Введение к работе
Диссертационная работа посвящена решению задач статического и вибрационного изгиба идеально упругих и вязкоупругих тонких пластинок и оболочек при локальных нагрузках. Под локальными нагрузками понимаются нагрузки, которые распределены в узкой зоне в окрестности точки или некоторой произвольной кривой на одной из лицевых поверхностей. Для описания таких усилий предлагаются функции специального вида. Рассмотрение всех задач ведется в предположениях малости деформаций и справедливости гипотез Кирхгофа для пластин и гипотез Кирхгофа-Лява для оболочек.
Актуальность работы. Теория тонких пластин Кирхгофа сформировалась в XIX веке в работах Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирхгофа и других авторов. В дальнейшем на основе аналогичных гипотез была построена теория тонких оболочек Кирхгофа-Лява. Развитие этих теорий тесно связано с трудами таких ученых, как С.А. Амбарцумян, В.З. Власов, Б.Г. Галеркин, А.Л. Гольденвейзер, С.Г. Лехницкий, А.И. Лурье, Р. Миндлин, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, Э. Рейсснер, СП. Тимошенко, К.Ф. Черных и др.
Построенные теории впоследствии были обобщены на случаи пластинок и оболочек из материалов, обладающих анизотропными, вязкоупругими, пьезоэлектрическими и другими свойствами. Исследованию напряженно-деформированного состояния(НДС) таких элементов посвящены работы коллектива ученых Института механики НАН Украины: Я.М. Григоренко, М.Н. Бе-ренова, Н.Н. Крюкова и др. Ими также был предложен численный метод сплайн-коллокации, который применяется для решения широкого круга задач теории пластин и оболочек. Дальнейшее развитие метод получил в трудах ученых Саратовского государственного университета среди которых следует отметить П.Ф. Недорезова, Н.М. Сироткину и А.А. Барышева.
Во многих приложениях практически важное значение имеет расчет тонкостенных элементов конструкций под действием усилий, распределенных в узкой зоне вблизи точки либо некоторой кривой. Как правило, такие усилия рассматриваются как сосредоточенная сила либо усилия, распределенные вдоль кривой. Однако, поскольку сосредоточенная сила является математической абстракцией, полученные при таком подходе результаты могут иметь значительные отличия от экспериментальных данных. В работе для задания нагрузок, приложенных в узкой зоне вблизи точки или кривой предлагается использовать непрерывные функции специального вида. Возможно варьирование ширины зоны ненулевых нагрузок.
Рассмотренные в диссертационной работе задачи представляют интерес как с точки зрения фундаментальной науки, так и приложений. Теоретический интерес обусловлен тем, что предлагаемый в работе подход позволяет существенно расширить область применения метода сплайн-коллокации. Кроме этого, такой метод аппроксимации сосредоточенных усилий свободен от ряда недостатков, присущих традиционным методам.
С точки зрения приложений этот подход интересен тем, что он позволяет эффективно решать задачи статического и вибрационного изгиба пластин и оболочек при локальных усилиях, приложенных в окрестности точки или кривой произвольного вида.
Цели диссертационной работы.
распространение метода сплайн-коллокации и его модификации на случаи статического и вибрационного изгиба идеально упругих и вязкоупру-гих пластинок и оболочек при локальных воздействиях для сложных способов закрепления контура;
решение модельных задач для апробации используемой методики, сравнение результатов с известными теоретическими решениями и решением по методу конечных элементов;
адаптация применяемой вычислительной методики для использования на вычислительном кластере для сокращения времени вычислений;
проверка справедливости принципа Сен-Венана при замене сосредоточенной силы либо усилий, распределенных вдоль линии, на соответствующие локальные нагрузки при исследовании НДС тонких пластинок;
оценки влияния стрелы подъема и отношения сторон на результаты решения задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких открытых круговых цилиндрических оболочек, перекрывающих прямоугольный план;
проведение сравнительного анализа влияния на значения резонансных частот гипотез пологости и сил инерции в тангенциальных направлениях при вибрационном изгибе оболочек.
Научная новизна. Все задачи, за исключением модельных, решены впервые. В результате вычислительных экспериментов обнаружен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей. Проведен сравнительный анализ эффективности использования метода сплайн-коллокации и конечно-элементных пакетов.
Практическая значимость. Изложенная методика и полученные результаты представляют теоретический и практический интерес для механики, и могут использоваться при моделировании тонкостенных элементов и вибрационном анализе конструкций.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью использованных математических методов и хорошим совпадением результатов для модельных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на
конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов,
2006, 2007, 2008, 2009 гг),
2 Международном форуме (7 международной конференции) молодых ученых "Актуальные проблемы современной науки"(Самара, 2006 г.),
Ежегодной Всероссийской научной школе-семинаре "Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2008" (Саратов, 2008, 2009 гг.),
Пятых Поляховских чтениях (Санкт-Петергург, 2009 г.),
Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010 г.),
Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (Воронеж, 2010 г.),
X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.),
научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., проф. Коссовича Л.Ю.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
методика численного исследования НДС тонких упругих и вязкоуиругих пластинок и оболочек под действием локальных нагрузок с помощью метода сплайн-коллокации (классический и модифицированный варианты);
результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных экспериментов по определению НДС и резонансных частот пластинок и оболочек;
оценки влияния стрелы подъема оболочки на область применимости теории пологих оболочек и значимость учета сил инерции в тангенциальных направлениях.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1, 7-9], 3 статьи в сборниках трудов конференций [2, 5, 6] и 2 статьи в сборниках научных трудов [3, 4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 148 страницах, содержит 45 рисунков, 28 таблицы, список цитированной литературы содержит 132 наименований.
