Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определение напряженно-деформированного состояния при вибрационном изгибе вязкоупругих оболочек с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения 16
1.1 Основная система дифференциальных уравнений для определения НДС при установившихся колебаниях вязкоупругих оболочек 16
1.2 Определение мощности источников тепла и установившейся температуры саморазогрева при изгибных колебаниях вязкоупругих оболочек 20
Глава 2. Вибрационных изгиб вязкоупругих пластинок в уточненной постановке с учетом сил инерции вращения 23
2.1 НДС и температура саморазогрева при изгибе прямоугольной пластинки с шарнирно опертым контуром 28
2.1.1 Аналитическое определение НДС 28
2.1.2 Аналитическое определение температуры саморазогрева 30
2.2 Вибрационный изгиб прямоугольной пластинки при шарнирном опираний двух противоположных сторон 35
2.2.1 Численное определение НДС пластинки 35
2.2.2 Численное определение температуры саморазогрева пластинки 41
2.3 Определение НДС и теплового поля прямоугольной пластинки при произвольном закреплении контура 48
2.3.1 Определение НДС 48
2.3.2 Определение температуры 56
2.4 Влияние анизотропии материала на НДС и тепловое поле пластинки в задаче о вибрационном изгибе в уточненной постановке 60
Выводы по главе 2 63
Глава 3. Вибрационный изгиб вязкоупругих оболочек вращения под действием осесимметричной нагрузки в уточненной постановке 65
3.1 Напряженно-деформированное состояние и тепловое поле при изгибе тонких вязкоупругих оболочек вращения 65
3.2 Напряженно-деформированное состояние и тепловое поле при изгибе тонких вязкоупругих цилиндрических оболочек 72
3.2.1 Определение НДС 72
3.2.2 Определение температуры 81
3.3 Численное исследование НДС и температурного поля при установившихся осесимметричных колебаниях усеченных конических оболочек 85
3.3.1 Определение НДС 85
3.3.2 Определение температуры 94
3.4 Определение напряженно-деформированного состояния и установившейся температуры саморазогрева при вибрационном изгибе усеченных сферических оболочек 98
3.4.1 Определение НДС 98
3.4.2 Определение температуры 103
3.5 Влияние кривизны образующей оболочки на НДС и температуру саморазогрева при установившихся изгибных колебаниях под действием осесимметричной нагрузки. 108
3.6 Влияние анизотропии на НДС и тепловое поле при вибрационном изгибе оболочек вращения под действием осесимметричной нагрузки 112
Выводы по главе 3 116
Глава 4. Вибрационный изгиб вязкоупругих оболочек вращения под действием неосесимметричной нагрузки в уточненной постановке 118
4.1 Основные уравнения для определения НДС и температуры саморазогрева 118
4.2 НДС и температура разогрева круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении 126
4.3 О влиянии тангенциальных сил инерции и инерции вращения на НДС и температурное поле круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении 131
4.4 Влияние трансверсальнои изотропии на НДС и температуру круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении 139
Выводы по главе 4 142
Основные выводы и результаты 143
Список литературы 145
- Определение мощности источников тепла и установившейся температуры саморазогрева при изгибных колебаниях вязкоупругих оболочек
- Вибрационный изгиб прямоугольной пластинки при шарнирном опираний двух противоположных сторон
- Влияние анизотропии материала на НДС и тепловое поле пластинки в задаче о вибрационном изгибе в уточненной постановке
- Численное исследование НДС и температурного поля при установившихся осесимметричных колебаниях усеченных конических оболочек
Введение к работе
Многие элементы конструкций современной техники выполнены в виде пластинок и оболочек различной формы и сложной структуры и находятся под действием силовых нагрузок и температурного поля,
В различных отраслях современной техники в качестве конструкционных материалов широкое применение находят полимеры и изготовленные на их основе стеклопластики. Для полимеров уже при обычной температуре характерны явления ползучести деформаций и релаксации напряжений. Поэтому расчет полимерных конструкций следует вести с учетом указанных особенностей, что можно сделать лишь на основе уравнений вяз коу пру гости или вязкопластичности.
Одной из отличительных особенностей вязкоупругих тел от идеально упругих является их способность к рассеиванию энергии. Так при длительном гармоническом нагружении становится возможным высокий уровень саморазогрева конструкций из таких материалов. Исследование таких процессов началось, по-видимому, только во второй половине XX столетия. Одной из первых работ, опубликованных на русском языке, в этом направлении явилась статья Москвитина В. В. [45]. Вскоре выходят переводы статей [82, 83], в которых рассматриваются вопросы диссипативного разогрева в полимерном материале. Практически одновременно с этой работой была опубликована статья Л.А. Галина [15]. В ней приведено в квазистатической постановке аналитическое решение задачи о взаимодействии механического ы теплового полей при продольных гармонических колебаниях полимерного стержня. В том же году (1965) вышла в свет работа СБ. Ратнера и В.И. Коробова [70], посвященная вопросу саморазогрева при циклическом нагружении пластмасс. Уже в 1970 г. вышла монография А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри [28], в которой последовательно и математически строго сформулированы основные положения термовязкоупруго-сти. .
Эти работы привлекли внимание широкого круга исследователей, работающих в области механики деформируемого твердого тела, результатом чего явились многочисленные публикации, в которых приводились решения различных задач.
В последние десятилетия вопросы вязкоупругого поведения элементов конструкций, в том числе и вопросы термовязкоупругостн, остаются предметом изучения многими авторами. Проводятся также исследования по смежным вопросам. В частности, для расчета элементов электронных приборов, изготовленных из пьезокерамик, выполняется большой цикл исследований по электротермовязкоупргости [32, 34, 68, 72] и др.
Широкое применение при изучении колебаний тонкостенных элементов конструкций из вязкоупругих материалов получила классическая теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява для оболочек [14, 98] и гипотезах Кирхгофа для пластинок [91, 92]. В рамках этих гипотез в работах [39, 41, 47, 50, 58] дана общая постановка и решение задачи о взаимодействии полей деформации и температуры вязкоупругой изотропной цилиндрической оболочки. Колебания круглых и прямоугольных пластинок рассматривались в работах [5, 36, 38, 44, 46-49, 59, 75] и др. Задачам поведения ортотропных вязкоупругих оболочек посвящены статьи [40, 42]. Эти и многие другие результаты обобщены в монографиях [31, 33, 35-37, 57]. В этих монографиях также приведена обширная библиография, в том числе даются многочисленные ссылки на работы иностранных авторов.
При решении задач термовязкоупругостн используются различные приближенные и численные методы [29, 30, 33, 51-53, 71, 74, 80] и др. Для решения одномерных и двумерных задач теории пластин и оболочек широко применяется метод сплайн-функций [20-25, 27, 54-56]. К числу преимуществ этого метода можно отнести устойчивость относительно локальных возмущений, хорошую сходимость сплайн-интерполяции и удобство реализации алгоритмов на ЭВМ.
Для пластин и оболочек из композитных материалов, характеризующихся анизотропией, толстостенных оболочек, подверженных локальным воздействиям, а также в ряде других случаев, необходим учет факторов, игнорируемых классической теорией.
Основные способы приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным, согласно Гольденвейзеру А. Л. [17, 18], Новожилову В. В. [67], можно разделить на три группы: (а) метод гипотез; (б) метод разложений искомых функций по толщине; (в) асимптотический метод.
Остановимся подробнее на некоторых вариантах метода гипотез.
Большую известность завоевала гипотеза прямолинейного элемента, примененная для однослойных упругих и вязкоупругих стержней, пластинок и оболочек [19, 69, 76, 77-79, 84, 87, 89, 100, 112-115 и др.]. В этой теории компоненты перемещения представляются в виде: up(atfity,t) = v(a,/},t) + yyp(a,j3j), (B.l) ur{a,p,y,t)=\v{a,fi,t). Здесь a,/3,у — выбранные соответствующим образом координаты объекта, u(a,j3,t), v(a,j3,t), vv(o:,/?,f) - тангенциальные смещения и прогиб точек срединной поверхности, a ya{a>/3it), y^(a,j3,t) - неизвестные функции, характеризующие углы поворота нормали к срединной поверхности. Эти гипотезы в литературе часто связывают с именем С. П. Тимошенко.
По-видимому, впервые в работах Е. Рейснера [107, 108] предложена уточненная теория, в которой предполагается линейная зависимость некоторых напряжений от толщины. Однако подобный учет поперечных сдвигов приводит к перемещениям вида (В. 1), что обсуждалось в работе [86].
В связи с тем, что линейное распределение перемещений и тангенциальных составляющих тензора напряжений по толщине не всегда хорошо согласуется с решениями трехмерных задач теории упругости, получили
8 распространение и другие уточненные модели, например [66, 94-97, 101, 102,104, 105,109,116].
Широкое признание завоевал метод, основанный на задании нелинейного закона распределения по толщине компонент вектора перемещения в виде [85, 93, 99, 103, 106, ПО]: Ґ .г ^2^ ua(a1p1y,t)=u{atptt)-y—-—-Y 1-- f ya{a,j3,t), up(a,p,y,t)=v{aij3,i)-y-— + y l-^f^j Ур{<**Р>*)> ur(a,fi,ytt) = w(a,fltt).
Следует отметить, что к этому направлению примыкают исследования, отраженные в работах [13, 81 и др.].
По-видимому, впервые в работах С. А. Амбарцумяна [1-4] предложены гипотезы о квадратичной зависимости поперечных касательных напряжений от толщины объекта: о-аДа,А/,0 = /(гМ#,А0> (Tfiy{a,/3,y,t) = f(y)y(a,fi,t), uy(a,/3,y,t) = w(a,j3,t).
Здесь Отметим, что существуют теории с удержанием слагаемых более высокого порядка в разложении перемещений по толщине, например [26]. Однако их применение не столь распространено. Преобладающая часть результатов в решении задач статики и динами вязкоупругих пластин и оболочек получена с использованием метода гипотез. Теория однослойных оболочек из вязкоупругих ортотропных материалов с учетом связанности механических и тепловых полей, по-видимому, впервые разработана в монографии [33]. В этой работе поперечные сдвиги учитываются на основе гипотезы прямолинейного элемен- 9 та. Однако при этом также предполагалось, что температура по толщине оболочки меняется по линейному закону или постоянна. В работе [39] рассматриваются вынужденные изгибные колебания и диссипативный разогрев составных стержней с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения. Последние факторы учитываются на основании гипотезы плоских сечений, справедливых по всей толщине стержня. Вынужденные колебания многослойной цилиндрической оболочки вращения, со-стоящей из чередующихся слоев двух типов: армирующего (упругий материал) и заполнителя (вязкоупругий материал), под воздействием гармонического нагружения исследуются в [43]. В качестве основной принята модель теории оболочек типа Тимошенко, позволяющая учитывать потери механической энергии вследствие возникновения сдвиговых деформаций. В [114] обсуждаются вопросы теории вязкоупругих балок Тимошенко, учитывающей сдвиговые деформации. Изучены некоторые частные случаи, соответствующие известным реологическим моделям (например, стандартного вязкоупругого тела). На основе уточненной теории (предполагается квадратичное изменение деформаций поперечного сдвига по толщине) развит конечноэлементный метод расчета динамического поведения оболочек вращения из анизотропного вязкоупругого материала при нестационарном нагружении в работе [71]. Вопросу погрешности гипотез классической теории в теории упругости посвящена не одна сотня публикаций. Однако в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих пластин и оболочек этот вопрос остается актуальным и на сегодняшний день. Работы, в которых проводится подобный анализ на основе трехмерных уравнений, только начинают появляться [60-65, 73] и полная картина станет ясна далеко не сегодня. Приведенный далеко не полный обзор литературы и сделанные выше замечания свидетельствуют о большой актуальности проблемы колебаний вязкоупругих тел и о том, что она еще далека от завершения. В связи с этим, несмотря на многочисленные публикации, посвященные вопросу применения неклассических теорий, в задачах об установившихся поперечных колебаниях изотропных и анизотропных вязкоупру-гих тонкостенных элементов несомненный теоретический и практический интерес представляют вопросы сравнительного анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) и теплового поля, получаемых по классической и уточненным теориям. В диссертации такой анализ выполнен для трех различных моделей. Общими для этих моделей являются предположения о неизменности прогиба по толщине оболочки (пластинки) и малости напряжения Эти законы записываются в виде ua{a,0,yj) = u(aJyt) + yya(a,frt)-^Uya{a,/3,t)+~ ^Mh, 3 h \ А да J J n \ if op J uy(a,/3,y,t) = w(a,fi,t). Здесь a = x у fi = y - декартовы координаты на срединной плоскости пластинки, для оболочки* or и /? отсчитываются вдоль линий главной кривизны ее срединной поверхности; у — координата нормали к срединной плоскости пластинки или срединной поверхности оболочки. В формулах (В.2) ya(a,/3,t), yp(a,fi,i) - неизвестные функции, u{a,P,t), v(a,p%i) и w(a,fl,t) - тангенциальные смещения и прогиб точек срединной поверх-ности; A = A(a,j3)t В = В{а,0) — коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности (для пластинки А-В = \), Л - коэффициент, определяющий вариант теории. При Д = 0 и ya[a,pj)=~—*- '-, yfi{a,p,t) = ~—*——'- no il да В dp ле перемещений (В.2) соответствует классической модели (в дальнейшем, КМ) изгиба оболочек, согласно которой отрезок нормали к недеформиро-ванной срединной поверхности остается прямолинейным и перпендикулярным к срединной поверхности после деформации. При Л-О имеем гипотезы прямолинейного элемента, где Yu = Yafe'fi't) и Ур = Ур(а>$>*) ~ неизвестные функции, характеризующие углы поворота нормали к срединной поверхности. В этой модели отрезок нормали к недеформированной срединной поверхности остается прямолинейным, но перестает быть перпендикулярным к деформированной срединной поверхности. Далее в работе для этой модели принято обозначение МТТ. Положим Л = 1 и г.(я>д,)-^А')-7%^- 8 Л да yp(a,p,t) = ~W(a>j3j)-- v '"' \ Ясно, что при этом составляющие компонент деформации е', еу, e^J (А: = 1,2) будут изменяться по толщине по кубическому закону, а е1^, ещ - по квадратичному закону. В этом случае отрезок нормали к недеформиро-ванной срединной поверхности, как и в модели МТТ, перестает быть перпендикулярным к срединной поверхности после деформации и при этом искривляется. Подобный учет поперечных сдвигов соответствует гипотезам, предложенным в работах С. А. Амбарцумяна. В дальнейшем для этой модели принято сокращение МТА. Цель работы: построение без каких-либо предварительных предположений о характере изменения температуры по толщине пластинки (оболочки) полных 12 систем разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при вибрационном изгибе пластинок, осесим-метричных и неосесимметричных колебаниях оболочек вращения из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры; для трансверсально изотропных вязкоупругих пластинок, свойства которых не зависят от температуры (несвязанные задачи), получение точных аналитические решений для характеристик НДС и температуры саморазогрева при некоторых простых способах закрепления контура (модельная задача); разработка эффективной методики численного решения несвязанных задач при сложных способах закрепления; исследование влияния на НДС и температуру диссипативного разогрева трансверсальной анизотропии материала; оценка влияния на значения критических частот, НДС и тепловое поле при вибрационном изгибе пластинок и оболочек отдельных составляющих сил инерции; проведение сравнительного анализа влияния на напряженно-деформированное состояние и температурное поле разных вариантов учета поперечных сдвигов и определение интервалов толщин, в которых при различных способах закрепления рассматриваемых объектов классическая и уточненные теории дают близкие результаты. Научная новизна. В работе дан вывод полных систем разрешающих интегро-дифференциальных уравнений, представляющих три наиболее распространенные математические модели задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры, при произвольном законе изменения последней по толщине объекта. В случае материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева пластинок при некоторых простых способах закрепления контура. При более сложных способах предложена эффективная методика численного решения. По результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы о существенной роли окружных сил инерции в задачах вибрационного изгиба вязкоупругах оболочек под действие неосесимметричной нагрузки. Определены области согласования «классических» и «уточненных» НДС и температуры саморазогрева. Выявлен характер влияния трансверсальной анизотропии материала в рассматриваемых задачах. Достоверность полученных результатов обеспечивается * в аналитических решениях — строгостью математической постановки задач и обоснованным применением соответствующего математического аппарата; при численном решении - хорошим совпадением результатов для модельных задач. Практическая значимость. Работа носит в основном теоретический характер. Однако разработанные методики могут найти применение при решении широкого класса задач об установившихся колебаниях пластинок и оболочек из трансвер-сально изотропного вязкоупругого материала в конструкторских бюро машиностроительного профиля. Результаты проведенных исследований используются в специальном курсе по терм овязкоу пру гости и при подготовке курсовых и дипломных работ для студентов, специализирующихся по кафедре математической теории упругости и биомеханики. 14 Апробация работы. Основные результаты докладывались на: I Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000); II Международной конференции молодых учёных и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2001); XL Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002); конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2002, 2003, 2004 г.г.); на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством профессора Коссовича Л. Ю. На зашиту выносятся: полные системы разрешающих уравнений с учетом поперечного сдвига для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из транс-версально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры; точные аналитические решения несвязанных модельных задач для некоторых частных случаев нагружения и закрепления пластинок и оболочек; эффективные методики численного решения задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек вращения в рамках моделей типа Тимошенко и типа Амбарцумяна; оценки влияния на значения критических частот, характеристик НДС и температуры саморазогрева окружных и меридиональных составляющих сил инерции и инерции вращения при вибрационном изгибе круговых цилиндрических оболочек под действием неосесимметричной нагрузки в уточненной постановке; 15 интервалы толщин рассматриваемых объектов, в которых классическая и уточненные теории дают близкие результаты, в задачах вибрационного изгиба пластинок и оболочек из изотропного вязкоупругого материала при различных способах закрепления контура и условиях теплообмена. Поскольку в соотношения (1.11) входит неизвестная установившаяся температура саморазогрева Т = 7\a,j3,y), то для замыкания системы (1.12), (1.13) к ней необходимо добавить стационарное уравнение теплопроводности, которое в рассматриваемом случае имеет вид выражает количество тепла, выделившегося в единицу времени в единичном объеме, и пропорциональна работе внешних сил А, производимой при деформировании единичного объема в единицу времени. Для определения максимально возможной температуры предполагается, что вся работа внешних сил переходит в тепло. Эта работа определяется формулой После подстановки (1.4) с учетом (1.3) выражение для Q(a,jB,y) преобразуется к виду: Таким образом, система уравнений (1.12), (1.13), (1.14) с учетом (1.5) - (1.11), (1.15) является замкнутой. Она описывает установившиеся изгиб-ные гармонические колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих трансверсально изотропных оболочек в уточненной постановке. При решении конкретных задач к этой системе необходимо добавить граничные условия в соответствии с условиями закрепления или загружения краев и с условиями теплообмена оболочки с окружающей средой на краях и на лицевых поверхностях. В работе рассматривается случай, когда свойства материала не зависят от температуры (несвязанная задача). Тогда краевая задача, поставленная для полученной системы, распадается на две. Из первой (для уравнений (1.12), (1.13)) определяются характеристики НДС, а из второй (для уравнения (1,14)) -температура саморазогрева. При этом соотношения (1.11) упрощаются и принимают вид: Ск = 0, При нахождении температуры саморазогрева предполагается, что, в силу малости толщины рассматриваемых объектов, их края теплоизолированы, а теплообмен с внешней средой происходит через лицевые поверх эффициенты теплоотдачи в среду с температурами Т$ , a и г} - введенные соответствующим образом безразмерные координаты. Для нахождения неизвестной установившейся температуры саморазогрева в работе применен подход, использованный в работе [например, 57], согласно которому функцию Т{,г}, } представим в виде Это позволяет заменить задачу определения искомой температуры при неоднородных граничных условиях на лицевых поверхностях на нахождение составляющей теплого поля Г (,//, ) при однородных граничных условиях Рассматривается пластинка малой толщины Л, шириной а, длиной Ь. В качестве системы координат выбрана декартова система Oxyz, плоскость которой Оху совмещена со срединной плоскостью пластинки (рис. 2.1). Тогда А В \, а=х, fi=y, y-z. Рис. 2.1. Интенсивность внешней нагрузки принимается в виде (1.2). Соотношения между составляющими деформации и перемещений (1.7) -(1.10) для пластинки упрощаются и принимают вид Нетрудно заметить, что в случае пластинки краевая задача, поставленная для уравнений (1.12), описывает колебания пластинки в ее плоскости. При закреплении пластинки способом, исключающим тангенциальные смещения точек контура срединной плоскости, эта задача имеет только тривиальное решение, т.е. 24В случае чисто изгибных колебаний уравнения движения малого элемента пластинки (1.13) запишутся в следующем виде (к = 1,2) (2.7) Полученная система уравнений (2.7) полностью описывает напряженно-деформированное состояние тонкой вязкоупругой трансверсалъно изотропной пластинки под действием гармонической нагрузки в уточненной постановке, т. е. в рамках моделей МТА и МТТ. После решения системы (2.7) с граничными условиями, соответствующими способам закрепления или загружения краев пластинки, становится возможным определение функции Q\cc,f3,y), входящей в уравнение теплопроводности (1.14). 1-у с дг} д II с дт} д% с дфг} + / gi = (-1) 1 -,( / 2 + /г a2chQBDWk,k = \,2. По приведенным соотношениям выполнены вычисления для квадратной пластинки а = Ь = 0,5 м ( = 1Н/ж2) при значениях h0 =0,02-0,20, « = m = l. Вычислительные эксперименты проводились для пластинок, изготовленных из изотропного материла ЭД-6 МА, физико-механические характеристики которого следующие Ех =j = 2,7-109 н/м2, (Е2= E}tgS), М Л - 0,280 Вт/м гряд, # = 0,015, v = =0,4, р = 1250КГ/ orj = я+ = 9,15Вт/м2 град. Величины критических частот и соответствующих им максимальных амплитуд прогибов, изгибающих моментов в точке =7/=0,5, перерезывающей силы Nx в точке (=0,5; //=0,0), крутящего момента в точке = /=0,0 и перерезывающей силы Ny в точке (=0,0; /=0,5) для МТА, МТТ и классической модели представлены в табл. 2.1 (h0 = 0,02) и табл. 2.2 (А0 = 0,2). В этом параграфе рассматриваются колебания пластинки, у которой два противоположных края шарнирно оперты, а два других закреплены произвольным образом или свободны. Для определенности будем считать, что шарнирное опирание имеет место при tf = 0, = l. Тогда должны выполняться условия (2.12). Для составляющих интенсивности нагрузки принимаются зависимости Ч\{%,п)=ч\{п)Лп% 2(/7)эО, где ft (?)-?!sin . Решение проводится численным методом. 2.2.1 Численное определение НДС пластинки. Неизвестные составляющие прогиба и функций у ( т]), у у ( !;,?}), тождественно удовлетворяющих граничным условиям шарнирного опирання краев = 0, = 1, будем искать в виде: Подставим в уравнения (2.7) представления (2.20) и введем в рассмотрение неизвестную вектор-функцию ?( )= Щ . Тогда полученную систему j " J У і \ ат) ац at] дифференциальных уравнений, с граничными условиями, соответствующими способам закрепления краев пластины rj = 0, // = 1, после ряда преобразований можно записать в нормальной форме Коши Щ=р(п)т+т (2.21) dr} Н1Г(0)=0,Н2У(\) = 0. (2.22) (б) края rj = 0, 77 = 1 жестко закреплены (в) край 7 = 0 шарнирно закреплен, а край rj -1 имеет жесткое закрепле ние. Отметим, что условия (2.23) в рамках модели МТА не могут быть удовлетворены во всех плоскостях, параллельных срединной. Поэтому, согласно работам [1-4], будем требовать их выполнения лишь при С = +Со, где 0 Со V2 Ненулевые компоненты матриц и векторов Нх (/ = 1,2), соответствующие описанным вариантам закрепления, определяются формулами: Краевая задача с описанными граничными условиями решалась численно методом дискретной ортогонализации С. К. Годунова [16], Результаты численного решения для квадратной пластинки а = 6 = 0,5 м, толщиной А = 0,01 м (т = 1, qx = 1 Н/м2) с шарнирно опертым контуром без учета инерции вращения приводятся в табл. 2.5, где представлены значения критической частоты и соответствующие ей максимальные амплитуды прогиба, моментов и усилий. Сравнение данных, приведенных в табл. 2.1, 2.5, показывает отличное совпадение результатов численного расчета с аналитическим решением. Таким образом, это подтверждает высокую точность используемого численного метода дискретной ортогонализации для нахождения НДС вяз-коупругой пластины в уточненной постановке. Рассмотрим пластинку, две противоположные стороны которой 7 = 0 и 7/ = 1 жестко закреплены, а другие шарнирно оперты. Как отмечается в работах [1-4], в статических задачах об изгибе идеально упругих пластинок выбор 0 не оказывает существенного влияния на напряженно-деформированное состояние. Это утверждение справедливо и для рассматриваемых в работе динамических задач изгиба вязкоупру-гих пластинок, что иллгострируют расчеты, приведенные в табл. 2.6, для квадратной пластинки а = Ъ = 0,5 м при /?0 = 0,02 без учета инерции вращения. Для тонких и достаточно толстых (h0 0,15) пластинок как с учетом, так и без учета инерции вращения эта закономерность не нарушается. с четырьмя шарнирно опертыми сторонами, а в табл. 2.8 - для случая, когда две противоположные стороны шарнирно оперты, а остальные закреплены жестко. Следует также отметить, что влияние инерции вращения (ИВ) на НДС при указанном способе нагружения несущественно, причем даже для Как показывает результат вычислительного эксперимента, проведенного для случая трех шарнирно опертых сторон и одной жестко закрепленной стороны, эта закономерность сохраняется, т.е. учет инерции вращения не сказывается существенным образом на напряженно-деформированном состоянии пластинки при рассматриваемой интенсивности нагружения. На основании этого в дальнейшем при определении НДС пластинки в случаях, когда компоненты интенсивности нагрузки заданы формулой (2.11), инерция вращения не учитывается. Необходимо отметить, что существенным образом на величину критической частоты и максимальную амплитуду прогиба влияет толщина пластинки. Так с увеличение толщины увеличивается значение а) , а max w уменьшается. При этом, как уже отмечалось, закон этого изменения различен для рассматриваемых моделей. В табл. 2.9-2.11 приведены значения амплитуд прогиба, изгибающих и крутящего моментов и перерезывающих усилий при критических частотах для описанных вариантов закрепления сторон пластинки (а) -h0 = 0,09, (в) - h0 = 0,07, (б) - h0 = 0,06 соответственно. Подсчитанные в рамках уточненных моделей наибольшие амплитудные значения моментов и усилий, практически не отличаются от тех же характеристик по классической теории, как для отдельно взятой толщины, так и с ее изменением. Вычислительный эксперимент, проведенный для пластинок малой толщины, показал, что «классические» прогибы совпадают с «уточненными» (табл. 2.1, 2.5, 2.6). Однако с увеличением толщины эта закономерность нарушается, т.е. начиная с некоторого значения, прогибы, подсчитанные по разным моделям, значительно отличаются и далее эта разница растет (рис. 2.2). Так относительная разность между «уточненными» и «классическими» прогибами достигает: 5,2% (МТА и КМ), 4,4% (МТТ и КМ) при h0 =0,09 в случае шарнирно опертого контура (табл. 2.9); 6,0% и 6,3% при h0 =0,07 в случаях жесткого закрепления одной из сторон (табл. 2.10); 6,9% и 7,4% при hQ =0,06 для вариантов закрепления (б) (табл. 2.11). Стоит отметить, что прогибы, определенные по уточненным моделям МТА и МТТ, в рассматриваемом интервале толщин не отличаются более чем на 3%. 2.2.2 Численное определение температуры саморазогрева пластинки В этом пункте исследовано тепловое поле пластинок, закрепление контура которых описано в п. 2.2.1. Следуя схеме, примененной в п.2.1, после определения НДС пластины, учитывая (2.26), функцию мощности источников тепла представим в В предыдущих пунктах рассмотрено напряженно-деформированное состояние и тепловое поле при изгибе тонких вязкоупругих пластинок, изготовленных из изотропного материала ЭДб-МА. Классическая теория не учитывает комплексный модуль El и модуль сдвига G для плоскостей, нормальных к плоскости изотропии. Поэтому для определения НДС и теплового поля при вибрационном изгибе трансверсально изотропных пластинок применяются теории, учитывающие поперечные сдвиги, т.е. теорий МТТ и МТА. Приведем результаты численных вычислений для пластинок, изготовленных из трансверсально изотропных материалов, у которых физико-механические характеристики в плоскости изотропии совпадают со значениями констант ЭД6-МА, а в плоскостях, нормальных к плоскости изотропии, отношение составляющих комплексных модулей Е\/Е[ варьируется, v = PJ. В табл. 2.19 и табл. 2,20 приведены критические частоты, амплитудные значения прогиба и максимальные установившиеся температуры саморазогрева пластинок с шарнирно опертым контуром при Г -Г 0 толщины h0 = 0,02 и h0 = 0,045 соответственно. В указанных таблицах не приводятся значения амплитуд крутящего и изгибающих моментов, перерезывающих сил, поскольку они не зависят от изменения отношения ExjE[ и совпадают с данными, приведенными в табл. 2.5, 2.9 п. 2.2.1. Анализ результатов, представленных в табл. 2.19, 2.20, показывает, что при значениях отношения ExjE[ 1 амплитуда прогиба уменьшается, а разогрев увеличивается или уменьшается в зависимости от толщины по сравнению с изотропной пластинкой. Критические частоты в этом случае незначительно возрастают. Стоит отметить, что при Е1/Е[ = 0,02 «уточненные» напряженно-деформированное состояние и тепловое поле практически совпадают с «классическими» для пластинок из изотропного материала. Подобная закономерность наблюдается во всем рассмотренном интервале толщин пластинки. В случаях, когда Е\ больше ,, уменьшаются значения критических частот, причем значительно (табл. 2,9, 2.20). Значения отношения EXJE[, при которых результаты в рамках МТА существенно превосходят соответствующие значения МТТ, зависят от толщины пластинки. Так для достаточно толстой пластинки уже при ,/{ = 10 относительная разность амплитуд прогибов составляет б %, а температуры саморазогрева 28,5 %. Однако, для тонких пластинок при Ех (Е[ 5 в рассмотренном интервале толщин значительных расхождений не наблюдается. Анизотропия материала пластинки не сказывается на качественной картине поведения основных характеристик НДС и установившейся температуры по длине, ширине и толщине пластинки. о Учет поперечного сдвига при определении НДС и темпера турного поля тонких (hQ 0,09) вязкоупругих пластинок с шарнирно опертым контуром при составляющих нагрузки в виде (2,12) не существенно влияет: на значения критических частот (менее 3 %); на максимальную амплитуду прогиба (хменее 5,5 %); на перерезывающие усилия, изгибающие и крутящий моменты; на установившуюся температуру саморазогрева. о Учет инерции вращения не оказывает влияния на качест венную картину изменения НДС и температурного поля, как в уточ ненных теориях, так и в рамках классической модели, При этом в слу чае, когда компоненты интенсивности нагрузки заданы в виде (2.12), количественного расхождения результатов также не наблюдается, о С введением в контур пластинки жесткой заделки область согласования «уточненных» амплитудных значений основных характеристик НДС и температуры саморазогрева несколько сужается по сравнению со случаем, когда контур пластинки шарнирно оперт. Так при жесткой заделке любых двух сторон и шарнирном опираний остальной части контура для пластинок, толщина которых h0 0,06, учет поперечного сдвига не вносит существенного вклада в НДС и, как следствие, в температурное поле. В случае жесткого закрепления контура это значение h0 уменьшается и достигает й0 = 0,05 . о При определении напряженно-деформированного состоя ния и разогрева пластинок, изготовленных из трансверсально изотропного материала, рассматриваемые уточненные теории дают близкие результаты в случаях, когда EljE\ \. При этом, «уточненные» значения критических частот, амплитуд прогибов и температура са моразогрева приближаются к «классическим» с уменьшением отношения ExjE[. В случаях, когда E{jE\ \, результаты, полученные в рамках рассматриваемых в работе уточненных моделей, существенно отличаются, начиная с некоторой величины отношения Е1 (Е{. Выявлено, что эти значения зависят от толщины пластинки и от способа ее закрепления. о Достоверность полученных численных результатов под тверждается отличным совпадением данных вычислительного эксперимента с аналитическим решением. Для усеченной конической оболочки с углом раствора 2 р и радиусом большего основания R (рис. 3.14) в рассматриваемой системе координат Э{а) = р, r(a) = R asm р, R x = 0, R = cos p/r(a) Оболочка находится под действием распределенной нагрузки (3.4), при этом дї - L l, q2 = 0. Для рассматриваемой усеченной конической оболочки количество ненулевых компонентов в формулах (3.11) сокращается. Они принимают следующий вид: Численный эксперимент проводился для оболочек, изготовленных из изотропного материала ЭД-6 МА, с радиусом большего основания R=\ м и углом раствора р = л/6, толщина которых h варьировалась от 0,01м до 0,1м. Для усеченной конической оболочки, находящейся под действием внешнего возбуждения, интенсивность которого определяется формулой (3.4), существует спектр критических частот т к {к = 1,2,3,..). Однако, как и в случае круговой цилиндрической оболочки, большие амплитудные значения характеристик напряженно-деформированного состояния достигаются при ак, имеющих меньший номер к. Рассмотрим коническую оболочку, контур которой неподвижно жестко закреплен (условия (3.19)). В табл. 3.7 (без учета тангенциальных сил инерции и инерции вращения) и табл. 3.8 (с учетом перечисленных инерционных сил) приведены первые три критические частоты и соответствующие им амплитудные значения основных характеристик, описывающих напряжены о-деформированное состояние. Для каждого номера критической частоты к в строчках перечислены результаты, полученные по моделям МТА, МТТ и классической теории соответственно. В таблицах в скобках указана координата точки с, в которой достигается наибольшее значение соответствующей характеристики. Анализ таблиц показывает, что учет тангенциальных сил инерции и инерции вращения не вносит значительного вклада в напряженно-деформированное состояние в рамках любой из рассматриваемых моделей. Амплитудные значения характеристик НДС, полученные при первой критической частоте, отличаются менее чем на 4,5 % (max Ма) для достаточно толстых оболочек (hQ 0Д). Однако, при о - w2 «уточненные» прогибы превосходят «классические» более чем на 9,3 % (МТА) и 7,6 % (МТТ) у оболочек, толщина которых hQ 0,0625. Также существенно отличаются амплитуды радиального усилия (более 15% для МТА и 12 % для МТТ). При достижении третьей критической частоты «уточненные» характеристики НДС, в том числе и прогиб, практически совпадают (разница менее 4,5%) с «классическими» лишь для достаточно тонких оболочек (толщина hQ 0,04 ). Рис. 3.15. Качественная картина изменения амплитуд основных характеристик НДС, полученных для модели МТА, вдоль меридиана представлена на рис. 3.15-3.18, й0 = 0,1. Графики для модели МТТ и классической теории не приводятся, поскольку характеры поведения кривых подобны тем, что изображены рис. 3.15-3.18, причем как с учетом, так и без учета тангенциальных сил инерции и инерции вращения. При закреплении оболочки по варианту (в) первые три критические частоты и соответствующие амплитуды характеристик НДС приведены в табл. 3.9 (без учera тангенциальных сил инерции и инерции вращения) и табл. 3.10 (с учетом упомянутых инерционных сил). Отметим, что такой способ закрепления оболочки позволяет при достижении третьей критической частоты расширить интервал толщин, в котором «уточненные» характеристики незначительно отличаются от «классических» (менее 5 % до толщины 0,05 м). Рис. 3.19. Распределение характеристик напряженно-деформированного состояния вдоль образующей для модели МТА без учета тангенциальных сил инерции и инерции вращения показано на рис 3.19-3.22, hQ =0,1. Как и следовало ожидать, способ закрепления контура качественно сказывается на НДС. Номера кривых на этих рисунках соответствует номерам критических частот. После определения НДС часть составляющих мощности источников тепла в (3.14) подсчитываются по более простым формулам: В табл, 3.11 указаны значения температуры саморазогрева для оболочек, закрепленных способами, указанными в п. 3.3Л при й0 = 0,0625. Поскольку учет тангенциальных сил инерции и инерции вращения не вносит существенного вклада в тепловое поле оболочек, то результаты приведены для случая, когда эти силы инерции не учитываются.Определение мощности источников тепла и установившейся температуры саморазогрева при изгибных колебаниях вязкоупругих оболочек
Вибрационный изгиб прямоугольной пластинки при шарнирном опираний двух противоположных сторон
Влияние анизотропии материала на НДС и тепловое поле пластинки в задаче о вибрационном изгибе в уточненной постановке
Численное исследование НДС и температурного поля при установившихся осесимметричных колебаниях усеченных конических оболочек
Похожие диссертации на Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек с учетом поперечных сдвигов
