Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией Побережный Владимир Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Фуксовы и регулярные системы 18

1.1 Монодромия 18

1.2 Регулярность 22

1.3 Пространство решений системы с регулярной особой точкой . 25

1.4 Резонансные особые точки 30

2 Изомонодромные деформации фуксовых систем 35

2.1 Пфаффовы системы 35

2.2 Пространство решений изомонодромного семейства 38

2.3 Шлезингеровские деформации 40

2.4 Нешлезингеровские деформации 44

2.5 Тэта-дивизор и тау-функция изомонодромной деформации . 49

3 Калибровочные преобразования фуксовых систем и их изомонодромных семейств 53

3.1 Повышение нормирования 54

3.2 Понижение нормирования 57

3.3 Калибровки, сохраняющие фуксов вид системы 59

3.4 Калибровочные преобразования изомонодромных семейств . 61

4 Изомонодромные деформации систем с коммутативной монодромией 63

4.1 Коммутативные системы 64

4.2 Нерезонансные системы 66

4.3 Построение резонансных изомонодромных семейств 70

4.4 Алгебраические свойства изомонодромных деформаций систем с коммутативной монодромией 77

4.5 Пример резонансного изомонодромного семейства 81

Заключение 83

Литература 85

• Пространство решений системы с регулярной особой точкой
• Пространство решений изомонодромного семейства
• Понижение нормирования
• Нерезонансные системы

Введение к работе

Изомонодромные деформации систем дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. При исследованиях в данном направлении широко используются методы таких наук, как дифференциальная и симппектическая геометрия, теоретическая физика, аналитическая теория дифференциальных уравнений, теория интегрируемых систем, теории специальных функций, абелевых интегралов и фробениусовых многообразий. В свою очередь, полученные результаты имеют приложения ко многим вопросам в указанных и во многих смежных областях науки.

Исторически, как и многие понятия и вопросы в теории дифференциальных уравнений, особенно в аналитической их теории, изомонодромные деформации впервые возникли в работах Б.Римана. Формулируя задачу, ставшую позже известной как проблема Римана, о существовании фуксовых уравнений с заданной монодромией, Б.Риман обратил внимание и на сохраняющие монодромию деформации таких уравнений. Позже выяснилось, что существует глубокая связь между изомонодром-ными деформациями и такими известными задачами того времени, как проблема Римана-Гильберта и задача о приведении к биркгофовой стандартной форме. Позднее, в начале двадцатого века, важные результаты, относящиеся к изомонодром-ным деформациям, были получены Л.Шлезингером, нашедшим простейший, в некотором смысле естественный, вид изомоно-дромных деформаций фуксовых систем, то есть систем с полюсами первого порядка. Л.Шлезингер также показал интегрируемость полученных им деформационных уравнений. Кроме этого Л.Шлезингером было найдено некоторое дискретное семейство калибровочных преобразований, сохраняющих монодромию системы. В тот же период П.Пенлеве и его ученики занимались за- дачей описания дифференциальных уравнении второго порядка, не имеющих критических подвижных особых точек. Позднее такое свойство уравнения стали называть свойством Пенлеве. В настоящее время с ним связывают также имя С.Ковалевской. В своей работе об интегрировании волчка она обратила внимание на то, что данное свойство выполняется лишь для трех специальных наборов параметров задачи. В первых двух случаях решения были найдены в работах Л.Эйлера и Ж.Лагранжа. В третьем случае ей удалось найти новые решения, воспользовавшись, таким образом, преимуществом того, что уравнение не имеет критических подвижных особых точек. Помимо уже известных и тривиальных П.Пенлеве и его учениками было найдено шесть новых уравнений, так называемых уравнений Пенлеве: Pj — Pyj. Данные уравнения оказались исключительно важными и часто встречаемыми в различных областях науки. Все эти уравнения, как было установлено позднее, являются редукциями шестого уравнения Пенлеве - Pyi> которое, в свою очередь, оказалось эквивалентным уравнению шлезингеровской изомонодромной деформации фуксовой системы ранга два с четырьмя особыми точками. В общем случае решениями уравнений Пенлеве являются новые трансцендентные функции, имеющие большую важность для различных приложений и многих теоретических вопросов. В настоящее время активно исследуются различные асимптотические, алгебраические, геометрические и прочие свойства решений уравнений Пенлеве.

Существующая связь между изомонодромностью и свойством Пенлеве является крайне глубокой и фундаментальной. Оба эти свойства, в свою очередь, связаны с понятием интегрируемости, как оно трактуется в теории интегрируемых систем. Например, общие уравнения изомонодромных деформаций, описанные М.Джимбо, Т.Мива и К.Уено обладают свойством Пенлеве, а в теории интегрируемых систем известен также тест Пенлеве, связанный с проверкой уравнения на возможность его интегри- руемости. Его идея заключается в том, что если нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных интегрируемо, то должна существовать некоторая процедура редукции, сводящая его к обыкновенному дифференциальному уравнению, обладающему свойством Пенлеве. В частности, известны такие редукции для уравнений Кортевега-де-Фриза, антисамодуаль-ных уравнений Янга-Миллса и многих других. Изомонодром-ные деформации дают один из самых богатых наборов уравнений, обладающих свойством Пенлеве, и этим объясняется такое широкое их распространение и использование в различных нелинейных задачах геометрии и физики.

Также крайне важным применением изомонодромных деформаций является исследование с их помощью алгебраических свойств решений различных нелинейных уравнений, которые можно представить как редукции уравнений деформаций. Несмотря на то, что решения уравнений изомонодромной деформации в общем случае невозможно выразить в явной форме через известные специальные функции, они являются новыми трансцендентными функциями; для некоторых частных случаев найти решения деформационных уравнений существенно легче, чем решения редуцированных нелинейных уравнений. Это дает возможность широкого применения изомонодромных деформаций к поиску решений, обладающих различными специфическими свойствами, для ряда важных нелинейных уравнений. Прежде всего, в этой связи следует упомянуть шестое уравнение Пенлеве, для которого многие алгебраические решения и наиболее изящное описание полной группы симметрии были получены именно с помощью изомонодромных деформаций.

В пятидесятые годы двадцатого века Х.Рёрль впервые применил в исследовании систем линейных дифференциальных уравнений (а точнее, он рассматривал проблему Римана-Гильберта) методы теории расслоений и связностей. Он предложил рассматривать систему линейных дифференциальных уравнений как набор уравнений на горизонтальные сечения для соответствующей связности в некотором расслоении. Такой подход оказался исключительно плодотворным и вскоре широко распространился и на другие вопросы теории дифференциальных уравнений. Следует отметить работы П.Делиня, исследовавшего аналогичными методами уравнения с частными производными. Существенную роль в его подходе сыграла также теория пучков. Для обыкновенных дифференциальных уравнений важнейшие достижения были получены Б.Мальгранжем. В ставшей классической работе "Sur les deformations isomon-odromiques" Б.Мальгранж решил в терминах расслоений и связ-ностей задачу о построении изомонодромной деформации заданной системы дифференциальных уравнений. Для этого он сначала представил фуксову систему как связность с логарифмическими особенностями на тривиальном расслоении над сферой, Следующим шагом было представить эту пару расслоение-связность как ограничение на сферу некоторой плоской меро-морфной связности, определенной на большем расслоении с базой, имеющей вид прямого произведения сферы на пространство параметров деформации. В качестве последнего в классическом случае берут С¹ без диагоналей, то есть С¹ \ Ubyi^a* — ^аЛ-В этом случае условие отсутствия диагональных гиперплоскостей означает запрет на слияния особых точек. Плоскую связность можно, в свою очередь, трактовать как вполне интегрируемую пфаффову систему. Следовательно, как всякое ограничение вполне интегрируемой пфаффовой системы на подмногообразие размерности один, конструкция Мальгранжа дает изо-монодромное семейство линейных дифференциальных систем-Кроме того, Б.Мальгранж показал, что уравнения изомонодромной деформации обладают свойством Пенлеве, то есть имеют среди своих подвижных особых точек только полюса. Множество данных особенностей образует аналитическое множество коразмерности один и называется дивизором Мальгранжа или тэта-дивизором.

Дивизор Мальгранжа играет важную роль в описании свойств и структуры изомонодромных деформаций. С одной стороны, как мы уже указали, данный дивизор является множеством подвижных особых точек некоторого уравнения, обладающего свойством Пенлеве. В соответствии со свойством Пенлеве, все его точки являются полюсами конечного порядка, то есть данное множество действительно является дивизором. С другой стороны, можно заметить, что в нерезонансном случае дивизор Мальгранжа в точности совпадает с множеством точек, для которых расширенная проблема Римана-Гильберта, заключающаяся в построении фуксова уравнения с заданными монодромией, особенностями и асимптотиками, решения не имеет. В резонансном случае, ввиду дополнительных симметрии, необходимо более тонкое рассмотрение.

Еще одним аспектом изомонодромных деформаций, при исследовании которого возникает тэта-дивизор, является изучение их симплектических свойств. Как известно, отображение монодромии является симплектическим отображением из пространства модулей связностей в пространство модулей представлений. Последнее можно рассматривать как симплектический фактор произведения орбит относительно некоторого коприсо-единенного действия калибровочной группы. Изомонодромные деформации в таком подходе задаются симплектической связностью в расслоении над пространством параметров деформации. Дивизор Мальгранжа при этом описывает множество точек, на котором происходит нарушение и вырождение различных симплектических свойств теории. Современное описание симплектической геометрии изомонодромных деформаций можно найти в работах Ф.Болча и Б.Мальгранжа.

В семидесятые годы М.Джимбо, Т.Мива, М.Сато и К.Уено исследовали изомонодромные деформации с помощью гамиль-тонова формализма и пуассоновой геометрии. При этом оказа- лось, что важную роль в описании изомонодромных деформаций играет их тау-функция. Эта функция зависит от параметров деформации и является производящей функцией гамильтонианов в задаче изомонодромной деформации. Данная тау-функция аналогична тау-функциям интегрируемых систем, однако зависит от конечного числа параметров. Вопрос об эквивалентности тау-функций изомонодромной деформации и интегрируемых иерархий до конца еще не выяснен. Известно, что дивизор Маль-гранжа совпадает с множеством нулей тау-функции изомонодромной деформации. На настоящий момент не известен эффективный способ вычисления тэта-дивизора, существующие алгоритмы позволяют получать лишь локальные характеристики дивизора.

В настоящее время исследование тэта-дивизоров изомонодромных деформаций является важной и активно разрабатываемой темой в аналитической теории дифференциальных уравнений.

Как уже отмечалось выше, резонансные системы и изомоно-дромные семейства, вызывают известные сложности при исследовании. Это объясняется, с одной стороны, более сложной и богатой структурой системы или семейства чем в нерезонансном случае, и нарушением или вырождением некоторых базовых свойств системы или семейства, с другой стороны. На настоящий момент существует довольно малое количество работ, посвященных системам с резонансными особыми точками. Еще раз подчеркнем, что это вызвано не незначительностью предмета, а сложностями в его исследовании.

Настоящая работа посвящена исследованию изомонодромных деформаций фуксовых систем, имеющих коммутативную мо-нодромию. Важной особенностью коммутативной монодромии является то, что для любого набора особых точек и заданного представления коммутативной группы легко явно предъявить решение соответствующей проблемы Римана-Гильберта, то есть фуксову систему с заданными особенностями и монодромиеи. Более того, данное явное решение тривиальным образом можно продолжить до изомонодромного семейства. В таком тривиальном изомонодромном семействе вычеты системы не зависят от положения полюсов и остаются неизменными при всех деформациях. Если теперь провести калибровочное преобразование данного семейства, то мы получим другое, в общем случае уже нетривиальное, изомонодромное семейство. Возможно, оно будет иметь особенности, то есть некоторый тэта-дивизор. Так как все эти особенности содержатся в проведенной калибровке, за их появлением можно проследить, и получить описание тэта-дивизора построенного изомонодромного семейства.

В настоящей работе построен набор элементарных калибровочных преобразований, применимых как к фуксовым системам, так и к их изомонодромным семействам. С помощью построенных преобразований проведено исследование различных, в том числе резонансных, изомонодромных семейств фуксовых систем. Оказывается, что в отличие от нерезонансного случая, когда система однозначно определяется своей монодромиеи, набором особых точек и показателей, и всякие две системы с совпадающими наборами указанных данных отличаются на постоянную матрицу, наличие в системе резонансов может привемти к существованию непрерывного множества неэквивалентных фуксовьгх систем с заданными монодромиеи, особенностями и показателями. Данное свойство объясняется тем, что в резонансном случае в описание пространства решений системы входят дополнительные параметры, а именно, системы могут отличаться выбором направлений, соответствующих резонансным асимптотикам системы. Последние, в общем случае, не определяются однозначно из монодромии системы. Так как всякая резонансная система полностью описывается своей монодромиеи, особенностями, показателями и набором выделенных резонансных направлений, то множество непрерывных изомонодромных дефор- маций такой системы помимо шлезингеровских, в общем случае ненормализрванных, деформаций включает в себя и непрерывные деформации резонансных направлений системы. В общем случае, такие деформации не зависят от деформаций положения полюсов системы. Ввиду однозначности определенной описанным набором данных системы, множество ее непрерывных изомонодромных деформаций исчерпывается указанными двумя типами деформаций.

Применяя построенные изомонодромные деформации к исследованию изомонодромных семейств с коммутативной монодромией, можно показать, что все такие деформации являются рациональными. То есть, коэффициенты соответствующей пфаффовой формы суть рациональные функции, как от положения полюсов системы, так и от дополнительных параметров, возникающих в резонансном случае. Соответственно тэта-дивизор и тау-функция семейства также задаются рациональными функциями.

Основными результатами, полученными в работе, являются следующие:

Построены рациональные калибровочные преобразования изомонодромных семейств.

Дано полное описание непрерывных изомонодромных деформаций фуксовых систем с коммутативной монодромией.

Показано, что в резонансном случае помимо положения полюсов системы могут существовать дополнительные параметры деформации. Объяснена природа этих дополнительных параметров,

Показано, что изомонодромные деформации фуксовых систем с коммутативной монодромией имеют рациональный вид.

Показано, что тэта-дивизор изомонодромного семейства с коммутативной монодромией задается рациональным уравнением.

Построены явные примеры изомонодромных нешлезинте-ровских семейств с коммутативной монодромией, обладающих дополнительными параметрами.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Дифференциальных уравнений Математического института им. В.А. Стеклова РАН, на естественно-научном и студенческом семинарах в ФГУП ГНЦ РФ Институте теоретической и экспериментальной физики, результаты докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004) и международных конференциях "Theories asymptotiques et equations de Painleve" (Анжер, Франция, 2004), "Singularites des equations differentielles, systemes integrables et groupes quantiques" (Страсбург, Франция, 2004), "4-ёме Rencontre sur les systemes completement integrables et la theorie quantique des champs" (Пейреск, Франция 2004).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Текст диссертации содержит 86 страниц.

Содержание работы

Содержание работы

Во введении формулируются мотивации и цели исследования, освещена история вопроса. Описано положение дел в ис- следуемой области, описана структура работы.

В первых двух главах диссертации излагаются необходимые для работы сведения из теории фуксовьгх, регулярных систем и их изомонодромных деформаций.

Пространство решений системы с регулярной особой точкой

Пусть X пространство решений системы с регулярной особой точкой щ. Выберем в качестве базиса в X столбцы какой-нибудь фундаментальной матрицы решений Y[z). Пусть после фиксирования некоторой точки ZQ матрица Y(z) имеет в точке щ матрицу монодромии Gj. Иными словами, при аналитическом продолжении вдоль петли 7, начинающейся в точке ZQ И обходящей против часовой стрелки точку щ, фундаментальная матрица Y(z) переходит в фундаментальную матрицу решений У (г), связанную с Y(z) матрицей GJ: Y{z) Y {z) = Y{z)Gi. Логарифм матрицы Gj определен неоднозначно. Действительно, собственные значения логарифма определены лишь с точностью до 2тгг. Поэтому, чтобы избежать неопределенности и для удобства дальнейшего рассмотрения, введем следующую нормализацию логарифмов. Определение 4 Пусть G - некоторая матрица монодромии. Тогда её нормализований логарифм есть матрица Е следующего вида: E= .\nG ЙЛЄ[0;1), где рі собственные значеним Е, a $lpi - их вещественные части. Посмотрим, как ведет себя матрица (z — аі)Еі под действием оператора монодромии gf. Имеем gf ({z - ai)E ) = g (е Ч - )) = еД(Ч -аО+2«) = = [z - ai)feE = [z - o,)f СУ,. {ll) Отсюда следует, что д\ -0,)- )=0 - . (18) Значит, взяв произведение У (z)(z—(ц) , мы получим однозначную в окрестности точки z — ai матричную функцию. Из регулярности Y(z) и того факта, что ipai {(z — ІІ)ЕІ) = 0, следует мероморфность однозначной функции M{z) = Y(z)(z — a,i) Ei. Теперь мы уже можем дать некоторое описание фундаментальной матрицы Y(z), а значит и пространства решений X в окрестности регулярной особой точки.

Наряду с левелевским базисом важным и удобным для работы является и слабо левелевский базис. Определяется он следующим образом. Пусть пространство решений X раскладывается в прямую сумму корневых подпространств X — Xi(Q...Xm, отвечающих попарно различным собственным значениям а\, ...ост оператора монодромии д . Выберем в каждом из X свой левелевский базис. Объединение всех этих базисов дает некоторый базис пространства X, обладающий свойствами 1) и 3) левелевского базиса. Базисы, обладающие такими свойствами, называются слабо левелевскими.

Итак, пусть Y(z) - фундаментальная матрица, построенная по левелевскому базису {ег..уеп} уравнения (1). Обозначим диа гональную матрицу левелевских нормирований Y(z) через А . Ai = diag{ip\.,..., .), (20) РЪ=(Р н{ез). (21) Несложно заметить, что в левєлевском базисе нормирования Y {z) совпадают с нормированиями матрицы M(z) из разложения (19). Действительно, представим M(z) — Y(z){z — ОІ)ЕІ И воспользуемся тем, что при выбранной нами нормализации логарифма элементы верхнетреугольной матрицы (z — щ)Е{ имеют вид Oij — X)f=i(z _ аі)рк {Щ — а )), где Plj - многочлены степени не выше р, и 5ftpj Є [0,1). Мы видим, что 1-й столбец матрицы M(z) является суммой первых I столбцов матрицы Y(z) с коэффициентами вида Оу, причем l-тк столбец входит с ненулевым коэффициентом (z — й()р . Следовательно, из свойства 2) левелевского базиса и свойств 2) и 3) левелевского нормирования получаем, что нормирование l-то столбца M(z) действительно равно нормированию /-го столбца Y(z). Аналогичные рассуждения можно провести и для слабо левелевского базиса. Уточним вид пространства решений уравнения вблизи его регулярной точки.

Из свойств (слабого) певелевского базиса следует, что матрица (Л + (z — ai)AiEi{z — аї) Аі) является голоморфной в окрестности aj. Кроме того, она верхнетреугольна и ее диагональ совпадает с диагональю матрицы А% + Е . Отсюда следует, что собственными значениями В$(щ) являются показатели системы. Теорема 1.3 Показатели системы (1) е фуксовой особой точке совпадают с собственными значениями вычета матрицы коэффициентов системы в этой точке. Заметим, что приведенные здесь рассуждения позволяют ослабить требования к базису в критерии фуксовости особой точки. Действительно, из проделанных выше выкладок легко вывести следующее утверждение. Теорема 1.4 Пусть некоторая матрица Y{z) имеет разложение вида (22), где U(z) голоморфно обратима в окрестности щ, а матрица А диагоналъна и целочисленна.

Пространство решений изомонодромного семейства

Рассмотрим сначала случай достаточно малого изменения параметра а. Пусть а = (а±, ...) (ао), где D(OQ) - шар малого радиуса с центром в ао в пространстве О1 \Ut j{at — aj}- Условие а ф \Ji j{ai — aj} означает, что мы требуем, чтобы особые точки не сливались, то есть при всех значениях параметра а система должна иметь ровно п особых точек кратности 1. Семейство (32) определено на пространстве Z = СР1 х D(ao) \ (JiLiI-2 Н 0}, которое посредством некоторой ретракции г может быть стянуто на СР1 \ {а5,..- а}. Следовательно, фундаментальная группа тгі(Сп \ Ut/j{ai = aj},{zo,a)) изоморфна группе тг СР1 \ {a5,...,a }. Теперь мы можем корректно определить изомонодромность семейства (32), потребовав, чтобы при любом фиксированном а а система имела по отношению к гомотопическим классам у? = гГ1 ) ту же монодромию, что и система (31) относительно классов 7, соответствующих обходу вокруг а на сфере Римана СР1. Последнее условие эквивалентно тре бованию, чтобы при всяком значении параметра а существо вала некоторая фундаментальная матрица Y(z,a) соответству ющей системы из семейства (32), имеющая относительно путей 7f одни и те же матрицы монодромии Gi при всех а Є D(ao). Если рассматривать Y(z, а) как семейство относительно пара метра а, мы получаем изомонодромное семейство матриц. Оказывается, что все изомонодромные деформации, параметризуемые положением полюсов о соответствуют некоторым вполне интегрируемым системам на пространстве CF хС с координатами (z,a). Итак, напомним некоторые факты о пфаффовых системах. Пусть U - некоторая область в т-мерном пространстве, Q -матричная 1-форма размера р х р, определенная на Е/, с особенностями на кривой S. Обычно Е полагают аналитической гиперповерхностью. Пфаффовой системой называют уравнение dy = Пу. (33)

Как известно, при т = 1 уравнение всегда разрешимо, по крайней мере локально, то есть существует полный набор независимых решений - фундаментальная матрица Y, В многомерном случае, то есть для уравнений с частными производными, это не всегда верно, мы получаем переопределенную систему, где на р функций приходится пр уравнений в частных производных. Для обеспечения интегрируемости требуется наложить некоторые дополнительные условия на 1-форму Q. Заметим, что если фундаментальная матрица Y все-таки существует, то, полагая U dYY l, получаем dQ = -dY Л dY l = dYA Y ldYY l = dYY l A dYY l = Q Л fi. (34) Таким образом, необходимым условием интегрируемосты пфаффовой системы является dQ. = П Л П. Если рассматривать Q как форму связности на /, то это условие интегрируемости эквивалентно плоскостности соответствующей связности. Можно показать, что данное необходимое условие является также и достаточным. Для этого, в соответствии с общими теоремами Фробениуса, следует показать, что в пространстве U х Мп с координатами (i, Y) для распределения 0 = dY ОУ выполняется условие Ю = 0 (В). (35) То есть dS должно лежать в дифференциальном идеале, порожденном в. Имеем dQ = -d(Or) = -dQY + П Л dY = -(dfi - Q Л Q)Y + П Л Є. (36) Следовательно, если выполненяется условие нулевой кривизны dQ, — Q, Л Q = 0, то dQ = Q Л 0 и условия теоремы Фробениуса выполнены. Таким образом, условие нулевой кривизны является необходимым и достаточным условием интегрируемости пфаффовой системы, Рассмотрим теперь связь пфаффовых систем с изомонодромными деформациями.

Итак, пусть нам дана регулярная плоская связность на U, то есть некоторая вполне интегрируемая пфаффова система, имеющая особенности на гиперповерхности . Выберем в U некоторую одномерную кривую Z с параметризацией z : Z — С. Причем будем считать, что Z пересекается с 2 трансверсально во всех их общих точках. Обозначим через w ограничение формы Q на Z: u = Q\z. (37) Очевидно ограничением регулярной плоской связности на U с формой Q на кривую Z является регулярная плоская связность HaZc формой связности ш. Интегрируемость (плоскость) связности Q дает нам "независимость" монодромии ограничения связности на Z от самого Z. Более точно, локально можно считать пространство U расслоенным над некоторым пространством Р со слоем Z: U Рх Z dim U = m I Р (38) Р dimP = m-l. Предположим, над некоторой точкой Ао Є Р расслоение, в ограничении на U \ , топологически локально тривиально. В этом случае, полагая Z\ = р_1(А), для некоторой окрестности V точки Ао при всех А Є V множества Z\ = Z\ \ {Z\ П 2) гомеоморфны множеству Z\v — Z\0 \ (Z П ). Хотя данный гомеоморфизм и не канонический, он тем не менее позволяет с помощью любого непрерывного сечения а : Р — U \ отождествить фун-даментальные группы тгі(2Гд0,ао) ж iri(Z a). Теперь очевидно, что группы монодромии связностей Од — Щ2 сопряжены друг другу. Действительно, так как U интегрируема, существует некоторое глобальное сечение У, определяющее монодромию каждого ограничения. Способ сравнивать монодромии близко лежащих слоев также уже указан. Таким образом, вполне интегрируемая пфаффова система определяет на каждом из слоев плоскую связность с одной и той же монодромией, или, что то же самое, некоторое изомонодромное семейство. То есть изомоно-дромные семейства можно получать ограничением вполне интегрируемых пфаффовых систем на подмногообразия размерности один. Далее мы увидим, что обратное утверждение тоже верно, то есть всякой изомонодромной деформации соответствует некоторая вполне интегрируемая пфаффова система на большем пространстве.

Понижение нормирования

Метод уменьшения некоторого выбранного показателя системы аналогичен уже рассмотренному способу увеличения нормирования. Тем не менее, есть и некоторые отличия.

Для левелевского базиса Yiev с дополнительным свойством Ui(di) = 1 искомой калибровкой, очевидно, является diag(l,..., (г — а )"1,..., 1), где (z —а»)-1 опять стоит на месте, соответствующем столбцу, являющемуся собственным вектором монодромии с собственным значением ft?. Существенным здесь является отсутствие ненулевых элементов в А;-ой строке голоморфно обратимой части левелевского разложения, за исключением к-го. Нарушение этого свойства ведет к уменьшению не одного нормирования, а нескольких, отвечающих ненулевым элементам строки. Данное несовпадение (требование к строке, а не столбцу) со случаем повышения нормирования объясняется тем, что правильно понимать повышение нормирования как повышение в некотором собственном направлении, а понижение как понижение "поперек" некоторой собственной гиперплоскости оператора Bj.

Очевидно, такой выбор С всегда возможен. Достаточно взять в качестве столбцов со второго по п-ый произвольную комбинацию собственных векторов Д с собственными значениями неравными /?/. В случае, если значению Щ отвечает одна жорданова клетка, первым столбцом следует взять младший присоединенный вектор. Это соответствует тому факту, что левелевская фильтрация пространства решений связана с жордановой, нормирования элементов жорданова базиса упорядочены по убыванию внутри каждой клетки.

Как и при повышении нормирования, применение данной калибровки приводит к возникновению ложной особой точки в бесконечности. Способ компенсировать этот эффект приведен в следующем разделе. 3.3 Калибровки, сохраняющие фуксов вид системы

Как следует из соотношения Фукса на показатели системы, невозможно изменить ровно одно нормирование системы так, чтобы она осталась фуксовой и не имела дополнительных особых точек. Следовательно, увеличив какое-либо нормирование системы, для того чтобы не добавлять новых особых точек, необходимо понизить какое-нибудь из нормирований системы, в той же или другой точке. Соответствующая калибровка будет являться композицией уже известных нам понижающей и повышающей калибровок. Для удобства записи и вычислений рассмотрим случай системы ранга два. Данное ограничение не является существенным. На системы прочих размерностей данная техника переносится без изменений.

Итак, построим калибровку, уменьшающую на единицу выбранный нами показатель в точке a,j и повышающую некоторый выбранный показатель в точке a.j. В соответствии с результатами предыдущих разделов такое преобразование можно построить в следующей форме.

Здесь (—s, 1) являются координатами собственного вектора матрицы Bj с собственным значением, дополнительным к тому показателю, который мы хотим уменьшить. То есть, для преобразования j3j н- Щ — 1 необходимо потребовать, чтобы (—s, 1} был собственным вектором Bj с собственным значением Д[. В случае, когда Bj жорданова клетка, (—s, 1) следует выбрать в собственном направлении Bj. Иными словами, s выбирается так, чтобы выполнялось

Ц гНі-гНІїУ Аналогично и вектор (1, — t) следует выбрать в собственном направлении ВІ со значением, равным показателю, который мы хотим понизить. Через ВІ мы обозначили вычет в фуксовой особой точке ПІ системы, получающейся после промежуточной калибровки г=(т)(о0- (92 Калибровка Гі (z) не меняет характера системы в особых точках ak при к ф i,j и оставляет систему фуксовой в точках щ, a.j, изменяя соответствующим образом по одному из нормирований в этих точках. Для отсутствия после данной калибровки ложной особой точки в бесконечности необходимо и достаточно голоморфной обратимости Vi(z) при z = со. Перемножив компоненты Гі легко увидеть, что Z7L гГ%_ (93) Z—CLj Z—&J J действительно является голоморфно обратимой в точке Z = оо матрицей. Таким образом, нами построено калибровочное преобразование, сохраняющее монодромию системы, множество ее особых точек, фуксов вид системы и меняющее ровно два наперед выбранных показателя, отвечающих разным особым точкам системы.

Рассмотрим теперь случай, когда оба изменяемых показателя, и повышающийся, и понижающийся, отвечают одной особой точке щ. В этом случае искомая калибровка будет иметь вид V!)0!)(v;)(S0- т Относительно калибровки Гг(г) следует заметить, что, хотя ее вид во многом похож на Гі, некоторые их свойства существенно различны. Так, например, входящий в матрицу коэффициентов преобразованной системы член dF rj1 будет иметь в точке щ полюс второго порядка. Тем не менее, сама система останется фуксовой, так как данный полюс сократится с членами Г2-6Г " , имеющими полюса второго порядка. Данное свойство обеспечивается правильным выбором параметра і. Прямая подстановка калибровки Гг в преобразования (79) дает следующее условие на t: верхние правые элементы матриц В{ семейства, полученного калибровкой на два правых множителя, входящих в состав Гг- Можно заметить, что в точках, где \Y1JM а-а-) = данная система будет иметь особенности. Некоторые отличия будут видны и при использовании построенной калибровки для порождения резонансов в системах с коммутативной монодро-мией. Тем не менее, калибровка T%{z) будет переводить фуксову систему в фуксову же, с той же монодромией, особыми точками и показателями, кроме двух показателей в точке щ. Отсутствие ложной особой точки в бесконечности следует из голоморфной обратимости Г2 в точке z = оо.

Нерезонансные системы

Покажем,что нерезонансные системы с коммутативной монодро-мией коммутативны. Пусть нам дана фук сова система dy dz i=l -у, В; % (106) имееющая коммутативную монодромию х» и пусть Y(z)- некоторый ее нормальный базис, монодромия в котором задаётся набором коммутирующих матриц {G\, ...,Gn}. Можно считать, что на этом базисе выполняется соотношение У(оо) = /, иначе проведём калибровку Y{z) н-у CY{z) (107) Т z — щ д. E (108) t=i - - i=i z at и, положив (7 = V"-1(oo), обеспечим требуемое условие. Заметим, что в случае, когда система (106) нерезонансна, такой базис обладает важными глобальными свойствами. А именно, такой базис похож на глобальный почти левелевский базис. Точнее говоря, раскладывая этот базис в каждой из точек щ GY(z) = Щ{г){г - а (г - щ)Еі, (109) можно заметить, что матрицы АІ + ЕІ имеют такой же блочно-диагональный вид, как и матрицы Gj. Кроме того, число, стоящее в левом верхнем углу каждого блока, равно показателю системы в точке at, причем первый столбец каждого блока не содержит никаких других ненулевых элементов. Даннное свойство позволяет сделать некоторые выводы о строении пространства решений нерезонансных систем с коммутативной монодро-мией.

Итак, пусть Y{z) - фундаментальная матрица нерезонансной фуксовой системы с коммутативной монодромией, такая, что У(оо) = /, а монодромия имеет описанный выше нормальный вид {C?i,.., Gn}. Обозначим нормализованные логарифмы G{ через ЕІ и построим следущую матрицу: Покажем, что Y(z) = Y{z). Так как [ЕІ, EJ] = 0, а система нерезонансна, то и [ЛІ+ЕІ, AJ + EJ] — 0. Следовательно, в окрестности особых точек Oj, при і ф п матрица Y{z) имеет вид: (гол.-обр. часть) х (z — щ)Л{+Е (гол.-обр. часть) х (z — щ)А{{г (111) и, следовательно, в этой окрестности уу г голоморфно обратима. Рассмотрим более подробно поведение Y вблизи ап. Покажем, что нормирования совпадают и в этой точке. Пусть /3" и Д - показатели QY VLY в точке а,, (очевидно при г/и выполняется Д/ = Д?), а г/п( г) и г/п(г) - соответствующие элементы этих матриц. Заметим, что вблизи щ и г/п(г) и і/ц(г) имеют вид yn(z) - (гол.-обр. часть) х (z - о,-)А\ # = $ +р] (112) г/и(г) = (гол.-обр. часть) х (z — а») . (ИЗ)

Таким образом, матрица У(2)"К(,г)-1 является голоморфно обратимой не только в окрестностях точек {оі, ...,ап_і}, но и в окрестности ага, и следовательно, на всей QP1. Но это возможно лишь при условии Y(z)Y(z) 1 = const. Из условия У(оо) = У (со) = I немедленно получаем Y(z) Y(z). Следовательно, всякая фундаментальная матрица нерезонансной системы с коммутативной монодромией является фундаментальной матрицей коммутативной системы.

Отметим, что, несмотря на коммутативность монодромии, упрощающую структуру решений, условие нерезонансности остается крайне важным ограничением ж не может быть ослаблено.

В данном разделе будем предполагать, что ранг рассматриваемых систем равен двум. Данное ограничение не является существенным, все рассуждения и результаты без труда можно перенести на системы больших рангов, Однако, проводить вычисления и исследовать явный вид систем удобнее в размерности два. Итак, лусть задано некоторое коммутативное тривиальное изомонодромное семейство. Запишем его в пфаффовом виде dy = шу. (123)

Как отмечалось ранее, можно считать, что ш имеет верхнетреугольный вид. Это соответствует выбору нормального базиса в пространстве решений тривиального семейства. Рассмотрим возможности применения калибровочных преобразований к выбранному коммутативному семейству. Прежде всего очевидно, что калибровку Yi{z:a) можно применять лишь для тех точек ец, в которых вычет ВІ не является жордановым блоком размера два. То есть, на данном этапе, для исходной коммутативной системы, калибровка Гг(г, а) применима в тех точках щ, где Bi = А/. Для того, чтобы в этом убедится, заметим, во-первых, что, как мы уже показывали, фуксовость системы данной калибровки в точке а , достигается не за счет отсутствия членов с полюсами второго порядка в слагаемых dT T 1 и ГъыТ 1, а за счет их сокращения. Путем явного вычисления несложно проверить, что данное условие имеет вид (А) (126) где 6{2 - верхние правые элементы матриц J% семейства, полученного калибровкой на крайний правый множитель калибровки Г2. Причем после применения данной, не зависящей от z калибровки, матрица ВІ должна по построению калибровки принять нижнетреугольный вид. Но очевидно, что в таком случае все матрицы Bj одновременно примут нижнетреугольный вид. Следовательно, Ь\2 = 0 для всех j. Но в таком случае, из условия фуксовости получаем t — 0, и множители Г2, содержащие [z — ц) и (z — о»)-1, сокращаются, калибровка становится не зависящей отги очевидно не меняет никаких нормирований системы. Итак, на первом шаге калибровку Г2 можно применять лишь в точках со скалярными вычетами. Рассмотрим эту процедуру подробнее. Пусть вычет ВІ системы в точке щ равен XI. Построим калибровку типа Гг, изменяющую показатели в этой точке на А— 1,\ + \. Очевидно, что параметр s может быть выбран абсолютно произвольным образом. Он отвечает за выбор направления собственных векторов матрицы В ь являющейся вычетом системы, получаемой калибровкой исходной системы на два правых множителя Гг. Так как матрица В\ перестает быть скалярной, то при выборе параметра t мы уже не имеем никакой свободы. Он жестко определяется выбором s и коэффициентами исходной системы с помощью уже упомянутого соотношения фуксовости результирующей системы, что эквивалентно правильному выбору собственного направления.

Действительно, единственный произвол в выборе фуксовой системы с одной резонансной точкой лежит в матрице связи соответствующего левелевского базиса с каноническим левелев-ским базисом в какой-нибудь точке с недиагональной монодромией или резонансными показателями. Это соответствует выбору некоторого выделенного направления в слое над точкой щ, в котором система имеет максимальное нормирование. Но по построению Г 2 мы имеем возможность получить любое возможное собственное направление. Следовательно, таким образом можно получить все возможные фуксовы системы с заданной монодромией и данным набором показателей. Остающийся произвол в определении динамики выбранного нами выделенного направления соответствует репараметризации s = S(T). По модулю этой репараметризации мы описали все возможные изомонодромные семейства с заданными начальными условиями.