Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Двухмерная дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрическом круге с идеальной проводимостью на части его окружности
1.1. Постановка задачи. СИУ для задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации 17
1.2. Решение СИУ для задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации 23
1.3. Постановка задачи. СИУ для задачи дифракции плоской ЭМВ Н- поляризации 25
1.4. Решение СИУ для задачи дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации 27
1.5. Численные результаты. Диаграммы направленности 29
Выводы по главе 1 46
Глава 2. Трехмерная дифракция плоской ЭМВ на диэлектрическом круглом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности
2.1. Постановка задачи. Система двухмерных интегральных уравнений для задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации 47
2.2. Система двухмерных интегральных уравнений для задачи дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации 53
2.3. Системы сингулярных одномерных интегральных уравнений 54
2.4. Решение систем СИУ для задач дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций 59
2.5. Численные результаты. Амплитудные диаграммы направленности 63
Выводы по главе 2 80
Глава 3. Дифракция плоской ЭМВ Н-поляризации на идеально проводящем разомкнутом кольце
3.1. Постановка задачи. Одномерное интегральное уравнение 82
3.2. Сингулярное интегральное уравнение относительно функции, определяющей азимутальное распределение тока по кольцу 86
3.3. Решение СИУ. Численные результаты 90
3.4. Амплитудная диаграмма направленности для поля дифрагированного от разомкнутого идеально проводящего кольца 92
Выводы по главе 3 104
Глава 4. Дифракция плоской ЭМВ Е-поляризации на отверстиях в идеально проводящей плоскости
4.1. Дифракция плоской ЭМВ на одномерной щели в идеально проводящей плоскости
4.1.1. Постановка задачи. Сингулярное интегральное представление поля дифракции 106
4.1.2. Классический метод. Традиционное интегральное представление поля дифракции 110
4.1.3. Решение сингулярного интегрального уравнения. Численные результаты 112
4.2. Дифракция плоской ЭМВ на прямоугольном отверстии в идеально проводящей плоскости
4.2.1. Постановка задачи 114
4.2.2. Двухмерное интегральное уравнение относительно функции поля в отверстии 116
4.2.2. Метод решения двухмерного сингулярного интегрального уравнения 119
4.2.3. Дифракция Френеля на прямоугольном отверстии 122
Выводы по главе 4 147
Заключение 148
Список использованных источников 149
- Решение СИУ для задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации
- Система двухмерных интегральных уравнений для задачи дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации
- Сингулярное интегральное уравнение относительно функции, определяющей азимутальное распределение тока по кольцу
- Постановка задачи. Сингулярное интегральное представление поля дифракции
Введение к работе
Существенное улучшение параметров радиотехнических систем или создание новых систем для различных областей использования радиоэлектроники часто диктует требования к антенным характеристикам, невыполнимые при традиционном подходе к решению задач. Обычно при проектировании антенных устройств геометрические размеры определяются характеристиками антенны (характеристиками направленности и усиления), однако уменьшение этих размеров встречает принципиальные трудности. Возникает необходимость изыскания новых путей построения антенн. Это встречает несколько значимых проблем, одной из которых является точное решение электродинамических задач, позволяя тем самым устранить экспериментальные исследования и доработку, уменьшая при этом сроки создания антенн. Помимо метрологического обеспечения, развития конструкторско-технологической базы, эффективность и точность расчетов позволяют обеспечить условия работы и антенные характеристики, при которых не возникают нежелательные электромагнитные связи, то есть обеспечивается функционирование антенн с требуемым качеством. Тем самым решается проблема электромагнитной совместимости.
Повышение эффективности антенны при одновременном снижении ее стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показатели РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: распределения тока по антенне, входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности и др. Также представляет определенный интерес знание структуры поля в ближней зоне антенны, ее характеристик направленности, уровней бокового излучения. Точное определение значений электрического и магнитного полей может быть использовано при решении проблем электромагнитной экологии.
С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение.
Актуальность работы
Общепринятый в научной и учебной литературе алгоритм расчета электромагнитных полей (ЭМП) излучения.антенн основан на использовании классической функции Грина [1, 2]:
G(p,q) = -±-e-kR, где R — расстояние между точкой источника q и точкой наблюдения р;
к - <а^еа\1а; а = Е0г;\ха = \х0\х; s,\i — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, в которой находится антенна; є0,ц0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.
Использование классической функции Грина G(p,q) при расчете ЭМП
антенн приводит к несамосогласованным задачам, т.е. к отсутствию-предельного перехода тангенциального ЭМП (поверхностных плотностей электрического и магнитного токов) на поверхности антенн к ЭМП вблизи них [3]. Кроме того, функция Грина G{p,q) — причина появления
интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода (например, интегральных уравнений Поклингтона или Халлена для электрических вибраторов [1, 2]), нахождение решений которых есть математически некорректно поставленная задача по Адамару [4].
Введение дополнительных ограничений на физические модели антенн (например, тонкопроволочного приближения для электрических вибраторов [1, 2]) позволяет получать интегральные уравнения с логарифмическими особенностями, т.е. фактически проводить саморегуляризацию некорректных задач [3]. Для более сложных антенн, излучающая поверхность которых
представляет собой частичную металлизацию [9], необходимо предпринимать дополнительные меры по регуляризации некорректных задач электродинамики: в частности можно проводить универсальную математическую регуляризацию по А. Н. Тихонову [4]: сводить интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода. Однако такая регуляризация не позволяет получить предельный переход от напряженностей электрического и магнитного полей вблизи поверхности антенны к поверхностным плотностям токов на поверхности антенны. В [3, 5] предложена физическая регуляризация некорректных задач, устраняющая этот принципиальный недостаток математической регуляризации по А. Н. Тихонову. Причем под физической регуляризацией (самосогласованным методом) понимается вывод сингулярных интегральных представлений (СИП) ЭМП антенны, которые на поверхности антенны естественным образом переходят в сингулярные интегральные уравнения (СИУ) первого рода относительно тангенциального ЭМП на этой поверхности [3]. Решение СИУ йервого рода является уже корректно поставленной задачей [6]. Кроме того, физическая регуляризация, в отличие от математической (регуляризации), устраняет разрыв между тангенциальным полем на поверхности антенны и полем вне её.
Повышенный интерес к задачам дифракции плоских электромагнитных волн (ЭМВ) на цилиндрических структурах с частичной металлизацией боковой поверхности связан, по крайней мере, с двумя обстоятельствами. Во-первых, на основе таких структур может быть разработан класс антенн с новыми свойствами, появление которых связано с частичной металлизацией боковых поверхностей диэлектрических цилиндров. Эта металлизация может выступать в роли дополнительных параметров (иногда и нескольких), позволяющих оптимизировать диаграмму направленности антенн. Особенно интересны подобные структуры при создании антенных решеток, при конструировании которых можно оптимизировать связь между отдельными излучателями за счет частичной металлизации боковых поверхностей
диэлектрических цилиндров. Во-вторых, введение в покрытие объектов структур с частичной металлизацией (например, разомкнутых колец) может применяться при создании малоотражающих радиолокационных покрытий объектов, так как частичная металлизация боковых поверхностей цилиндрических структур может принципиально изменять картину дифрагированного поля.
Цели и задачи диссертационной работы
Целью диссертационной работы является применение самосогласованного метода [3, 7] для решения задач дифракции плоских электромагнитных волн на телах с частичной металлизацией их поверхностей и изучение свойств дифракционных полей от таких структур. В диссертации рассмотрены задачи дифракции плоских ЭМВ на:
— одномерной структуре в виде диэлектрического круга с идеальной
проводимостью на части его окружности;
двухмерном диэлектрическом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности;
двухмерном идеально проводящем разомкнутом кольце; — одномерной щели в идеально проводящей плоскости;
двухмерном прямоугольном отверстии в идеально проводящей плоскости.
Методы исследования
Основы работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат обобщенных функций, математический аппарат теории СИУ, метод частичного обращения интегрального оператора, численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в интегрированной среде MathCad 13.
Научная новизна диссертации:
двухмерные задачи дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом круге с идеальной проводимостью на части его окружности сведены к одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмические особенности и особенности Коши, относительно поверхностной плотности тока и производной по азимутальной координате от поверхностной плотности тока на идеально-проводящей части окружности;
трехмерные задачи дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности в квазистатическом поперечном (азимутальном) приближении поверхностной плотности тока сведены к векторным одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмические особенности и особенности Коши, относительно вектора поверхностной плотности тока и производной по продольной координате от вектора поверхностной плотности тока на полоске;
—- трехмерная задача дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации на разомкнутом идеально-проводящем кольце в квазистатическом поперечном приближении поверхностной плотности тока сведена к одномерному СИУ с ядром, содержащим особенность Коши и логарифмическую особенность, относительно производной по азимутальной координате от азимутальной составляющей и самой азимутальной составляющей поверхностной плотности тока на кольце;
— для двухмерной задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на
одномерной щели и прямоугольном отверстии в плоском идеально-
проводящем экране получены СИП ЭМП через продольную тангенциальную
составляющую (относительно щели (отверстия)) электрического поля,
переходящие в области щели (отверстия) в СИУ для определения этой
составляющей в щели (отверстии);
— на примере задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на
одномерной щели в плоском идеально-проводящем экране показано, что
приближение Кирхгофа не справедливо для ближней зоны;
установлено, что максимум дифрагируемого поля дифракции плоской волны на диэлектрическом цилиндре с металлической полоской определяется углом падения волны по отношению к металлической полоске;
показано, что максимум дифрагируемого поля дифракции плоской волны на разомкнутом идеально проводящем кольце при ка = \ {к— волновое число, а — радиус кольца) в основном концентрируется вдоль направления, проведенного из центра кольца через центр разрыва кольца.
Обоснованность и достоверность результатов работы
Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических моделей. Использованные при этом приближенные методы расчета интегральных уравнений Фредгольма второго рода корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: путем исследования внутренней сходимости решений; сравнением полученных результатов с расчетными данными, приведенными в предельных случаях в работах других авторов и полученных на основе других методов; анализом физического смысла решений. В частности, диаграмма направленности для диэлектрического круга с идеальной проводимостью на части его окружности, рассчитанная с помощью СИУ относительно поверхностной плотности тока на металлической полоске в предельном случае отсутствия полоски соответствует диаграмме направленности для полностью диэлектрического цилиндра, а в другом предельном случае угловой ширины полоски, равной 360 соответствует диаграмме направленности для полностью металлизированного цилиндра.
Практическая ценность работы
В работе решены задачи дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом цилиндре с металлической полоской конечной длины на его боковой поверхности, которые могут стать основой для конструирования и проектирования нового класса антенн и антенных решеток. Решение задачи дифракции плоской волны на одномерной щели в плоском идеально проводящем экране, позволило установить границы применимости приближения Кирхгофа. Разработанный метод решения задач дифракции может быть обобщен на случай более сложных электродинамических структур: система металлических полосок на поверхности диэлектрического цилиндра, система диэлектрических цилиндров с металлическими полосками с различными ориентациями, система разомкнутых металлических колец с различными ориентациями разрывов и т.д. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели диэлектрических структур с частичной металлизацией могут быть использованы в задачах анализа и синтеза антенных конструкций, например, антенных решеток. Работа выполнена в рамках гранта 2006 года для студентов, аспирантов и молодых ученых Самарской области за счет средств бюджета (шифр гранта 248 Е2.4 К).
Положения, выносимые на защиту :
Сведение двухмерных задач дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом круге с идеальной проводимостью на части его окружности к одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмическую особенность и особенность Коши, относительно поверхностной плотности тока и производной по азимутальной координате от поверхностной плотности тока на идеально-проводящей части окружности.
Сведение трехмерных задач дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности в квазистатическом поперечном
приближении поверхностной плотности тока к векторным одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмическую особенность и особенность Коши относительно вектора поверхностной плотности тока и производной по продольной координате от вектора поверхностной плотности тока на полоске.
Сведение трехмерной задачи дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации на разомкнутом идеально проводящем кольце в квазистатическом поперечном приближении поверхностной плотности тока к одномерному СИУ с ядром, содержащим логарифмическую особенность и особенность Коши, относительно производной по азимутальной координате от азимутальной составляющей и самой азимутальной составляющей поверхностной плотности тока на кольце.
Сингулярное интегральное представление ЭМП задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на одномерной щели в идеально проводящей плоскости через продольную тангенциальную составляющую (относительно щели) электрического поля, переходящее в области щели в СИУ с ядром Коши для определения этой составляющей в щели.
Сингулярное интегральное представление ЭМП задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на прямоугольном отверстии в идеально проводящей плоскости, переходящее в области отверстия в векторное двухмерное СИУ с ядром, содержащим логарифмическую особенность.
Алгоритм решения двухмерных СИУ, заключающийся в представлении неизвестной функции в виде бесконечного ряда по ортогональным одномерным функциям по одной переменной и получения бесконечной системы одномерных СИУ относительно неизвестных коэффициентов этого ряда, зависящих от другой переменной.
Физические эффекты; возникающие при падении плоской ЭМВ на тела с частичной металлизацией: максимум дифрагируемого поля дифракции на диэлектрическом цилиндре с металлической полоской определяется углом
падения волны по отношению к металлической полоске; максимум дифрагируемого поля дифракции на разомкнутом идеально проводящем кольце при резонансном падении ка = \ (где к — волновое число, а — радиус кольца) в основном концентрируется вдоль направления, проведенного из центра кольца через центр разрыва кольца.
8. Установлены границы применимости приближения Кирхгофа, широко применяемого при решении задач дифракции ЭМВ на различных телах.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на IV, V, VI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Нижний Новгород, сентябрь 2005; Самара, сентябрь 2006; Казань, сентябрь 2007); на XII, XIII, XIV научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (Самара, ПГАТИ, 2005, 2006, 2007); на 7-м Международном Симпозиуме по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии (Санкт-Петербург, июнь 2007).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 5 статей и 11 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях.
Структура диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 103 наименований, содержит 159 страниц текста, в том числе 58 рисунков.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.
В основе самосогласованного метода (СИП- ЭМП+СИУ) лежит метод частичных областей, согласно которому задача- дифракции разделяется на ряд простых координатных областей, для которых могут быть легко получены решения уравнений Гельмгольца. Затем проводится "сшивание" полей на границах этих областей и выделение особенности поведения ЭМП вблизи ребер тела дифракции. В результате, по методу, описанному в [3], для каждой конкретной задачи дифракции получается СИП ЭМП, содержащее обобщенные функции (типа дельта-функций), логарифмические особенности ' ' и особенности типа Коши, через поверхностную плотность тока на металлизированной части тела дифракции. При рассмотрении СИП ЭМП на поверхности тела дифракции из него следует СИУ относительно ; тангенциальных составляющих либо электрического, либо магнитного полей. В результате устраняются некорректности задачи, связанные с разрывом s ЭМП при непрерывном переходе ЭМП на поверхность тела дифракции, существующим при математической регуляризации по А. Н. Тихонову и с решением интегральных уравнений Фредгольма первого рода [4].
В первой главе «Двухмерная дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрическом круге с идеальной проводимостью на части его окружности», краевые задачи для Е- и Н-поляризаций падающей волны сведены к одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмическую особенность и особенность Коши относительно либо самой поверхностной плотности тока, либо относительно производной по азимутальной координате от поверхностной плотности тока на идеально проводящей части окружности. Решения СИУ были проведены проекционным методом с учетом разложения искомой функции по полиномам Чебышева первого рода.
В результате задачи нахождения неизвестных функций сводились к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов при полиномах Чебышева. В главе исследована внутренняя сходимость алгоритма. Были проведены тестовые расчеты, показывающие, что диаграмма направленности для диэлектрического круга с идеальной проводимостью на части его окружности, рассчитанная с помощью СИУ относительно поверхностной плотности тока на металлической полоске в предельном случае отсутствия полоски соответствует диаграмме направленности для полностью диэлектрического цилиндра, а в другом предельном случае угловой ширины полоски, равной 360 соответствует диаграмме направленности для полностью металлизированного цилиндра.
В главе представлены модули распределения поверхностной плотности токов и диаграммы направленности при различных углах падения для случая падения волны Е- и Н-поляризаций. Причем под углом падения волны
понимается угол между направлением падения волны к и лучом, проведенным из центра круга через центр дуги, соответствующей части окружности с идеальной проводимостью.
Во второй главе «Трехмерная дифракция плоской ЭМВ на диэлектрическом круглом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности» в квазистатическом приближении поперечного распределения составляющих поверхностной плотности тока на металлической полоске краевые задачи для Е- и Н-поляризаций падающей волны сведены к системам одномерных СИУ относительно функций, определяющих продольную зависимость составляющих поверхностной плотности тока с ядрами, содержащими логарифмические4 особенности и сингулярности Коши.
В главе приведены распределения модулей составляющих поверхностной плотности токов в центре полоски при различных углах падения волны, который определялся как угол между направлением распространения плоской ЭМВ и радиальным лучом из центра цилиндра
проходящим через середину токопроводящей полоски, а также амплитудные диаграммы направленности дифрагированного поля для двух видов поляризации. Максимум дифрагируемого поля определяется углом падения волны по отношению к металлической полоске и в основном концентрируется вдоль прямой, проведенной через ось цилиндра и центр полоски в сторону загиба полоски.
В третьей главе «Дифракция плоской ЭМВ Н-поляризации на идеально проводящем разомкнутом кольце» трехмерная краевая задача в приближении квазистатического поперечного распределения азимутальной составляющей поверхностной плотности электрического тока сведена к одномерному СИУ с ядром, содержащим особенность Копій и логарифмическую особенность, относительно неизвестной функции, описывающей азимутальное распределение поверхностной плотности тока. Полученное СИУ также решалось проекционным методом.
В главе представлены распределения поверхностного тока и амплитудные диаграммы направленности при различных углах падения волны.
В четвертой главе «Дифракция плоской ЭМВ на отверстиях в идеально проводящей плоскости» в разделе 4.1 для случая ^"-поляризации волны падающей на одномерную щель получено СИП ЭМП в любой точке пространства через тангенциальное поле в щели, которое с учетом граничных условий переходит на щели в СИУ относительно производной функции, определяющей поле в щели. Таким образом, получалась СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов в разложении производной функции, определяющей поле в щели. Решалось полученное СИУ также как в главах 1, 2, 3. В главе приведены нормированные распределения поля в щели и в ближней зоне в зависимости от нормированного расстояния от щели при разных размерах щели. Также были рассчитаны распределения поля в приближении Кирхгофа. Было проведено сравнение результатов и установлено, что приближение Кирхгофа не работает в ближней зоне. В
Решение СИУ для задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации
Существенное улучшение параметров радиотехнических систем или создание новых систем для различных областей использования радиоэлектроники часто диктует требования к антенным характеристикам, невыполнимые при традиционном подходе к решению задач. Обычно при проектировании антенных устройств геометрические размеры определяются характеристиками антенны (характеристиками направленности и усиления), однако уменьшение этих размеров встречает принципиальные трудности. Возникает необходимость изыскания новых путей построения антенн. Это встречает несколько значимых проблем, одной из которых является точное решение электродинамических задач, позволяя тем самым устранить экспериментальные исследования и доработку, уменьшая при этом сроки создания антенн. Помимо метрологического обеспечения, развития конструкторско-технологической базы, эффективность и точность расчетов позволяют обеспечить условия работы и антенные характеристики, при которых не возникают нежелательные электромагнитные связи, то есть обеспечивается функционирование антенн с требуемым качеством. Тем самым решается проблема электромагнитной совместимости.
Повышение эффективности антенны при одновременном снижении ее стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показатели РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: распределения тока по антенне, входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности и др. Также представляет определенный интерес знание структуры поля в ближней зоне антенны, ее характеристик направленности, уровней бокового излучения. Точное определение значений электрического и магнитного полей может быть использовано при решении проблем электромагнитной экологии. С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение.
Общепринятый в научной и учебной литературе алгоритм расчета электромагнитных полей (ЭМП) излучения.антенн основан на использовании классической функции Грина [1, 2]: G(p,q) = -±-e-kR, где R — расстояние между точкой источника q и точкой наблюдения р; к - а еа\1а; а = Е0г;\ха = \х0\х; s,\i — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, в которой находится антенна; є0,ц0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Использование классической функции Грина G(p,q) при расчете ЭМП антенн приводит к несамосогласованным задачам, т.е. к отсутствию-предельного перехода тангенциального ЭМП (поверхностных плотностей электрического и магнитного токов) на поверхности антенн к ЭМП вблизи них [3]. Кроме того, функция Грина G{p,q) — причина появления интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода (например, интегральных уравнений Поклингтона или Халлена для электрических вибраторов [1, 2]), нахождение решений которых есть математически некорректно поставленная задача по Адамару [4].
Введение дополнительных ограничений на физические модели антенн (например, тонкопроволочного приближения для электрических вибраторов [1, 2]) позволяет получать интегральные уравнения с логарифмическими особенностями, т.е. фактически проводить саморегуляризацию некорректных задач [3]. Для более сложных антенн, излучающая поверхность которых представляет собой частичную металлизацию [9], необходимо предпринимать дополнительные меры по регуляризации некорректных задач электродинамики: в частности можно проводить универсальную математическую регуляризацию по А. Н. Тихонову [4]: сводить интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода. Однако такая регуляризация не позволяет получить предельный переход от напряженностей электрического и магнитного полей вблизи поверхности антенны к поверхностным плотностям токов на поверхности антенны. В [3, 5] предложена физическая регуляризация некорректных задач, устраняющая этот принципиальный недостаток математической регуляризации по А. Н. Тихонову. Причем под физической регуляризацией (самосогласованным методом) понимается вывод сингулярных интегральных представлений (СИП) ЭМП антенны, которые на поверхности антенны естественным образом переходят в сингулярные интегральные уравнения (СИУ) первого рода относительно тангенциального ЭМП на этой поверхности [3]. Решение СИУ йервого рода является уже корректно поставленной задачей [6]. Кроме того, физическая регуляризация, в отличие от математической (регуляризации), устраняет разрыв между тангенциальным полем на поверхности антенны и полем вне её.
Система двухмерных интегральных уравнений для задачи дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации
Повышенный интерес к задачам дифракции плоских электромагнитных волн (ЭМВ) на цилиндрических структурах с частичной металлизацией боковой поверхности связан, по крайней мере, с двумя обстоятельствами. Во-первых, на основе таких структур может быть разработан класс антенн с новыми свойствами, появление которых связано с частичной металлизацией боковых поверхностей диэлектрических цилиндров. Эта металлизация может выступать в роли дополнительных параметров (иногда и нескольких), позволяющих оптимизировать диаграмму направленности антенн. Особенно интересны подобные структуры при создании антенных решеток, при конструировании которых можно оптимизировать связь между отдельными излучателями за счет частичной металлизации боковых поверхностей диэлектрических цилиндров. Во-вторых, введение в покрытие объектов структур с частичной металлизацией (например, разомкнутых колец) может применяться при создании малоотражающих радиолокационных покрытий объектов, так как частичная металлизация боковых поверхностей цилиндрических структур может принципиально изменять картину дифрагированного поля.
Основы работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат обобщенных функций, математический аппарат теории СИУ, метод частичного обращения интегрального оператора, численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в интегрированной среде MathCad 13. Научная новизна диссертации: — двухмерные задачи дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом круге с идеальной проводимостью на части его окружности сведены к одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмические особенности и особенности Коши, относительно поверхностной плотности тока и производной по азимутальной координате от поверхностной плотности тока на идеально-проводящей части окружности; — трехмерные задачи дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности в квазистатическом поперечном (азимутальном) приближении поверхностной плотности тока сведены к векторным одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмические особенности и особенности Коши, относительно вектора поверхностной плотности тока и производной по продольной координате от вектора поверхностной плотности тока на полоске; —- трехмерная задача дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации на разомкнутом идеально-проводящем кольце в квазистатическом поперечном приближении поверхностной плотности тока сведена к одномерному СИУ с ядром, содержащим особенность Коши и логарифмическую особенность, относительно производной по азимутальной координате от азимутальной составляющей и самой азимутальной составляющей поверхностной плотности тока на кольце; — для двухмерной задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на одномерной щели и прямоугольном отверстии в плоском идеально проводящем экране получены СИП ЭМП через продольную тангенциальную составляющую (относительно щели (отверстия)) электрического поля, переходящие в области щели (отверстия) в СИУ для определения этой составляющей в щели (отверстии); — на примере задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на одномерной щели в плоском идеально-проводящем экране показано, что приближение Кирхгофа не справедливо для ближней зоны; — установлено, что максимум дифрагируемого поля дифракции плоской волны на диэлектрическом цилиндре с металлической полоской определяется углом падения волны по отношению к металлической полоске; — показано, что максимум дифрагируемого поля дифракции плоской волны на разомкнутом идеально проводящем кольце при ка = \ {к— волновое число, а — радиус кольца) в основном концентрируется вдоль направления, проведенного из центра кольца через центр разрыва кольца.
Сингулярное интегральное уравнение относительно функции, определяющей азимутальное распределение тока по кольцу
Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических моделей. Использованные при этом приближенные методы расчета интегральных уравнений Фредгольма второго рода корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: путем исследования внутренней сходимости решений; сравнением полученных результатов с расчетными данными, приведенными в предельных случаях в работах других авторов и полученных на основе других методов; анализом физического смысла решений. В частности, диаграмма направленности для диэлектрического круга с идеальной проводимостью на части его окружности, рассчитанная с помощью СИУ относительно поверхностной плотности тока на металлической полоске в предельном случае отсутствия полоски соответствует диаграмме направленности для полностью диэлектрического цилиндра, а в другом предельном случае угловой ширины полоски, равной 360 соответствует диаграмме направленности для полностью металлизированного цилиндра. Практическая ценность работы
В работе решены задачи дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом цилиндре с металлической полоской конечной длины на его боковой поверхности, которые могут стать основой для конструирования и проектирования нового класса антенн и антенных решеток. Решение задачи дифракции плоской волны на одномерной щели в плоском идеально проводящем экране, позволило установить границы применимости приближения Кирхгофа. Разработанный метод решения задач дифракции может быть обобщен на случай более сложных электродинамических структур: система металлических полосок на поверхности диэлектрического цилиндра, система диэлектрических цилиндров с металлическими полосками с различными ориентациями, система разомкнутых металлических колец с различными ориентациями разрывов и т.д. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели диэлектрических структур с частичной металлизацией могут быть использованы в задачах анализа и синтеза антенных конструкций, например, антенных решеток. Работа выполнена в рамках гранта 2006 года для студентов, аспирантов и молодых ученых Самарской области за счет средств бюджета (шифр гранта 248 Е2.4 К).
Положения, выносимые на защиту : 1. Сведение двухмерных задач дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом круге с идеальной проводимостью на части его окружности к одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмическую особенность и особенность Коши, относительно поверхностной плотности тока и производной по азимутальной координате от поверхностной плотности тока на идеально-проводящей части окружности. 2. Сведение трехмерных задач дифракции плоской ЭМВ Е- и Н-поляризаций на диэлектрическом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности в квазистатическом поперечном приближении поверхностной плотности тока к векторным одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмическую особенность и особенность Коши относительно вектора поверхностной плотности тока и производной по продольной координате от вектора поверхностной плотности тока на полоске. 3. Сведение трехмерной задачи дифракции плоской ЭМВ Н-поляризации на разомкнутом идеально проводящем кольце в квазистатическом поперечном приближении поверхностной плотности тока к одномерному СИУ с ядром, содержащим логарифмическую особенность и особенность Коши, относительно производной по азимутальной координате от азимутальной составляющей и самой азимутальной составляющей поверхностной плотности тока на кольце. 4. Сингулярное интегральное представление ЭМП задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на одномерной щели в идеально проводящей плоскости через продольную тангенциальную составляющую (относительно щели) электрического поля, переходящее в области щели в СИУ с ядром Коши для определения этой составляющей в щели. 5. Сингулярное интегральное представление ЭМП задачи дифракции плоской ЭМВ Е-поляризации на прямоугольном отверстии в идеально проводящей плоскости, переходящее в области отверстия в векторное двухмерное СИУ с ядром, содержащим логарифмическую особенность. 6. Алгоритм решения двухмерных СИУ, заключающийся в представлении неизвестной функции в виде бесконечного ряда по ортогональным одномерным функциям по одной переменной и получения бесконечной системы одномерных СИУ относительно неизвестных коэффициентов этого ряда, зависящих от другой переменной. 7. Физические эффекты; возникающие при падении плоской ЭМВ на тела с частичной металлизацией: максимум дифрагируемого поля дифракции на диэлектрическом цилиндре с металлической полоской определяется углом падения волны по отношению к металлической полоске; максимум дифрагируемого поля дифракции на разомкнутом идеально проводящем кольце при резонансном падении ка = \ (где к — волновое число, а — радиус кольца) в основном концентрируется вдоль направления, проведенного из центра кольца через центр разрыва кольца. 8. Установлены границы применимости приближения Кирхгофа, широко применяемого при решении задач дифракции ЭМВ на различных телах.
Постановка задачи. Сингулярное интегральное представление поля дифракции
В основе самосогласованного метода (СИП- ЭМП+СИУ) лежит метод частичных областей, согласно которому задача- дифракции разделяется на ряд простых координатных областей, для которых могут быть легко получены решения уравнений Гельмгольца. Затем проводится "сшивание" полей на границах этих областей и выделение особенности поведения ЭМП вблизи ребер тела дифракции. В результате, по методу, описанному в [3], для каждой конкретной задачи дифракции получается СИП ЭМП, содержащее обобщенные функции (типа дельта-функций), логарифмические особенности и особенности типа Коши, через поверхностную плотность тока на металлизированной части тела дифракции. При рассмотрении СИП ЭМП на поверхности тела дифракции из него следует СИУ относительно ; тангенциальных составляющих либо электрического, либо магнитного полей.
В результате устраняются некорректности задачи, связанные с разрывом s ЭМП при непрерывном переходе ЭМП на поверхность тела дифракции, существующим при математической регуляризации по А. Н. Тихонову и с решением интегральных уравнений Фредгольма первого рода [4]. В первой главе «Двухмерная дифракция плоской электромагнитной волны на диэлектрическом круге с идеальной проводимостью на части его окружности», краевые задачи для Е- и Н-поляризаций падающей волны сведены к одномерным СИУ с ядрами, содержащими логарифмическую особенность и особенность Коши относительно либо самой поверхностной плотности тока, либо относительно производной по азимутальной координате от поверхностной плотности тока на идеально проводящей части окружности. Решения СИУ были проведены проекционным методом с учетом разложения искомой функции по полиномам Чебышева первого рода. В результате задачи нахождения неизвестных функций сводились к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов при полиномах Чебышева. В главе исследована внутренняя сходимость алгоритма. Были проведены тестовые расчеты, показывающие, что диаграмма направленности для диэлектрического круга с идеальной проводимостью на части его окружности, рассчитанная с помощью СИУ относительно поверхностной плотности тока на металлической полоске в предельном случае отсутствия полоски соответствует диаграмме направленности для полностью диэлектрического цилиндра, а в другом предельном случае угловой ширины полоски, равной 360 соответствует диаграмме направленности для полностью металлизированного цилиндра. В главе представлены модули распределения поверхностной плотности токов и диаграммы направленности при различных углах падения для случая падения волны Е- и Н-поляризаций.
Причем под углом падения волны понимается угол между направлением падения волны к и лучом, проведенным из центра круга через центр дуги, соответствующей части окружности с идеальной проводимостью. Во второй главе «Трехмерная дифракция плоской ЭМВ на диэлектрическом круглом цилиндре с идеально проводящей полоской конечной длины на боковой поверхности» в квазистатическом приближении поперечного распределения составляющих поверхностной плотности тока на металлической полоске краевые задачи для Е- и Н-поляризаций падающей волны сведены к системам одномерных СИУ относительно функций, определяющих продольную зависимость составляющих поверхностной плотности тока с ядрами, содержащими логарифмические4 особенности и сингулярности Коши. В главе приведены распределения модулей составляющих поверхностной плотности токов в центре полоски при различных углах падения волны, который определялся как угол между направлением распространения плоской ЭМВ и радиальным лучом из центра цилиндра проходящим через середину токопроводящей полоски, а также амплитудные диаграммы направленности дифрагированного поля для двух видов поляризации. Максимум дифрагируемого поля определяется углом падения волны по отношению к металлической полоске и в основном концентрируется вдоль прямой, проведенной через ось цилиндра и центр полоски в сторону загиба полоски. В третьей главе «Дифракция плоской ЭМВ Н-поляризации на идеально проводящем разомкнутом кольце» трехмерная краевая задача в приближении квазистатического поперечного распределения азимутальной составляющей поверхностной плотности электрического тока сведена к одномерному СИУ с ядром, содержащим особенность Копій и логарифмическую особенность, относительно неизвестной функции, описывающей азимутальное распределение поверхностной плотности тока. Полученное СИУ также решалось проекционным методом. В главе представлены распределения поверхностного тока и амплитудные диаграммы направленности при различных углах падения волны. В четвертой главе «Дифракция плоской ЭМВ на отверстиях в идеально проводящей плоскости» в разделе 4.1 для случая "-поляризации волны падающей на одномерную щель получено СИП ЭМП в любой точке пространства через тангенциальное поле в щели, которое с учетом граничных условий переходит на щели в СИУ относительно производной функции, определяющей поле в щели. Таким образом, получалась СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов в разложении производной функции, определяющей поле в щели. Решалось полученное СИУ также как в главах 1, 2, 3. В главе приведены нормированные распределения поля в щели и в ближней зоне в зависимости от нормированного расстояния от щели при разных размерах щели. Также были рассчитаны распределения поля в приближении Кирхгофа. Было проведено сравнение результатов и установлено, что приближение Кирхгофа не работает в ближней зоне. В разделе 4.2 рассмотрена задача дифракции ЭМВ Е-поляризации на прямоугольном отверстии в идеально проводящей плоскости. Для трехмерной задачи дифракции было получено СИП ЭМП через векторное тангенциальное электрическое поле в отверстии, переходящее в области отверстия в векторное двухмерное СИУ для определения векторного тангенциального электрического поля в отверстии. В главе приведены для различных размеров отверстия нормированные распределения электрического поля в различных плоскостях. Также приведены распределения полей, полученные в приближении Кирхгофа с помощью интегралов Френеля. Был разработан алгоритм решения двухмерного СИУ, заключающийся в представлении неизвестной функции в виде бесконечного ряда по ортогональным одномерным функциям по одной переменной и получении бесконечных систем одномерных СИУ относительно неизвестных коэффициентов этого ряда, зависящих от другой переменной. Одномерные СИУ также решались проекционным методом.
