Содержание к диссертации
Введение
Глава I Деформация круглых и кольцевых пластинок в случае условия текучести в виде квадрата и оптимизация расположения дополнительных опор к круглым пластинкам J4
1.1. Основные предположения динамического поведения жёстко-пластических круглых и кольцевых пластинок 14
1.2. Динамика заделанной по краю круглой пластинки
1.3. Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой либо заделанной по внешнему краю кольцевой пластинки 21
1.4. Деформация заделанной по внутреннему и свободной по внешнему краю кольцевой пластинки 25
1.6. Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести в виде квадрата 30
Глава II О динамическом изгибе круглых и кольцевых пластинок в случае условия текучести Треска и оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам 35
2.1. О динамике заделанной по краю круглой пластинки 30
2.2. Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой по внешнему краю кольцевой пластинки
2.3. Деформация заделанной по внутреннему и внешнему краям кольцевой пластинки при импульсном нагружении
2.4. Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести
Заключение 112
Приложение
Литература 140
- Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой либо заделанной по внешнему краю кольцевой пластинки
- Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести в виде квадрата
- Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой по внешнему краю кольцевой пластинки
- Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести
Введение к работе
Тонкостенные конструкции в виде пластинок и оболочек находят самое широкое применение в разнообразных областях современной техники. При этом конструкции часто подвергаются динамическим нагрузкам. При проектировании таких конструкций нередко возникают проблемы оптимизации. Кроме того, в современных конструкциях могут иметь место пластические деформации. Вследствие этого необходимо решать задачи с учётом приведённых выше факторов.
Для расчёта конструкций на кратковременные интенсивные нагрузки, при которых проявляются в основном пластические свойства материала, наибольшее применение находят методы, основанные на модели жёстко-пластического тела [9, II, 36, 49]. Эта модель описывает пластические свойства конструкций в наиболее чистом виде, пренебрегая упругими деформациями. При этом материал остаётся недеформированным, пока напряжение в каком-нибудь из его элементов не достигнет предельной величины, после чего наступает пластическое течение. В большинстве известных исследований конструкции подвергаются динамической нагрузке с зависящей от координат и времени интенсивностью; менее изучено поведение конструкций при импульсной нагрузке, когда задаётся то или иное начальное поле скоростей прогибов.
Вопросы оптимизации пластических конструкций при динамической нагрузке естественно базируются на задачах динамического поведения соответствующих конструкций. Довольно полная библиография работ по динамике жёстко-пластических конструкций приведена в монографиях В.Олыпака, З.мруза, П.Пежины [47], Х.Л.Рах-матулина, Ю.А.Демьянова [oOJ, а также в обзорных работах В.Н.Ма-залова, Ю.В.пемировского [В4] и Г.С«Шапиро [б8].
Теоремы об определении верхней и нижней оценок предельных
статических нагрузок доказаны А.А.Гвоздевым [З]. Ему же принадлежит решение первых задач о динамическом изгибе балок и пластин. Динамика жёстко-пластических балок рассматривалась, например, в работах [8, 10, 54, 55, 72, 81].
Теория динамического изгиба жёстко-пластических круглых пластин, использующая закон течения, который связывает определённым образом поля напряжений и скоростей прогибов в пластинке, была предложена Г.Гопкинсом и В.Прагером [4]. Отметим также работы А.Ванга и Г.Гопкинса [2] и А.Ванга [98], в первой из которых рассматривалась деформация заделанной по краю круглой пластинки при импульсной нагрузке, а во второй рассматривалась аналогичная задала для свободно опертой по краю круглой пластинки. Динамика кольцевых пластин изучалась в работе Г.С.Шапиро [67], где рассматривалась защемлённая по внутреннему краю кольцевая пластинка с подвергнутым удару внешним краем. Кольцевая пластинка, свободно опёртая по внешнему краю, подверженная нагрузке прямоугольного типа, была объектом изучения в работе З.Ыруза [90], при этом на внутренний край пластинки действует перерезывающая сила.
В работе А.Флоренса [62] при некотором начальном поле скоростей даётся три решения для определения остаточного прогиба края кольцевой пластинки, заделанной по внутреннему и свободной по внешнему краю. Х.Эггарвал и К. Эблоу [71] рассматривали задачу деформирования заделанной или свободно опертой по внешнему и свободной по внутреннему краю кольцевой пластинки при равномерно распределённом импульсном нагружении. Отметим, что в этой работе не выполняется требование равенства радиального изгибающего момента своему предельному значению на шарнирной окружности. В работе А.Т.Спиридонова [о7] предпринята попытка описать деформацию кольцевой пластинки с защемлёнными краями под действием равномерно распределённой импульсной нагрузки.
А.Флоренсом [63] изучена задача о поведении защемлённой круглой пластинки под действием равномерно распределённого давления. Деформаїдия закреплённой по обоим краям кольцевой пластинки под действием динамической нагрузки изучена В.Н.Мазаловым [32]. Изгиб опертой по внешнему и свободной по внутреннему краю кольцевой пластинки в случае невозрастающего по времени равномерно распределённого давления исследовался в работе В.Н.Маза-лова и Ю.В.Немировского [89]. Движение защемлённой по внутреннему и свободной по внешнему краю кольцевой пластинки под действием нагрузки прямоугольного типа рассматривалось В.К.Костриком и О.Л.Лизгуновым [16]. Случай локального динамического нагруже-ния круглых жёстко-пластических пластин рассматривался П.А.Кузиным, З.Н.Кузиной, Г.С.Шапиро [19], Н.А.Форсман [64], М.Конрой [73] и А.Флоренсом [76].
Вопрос о влиянии формы кривой нагрузка-время на остаточные прогибы исследовался Р.М.кіазингом [35], К.Янгдалем [69, 70] , П.Пежиной [93].
Динамическое поведение пластин при больших прогибах изучалось Н.Джонсом [7, 80], А.Д.Судомоевым [39], Х.Липпманом [86].
Динамика конструктивно неоднородных пластин рассматривалась в работах Й.А.Кийко, А.Т.Спиридонова [12, 13], Я.Леллепа [21], Ю.Р.Лепика [24], Ю.П.Листровой, Ы.А.Рудиса, Т.Д.Семыкиной [28], В.Н.Мазалова, Ю.В.Немировского [33, 88], В.Н.Мазалова [30, 31], Ю.В.Немировского [38].
Предельные кривые для цилиндрической оболочки были получены Д.Друккером [74] и Ф.Ходжем [77] (см. 3.1 настоящей работы), однако наиболее плодотворным оказалось условие текучести, предложенное Ф.Ходжем в работе [78], в которой исследовано динамическое поведение защемлённой с обоих концов цилиндрической оболочки при нагрузке прямоугольного типа. Эту предельную кривую
8 Ф.Ходжа [78] использовали Г.Исон и Р.Шилд [75], рассмотревшие динамическое нагружение бесконечно длинной цилиндрической оболочки сосредоточенным кольцевым и распределённым поисковым давлением. Р.Оуэне и П.Саймондс [48] изучили пластическую деформацию свободного кольца под действием сосредоточенной динамической нагрузки. Отметим также относящуюся к тому же периоду времени работу Ф.Ходжа [79], в которой устанавливается чувствительность остаточных прогибов оболочки к форме равновеликих импульсов.
В работах П.Л.Кузина [17, 18] изучается поведение как заделанной, так и свободно опертой по краям цилиндрической оболочки под действием сосредоточенного кольцевого давления, причём рассматривается два вида изменения нагрузки во времени: прямоугольный импульс и импульс, сообщающий сечению постоянную скорость. П,Л.Кузиным и Г.С.Шапиро [20] для того же вида нагружения дано полное исследование движения полубесконечной цилиндрической оболочки со свободным краем.
Л.Н.Спорыхин и Н.Д.Хомяков [Ь8] изучили динамический изгиб цилиндрической оболочки под действием давления, равномерно распределённого на некотором участке длины, который расположен влм-метрично относительно середины оболочки, обобщив тем самым решение ФоХоджа [78]. Ь работе СМ.Колесникова и В.К.Кострика [io] рассмотрено поведение цилиндрической оболочки, защемлённой с одного и свободной с другого конца, под действием нагрузки прямоугольного типа.
Ю.Кирс [l4] изучил динамику цилиндрической оболочки при больших прогибах в случае равномерно распределённой нагрузки прямоугольного типа.
В работах Ю.В.Немировского и В.Н.Мазалова [87, 92] исследовано динамическое поведение подкреплённых цилиндрических оболочек.
Как отмечается в обзоре В.М.Мазалова и Ю.Б.Немировского [34] 1975 года, случаи импульсного нагружения цилиндрической оболочки в литературе фактически не были изучены. Количество исследований по импульсному нагружению круглых и кольцевых пластинок значительно меньше, чем работ по динамическому нагружению, когда конструкция в течение некоторого промежутка времени подвергнута давлению. Этим объясняется, что в данной работе рассматриваются конструкции, подвергнутые импульсному нагружению.
В настоящее время имеется довольно много работ по оптимизации упругих конструкций. Этой проблеме посвящены монографии [і, 5, б, 29, 46, 51, 52, 61]. Вопросы оптимизации дискретных упруго-пластических систем в случае статической нагрузки рассматривались в монографии [бб].
Проблемы оптимизации неупругих тонкостенных конструкций при динамических воздействиях рассматриваются в монографии Ю.Лепика [27] и в его же обзорной статье [26]. Пятая глава монографии Ю.Лепика посвящена исследованию возможности уменьшения податливости конструкций при помощи дополнительных опор.
В случае статических нагрузок условия оптимальности расположения дополнительных опор выведены З.Мрузом и Г.Рожваны [91,9о] для упругого и нелинейно-упругого и В.Прагером и Г.Рожваны [94] для жёстко-пластического материала. Примеры применения этих условий можно найти также в монографии Г.Рожваны [53]. В работе Ю.Лепика [83] условия оптимальности выводятся для статической нагрузки при помощи методов теории оптимального управления в случае довольно общего минимизируемого функционала. Весьма общая постановка задачи имеется в работе Д.Шеланга и З.Мруза [97].
Результаты, полученные для статических задач, были обобщены Ю.Лепиком [25, 84] на случай динамического нагружения при помощи метода модальных движений, а в работе автора [39] на примере
упругой балки, закреплённой с помощью двух опор, оценивалась точность этого метода для различных начальных полей скоростей движения. В работе Ю.Лепика [8э] с помощью методов теории оптимального управления с распределёнными параметрами было получено интегральное условие оптимального расположения дополнительной опоры к жёстко-пластической балке. При этом задаётся некоторое начальное поле скоростей и задача решается в точной постановке.
Я.Леллепом [22J было определено оптимальное расположение дополнительной опоры к жёстко-пластической защемлённой с одного и шарнирно закреплённой с другого конца балке, подверженной импульсному напруженню. Эта же задача с помощью вариационных методов теории оптимального управления исследовалась Я.Леллепом в [23]. В его же работе [82] эта задача обобщалась на случай нескольких опор. Ю.Лепиком [27, 21] решена задача определения оптимального расположения симметричных опор, на которых закреплена жёстко-пластическая балка, подвергнутая импульсному нагру-жению. Даётся как точное решение, так и решение методом модальных движений, при этом отмечается, что этот метод в случае данной задачи даёт довольно высокую точность.
Данная работа посвящена задачам деформирования импульсно нагруженных жёстко-пластических конструкций и определению оптимального расположения дополнительных опор к различнытл образом закреплённым жёстко-пластическим круглым пластинкам и цилиндрическим оболочкам, подверженным равномерному импульсному нагружению.При этом оптимальным считается такое расположение дополнительных опор, при котором достигается минимум максимального остаточного прогиба для всей конструкции.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.
В первой главе сначала приводятся основные соотношения дина-
мического поведения жёстко-пластических круглых и кольцевых пластинок. Затем в случае условия текучести в виде квадрата даётся решение задач деформирования заделанной круглой пластинки и различным образом закреплённых кольцевых пластинок при импульсном нагружении. Наконец, на основе полученных решений находится оптимальное расположение круговых дополнительных опор к круглым пластинкам.
Вторая глава посвящена описанию деформации импульсно нагруженных кольцевых пластинок в случае условия текучести Треска. Для рассматриваемого условия текучести решается также задача об определении оптимального расположения дополнительных опор к круглым пластинкам.
В третьей главе после рассмотрения основных предположений динамического деформирования жёстко-пластических цилиндрических оболочек исследуется динамика импульсно нагруженных цилиндрических оболочек с различным образом закреплёнными концами. Находится оптимальное расположение дополнительных опор к цилиндрическим оболочкам. Задача определения оптимального расположения дополнительной опоры к цилиндрической оболочке решается также методом модальных движений.
В заключении изложены основные результаты и общие выводы диссертационной работы.
Новые результаты, полученные в диссертации, которые выносятся на защиту:
найден остаточный прогиб импульсно нагруженной заделанной по краю круглой жёстко-пластической пластинки в случае условия текучести в виде квадрата;
описано деформирование заделанной по внутреннему краю жёстко-пластической кольцевой пластинки при импульсном нагружении в случае условия текучести в виде квадрата; рассматриваются три случая опирання внешнего края пластинки: свободное опирание,
жёсткая заделка внешнего края и случай, когда внешний край свободен;
решена задача деформирования импульсно нагруженной заделанной по внутреннему и свободно опертой либо заделанной по внешнему краю кольцевой пластинки в случае условия текучести Треска;
исследовано динамическое поведение как заделанной с обоих концов, так и заделанной с одного и свободной с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочки произвольной конечной длины при импульсном нагружении; аналогичная задача решена для заделанной с одного и свободно опертой с другого конца короткой цилиндрической оболочки;
найдено расположение дополнительных круговых опор к различным образом закреплённым по краю круглым жёстко-пластическим пластинкам, подверженным импульсному нагружению; приведены коэффициенты экономии; данные задачи решаются как в случае условия текучести в виде квадрата, так и при условии текучести Треска;
определено расположение дополнительной опоры к заделанной с одного и свободной с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочке при разных значениях характерного параглетра оболочки; найдены соответствующие коэффициенты экономии; аналогичная задача решена для заделанной с одного и шарнирно закреплённой с другого конца короткой оболочки и приведено обобщение этой задачи на случай нескольких дополнительных опор к оболочке с короткими расстояниями между опорами;
методом модальных движений решена задача оптимального расположения дополнительной опоры к заделанной с одного и свободной
с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочке при импульсном нагружении.
Материалы диссертации докладывались на семинаре-совещании молодых учёных по проблеме "Оптимизация конструкций при динами-
ческих нагрузках" (Тарту-Кяэрику, 1982 г.), на научном семинаре по оптимизации конструкций и механических систем при лаборатории оптимизации конструкций Института проблем мехэлики АН СССР (Москва, 1983 г.), на семинаре отдела математической физики Ленинградского физико-технического института им. А.Ф.Иоффе АН СССР (Ленинград, 1984 г.), на семинаре кафедры теоретической механики Тартуского государственного университета (1979 - 1984 гг.). Основные результаты работы опубликованы в [40 - 4о].
Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой либо заделанной по внешнему краю кольцевой пластинки
Данная работа посвящена задачам деформирования импульсно нагруженных жёстко-пластических конструкций и определению оптимального расположения дополнительных опор к различнытл образом закреплённым жёстко-пластическим круглым пластинкам и цилиндрическим оболочкам, подверженным равномерному импульсному нагружению.При этом оптимальным считается такое расположение дополнительных опор, при котором достигается минимум максимального остаточного прогиба для всей конструкции.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.
В первой главе сначала приводятся основные соотношения динамического поведения жёстко-пластических круглых и кольцевых пластинок. Затем в случае условия текучести в виде квадрата даётся решение задач деформирования заделанной круглой пластинки и различным образом закреплённых кольцевых пластинок при импульсном нагружении. Наконец, на основе полученных решений находится оптимальное расположение круговых дополнительных опор к круглым пластинкам.
Вторая глава посвящена описанию деформации импульсно нагруженных кольцевых пластинок в случае условия текучести Треска. Для рассматриваемого условия текучести решается также задача об определении оптимального расположения дополнительных опор к круглым пластинкам.
В третьей главе после рассмотрения основных предположений динамического деформирования жёстко-пластических цилиндрических оболочек исследуется динамика импульсно нагруженных цилиндрических оболочек с различным образом закреплёнными концами. Находится оптимальное расположение дополнительных опор к цилиндрическим оболочкам. Задача определения оптимального расположения дополнительной опоры к цилиндрической оболочке решается также методом модальных движений.
В заключении изложены основные результаты и общие выводы диссертационной работы. Новые результаты, полученные в диссертации, которые выносятся на защиту: - найден остаточный прогиб импульсно нагруженной заделанной по краю круглой жёстко-пластической пластинки в случае условия текучести в виде квадрата; - описано деформирование заделанной по внутреннему краю жёстко-пластической кольцевой пластинки при импульсном нагружении в случае условия текучести в виде квадрата; рассматриваются три случая опирання внешнего края пластинки: свободное опирание, жёсткая заделка внешнего края и случай, когда внешний край свободен; - решена задача деформирования импульсно нагруженной заделанной по внутреннему и свободно опертой либо заделанной по внешнему краю кольцевой пластинки в случае условия текучести Треска; - исследовано динамическое поведение как заделанной с обоих концов, так и заделанной с одного и свободной с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочки произвольной конечной длины при импульсном нагружении; аналогичная задача решена для заделанной с одного и свободно опертой с другого конца короткой цилиндрической оболочки; - найдено расположение дополнительных круговых опор к различным образом закреплённым по краю круглым жёстко-пластическим пластинкам, подверженным импульсному нагружению; приведены коэффициенты экономии; данные задачи решаются как в случае условия текучести в виде квадрата, так и при условии текучести Треска; - определено расположение дополнительной опоры к заделанной с одного и свободной с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочке при разных значениях характерного параглетра оболочки; найдены соответствующие коэффициенты экономии; аналогичная задача решена для заделанной с одного и шарнирно закреплённой с другого конца короткой оболочки и приведено обобщение этой задачи на случай нескольких дополнительных опор к оболочке с короткими расстояниями между опорами; - методом модальных движений решена задача оптимального расположения дополнительной опоры к заделанной с одного и свободной с другого конца жёстко-пластической цилиндрической оболочке при импульсном нагружении. Материалы диссертации докладывались на семинаре-совещании молодых учёных по проблеме "Оптимизация конструкций при динамических нагрузках" (Тарту-Кяэрику, 1982 г.), на научном семинаре по оптимизации конструкций и механических систем при лаборатории оптимизации конструкций Института проблем мехэлики АН СССР (Москва, 1983 г.), на семинаре отдела математической физики Ленинградского физико-технического института им. А.Ф.Иоффе АН СССР (Ленинград, 1984 г.), на семинаре кафедры теоретической механики Тартуского государственного университета (1979 - 1984 гг.). Основные результаты работы опубликованы в [40 - 4о].
Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести в виде квадрата
В этом параграфе будут представлены численные результаты, полученные при решении задачи оптимального расположения дополнительной опоры к жёстко-пластической круглой пластинке в случае условия текучести в виде квадрата. Будут рассмотрены три случая опирают внешнего края пластинки: свободное опирание, жёсткая заделка и случай, когда внешний край свободен. При этом будем пользоваться результатами и обозначениями параграфов І.І - 1.4. Оптимальным значением будем считать такое значение /Ь, при котором максимальный остаточный прогиб для всей пластинки будет минимален. Это условие можно записать следующим образом: - моменты окончания движения для внутренней (круглой) и внешней (кольцевой) частей пластинки соответственно. Для внутренней части пластинки всё довольно просто. Здесь по формуле (1.2.II) имеем Для нахождения max, л&(о.ы%) придётся численно проин л4$4 а/ г тегрировать на ЭВМ соответствующие системы дифференциальных уравнений, полученные в параграфах 1.3 и 1.4. Рассмотрим в отдельности три случая опирання внешнего края. I случай (свободно опертый внешний край). Систему уравнений (1.3.2) - (1.3.4) решаем методом Рунге-Кутта четвёртого порядка с шагом 0,0001, начиная с момента времени хг0» 0,0001 и при выборе начальных условий принимая во внимание соотношения (1.3.6). В данном случае Этот интеграл вычислялся по формуле Симпсона параллельно с решением системы (1.3.2) - (1.3.4). Функция г(ъ) является скоростью прогиба пластинки в зоне между шарнирными окружностями с координатами о, и о (рис. 1.5) и присутствует в системе (1.3.2) - (1.3.4) как функция, подлежащая определению, а ъм является моментом времени окончания движения, характеризующимся условием №(ъи) = 0 . Условие (1,5,1) в данном случае даёт оптимальный радиус дополнительной опоры Поведение функций ол(г)} Q iz) и #(г) для этого значения Л показано на рис. 1.8. При этом V - 0,Z60. График изгибающего радиального момента при /4 /44 для внутренней (круглой) части пластинки в момент времени = ив течение всей фазы движения 12 показан на рис. 1.9. Заметим, что изгибающий радиальный момент для внутренней части пластинки в течение фазы движения 12 представлен формулой (1.2.12). На рис. 1.10 показан график радиального изгибающего момента при А-А4 для внешней (кольцевой) части пластинки в конечный момент времени Ъ ъм. Отметим, что для л»л4 по формуле (1.2.9) имеем т А= (/4,,) =8 = 0,248, так что в этом случае ъ.4 = ъ4% vZi я ъ»% . При этом для /4= /i4 имеем -тол ifrfo. Cji) /ГГША/ (, ) 0,463 . О А 7 А$44 г II случай (жёстко заделанный внешний край). В данном случае систему, состоящую из уравнений (1.3.2), (1.3.3) и (1.3.7),решаем опять численно методом Рунге-Кутта четвёртого порядка с шагом 0,0001, начиная с момента времени тв« 0,0004 и пользуясь при выборе начальных условий формулами (1.3.8). Максимальный остаточный прогиб для внешней (кольцевой) части пластинки нах#дим в процеесз решения системы (1.3.2), (1.3.3), (1.3.7) по формуле Симпсона где тЭ1 - момент окончания движения. Пользуясь условием (І.Ь.І), в данном случае получим следующий оптимальный радиус дополнительной опоры: л 0,Ш4 . Графики функций fyfc), а,0&) и 4f(c) при этом значении л изображены на рис. I.II» График изгибающего радиального момента при =»/SA для внутренней (круглой) части пластинки в момент времени т = ълл ив течение всей фазы движения 12 показан на рис. I.I2. График радиального изгибающего момента при 4 = АЛ для внешней (кольцевой) части пластинки в конечный момент времени 1?»X 0/, показан на рис. I.I3. Вычисления показывают, что %,= О,ЯМ. Время движения внутренней части пластинки при A» 4 ,, как показывает формула (1.2.9), равно ъ4%= (л ) = 0,-Ш. Здесь опять ГА/І s t т = т »г. При этом для Л«/4А имеем III случай (свободный внешний край). Систему уравнений (1.4.2) решаем численно методом Рунге-Кутта с шагом 0,0001, начиная с момента времени то=О;О0(М и используя для начальных условий соотношения (1.4.3). Максимальный остаточный прогиб для внешней (кольцевой) части пластинки находится по формуле (1.4.7). Условие (І.5.І) даёт в случае свободного внешнего края следующее оптимальное значение для радиуса опоры:
Динамический изгиб заделанной по внутреннему и свободно опертой по внешнему краю кольцевой пластинки
Рассмотрим жёстко-пластическую тонкостенную цилиндрическую оболочку длины Ь , радиуса R и толщины А/ ,левый конец которой жёстко заделал, а правый может быть как свободно оперт, так и свободен (предполагается, что оболочка расположена горизонтально). Установим к оболочке жёсткую круговую дополнительную) опору, препятствующую прогибанию оболочки в месте её установки и расположенную на расстоянии 5 от левого конца оболочки, в котором поместим начало координатной оси Ох, направленной вдоль оболочки. Если к оболочке установлено несколько дополнительных опор, то это будет оговорено особо; в этом случае мы в добавление к предыдущим двум условиям опирання правого конца оболочки будем также рассматривать жёстко заделанный правый конец.
Пусть в начальный момент времени оболочка не деформирована, но все её точки, кроме опорных, имеют одинаковую скорость &о по направлению внутренней нормали к срединной поверхности оболочки, т.е. оболочка нагружена импульсивно. Отметим, что, как и з случае круглых и кольцевых пластин, большинство исследований по динамике цилиндрических оболочек выполнено в предположении, что оболочки подвергнуты нагрузке fb( b? і/) 1 равномерно распределённой или по всей боковой поверхности, или по какой-либо части её.В этом случае рассматривается зависимость нагрузки от времени либо прямоугольного типа (когда на начальном этапе времени е(0?" ) нагрузка является постоянной, а при i она полностью снимается, и дальнейшее движение происходит по инерции),либо,более общо, зависимость нагрузки от времени является : невозрас-тающей функцией. При этом требуется, чтобы в начальный момент времени действующая нагрузка была бы не меньше статической разрушающей нагрузки, определяемой методами теории предельного равновесия.
Нашей задачей является нахождение такого расположения дополнительной опоры (опор), при котором максимальный остаточный прогиб оболочки достигал бы минимального значения.
Здесь so является, как уже говорилось, координатой по образующей оболочки, jo - поверхностная плотность оболочки, М«М( ьД М0= 0,Ш0&} Н=Н(к?і) и Ne=eoh - осевой и предельный осевой изгибающие моменты,окружная сила и предельная окружная сила на единицу длины соответственно при пределе текучести Єс , W-W(/c,) прогиб по направлению внутренней нормали к срединной поверхности оболочки, - время. Отметим, что, согласно статье [78], осевой изгибающий момент И считается положительным в случае, когда внутренняя поверхность оболочки подвергнута растяжению, окружная сила N положительна при растяжении. Здесь и далее в этой главе имеются некоторые повторения с обозначениями предыдущих глав, но это не должно внести путаницу в изложение.
Учитывая (3.1 1), уравнение движения цилиндрической оболочки при малых прогибах и отсутствии осевой силы можно привести к следующему безразмерному виду: Здесь и далее штрихами и точками обозначено дифференцирование по и х соответственно. Начальные условия при учёте (3.1.1) будут иметь вид При этом второе равенство из (3.1.3) должно выполняться при всех из отрезка [0, і], кроме тех координат , , в которых установлены опоры. Таким образом, в случае одной жёсткой дополнительной опоры, учитывая, что левый конец оболочки жёстко заделан, мы приходим к условиям Если, кроме того, правый конец свободно опёрт либо жёстко заделан, то имеет место равенство Добавим также краевые условия, выражающие тот факт, что при = 0 и =Л имеют место шарнирные окружности Для жёстко-пластического материала существенное влияние на решение задачи деформирования цилиндрической оболочки имеет выбор условия текучести. Условие текучести, при котором предельная кривая имеет вид, показанный на рис. 3.1а,было получено Друккером [74] Однако нелинейность соотношений между № и Л/ затрудняет применение этой кривой в соответ 60 ствующих динамических задачах. Для идеальной трёхслойной (типа сэндвича) цилиндрической оболочки Ходжем [77] была предложена предельная кривая, изображённая на рис. 3.16. Однако и её применение в динамике жёстко-пластических цилиндрических оболочек было довольно затруднительным. В дальнейшем мы будем пользоваться впервые предложенным Ходжем [78] условием текучести , при котором предельная кривая ограничивает квадрат ABDC (рис. ЗДв). Будем также пользоваться ассоциированным с выбранным нами условием текучести законом течения, при котором вектор обобщённых скоростей деформации является ортогональным к предельной кривой (в угловых точках этот вектор может принимать любое направление, ограниченное направлениями нормалей прилежащих сторон предельного квадрата текучести [її]).
Оптимальное расположение дополнительных опор к круглым пластинкам в случае условия текучести
В этом параграфе мы рассмотрим три задачи оптимального расположения дополнительных опор к цилиндрической оболочке в случае импульсного нагружения. Во-первых, найдём оптимальное расположение дополнительной опоры к жёстко заделанной с одного и свободной с другого конца цилиндрической оболочке, во-вторых, решим аналогичную задачу для жёстко заделанной с одного и шар-нирно закреплённой с другого конца короткой цилиндрической оболочки и, наконец, найдём оптимальное расположение нескольких дополнительных опор к цилиндрической оболочке с короткими расстояниями между опорами, концы которой могут быть либо жёстко заделаны, либо шарнирно закреплены.
Найдём сначала оптимальное расположение круговой жёсткой дополнительной опоры к заделанной с одного и свободной с друго го конца цилиндрической оболочке. Результаты, касающиеся этого вопроса, представлены в [4о]. Для левой части оболочки ( % &) максимальный остаточный прогиб при С /6 48 задаётся формулой (3.2.13), а при С А 48 - формулой (3.2.27). Для правой части оболочки при максимальный остаточный прогиб задаёт ся формулой (3.3.8), при 6 -О (4-А) 6(3+&)[&) - формулой (3.3.16), а при С?(4-А) 0 (Ы&) максимальный остаточный прогиб равен где интегралы мы будем вычислять по формуле Симпсона параллельно с решением систем (3.3.3), (3.3.19) и (3.3.23), которые численно интегрируются методом Рунге-Кутта четвёртого порядка (если шаг интегрирования системы (3.3.3) обозначить через П/; то как для системы (3.3.19), так и для системы (3.3.23) шаг интегрирования был взят равным также &), причём интегрирование системы (3.3.3) начиналось с момента времени %-Ъ0 и при этом использовались соотношения (3.3.4). Отметим, что система (3.3.3) таким же образом интегрировалась и при С-( -л) 6 и 6 6(4-4/ для того чтобы вычислить интегральные члены и величины ) и ЩЬці) в формулах (3.3.8) и (3.3. соответственно.
Сначала представим результаты, полученные для оболочки с параметром 6 - 40 для различных значений шага интегрирования к и начального момента времени Ъ0. Результаты представлены в таблице 2, где через Л0 обозначено оптимальное расположение дополнительной опоры, через VA4 И ЬХІ - безразмерные времена движения для левой и правой частей оболочки соответственно при Л Л0, а через /tfs, - безразмерный максимальный остаточный прогиб для всей оболочки при Л = Л0 .
Рассмотрим также результаты численного решения системы (3.3.3) при t 40 и /6 0,5. Эта система решалась сначала методом Рунге-Кутта с шагом &/=№ , а затем-с шагом %т 40 (в обоих случаях интегрирование начиналось с момента времени 170= = 40 ). П слученные при этом графики функций #{v), ти(ъ) и Ыъ), а также график функции ф(ъ) = /v(fl-A)-U (A-A)fоказались весьма мало отличающимися друг от друга. Графики этих функций при t = ЯЮ и А = 0,& представлены на рис. 3.16.
Приведём также результаты численного решения систем (3.3.19) и (3.3.23). Графики для функций,встречающихся в этих системах,приведём для случая, когда с, =А$0 и Л«0;.f. Действительно, в этом случае реализуются фазы движения 51, о2 и 53, поскольку для этих значении t и А выполнено неравенство С/( 1-/ь) 6(2 + JJYAJ J. Приводить графики функций, встречающихся в системе (3.3.3) для &=Л$0 и /б=0, 5"; мы здесь не будем, т.к. эти графики качественно совпадают с графиками, приведёнными на рис. 3.16, только функция &(ъ) в противоположность рис. 3.16 здесь является убывающей.
