Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор известных моделей изотропных разносопротивляющихся материалов 10
2. Условие пластичности для разносопротивляющихся материалов 33
2.1. Пространство нормированных напряжений 33
2.1.1. Нормированное пространство № 1 33
2.1.2. Нормированное пространство № 2 35
2.2. Условие предельного состояния для дилатирующих разносопротивляющихся материалов, предложенное Трещевым А.А. 38
2.3. Уравнения пластического течения 45
2.4. Краткие выводы по главе 50
3. Постановка задачи изгиба пластин выполненных из разносопротивляющихся материалов за пределом упругости 51
3.1. Принятые гипотезы 51
3.2. Изгиб прямоугольных пластин при больших прогибах 54
3.3 Линеаризация и методы решения разрешающих уравнений нелинейного изгиба тонких пластин 69
3.4. Методы решения разрешающих уравнений 73
3.5. Краткие выводы по главе 90
4. Расчет пластин за пределом упругости и анализ полученных результатов 92
4.1. Алгоритм решения задачи 92
4.1.1. Основной алгоритм 92
4.1.2. Методика определения глубины проникновения пластичности 95
4.2. Результаты расчета пластин и анализ полученных результатов 104
4.2.1. Шарнирно опертая квадратная пластина, выполненная из полиметилметакрилата 107
4.2.2. Жестко защемленная квадратная пластина, выполненная из полиметилметакрилата 111
4.2.3. Жестко защемленная прямоугольная пластина, выполненная из полиметилметакрилата 114
4.2.4. Шарнирно опертая квадратная пластина, выполненная из чугуна МСЧ38-60 118
4.2.5. Жестко защемленная квадратная пластина, выполненная из чугуна МСЧ38-60 119
4.2.6. Жестко защемленная прямоугольная пластина, выполненная из чугуна МСЧ38-60 121
4.3. Краткие выводы по главе 123
Заключение 125
- Условие пластичности для разносопротивляющихся материалов
- Изгиб прямоугольных пластин при больших прогибах
- Методы решения разрешающих уравнений
- Жестко защемленная прямоугольная пластина, выполненная из полиметилметакрилата
Введение к работе
Стремление повысить эффективность современных конструкций в строительстве, машиностроении и других сферах, вызывает необходимость применения новых материалов, позволяющих уменьшить стоимость и увеличить надежность конструкций. В связи с этим в настоящее время ни одна из отраслей современной техники не обходится без применения различных конструкционных материалов, механические свойства которых не соответствуют классическим представлениям об упругопластическом деформировании твердых тел- Прочностные и деформационные характеристики таких материалов зависят от вида напряженного состояния. Первоначально такие материалы характеризовались различными модулями упругости при растяжении и сжатии, а впоследствии их стали определять как разносопротивляющиеся, то есть обладающие различными сопротивлениями не только при растяжении и сжатии, но и при сложных напряженных состояниях.
Влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов до недавнего времени ставилось под сомнение. Это связано в частности с низким качеством постановки экспериментов. За последние десятилетия советскими и российскими учеными в этом направлении был, достигнут некоторый прогресс. По мере накопления экспериментальных сведений свойство разносопротивляемости выявлялось у все большего количества материалов, что в свою очередь не могло не заинтересовать ученых. Так известные экспериментальные исследования по деформированию разносо-противляющихся материалов [1-2 6] достаточно полно проана- лизированы и обобщены авторами монографий [27,28]. На основе этих экспериментальных исследований можно сделать вывод о том, что ощутимые эффекты, возникающие в работе конструкций выполненных из разносопротивляющихся материалов, обнаруживаются лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. К этому стоит добавить и то, что наиболее чувствительны к виду напряженного состояния характеристики пластичности и прочности. На рис. 0.1. приведены характерные диаграммы деформирования фенопласта К-17-2 на основе фенолформальдегидной смолы и древесных опилок в условиях одноосного сжатия при одновременном действии всестороннего давления рабочей среды Р (1— 0,1МПа; 2 - ЗОМПа; 3 - 50МПа; 4 - ЮОМПа; 5 - 150МПа; 6 - 200МПа) [26]. На рис. 0.2. приведены характерные диаграммы деформирования полиметилметакрилата в условиях одноосного растяжения при одновременном действии всестороннего давления рабочей среды Р (1 - 200МПа; 2 - ЗООМПа) [70]. а, МПа
200 -і
I Т-—2
Ю 20 30 W є, %
Рис. 0.1.
Рис. 0.2. - б -
Из приведенных диаграмм видно, что гипотеза единой кривой деформирования для данных материалов несправедлива, поскольку характеристики пластичности и прочности зависят от вида напряженного состояния.
Ярким примером сложного напряженно-деформированного состояния является изгиб. Поэтому различные плиты, пластины, оболочки представляют огромный интерес при изучении разносопротивляющихся сред. В свою очередь учет свойств разносопротивляемости может привести к кардинальному пересмотру механики пластин и оболочек.
Решению задачи изгиба пластин за пределом упругости посвящен ряд работ. Причем для материалов соответствующих классическим представлениям об упругопластическом деформировании исследования в этой области, в основном сводятся к определению предельных нагрузок. Для разносопротивляющихся материалов, на данном этапе решение задач упру-гопластического изгиба пластин в большей степени носит теоретический характер с крайне малым количеством расчетов, причем последние ограничиваются малыми прогибами пластин.
В связи с этим целью данной работы является построение расчетной модели и решение задачи упруго-пластического изгиба тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах на основе условия пластичности, предложенного Трещевым А.А., а также получение значений предельных нагрузок и исследование развития пластических зон в плане и по толщине пластины с ростом нагрузки.
Для этой цели необходимо: а) рассмотреть пространство нормированных напряжений, связанное с октаздрическими площадками. б) проанализировать условия пластичности разносопротив ляющихся материалов; в) получить дифференциальные уравнения, описывающие упру го-пластический изгиб пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах; г) решить ряд прикладных задач пластического изгиба тон ких пластин выполненных из разносопротивляющихся материа лов при больших прогибах, с учетом различных закреплений по контуру; д) провести сравнительный анализ полученных результатов расчета гибких пластин с учетом классической теории пла стичности и условий пластичности, учитывающих зависимость пределов текучести от вида напряженного состояния.
Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются: а) математическая модель упруго-пластического изгиба тон ких пластин из разносопротивляющихся материалов при боль ших прогибах на основе нового условия пластичности, пред ложенного Трещевым А.А.; б) полученные новые численные конкретные результаты рас чета тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах за пределами упругости; в) обоснование применимости нового условия предельного состояния разносопротивляющихся материалов при изгибе пластин в области больших прогибов; д) ряд новых количественных и качественных эффектов деформирования пластин из разносопротивляющихся материалов за пределом упругости при больших прогибах.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгим использованием аппарата и законов механики деформируемого твердого тела, а так же применением апробированных численных и приближенных методов решения, хорошим согласованием принятого условия пластичности с экспериментальными данными для ряда разносопротивляющихся материалов .
Полученные в работе результаты указывают на не соответствие поведения пластин из рассмотренных материалов при изгибе за пределом упругости классической теории изгиба пластин, что в свою очередь доказывает актуальность применения нового условия пластичности для решения данной задачи. Нельзя утверждать, что данная работа характеризует поведение всех разносопротивляющихся материалов при пластическом изгибе тонких пластин, но в какой-то степени расширяет круг знаний в этой области. В дальнейшем необходимо развивать теорию изгиба пластин для разносопротивляющихся материалов, путем развития специальных численных методов, усовершенствованием рассматриваемого нового условия предельного состояния, его распространения на новые материалы или если необходимо предложением новых кардинально отличающихся вариантов условий предельных состояний.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений.
В первом разделе дается обзор с приведением положительных и отрицательных характеристик основных условий предельного состояния разносопротивляющихся материалов и теорий тонких пластин.
Во втором разделе рассматривается вариант нормированного пространства. Рассматривается новое условие пластичности для разносопротивляющихся материалов, предложенное в работах Трещева А.А. [28,29].
В третьей главе рассмотрена постановка задачи упруго-пластического изгиба тонких пластин из разносопротивлю-щихся материалов при больших прогибах. Приводятся основные принятые в работе предпосылки и гипотезы для описания работы тонких пластин. Строятся разрешающие уравнения уп-ругопластического деформирования тонких пластин из разносопротивляющихся материалов в геометрически нелинейной постановке. Распространяется метод конечных разностей, на случай пластин из разносопротивляющихся материалов.
В четвертой главе на основе нового варианта определяющих соотношений [28,2 9] разработана методика решения задачи упругопластического деформирования тонких пластин из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. Проводится расчет прямоугольных тонких пластин при шарнирном опираний и жесткой заделки. Анализируются полученные результаты.
В заключении даны общие выводы по проведенной научно-исследовательской работе.
В приложениях представлен обширный графический материал с результатами расчета и практической их применимости.
Основные материалы диссертации опубликованы в авторских работах [30-41].
Условие пластичности для разносопротивляющихся материалов
Для решения задачи деформирования разносопротивляющих-ся материалов очевидным является необходимость определения их напряженного состояния. Для этого введем две конфигурации нормированных пространств напряжений, как рекомендуется в работах [27,28], авторы которых вводят нормированные пространства напряжений для построения уравнений состояния изотропных разносопротивляющихся материалов. Подобный подход к описанию разносопротивляющихся материалов обусловлен тем, что прямое применение классических подходов к указанным материалам оказывается малоэффективным. Первая конфигурация нормированных пространств (пространство № 1) связана с главными осями тензора напряжений, а вторая (пространство № 2) - с октаэдрическими площадками . При рассмотрении нормированного пространства № 1 авторы работ [27,28] предполагают, что: 1)Напряженное состояние в трехмерном пространстве главных напряжений можно задать вектором полного напряжения S (рис. 2.1), модуль, которого определяется выражением: а ориентация направляющими косинусами: где тк - главные напряжения . В данном случае модуль S можно трактовать как норму векторного пространства, а параметр ак как нормированные главные напряжения. 2) Для главных нормированных напряжений можно записать систему инвариантных комбинаций: Таким образом, при рассмотрении напряженного состояния в точке можно перейти от фактических главных напряжений к нормированным. Тогда напряженное состояние однозначно определится тремя инвариантами нормированного пространства: Ia,HIa,S. 3)Переход от главных осей к произвольной ортогональной системе координат можно осуществлять, введя инвариантный вектор напряжения в пространстве ком- понентов тензора напряжений.
Модуль данного вектора представляется следующим образом: 4)В произвольной ортогональной системе координат совокупность параметров а можно трактовать как тензор нормированных напряжений с нормой пространства S. Для чего условие нормировки этого пространства представляется в виде: Рассмотренные выше пространства при построении определяющих соотношений разносопротивляющихся дилатирующих материалов целесообразней заменить пространством, норма которого связана с октаэдрическои площадкой (пространство № 2) . При рассмотрении нормированного пространства № 2 авторы работ [27,28] предполагают, что: 1)Модуль полного напряжения на октаэдрическои площадке S0 (рис. 2.2) можно определить следующим образом: где а - среднее напряжение или нормальное октаэдри-ческое; т - касательное октаэдрическое напряжение. Пространственная ориентация этого вектора определять углами (р и у/ (рис. 2.2), которые можно вычислить, опираясь на зависимости: 2)Между параметрами главного и октаэдрического нормированных пространств имеются однозначные зависимости: где S0 норма второго пространства; и г] нормированные нормальные и касательного напряжений на ок-таэдрической площадке. При этом условие нормировки имеет вид: Таким образом, можно легко перейти из пространства главных напряжений в пространство связанное с октаэдриче-ской площадкой. Однако, использование пространства № 2 при построении предельной поверхности разносопротивляю-щихся дилатирующих материалов более предпочтительно, поскольку нормированные напряжения и фазовый инвариант имеют простой геометрический смысл. Поэтому в дальнейшем будем использовать именно это пространство для постулирования условий пластичности рассматриваемого класса материалов. Очевидно, что постановка задач изгиба тонких пластин подразумевает отсутствие третьего напряжения или деформации. При решении подобного рода задач в рамках гипотез Киргофа следует принимать равными нулю напряжения т33, тіз і т23 в этом случае нормированное пространство определяется как двухмерное пространство, т. е. для описания напряженного состояния вводятся двухмерные аналоги нормированного пространства №1 и пространства №2 как рекомендуется в работах [27,28].
Рассматривая нормированные пространства предложенные авторами монографий [27,28] можно заметить, что в общем случае вид напряженного состояния определяется параметрами: ak или , , г], и ср. Следует заметить, что параметр ср неспособен однозначно установить изменение вида напряженного состояния, так как при их различных видах может принимать одно и то же значение. Матченко Н.М. и Трещев А. А., применяя качественные характеристики и 7], при рассмотрении соотношений теории упругости для изотропного разномодульного тела [27] показали, что они меняются непрерывно в диапазонах от -1 до +1 и от 0 до +1 соответственно. Введение в определяющие уравнения всех качественных параметров ё, f TJ , и ср непременно усложнит расчеты, поэтому при построении условий пластичности разносопро-тивляющихся дилатирующих материалов целесообразней будет использовать только параметр ё, . Подобный подход, как уже было показано в обзоре, был, реализовал при разработке условий предложенных Ломакиным Е.В. [61]. Анализ работ [53, 69, 70, 71] наглядно демонстрирующих влияние вида напряженного состояния на величину интенсивности напряжений, соответствующей пределу текучести или пределу прочности для ряда конструкционных материалов на основе экспериментальных данных, позволило Трещеву А.А. [29] представить новое условие пластичности и прочности.
Изгиб прямоугольных пластин при больших прогибах
Из выше сказанного видно, что учет зависимости характеристик пластичности от вида напряженного состояния не вносит существенных усложнений в уравнения пластического течения. В рамках предложенных соотношений традиционно используемое предположение о не сжимаемости материала несправедливо, поскольку процесс накопления остаточной объемной деформации непосредственно связан с процессом формоизменения, что подтверждается известными экспериментальными данными. Пластическое разрыхление материала в таком случае является прямым следствием условия пластичности (2.12) и ассоциированного закона течения. Рассмотрены две взаимосвязанные системы инвариантов, характеризующих напряженное состояние в точке, предложенные авторами монографий [27,28], которые используются для формулировки условий пластичности изотропных разносопро-тивляющихся материалов. Первая система инвариантов связана с пространством главных напряжений, а вторая - с окта-эдрическими площадками. Рассмотрено новое условие предельного состояния для дилатирующих разносопротивляющихся материалов, предложенное Трещевым А.А. [29]. Показаны существенные преимущества последнего перед одним из прогрессивных на данном этапе - условием Ломакина Е.В. (1.21) . В качестве константы материала в этих условиях фигурирует предел текучести при чистом сдвиге. Рассмотренное новое условие предельного состояния не претендует на всеобщность, а лишь способствует более точному описанию предельных состояний рассмотренного достаточно широкого ряда материалов. упругости Излагается решение задачи изгиба тонких пластин, выполненных из разносопротивляющихся материалов, работающих за пределами упругости. При исследовании пластического изгиба пластин из указанных материалов получены разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие работу конструкций в рассматриваемой стадии напряженно - деформированного состояния материала. Рассмотрена модификация численного метода конечных разностей применительно к решению прикладных задач изгиба прямоугольных пластин из разносопротивляющихся материалов в упруго - пластической области.
Рассмотрим равновесие тонкой пластины толщиной h из разносопротивляющегося материала, находящейся под действием поперечной нагрузки, распределенной с интенсивностью q по ее верхней поверхности. Положение любой точки определим в декартовой системе координат хк (К — 1, 2, 3) . При этом плоскость, образованную осями х1г х2, совместим со срединной поверхностью пластины в недеформированном состоянии, а ось х3 ориентируем перпендикулярно этой поверхности в направлении прогибов. Пластины будем рассматривать достаточно тонкими, такими, чтобы применение гипотез Кирхгофа - Лява не вызыва- ло возражений. Реализуемое в пластинах напряженное состояние будем считать плоским. Объемные силы (собственный вес и др.) не рассматриваем. Применим уравнения общей трехмерной задачи механики деформируемого твердого тела с внесением в них тех упрощений, которые допускаются по приведенным выше предположениям. Обозначим через w прогиб серединной поверхности, то есть вертикальное расстояние между точкой, взятой на серединной плоскости до деформации, и положением этой же точки на деформированной поверхности. В связи с применением гипотезы Кирхгофа - Лява, допускающей тот факт, что плоское сечение пластины, перпендикулярное срединной плоскости остается плоским и ортогональным изогнутой поверхности после деформации, обозначенное перемещение w является общим для всех точек поперечного сечения. Уравнение перемещений точек пластинки, расположенных на линии параллельной оси 0х3, которое в случае толстой плиты является функцией трех координат, т. е. w(х1 ,х2 х3), применительно к тонкой пластине принимается функцией двух координат w=w(Xj ,х2 ) . Предполагается, что при упругой работе конструкции из разносопротивляющегося материала нейтральная ось любого поперечного сечения элемента пластины не совпадает со следом серединной поверхности в рассматриваемом сечении при больших прогибах.
Такой подход позволяет применить к данным материалам все ранее перечисленные гипотезы. Следует иметь в виду, что чувствительность материалов к виду напряженного состояния проявляются только за пределами упругости. За пределом упругости решение задач изгиба прямоугольных пластин проводим на основе теории малых упруго-пластических деформаций [73]. Для этой стадии работы дилатирующего разносопротив-ляющегося материала принимаем следующие предпосылки: 1) используются ранее рассмотренные обычные положения технической теории изгиба пластин -гипотезы Кирхгофа - Лява; 2) условие пластичности принимается в форме (2.11) ; 3) диаграмма напряжений - деформаций материала обладает ярко выраженной площадкой текучести, что позволяет применить к нему концепцию идеально упруго - пластического тела; 4) нагружение считается простым. Ввиду предположения о больших прогибах пластинки по сравнению с ее толщиной необходимо учитывать не только вертикальные смещения w, но и горизонтальные смещения и и v этих точек.
Методы решения разрешающих уравнений
Системы нелинейных дифференциальных уравнений (3.23)-(3.25) и (3.33)-(3.35) совместно с граничными условиями определяют перемещения w, v и и , а задача по исследованию напряженно-деформированного состояния пластин в пластической стадии, в конечном счете, сводится к решению данных систем уравнений. Следует заметить, что в пластической стадии работы материала будет происходить изменение жесткостных характеристик пластины, а именно коэффициентов D, F, L, Т, К, S. Причем коэффициенты D и S являются цилиндрической жесткостью сечения пластины, ослабленного в результате вступления материала в пластическую стадию деформирования, а при а{-=к/2 и bjj=-h/2 данные коэффициенты равны начальной цилиндрической жесткости пластины в упругом состоянии. В случае односторонней пластичности, когда bij—-h/2 и -h/ 2 ац h/ 2 (пластичность в нижней зоне) коэффициенты характеризующие жесткость пластины Тг К и S из системы уравнений (3.33)-(3.35) равны соответственно коэффициентам F r L и D из системы уравнений (3.23)-(3.25). Аналогичная картина будет наблюдаться в случае с односторонней пластичностью в верхней зоне, когда Лц=Н/2 и — Н/2 Ъц к/2 . Следует так же заметить что системы уравнений (3.23)-(3.25) и (3.33)-(3.35) при atj—h/2 и Ьу=-к/2 (упругая стадия) совпадают с системой уравнений (3.13)-(3.15). Следовательно, все стадии работы пластины могут быть описаны одной общей системой уравнений (3.33)-(3.35) то есть достаточно будет рассмотреть состояние двусторонней пластичности, как обобщающее все предшествующие стадии работы материала. При решении полученной системы нелинейных уравнений (3.33)-(3.35) необходимо учитывать граничные условия задачи: Полученная система дифференциальных уравнений (3.33)-(3.35) имеет ярко выраженную нелинейность, вследствие чего появляются определенные трудности при её решении. Для решения указанных уравнений предлагается использовать методику последовательных нагружении, разработанную В.З.Власовым и в последующем развитую В.В.Петровым [77-7 9]. Для повышения точности эту методику приведем к двух-шаговому методу последовательных возмущений параметров Петрова В.В. [79] . Рассмотрим линеаризацию по методу последовательных нагружении.
Из физических соображений ясно, что если на пластину действует большая нагрузка, вызывающая большие прогибы, то этого же напряженного состояния можно добиться следующим образом. Приложим вначале малый слой нагрузки, вызывающий малые прогибы. В этом случае можно, используя обычные линейные уравнения, определить напряженное и деформированное состояние конструкции. Затем к этой деформированной системы имеющей определенные параметры, которые рассматриваются, как начальные, прикладывается следующий малый уровень нагрузки и так далее. Причем на каждом этапе нагружения каждый раз решается задача изгиба в геометрически линейной постановке, а жесткость определяется с учетом предыдущих нагружении. Пусть некоторое деформированное состояние системы будет начальным, а искомые перемещения w, v и и, будут определены при заданном уровне нагружения. Рассмотрим состояние, соответст- вующее некоторому малому возмущению нагрузки q + dq , ей будут соответствовать малые возмущения искомых перемещений dw, dv и ди . Уравнения системы в таком состоянии называются возмущенными. Используя методику линеаризации Петрова В.В. [77,78] получим линеаризованные дифференциальные уравнения равновесия (3.33)-(3.35): Система дифференциальных разрешающих уравнений (3.36)-(3.38) не содержат нелинейных членов. Таким образом, на каждом этапе нагружения решается задача расчета изогнутой пластинки, имеющей известные (из решения на предыдущих этапах) параметры деформированной системы. На самом первом этапе нагружения решается обычная линейная задача теории пластин. На каждом последующем этапе нагружения решается новая линейная задача и осуществляется процедура двухшагового метода Петрова В.В. [79]. Решить полученную систему дифференциальных разрешающих уравнений (3.36)-(3.38) аналитически практически является неосуществимой задачей.
Поэтому удобно решение данной системы производить методом конечных разностей. При решении линеаризованной системы дифференциальных уравнений (3.36)-(3.38) на каждом этапе нагружения необходимо определять не только значения перемещений w, v и и, но и коэффициентов D, F r L, Т, К, S для каждой расчетной точки сетки разбиения поверхности пластины по методу конечных разностей. С учетом последнего замечания, начальными параметрами системы, в упруго-пластической области перед очередным этапом нагружения конструкции будут являться значения перемещений w, v и и и жесткостные параметры. Решение полученных в предыдущем параграфе разрешающих дифференциальных уравнений равновесия (3.36)-(3.38) предлагаем проводить численным методом конечных разностей. Метод конечных разностей заключается в замене дифференциальных уравнений соотношениями в конечных разностях. Для вывода таких соотношений пользуются разложением искомой функции прогибов в ряд Тейлора. Поверхность пластины покрывают сеткой, для каждого узла которой записываются уравнения в конечных разностях. В случае квадратной сетки регулярной структуры при направлении осей координат и обозначениях согласно рис.3.3, получим выражения производных в центральных разностях для узла Пі [80].
Жестко защемленная прямоугольная пластина, выполненная из полиметилметакрилата
Таким образом, в представленном разделе построена математическая модель работы тонких пластинок из дилатирую-щего разносопротивляющегося материала в упругой и упруго - пластической стадиях при больших прогибах. В соответствии с принятьми предпосылками в упругой стадии работы дифференциальные уравнения равновесия пластины, выполненной из указанных материалов, не отличается от соответствующих уравнений в классической теории изгиба пластин. В упруго - пластической стадии работа пластинки разделялась на два этапа: а) состояние односторонней пластичности; б) состояние двусторонней пластичности. Для каждого из этих напряженно - деформированных состояний в отдельности, получены соответствующие разрешающие дифференциальные уравнения равновесия. Проведена конечно-разностная аппроксимация разрешающих дифференциальных уравнений. В данном разделе рассмотрен алгоритм решения задачи определения напряженно - деформированного состояния пластин, выполненных из дилатирующих разносопротивляющихся материалов, работающих за пределом упругости при больших прогибах. На основе полученных в предыдущем разделе дифференциальных уравнений проведен численный анализ ряда практических задач пластического изгиба тонких пластин.
Проведено сравнение результатов, полученных при учете зависимости предельных состояний материала от вида напряженного состояния на основе модели, предложенной Трещевым А,А [2 9] и модели предложенной Ломакиным Е.В. [61] с аналогичными результатами расчета, основанных на классических условиях пластичности Губера-Мизеса. 4.1. Алгоритм решения задачи 4.1.1. Основной алгоритм 1) На начальном этапе решения задачи производится ввод исходных данных, включающий в себя: а) задание механических характеристик материала (модуль упругости - Е; коэффициент поперечной деформации - /и; константа пластичности материала - к , входящая в условие (2.11); г б) задание геометрических размеров пластины (толщина - h; длина - /; ширина - Ь) ; в) задание шага сетки - Л ; г) задание начальных параметров деформированной системы w(n) = 0, и(п) = 0, v(n) = 0. д) задание первоначального приращения нагрузки - Sq, не превышающей нагрузку, соответствующую по явлению пластичности. 2) Определяются характеристики деформированной систе мы суммированием начальных параметров w(n), и(п), v(n), с приращениями перемещений ди(п), dv(n) и dw(n) за текущий этап. На первом этапе w(n) = 0 , и(п) - 0, v(n) = 0, ди(п) = 0, dv(n) = 0 и 8w(n) = 0 . 3) Формируется и решается система алгебраических уравнений типа (3.49)-(3.51) предварительно задаются a(n) = h/2, b(n) = -h/2 . В результате определяются приращения перемещений ди(п), dv(n) и dw(n), в п узлах сетки, покрывающей поверхность пластины. 4) Находятся величины напряжений тв (п), тв (п), тв (п), возникающие в верхней точке поперечного сечения, рассматриваемого узла, по правилам (3.10) при z=-h/2 и напряжения в нижней точке - а" (л), а" (л), тн (п) по аналогичным правилам, с той лишь разницей, что значение z принимается равным hi2 . 5) По вычисленным напряжениям определяются значения октаэдрического касательного напряжения тв (п) и т" (гі) в соответствии с равенством (3.52) . 6) Определяются значения параметра вида напряженного состояния 6(п), н(п) и функции, зависящей от вида напря- женного состояния /e[#e(rc)J /""(/0j входящей в условие (2.11), для верхней и нижней точек поперечного сечения соответственно. 7) Вычисляется левая часть условия (2.11). 8) Проверяется выполнение неравенств а) При выполнении двух неравенств заключаем, что пластичность в данной точке при заданной нагруз ке не возникает, и переходим к рассмотрению сле дующей точки. б) При выполнении первого неравенства и невыпол нении второго делаем вывод о том, что в рассмат риваемом узле в нижних точках сечения образова лась зона пластичности. Переходим к пункту 9. в) При невыполнении первого неравенства и выпол нении второго приходим к заключению, что в рас сматриваемом узле в верхних точках сечения обра зовалась зона пластичности.
Переходим к пункту 10. г) При невыполнении обоих неравенств, очевидно, что для заданного значения нагрузки в рассматри ваемом узле образуется двусторонняя пластич ность . Переходим к пункту 11. 9) Определяем первое (последующее) приближение глуби ны проникновения пластичности а(п) по методике, разрабо танной в параграфе 4.2. Переходим к рассмотрению следующего узла сетки. 10) Определяем первое (последующее) приближение глу бины проникновения пластичности Ъ(п) по аналогии с мето дикой, разработанной в пункте 9. Переходим к рассмотрению следующего узла сетки. 11) Определяем первые (последующие) приближения глу бин проникновения пластичности а(п) и Ь(п) в соответствии с пунктами 9 и 10. Переходим к рассмотрению следующего узла сетки. 12) Когда все узлы сетки рассмотрены, решаем систему алгебраических уравнений типа (3.49)-(3.51). В результате определяются новые приращения перемещений ди(п), dv(n) и Sw(n), узлов сетки, покрывающей поверхность пластины. 13) Сравниваются приращения прогибов Sw(n), полученные в последнем и предыдущем приближениях. Если расхождение между двумя соседними приближениями составляет более 0,1%, расчет повторяется с пункта 3. В ином случае переходим к пункту 2 настоящего алгоритма. 14) Расчет заканчивается, когда при очередном загру-жении значения прогибов w(n) резко возрастают вплоть до бесконечности, а пластичность развивается на всю глубину пластины. Выполнение неравенства (4.1) предполагает, что в нижней зоне напряжение сг превышают напряжения Ац вызывающие пластичность как показано на рис. 4.1. Следовательно, то "мнимое" напряжение, превышающее Ау будет восприниматься "волокнами" расположенными глубже, то есть перераспределится вглубь сечения.
