Содержание к диссертации
Введение
1 Уединенные волны деформации в упругом стержне 20
1.1 Используемая модель нелинейно-упругого тела 20
1.2 Моделирование нелинейных волн деформации в стержне со свободной боковой поверхностью 24
1.2.1 Постановка задачи 24
1.2.2 Методика вывода модельного уравнения для нелинейных волн деформации 26
1.3 Уравнение с двумя дисперсиями и его решение в виде уединенной волны 30
1.4 Влияние кубической нелинейности 37
1.4.1 Вывод модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейносгями 38
1.4.2 Решения в виде уединенной волны 41
1.4.3 Генераця уединенных волн из начального условия произвольного вида 44
1.4.4 Заключительные замечания 50
1.5 Отражение уединенной волны от торца стержня 52
2 Усиление волны деформации в отсутствие притока энергии из вне 57
2.1 Усиление продольной волны деформации в сужающемся стержне 57
2.1.1 Вывод уравнения для эволюции продольной волны деформации 58
2.1.2 Эволюция асимметричной уединенной волны деформации 60
2.2 Уединенные волны деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю среду с проскальзыванием 65
2.2.1 Постановка задачи 66
2.2.2 Внешние напряжения на поверхности стержня 68
2.2.3 Вывод соотношений для смещений и деформаций в стержне 70
2.2.4 Нелинейное уравнение для продольных волн деформации в стержне и его решение 73
2.2.5 Влияние внешней среды на распространение уединенной волны деформации в стержне 74
2.2.6 Численное исследование генерации и усиления волны деформации 78
2.2.7 Эффект поверхностного натяжения 87
2.2.8 Определение модулей Мурнагана 88
2.3 Уединенные волны деформации в упругом стержне с микроструктурой 91
2.3.1 Моделирование недиссипативной упругой среды с микроструктурой 92
2.3.2 Нелинейные волны в стержне с микроструктурой типа псевдо-континуум Коссера 95
2.3.3 Нелинейные волны в стержне с "вмороженной "микроструктурой (континуум Леру) 98
2.3.4 Заключительные замечания 100
3 Влияние диссипативной (активной) внешней среды 102
3.1 Эволюция колоколообразной уединенной волны при наличии диссипативной /активной внешней среды 103
3.1.1 Постановка задачи 103
3.1.2 Диссипативное уравнение с двумя дисперсиями 104
3.1.3 Точное решение в виде уединенной волны для ДУДД .106
3.1.4 Усиление и селекция колоколообразной уединенной волны 109
3.1.5 Заключителвные замечания 115
3.2 Кинки деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю активную или диссипативную среду 117
3.2.1 Постановка задачи 118
3.2.2 Комбинированное уравнение с двумя дисперсиями 118
3.2.3 Точные решения 122
3.2.4 Слабо-диссипативный (активный) предел 125
3.2.5 Предел слабой дисперсии 128
3.2.6 Заключителвные замечания 133
3.3 Влияние внешних тангециальных напряжений на эволюцию уединенных волн деформации в нелинейно-упругом стержне 135
3.3.1 Постановка задачи 135
3.3.2 Вывод модельного уравнения 137
3.3.3 Симметричные уединенные волны деформации 139
3.3.4 Эволюция несимметричных уединенных волн 144
4 Влияние объемных активных и диссипативных факторов 149
4.1 Нелинейные уединенные волны деформации в среде с микроструктурой 149
4.1.1 Моделирование активной/диссипативной среды с микроструктурой 150
4.1.2 Колоколообразные уединенные волны 155
4.1.3 Распространение волн нагрузки /разгрузки 159
4.1.4 Заключительные замечания 164
4.2 Селекция нелинейных уединенных сейсмических волн 166
4.2.1 Моделирование нелинейных сейсмических волн 166
4.2.2 Асимптотическое решение уравнения для сейсмических волн 169
4.2.3 Численное исследование эволюции произвольного импульса 173
4.3 Движущиеся дефекты, индуцированные внешним потоком энергии 181
4.3.1 Основные положения и вывод модельного уравнения 181
4.3.2 Нелинейные волны в среде 183
4.3.3 Одномерные нелинейные волны в пластине 184
5 Генерация и рост двумерных уединенных волн деформации 187
5.1 Локализация двумерных нелинейных волн деформации в пластине из-за влияния внешней среды 188
5.1.1 Постановка задачи 188
5.1.2 Определяющие уравнения для продольной и поперечной волн 190
5.1.3 Одномерные локализованные волновые решения 192
5.1.4 Двумерные локализованные волны 195
5.1.5 Численное исследование усиления двумерных локализованных волн в пластине 199
5.1.6 Резонансное взаимодействие плоских уединенных волн уравнения КП, приводящее к возникновению двумерных локализованных волн 203
5.1.7 Заключительные замечания 210
5.2 Влияние кубической нелинейности на генерацию и локализацию волн деформации в пластине 211
5.2.1 Постановка задачи 211
5.2.2 Определяющие уравнения для продольных и горизонтально поперечных волн 213
5.2.3 Решение в виде плоской уединенной волны 215
5.2.4 Неустойчивость плоской волны 217
5.3 Селекция двумерных нелинейных волн деформации в среде с микроструктурой 220
5.3.1 Вывод уравнений 220
5.3.2 Селекция двумерной локализованной волны 221
6 Некоторые аналитические решения для неинтегрируемых уравнений волновой динамики 225
6.1 Некоторые точные решения 226
6.1.1 Выбор метода и основные предположения 226
6.1.2 Точные решения для уравнения (3.8) из
6.1.3 Точные решения для комбинированного уравнения с двумя дисперсиями (3.40) из
6.1.4 Точные решения более сложного вида 238
6.2 Проявление точных решений при эволюции начального импульса произвольной формы 247
6.2.1 Реализация колоколообразных решений 247
6.2.2 Реализация точных решений в виде кинка 255
6.3 Использование асимптотических решений для нужд численного моделирования 258
6.3.1 Селекция уединенной волны, описываемая уравнением (6.10) 260
6.3.2 Численное исследование селекции уединенной волны 262
6.4 Асимптотические кинковые решения 267
6.5 Численные методы решения нелинейных уравнений 270
6.6 Заключительные замечания 272
Заключение 274
Литература 276
- Моделирование нелинейных волн деформации в стержне со свободной боковой поверхностью
- Уединенные волны деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю среду с проскальзыванием
- Кинки деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю активную или диссипативную среду
- Селекция нелинейных уединенных сейсмических волн
Введение к работе
Актуальность работы. Генерация и усиление волны деформации, т.е., рост ее амплитуды по мере распространения, является важной во многих отношениях проблемой. В частности, увеличение амплитуды может привести к достижению предела текучести, что способствует появлению зон пластичности или микротрещин в волноводе. Усиление волны может быть свидетельством таких факторов, как геометрическая неоднородность водновода [43, 52, 62, 89, 107, 77, 274J, микроструктура материала [109, 129, 157, 158, 231], движущиеся точечные дефекты [44, 45, 60, 61], температурные эффекты [38, 39, 55, 83, 167, 232, 77, 274]. Особо следует отметить проблему адекватного описания усиления в сейсмологии, в частности, наблюдаемые аномально высокие сейсмические волны деформации [12, 67, 68, 69, 118, 173]. Это усиление может быть обусловлено свойствами почв, их неоднородной структуры, наличия трещин. В последнее время стали исследоваться локализованные длинные сейсмические волны [12, 69]. Важно отметить, что ряд особенностей поведения сейсмических волн и их усиления может быть объяснен в рамках формализма теории упругости с микроструктурой [12, 159]. Усиление волны может быть вызвано влиянием внешней среды посредством нормальных и тангенциальных напряжений на поверхность упругого волновода. В ряде случаев только воздействие посредством нормальных напряжений существенно, тогда имеем контакт с проскальзыванием [15, 18, 66, 176, 180, 187, 189, 195]. Особый интерес вызывает контакт с трением [18, 66, 121, 176, 180, 189, 292], -2 где исследуются обобщения закона Кулона-Амонтона зависимость от скорости проскальзывания и размеров области контакта [18, 66, 153, 180, 272, 292]. Все вышеизложенные проявления усиления волны деформации позволяет использовать данные о характере усиления для исследования прочности твердотельных конструкций, развития методов неразрушающего контроля, определения физических свойств упругих материалов. Актуальность исследования именно локализованных волн связана с их способностью генерироваться из достаточно произвольного возмущения [1, 11, 72, 148, 201], распространяться с сохранением своей формы и сохранять свою локализованную природу при усилении/ослаблении. Знание особенностей эволюции уединенной волны деформации может способствовать решению упомянутых выше проблем.
Очевидно, что существенным фактором, влияющим на усиление волны деформации, является нелинейность. Как правило, нелинейность обусловлена двумя факторами, геометрическим, связанным с нелинейной зависимостью деформаций от смещений, и физическим, проистекающим от необходимости нелинейного обобщения закона Гука. Таким, образом, актуальной проблемой является построение адекватной теории усиления нелинейных волн деформации. Теория волн деформации в твердых телах начала разрабатываться более двухсот лет назад, см. об этом [43, 56, 53, 57, 71, 228]. При этом долгое время развивалась лишь линеаризованная теория, что объяснялась невозможностью определения нелинейных эффектов в приложениях. Впоследствии исследования в области физических свойств материалов [21, 22, 57, 220], акустических сигналов [7, 77, 274] и.т.д. потребовали разработки нелинейных моделей. Недавние достижения в области общей классической нелинейной теории упругости могут быть найдены, в частности, в [43, 57, 122, 208, 209, 220], в то время как результаты по изучению нелинейных волн деформации представлены [13, 31, 32, 33, 65, 73, 81, 115, 155, 156, 215, 230. 236, 274, 282J. В последнее время наметился прогресс в нелинейном описании волновых процессов в неклассических средах. В частности, волны деформации в микроструктурах раньше рассматривались лишь в линейном приближении [19, 59, 109, 126]. Теперь же получили развитие как нелинейные модели недиссипативных сред с микроструктурой [31, 157, 164, 165], так и модели, учитывающие влияние диссипативных факторов [82, 129, 156, 157, 159]. Аналогичные модели развиваются для моделирования смесей [35] и сейсмических процессов [12, 69]. Несмотря на множество работ в данном направлении, во многих случаях остается открытым вопрос о выборе модели, адекватно описывающей нелинейный процесс, с одной стороны, и подлежащей математическому анализу с другой. Среди типов волн, имеющих наиболее важное значение в приложениях, представляются нелинейные волны, способные сохранять свою форму при распространении. Среди волн деформации, способных сохранять свою форму при распространении, в нелинейной акустике основное внимание уделялось высокочастотным волнам огибающей [7, 14, 30, 65, 77, 73, 161, 162, 215, 237, 274]. В то же время известно, что баланс между нелинейностью и дисперсией может приводить к появлению длинной колоколообразной волны деформации постоянной формы (уединенной волны или солитона), которая может распространяться и передавать энергию на большие расстояния. Начиная с первого зарегистрированного наблюдения уединенной волны на воде, сделанного Джоном Скоттом Расселлом в 1834, солитоны в жидкостях были соблюдены и произведены много раз. Достижения теории солитонов широко отображены в литературе [1, 4, 11, 24, 37, 51, 72, 100, 145, 146, 148, 152, 156, 229, 191, 225, 235, 301]. Другой тип волны постоянной формы в виде слабой ударной волны, или кинка, возникает обычно вследствие баланса между нелинейностью и диссипацией. Такие волны также исследованы во многих областях физики [1, 51, 72, 100, 124, 277]. Включение в рассмотрение диссипативных или активных факторов приводит к выводу неинтегрируемых модельных уравнений. Поэтому только некоторые решения могут быть найдены анали 4 тически, обычно это решения в виде бегущей волны [41, 51, 200, 239, 282]. Очевидно, что последние существуют лишь при специальных начальных условиях, порой требуются даже дополнительные ограничения на коэффициенты уравнения, или амплитуда и скорость волны могут принимать определенные фиксированные значения. Поэтому многие исследователи пренебрегают точными решениями, предпочитая сугубо численной исследование модельных уравнений. В результате интенсивно разрабатываются численные методы исследования, см., например, [6, 24,16, 90, 91,101, 215, 277, 303]. Применительно к уравнениям для длинных волн результаты по моделированию разностными методами можно найти в [6, 24, 137, 139, 140, 141, 277], в то время как псевдоспектральные методы представлены в работах [101, 134, 135, 277]. Известно, что решения нелинейных уравнений чувствительны как к выбору начальных условий, так и к значениям коэффициентов уравнения. Поэтому велика вероятность, что тот или иной режим может быть пропущен или неверно истолкован при использовании только численного моделирования. Следовательно, нужно искать возможности использования даже частных аналитических решений неинтегрируемых уравнений для разработки численного алгоритма, предсказания поведения решения и подтверждения найденных численных решений.
Исследованию длинных нелинейных волн деформации постоянной формы в волноводах посвящено множество работ, результаты которых представлены в монографиях [7, 31, 32, 45, 52, 65, 73. 81, 108, 155, 164, 211, 282]. Полное описание трехмерного нелинейного континуума является трудной проблемой. Именно поэтому трехмерные задачи обычно редуцируются до одномерного (1-D) вида, чтобы иметь возможность объяснения качественно новых аналитических решений. Конечно цилиндрический упругий стержень представляется подходящим реальным одномерным волноводом. Нелинейность, вызванная конечностью деформаций и упругими свойствами материала, и дис -5 персия, следующая из конечного поперечного размера стержня, могут сбалансировать друг друга, что приводит к распространению колоколообразной уединенной волны деформации [32, 34, 58, 73, 74, 155, 211, 282J. В соответствии с теоретическими предсказаниями, было проведено успешное экспериментальное возбуждение уединенной волны в стержне из полистирола со свободной боковой поверхностью, используя голографическую интерферометрию [26, 27, 282], друние эксаериментальные данные можно найти в [82, 181]. Следовательно, было доказано, что нелинейные волны деформации постоянной формы, действительно существуют. Простейшим двумерным волноводом является упругая пластина. Нелинейные волны деформации в пластине изучались, в частности, в работах [33, 42, 84, 93, 99, 143, 144, 215, 274, 196, 282]. В основном работы по исследованию длинных нелинейных волн деформации касались вопросов генерации и распространения локализованных волн в волноводах, как правило, без учета диссипативных факторов. Наличие диссипации или подкачки энергии разрушает баланс между нелинейностью и дисперсией, и колоколообразная нелинейная волна деформации может затухать или усиливаться. Аналогичным образом, наличие дисперсии приводит к искажению кинка.
Для неклассических материалов рассмотрение, в основном, ограничивалось одномерной постановкой задачи и обычно в среде, а не в волноводах [31, 73, 129, 157]. существующие общие нелинейные теории содержат огромное количество неизвестных параметров, что делает их непригодными для практического применения. Недавние результаты по теории микроструктур можно найти, например, в [5, 157, 109, 59, 71, 231]. Большинство исследований относятся к линейной теории упругости, однако, есть также данные по нелинейной теории [5, 25, 31, 54, 82, 157, 109]. Волны деформации исследовались, более всего, в линейном приближении [109, 59, 71, 231], по нелинейным волнам в недиссипативной среде с микроструктурой следует отметить -6 [5, 31, 54, 157, 162, 165, 87, 88]. Волны в упругих волноводах с микроструктурой не рассматривались широко. Кроме того, значения параметров, характеризующих микроструктуру, известны довольно скудно [88, 82].
Решения задач о генерации и усилении нелинейных волн деформации требуют разработки нового метода вывода модельных уравнений. Ранее при выводе использовались упрощающие гипотезы, следующие из физических предположений о характере деформации. Такие гипотезы являются, естественно, приближенными, они не учитывают граничных условий на боковой поверхности волновода. Порождаемые таким образом даже малые ошибки не могут существенно повлиять на поведение решения линеаризованной задачи, однако они приводят к существенным искажениям при решении нелинйеной задачи.
Важным моментом является то, что применимость нелинейных моделей для материалов обусловлена знанием значений параметров, характеризующих эти модели. В частности, для изотропных упругих сред это значения модулей Мурнагана высоких порядков, а для феноменологических моделей сред с микроструктурой- значения параметров, характеризующих свойства микроструктуры. До последнего времени они были известны только для некоторых материалов.
Исходя из приведенных выше соображений, был поставлены следующие цели работы:
-Разработка метода получения адекватных модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.
-Использование метода для вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации в системах с внутренними источниками усиления/затухания, при наличии геометрической неоднородности, микроструктуры, а также с учетом воздействия внешней среды.
Исследование генерации и усиления гослабления нелинейных волн деформации с учетом воздействия дисперсионных, активных/ диссипативных факторов, а также диффракционной расходимости.
Разработка метода аналитико-численного исследования неинтегрируемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы.
Исследование применимости полученных аналитических результатов для оценки свойств упругих классических и неклассических материалов, определения параметров, характеризующих их свойства посредством оценки поведения волны деформации и возможного измерения ее амплитуды и скорости.
Моделирование нелинейных волн деформации в стержне со свободной боковой поверхностью
Рассмотрим изотропный бесконечный стержень со свободной боковой поверхностью см. Рис. 1.1. Осевая симметрия позволяет ввести цилиндрические ла-гранжевы координаты (х, г, /?), где х направлена вдоль оси стержня, СР е[0, 2тт], 0 г R. Будем рассматривать распространение волны деформации малой, но конечной амплитуды, пренебрегая кручением, тогда вектор смещения есть V = (u,w,0). В выбранной отсчетной конфигурации Для получения уравнений и граничных условий используем вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, положив равной нулю вариацию функционала действия, Пренебрежение кручением позволяет свести первоначальную трехмерную задачу к двумерной. Последующее упрощение обеспечивается рассмотрением только длинных упругих волн при при выполнении соотношения R/L С между радиусом стержня R и характерным размером волны L. Характерная амплитуда деформации В не должна превышать предельного значения, при котором возможны упругие деформации. Материалы Мурнагана имеют малые пределы текучести, поэтому можно положить В 1. Принцип Гамильтона- Остроградского (1.5) приводит к связанным уравнениям для и и w вместе с граничными условиями (1.9), (1.10). Обычно, для получения решения нужно произвести обезразмеривание уравнений и искать неизвестные компоненты вектора смещения в виде степенных рядов по малому параметру (например, R/L), т.е., строить асимптотическое решение задачи. В этой процедуре есть ряд недостатков. В частности сравнение безразмерных решений с данными экспериментов неудобно, поскольку L не определяются точно, ибо уединенная волна, строго говоря, имеет бесконечную длину. Далее, коэффициенты при нелинейных слагаемых в получающихся модельных уравнениях содержат комбинации упругих модулей. Упругие модули третьего и выше порядков могут быть любого знака, поэтому коэффициенты могут оказаться сами по себе малыми в дополнение к малости Б, что нельзя предусмотреть при постановке задачи.
Альтернативный подход заключается в упрощении задачи путем ряда предположений о характере поведения продольных и/или поперечных смещений и деформаций в упругом волноводе [13, 20, 32, 228J. Применительно к упругому стержню, эти соотношения задают в явном виде зависимости и и w от радиуса, в то время как их изменения вдоль оси стержня описываются новыми функциями, подлежащими определению. Тогда применение принципа Гамильтона-Остроградского (1.5) дает уравнения в размерном виде для этих функций. Эти уравнения оказываются второго порядка по времени, поэтому их решения могут удовлетворять двум независимым начальным условиям. Учет возможной малости комбинаций упругих модулей в коэффициентах может быть сделан при дальнейшем построении решения путем введения соответствующих малых параметров. Для упругого стержня простейшим предположением является гипотеза плоских сечений [13, 20, 32, 228]. При этом каждое поперечное сечение остается плоским в процессе деформации, т.е., и = и(хЛ) не меняется вдоль радиуса стержня г. Однако, это предположение является недостаточным вследствие эффекта Пуассона, согласно которому продольные и поперечные смещения связаны. Поэтому Ляв [56] предложил использовать связь между w и и: w — —ruUx, где v -коэффициент Пуассона. К сожалению, гипотезы плоских сечений и Лява вместе не удовлетворяют с заданной точностью граничным условиям нулевых нормальных и касательных напряжений Ргг и Рта,на боковой поверхности стержня. Для простоты рассмотрим линейные составляющие напряжений агг и агх, которые с учетом обеих гипотез принимают значения Поскольку и пяти константная модель Мурнагана (1.1) и выводимое модельное уравнение являются аппроксимациями, граничные условия должны удовлетворяться в пределах принятой степени точности, так что равенство нулю нормальных напряжений является избыточным. В силу принятых предположений R Uxx = О {В R/L), т.е., является малой величиной.
В рамках линейной задачи усовершенствование гипотез путем учета малых добавок не приведет к существенным изменениям в решении задачи, однако, в нелинейных задачах это не так, что и будет показано в дальнейшем. Для получения связей между продольным и поперечным смещениями вместо физических гипотез предположим алгоритм нахождения соотношений между компонентами вектора смещения, основанная на удовлетворении граничных условий (1.9), (1.10), а также условия для w (1.8). Поскольку рассматриваются только упругие деформации, Б « 1, "линейные "нелинейные"части соотношений могут быть получены раздельно. Разложение в степенные ряды оправдано в силу исследования длинноволновых процессов. Тогда предполагаются следующие выражения для продольных и поперечных смещений в размерном виде: Подставляя линейные части ui и WL (І.13), (1.14) в граничные условия (1.8) и в линейные части граничных условий (1.9), (1.10), и приравнивая нулю слагаемые при одинаковых степенях г, получаем выражения для щ. и w . Используя эти выражения, нелинейные части IIJVT,, W L находятся подробным образом уже из полных граничных условий. В частности, мы получаем, что щ(х, t) — U(x, ), a Uk и Wk выражаются через U и ее производные, Сравнение выражений для касательных напряжений показывает, что новый метод позволил получить меньшие по порядку величины (в L2/R2 раз) напряжения. Однако, более важные изменения обнаруживаются в решении модельного уравнения, что будет продемонстрировано далее. Предложенная процедура будет использована в дальнейшем в работе для вывода модельных уравнений как в одномерной, так и в двумерной постановках. Она с успехом позволяет получать уравнения и при неоднородных граничных условиях на боковой поверхности волновода.
Уединенные волны деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю среду с проскальзыванием
Напряжения на боковой поверхности стержня могут возникать вследствие взаимодействия с внешней средой, что имеет место во многих элементах реальных конструкций. Различные типы контакта могут реализовываться на границе между стержнем и средой. Полный контакт осуществляется через нормальные и касательные смещения напряжения [15, 18, 43, 75, 187, 195]. С другой стороны, контакт может быть слабым, только посредством нормальных смещений и напряжений, а по касательным напряжениям имеет место быть сила трения. Наконец, только нормальные смещения и напряжения воздействуют на поверхность стержня со стороны внешней среды при проскальзывании. Поверхностные напряжения могут также возникать вследствие недостаточно качественной обработки боковой поверхности волновода, формально они подобны силам поверхностного натяжения в жидкости [7, 70]. Аналитическое решение контактной задачи обычно очень сложно даже в рамках линейной теории упругости, см., например, [15, 187, 195] и приведенные там ссылки. Определенный прогресс был достигнут в описании коротких поверхностных акустических волн [236, 274]. В исследованиях волн деформации в стержне, взаимодействующем со средой, основное внимание уделялось поверхностным волнам, движущимся по боковой поверхности стержня перпендикулярно его оси (см., например, [7, 23, 105]). Мы, напротив, будем рассматривать объемные длинные продольные волны деформации, движущиеся вдоль оси стержня.
Будучи достаточно эффективными при рассмотрении стержня со свободной поверхностью, гипотезы плоских смещений и Лява не могут быть использованы здесь, в контактной задаче, поскольку они предполагают зануление нормальных напряжений на поверхности стержня, т.е. стержень не "чувствует"внешнюю среду. Рассмотрим изотропный бесконечно-протяженный стержень, взаимодействующий с другой внешней упругой средой без трения, см. Рис. 2.3. Мы будем рассматривать распространение волн малой, но конечной амплитуды. Осевая симметрия позволяет ввести лагранжевы координаты (x,r,if), где х направлена вдоль оси стержня, ц е[0, 2тг], 0 г R. Снова не будем учитывать кручение, тогда вектор смещения есть V = (u,w, 0). Мы используем модель Мурнагана (1.1) для моделирования энергии деформации в стержне. Вектор смещения для линейно-упругой внешней среды запишем как V\ — (щ, if і, 0). Плотность среды обозначим за р\, а ее упругие свойства будут описываться коэффициентами Ляме (Аі, /її). Все возмущения внутри стержня передаются во внешнюю среду лишь посредством нормальных смещений и напряжений, т.е., рассматривается контакт с проскальзыванием. Возмущения затухают во внешней среде вдали от стержня, т.е., волны являются объемными для стержня и поверхностными для среды аналогично постановке задачи о поверхностных волнах в полупространстве, покрытом тонким слоем другого материала [7, 65, 77, 107, 274]. Так как мы считаем деформации во внешней среде бесконечно малыми, то линейные уравнения для внешней среды имеют вид: Условия (2.24)-(2.26) определяют контакт с проскальзыванием, в то время как продольные смещения и и щ не связаны на границе г = R. Линейные уравнения (2.21) и (2.22) решаются с учетом граничных условий (2.24), (2.26), (2.27), предполагая, что смещение w на поверхности раздела является заданной функцией от х и t, т.е., w(x,t,R) = W(x,t). Тогда линейное напряжение агг на границе г = R получается как функция от И7 и ее производных, обеспечивая зависимость только от характеристик стержня в правой части граничных условий (2.25).
То же самое справедливо и для Удовлетворение граничных условий на поверхности раздела приводит к соотношениям между смещениями и деформациями внутри стержня, см. Раздел 1.2, позволяя получить только одно уравнение для длинных продольных волн из принципа Гамильтона-Остроградского (2.31) где, в дополнение к (1.38) включена элементарная работа внешних сил на боковой поверхности стержня. Объемная плотность лагранжиана есть С—К — П, где П, К и ЗА определены выражениями (1.1), (1.6) и (2.3(3) соответственно. 2.2.2 Внешние напряжения на поверхности стержня Сначала решим линейную задачу (2.21), (2.22) удовлетворяющую граничным условиям (2.24), (2.26), (2.27). Поскольку нас интересуют бегущие вдоль оси стержня волны, мы положим, что все искомые функции зависят только от фазовой переменной в = х — ct, где с -фазовая скорость волны. Положим, что щ, w\ суть тогда ФиФ удовлетворяют уравнениям: где Q и ст суть скорости продольных и поперечных линейных волн во внешней среде. Они зависят от плотности и коэффициентов Ляме, с2 = (Лі + 2/лі)//?і, и 4 = /іі/рі. Для решения уравнений (2.33), (2.34) мы используем преобразование Фурье от Ф и Ф: где а — 1 — с2/с2, и /? = 1 — с2/с2.. Соотношения между с, Q и ст определяют знаки а и /3, следовательно, возможны три возможных набора решений уравнений (2.35), (2.36) , затухающих на бесконечности из-за (2.27). Используя граничные условия (2.24), (2.26), получаем следующие соотношения для Фурье образов нормальных напряжений на боковой поверхности г — R : I) когда 0 с ст: где J% и К І (і — О,1) обозначают соответствующие функции Бесселя. В следующем разделе мы получим, что в длинноволновом пределе нормальные напряжения агг имеют одну и ту же функциональную форму на боковой поверхности стержня во всех трех случаях (2.37)- (2.39). Главное отличие заключается в том, как они затухают на бесконечности, это, в свою очередь, определяется монотонным затуханием функции Кг и колебательным функции J-i когда R —» со. Отметим, что зависимость деформации от скоростей объемных линейных волн Q, ст известна и для поперечных акустических волн Лява, распространяющихся в упругом слое, помещенном на упругое полупространство [7, 107, 230, 274].
Кинки деформации в упругом стержне, помещенном во внешнюю активную или диссипативную среду
Как известно, помимо уединенной волны колоколообразной формы, существует еще волна в форме кинка, которая также может распространяться с сохранением формы. В отличие от колоколообразной волны, возникающей за счет баланса квадратичной нелинейности и дисперсии, кинк может поддерживаться различными балансами. Например, такое решение модифицированного уравнения КдВ (МКдВ) возникает за счет баланса между кубической нелинейностью и дисперсией, см. об этом, например, в [1, 24, 51, 72, 100]. другая возможность реализуется при балансе между квадратичной нелинейностью и диссипацией (или накачкой), как, например, кинковое решение уравнения Бюргерса [24, 51, 100, 277J. Такая волна деформации описывает, в частности, процесс нагрузки/разгрузки волновода. Как и в предыдущем разделе, будет рассматриваться влияние внешней среды, описываемой моделью Керра [195]. Тогда на боковой поверхности стержня г — R имеем: Как будет видно ниже, третье слагаемое в (3.1) не окажет влияние на вид модельного уравнения, поэтому здесь оно опущено. Снова мы полагаем, что к и г) могут быть любого знака. Включение кубической нелинейности требует использования вместо пяти-константной модели Мурнагана (1.1) более общую, девятиконстантную модель (1.4). Теперь, помимо модулей Мурнагана третьего порядка (/, га, п), будут учитываться и модули четвертого порядка (ІД, IAJ, З VA)- Как уже отмечалось ранее, они могут быть как положительными, так и отрицательными. В остальном постановка задачи подобна рассмотренной в предыдущем разделе, за исключением того, что в рамках девятитиконстантной теории следует использовать выражение для плотности энергии деформации (1.4) и компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа Ргг, Ргх в виде (1-25), (1.26). Помимо предположений (і), (ii) из
Раздела 3.1, мы теперь положим что (iii) В R/L, обеспечив, тем самым, баланс между нелинейностью и диссипацией (накачкой). Для вывода модельного уравнения вначале определим, как и ранее, соотношения между продольными и поперечными смещениями и деформациями, где для коэффициентов имеем: Заметим, что g2, 62 всегда положительны, а Ьі, зі? &32- всегда отрицательны при положительных коэффициентах в (3.37) (классическая модель Ксрра), а другие коэффициенты Д;, і = 1 -і- 3, могут быть любого знака. Вследствие выбранной девятиконстантной модели нам следует провести усечение рядов (3.38), (3.39) и пренебречь нелинейными слагаемыми высоких порядков и "соответствующих"им по порядку малости слагаемых со старшими производными, используя для последнего предположение (Ш). "Наибольшее"среди слагаемых четвертого порядка есть г Ux RB4 R(R/L)4. Тогда "соответствующее "ему по порядку линейное слагаемое есть г4\)ХХХХ1 а кубическое слагаемое - r U .Uxxx. Аналогичным образом пренебрегаем и слагаемыми со смешанными производными. Подставляя (3.38), (3.39) в (2.31), и используя принцип Гамильтона- Остроградского, получаем, что продольные деформации, v = Ux удовлетворяют комбинированному уравнению с двумя дисперсиями: коэффициенты которого oti, і — 1 -г- 7 определяются как Все коэффициенты в уравнении (3.40) всегда положительные в рамках классической модели Керра, за исключением аз, а и &1-, которые могут быть любого знака в зависимости от значений упругих модулей Мурнагана. Отметим, что уравнение (3.40) получено в размерном виде без использования метода многих масштабов, поэтому в него входят слагаемые, которые могут быть разных порядков. Действительно, в силу предположений (і) и (іі), вообще говоря, последние четыре слагаемых в уравнении (3.40) меньше по порядку, чем остальные, и должны рассматриваться как малые возмущения. Этот случай мы в дальнейшем будем называть слабо-дисперсионным пределом. Отметим, что коэффициенты аз, б и aj зависят от модулей упругости третьего и четвертого порядков, которые, в отличие от коэффициентов Ляме, могут иметь разные знаки. Поэтому их комбинация в а% может оказаться малой величиной, & в aj -нет. тогда аз{ь2)ха: и a-? (v )xx окажутся слагаемыми одного порядка. При этом диссипативное слагаемое a2Vx:i:t, «2 = 0(1) будет превосходить нелинейные и воздействовать на волну раньше, чем начнет работать нелинейность. Однако, если влияние диссипации мало, к и т] - малые величины, то Q2 1, и мы получаем случай баланса между квадратичной-кубической нелинейностью и дисперсией, возмущенный дисси-иативным/активным воздействием. Мы будем называть это пределом слабой диссипации. Отметим, что ранее мы уже рассматривали распространение ко-локолообразной уединенной волны в стержне при наличии как квадратичной, так и кубической нелинейности для недиссииативного случая стержня со свободной боковой поверхностью. Ниже мы исследуем эволюцию кинка под действием диссипации/накачки. Предположим, что решение уравнения (3.40) зависит только от фазовой переменной в = x — ct, тогда в движущейся системе координат уравнение (3.40) становится обыкновенным дифференциальным уравнением вида где штрих обозначает дифференцирование но переменной 9; N есть постоянная интегрирования, и Уравнение (3.41) есть частный случай уравнения (6.15), рассмотренного в Главе 6. Среди полученных там точных решений есть два ограниченных решения: (і) решение в виде кинка где 4V«4 - к2 + с дополнительными ограничениями на коэффициенты: Периодическое решение (3.44) отличается от известной кноидальной волны уравнение КдВ и ограниченного решения уравнения МКдВ [1].
Отметим, что решение (3.44) существует только для ненулевого А, т.е.. при обязательном наличии диссипативного/активного слагаемого ДІ(І 2) В уравнении (3.41). Уравнение (3.40), или эквивалентная ему динамическая система, демонстрирует более сложный баланс между нелинейностью, дисперсией и линейной и нелинейной диссипацией (накачкой), чем требуемый для периодической волны баланс между нелинейностью и дисперсией, описываемый уравнениями КдВ и МКдВ. Когда к = 1, мы имеем С\ — 0, и решение (3.41) стремится к кинковому решению (3.42) подобно периодическому решению уравнения МКдВ, в то время как кноидальная волна уравнения КдВ трансформируется в колоколообразную уединенную волну в аналогичном пределе, см. Рис. 3.2. В отсутствие диссипации, /3\ = @4 — 0 уравнение (3.41) есть Это соответствует ОДУ редукции уравнения Гарднера, которое имеет одно-параметрическое решение в виде кинка (3.42) при выполнении (3.43), если (5\ — /?4 = 0. Однако, периодическое решение уравнения (3.46), имеющее предел в виде кинка при к — 1, имеет вид, отличный от (3.44):
Селекция нелинейных уединенных сейсмических волн
Недавно было установлено распространение иульсационных возмущений в горных породах [12, 68]. Форма этих волн отличается от обычных сейсмических волн гармонического типа, что потребовало развития новой теории, основанной на моделировании сейсмических волн при помощи уравнений Кортевега-де Вриза, Буссинеска и их обобщений [12, 68]. При этом было отмечено [69], что адекватное моделирование сейсмических сред может быть достигнуто путем использования формализма теории твердого тела с микроструктурой. Далее будет показано, как это помогает объяснить некоторые явления, связанные с притоком/оттоком энергии. В частности, внутренняя энергия может быть запасена в геофизической среде, чтобы в дальнейшем быть абсорбированной проходящей в среде сейсмической волной деформации. Последнее приводит к росту сейсмической волны, явлению, представляющему важное практическое значение [67, 118, 173, 156, 159]. Одна из идей подобного моделирования сейсмических волн следует из ди-латонной теории в механике разрушения [29]. В этой работе были рассмотрены флюктуации отрицательной плотности, называемые дилатонами, которые играют существенную роль в упрочнении твердых тел. Они рассматриваются как короткоживущие объекты, способные абсорбировать энергию из окружающей среды. При этом накопление энергии возможно лишь до определенного уровня, затем энергия отдается в среду, дилатон разрушается, порождая трещину. Качественно подобные понятия были в дальнейшем использованы для объяснения землетрясений [202]. Согласно этой работе необходимым условием разрушения среды под действием нагрузки является наличие пеоднород ности. Поэтому в [202[ было предложено рассматривать среду как двумерную и однородную, но содержащую линейные включения, подверженные осевому сжатию, что моделирует часто встречающиеся геологические повреждения, подверженные тектоническим напряжениям определенной ориентации. Область, находящаяся под нагрузкой, растет, пока поле напряжений не достигает порогового значения. Затем происходит выброс сейсмической энергии. Аналогичная дилатонная модель была предложена в [179] для объяснения природы предвестников землетрясений.
В частности, предполагалось, что механизм сейсмического излучения связан с быстрыми изменениями дилатации. Теория, развитая в работах [179, 202], линейная. Предварительные результаты, главным образом, качественные, были получены в [227] для прояснения роли одновременного влияния нелинейности и диссипации на эволюцию сейсмической волны. Наиболее важные результаты в области нелинейного описания сейсмических волн можно найти в работах [12, 68, 69, 156, 159]. В частности, для описания среды, которая может запасать и отдавать энергию в работах [156, 159] было предложено рассматривать земной пласт как некоторую последовательность упругих блоков, соединенных тонкими промежуточными слоями. Похожая модель исследовалась также Николаевским [68, 69]. Эти слои представляют собой неоднородности, в которые может закачиваться энергия, іде она может сохраняться и откуда она может выделяться, т.е. слои ведут себя как дилатоны. Для моделирования распространения сейсмических волн в горизонтальном слое в [156, 159] было предложено описывать распространение продольных сейсмических волн деформации при помощи нелинейного уравнения вида: где / есть объемная сила, обусловленная так называемым дилатонным меха аь 0 2, о-ъ -положительные константы, и є есть малый параметр. Вывод уравнения (4.37) в [156, 159] основывается на модели, где классические основные уравнения теории упругости дополняются учетом объемной силы, описывающей дилатонный механизм, тогда феноменологическое выражение для силы (4.38) систему исходных уравнений. О отсутствие этой силы при / = 0 уравнение (4.37) представляет собой уравнение КдВ, чье точное решение в виде уединенной волны, как известно, возникает в результате баланса между нелинейностью иих и дисперсией d иххх. Объемная сила / играет роль диссипации/подкачки энергии, разрушающей этот баланс. Когда все слагаемые в выражении для / диссипативные, уединенная волна затухает, а в чисто активном случае имеет место бесконечный рост амплитуды волны. Наиболее интересный сценарий возникает в смешанном диссипативно-активном случае. В частности, численные исследования в [156, 159] показывают преобразование начального солитона КдВ в другую локализованную устойчивую волну колоколообразной формы. Активная/диссипативная природа слагаемых в / зависит от значений коэффициентов 2i, 22? &з, Днако) численные исследования не могут описать интервалы значений, требуемых для получения устойчивой локализованной волны. Для этого требуется получить хотя бы частные решения уравнения.
Далее будет получено асисмптотическое решение, описывающее процесс эволюции начальной уединенной волны деформации под действием объемной силы / и установлена связь между коэффициентами уравнения аг и параметрами образующейся в результате эволюции устойчивой селектированной уединенной волны. Численное решение уравнения (4.37) покажет, что даже (і) в присутствии взаимодействия между уединенными волнами; (и) когда начальное возмущение имеет произвольную форму; (iii) когда параметр є не мал процесс эволюции и селекции уединенной волны находится в качественном и количественном согласии с найденным частным асимптотическим решением. Предположим, что є « 1, а функция и зависит от быстрой переменной и медленного времени Т , так что уравнение (4.37) есть Решение и уравнения(4.39) разыскивается в виде: В нулевом приближении получаем: Уравнение (4.41) содержит коэффициент V = V(T), следовательно, его точное решение в виде уединенной волны будет иметь медленно меняющиеся параметры, где V = 4dk2. в следующем приближении неоднородное линейное уравнение для щ есть которое может быть переписано в терминах амплитуды уединенной волны Корни квадратного уравнения 24a3Q2 - 28a2Q + 35ai -О, Характер изменения амплитуды уединенной волны Q зависит от значения Qo = Q(T = 0). Действительно, Q будет затухать при Qo Qb а ПРИ Q\ Qo Qi значение Q будет расти вплоть до Q2, наконец, при Qo Q2 амплитуда будет уменьшаться вплоть до Q2. Следовательно амплитуда (и другие параметры) уединенной волны будет стремиться к конечному значению, предписанному значениями коэффициентов а-и т.е.. она будет селектирована. Количественное описание изменения Q может быть исследовано путем интегрирования уравнения (4.46) в интервале (О, Т), что дает неявную зависимость Q от Т: Очевидно, что Т стремится к бесконечности при Q — С?2, а выражение (4.48) аналитически описывает процесс селекции волны (4.42). С учетом уравнения (4.46) решение для щ есть: Поскольку u\ не затухает при — —со, то позади уединенной волны возникает плато. Амплитуда последнего может быть положительной или отрицательной в зависимости от знака А\. Равномерно пригодное решение, затухающее при — — сю, может быть получено с использованием стандартной процедуры [1]. Можно сделать ряд важных заключений. Формально положив а? — О, аз — 0, получаем, что как поведение самой уединенной волны, так и знак амплитуды плато будут определяться знаком а\. Действительно, при а і О, амплитуда и скорость волны уменьшаются со временем согласно уравнению
