Введение к работе
В работе разработан общий подход к описанию широкого класса интегрируемых систем и связанных с ними задач. В основе подхода лежит объединение алгебро-геометрического описания классических интегрируемых систем, разработанного И.Кричевером и Н.Хитчиным, теоретико-группового подхода М.Ольшанецкого и А.Переломова, а также обще-алгебраических конструкций Е.Склянина, Л.Фаддеева и других. В результате такого объединения возникает универсальный метод исследования интегрируемых моделей, позволяющий получать нетривиальные результаты как для самих классических систем, так и для ряда их обобщений. Среди них - задача квантования, построение 1 + 1 интегрируемых полевых обобщений, уравнения типа Пенлеве-Шлезингера и связанные с исходными моделями более общие задачи.
Общая идеология состоит в том, что указанные нелинейные системы могут быть получены редукцией из некоторой исходно свободной теории поля, а все данные конкретной модели содержаться в алгебро-геометрической конструкции и типе групповой симметрии, используемых в редукции.
Актуальность темы диссертации
В последние годы методы теории классических и квантовых интегрируемых систем испытали бурное развитие. Например, в физических приложениях они позволяют получить точные непертурбативные результаты в нетривиальных взаимодействующих теориях. Это, в том числе, наглядно проявилось в исследовании геометрической программы Ленглендса с помощью суперсимметричной 4-х мерной теории Янга-Миллса, в AdS-CFT соответствии, исследованиях гипотезы АГТ и других задачах. Общие теоретико-полевые методы в теории интегрируемых систем, хотя и не являются уже новыми, особенно в последнее время подтвердили свою успешность. В ряде работ автора были установлены различные взаимосвязи между интегрируемыми моделями, получены новые интегрируемые системы и квадратичные алгебры, описывающие скрытые симметрии интегрируемых спиновых цепочек. Уравнения изомонодромных деформаций также возникают в различ-
ных физических задачах. Примерами могут служить уравнения для производящих функций корреляторов в двумерных топологических теориях, струнное уравнение в матричных моделях, уравнения для корреляторов в квантовых решеточных моделях и конформных теориях. Их исследование позволяет осветить существенные свойства перечисленных теорий. Наряду с успехами теории интегрируемых систем следует отметить, что различные подходы развиваются почти независимо, что затрудняет как общее понимание теории, так и применимость тех или иных методов и конструкций. Одной из целей диссертации является попытка объединения ряда подходов, среди которых теоретико-групповой подход, алгебро-геометрическое описание, классический и квантовый метод обратной задачи рассеяния, системы Хитчина.
Цель работы
Основными цели работы: 1) исследование свойств модификации расслоений, ее действия на различные нелинейные уравнения, связанные с точно-решаемыми моделями, а также получение классификации интегрируемых систем по характеристическим классам; 2) использование описанной классификации для получения новых интегрируемых систем, квантовых R-мат-риц и квантовых квадратичных алгебр; 3) исследование монопольных решений уравнений Богомольного, связанных с характеристическими классами расслоений; 4) исследование классическо-квантового соответствия для уравнений Пенлеве.
Общей целью диссертации является применение теоретико-группового подхода и методов алгебраической геометрии к исследованию взимосвя-зей между различными интегрируемыми моделями и уравнениями изомо-нодромных деформаций, а также описание новых методов классификации и конструкций для указанных нелинейных задач.
Основные задачи работы
1. Модификации расслоений и классификация.
Ранее нами было определено понятие Симплектического Соответствия Гекке как соответствия интегрируемых систем, связанных процедурой мо-
дификации расслоений, изменяющей граничные условия линейной задачи [5]. Эта процедура, в простейшем случае описывающая изменение степени расслоения на единицу, в общем случае связывает системы с различными характеристическими классами. С точки зрения классической механики модификации (операторы Гекке) связывают многочастичные системы (типа модели Калоджеро и ее спиновых обобщений с динамическими граничными условиями для линейной задачи) с многомерными интегрируемыми волчками (типа Эйлера-Арнольда с нединамическими граничными условиями). При этом получаются явные формулы замены переменных. В общем случае (для произвольного характеристического класса) получен и явно описан широкий класс интегрируемых систем, содержащих оба типа степеней свободы [8, 12, 13, 16]. Представитель класса определяется структурной группой расслоения и выбором характеристического класса.
2. 1+1 полевые обобщения.
Ранее нами была предложена конструкция, позволяющая получать 1+1 полевые обобщения классических интегрируемых 0+1 моделей [5]. Ее основная идея состояла в замене конечномерной структурной группы расслоения на центрально-расширенную группу петель. Были явно описаны такие модели, как полевое обобщение системы Калоджеро. Калибровочная эквивалентность между системами различных типов, описанная в пункте 1, переносится и на полевые обобщения. Так, например, двумеризация эллиптической системы Калоджеро для пары частиц оказывается калибровочно эквивалентна магнетику Ландау-Лифшица. В диссертации исследован более общий класс интегрируемых полевых систем, а именно 1+1 версии модели Годена [11]. В простейших случаях полученные уравнения описывают магнетик Ландау-Лифшица, модель главного кирального поля, а в общем - "многоцветовые" эллиптические обобщения модели главного кирального поля. Физически такие системы описывают взаимодействие произвольного числа одномерных магнетиклв.
3. Характеристические классы и новые квантовые R-матрицы.
Исходная топологическая теория поля (до редукции) проста с точки зре-
ния пуассоновой и соответствующей R-матричной структуры. В результате редукции могут появляться как линейные (например, для системы Калод-жеро) так и квадратичные (для систем Годена) r-матричные структуры, порождающие алгебры Одесского-Фейгина [1, 9]. Подобно классической механике, в квантовом случае, в зависимости от того, каков тип системы, R-матрицы разделяются на нединамические (Белавина-Дринфельда, описывающие системы типа цепочек) и динамические (Фельдера, описывающие системы типа Русенарса). В случае произвольного характеристического класса для SL(7V, С) расслоения была получена квантовая R-матрица (для нее доказано уравнение Янга-Бакстера), которая является более общей и включает в себя вышеуказанные в виде частных случаев [17].
4- Изомонодромные деформации, уравнения Пенлеве и динамические граничные условия для XYZ цепочки.
С точки зрения общей конструкции переход от интегрируемых систем к уравнениям изомонодромных деформаций состоит в замене пространства модулей расслоений на пространство модулей плоских связностей. В результате такого перехода описан широкий класс уравнений типа системы Шлезингера [7]. Модификации расслоений по прежнему действуют калибровочными преобразованиями и устанавливают взаимосвязи между различными типами систем. Так, например, возникает неожиданно красивая интерпретация уравнения Пенлеве VI в эллиптической форме [2, 6, 3] как неавтономного гиростата, в котором модуль момента соответствует одной из констант уравнения Пенлеве, а вектор внешнего гиростатического момента - трем другим. При этом квантовый L-оператор удовлетворяет квантовому уравнению отражения, а соответствующая квадратичная алгебра обобщает алгебру Склянина [6]. Таким образом получены самые общие динамические граничные условия для конечной XYZ цепочки.
5. Монопольная интерпретация твиста Дринфелъда.
Процедура модификации может быть интерпретирована в виде действия операторов 'т Хоофта в суперсимметричной 4-х мерной теории Янга-Миллса, компактифицированной на риманову поверхность. В диссертации процеду-
pa модификации описана в терминах некоторых монопольных решений в трехмерной калибровочной теории [10]. В частности, найдено скалярное решение уравнения Богомольного в пространстве прямого произведения эллиптической кривой С на вещественную прямую с квазипериодическими граничными условиями. Ответ обобщает обычные эллиптические ряды Кронекера-Эйзенштейна и функциональное уравнение Римана. Таким образом, получена естественная деформация эллиптических функций на трехмерном пространстве. Полученное решение - шаг на пути построения монопольных решений уравнения Богомольного для произвольного ранга SU(N). Такие решения интересны, так как граничные условия задаются интегрируемыми системами, связанными преобразованиями Гекке (в квантовом случае твистом Дринфельда), отвечающих операторам 'т Хоофта в теории Янга-Миллса. Роль оператора Гекке выполняет как раз вставка монополя. Это происходит в следствие того, что такая вставка изменяет значение характеристического класса расслоения, определяющего фазовое пространство интегрируемой системы.
6. Квантование уравнений Пенлеве: соответствие классической и квантовой задач.
В [14, 15] описана связь между классическими и квантовыми уравнениями Пенлеве в терминах линейных s/(2, С)-значных задач. Классическое уравнение возникает как условие совместности (тождественное по спектральному параметру), а нестационарное уравнение Шрсдингсра с тем же потенциалом (теперь уже функции от спектрального параметра) выводится на компоненту общего решения линейных задач. А именно, явно показано, что для каждого уравнения Пенлеве существует такой выбор калибровки и такой выбор переменных, что из матричных линейных задач на одну из компонент их общего решения, следует скалярное уравнение, имеющие вид нестационарного уравнения Шредингера с классическим потенциалом Пенлеве. Тем самым, исходная линейная задача приводит как к классической
(условие совместности) так и квантовой (на компоненту решения) задачам.
Научная новизна и практическая ценность
Полученные в диссертационной работе результаты являются новыми. Все основные результаты описываются явными формулами, которые несомненно могут быть полезны при исследовании и использовании широкого класса интегрируемых систем, уравнений изомонодромных деформаций и ряда связанных с ними задач. Приведем краткий список явных результатов:
-
явное описание голоморфных расслоений на эллиптической кривой ST по характеристическим классам Н2(Т,, Z(G)), определяющимися элементами центра Z(G) структурной группы G: H2(E,Z(G)) ~ Z(G);
-
явное построение системы взаимодействующих волчков, отвечающей SL(7V, С)-расслоениям, где N = pi - составное число, а характеристический класс равен ехр( п^~ р)\
-
явное построение систем типа Калоджеро для расслоений с произвольной простой комплексной структурной группой и произвольным характеристическим классом;
-
построение решения квантового уравнения Янга-Бакстера, включающего известные эллиптические решения А. Белавина и Дж. Фельдера как частные случаи;
-
явное построение решения уравнения Богомольного на прямом произведении эллиптической кривой на вещественную прямую Етх1и доказательство соответствующего аналога функционального уравнения Римана;
-
явное построение новых, классических и квантовых квадратичных алгебр по уравнению отражения;
-
явное описание широкого класса уравнений изомонодромных деформаций - эллиптических систем Шлезингера;
-
получение явной замены переменных, переводящей уравнений Пенле-ве VI в неавтономную версию уравнения движения гиростата Жуковского-
Вольтерра;
9) явное описание L-A пар и уравнений движения для 1+1 полевых обоб
щений систем Годена;
-
построение явной замены переменных между эллиптической и рациональной линейными задачами для уравнений Пенлеве VI;
-
явная проверка квантового аналога соответствия Пенлеве-Калоджеро для всех уравнений Пенлеве;
-
получение решений функциональных уравнений для обратной задачи классическо-квантового соответствия для уравнений Пенлеве.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
-
Построена классификация широкого класса эллиптических интегрируемых систем и более общих систем нелинейных уравнений в терминах групповых и алгебро-геометрических данных [12, 13, 16]. Все модели разбиваются на классы эквивалентности. Сингулярное калибровочное преобразование изменяет топологический заряд и связывает внутри каждого класса различные системы, среди которых есть модели типа IRF, вершинные модели, а также и новые, являющиеся "промежуточным звеном" между указанными двумя. На уровне классической механики калибровочная эквивалентность устанавливается между интегрируемыми системами взаимодействующих частиц типа Калодже-ро и интегрируемыми волчками типа Эйлера-Арнольда, а смешанный случай соответствует системам взаимодействующих волчков [4]. Общее утверждение позволяет построить интегрируемую систему по расслоению со структурной простой комплексной группой Ли и по характеристическому классу, определяющимся элементом центра группы.
-
Получены новые квантовые динамические R-матрицы, описывающие "промежуточное звено" между нединамической R-матрицей Белавина-Дринфельда (связанной с вершинными моделями) и динамической R-матрицей Фельдера (связанной с моделями типа IRF и Русенарса) [17].
Все описанные R-матрицы связаны сингулярным калибровочным преобразованием (твистом Дринфельда или оператором Гекке) аналогично IRF-Vertex соответствию.
-
Описана монопольная интерпретация указанного выше твиста Дринфельда в виде оператора 'т Хоофта в некоторой трехмерной калибровочной теории [10]. Это означает, что упомянутое сингулярное калибровочное преобразование порождает в соответствующей 3-х мерной теории монополь Дирака, причем различные интегрируемые системы являются для монополя граничными условиями. Попутно получена и нетривиальная деформация эллиптических функций на 3-х мерное пространство.
-
Явно описан широкий класс эллиптический интегрируемых систем (типа Годена) и соответствующих уравнений изомонодромных деформаций (типа Шлезингера) [7], а также связанных с ними квадратичных алгебр [1, 9].
-
Получены наиболее общие квантовые динамические граничные условия для XYZ магнетика. Соответствующая квадратичная алгебра задается уравнением отражения и обобщает алгебру Склянина [6, 3]. На уровне классической механики общее классическое граничное условие для XYZ магнетика описывается гиростатом Жуковского-Вольтерра, а его неавтономная версия эквивалентна (с явной заменой переменных) уравнению Пенлеве VI. Эквивалентность устанавливается тем же сингулярным калибровочным преобразованием, с использованием ранее полученной в [2] L-A пары для Пенлеве VI.
-
Построены 1+1 интегрируемые обобщения систем Годена [11]. Полученные системы включают в себя модель главного кирального поля и магнетики (типа Ландау-Лифшица или непрерывной модели XYZ) как простейшие случаи первого и второго потоков в полной иерархии.
-
Описана связь между эллиптическими и рациональными линейными задачами для уравнения Пенлеве VI. Показано, что полученные при этом L-A пары связаны модификациями расслоений [8].
8) Установлено соответствие между классической и квантовой задачей для уравнений Пенлеве [14, 15]. Показано, что для каждого уравнения Пенлеве одно из уравнений в линейной задаче, записанное в подходящих переменных, имеет вид нестационарного уравнения Шредингера с соответствующим потенциалом по спектральному параметру. Тем самым, и классическое и квантовое уравнение содержатся в линейной задаче: классическое - как условие совместности, а квантовое - как уравнение на общую компоненту решения в подходящих переменных. Кроме того, решена и обратная задача, то есть показано, что при некоторых естественных условиях наличие скалярной линейной задачи в форме нестационарного уравнения Шредингера ограничивает возможный выбор потенциалов только потенциалами уравнений Пенлеве.
Апробация работы
Результаты представлялись соискателем на отечественных и международных конференциях и семинарах, в частности в ИТФ им. Ландау РАН, ОИЯИ, ФИАН имени П.Н Лебедева, МИАН им. ВА. Стеклова, ГУ ВШЭ, Max-Planck-Institut fur Mathematik (Bonn), Instituut-Lorentz for Theoretical Physics, Universiteit Leiden (Leiden), Eidgenussische Technische Hochschule (Zurich), Imperial College (London), Research Institute for Mathematical Sciences (Kyoto), SISSA (Trieste), а также неоднократно докладывались на семинарах ИТЭФ, всероссийских и международных конференциях.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 17 работ. Из них 15 работ -в реферируемых журналах и 2 - в реферируемых периодических научных изданиях.
Объем и структура диссертации
