Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка задач и полная система уравнений задач квазистатического деформирования и динамики идеально пластических круглых пластинок и осесимметричных пологих оболочек 11
1.1. Обзор исследований поведения статически и динамически нагруженных круглых пластинок и пологих оболочек вращения за пределом упругости 11
1.2. Постановка задач статического и динамического расчета конструкций на основе исходных соотношений теории идеальной пластичности 27
1.3. Полная система уравнений задач статики и динамики идеально
пластических круглых пластинок и осесимметричных пологих оболочек 40
1.4. Статика и динамика пластических оболочек с учетом инерции вращения,
упрочнения, чувствительности к скорости деформирования и неоднородности
напряженного состояния 48
1.5. Выводы
ГЛАВА 2. Задачи квазистатического деформирования идеально пластических круглых пластинок на основе линеаризации поверхности текучести 61
2.1. Пластическое деформирование круглых пластинок с жестким защемлением края под действием равномерно распределенной нагрузки 61
2.2. Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием под действием распределенной по любому закону осесимметричной нагрузки 75
2.3. Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием при локальном нагружении 97
2.4. Пластическое деформирование круглых пластинок с жестким защемлением края под действием распределенной по любому закону осесимметричной нагрузки 114
2.5. Пластическое деформирование круглых пластинок с жестким защемлением края при локальном нагружении 133
2.6. Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирным опиранием и жестким защемлением края при локальном нагружении жестким штампом 150
2.7. Область применимости теории больших прогибов идеально пластических круглых пластинок и пологих оболочек вращения 162
2.8. Большие перемещения идеально пластической круглой пластинки с шарнирно неподвижным краем. Полное решение 169
2.9. Выводы 175
ГЛАВА 3. Задачи квазистатического деформирования идеально пластических круглых пластинок, мембран и безмоментных оболочек на основе нелинейной поверхности текучести 176
3.1. Метод решения нелинейных задач жесткопластического изгиба круглых пластинок на основе условия пластичности Мизеса 176
3.2. Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием и жестким защемлением края 181
3.3. Пластическое деформирование круглых мембран и безмоментных оболочек при квазистатическом нагружении 195
3.4. Теоремы о взаимности для круглых мембран и безмоментных оболочек при квазистатическом нагружении 202
3.5. Выводы 206
ГЛАВА 4. Задачи квазистатического деформирования идеально пластических пологих оболочек вращения 208
4.1. Пластическое деформирование пологих оболочек вращения с жестким защемлением края на основе линеаризации поверхности текучести 208
4.2. Пластическое деформирование пологих оболочек вращения с шарнирно неподвижным опиранием и жестким защемлением края на основе нелинейной поверхности текучести 219
4.3. Выводы 234
ГЛАВА 5. Динамика идеально пластических круглых пластинок при воздействии высокоинтенсивными кратковременными нагрузками 235
5.1. Динамика круглой пластинки с шарнирно-неподвижным опиранием на основе линеаризации поверхности текучести 235
5.2. Динамика круглой пластинки с шарнирно-неподвижным опиранием и жестким защемлением края на основе нелинейной поверхности текучести 259
5.3. Выводы 283
ГЛАВА 6. Динамика идеально пластических мембран и пологих оболочек вращения при воздействии высокоинтенсивными кратковременными нагрузками на основе нелинейной поверхности текучести 284
6.1. Динамика пластических круглых мембран и безмоментных оболочек 284
6.2. Динамика идеально пластических пологих оболочек вращения с шарнирно-неподвижным опиранием и жестким защемлением края 296
6.3. Сравнение результатов с экспериментальными и численными исследованиями на основе более сложных моделей 313
6.4. Выводы 323
7. Основные результаты и выводы 324
8. Библиографический список
- Постановка задач статического и динамического расчета конструкций на основе исходных соотношений теории идеальной пластичности
- Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием под действием распределенной по любому закону осесимметричной нагрузки
- Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием и жестким защемлением края
- Динамика круглой пластинки с шарнирно-неподвижным опиранием и жестким защемлением края на основе нелинейной поверхности текучести
Постановка задач статического и динамического расчета конструкций на основе исходных соотношений теории идеальной пластичности
В данной части обзора основное внимание будет уделено работам, посвященным разработке методов статического и динамического расчета круглых пластинок и пологих осесимметричных оболочек с учетом больших прогибов на основе модели жесткопластического тела в целях конкретизации обоснования постановки задач. Это связано с тем, что практически обзор по расчету подобных конструкций в упруго вязко пластической постановке труднообозрим и требует специального внимания.
Значительное влияние на развитие теории пластического деформирования конструкций при статическом и динамическом нагружении оказали работы А. А. Ильюшина [61], Д.Д. Ивлева [59], В. Прагера [115], В. Прагера и Ф.Г. Ходжа [117], В. Койтера [76], А. Фрейденталя и X. Гейрингер [182].
Следует отметить фундаментальные работы И.И. Гольденблата и В.А. Копнова [29], Г.С. Писаренко и А.А. Лебедева [113], А.Ю. Ишлинского и Д.Д. Ивлева [62], A.M. Качанова [68], В.Д. Клюшникова [73], В.И. Королева [79], Н.М. Малинина [93], В.В. Соколовского [137], Р. Хилла [183], В.К. Новацкого [105]. Также следует назвать работы А.А. Гвоздева, А.Р. Ржаницына, А.С. Григорьева, М.И. Ерхова, Г. Гопкинса, Д. Друккера, Р. Мизеса, Г. Генки, Л. Прандтля, Е. Рейснера, Е.Т. Оната и других авторов. Подробный список соответствующей литературы можно найти в обзорных работах И.В. Кнетса [74], В. Олыпака, Э. Мруза, П. Пежины [109], Ф.Г. Ходжа [187], В.В. Болотина, И.И. Гольденблата, А.Ф. Смирнова [13], Н.Н. Безухова [7].
Обзору исследований поведения пластинок и оболочек вращения за пределом упругости при статическом нагружении посвящены работы В.Д. Клюшникова [72], Ю.Р. Лепика [89], В. Олыпака, А. Савчука [108], Я. Рыхлевского [130], Я. Рыхлевского, Г.С. Шапиро [129], Ф.Г. Ходжа [186,188], А.А. Гвоздева, A.M. Проценко [26].
Вопросы динамического нагружения и разработка методов расчета с обзором соответствующей литературы рассматриваются в работах Н. Джонса [35], М.И. Ерхова [57], А. Кейла [69], К.Д. Комарова, Ю.В. Немировского [77], Н. Кристеску [82], В.Н. Мазалова, Ю.В. Немировского [92], Н.Н. Попова, Б.С. Расторгуева [114], М.И. Рейтмана, Г.С. Шапиро [192].
Следует также назвать работы А.А. Гвоздева [25], М.И. Ерхова [43,46,48,50,51,52,54,57], Д.Д. Ивлева [58], М.Ш. Микеладзе [94], Е. Оната и В. Прагера [110,231], Ю.Н. Работнова [119], А.Р. Ржаницына [123-125], В.И. Розенблюма [126-128], Ф.Г. Ходжа [189,207-210], А. Ванга [243], А. Ванга, Г. Гопкинса [14], Г. Гопкинса, В. Прагера [32,30], Г.С. Шапиро [193], К. Янгдаля [195], посвященные обоснованно упрощенным методам расчета статически и динамически нагруженных круглых пластинок и оболочек вращения за пределом упругости в случае малых перемещений, в каждой из которых можно найти соответствующую библиографию.
Геометрически нелинейные задачи деформирования подобных конструкций в упругой и упругопластической постановках и список соответствующей литературы можно найти в работах И.А. Биргера [10], А.С. Вольмира [16], Ю.Р. Лепика [87,89], В.А. Лукина, И.В. Ширко [91], И.С. Цуркова [190].
Задачи динамического нагружения рассмотрены в работах А.С. Вольмира [17-19], А.В. Кармишина и др. [66], П.М. Огибалова [107], Х.А. Рахматулина, Р.А. Демьянова [121], А.П. Филиппова и др. [180], где также представлена обширная библиография. Общие вопросы учета геометрической нелинейности и обоснованные упрощения рассматриваются в монографиях В.В. Новожилова [106], П.А. Лукаша [90], КЗ. Галимова [24], СП. Тимошенко [173].
Наибольшее распространение в практических расчетах за пределом упругости получили жесткопластическая и упругопластическая модели идеально пластического тела.
Использование упругопластической модели в геометрически нелинейных задачах стало возможным с развитием прикладных методов расчета [13]. При этом, как правило, используют метод упругих решений, основанный на процессе последовательных приближений в рамках деформационной теории пластичности [61], см. также [89, 109].
Жесткопластическая модель, основанная на пренебрежении упругими эффектами, обладает рядом специфических свойств, которые не могут быть получены предельным переходом от модели упругопластического тела, что свидетельствует о необходимости изучения обеих моделей.
Использование жесткопластической модели связано с необходимостью решения систем дифференциальных уравнений в области с нестационарными границами, что требует предварительных предположений относительно полей скоростей и полей напряжений, которые, в свою очередь, зависят от текущей конфигурации конструкции.
Методика определения больших прогибов жесткопластических пластинок и оболочек предложена в работе М.И. Ерхова, И.А. Монахова, В.И. Себекиной [49]. Используется кинематический метод определения несущей способности на каждом шаге нагружения. Достаточная точность подтверждена численным расчетом круглой пластинки с шарнирно неподвижным опиранием края под действием равномерно распределенной нагрузки, выполненным в работе И.А. Монахова [95].
Решение подобных задач связано со значительными затратами машинного времени и недостаточным исследованием вопросов сходимости и точности приближенных численных методов. Большими преимуществами обладают аналитические решения, которые, с другой стороны, необходимо иметь и при построении методики решения задач динамики.
Анализ имеющихся в литературе аналитических решений статических задач с учетом физической и геометрической нелинейностей показывает на необходимость дальнейших исследований в этом направлении, так как они являются основой для разработки методов решения более сложных задач.
Рассмотрим основные результаты, полученные в этой области. Верхняя граница сосредоточенной в центре разрушающей нагрузки для круглой пластинки с учетом больших прогибов впервые была найдена в работе Е. Оната и Р. Хейзорнсвейта [232]. Авторы исследовали влияние граничных условий и видов нагружения на прогибы в центре пластинки, которые сравниваются с экспериментальными данными. Отмечается приближенный характер решения, так как форма разрушения соответствует начальному пластическому течению и не может соответствовать истинному полю перемещений при росте перемещений и деформаций.
Большие прогибы жесткопластических круглых пластинок под действием равномерно распределенной нагрузки исследуются в работах Ю.Р. Лепика [85,86,88] при различных граничных условиях. Получены решения в замкнутом виде, позволяющие найти прогибы в центре пластинки в функции параметра монотонно возрастающей нагрузки, которые сравниваются с решением [232], однако вследствие принятых автором допущений, эти решения также носят неопределенно-приближенный характер.
Задачи о деформировании жесткопластической круглой пластинки при условии пластичности максимального приведенного напряжения численно решались Ж.В. Качаловым, Ю.П. Листровой, В.Н. Потаповым в работе [67]. Рассматривались большие прогибы, сравнимые с толщиной пластинки. Показано, что решение дает завышенные значения нагрузки, по сравнению с полученными на основе условий пластичности Мизеса и Треска.
Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием под действием распределенной по любому закону осесимметричной нагрузки
Условие Y = 0, соответствующее случаю w0 —» o, Р0 - oo дает второе ограничение на параметр р:: Анализ ограничений (2.2.32) и (2.2.33) показывает, что при р = р: имеется экстремум (максимум), т.е. условие пластичности не нарушается. В зоне р: р 1 при р — 1 имеем дшл
Это ограничение выполняется при любых значениях р: и a. Это означает, что в окрестностях р — 1 имеется экстремум (минимум).
Зависимость между р: и а, соответствующая нарушению условия пластичности 0 т1 т2 в окрестности р —» 1, имеет вид
Анализ выражения (2.2.34) позволяет сделать вывод о том, что нарушение условия пластичности происходит при прогибах больших чем толщина пластинки (w0 4), то есть лежащих на границе области применимости теории больших прогибов (1-2 толщины пластинки). Кроме того, при w0 —» о пластинка стремится к безмоментному состоянию /и3 = /722 — 0. Нарушение условия пластичности 0 т1 т2 в окрестности р—»1 происходит при т —»0, т.е. крайне незначительно влияет на результаты.
В табл.2.2.1 представлены соответствующие значения Р0 и w0 для некоторых наиболее характерных видов нагрузок. Значение a = 0 соответствует решению задачи для равномерно распределенной нагрузки. Решение задачи деформирования круглой пластинки под действием нагрузки произвольного вида может быть получено либо непосредственно из (2.2.21) и (2.2.22), либо с достаточной точностью путем соответствующей комбинации видов нагрузок из табл. 2.2.1.
Для анализа возможности применения полученных результатов построим решение задачи, свободное от погрешностей, связанных с нарушением условия пластичности в соответствии с ограничением (2.2.34) для нагрузок вида
Распределение прогибов в центральной зоне пластинки остается в виде (2.2.7). В зоне р: р р2 на основании ассоциированного закона течения распределение прогибов описывается линейной функцией. В соответствии с (2.2.6) Распределение поперечных сил и изгибающих моментов в зоне р: р р2 остается в виде (2.2.14).
Выполняя проверку условия пластичности, отметим, что зависимость (2.2.32) остаётся в прежнем виде, ограничение 7 = 0 приводит к системе нелинейных уравнений 7 = 0, Х = 0, где 7 согласно (2.2.60), X согласно (2.2.38). Система имеет решение р: = р2. Предельным переходом р:—»р2 получаем зависимость (2.2.32). Для контроля система нелинейных уравнений решалась методом итераций. Результаты аналитического и численного решения полностью совпадают. Найдём распределение прогибов в зоне р2 р 1 для режима ml = 0, т2 = т , = 0. Из уравнений равновесия (2.2.1) с учетом (2.2.35) и граничного условия w х = 0 следует
Все графики в безразмерном виде. Алгоритм их практической реализации следующий. Геометрические параметры, физические параметры и параметры нагрузки приводятся к безразмерному виду. По графикам определяются остаточные прогибы. Далее они приводятся к размерному виду. При необходимости выполнить расчет на произвольную нагрузку, а также учесть упрочнение и неоднородность напряженного состояния, выполняется итерационный процесс согласно п. 1.4. Это относится ко всем последующим разделам.
Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием при локальном нагружении
Аналитические решения, полученные в п.2.2, распространяются на воздействие равномерно распределенной нагрузки локального характера. Решения подобных задач в геометрически линейной постановке впервые были получены Г. Гопкинсом и В. Прагером в работе [32].
Пусть круглая пластинка с шарнирно-неподвижным опиранием края загружена равномерно распределенной нагрузкой в области а р Ь (рис.2.3.1). Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат с учетом допущений теории пологих оболочек записываются в следующем виде:
Пластическое деформирование круглых пластинок с шарнирно неподвижным опиранием и жестким защемлением края
Система имеет решение р: = р2. Предельным переходом р:—»р2 получаем зависимость (2.4.55). Для контроля система нелинейных уравнений решалась методом итераций. Результаты аналитического и численного решения полностью совпадают. Анализ ограничений (2.4.55) и (2.4.56) показывает, что при р = р: имеется экстремум (максимум), т.е. условие пластичности не нарушается. В зоне р2 р 1 при р —»1 согласно (2.4.54) имеем Это ограничение выполняется при любых значениях р2 и а. Это означает, что в окрестностях р—»1 экстремума нет. Нелинейное трансцендентное уравнение (2.4.44) с учетом (2.4.42), (2.4.46), (2.4.50) и (2.4.51) решалось методом итераций Ньютона
Эпюры радиального изгибающего момента при 14 =0- 8 для нагрузок Р = Р0(\-ра), а = 133 Результаты представлены на рис.2.4.1-2.4.4 в виде графиков зависимости нагрузка-прогиб в центре пластинки для нагрузок различного очертания, где эпюры прогибов срединной поверхности круглой пластинки при w0 = 2 -т- 8 и эпюры радиального изгибающего момента при w0 = О -=- 8 для нагрузок различного очертания.
Пластическое деформирование круглых пластинок с жестким защемлением края при локальном нагружении
В п. 2.1, [41] получены решения задач пластического деформирования круглых пластинок с жестким защемлением края под действием равномерно распределенной нагрузки с учетом больших прогибов на основе использования модели жесткопластического тела.
В данном разделе решения распространяются на действие равномерно распределенной нагрузки локального характера. Решения подобных задач в геометрически линейной постановке впервые были получены Г. Гопкинсом и В. Прагером в работе [32].
Предположим, что круглая пластинка с жестким защемлением края находится под действием равномерно распределенной нагрузки в области а р Ь (рис.2.3.2). Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат с учетом допущений теории пологих оболочек записываются в следующем виде:
Для учета взаимного влияния изгибающих моментов и продольных усилий используется поверхность текучести для оболочек со сплошным однослойным сечением, построенная на основе условия пластичности Мизеса в работе [57]
Для учета упрочнения и неоднородности напряженного состояния необходимо использовать поверхность нагружения, аналогичную поверхности текучести (2.5.2) ml -т1т2+т2+п1 -п1п2+п2=Ф {Sj gradsMk . (2.5.3) Линеаризация поверхности (2.5.2) или (2.5.3), приводит к кусочно-линейному условию пластичности
Кинематические условия совместности для слабых разрывов на границах раздела зон с различным пластическим состоянием
Рассмотрим возможные механизмы деформирования круглой пластинки, соответствующие участкам поверхностей текучести (2.5.4) или (2.5.5). Пусть в центральной зоне 0 р 2 (рис.2.2.1) реализуется пластический режим А, соответствующий участку поверхности текучести т1 = т2,п1 = п2=п. dw Из уравнений равновесия (2.5.1) следует w = w0, — = 0, что соответствует закону для режима : Xi 0?X2-0 Полагая, что в зоне а р р1 также реализуется режим А, из уравнений равновесия с учетом условий непрерывности при р = а можно получить распределение прогибов в этой зоне
Таким образом, получено аналитическое решение физически и геометрически нелинейной краевой задачи в параметрическом виде, которое имеет самостоятельное прикладное значение и может быть использовано для тестирования численных результатов на основе более сложных упруго пластических моделей с использованием реальной диаграммы деформирования.
На рис.2.5.1-2.5.4 представлены графики зависимости нагрузка-прогиб в центре пластинки для локальной нагрузки по площади кольца (/3 = 1, а = 0, 0.25, 0.5, 0.75) и по площади круга (а = 0, Ъ = \ 0.75, 0.5, 0.25), где Р = РІЬ2 -а2) - «приведенная» нагрузка. На рис.2.5.5-2.5.14 представлены эпюры прогибов срединной поверхности круглой пластинки при w0 = 2 -=- 8 и эпюры радиального изгибающего момента при w0 = 0 -т- 8. Все графики построены с использованием поверхности текучести (2.5.4) при А:2 =1.
Полагая в соответствующих формулах а = 0, Ь = \, можно получить решение для пластинки, приведенное в работе [41]. Решение в геометрически линейной постановке [32] может быть получено, полагая в соответствующих формулах рх = 0. Однако, принимая параметр р2 = 1, системы разрешающих уравнений, описывающие деформирование пластинки с шарнирно-неподвижным
Динамика круглой пластинки с шарнирно-неподвижным опиранием и жестким защемлением края на основе нелинейной поверхности текучести
Решение задачи динамики свободно опертой жесткопластической круглой пластинки, подвергнутой действию равномерно распределенного давления, мгновенно приложенного и сохраняющего постоянное значение в течение некоторого интервала времени, приведено в работе [30]. При этом рассматриваются малые остаточные перемещения. Рассмотрим аналогичную задачу для шарнирно неподвижной круглой пластинки, загруженной равномерно распределенной по радиусу нагрузкой, с учетом больших прогибов, сравнимых с толщиной пластинки. В качестве основы используется решение соответствующей квазистатической задачи, приведенное в работе [38].
Если значение нагрузки незначительно превышает соответствующее начальному пластическому течению, естественно ожидать, что механизм деформирования круглой пластинки будет подобен полученному из решения квазистатической задачи. Таким образом, можно поставить задачу оценки возможности применения квазистатического механизма деформирования круглой пластинки к решению динамических задач. Задача формулируется следующим образом. В момент t = 0 к пластинке прикладывается и при t = t мгновенно сбрасывается равномерно распределенная по радиусу и неубывающая во времени нагрузка интенсивностью Р = P(t}. Движение пластинки можно разбить на две фазы: фаза нагружения 0 t t и фаза затухания t t tk. Пластинка останавливается в момент времени t = tk, причем остановка пластинки при малых давлениях может произойти и в первой фазе при достаточном значении tp. Уравнения движения для круглой пластинки в безразмерных координатах и переменных можно получить, полагая в (1.2.20) f = 0 Граничные условия имеют вид (1.2.21). Начальные условия для случая внезапно приложенного давления определяются согласно (1.2.24).
Выражения для скоростей деформаций и скоростей изменения кривизны срединной поверхности принимаются согласно (2.1.2) и (1.2.26). Учет взаимодействия нормальных усилий и изгибающих моментов можно осуществить, используя гиперповерхность текучести (1.2.16). Рассматривая сечение поверхности (1.2.16) плоскостями щ=п2=п, удовлетворяющими уравнениям движения, получим эллипс текучести (2.1.3), линейная аппроксимация которого есть шестиугольник текучести, вписанный в эллипс (2.1.3) (рис.2.1.2). Соответствующую границу решения можно получить, используя гиперповерхность (1.2.19), описанную около точной.
Использование кусочно-линейного условия пластичности (5.1.2) приводит к тому, что в процессе пластического деформирования пластинка разделяется на ряд пластических зон (рис.2.1.4), границы которых в общем случае не стационарны и зависят от интенсивности и времени действия приложенной нагрузки. На нестационарных границах раздела пластических режимов из условия непрерывности прогибов и скоростей прогибов должны выполняться кинематические условия совместности для разрывов (1.2.31) и (1.2.32). Функцию прогиба в каждой зоне будем определять, пользуясь ассоциированным законом течения, устанавливающего ортогональность вектора скорости пластической деформации к гиперповерхности текучести.
Рассмотрим фазу нагружения 0 t t Будем использовать для центральной зоны 0 р р: участок поверхности текучести (5.1.2а), для пограничной рх р 1 участок (5.1.26). На основании закона течения для режима АВ (рис.2.1.1-2.1.2) распределение скоростей прогибов в пограничной зоне имеет вид где w0 - прогиб в центре пластинки; и - функция, подлежащая определению. Функция (5.1.5) удовлетворяет соотношениям закона течения для режима : s: О, s2 0, Xi 0, Xi 0. Функцию и = v(p\) найдем из условия непрерывности величин w и w на границе раздела зон с различным пластическим состоянием. Скачки соответствующих величин при р = р: с учетом (5.1.4) и (5.1.5) равны Интегрированием последнего выражения с учетом начального условия wQ = 0 при t = 0 определяется скорость прогиба при р = р1. Следовательно, условие для разрывов (1.2.32) выполняется. Согласно (1.2.31) и (1.2.32) для нестационарной границы раздела зон должно выполняться
Таким образом, функция (5.1.10) удовлетворяет необходимым условиям совместности для разрывов (1.2.31) и (1.2.32) при р = рх. Приближенное решение задачи динамики пластинки будем строить методом коллокации, аппроксимируя прогиб в центральной зоне функцией (5.1.10) и считая, что уравнения движения (5.1.1) удовлетворяются точно при р = р1? то есть, выбирая в качестве точки коллокации движущуюся шарнирную окружность. Подставляя (5.1.13) и (5.1.10) в уравнения движения и пользуясь участком поверхности текучести (5.1.2а) можно получить разрешающее уравнение для центральной зоны
Однако определить зависимость и = и(ф, р:) непосредственно из (5.1.22) не представляется возможным, так как уравнение связи между ф и р: для образования функции Лагранжа представлено в дифференциальной форме: (5.1.17) и (5.1.18). Поступим следующим образом. Определим мощность внешней нагрузки и, приравнивая ее мощности рассеивания энергии, найдем решение квазистатической задачи для круглой пластинки. Мощность внешней нагрузки равна
