Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Уравнение и граничные услошя для анизотропных пластин с учетом поперечных сдвиговых деформаций 15
. Общее уравнение и основные соотношения 15
2. Граничные условия 29
ГЛАВА II. Решение задачи изгиба неортотропных пластин с учетом поперечных сдвигов 35
I. Метод решения задачи 35
2. Изгиб анизотропной прямоугольной пластин 39
ГЛАВА Ш. Решения зддач изп'іба неортотропных полос с учетом поперечных сдвигов 64
I. Решение задачи изгиба пластин по цилиндри ческой поверхности 64
2. Изгиб длинных пластин, изготовленных из орт о тройного материала 70
3. Решение задачи об изгибе неоднородной неорто-тропной полосы с учетом поперечных сдвигов 76
4. Решение задачи об изгибе неортотройной полосы с переменной толщиной и учетом поперечных сдвигов 89
Основные выводы 100
Литература
- Граничные условия
- Изгиб анизотропной прямоугольной пластин
- Изгиб длинных пластин, изготовленных из орт о тройного материала
- Решение задачи об изгибе неоднородной неорто-тропной полосы с учетом поперечных сдвигов
Введение к работе
Развитие ряда областей современной техники, особенно, машиностроения, авиастроения, ракетостроения, а также различных отраслей строительства тесно связано с проблемами исследования теории пластинок. Последние годы наблюдается повышенный интерес исследователей к задачам теории неортотропных пластин, которая по своей теоретической и практической значимости становится одной из важнейших областей механики твердых деформируемых тел.
Исследованию задач теории упругости анизотропного тела посвящено много работ, среди которых особое место занимают фундаментальные труды Сен-Венана, В.Фойгта, С.Г.Лехницкого [40, 41, 42, 43], Г.II. Савина [бі], С.АД^барцумяна [10,11,12, 13,14,15,16 ], В.С.Саркисяна [62, 63, 64, 65, 66, 67] и других. Анизотропные пластинки,применяемые в различных конструкциях техники, как правило, претерпевают деформации изгиба. Первоначальные работы, относящиеся к теории иг изгиба анизотропных пластинок были выполнены Ф.Герингом и М.З.Буссинским затем приближенная теория изгиба анизотропных пластинок в основном разработана в трудах І^бера[см.І2].
В работах БД «Пелеха используются и развиваются идеи М.П.Шереметьева, формулируются вариационные принципы для этого варианта уточненной теории, выводится замкнутая система разрешающих дифференциальных уравнений теории платин, позволяющая удовлетворять естественные граничные условия на поверхностях. На базе этих уравнений рассмотрены различные конкретные задачи, в частности, исследован вопрос об определении коэффициентов концентрации напряжений около отверстий при изгибе пластинки.
В работе [81] для исследования влияния поперечного сдвига на большие прогибы защеменнои круглой пластины при ассимет-ричных деформациях, вызванных равномерно распределенной поперечной нагрузкой, применен энергетический метод.
Символический метод А.И.Лурье [44] составления решений уравнений теории упругости применен в работах У.К.Нигула [50] для исследования напряженного состояния, возникающего в упругой плите при изгибе С.Г.І^тмана [33] , а также для исследования динамических задач упругих плит при деформациях, антисимметричных относительно срединной плоскости.
В работе В.К. Прокопова [58] символический метод в сочетании с принципом минимума потенциальных уравнений теории толстых плит.
Результаты А.И.Лурье и С.Г.Лехницкого использованы в работе Т.Т.Хачатуряна [73] для исследования изгиба анизотропных пластин.
Применительно к расчету толстых плит метод начальных функций получил широкое применение и развитие в работах В.В.Власова [22,23,24] .
В заключении отметим несколько работ, посвященных расчету толстых плит на основе использования трехмерных уравнений теорій упругости. Основополагающие результаты в этой области теории упругости принадлежат Б.Г.Галеркину [29), А.Ляву [45], А.И.Лурье[44].
Впервые на необходимость учета поперечного сдвига в задаче о поперечных изгибах пластин было указано СП.Тимошенко в 20-х годах [71 ], расчеты толстых плит посвящены труды Б.Г. Галеркина [29], А.ИДурье [45]; в 30-х годах Н.А.Кильчевским [36] была построена теория пластин свободная от обычных огра-
ничений классической теорій; в 50-х годах С.А.Амбарцумяном были проведены глубокие исследования по части уточнения уравнений для анизотропных пластин [10,11,12,14] . Перспективный подход к выводу уточненных уравнений предложен й.П.Векуа [18]. В разные годы к проблеме перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным и расчету толстых плит обращались С.А. Алексеев [6,7] , В.З.Власов, В.В.Власов [22,23,24] , Б.Ф.Вла-сов, Деев В.М., Х.М.Мушари, В.В.Новожилов, В.В.Поняговский, В.К.Прокопов, И.М.Рапопорт, И.Т.Селезов, М.П.Шереметьев и многие другие исследователи. По этой теме написали диссертации И.Г.Терегулов, БЛ.Пелех, А.Х.Константинов, В.ГЛискунов.
В последние годы существенные результаты получены Л.Я. Айнола, применен энергетический метод. Перемещения с учетом анализа равновесия пластинки и граничных условий.
Линейная теория упругих плит без использования гипотезы о сохранении нормального элемента построена Х.М.Муштарн [49] путем интегрирования трехмерных уравнений теории упругости с последовательным сохранением всех величин порядка ( ~) и отбрасыванием величин высших порядков по сравнению с единицей.
В последние годы усиленно стал развиваться новый подход к проблеме перехода от трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин,основанный на известном факте существования медленно меняющегося напряженного состояния вдали от возмущающих факторов и быстро изменяющихся напряженных состояний вблизи их.
Идея введения в рассмотрение вспомогательных быстрозату-хающих напряженных состояний высказывалась Фрдцрихсан [87,88], исследовавшим явленияк краевых эффектов в изгибаемых пластинках, которая в дальнейшем была использована для построения
приближенных теории изгиба пластин.
Аналогичный метод предложен А.Л.Гальденвейзером [32],на основе которого рассмотрен вопрос о построении прикладных теорий пластин [ЗІ], в работе [Зі], в частности, показывается,что для достаточно толстых пластин поправки, вносимые предлагаемой теорией, соизмеримы величинам, получаемым по классической теории.
Осесимметричный изгиб круглой пластинки рассмотрен Э.Рейс-сом. Обобщение результатов А.Л.Гольденвейзера на случай изгиба анизотропной пластинки проделано Л.А.Агаловяном 4 .
Асимптотичевкий метод применен также в работе Эрейсснера [89], где граничные условия выводятся при помощи вариационного метода.
В работе [90] процедура, близкая [91,92], применена для построения линейной теории тонких пластин, имеющих начальные напряжения. Рассмотрена внутренняя задача и пограничный слой.
Впервые метод степенных рядов для приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной был рассмотрен И.И.Воровичем и О.К.Аксентян, А.Л.Гольденвейзером, Н.А.Кильчевским, У.К.Нигу-лом.
Теория С.А.Амбарцумяна использована В.И.Королевым [37] в его книге расчета слоистых анизотропных пластин.
В сороковых годах Рейсснер [93,94] предложил новую линейную теорию упруг о статического изгиба пластин, представляющую собой качественное усовершенствование теории Киргоффа. Для тонкой пластины постоянной толщины, загруженной нормальными силами переменной интенсивности, при отсутствии массовых сил из вариационного принципа Кастимяно с применением метода неопределенных множителей Лагранжа получены новые дифференциальные уравнения и
соответствующие граничные условия.
В работе [95] полученные соотношения уточняются и обобщаются на случай неоднородной пластины, а также более подробно,согласно сделанным замечаниям Іудьера, обсуждается применение метода неопределенных множителей 1а.гранжа для получения соотношений упругости и граничных условий. В этой же работе уравнения представляются в полярных координатах и решается известная задача об изгибе консольной пластины. Получены также первые числовые результаты, которые сравниваются с известными.
Граничные условия
Таким образом, для каждого варианта дифференциальные операторе общего уравнения и граничных условий отличаются друг от друга только коэффициентами Эб, К.С2. Л \л JL . Заключение. Представляя искомые функции \Л/с ) Чч ) тсх ) через некоторую потенциальную функцию ср(_Х Ч) »получим одно дифференциальное уравнение шестого порядка относительно функции «Зрсх. Э.) - это общее уравнение для неортотропных пластин. В монографиях С.ГДехницкого \.41) , В.С.Саркисяна t.63,65 J уравнения для неортотропных пластин вытекают как частный случай из общих уравнений, полученных в настоящей диссертационной работе.
Нормальные напряжения на влияют на общее уравнение при выборе функций -Р.(г) = -&(.) »граничные условия, введенные в настоящей работе различаются от соответствующих классической теории тем, что введено третье условие.
Задача поперечного изгиба неорготропных пластин, когда в каждой точке пластинки имеется одна плоскость упругой симмет рии, параллельная срединной плоскости пластинки, с учетом сдви гов свелась к определению некоторой потенциальной функции $сх, 3) , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (I.I.I4) и граничным условиям (I.2.I) - (1.2.5), если край пла стинки прямолинейной, или (1.2.20) - (1.2.24), если край плас тинки криволинейной. Здесь предлагается метод решения задачи изгиба неорготропных пластин при выборе функций $!(-.) = -fitt-) - "Jet) и принимается еще предположение, а именно: нор мальным напряжением 0 на площадках, параллельных срединной плоскости, модно пренебречь по сравнению с прочіши напряжениями. Это предположение формально сводится к допущению At=.0 ,Az.= 0 , Ч 0 . Тогда функция 3 ) должна удовлетворять дифференциальному уравнению УЧ- - fji Ї . =- (2.I.I) и граничным условиям (1.2.6) - (1.2.10) если край пластинки прямолинейный или (1.2.20) - (1.2.24) если край пластинки криволинейный, где
Таким образом, решение дифференциального уравнения(2.І.І) при определенных граничных условиях сводится к решению ре кур-ре нтных дифференциальныхзуравнений (2.1.ІЗ) и (2.1.15) при определенных условиях (2.1.14) и (2.1.16). Иначе говоря, задача об изгибе неортотропных пластин сводится к ряду задач, сходных с задачей об изгибе ортогропных пластин.
Теперь рассмотрим задачу об изгибе неортотропной прямоугольной пластинки. Изгиб прямоугольной анизотропной пластинки. Рассматриваемая прямоугольная анизотропная пластинка изгибается под действием нормальной нагрузки, распределенной по произвольному закону. Пусть пластинка имеет следующие граничные условия при X = О , - а W - О, Мх = О - О , -о (2.2.1) (2.2.2) МА , і Ц » Uy. при У о, \ \А/ = 0, Му=0,
Имея ввиду формулы функцій \N и заметив, что, поскольку по края?.! W=o и для краев, параллельных осям X и 4" справедливы вместе с тем соотноше-ния - ім 7 L = эЧ1 можем представить гранич Наконец отметим, что этим способом можно решить уравнение (2.1,1) при разных граничных условиях.
Решение получено в монографиях В.С.Саркисяна [62,65] для задачи об изгибе неортотропной прямоугольной пластинки вытекает как частный случай из результата (2.2.57) при d 44 = 45 =Cl55 = О Решение получено в монографии С.А.Амбарцумяна [12] для задачи об изгибе ортотропной пршлоугольной пластинки, вытекает как частный случай из результатат ( 2.2.57) при Jpl = О «« DI6= D26= ).
Рассмотрим длинную прямоугольную пластинку, несущую поперечную, не изменяющуюся по длине пластинки, нагрузку. Пусть пластинка однородно закреплена по длинным сторонам и произвольно закреплена по коротким сторонам. В этом случае изогнутая поверхность участка пластинки, достаточно удаленного от ее коротких сторон, будет слизка к цилиндрической.
Как это обычно делается [41 ] , помещая начало координат на длинной стороне вдали от коротких сторон пластинки и направляя ось вдоль длинной стороны, можем считать, что искомые величины зависят лишь от координата X .
Изгиб анизотропной прямоугольной пластин
Рассмотрим длинную прямоугольную пластинку, несущую поперечную, не изменяющуюся по длине пластинки, нагрузку. Пусть пластинка однородно закреплена по длинным сторонам и произвольно закреплена по коротким сторонам. В этом случае изогнутая поверхность участка пластинки, достаточно удаленного от ее коротких сторон, будет слизка к цилиндрической.
Как это обычно делается [41 ] , помещая начало координат на длинной стороне вдали от коротких сторон пластинки и направляя ось вдоль длинной стороны, можем считать, что искомые величины зависят лишь от координата X .
На основании выражении (I.I.I4) - (I.I.I6) для функций W } сР } df имеем: W( j = l M . _ ЩЛ-.. la 4ft,, (з.і.і) 5- 3 -3 сіх L 7Т]6 dxz х) = іі.2ї_. 43ЙІ -±..4 .&. (3.1.2) где коэффициенты а± а6 ; - » -. ; с± » . имеют зна чения по выражениям (I.I.I8) - (I.I.20). Потенциальная функция Фс ) удовлетворяет дифферен циальному уравнению: - 65 iL.i.u,Z u) 1 --.2 (3.1.4) Для изгибающих, скручивающих моментов и перерезывающих сил напишем M=il.i.a2 A_p «L , (3.1.5) іЧс V " 1 (3,I,6) /V- ii.1. 0 - (3.1.8) Рассмотрим случай с выбором функций :&;= &; = / у . СЗ.І.20) и нормальные напряжения СС на площадках, параллельных срединной плоскости, можно пренебрель по сравнению с прочими напряжениями. Это предположение формально сводится к допущению Л± - Az - Aj = О , тогда искомые функции vv y } Cyi) , ч с ) изгибающие, скручивающие моменты и перерезывающие силы имеют следующий вид f $ ), (зл-2І) - 66 !ГХ (3; ФСх) = —[ЗЄЯ,Л2 &2 - D і&±] , (3.1.22) Фло - - І-f 2 2 іЗ - М, (3.1.23) M, = !fCL3 f%_J) %0 (3.1.24) H =- aA _ fgi, (3.1.26) N -xa z jx (3.1.28)
Потенциальная функция Ф удовлетворяет дифференциальному уравнению
Пусть пластинка имеет ширину і и шарнирно оперта по своим длинным сторонам, тогда граничные условия запишутся следующим образом [l2] : при X = О W=0 , Мх «о , Н=0 (3.1.30) прихЛ W=o , Mv=o , Н = о (3.I.3I) Таким образом, задача поперечного изгиба длинных не орто-тропных пластин с учетом сдвигов свелась к определению некоторой потенциальной функции fс ) .которая удовлетворяет дифференциальному уравненшэ (3.1.29) и граничным условиям (3.1.30) (3.I.3I).
- 67 Решение дифференциального уравнения (3,1,29) предста вится в таком виде: _ $00 = $вОО +$00 (3.1.32) Ф 60 - является общим решением однородного обыкновенного дифференциального уравнения Ха %,/ м -\4Щ& =о (3.1.33) Нетрудно выделить, что 5Q() = А0 + V f xV V +V V" (3.1.34) где fce /—ELZI (3.1.35) yfr) - является частным решением неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения . Ха Лшф- - \ф- -к (зл-36) вид функции $сх) зависит от віща функции сх) Для функции у Сх) получаем: Ос) = f(x) + А;І + Af + А3Х\ \ V \Х + А, (3.1.37) Для искомых фушщий Wcx; , l cxy » р ) ; изгибающих, скручивающих моментов и перерезывающих сил имеем - 2% 6% % + «trPu + ЩА )\ + Ao (3.1.38) - 68 - гм,5 йІІ) - ЦЛіїо t б АО], я-ІА0) M = Хащ$ми,& _ ЪАЛ (Ifx) tZA2t6A3x ), 3.i.4i) КЦ =[X (AVAJ) +a4S3 w 4- Си г] (АЦЄК+As Є КХ) + +X(l14 tt,s8)Mb)IS qi(foc)4-2Ait6A ), (3.1.42) Н = l-XaJ K - кг) (АЧЄКХ+ АЕ Є ) _ (3.1.44) N = С- чЛи -ц/х АЧЄК- Ase к ) _ . -ХАк к!л - Р« ClS + 6А, У, (ЗД.45)
Постоянные коэффициенты Ал, ( =0,1,...,5) определяются из граничных условийЧЗ.1.30)(3.1.3I).Подставляя выражения (3.1.38), (3.I.4I), (3.1.43).учитывая (3.1.37) и граничные условия (3.1.30), (3.1.31) находим: А„ = 1.1 -Фе»), (3.1.46) К4 (3.1.47) (3.1.48) (3.1.49) /\ = [Ш -5сл) +1 [Ію -Set)) _ А,, даъ.&о, A4 Дг ё-у to-sbe 1). »"«» -69-. В случае, когда пластинка изгибается равномерно распределенной нагрузкой, приложенной так, что и принимая fe) - -{%; - ) 1 2] для значения функции 5 схо и постоянных интегрирований А получим « = (3.1.52) А _1_ А - 3 ! - ІІ А = JL А A qe-Kt А - Для искошх функций Wo) оо f Фо) получаем: . Ы? г. ЛеП (3.1.54) ЧоОг fj ({-2)0, (3.1.55) кх К(- 0 іде = 0 +а 6 s = аю\ лх +«44Ц6 (З.1.57) Результаты (3.1.49)-(3.1.51) совпадают с результатами С.А.Амбарцумяна [12J . Наконец отметим, что этим способом можно получить результаты для случаев пластинка изгибается произвольно распределенной нагрузкой.
Изгиб длинных пластин, изготовленных из ортотропного материала Рассмотрим упругое равновесие плоской однородной анизотропной пластинки постоянной толщины п, , защемленной по края и деформируемой изгибающей нагрузкой.
Предположил;, что материал ортотропный, т.е. через каждую точку пластинки проходят три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. Пусть главные направления упругости (физические оси) ОХ и Otf не совпадают с направлениями ОХ и 0U. (геометрические оси). Здесь система XtyS: получена из системы XU.2 путем поворота вокруг общей оси на некоторый угол оС .
Изгиб длинных пластин, изготовленных из орт о тройного материала
Рассмотрим упругое равновесие плоской однородной анизотропной пластинки постоянной толщины п, , защемленной по края и деформируемой изгибающей нагрузкой.
Предположил;, что материал ортотропный, т.е. через каждую точку пластинки проходят три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. Пусть главные направления упругости (физические оси) ОХ и Otf не совпадают с направлениями ОХ и 0U. (геометрические оси). Здесь система XtyS: получена из системы XU.2 путем поворота вокруг общей оси на некоторый угол оС . Для определенности положим, ЧТО JC — ЕЕ max
Потенциальная функция jr Сх) удовлетворяет дифференциальному уравнению с граничными условиями (3.1.30) 3.1.31). Тем способом, указанным выше получим функцию ft3Сх.) Имея потенциальную функцию $С :) ,прогиб, изгибающие, скру чивающие моменты и перерезывающие силы, зависящие от геомет рических параметров (высоты и ширины) и от физических пара метров ( ЬтпСсХ , E-mCrt , Цк и. » %- ) ПЛаСТИНКИ, определяются формулами:
Итак, прогиб, моменты, силы и напряжения ортотройной пластинки также зависят от направлений главных осей анизотропии, т.е. от угла оС
В качестве примера, рассмотрим полосу, изготовленную из тканевого стєклопластинка горячего прессования СТЭТ Для этого материала Етах = 3,59.10s «г/см ш Emin = 2,95.10 Krfa G z= 4 75 40 K7CMZ , в13 - О,66.10 Kr/cM -6Z3 = 0,63.10 кг/смл , »iz= 0;177 Приводим таблицу и графики ( фиг. 5 - 8 ) функций W ( )t Н ( х) t М С ) ш центральной линии Х- и AL (#) на линии Х=г О , где введены обозначения:
Отметим, что W fa) и Мр О -) симметричны, a H (t ) и Nu (х) антисимметричны относительно прямой = -J-Согласно таблице, графикам и выражениям (3.2.2)-(3.2.6): 1) при изгибе пластинки в виде бесконечной полосы, изго товленной из материала стеклопластика СТЭТ, наименьший прогиб получается, когда физические и геометрические оси совпадают, а наибольший прогиб - при = 4945 2) изгибающий момент наибольшее значение получает при ос =4328/, а наименьшее значение - при « =0, 3) изгибающий момент Мх и перерезывающая сила Л/х не зависят от материала пластинки, 4) крутящий момент Н и перерезывающая сила Ny. наибольшее положительное значение, когда 50% $-%- ,получа-ют при oi =6342 а наибольшее отрицательное значение - при = 2925Г
Отсюда видно, как нужно ориентировать упругие оси анизотропии, чтобы шлеть пластинку в виде бесконечной полосы с наилу ЧШИМИ МеХаНИЧеСКИМИ СВОЁСТВаМИ (Т.е. WMin , Mumin Htntoj /Vprn/n)
Рассмотрим длинную неоднородную не орт о тройную прямоугольную пластинку, несущую поперечную не изменяющуюся по длине пластинки. Пусть пластинка закреплена по длинным сторонам и произвольно закреплена по коротким сторонам .В этом случае изогнутая поверхность участка пластинки, достаточно удаленного от ее коротких сторон, будет близка к цилиндрической.
Помещая начало координат на длинной стороне вдали от коротких сторон пластшпш и направляя ось у вдоль длинной стороны, можем считать, что искомые величины SA/, f, у зависят лишь от координаты х , и предположим, что упругие характеристики тоже зависят лишь от координата X .
Тогда, для изгибающих, скручивающих мдментов и поперечных сил, отнесенных к единице длины срединной плоскости тлеем При этом нормальные напряжения & на площадках, параллельных срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с прочими напряжениями. При отсутствии объемных сил из условий статической эквивалентности для искомых величин Win), cfcx) , ЧЧх) , получаем систему уравнений:
Решение задачи об изгибе неоднородной неорто-тропной полосы с учетом поперечных сдвигов
В качестве примера рассмотрим пластинку, изготовленную из ортотропного материала, главные направления упругости которого совпадают с направлениями координатных осей X, , Ь
Пусть толщина пластинки изменяется лишь по ширине пластинки с законом квадратной параболы значит, что имеем - постоянный, толщина в центре пластинки ( X =- - ) и пластинка изгибается равномерно распределенной нагрузкой, приложенной так, что
Пользуясь выше полученными результатами для этого случая прогиб, моменты и силы имеем При 6 = результаты (3.4.54)-(3.4.56) совпадают с результатами С.А.Амбарцумяна [l2 ] для задачи об изгибе однородной ортотропной полосы. Из (3.4.54), с 6 =0,25, вычислим максимальный прогиб полосы. WU„ = wc) = w.( + о5їЧіа«В4Л ) . (з 4 57) где \A/o ==0,0274 1 - максимальный прогиб полосы, вычисленный по классической теории.
Для наглядности в таблице Ш 4 приводятся значения отно шения максимального прогибаГпо классической теории при раз личных значениях
Исследование расчетных результатов показывает, что для тонких полос прогиб незначительно отличается от соответствующего значения, найденного по классической теории. Когда увеличивается влияние поперечных сдвигов или se толщина полосы, тогда увеличивается прогиб.
1.Для задачи изгиба анизотропных пластин введена потенциальная функция, через которую выражаются все расчетные величины. На основе теории анизотропных пластин с учетом поперечных сдвиговых деформаций построены общие уравнения и граничные условия.
2.Исследовано влияние закона распределения касательных напряжений по толщине пластинки ((выбор функции (Лг) ) на общее уравнение и граничные условия при поперечных изгибах анизотропных пластин и полос.
.3.Для задач изгиба пластин и полос выявлен существенный эффект влияшн поперечных сдвиговых деформаций и нормальных напряжений 6 на общее уравнение и граничные условия.
4. Дана постановка задачи об изгибе неортотропных пластин и полос неоднородных и однородных.
5.Построено решение задачи об изгибе прямоугольных неортотропных пластин, изгибающихся нормальной нагрузкой, распределенной по произвольному закону. Этим . способом можно построить решения задач изгиба прямоугольных неортотропных пластин при разных граничных условиях.
6.Построено решение задачи изгиба однородных неортотропных пластин по цилиндрической поверхности при произвольно распределенных нагрузках.
7.Построено решение задачи изгиба пластин,изготовленных из ортогропных материалов. Исследована связь между прогибом, изгибающими, скручивающий моментами, перерезывающими силами и направлениями главных осей анизотропии.
8. решение задачи об изгибе неоднородной не-ортотропной полосы с учетом поперечных сдвиговых деформаций при предположении о слабой неоднородности материала.
9.Получено решение задачи изгиба неортотропнои полосы с учетом поперечных сдвигов и слабо переменной толщиной.
10.Использованы методы малого физического и геометрического параметра для решения задач об изгибе однородных и неоднородных анизотропных пластин и полос по уточненной теории.
11 .Исследование расчетных результатов показывает,что для тонких полос прогиб незначительно отличается от соответствующего значения, найденного по классической теории.
12.Полученные результаты показывают,что прогиб пластин или полос увеличивается, когда увеличивается влияние поперечных сдвигов.
