Содержание к диссертации
Введение
1. Основные соотношения теории упругости ортотропных сред. Модель ортотропной пластинки 16
1.1. Напряженное состояние сплошного тела 16
1.2. Закон Гука 17
1.3. Модель ортотропной пластинки 19
2. Пространства собственных упругих и пластических состояний 25
2.1. Девиаторное пространство линейно-упругого изотропного тела 25
2.2. Пластическое пространство изотропного тела 2 9
2.2.1. Квадратичная форма (2.23) 30
2.2.2. Квадратичная форма (2.24). 33
2.3. Собственные упругие и пластические состояния ортотропной пластинки 35
2.3.1. Собственные упругие состояния 35
2.3.2. Собственные пластические состояния 37
3. Аффинные преобразования основных уравнений теории изгиба пластин 4 0
3.1. Аффинные преобразования 4 0
3.2. Модель ортотропной пластинки в аффинных пространствах 4 3
3.3. Эталонное пространство 47
3.4. Вычисление механических характеристик в эталонном пространстве 4 9
3.5 Запись уравнений в конечных разностях 50
4. Метод упругих решений применительно к изгибу пластин за пределом упругости 54
5. Упруго-пластическое состояние пластин 61
5.1. Изгиб квадратной шарнирно опертой пластины при равномерно распределенной нагрузке 62
5.2. Изгиб квадратной жестко закрепленной пластины при равномерно распределенной нагрузке 66
5.3. Числовые результаты 68
6. Влияние сгущенной сетки на результаты расчета пластин в пределах и за пределом упругости .. 73
6.1. Шарнирно опертая пластина с шагом А, = а/6р т # 7 4
6.2. Жестко закрепленная пластина с шагом Х=а/6. 7 6
6.3. Шарнирно опертая пластина с шагом А, = а/8 77
6.4. Жестко закрепленная пластина с шагом к=а/8ш 80
6.5. Результаты расчета пластин 82
6.6. Зоны текучести по поверхности и по толщине пластины 91
6.7. Влияние коэффициентов ортотропии на величину прогибов и моментов 95
6.8. Переход из эталонного модифицированного пространства в физическое 106
Заключение 109
Список литературы
- Модель ортотропной пластинки
- Собственные упругие и пластические состояния ортотропной пластинки
- Модель ортотропной пластинки в аффинных пространствах
- Изгиб квадратной шарнирно опертой пластины при равномерно распределенной нагрузке
Введение к работе
Значительное влияние на развитие теоретических исследований по изгибу пластин за пределом упругости оказали работы Ильюшина А.А. [35,36] и Соколовского В.В. [95], а на изучение несущей способности пластин - труды Гвоздева А.А.[19]
Теория упруго-пластического равновесия пластин и оболочек с использованием методов теории пластичности наиболее широко изложена Ильюшиным А.А. [35] . Он предлагает три основные постановки задач о равновесии пластин при изгибе: 1) с помощью дифференциального уравнения четвертого порядка относительно перемещения. Для решения задачи предлагается метод упругих решений; 2) с помощью вариационного уравнения равновесия; 3) используя три дифференциальных уравнения относительно изгибающих и крутящего моментов. Для всех случаев гипотезы Кирхгофа - Лява остаются в силе, материал в пластической зоне считается несжимаемым (ц = 0,5). Ильюшиным А.А. также поставлена задача определения несущей способности пластин. Для этого применяются конечное соотношение между моментами, основное дифференциальное уравнение равновесия пластины и условие совместности деформаций, выраженное через комбинации моментов.
Соколовского В. В. [95] предлагает решение осесим-метричных задач упруго-пластического изгиба пластин на основе деформационной теории пластичности Генки. Постановка задачи упрощается требованием непрерывности лишь обобщенной деформации при переходе от упругой зоны к пластической. Используя постулаты Кирхгофа - Лява, ус-
5 ловие текучести Мизеса и допущение о несжимаемости материала. Для решения вводятся тригонометрические переменные. Изложенная теория обобщается на пластины из материала с линейным или степенным упрочнением.
Гвоздев А.А. [19] впервые предложил метод предельного равновесия для определения несущей способности пластин. Предельным состоянием пластины считается превращение ее в кинематически изменяемую систему с линиями, представляющие цилиндрические шарниры текучести. Уравнение равновесия записывается как работа внешних и внутреннихсил системы на возможных ее перемещениях. Разрушающая нагрузка является минимальной нагрузкой, соответствующей одной из схем излома пластины. Углы выражаются через линейные размеры пластинки.
Упруго-пластическим состоянием прямоугольных и квадратных металлических пластин при изгибе занимались В.В. Васильев [17], М.И. Ерхов [31], А.А. Ильюшин [36], СИ. Матошко [62], Х.М. Муштари, Р.Т. Суркин [74], А.И. Стрельбицкая, В.А. Колгадин [97,98], М.И. Эстрин [114], Н. Craemer [119], J.S. Као, Т. Mura, S.T. Lee [124], А. Langenbach [126], Н.Е. Shull, L.W. Ни [129] и др.
Решение упруго-пластических задач проводится методом упругих решений и вариационными методами, а определение несущей способности пластин - в основном методом предельного равновесия.
Принимаются обычные положения технической теории изгиба пластин. Диаграмма напряжений - деформаций материала имеет ясно выраженную площадку текучести либо обладает упрочнением. Материал пластинки в одних случаях считается сжимаемым (ц = 0,3)/ а в других - несжимаемым
((1 = 0,5). Условие пластичности принимается по энергетической теории (Мизеса) или теории наибольших касательных напряжений (Треска - Сен-Венана). Решение дифференциальных уравнений проводится одним из численных методов.
Васильев В.В. [17] рассматривает упруго-пластическое состояние изогнутой прямоугольной пластинки на основе деформационной теории пластичности и предположения о несжимаемости материала. Для решения задачи применяется метод упругих решений и метод конечных разностей. Исследована защемленная по контуру пластинка с отношением сторон 1,5:1 при равномерно распределенной нагрузке.
Ильюшин А.А. [36] на основании предложенной им теории дает приближенное решение для изгиба квадратной шарнирно опертой пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки. Материал пластинки обладает линейным упрочнением. Построена поверхность распределения потенциальной энергии, позволяющая определить, какие области пластинки и в какой последовательности выходят за предел упругости. Получена зависимость нагрузки от интенсивности деформаций. Определена несущая способность рассматриваемой пластинки для материала без упрочнения, когда предельное состояние системы характеризуется распространением текучести по всему объему материала.
В статьях Ерхова М.И. [31] в развитие теории А.А. Ильюшина выводится приближенная зависимость между усилиями и деформациями срединной поверхности идеально пластических оболочек и пластин, от которой он перехо-
дит к соотношениям между силами и моментами в предельном состоянии. Используется приближенное условие пластичности одной из половин сечения.
Матошко СИ. [62] исследует упруго-пластическое состояние прямоугольных пластин при изгибе, применяя вариационный метод. Им рассмотрены жесткие пластины при равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузках с учетом и без учета сжимаемости материала.
Муштари Х.М., Суркин Р.Г. [74] исследуют изгиб опертой квадратной пластинки при нелинейной зависимости между напряжением и деформацией. Нелинейность материала учитывается системой коэффициентов, зависящих от модуля упругости и коэффициента поперечной деформации. Получены формулы для прогиба и напряжения в центре пластинки, причем малыми величинами при решении пренебрегают.
А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадиным [97,08] предлагается решение задачи изгиба прямоугольных пластин за пределом упругости с использованием метода упругих решений в сочетании с методом конечных разностей. Материал пластины имеет горизонтальную площадку текучести и соответствует условию пластичности по Мизесу. Рассмотрено напряженное и деформированное состояния шарнирно опертых и жестко закрепленных пластин при равномерно распределенной нагрузке и при действии сосредоточенных сил. Для заданной величины нагрузки показано развитие зон текучести на поверхности и по толщине пластины и определены эпюры прогибов и изгибающих моментов в ее сечениях.
В работе Эстрина М.И. [114] исследуется изгиб жестко-пластических плит, материал которых подчиняется ус-
ловию пластичности Треска - Сен-Венана. Это условие позволяет привести задачу к уравнениям гиперболического типа, методы решения которых известны. Решение некоторых задач получается в замкнутом виде.
Craemer Н. [119] изучает работу квадратной пластинки, свободно опертой на балки и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. Автор считает, что схема предельного состояния системы зависит от наличия или отсутствия пластичности в опорных балках. Если опорные балки будут упругими, то текучесть пластинки происходит по ее диагонали, а если пластичными, то текучесть пойдет по осям пластинки, параллельным ее сторонам.
Као J.S., Мига Т., Lee S.T. [124] рассмотрели предельное равновесие ортотропных пластинок на основе критерия течения. Получены числовые результаты по определению несущей способности квадратной свободно опертой пластинки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. В случае изотропной пластины найденное авторами решение совпадает с уже известным.
Langenbach А. [126] занимался теорией изгиба упруго-пластических пластин при действии поперечной нагрузки с учетом растяжения срединной поверхности. Материал пластинки предполагается несжимаемым и обладает нелинейным упрочнением. Ввиду сложности решения нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка, которое может быть реализовано лишь в простых случаях, автор сводит решение к краевой задаче, приведенной к проблеме минимума и решенной путем вариационного исчисления. Решение дано в общем виде.
Shull H.E., Hu L.W. [12 9] исследовали несущую
способность прямоугольных свободно опертых пластинок при равномерно распределенной нагрузке. Они показали возможность применения условия текучести Треска для решения задач, в которых отсутствует радиальная симметрия. Материал пластин принимается идеально упруго-пластическим. Главные напряжения в плоскости и их разность авторы выражают через безразмерные обобщенные напряжения и представляют их в виде безразмерных изгибающих и крутящего моментов. Ими определены верхняя и нижняя границы несущей способности пластинок. В первом случае вводится предпосылка о равенство изгибающих моментов в направлении осей х и у, используется уравнение равновесия пластинки, где изгибающие моменты заменены некоторой алгебраической функцией. Верхняя граница находится по методу Ph.G. Hodge [122] на основании рассмотрения поля перемещений, которое должно отвечать кинематически возможной схеме разрушения, и закона пластического течения. Числовые величины предельных нагрузок получены для прямоугольных пластин с соотношением сторон в пределах 1—0,15. Отмечается, однако, что для данных пластин эти результаты не могут считаться удовлетворительными.
Вопросами изгиба прямоугольных и квадратных пластин из разносопротивляющихся материалов занимались Трещев А.А., Божанов П.В. [10,105,106,107]. В этих работах только в пластической зоне материал считается разносо-противляющимся.
Несущая способность прямоугольных пластин исследована в ряде работ методом предельного равновесия, пред-
ложенным Гвоздевым А.А. [19], а затем развитым Дубин-
ским A.M. [30], Ржаницыным А.Р. [92], Халасом О. [109], Sawczuk А. [128],Sobotka Zd. [130] и другими исследователями применительно к железобетонным плитам.
Дубинский A.M. [30] рассматривает несущую способность плит с разным очертанием контура при действии сосредоточенной силы или равномерно распределенной нагрузки. Приведены критерии для установления схемы излома плиты. Линии излома принимаются прямолинейными. Прямоугольные плиты рассматриваются также при действии трапецеидальной нагрузки.
Работы Ржаницына А.Р. [92,93] посвящены предельному состоянию пластин разной формы при действии сосредоточенного груза и определению его разрушающей величины. В основу положен метод предельного равновесия. Ржаницын А. Р. устанавливает несущую способность прямоугольных шарнирно опертых по контуру пластинок при сосредоточенной нагрузке в любом месте. Углы пластинки не могут приподниматься. Исследовано несколько случаев приложения силы, связанных с разными формами разрушения. Основные из них - приложение силы в центральной части пластинки, вблизи длинной ее стороны и вблизи вершины угла.
Халас О. [109] предлагает метод для исследования предельного равновесия железобетонных плит, когда влияние текучести арматуры не рассматривается. Исчерпанием несущей способности плиты считается наличие больших, непрерывно нарастающих деформаций при постоянной величине нагрузки. Указывается, что учет текучести арматуры
может оказать значительное влияние на несущую способность плиты.
В работе Sawczuk А. [128] на основании трудов 01szak W. и других авторов обсуждаются основные положения теории несущей способности пластин и методы решения задач согласно этой теории. Разработаны таблицы и графики для определения разрушающих моментов прямоугольных пластин с разными граничными условиями при нагрузках, применяемых на практике. Даны также коэффициенты орто-тропии и слоистости для ортотропных пластин. Рассмотрены примеры расчета.
Sobotka Zd. [130] исследовал несущую способность ортотропных прямоугольных жестко закрепленных пластинок при действии равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок. Материал пластинок принимается жестко-пластическим. Задавая кинематически возможные схемы разрушения в виде системы пластических шарнирных линий, автор получает верхнюю границу предельной нагрузки для прямоугольной защемленной пластинки при нескольких вариантах нагружения.
Экспериментальные исследования изгиба прямоугольных пластин за пределом упругости проводили Ковалев К. В. [44], Прейсс А.К. [87], Haythornthwaite R.M. [120], Kurata М., Hatano Sh., Okamura H. [125], Tetzlaff W. [134] и др.
В работе Ковалева К.В. [44] расчет пластинки ведется при помощи моделей экспериментальным методом, применяющимся в строительной механике для расчета статически неопределимых систем. Этот метод расчета сводится к моделированию поверхностей влияния исследуемого усилия
или изгибающего момента, по которым затем рассчитывается пластинка на любую.
В статье Прейсс А.К. [87] дана оценка влияния коэффициента Пуассона при экспериментальном исследовании изгиба пластин в развитие теоретической работы, проведенной ранее Б.Б. Лампси.
В работе Haythornthwaite R.M., Воусе W.E. [120] экспериментально и теоретически исследована несущая способность прямоугольной пластины, две параллельные стороны которой защемлены, а две другие свободны. Пластинка находится под действием сосредоточенной нагрузки. Исследование проводится на основе теоремы о верхней границе предельной нагрузки для поля скоростей, включающего местную осесимметричную деформацию вблизи приложения нагрузки и общий изгиб всей системы. Сделан вывод, что локальными деформациями вблизи сосредоточенной нагрузки пластины пренебрегать нельзя. Указано, что определение предельного состояния пластинок с сосредоточенными силами по методу линейных шарниров может дать завышенные значения нагрузки.
Kurata М., Hatano Sh., Okamura Н. [125] приводят результаты экспериментального определения поверхностей влияния моментов для прямоугольной пластинки, три края которой заделаны, а четвертый свободен. Пластинка нагружалась с помощью рычага, а деформации ее измерялись проволочными датчиками сопротивления. Поверхности влияния определялись для моментов в середине заделанных краев пластинки и в угловой точке, прилегающей к свободному краю. Экспериментальные данные для квадратной пластинки с равномерно распределенной нагрузкой были
сопоставлены с теоретическими, причем расхождение составило 3—5%.
Tetzlaff W. [134] описывает результаты экспериментального исследования прямоугольной плиты размерами 270x120x10 мм выполненной из плексигласа. Плита свободно оперта по коротким сторонам и нагружена сосредоточенной силой посредине. Получены траектории главных напряжений, а также эпюры изгибающих моментов в продольном и поперечном направлениях. Кроме того, была исследована модель железобетонной плиты толщиной 2 см.
Значительное применение при экспериментальном изучении упруго-пластических задач получил метод фотоупругих покрытий, разработанный Александровым А.Я., Ахмет-зяновым М.Х. и др. Этот метод заключается в нанесении на поверхность элемента тонкого слоя из оптически активного материала, который деформируется вместе с нагружаемым элементом. Деформации замеряются поляризаци-онно-оптическим методом при помощи установки для работы в отраженном свете.
Также много экспериментальных работ по определению напряжений и деформаций изгибаемых пластин проведено методом муаров.
С учетом приведенного выше обзора можно сказать, что исследование ортотропных пластин за пределом упругости мало изучено и необходимо дальнейшее теоретическое и экспериментальное изучение работы пластин с учетом пластических свойств материалов, из которых они изготовлены, при различных граничных условиях и для различных случаев нагрузки. Таким образом, целью данной работы является: построить модель ортотропной пластины;
сформулировать условие пластичности для ортотропных
пластин; решить задачи упруго пластического изгиба ортотропных пластин с получением значений предельных нагрузок и рассмотреть развитие пластических зон по поверхности и по толщине пластины с ростом нагрузки. Задачи исследования:
Получить основные уравнения, используя физическое моделирование ортотропной пластинки;
Принять условие пластичности ортотропной пластинки, анализируя собственные упругие и пластические состояния изотропной среды;
Ввести аффинные преобразования для выделения универсальных характеристик ортотропной среды;
Получить модель ортотропной пластинки в аффинных пространствах;
Использовать метод конечных разностей совместно с методом упругих решений для решения полученных уравнений;
Продемонстрировать возможность использования полученных уравнений для решения задач упруго пластического изгиба ортотропных пластин;
Исследовать влияние коэффициентов ортотропии на напряженно деформированное состояние пластинки.
Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:
Математическая модель ортотропной пластинки;
Условие пластичности ортотропной пластинки;
Модель ортотропной пластинки в аффинных пространствах;
- Применение метода конечных разностей совместно
с методом упругих решений для принятой модели ортотропной пластинки;
- Результаты расчетов пластин за пределом упруго
сти, количественные и качественные составляющие
этих расчетов.
Диссертационная работа состоит из введения, шести разделов, заключения, списка литературы и одного приложения. Работа содержит 127 страниц машинописного текста, включая 16 рисунков, и список литературы из 135 наименований.
Модель ортотропной пластинки
Shull H.E., Hu L.W. [12 9] исследовали несущую способность прямоугольных свободно опертых пластинок при равномерно распределенной нагрузке. Они показали возможность применения условия текучести Треска для решения задач, в которых отсутствует радиальная симметрия. Материал пластин принимается идеально упруго-пластическим. Главные напряжения в плоскости и их разность авторы выражают через безразмерные обобщенные напряжения и представляют их в виде безразмерных изгибающих и крутящего моментов. Ими определены верхняя и нижняя границы несущей способности пластинок. В первом случае вводится предпосылка о равенство изгибающих моментов в направлении осей х и у, используется уравнение равновесия пластинки, где изгибающие моменты заменены некоторой алгебраической функцией. Верхняя граница находится по методу Ph.G. Hodge [122] на основании рассмотрения поля перемещений, которое должно отвечать кинематически возможной схеме разрушения, и закона пластического течения. Числовые величины предельных нагрузок получены для прямоугольных пластин с соотношением сторон в пределах 1—0,15. Отмечается, однако, что для данных пластин эти результаты не могут считаться удовлетворительными.
Вопросами изгиба прямоугольных и квадратных пластин из разносопротивляющихся материалов занимались Трещев А.А., Божанов П.В. [10,105,106,107]. В этих работах только в пластической зоне материал считается разносо-противляющимся.
Несущая способность прямоугольных пластин исследована в ряде работ методом предельного равновесия, пред 10 ложенным Гвоздевым А.А. [19], а затем развитым Дубин ским A.M. [30], Ржаницыным А.Р. [92], Халасом О. [109], Sawczuk А. [128],Sobotka Zd. [130] и другими исследователями применительно к железобетонным плитам.
Дубинский A.M. [30] рассматривает несущую способность плит с разным очертанием контура при действии сосредоточенной силы или равномерно распределенной нагрузки. Приведены критерии для установления схемы излома плиты. Линии излома принимаются прямолинейными. Прямоугольные плиты рассматриваются также при действии трапецеидальной нагрузки.
Работы Ржаницына А.Р. [92,93] посвящены предельному состоянию пластин разной формы при действии сосредоточенного груза и определению его разрушающей величины. В основу положен метод предельного равновесия. Ржаницын А. Р. устанавливает несущую способность прямоугольных шарнирно опертых по контуру пластинок при сосредоточенной нагрузке в любом месте. Углы пластинки не могут приподниматься. Исследовано несколько случаев приложения силы, связанных с разными формами разрушения. Основные из них - приложение силы в центральной части пластинки, вблизи длинной ее стороны и вблизи вершины угла.
Халас О. [109] предлагает метод для исследования предельного равновесия железобетонных плит, когда влияние текучести арматуры не рассматривается. Исчерпанием несущей способности плиты считается наличие больших, непрерывно нарастающих деформаций при постоянной величине нагрузки. Указывается, что учет текучести арматуры может оказать значительное влияние на несущую способность плиты.
В работе Sawczuk А. [128] на основании трудов 01szak W. и других авторов обсуждаются основные положения теории несущей способности пластин и методы решения задач согласно этой теории. Разработаны таблицы и графики для определения разрушающих моментов прямоугольных пластин с разными граничными условиями при нагрузках, применяемых на практике. Даны также коэффициенты орто-тропии и слоистости для ортотропных пластин. Рассмотрены примеры расчета.
Sobotka Zd. [130] исследовал несущую способность ортотропных прямоугольных жестко закрепленных пластинок при действии равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок. Материал пластинок принимается жестко-пластическим. Задавая кинематически возможные схемы разрушения в виде системы пластических шарнирных линий, автор получает верхнюю границу предельной нагрузки для прямоугольной защемленной пластинки при нескольких вариантах нагружения.
Собственные упругие и пластические состояния ортотропной пластинки
При сетке бхб величина прогиба в центре меньше на 15,08%, чем при сетке 4x4, а при сетке 8x8 прогибы меньше на 21,17%, чем при сетке 4x4. Величины моментов меньше соответственно на 3,41% (при сетке бхб) и 4,76% (при сетке 8x8), чем при сетке 4x4.
Таким образом, при равномерно распределенной нагрузке для шарнирно опертой пластины влияние изменения шага сетки невелико, а для жестко заделанной пластины такое влияние на прогиб значительно. Однако, пользуясь в последующих расчетах жестко закрепленных пластин сеткой с шагом Х = а/4, рассматривается более невыгодный случай деформации.
Решение задач изгиба пластин за пределом упругости при разной густоте сетки проводилось по методу упругих решений путем последовательных приближений. Процесс последовательных приближений заканчивался, когда разность между значениями прогибов двух соседних приближений достигала 3%. Количество приближений увеличивалось с уменьшением шага сетки и с увеличением нагрузки.
Результаты вычислений представлены для шарнирно опертой пластины с густотой сетки 4x4, бхб и 8x8 в табл. б.З, а для жестко заделанной пластины с густотой сетки 4x4, бхб и 8x8 табл. 6.4. В таблицах даны величи coDlO2 ны прогибов в виде —р= для рассматриваемых узлов VlkWa2 a2 пластины при нескольких значениях нагрузок q—== вклю VEkW чающих нагрузку при появлении текучести и превышающие ее нагрузки. Эти данные для центрального узла пластины нанесены на рис.б.З (шарнирно опертая пластина) и рис 6.4 (жестко закрепленная пластина) в виде кривых нагрузка - прогиб.
Из таблиц б.З и 6.4 и графиков (рис. 6.3 и рис. 6.4) видно, что при работе пластин за пределом упругости с увеличением густоты сетки величина прогибов изменяется. Прогиб в центре шарнирно опертой пластины уве ._VEkW личивается. При нагрузке q4=40 —, отвечающей значи а тельному распространению текучести, это увеличение для сетки 8x8 по сравнению с сеткой 4x4 достигает 42,97%.
Прогиб в центре жестко закрепленной пластины при ло VIkW ел VlkW rn VEkW нагрузках q, =48 -—, q2 =54 -— q3 = 60 — с увели a а в.1 чением густоты сетки уменьшается, а при дальнейших на грузке q4 =64 — начинает возрастать. При наибольшей а нагрузке q4 различие в прогибах для сеток 6x6 и 4x4 составляет 3,79%, а для сеток 8х8и 4x4 - 4,07%.
Числовые данные показывают также, что в обоих случаях пластин с увеличением густоты сетки нагрузка при появлении текучести несколько снижается. Различие в величинах моментов незначительно.
Таким образом, при упруго-пластическом изгибе пластин (в далекой стадии пластических деформаций) выбор сетки оказывает более существенное влияние на результаты расчета, чем в упругом состоянии.
На рисунках 6.5 (шарнирно опертая пластина) и 6.6 (жестко закрепленная пластина) нанесены зоны текучести на поверхности и по толщине пластин в сечениях по оси симметрии, диагонали и узлам VIII-XIII для нагрузок q = \,6qs для шарнирно опертой пластины и q = 2,2qs для жестко закрепленной пластины. Также приведены эпюры прогибов и изгибающих моментов.
Проведенное исследование позволяет судить о влиянии граничных условий на упруго-пластическую работу рассмотренных пластин.
Вид закрепления пластины определяет место появления текучести и картину развития зон текучести на поверхности и по толщине пластины.
При шарнирном опираний пластичность распространяется по всей поверхности, оставляя в упругом состоянии небольшие полукруглые зоны посередине каждой из кромок пластины. При жесткой заделке текучесть занимает пять областей: четыре около контура и пятую в центре пластины; упругий участок имеет вид пояса, охватывающего центральную область пластичности.
Модель ортотропной пластинки в аффинных пространствах
Исследуется упруго - пластическое состояние изгибаемых пластин в зависимости от значений коэффициентов ортотропии v и E/G. Рассмотрим:
1) шарнирно опертую и жестко закрепленную пластины при коэффициентах ортотропии v = 0,1155 (уменьшен на 20%) и E/G = 3,4641;
2) шарнирно опертую и жестко закрепленную пластины при коэффициентах ортотропии v = 0,1443 и E/G = 2,7713 (уменьшен на 20%).
Для данных значений коэффициентов ортотропии определим напряженное и деформированное состояние, найдем величины прогибов и моментов.
Рассчитана шарнирно опертая и жестко закрепленная пластины с шагом сетки 8x8 в упругом и упруго пластическом состоянии при изгибе равномерно распределенной нагрузкой # #1, 2 3 соответствующими нагрузкам используемым в расчетах пункта 6.5. Для сравнения полученных результатов приведены таблицы 6.5-6.8 и графики (рисунки 6.7 и 6.8).
Значение коэффициента v в первом случае было уменьшено на 20%, и значение коэффициента E/G во втором случае было уменьшено также на 20%. Сравним изменение величины изгибающих моментов в обоих случаях для центрального узла 25 со значениями изгибающих моментов в случае, когда коэффициенты v и E/G не изменялись.
Для шарнирно опертой пластины в первом случае значение изгибающего момента уменьшилось на 1%, во втором случае - на 8,1%.
Для жестко закрепленной пластины в первом случае значение изгибающего момента уменьшилось на 1,7%, во втором случае - на 4,4%.
Изменение значений прогибов в большей степени связано с величиной коэффициентов v и E/G . Для примера разберем изменение величины прогибов для узла 25 при
Таким образом, при равномерно распределенной нагрузке как для шарнирно опертой, так и для жестко закрепленной пластин, уменьшение коэффициентов ортотропии влияет следующим образом: - значение моментов для центрального узла 25 уменьшаются в обоих случаях, причем при изменении коэффициента E/G в большей степени;
С учетом приведенных выше значений для перехода из эталонного пространства в физическое, можно пересчитать значения прогибов и моментов для всех точек пластины: . табличные значения прогибов необходимо разделить на величину 0,5106. При этом остается зависимость прогиба от толщины пластины h, значения коэффициента к и шага сетки X.; таким образом, значение момента также будут зависеть от коэффициента к и толщины пластины h, а табличные значения необходимо разделить на величину 6.
В физическом пространстве пластина примет прямоугольные очертания. Зоны текучести на поверхности и по толщине пластины, эпюры прогибов и моментов приведены на рис 6.9 и 6.10 (соответственно для шарнирно опертой и жестко закрепленной пластины).
Изгиб квадратной шарнирно опертой пластины при равномерно распределенной нагрузке
В рамках данной диссертационной работы рассмотрены по аналогии с изотропной средой собственные упругие и пластические состояния ортотропной пластинки, в результате чего принято условие пластичности вида (2.74).
Используя аффинные преобразования координат, компонент поля скоростей, компонент тензоров напряжений и деформаций и вводя эталонное пространство, сократилось число независимых механических характеристик в условии пластичности и основных уравнениях изгиба ортотропных пластин с четырех до двух.
Получены основные уравнения теории изгиба ортотропных пластин, используя физическое моделирование ортотропной пластины. В отличие от геометрических гипотез Кирхгофа - Лява, применяемых для изотропных материалов, в данной работе реальная ортотропная пластина заменяется ее моделью, для которой выполняются следующие предположения: 1) модуль упругости по толщине пластинки бесконечно большой; 2) модули сдвига по толщине пластинки также бесконечно большие.
На основании предложенного условия пластичности при совместном использовании метода упругих решений и метода конечных разностей проведено решение задач изгиба ортотропных пластин. Это дало возможность в рассмотренных случаях довольно простым путем получить величины прогибов и силовых компонентов.
Рассчитаны квадратные шарнирно опертая и жестко закрепленная пластины под действием равномерно распреде по ленной нагрузки. Коэффициенты ортотропии приняты по материалам НАСА для стеклопластика и имеют постоянное значение: v = 0,1443 и ElG = 3,4641.
Для оценки влияния сгущенной сетки в упругом и упруго-пластическом состояниях рассматривались квадратные пластины с шагом сетки X, равным а/4, а/6 и а/% {а сторона пластины). Числовые данные показали, что при работе пластин за пределом упругости с увеличением густоты сетки величина прогибов изменяется. Прогиб в центре шарнирно опертой пластины увеличивается с уменьшением шага сетки. Прогиб в центре жестко закрепленной пластины при увеличении нагрузки сначала уменьшается, по сравнению с шагом сетки Х=а/4, а затем начинает возрастать . В обоих случаях пластин с увеличением густоты сетки нагрузка при появлении текучести несколько снижается. Различие в величинах моментов незначительно.
Исследовано распространение пластических зон на поверхности и по толщине пластины. В случае шарнирного опирания текучесть впервые появляется в центральном узле пластины, а в случае заделки - в узлах на контуре, расположенных на осях симметрии.
При шарнирном опираний текучесть, возникающая в центре, развивается вглубь и к краям. После превышения нагрузки текучести пластические зоны появляются у заделки в районе действия касательных напряжений. С увеличением нагрузки пластические области, распространяясь от центра и краев, сливаются. Упругими остаются области около точек пересечения осей симметрии с кромками пластины, где нормальные и касательные напряжения отсутствуют .
В жестко закрепленной пластине, после возникновения текучести на осях симметрии у заделки, зоны текучести развиваются вдоль кромок, а затем появляется текучесть в центре пластины. С повышение нагрузки области текучести, развиваясь от центра и краев, смыкаются на поверхности пластины. Можно отметить, что зоны текучести у краев развиваются более интенсивно вглубь пластины, а пластическая область в центре - по ее поверхности, что связано с точками перегиба эпюры напряжений, расположенными ближе к заделке.
Закономерность изменения величин прогибов и моментов подтвердилась по сравнению с данными полученными Стрельбицой А.И, Колгадиным В.А. и Матошко СИ.
Было проведено исследование влияния величин коэффициентов ортотропии на величину прогибов и моментов для квадратной пластины в двух вариантах закрепления с шагом сетки 1 = а/8. Приведен пример перехода из эталонного модифицированного пространства в физическое на основе зависимостей приведенных в п. 3.4 и принятых значений коэффициентов ортотропии v и E/G.
