Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Удар конусом по нитевой сети 16
I Вывод уравнений движения сети 16
2 Вывод уравнений характеристик 21
3 Автомодельное движение и частный случай 27
ГЛАВА II. Плоское движение деформируемой сети 32
I Уравнения формы фронтов 32
2 Волновые схемы движения 35
3 ' Волны в сетях с предварительным натяжением... 35
ГЛАВА III. Экспериментальные исследования явлений, происходящих при ударе по сетям 48
I Экспериментальная установка 48
2 Постановка эксперимента 51
3 Картины движения сети при поперечном ударе ... 52
Г Л А В А ІV. Решение автомодельных задач 70
I Одномерное движение сети в пространстве 70
2 Удар тупым конусом по сети 84
3 Косой удар конусом по мембране 88
Выводы и заключения 96
Литература
- Вывод уравнений характеристик
- Автомодельное движение и частный случай
- Волновые схемы движения
- Картины движения сети при поперечном ударе
Введение к работе
Исследование явления удара по нитевым системам и мембранам занимают важное место в динамики деформируемого твердого тела. Изучение распространения волн деформаций в нитевых системах и мембранах при воздействии на них интенсивных кратковременных нагрузок представляет интерес как с теоретической точки зрения,,так и с практической - в связи с возрастающими требованиями современной техники.
Во многих отраслях встречаются действия интенсивных кратковременных нагрузок на сетчатые системы. В частности: в наземных и подводных сетях заграждения, ударные волны и порывы ветра, сейсмические и всевозможные взрывные нагрузки на большепролетные сетчатые перекрытия и т.д.
Сетчатые системы используются в различных областях современной техники, авиации, рыболовстве, строительстве и т.д. Явления удара по мембранам также представляет немалый интерес. С практической точки зрения задачи по мембранам связаны с проблемами пробивания тонких преград, торможением быстро движущихся тел, штамповкой и т.д.
Представленная работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию распространения волн деформаций по орто-тропным нитевым сетям, а также исследованию задачи о косом ударе по упругой мембране гладким конусом.
Задача распространения волн в деформируемых нитевых системах с учетом значительного отклонения формы нитей от первоначального прямолинейного в математическом отношении весьма сложная
- ч -
задача, так как уравнения движения представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Вопросам динамики мембран в последнее время в литературе уделено немалое внимание и получен определенный прогресс, однако большинство их посвящено плоскому движению мембраны при ударе по ней заданным телом. Решение же задачи косого удара конусом по мембране (решение на конусе в случае полного облегания мембраной конуса) представлено разными авторами в весьма ёмком виде. "Соседство" нитевых сетей и мембран можно объяснить некоторой общностью методов исследования их динамики как математических, так и экспериментальных.
Ниже приводится краткий обзор работ по проблемам непосредственно, либо косвенно связанными с теорией распространения волн в нитевых сетях и мембранах с их приложениями.
Широкие теоретические исследования задач распространения волн были начаты в 40-х годах. Рахматулин Х.А. Г40J впервые ввел понятие о волне разгрузки и решил обратным методом задачу. Рахматулин, Карман и Дюве [42J исследовали распространение упруго-пластических деформаций, используя координаты Лагранжа. Та же задача в эйлеровых координатах рассматривалась Тейлором.
Основы теории поперечного удара по гибким связям были заложены Рахматулшшм[4і]. Созданная им теория продольно поперечного удара по гибким связям отлична от обычно принятой "линейной", учетом значительного отклонения формы связи от первоначальной прямолинейной, нелинейностью зависимости напряжений от деформаций, а также спецификой условий в области соприкосновения с ударяющим телом. Дальнейшее развитие теория гибких связей получила в работах [7,11,12,18,20,21,22,31,36,39,43,64,69,75 3
- s -
ж др. Решению динамических задач посвящены труды |_42,5,46,24,1 и другие.
За последнее время большое внимание привлек класс как плоских, так и пространственных форм гибких связей. В работах [l,33j аналитически было найдено точное решение уравнений движения нити на поверхности абсолютно гладкого конуса и решены различные автомодельные задачи. Было выявлено новое волновое явление: двойной излом нити.
В последнее время большое внимание привлекли постановка и методика решений задач механики деформируемого твердого тела с широким применением математического аппарата [_5,10,4,17,22,30, 39],
Однако если в изучениях и исследованиях движения нитей картина достаточно ясна, то изучению поведения сетчатых систем и мембран в последнее время уделено немалое внимание в связи с множеством различных проблем как научного, так и технического характера.
О широком и разнообразном применении сеток в технике свидетельствует работа [бі], в которой отмечая успехи в области решения задач статики и устойчивости, указываются на не решенные проблемы: динамика сетчатых систем, влияние начальных деформаций, предельная нагрузка на решетчатую структуру и ряд других проблем.
В работе [в] , используя дельта-функцию Дирака для представления распределенных усилий, нагрузки и массы , вантовая сетка моделируется мембраной с нулевой сдвиговой жесткостью. Собственные частоты и формы нелинейных колебаний плоской предварительно напряженной вантовой сетки определяются методом крат-
ных масштабов времени теории возмущения.
В работе [7бЗ автор, развивая общие уравнения для двумерных волокнистых сред, моделирует фиброзную среду, как континуальную модель рам и решеток. Используя их, автор получает уравнения волокнистой среды, волокна которой проводят осевые силы сдвига и изгибающие моменты. Обсуждаются частные случаи, в которых предполагается, что тело составлено из трех семейств, параллельных волоки равномерной жесткости, два семейства которых образуют ортогональную сеть и семейство волоки образующих параметрические линии. Выводятся выражения для перемещения в случае волокнистой среды, образующей плотную, многократно статически неопределенную решетку. В|77] исследуется устойчивость плотных плоских стержневых решеток. Критические нагрузки вычисляются для прямоугольных решеток с прямоугольными, шестиугольными решетчатыми сетями.
Работа [57J посвящена колебанию перекрестной системы тросов при наличии постоянной поперечной нагрузки. До приложения нагрузок тросы образуют ортогональную систему линий, лежащих в одной плоскости. Решение задачи разбивается на две части. Сперва решается задача статики в нелинейной постановке, далее рассматривается задача о малых колебаниях в линейной постановке. Для описания характеристик рассматриваемой системы авторы вводят дельта-функцию Дирака. Система разрешающих уравнений в частных производных по методу Бубнова заменяется бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты счета сравниваются с опытными данными и приводится график изменения значений первой собственной частоты от величины статического прогиба.
В книге[38 J рассматриваются малые свободные и вынужденные колебания сетчатых оболочек и пластин наиболее часто встречающихся на практике: пологих, цилиндрических и оболочек вращения.
- f -
Теория построена на основе континуальной расчетной модели. Используя в основном линейную теорию, автор где необходимо учитывает и геометрическую нелинейность.
Модальный метод в нелинейном динамическом анализе канатных сеток применяется в работе[б5]. Рассматриваются случаи, когда пространственное представление нагрузки остается неизменным, а интенсивность нагрузки изменяется со временем. Приводится распространение теории сосредоточенных масс дискретного метода анализа на канатные сетки. Дифференциальные уравнения равновесия для смещений в направлении X , V и Z представляются в матричной форме. Составлены программы расчета на ЭВМ плоскостной сетки, кольцевой конструкции и гиперболической сетки. Надо отметить, что метод модальной характеристики пригоден только для сеток, обладающих большой симметрией. Кроме того, для плоскостной реакции сетки эффективность этого метода несколько ограничена.
Автором работы [э] изучается распространение волн деформаций по цилиндрической сетчатой оболочке. Предлагается использование такой оболочки в пневмотических шинах.
В работах [б, 28] также исследуются свободные колебания и устойчивость сетчатой цилиндрической замкнутой оболочки.
Распространение волн в упругом волокнистом материале, подкрепленным волокнами в двух направлениях, изучается в работе[б6]. Вариационным методом с помощью принципа Гамильтона-Остроградско-го составлены основные уравнения линейной задачи.
Используя свойства симметрии тросовых сеток, авторе для динамических расчетов применяет метод С - инвариантных подпространств. Висячее покрытие рассматривается в виде шарнирно соединенной системы стержней под действием сил в узлах. Методом
инвариантных подпространств задача определения амплитуд и частот колебаний системы приобретает блок-диагональную форму в виде суммы подматриц отдельных подпространств. Надо отметить, что этот метод позволяет упростить вычислительные процедуры.
Отражения волн Релея периодическими решетками полосок изучается в[бб]. В случае плоского деформирования задача решается по схеме возмущения. Рассмотрены случаи конечного и бесконечного числа полосок. Поля представлены как свертки функции Грина с неизвестным распределением поверхностных сил сцепления. Уравнения решаются методом сингулярного возмущения. Приведены выражения для коэффициента отражения.
Работа [бв] посвящена вопросам приближенного определения динамических характеристик пространственных стержневых решетчатых конструкций типа мачт высоковольтных электропередач, водонапорных и ретрансляционных башен, мостовых кранов и т.д.
Исследованию движения нелинейных вантовых сетей и мембран посвящена работа [23]. Задача решается численным способом. Пишутся выражения для потенциальной и кинетической энергии, входящие в уравнения Лагранжа, которые затем заменяются конечно-разностными аппроксимациями. На основании этого метода созданы алгоритмы для решения задач статики, динамики и устойчивости.
Движение прямоугольных решеток со свободно вращающимися узлами при узловой нагрузке, произвольно меняющейся во времени и инертной массе, рассматривается в работе[67J. Дифференциальные уравнения задачи представлены как одно уравнение с матричными коэффициентами, из которых , как частные случаи, следуют уравнения равновесия, гармонических колебаний и движения системы, как твердого тела.
Несмотря на широкое применение сетчатых конструкций и широкое исследование их в последнее время, некоторые важные проблемы динамики сетчатых систем, как например движение при больших деформациях, еще ждут своего эффективного решения.
Наряду с исследованиями нитей и нитевых систем проводились широкие теоретические и экспериментальные изучения явлений, возникающих при ударе по мембранам. В этой области первой была рассмотрена задача о нормальном точечном ударе с постоянной скоростью по неограниченной упругой мембране автором[12]. Задача была решена приближенно без каких-либо ограничений, накладываемых на меридиальное и кольцевое напряжения и было показано, что ни при каких скоростях удара пренебрегать кольцевым напряжением нельзя. Было показано, что в процессе нормального удара конусом по мембране возникают три области движения: область чисто радиального движения, область, где мембрана прогибается, но не контактирует-ся с поверхностью конуса (свободное поперечное движение) и область, где мембрана облегает поверхность конуса. Позднее, было указано, что область облегания разделяется на две: область движения мембраны с проскальзыванием и область без проскальзывания.
Задачи о нормальном ударе при наличие свободной области поперечного движения рассмотрены также и для упруго-пластических волн, возникающих в соответствующих мембранах. В случае схемы Прандтля задача решена методом последовательных приближений [20~J.
Немалый интерес представляет случай, так называемого "полного облегания". В процессе соударения с большой скоростью отсутствует область поперечного движения, т.е. граница набегания мембраны на ударяющее тело движется быстрее, чем фронт поперечной волны. В указанной постановке известна задачаГзб/ об ударе
- ід -
телом вращения по упругой мембране. Уравнения движения выведены без ограничения на величину деформации и получено точное решение для случая удара конусом с постоянной скоростью. В работе []27j решены задачи при до и сверхзвуковом режиме с учетом силы трения на линии набегания мембраны на ударяющее тело. В задачах об ударе затупленными телами по мембране показано [7J, что деформация в окрестности точки удара прямо пропорциональна скорости удара и обратно пропорциональна радиусу кривизны ударяющего тела.
Впервые неодномерную задачу об ударе по мембране рассмотрел автор [ 5Ґ], где задача решалась методом последовательных приближений. Точное решение было получено авторами(43J и сформулированы некоторые результаты с позиции теории аналитических функций. В работе [зі] исследовалась неодномерная задача о косом ударе нормально ориентированным конусом по упругой мембране. Позже было найдено решение на конусе в виде гипергеометрических функций.
В области динамики мембран изучалась картина движения резиновых, полиэтиленовых и металлических мембран при нормальном и косом ударе заданными телами [2l]. Теоретическому и экспериментальному исследованию динамики мембран посвящены работы [l8,37j.
В работе[45], исследуя однородные задачи динамики мембран, автор доказывает возможность применения метода конформного отображения в автомодельных задачах. Показана схема построения решений. в[4б] , используя эту схему, решена задача об поперечном нормальном ударе эллиптическим конусом по упругой мембране. Приведен численный расчет для мембран из различных материалов.
Хотелось бы отметить также, что между сетчатыми системами и мембраной существует и более общая зависимость. Многие авторы, исследуя различные сетчатые системы, рассматривают их как некую
- н -
модель сплошной среды. Об этом свидетельствуют работы авторов [14,48,78,2,19] . В книге [l4] , посвященной изучению анализа деформаций с использованием муара, указано, что для более точного изучения деформаций, возникающих в природе и технике, удобнее всего явление, либо элемент конструкции представить в виде мелкой сетки или нанесением сетки на исследуемую деталь. Этот метод, основы которого были заложены в работе[59], получил бурное развитие в дальнейших трудах [48,14]. В исследованиях деформаций используется метод муара и показывается возможность и необходимость его дальнейшего применения.
Муар - сравнительно новое пополнение в арсенале экспериментальных методов изучения деформаций. Это одно из наиболее тонких и точных средств измерения. Обычно под словом муар подразумевают-интерференцию, возникающую при наложении сеток. Однако муаровый эффект можно рассматривать по разному: геометрически, результат сложения двух функций, выраженных в параметрическом виде; интерпретировать как линии одинакового смещения. Однако наиболее применимым является геометрический способ, который впервые получил свое истолкование b[74J, и использован для определения деформаций в работе[62]. Геометрический подход позволяет изучать образование муаровых полос как результат пересечения двух систем линий эталонной сетки и сетки образца.
Представленная работа посвящена теоретическому и экспериментальному изучению распространения волн деформаций, возникающих в нитевых сетях при поперечном ударе , и исследованию задачи о косом ударе по упругой мембране гладким конусом.
Следует отметить, что все исследования в области теории сетчатых конструкций можно отнести к одному из двух направлений:
- /2 -
исследования, основанные на дискретной расчетной модели и исследования, основанные на континуальной расчетной модели. Работы, относящиеся к каждому из этих двух направлений, удачно дополняют друг друга.
В представленной работе упругая нитевая сеть рассматривается как некоторая континуальная система: напряженно деформированное состояние, перемещения и скорости описываются функциями непрерывно меняющихся аргументов. Такая модель,впервые предложенная в работе [2^, достаточно успешно исследовалась в работах [2,3,193 » где были выведены уравнения плоского движения, исследован класс автомодельных задач, решена задача нормального удара по границе полубесконечной сети и проведен ряд экспериментов. Опыт показал, что такой подход к исследованию сетчатых систем позволяет эффективно использовать методы механики деформируемого твердого тела и аппарат уравнений математической физики.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
В вводной части дается краткий литературный обзор исследований, имеющих непосредственное или косвенное отношение к теме диссертации, а также краткое содержание работы по главам.
Первая глава состоит из трех параграфов, посвященных исследованию движения нитевой сети при поперечном точечном ударе по ней жестким конусом.
В I строятся полные системы уравнений, описывающих движение деформируемое сети при поперечном ударе конусом. Сеть предполагается достаточно густой. Записываются геометрические условия для нитей, выводится уравнения силы реакции конуса. Таким образом, дополняя полученную систему уравнениями состояния, по-
- iZ -
лучаем замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, полностью описывающих движение сети на конусе.
В 2 определяются уравнения характеристик полученной системы. Вводя новые независимые переменные и получая замкнутую систему квазилинейных уравнений первого порядка в матричной форме, выводятся уравнения характеристик, из которых следует, что волны в гибких сетях не расщепляются, т.е. одно семейство волн порождает другое.
В 3 пишутся уравнения движения сети на конусе для автомодельных переменных, т.к. скорость движения точки, по которой производится удар, постоянна. Исследуется частный случай, когда сеть состоит из нерастяжимых нитей.
Вторая глава посвящена исследованию плоского движения деформируемой сети. Изучается процесс распространения волн деформаций с центральной симметрией, распространяющихся в невозмущенную область сети при поперечном ударе конусом, стальным бойком и т.д. Исследуется также процесс распространения волн деформаций в предварительно напряженных сетях, т.е. когда сеть имеет до удара определенный натяг. Аналитическим путем получены возможные волновые схемы движения.
В I, используя уравнения плоского движения сети, аналитическим путем выведены уравнения формы фронтов волн с центральной симметрией распространяющихся в невозмущенную область. Полученные уравнения представляют систему из четырех нелинейных дифференциальных уравнений.
В 2 предполагая, что сеть до удара находилась в покое,
уравнения формы фронтов волн решаются аналитическим путем. Получены возможные волновые схемы движения и показана их зависимость от интенсивности удара. Показано, что волновая схема движения представляет четырехконечную "звездочку", которая с наращиванием интенсивности удара утолщаясь будет стремиться к квадрату.
В 3 уравнения фронтов решаются для предварительно напряженной сети методом конечных разностей. Задавая определенный натяг сети, найдены возможные волновые схемы движения и показана их зависимость от натяга сети и интенсивности удара. Проведен анализ новых полученных волновых явлений и найдено единое решение семейств фронтов.
Третья глава, состоящая из трех параграфов, посвящена экспериментальному исследованию явлений, возникающих в сетях при поперечном ударе. В постановке и обработке экспериментов используется метод муара.
В I приводится описание экспериментальной установки. Эксперименты проводились с помощью пневмотической пушки и регистрирующей системы.
В 2 дается описание постановки и метода эксперимента. Сеть, состоящая из растяжимых нитей, надевается на квадратную рамку. Удары по ней производились жестким конусом, либо жесткими бойками, имеющими специальный наконечник, при помощи которого захватывался узел сети. Картина движения исследуемого объекта снималась скоростной киносъемочной камерой CKC-I, так как волны в сетчатых материалах распространяются со скоростью 200 м/с.
В 3 приводятся качественные выводы.
Как при постановке, так и при обработке экспериментов исполь-
- Vf -
зуется метод муара. В одном случае эталонную сеть накладывали на сеть образца, в другом накладывались негативы исследуемого объекта до и после удара. Полученные муаровы картины движения сетей подтвердили теоретические выводы.
В четвертой главе, используя некоторые результаты предыдущих глав, исследуется класс автомодельных задач.
В I построено решение задачи одномерного движения сети в пространстве. Поперечный удар по бесконечной сети производится вдоль некоторой прямой. Даны формулы, определяющие скорость распространения волн и проведен анализ поставленной задачи.
В 2 решена задача поперечного удара тупым конусом по предварительно напряженной линейно-упругой сети. Решение получено в виде ряда.
В 3 предложено новое, аналитическое решение задачи косого удара конусом по мембране. Показано, что решение задачи сводится к отысканию двух аналитических функций.
- -/6 -
Вывод уравнений характеристик
В настоящей главе исследуется плоское движение сети при поперечном ударе по ней с постоянной скоростью.
Проблема поперечного удара по нитевым сетям важна не только с теоретической, но и с практической точки зрения. Например, вопрос о величине критической скорости, о характере движения сетей заграждения, о деформации нитей в процессе ткачества и т.д.
Ниже исследуется процесс распространения волн с центральной симметрией, распространяющийся в невозмущенную область при поперечном ударе. Впервые найдена аналитическим путем точная волновая схема движения. Полученные нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие фронт волны плоского движения, решены также и для предварительно напряженной сети. Показаны возможные волновые картины движения в зависимости от предварительного натяга сети и интенсивности удара.
Уравнения формы фронтов При изучении движения сетей немалый интерес представляет распространение волн деформаций по сети в сравнительной отдаленности от возмзпцений, т.е. от места, по которому производится удар.
В уравнениях (1.1.15)-(1.1.16),, описывающих плоское движение сети, как и в работахі9,з] , переходя к безразмерным переменным - 33 зависящих от независимых переменных j -S /yj , С U/Jfib где fa - произвольная постоянная, имещая размерность скорости нетрудно получить:
Записывая характеристическое уравнение системы (2.I.D-C2.I.2), которое на границе где нет возмущения, описывает фронт волны плоского движения и учитывая, что на этой границе Иг , ДО , VX » vf непрерывны, получим уравнения формы фронтов волн. Не нарушая общности, предположим, что сеть состоит из одинаковых нитей и натяжения семейств одинаково, т.е.
Следовательно, фронт волн деформаций, распространяющийся в невозмущенную область, симметричен и имеет вид прямоугольной четырехконечной звездочки, которая при увеличении интенсивности нагружения будет утолщаясь стремиться к квадрату (см.рис.2). Параметр С зависит от интенсивности нагружения и с ростом скорости удара стремится к CL
Полученные эллипсы образуют некую эллиптическую "звездочку", т.е. фронт волн деформаций с центральной симметрией, распространяющийся в невозмущенную область и соответствующий минимальной интенсивности нагружения. Полученный фронт изображен на рис.3.
В случае если Q неограниченно возрастает, стремясь к CL эллипсы образуют окружность с центром в моменте нагружения, что легко проверить подстановкой Q. Z Q в уравнениях(2.3.3) (2.3.4) Нетрудно увидеть, что решение уравнений (2.1.6)-(2.1.7) будет вне эллипсов. Нелинейные дифференциальные уравнения (2.1.6)-(2.1.7) реша - 68 Рис. З ) (I2 - аЧ что и подтверждает численный расчет.
Из рисунков 4 и 5" видно, что в направление осей вдоль нитей сети распространяются две волны слабого разрыва с различными скоростями. С уменьшением направления скорость передней волны уменьшается, приближаясь ко второй волне и сливаясь с ней при угле 311 Ц
Штриховой линией на рисунках обозначен второй фронт волн имеющий несколько отличную скорость методом конечных разностей. Задавая определенный предварительный натяг сети, были получены различные варианты формы фронтов. Приняв и задав шаг \:г-0.О5» зафиксируем первые точки таким образом, чтобы подкоренные выражения имели смысл и были выражены в своем минимальном значении. Далее, применяя вышеуказанный метод, строим для каждого из четырех уравнений фронты.
а) Пусть fj Oji » т.е. натяжение сети невелико относитель но скорости удара. Зафиксировав начальные точки Sj tJ O и 2=09 То 0/05 » ш в 18 шагов определим последнюю точ- 9if0 TiDr038 Полученные расчеты показали, что значение увеличивается равномерно. Таким образом, проделывая аналогичные расчеты для каждого из уравнений (.2.1.6)-(2.1.7), получим волновую схему движения, изображенную на рис.4.
Как видно из рис.4 , единое решение обеих уравнений было получено на седьмом расчете, т.к. на каждых первых шагах мы увеличивали значение \л на 0,01. б) Пусть О-0/2 . Решая также уравнения (2.1.6)-(2.1.7) конечноразностным методом с сохранением шага и скорости удара, единое решение получим на четвертом расчете, что видно из рис.5. Результаты вычислений приведены в таблицах 1-5. Полученные решения можно подтвердить аналитически. Первое из уравнений (2.1.6) можно получить из второго (2.1.7), поменяв местами Т и . Эти уравнения имеют из двух множеств решений каждого - одно единое решение. Аналитически оно получается приравниванием правых частей (2.1.6)-(2.1.7)
Автомодельное движение и частный случай
В данной главе диссертации строятся решения некоторых автомодельных задач. Следует отметить, что проблема удара по нитевым сетям, тканям, мембранам важна не только с теоретической, но и с практической точки зрения. Некоторые из результатов, полученных в предыдущих главах настоящей диссертации,используются для постановки и решения автомодельных задач.
В данной главе построено решение задачи одномерного движения сети в пространстве. Даны формулы, определяющие скорости распространения волн и все необходимые параметры движения. Решена задача поперечного удара тупым конусом по линейно-упругой сети. Найденное решение представлено в виде ряда. И в заключение получено новое, аналитическое решение задачи косого удара по упругой мембране гладким конусом.
Одномерное движение сети в пространстве
Рассматривается поперечный удар по сети вдоль некоторой прямой. Исследование этой задачи является актуальным, так как.в современной технике очень часто встречается явление удара протяженным телом по сетчатым конструкциям. При этом рассматривается одномерное автомодельное движение сети.
Надо отметить, что одномерное плоское движение сети было рассмотрено в работах [2,19], где было построено автомодельное решение задачи, отвечающее удару по полубесконечной сети. Там же исследованы случаи непрерывных и разрывных волн. а) Постановка задачи Пусть по первоначально плоской невозмущенной ортотропной сети производится поперечный удар вдоль прямой линии (рис.22). Уравнения движения сети, как и в I главы I настоящей работы, запишем в проекциях: « где . Хи проекции вектора смещения на оси декартовых координат, Q - углы поворота L - го семейства нитей относительно осей координат; ui, - условные напряжения, LL - относительное удлинение t - ой нити, bj. - лагранжевы координаты частиц нитей, У - масса сети, приходящаяся на единицу площади в начальном состоянии; Оці - символ Кронекера.
Система (4.1.10) является однородной относительно ft и может иметь либо тривиальное решение, T.e.Jj — и » отвечающее областям постоянных параметров, либо нетривиальное. В последнем случае задача сводится к нахождению собственных чисел Л матрицы с элементами t=l,2 а скорости волн определяются из формул:
Таким образом, в противоположных направлениях (соответственно знаку ) распространяются три пары волн: одна поперечная и две плоские. В случае убывания с ростом параметров состояния имеют место размывающиеся фронты, в противном случае будут сплошные разрывы. Может иметь также место сочетание указанных волн, как указано для плоского случая в [2,19] .
Анализ решения уравнений (4.1.10) и (4.1.II) вызывает вообще значительные затруднения, притом возможно большое число волновых схем. Поэтому представляет интерес частный случаи, когда
Позади нее распространяется поперечная волна со скоростью] j=0 В ряде случаев, в том числе для линейно упругого материала скорости распространения волн возрастают с увеличением параметров состояния, из чего следуют возникновение сильных разрывов на фронтах (рис.25). В промежутках между фронтами и линией удара параметры постоянны согласно тривиальному решению уравнений.
Пусть по бесконечной линейно-упругой сети, находящейся в предварительно напряженном состоянии, производится поперечный удар с постоянной скоростью тупым конусом. Предполагается, что область поперечного движения сети прилипает к конусу. Решение ищется в плоской части сети.
В 3 главы П настоящей работы были найдены возможные фронты волн, характеризующие плоское движение предварительно напряженной сети. Таким образом, учитывая вышеизложенные результаты, решение задачи будеті искать в области, ограниченной криволинейным контуром ДВС , изображенным на рис.23. Учитывая, что конус тупой, линеаризуем уравнения (1.1.15)-(1.1.16). В случае безразмерных переменных, пренебрегая малыми величинами, нетрудно увидеть, что система распадается на два независимых уравнения для каждого из семейств составляющих сеть
Волновые схемы движения
Исследование явления удара по нитевым системам и мембранам занимают важное место в динамики деформируемого твердого тела. Изучение распространения волн деформаций в нитевых системах и мембранах при воздействии на них интенсивных кратковременных нагрузок представляет интерес как с теоретической точки зрения,,так и с практической - в связи с возрастающими требованиями современной техники.
Во многих отраслях встречаются действия интенсивных кратковременных нагрузок на сетчатые системы. В частности: в наземных и подводных сетях заграждения, ударные волны и порывы ветра, сейсмические и всевозможные взрывные нагрузки на большепролетные сетчатые перекрытия и т.д.
Сетчатые системы используются в различных областях современной техники, авиации, рыболовстве, строительстве и т.д. Явления удара по мембранам также представляет немалый интерес. С практической точки зрения задачи по мембранам связаны с проблемами пробивания тонких преград, торможением быстро движущихся тел, штамповкой и т.д.
Представленная работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию распространения волн деформаций по орто-тропным нитевым сетям, а также исследованию задачи о косом ударе по упругой мембране гладким конусом.
Задача распространения волн в деформируемых нитевых системах с учетом значительного отклонения формы нитей от первоначального прямолинейного в математическом отношении весьма сложная задача, так как уравнения движения представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Вопросам динамики мембран в последнее время в литературе уделено немалое внимание и получен определенный прогресс, однако большинство их посвящено плоскому движению мембраны при ударе по ней заданным телом. Решение же задачи косого удара конусом по мембране (решение на конусе в случае полного облегания мембраной конуса) представлено разными авторами в весьма ёмком виде. "Соседство" нитевых сетей и мембран можно объяснить некоторой общностью методов исследования их динамики как математических, так и экспериментальных.
Ниже приводится краткий обзор работ по проблемам непосредственно, либо косвенно связанными с теорией распространения волн в нитевых сетях и мембранах с их приложениями.
Широкие теоретические исследования задач распространения волн были начаты в 40-х годах. Рахматулин Х.А. Г40J впервые ввел понятие о волне разгрузки и решил обратным методом задачу. Рахматулин, Карман и Дюве [42J исследовали распространение упруго-пластических деформаций, используя координаты Лагранжа. Та же задача в эйлеровых координатах рассматривалась Тейлором.
Основы теории поперечного удара по гибким связям были заложены Рахматулшшм[4і]. Созданная им теория продольно поперечного удара по гибким связям отлична от обычно принятой "линейной", учетом значительного отклонения формы связи от первоначальной прямолинейной, нелинейностью зависимости напряжений от деформаций, а также спецификой условий в области соприкосновения с ударяющим телом
Картины движения сети при поперечном ударе
За последнее время большое внимание привлек класс как плоских, так и пространственных форм гибких связей. В работах [l,33j аналитически было найдено точное решение уравнений движения нити на поверхности абсолютно гладкого конуса и решены различные автомодельные задачи. Было выявлено новое волновое явление: двойной излом нити.
В последнее время большое внимание привлекли постановка и методика решений задач механики деформируемого твердого тела с широким применением математического аппарата [_5,10,4,17,22,30, 39],
Однако если в изучениях и исследованиях движения нитей картина достаточно ясна, то изучению поведения сетчатых систем и мембран в последнее время уделено немалое внимание в связи с множеством различных проблем как научного, так и технического характера.
О широком и разнообразном применении сеток в технике свидетельствует работа [бі], в которой отмечая успехи в области решения задач статики и устойчивости, указываются на не решенные проблемы: динамика сетчатых систем, влияние начальных деформаций, предельная нагрузка на решетчатую структуру и ряд других проблем.
В работе [в] , используя дельта-функцию Дирака для представления распределенных усилий, нагрузки и массы , вантовая сетка моделируется мембраной с нулевой сдвиговой жесткостью. Собственные частоты и формы нелинейных колебаний плоской предварительно напряженной вантовой сетки определяются методом крат - 6 ных масштабов времени теории возмущения.
В работе [7бЗ автор, развивая общие уравнения для двумерных волокнистых сред, моделирует фиброзную среду, как континуальную модель рам и решеток. Используя их, автор получает уравнения волокнистой среды, волокна которой проводят осевые силы сдвига и изгибающие моменты. Обсуждаются частные случаи, в которых предполагается, что тело составлено из трех семейств, параллельных волоки равномерной жесткости, два семейства которых образуют ортогональную сеть и семейство волоки образующих параметрические линии. Выводятся выражения для перемещения в случае волокнистой среды, образующей плотную, многократно статически неопределенную решетку. В77] исследуется устойчивость плотных плоских стержневых решеток. Критические нагрузки вычисляются для прямоугольных решеток с прямоугольными, шестиугольными решетчатыми сетями.
Работа [57J посвящена колебанию перекрестной системы тросов при наличии постоянной поперечной нагрузки. До приложения нагрузок тросы образуют ортогональную систему линий, лежащих в одной плоскости. Решение задачи разбивается на две части. Сперва решается задача статики в нелинейной постановке, далее рассматривается задача о малых колебаниях в линейной постановке. Для описания характеристик рассматриваемой системы авторы вводят дельта-функцию Дирака. Система разрешающих уравнений в частных производных по методу Бубнова заменяется бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты счета сравниваются с опытными данными и приводится график изменения значений первой собственной частоты от величины статического прогиба.
В книге[38 J рассматриваются малые свободные и вынужденные колебания сетчатых оболочек и пластин наиболее часто встречающихся на практике: пологих, цилиндрических и оболочек вращения.
Теория построена на основе континуальной расчетной модели. Используя в основном линейную теорию, автор где необходимо учитывает и геометрическую нелинейность.
Модальный метод в нелинейном динамическом анализе канатных сеток применяется в работе[б5]. Рассматриваются случаи, когда пространственное представление нагрузки остается неизменным, а интенсивность нагрузки изменяется со временем. Приводится распространение теории сосредоточенных масс дискретного метода анализа на канатные сетки. Дифференциальные уравнения равновесия для смещений в направлении X , V и Z представляются в матричной форме. Составлены программы расчета на ЭВМ плоскостной сетки, кольцевой конструкции и гиперболической сетки. Надо отметить, что метод модальной характеристики пригоден только для сеток, обладающих большой симметрией. Кроме того, для плоскостной реакции сетки эффективность этого метода несколько ограничена.
