Квазиконформные деформации и динамические системы Селезнев, Вадим Александрович

Введение к работе

Актуальнее ть теин Теория квазиконформных отображений на
плоскости развивалась как раздел теории функций и нашла много
численные приложения в математика и механике. Исследования
Лаврєнтьезской школи привели к созданию геометрической теории
систем уравнений в частных производных на плоскости. Математи
ческий аппарат, созданный в рамках этой теории,ленкт в основе
моделирования иярокого класса плоских задач в гидродинамике,
теории упругости и пластичности, фильтрации а других разделах
механики сплошных сред. Эти результаты стала классическими я
изложены в хорошо известных монографиях М.А, Лаврентьева,
Л. Берса, Л. Альфорса, И.Н. Векуа, В.Н. Монахова, Б. Боярского
и др. Пространственные <^ - квазиконформные отображения были
введены w.A. Лаврентьеве,! в 30 - х год ох как сохраняющие ори
ентацию гомеоморфизмы областей евклидова пространства G- R.¹""",
Ч¹- & "* R-^, *> Ъ Ь «j с ограниченной К_и(Ч) «характе
ристикой .

K_ul4)= Sup (W(x)!i*ll(_{1)

Хе. (г

и последние десятилетия являются предметом интенсивного изучения. В развитие этой теории основной вклад внесли советские, американские я финские математики.

Распространение идей и методов теории многомерных квазикон-форл-шх отображений предпринималось в самих различных направлениях. Упомянем кратко лишь некоторые из них. Применение в геометрии связано с известной теоремой Лиувилля о кокфорлних отображениях и устойчивости отих отображений, _в анализе - с инвариантностью некоторых.фукктщональшгх структур ( таких,кале алгебра непрерывных соболевских функций класса \Д/ \ , коразмерность пространства ). 3 этом направлении, а так не в области изучения кваяырегулярннх отображений - неоднолистных многомерных квазиконформные отображений в отечественной школе значительное место занимают труды ,'Э.Г. Ренетняка и его учеников ЗД„ Голъддтойна, А,П. Копилова а других.

Другое направление развития .многомерной теории квазиконфор-мпых отображений связано о изученном искажения конформных

инвариантов и развитием.техники модулей. Среди советских авторов здесь следует отметить основополагающие работы Б.В, Шабата, В.А. Зорина, а талере учеников П.П. Белинского-А, В. Сычёва, В.В, Асеева; представителе-" Киевской школы П.'І, Тамразова я др. Мы не ставим своей целью останавливаться даже кратко на анализе пли историческом экскурсе в область этих исследований, так как существует множество других не менее важных разделов, где находят своё применение идеи и методы теории квазиконформных отображений. Это-теория грашічного поведения функций и отображений, активно развиваемая математическими школами Г.Д. Суворова, В.И, Гаврилова и др., теория разрывных групп преобразований и сметные топологические свойства многообразий,развиваемые в работах С.Л. Крушкаля и его учеников, и множество других разделов современной математики.

Основные методы исследования плоских квазиконформных отображений связаны с тем, что всякое квазиконформное отображение "С, : <) -> С* произвольной области' Т) комплексной плоскости С¹ является решением некоторого уравнения Бельтрамп

с измеримой комплексной характеристикой л* (. г.) , удовлетворяющей условию эллиптичности їм- С ) \ .с. ju,₀ < {. Одним из следствии этого факта, в частности, является положительное решение задач непрерывной и дискретной изотопиі-i двумерных квазиконформных отсбраяений к тождественному отображению ( подробнее на этих задачах мы останавливаемся ниже ).

И.А. Лаврентьевым, Л.Альфорсом,' Л. Берсом и другими математиками неоднократно поднимался вопрос о существовании переопределенных систем уравнений с частными производными, которые бы порождали широкий класс отображений, в частности, квазиконформные. Однако, исследования целого ряда различных типов систем не далі; положительного ответа на такой вопрос.

В середине 70-х годов серией работ Л.Альфорса, X. Раймо-на и В.И. Семенова открылось новое направление исследования пространственных квазиконформных отображений, связанное с системами обшшовенннх дифференциальных уравнений.

В 1975 г. Л.Альфорс установил, что для автономной системи обыкновенных диффорекциольнцх уравнений с правоіі частью tf( и ) _t <$ R. ^-^- R."" функциональная ограїшчоннооть

essup ftSu(^)l\ = ftStf Woo * o_0n,st тонзора сдвига

для tf \АЦ I <-c ) _есть достаточное условие

того, что задача Коти

_{Н--^(ч), ч = 4.(-^) I =*^"}

определяет единственную изотопию 4_t^: R."" ^х t>T]-> R. , и. ? 2, ,

которая является однопараметрическим семейством квазиконформных отображений Ч _t ' ІС —*^J R.^vv с характеристикой квазиконформности

К (.4. )= essup { max ———, ^-TTTiJr *

удовлетворяющей условию

K^bKCU^^p^lStfll^^t"^. < 3)

Эквивалентные достаточіше условия бнди получены в 1976 г. В.И» Семёновым для автономных не и X, Раймоном для поавтомомных систем обыкновенных дііфференціїальнкх уравнений ( с. д. у. ) .

В связи с этим рядом советских и зарубезюшх математиков Л. Альфорсом, П. Белинским, В.'Зоричем, X. Раймоном а другими бия снова поднят вопрос о возможности включения произвольного квазиконформного отображения в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и,как следствие этого факта, решении задач о непрерывной и дискретной изотонии в многомерной случае.

Дополнительно к этому, в связи с отрицательным ответом на вопрос существования систем уравнений с частными производными, которые определяли бы многомерные квазиконформные отображения, В.Н. Монахов сфорлулировал следующую задачу. Существует ли такой класс систем обыкновенных дифференциальных уравнений," в общем случае неавтономных, в котором , во-первых, решения задач Копій

^tiX 4=0

содержат группу квазиконформных отобраяешШ ( хотя бы автоморфизмов канонических областей, ыар и т.д. ) при некотором значении ir ( например, ї-і ),' и, во-вторых," решения Ч^. непрерывно соединяют заданные отображения Ч с тоздествен-нымн, т.е., 4_t\_tM=4 . 4_t\_t.o ~-'^{iA ?}

Диссертация посвящена изучению и частичному решению сформу-лированных проблем.

Цель-о работы является исследование трёх тесно связанных задач пространственных квазикон-Тюрмных отображений: I).непрерывного изотолирования пространственного квазиконформного отобраяения к тождественному, 2) разложения квазиконформного отображения в конечную композицию почти тождественных іазазкконфорл-ных ке отображений ( задача дискретного изотолирования ), 3) построения класса к в а з и к о н ф о р ы н ы х д и -н а м и ч е с к их- с и с т е м, определяющих пространственные квазиконформные отображения и исследование свойств таких систем. Параллельно этим задачам рассматриваются меяные вон-' росы анализа и теории.функций, часть из которых носит вспомогательный характер, а часть иллюстрирует некоторые приложения с теория квазиконфорлннх динамических систем.

Основные -результаты состоят в том, что для квазиконформных автоморфизмов трёхмерного шара дакн положительные рэиения трёх указанных задач. Эти решения основаны на включении произвольного квазиконформного автоморфизма" трёхмерного шара в систему обыкнозенных диффереіщиалзинх уравнений ( с.д.у. ) с оператором квазиконформного сдвига по траекториям.

В качестве следствия решения -задач I) и 2) установлена

изотопность любых двух ісвазиконфсрмяьк отображен і: одного квазиконформного шара на другой со свойствами непрерывности л пространстве W I А С и ограниченности характеристики квазиконформности. В качестве прилоненпя решения задачи 3) установле-щ некоторые свойства устойчивости различных классов квазиконформных динамических систем.

Обпая методика исследования. Наш подход к решения сформулированных задач содержат три принципиальных момента.

Во-перзых.' ото построении подходящего функционального клас-са,в котором близость изотопии в функциональной топологии естественна для квазикокфоршых отображений. Такій фушециональшм классом является множество і -параметрических семейств квазиконформных отображений с компонентами 4. , I =<,) и., пршгадлезгзяшма классу С (0,Т ', R. (.&"")} - непрерывных отображений отрезка [ 0,Т] в Н/ - алгебру Ройдена ЯСЬ"") кепре-рывкых <А С/ U -с5ункций ^ : Ъ ^—* Я , иЯ с нормировкой

Алгебра ' R. является функциональнш языком, при помощи которого Ф.Геринг и Л.Льюис определяли многомерные квазиконформные отображения Ч ' G- —>&', &-, &' & R. ^, къ 9 2.. А именно, оператор Л ч> ^: R. (.&-') —> R. ( 6-) , действунцзй по правилу

Jb₄H)=J*^, $*№') -(5)

есть изоморфизм алгебр пДС- ) — R-1&^-), если ^ есть ква-зиконфортаоо отображение. Обратно, если А ^: R- - R. есть изоморфизм указанных алгебр, то он представляется в виде (5), где Ч єсї'ь гомеоморфизм с ограниченными характеристиками квазикснйор.'ности (I) и (2).

Представление (5) легат в основе исследованных нами двойс-твенных свойств изотопии 4_t класса C(0,T',R-) /1 б ( 6 *) и семейств операторов A_t () = $« 4_t , Jt_t= R.-*- t(0,Tj R.). К ним относятся композиционные (групповые) свойства, свойства, определяемые топологией сильной операторной сходимости, представленая норм операторов t и к~± через коэфйициен-ты квазиконформности К ₀ и К₃ » и другие свойства.

Второй принципиальны:! момент состоит в том, что на множестве систегл обшсновэнных ди1;перешдиальных уравнении с оператором

4_t квазиконформного сдвига по траекториям, представлявши оператором l_t (|Л = ^ о Ч^ па алгесіре R. , мы попользуем два типа непрерывности оператора к± по і . Во-первых, это непрерывность, определяемая топологію:: равномерной операторной сходимости A^_+s> —* к± при S-* О (ЦД^«._Ь-&_t І1 -* О ). Такой непрерывностью обладают изотопии, порождаемые векторними полями, рассматриваеглых нами классов Y(.b^ft) ,"V(C*) Y (S^l) и т.д. Системы обыкновенных дифуерешіиальннх уравнений с правієш частями \Г V оказываются системами со всег.ш обачніш') свойствами и устойчивостью, іюро;::дае!.їцх имя пзотопиіі 4_t в классе C(0,T;Wp 1Ь^Л)), р > и,, относительно возмущения С з классе ко "V (b'^v). Однако нагл но удаётся соединить в с яки:" квазиконформный автоморфизм иапа & с тождественным отображением изотопией, порождаемой tf t"\J" (ft* ). Произвольный квазиконфорлный автоморфизм шара Ъ^Ь соединим ( е этом классе векторних ползіі ) лишь с автоморфизмами томжествеш-аш на границе шара,

Поэтому мы расширяем класс V 'до класса изазиконфорл-нпх динамических систем, в котором близость ^Lf^._+S и 4t определяется топологией сильной операторной сходимости ( поточечной ) Jt_{t + b} Ц)—* Л^)при S-* 0. 5то:лу второму типу операторной сходимости соответствуют динамические системы, для которых сохраняются такие свойства классических систем, как единственность решонкя задача Копи, непрерывная зависимость этого решения от начальных данник, как на группе &1Ь^У") , так и на фазовой алгебре R_ (.Ь^) , а тол: ~.о устойчивость. Однако, эти свойства являются по потраскторны.ш, а. выполняются на функциональных классах. Например,' единственность решения задачи Копи (4) имеет место в классе

СДо,т-, U^Lb^n С(о,т-, їи.ь"-^ (\ Q tb*) ( 6 )

и т.д.

Наконец, 'третьим прпнцппдальнно важным моментом решения, сфор:лулирозаипых выше задач изстопированпя,является сам г е о м е т р а чес к и і: алгоритм изотопиро.вания квазякон-

формного автоморфизма шара о к тождественному отобргдз--шю. Этот -алгоритм базируется на исследовании рдца самостоятельных задач. Во-первых, это изучение векторній полей і t^K x Lo,V] -> О вида

порождал ir.x изотопии комплексной плоскости \. на сооя,включающих всю юзазлкояйор.аіую группу отображений С. —<- С1 Во вторых, это свойства таких векторних полей, поренесёшшх на ef>opy З^2, стереографической проекцией. В-третьпх, здесь используются свойства пшергар.гоничееккх ( гармонических з гиперболической метрике по Алъфорсу ) векторов, нзучгшхаеся Л.АлъФор-сом и X, Райисном с одной сторони, л некоторые свойства векторных полей класса V(в⁴). с другой сторони.

Ряд необходимых нем свойств векторных полей класса V \ О ) ( устойчивость изотонии пс^дадаоміїх шли її др. ) получены нами на ocHOBSimu следующего интегрального представления вектора vT є Y { Ъ * ) в виде

'" Г (3)

U-1

где SC'K-):: * Y{\ ~ свёртка no i,i тензора сдвига

с ядром

У?(Ч- ^Г^'-^'Ми)

ІХІ"- \Х\^Л'⁴

U,¹ ь^ v _ _вект0рное поле iJ"' в*-* tO,T] -* Ь^ в координатах конформного автоморфизма tu = ВЛ—«-ЕЛ, [їй 1 J = О )

а х*= x/l^i¹- , ^С* = 2,(^-04-1 /и., Qij(«)^B *t*j/|*i^l.

Представление (8) можно считать аналогом представления Бореля - Помпею, так как в двумерном случае для tfC^tft) тензор ?>tf в комплексных координатах имеет вид

3^ Y_s -fUY_s ,

где Y-^ + itfj,, a Yg = 0 Y -, комплексная производная по. Доказательство представления (8) получено наш методом Всйля на основании инвариантности класса Y(b"") относительно конформных автоморфизмов шара Ь*^- с учётом некоторых свойств тензора S и".

Предлагаемый нами алгоритм изотопирования индуктивным образом монет быть продолжен на более'высокие размерности в тех случ.аях, когда след квазиконформного автоморфизма шара Ь^л на границе $ ^и_< изотопируется к тоядествеїшому отображению векторным полем класса Y ( $^мм ).

Научная новизна, и теоретическая значимость. В диссертации даётся решение задач непрерывного и дискретного язотопярова-ния квазиконформного' автоморфизма трёхморного шара к тождественному отображении и строится віслючение таких автоморфизмов в. системы обыкновенных дифференциальных уравнен:.!:";, в общем случае неавтономных. Это является-первым результатом в задача:-: дзотоцировакия квазиконформных отображений для размерности и?ї,. Решения, задач такого типа при п. - 2. было дано I. Аль-йорсвом - Л, Борсом,ф.Герингом, Е.Ричем в 1959 - 61 г,г.

В процессе решения указанных задач в диссертации проводится исследование свойств различных систем обцкновенннх дифференциальных уравнений с оператором квазиконформного сдвига по траекториям в расширенной .комплексной плоскости С* ,' на сфере S^L ив шаре Ь"¹ при и, > Ь и др. областях в ?\.^к.

Доказана теорема двойственности сходимости последовательностей квазиконформных изотопии Ч, и последовательностей

операторов Л 4. і преде тавляхждах эти отображения на алгебре R.. На мнояестэе динамических систем с операторами квазиконформного сдвига Ч^ по траекториям внделено два типа динамических систем по признакам пепрорывности оператора Л _t not в равномерной и сильной операторных топологиях .

Для класса Y^b*) кзазиконфоршых динамических систем с оператором А непрершзпш по t в равномерной операторной топологии установлена аппроксимируемость оператора сдвига ^4. да<]йеотопйя:та. Установлено интегральное представление для векторов класса tf У(Ь*З.Исследованы гєометрячесісие свойства изотопии, порождаемых веісторкнми полями классов V , свойство конформной инвариантности этого класса, основанное на полученном нами экспоненциальном представлении для коэффициентов квазиконформности любого типа.

Впервые выделен и изучен общий класс квазиконформных динамических систем с операторами &± непрерывными по і в сильной операторной топологии. В этом ктассе установлены теоремы единственности решения начальной задачи на классах,отображений, доказана непрерывная зависимость зтего решим от начальных данных и приведены оценки устойчивости в целом относительно некоторых классов возмущений. Новизна свойств этого класса динамических спетом состоит в том, что стандартные свойства системы рассматриваются не потраекторно, а в выделенных классах отображений.

Отметим так ;;;е, что функциональная зависимость Ч = M_tC"x),

определяемая репонпем начальной задачи (4)_;выракает связь эйлеровых ч и лагражезнх ос координат деформируемого континуума произвольной природной рассматриваемые здесь задачи имеют определённы:'! гидродинамический смысл.

Аш:сбалпя работы. Результаты,' изложенные в диссертации, докладывались автором на Донеіпсих коллоквауїлах АН УССР по теории фушеций и отображений в I.S80, 82 гг., на 'Кемеровской школе ЛІІ СССР по тсачествепноЗ теории уравнений в 1986г, на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций ( Новосибирск 1988г.), на республиканском семинаре-совещании АН УССР по комплексному анализу л прктладнш задачал управлення ( Алушта, Т98Эг), на УЇ1 Всесоюзной школе CQAH СССР по качественной тео-

рий дифференциадыш: уравнешн! гидродинамики (Барнаул,- Ї989 г.), Новосибирской іяколо-соміжаре СОЛІІ СССР 1989 г., посвященной М.Л. Лаврентьеву, па УІІ республиканской конференции АН УССР по нолннеііншл задачам математической физики и задач со овободнши границами ( Донецк, ISO! і¹.), на Всесоюзно:'! конференция по условно - корректным задачам математической физики и анализа, (Новосибирск, 1992г.), на УІІІ Моздуиароднои гидалс-семпнаре по качест-вєїніои теории диффореіщппльїшх уравнен;!:: гидродинамики (Краснощек, 1992г.) и ряде других конференций, на семинарах отдела геометрии у топологии И.-.1 СО РАН, руководимых академиком Ю.Г. Реиетия-нсм (1031/1992 гг.), на семинарах отдела теории функції:: Иїд" СО РАН (1990-1992 гг.), на семинарах лаборатории краевых задач механики сплошной среды института гпдродииампкп ш. І.І.А, Лаврентьева к кафедри теоретической механики ЛГУ, руководимых чл.-корр. В.Н. Мо-иахэвшл (1985 -1992 гг.) и других семинарах.

Публикации. Оснскннз результаты дисеертоцип опублнковаїщ в работах /I - 22/, список которых приведён в конце автореферата.

Струкг'уо:! и объэм габотн. Диссертация состоит- из введения,-пята плав , дополнепц: п приложения, Список литературы содержит 103 н:шг.гановс'.:шя работ советски и зарубежных авторов. Общин объём диссертации -'251 страница каїглноппспого текста."