будем использовать только разложение по модам в направлении х. Рассмотрим колебания пластины на частотах, близких к частотам краевого резонанса, найденным в п. 1.5. В отличие от полубесконечной пластины, в прямоугольнике возможны также резонансы распространяющихся мод. Получим сначала приближенное уравнение для частот этих резонансов, используя построенные в п. 1.3 асимптотики Паде, а также такие свойства изгибных мод, как преобладание первой составляющей в распространяющихся модах и наличие нераспространяющихся мод, парных к распространяющимся. Идея построения такого приближения близка к методу Болотина [20]. На сторонах х = 0 и х = /0 поставим однородные граничные условия Будем искать собственные частоты задачи (1.1.3), (1.8.1). Пусть ro(P) = zX(P) — параметр некоторой распространяющейся моды. Введем обозначение Вторая составляющая распространяющейся моды (см. формулу (1.3.5)) быстро затухает при удалении от боковых сторон, поэтому при удовлетворении граничным условиям (1.8.5) ее можно не учитывать. Рассмотрим стоячую волну, соответствующую рассматриваемой распространяющейся моде: Функция w0 не позволяет удовлетворить оба граничных условия (1.8.5), поэтому требуется добавить еще одно частное решение, имеющее тот же закон изменения по у. Параметр гх этого частного решения найдем из условия yjr? -р2 =а. Используя (1.8.6), получим и построим функцию Частное решение (1.8.9) не удовлетворяет граничным условиям при у = ±я, но этими погрешностями можно пренебречь, поскольку они быстро затухают при удалении от сторон х = 0 и х = l0. Заметим, что функция (1.8.9) близка ко второй составляющей нераспространяющейся моды, парной к данной распространяющейся, т.е., фактически мы выделяем две моды в представлении (1.8.2), играющие основную роль в формировании резонанса распространяющейся моды. Подставим сумму w$ + wx в граничные условия (1.8.5) при х = 0, считая, что длина пластины достаточно велика, и опуская слагаемое с множителем exp(-rj/0). Приравнивая определитель полученной таким образом системы для констант Q и С2 нулю, приходим к частотному уравнению Чтобы избежать многократного численного решения дисперсионного уравнения (1.3.1) или (1.3.2) при определении корней уравнения (1.8.10), можно воспользоваться асимптотиками Паде, полученными в п. 1.3 и применимыми во всем диапазоне существования данной распространяющейся моды. Обозначим корни уравнения (1.8.10) Рк,и( о) гДе к = 0,1,2,... - номер распространяющейся моды, образующей резонанс (в случае жестко закрепленных сторон у = ±7г к = 1,2,...), п = 1,2,... - номер резонанса данной моды. Число к характеризует число узлов в направлении у, п - в направлении х. Резонансные частоты нулевой моды в случае II стремятся к нулю с ростом длины прямоугольника, резонансные частот других мод - к частотам запирания р, определяемых уравнением (1.3.16). На рис. 1.21, соответствующем случаю И, жирными линиями показаны спектральные кривые, найденные численно с использованием метода коллокаций, описанного в начале данного параграфа, тонкими штриховыми линиями показаны корни Р0 п уравнения (1.8.10), тонкими штрихпунктирными линями - корни Р1п. На рис. 1.23 для случая III также жирными линями показаны численные спектральные кривые, тонкими линиями с треугольными маркерами - корни Pj „ уравнения (1.8.10), с круглыми маркерами - корни р2 п.
Асимптотический анализ и получение приближенных дисперсионных соотношений для трех типов поверхностных волн в оболочке
Теперь приступим к исследованию явления краевого резонанса. Предположим, что в рассматриваемых случаях это явление также связано с волной Рэлея. Но, в отличие от случая I, мы не сможем найти две моды, которые точно совпадают с компонентами этой волны. Действительно, формулы (2.3.29) показывают, что и в случае свободных, и в случае жестко защемленных сторон моды состоят из двух компонент с различными косинусоидальными законами изменения по переменной у. Этот факт отражает влияние граничных условий на боковых сторонах. Тем не менее можно показать, что краевые резонансы, подобные изученным в п.2, существуют и в рассматриваемых случаях.
Предположим, что в рассматриваемых задачах краевой резонанс образуется по той же схеме, что и изгибный краевой резонанс в главе I (см. рис. 1.8), т.е. предположим, что существуют две нераспространяющие моды f (и) и f ("О дЛЯ КОТОрЬ1Х выполняется соотношение где у - некоторое число. Рассмотрим решение, определяемое второй компонентой моды f п и первой компонентой моды і т : 9 = C1cosyi/exp(-rmx), v/ = С s myy ехр(-гпх), к = 1,2,.... (2.3.33) Функции (2.3.33) совпадают с (2.1.10) при aj = a2=Y, следовательно, позволяют удовлетворить граничным условиям (2.1.9) так же, как это было сделано в п.2.1. При этом параметры мод гп и гт должны удовлетворять соотношениям Корни уравнений (2.3.34) и (2.3.35) соответствуют точкам пересечения дисперсионных кривых с прямыми R2 и R1, определенными так же, как в п. 2.2. Рис. 2.2-2.7 показывают, что не существует двух нераспространяющихся мод, одновременно удовлетворяющих условиям (2.3.34) и (2.3.35). Поэтому ослабим условия (2.3.32), (2.3.35) и будем считать, что первая составляющая формы волны Рэлея образована группой мод, дисперсионные кривые которых расположены вблизи прямой R1. Приближенное значение собственной частоты будем определять по формуле (2.3.34), которая соответствует второй составляющей формы волны Рэлея. Однако и это соотношение, как правило, не удается удовлетворить точно, поскольку параметры гп нераспространющихся мод являются комплексными в широких частотных диапазонах. Заменим (2.3.34) соотношением Корень уравнения (2.3.36) лежит в области (2.3.22), т.е., к нему применима оценка (2.3.23), которая показывает, что Rern »lmrn. Пусть ю0 - корень уравнения (2.3.36) при некотором значении п 2 . Покажем, что на этой частоте можно построить приближенную собственную форму рассматриваемой задачи. Введем функцию де f(Z) -мода, параметр гг которой близок к гп на частоте со0 (если гп(со0) -комплексное число, то Г/(со0) = гп(со0)). Пусть ст , з+ху - напряжения, соответствующие функции f+ (вычисленные по формулам (2.1.2)). Введем также обозначения где величины, стоящие в скобках, определены формулой (2.3.34). При х = 0 имеем Заметим, что функции и2, v\ близки к составляющим перемещений в форме волны Рэлея, соответствующим потенциалу vj/. Используя (2.1.14), построим функции Перемещениям и2, г?2 соответствуют граничные значения Т2+, S2 . С другой стороны, эти перемещения вместе с третьим слагаемым близки к форме волны Рэлея, следовательно, третье слагаемое в (2.3.40) уничтожает Т2+, S2 с некоторой малой погрешностью. Третье слагаемое приводит также к появлению невязок в граничных условиях на боковых сторонах, однако на высоких частотах эти невязки быстро затухают с ростом х, так как на таких частотах г »Г2 (см. п. 2.1). Таким образом, функции (2.3.40) можно интерпретировать как решение задачи о вынужденных колебаниях с нагрузками Tj+, Sf на торце. Заметим, что на высоких частотах меньше изменяемости функций и.2, v\ и третьего слагаемого в (2.3.40). Оценим величины Для этого требуется оценить величину Ап J. Рассмотри случай свободных боковых сторон П. Сначала предположим, что п = 2к-\. Подставим (2.3.34) в выражение для Ап1 в (2.3.30). Коэффициент перед отношением косинусов будет содержать малый множитель л/92 -1. Если частота со0 расположена вблизи узла решетки Миндлина, то, как нетрудно убедиться, оба косинуса в выражении для Ап х близки по модулю к единице, т.е., Ап 1 1. Таким образом, в окрестности узлов решетки Миндлина в моде f 2 _1) преобладает потенциал v/. Теперь предположим, что п = 2к и что частота со0 расположена вблизи узла решетки Миндлина. Подставим (2.3.34) в выражение для Лп1 в (2.3.30а). Малый множитель -1 при этом окажется в знаменателе, а отношение синусов, в силу того, что действительная часть дисперсионной кривой r2]i((o) располагается вблизи линии решетки Миндлина г2р(а ) при р = к, к 2, и частота со0 расположена вблизи узла на этой линии, близко к единице.
