Введение к работе
Цель работы - на основе модифицированных уравнений Кармана исследовать прогибы, неустойчивость и послекритическое поведение пластинки с распределенными дисклинациями и другими источниками собственных напряжений.
Актуальность работы - плоское напряженное состояние двумерных структур, имеющих форму тонких пластинок и содержащих распределенные дефекты и другие источники несовместных деформаций, может оказаться неустойчивым. Это приводит к необходимости исследовать изгибные формы равновесия пластинок, возникающие после потери устойчивости. Задачи устойчивости и закритического поведения упругих пластинок, содержащих в плоском состоянии распределенные дефекты, до настоящего времени не были исследованы. Кроме того, значительный интерес представляет влияние плоского поля внутренних напряжений, обусловленных дефектами, на прогиб пластинок под действием поперечной нагрузки. Это влияние можно выявить только на основе нелинейных уравнений.
Сказанным определяется актуальность темы диссертации, посвященной нелинейному изгибу упругих пластинок с дислокациями и дисклинациями.
Методы исследования. В работе использованы вариационные методы, метод пристрелки, конечно-разностный метод, метод интерполяции для решения нелинейных алгебраических уравнений.
Достоверность полученных результатов в диссертационной работе обеспечивается совпадением решения нелинейных уравнений с аналитическим решением линейного слабого изгиба пластинки при малой поперечной нагрузке, а также с точным решением модифицированных уравнений Кармана в мембранном приближении. Кроме того в работе использовались два метода решения задачи о закритическом поведении пластинки с распределенными дисклинациями, результаты которых совпадают.
Научная новизна работы состоит в следующих результатах
Получен вариационный принцип равновесия пластинки с распределенными и изолированными дислокациями и дисклинациями.
Решена задача о влиянии распределенных клиновых дисклинаций в упругой круглой пластинке на её прогиб, обусловленный поперечной нагрузкой. Установлено, что прогиб пластинки увеличивается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций.
Найдено решение задачи о потере устойчивости круглой пластинки, причиной которой является плоское напряжённое состояние, обусловленное дисклинациями и боковым давлением. Показано, что критическое значение бокового давления уменьшается с увеличением плотности дисклинаций.
При отсутствии внешних нагрузок с помощью метода пристрелки и вариационного метода выполнен расчёт закритических изгибных форм равновесия пластинки с дисклинациями. Найдено несколько форм равновесия, существующих при достаточно большой плотности дисклинаций.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут найти приложения для описания механического поведения тонкопленочных наноструктур, поверхностных кристаллов, биологических мембран и других двумерных физических систем.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 104 страниц.
Апробация работы. Основные результаты докладывалась на XIII и XIV международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010), а также на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2011), на семинаре кафедры теории упругости ЮФУ (2011).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [3, 4] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации
на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
В совместных работах научному руководителю Л. М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.
