Содержание к диссертации
Введение
1. Сосредоточенные и распределенные нагрузки в анизотропных пластинах 17
1.1. Некоторые формы записи закона Гука для анизотропных тел 17
1.2. Основные соотношения классической теории изгиба Кирхгофа 20
1.3. Слоистые композиционные материалы 26
1.4. Применение функций комплексного переменного к решению задач изгиба анизотропных пластин 30
1.5. Комплексные потенциалы для бесконечной анизотропной пластины 34
1.6. Анизотропная полуплоскость под действием сосредоточенных нагрузок 36
1.7. Нагрузки, распределенные по линиям и площадкам 37
2. Бесконечная и полубесконечная анизотропные пластины, ослабленные криволинейными гладкими разрезами и гладкими отверстиями произвольной формы 38
2.1. Постановка краевой задачи 38
2.2. Общие представления решения 39
2.3. Сведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений 42
2.4. Условия однозначности смещений и прогибов анизотропной пластины 46
2.5. Приведение системы сингулярных интегральных уравнений к каноническому виду 47
2.6. Численная реализация метода сингулярных интегральных уравнений 54
2.7. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности вершин криволинейных гладких разрезов 58
2.8. Случай ветвящихся разрезов. Выход разреза на край отверстия 60
2.9. Результаты расчетов 64
3. Бесконечные анизотропные пластины, содержащие абсолютно жесткие включения 73
3.1. Постановка задачи 73
3.2. Потенциальные представления комплексных функций для контуров, на которых заданы углы поворота и прогибы 74
3.3. Система сингулярных интегральных уравнений 75
3.4. Условия равенства нулю главного момента сил, приложенных к включению со стороны пластины 77
3.5. Асимптотические представления изгибающих моментов в вершинах жестких разомкнутых включений 78
3.6. Некоторые численные результаты 79
4. Конечные анизотропные пластины, ограниченные гладкими замкнутыми контурами и содержащие сквозные криволинейные разрезы и абсолютно жесткие включения 85
4.1. Постановка задачи 85
4.2. Общий вид комплексных потенциалов для конечной анизотропной области, содержащей дефекты тина трещин, отверстий и абсолютно жестких включений 86
4.3. Приведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями 88
4.4. Квадратурные формулы и алгоритм численного решения 95
4.5. Экспериментальное определение напряжений в консольной пластине... 99
4.6. Результаты расчетов 104
4.6.1. Многосвязные консольные пластины 104
4.6.2. Круговая пластина с тремя осесимметрично расположенными отверстиями, нагруженная изгибающими моментами постоянной интенсивности но внешнему контуру 108
4.6.3. Прямоугольная анизотропная пластина с отверстием, изгибаемая моментами постоянной интенсивности, распределенными по торцам... 109
4.6.4. Кольцевая пластина, нагруженная сосредоточенной силой 113
4.6.5. Круглая пластина, ослабленная трещиной 116
5. Оптимальное проектирование слоистых композитных панелей 120
5.1. Постановка задачи 120
5.2. Методы оптимизации 121
5.3. Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием 130
Заключение 135
Список литературы 136
- Основные соотношения классической теории изгиба Кирхгофа
- Сведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений
- Потенциальные представления комплексных функций для контуров, на которых заданы углы поворота и прогибы
- Общий вид комплексных потенциалов для конечной анизотропной области, содержащей дефекты тина трещин, отверстий и абсолютно жестких включений
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Представляется актуальным разработка и развитие методов исследования напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин, имеющих сложную форму, поскольку пластинчатые элементы являются одними из основных компонентов современных тонкостенных композитных конструкций
В настоящее время существует достаточно мощный аппарат вычислительных методов, и эффективное использование вычислительной техники для реализации этих методов позволяет расширить границы исследования задач теории упругости Необходимость разработки методов определения напряженно-деформированного состояния пластин объясняется не только интересом к решению конкретных задач, но и возможностью применения этих методов для тестирования конечно-элементных вычислительных комплексов
Обзор состояния проблемы и обоснование цели исследования.
К настоящему времени плоская задача теории упругости достаточно полно исследована и методы решения возникающих краевых и контактных задач в пластинах с концентраторами напряжений в виде отверстий, трещин и включений соответственно хорошо развиты Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Грилицкий Д В , Григолюк Э И , Inghs С Е , Irwin G R, Колосов Г В , Калоеров С А, Космодамианский А С , Лехницкий С Г, Максименко В Н, Mindlin R D , Мусхелишвили Н И , Пелех Б Л , Партон В 3 , Попов Г Я, Савин Г Н , Саврук М П, Sih G С , Tamate О , Фильштин-ский Л А , Флейшман Н П , Черепанов В П, Шерман Д И и др
Значительно менее исследована задача изгиба тонких пластин Прежде всего это объясняется приближенностью основных гипотез при решении задачи классической теории изгиба Кирхгофа, создающей определенные трудности Исследования по теории изгиба тонких плит связаны с работами Ам-барцумяна С А , Артюхина Ю П, Бережницкого Л Т, Williams М L, Грилиц-кого Д В , Isida М, Калоерова С А, Лехницкого С Г, А М Линькова, Пелеха Б Л , Подружина Е Г , Попова Г Я , Прусова И A , Reissner Е , Tamate О , Тимошенко С П, В М Толкачева, Фильштинского Л A , Hasebe N и др
К недостаткам традиционных методов расчета, используемых многими авторами, можно отнести в большинстве случаев отсутствие универсального подхода при решении конкретных задач (например, при использовании метода конформных отображений), большой объем вычислительных операций (решение с помощью уточненных теорий изгиба), большую размерность разрешающей системы уравнений (метод конечных элементов, метод конечных разностей)
Целью работы является разработка методики определения напряженно-деформированного состояния (НДС) при изгибе анизотропных пластин (АП), имеющих дефекты типа трещин, отверстий и содержащих абсолютно жесткие криволинейные стержни и двумерные жесткие шайбы
Научная новизна, состоит в следующем:
— построены комплексные потенциалы и сингулярные интегральные
уравнения задачи изгиба бесконечной анизотропной пластины, содержащей криволинейные жесткие включения, непересекающиеся разрезы и гладкие отверстия,
получены интегральные представления решений и сингулярные интегральные уравнения для конечных анизотропных пластин с трещинами, отверстиями и жесткими включениями,
разработан алгоритм численного решения полученных систем сингулярных интегральных уравнений и созданы компьютерные программы, реализующие вычисления,
решен ряд новых задач изгиба многосвязных бесконечных и конечных анизотропных пластин
Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными аналитическими и численными решениями для изотропных и анизотропных пластин и экспериментальными данными
Теоретическая значение заключается в дальнейшем развитии метода комплексных потенциалов и в приведении первой и второй краевых задач теории изгиба анизотропных пластин к системе сингулярных интегральных уравнений
Практическая значимость заключается 1) в построении алгоритма решения задач изгиба многосвязных анизотропных пластин и реализации его в виде программного пакета, 2) в решении ряда новых задач изгиба анизотропных пластин, выделении асимптотик напряжений в окрестностях вершин остроконечных дефектов, исследовании влияния геометрии пластин и взаимного влияния дефектов на характер НДС в пластине, подтверждении результатов расчета НДС для конечных пластин данными экспериментов, 3) в разработке и реализации численного алгоритма оптимального весового проектирования многослойных анизотропных пластин
Личное участие автора в получении научных результатов заключается в постановке задачи и в получении разрешающих систем сингулярных интегральных уравнений, к которым приводится задача изгиба многосвязных анизотропных пластин, разработке численного алгоритма и проведении большей части вычислительной работы
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на объединенном научном семинаре кафедр "Прочность летательных аппаратов" и "Самолето- и вертолетостроение" Новосибирского государственного технического университета, на межфакультетском семинаре по прочности Сибирского государственного университета путей сообщения, на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Институт гидродинамики им М А Лаврентьева СО РАН, 2003 г), на Восьмом и Девятом Российско-Корейских Международных Симпозиумах по науке и технологиям (KORUS - 2004, 2005), на Всероссийской конференции "Краевые задачи и математическое моделирование" (Новокузнецкий филиал-институт КемГУ, 2004 г ), на XVIII и ХГХ Межреспубликанских конференциях "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности " (Кемерово, 2003 г, Бийск, 2005 г ), на Всероссийской научно-
технической конференции, посвященной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций "Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов" (СибНИА, 2005 г.), на Межвузовских научных студенческих конференциях "Интеллектуальный потенциал Сибири" (НГТУ, 2003,2004 г )
Публикации. Основные результаты работы изложены в 12 научных публикациях, в том числе в журнале из перечня ВАК для обязательного опубликования результатов диссертации
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 145 страниц, 47 рисунков, 11 таблиц и состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 108 наименований
Основные соотношения классической теории изгиба Кирхгофа
В настоящей работе, исходя из позиций современной теории изгиба пластин, рассматриваются однородные прямолинейно анизотропные пластины (АП), у которых отношение толщины к наименьшему из других размеров в плане не превышает 1/5(тонкие пластины), а величина прогиба не превышает 1/5 толщины (жесткие пластины). Такие пластины в теории упругости относят к категории «тонких плит». Толщина пластин является постоянной величиной.
Пластины подвергнуты воздействию изгибающих нагрузок. Под действием этих нагрузок пластины изгибаются, и их срединная плоскость, искривляясь, переходит в срединную поверхность изогнутой пластины. На рис. 1.1 показана АП, обладающая приведенными выше свойствами, закрепленная по всему краю или по части его и деформируемая нагрузкой. Изгибающая нагрузка состоит в общем случае из погонной поперечной нагрузки q [кгс/см J, распределенной по плоским поверхностям, и нормальной к срединной плоскости в недеформируемом ее состоянии, и из нагрузок, распределенных по краю, в виде изгибающих моментов т и сил р. Моменты т и силы р могут быть заданными, а могут быть и реактивными моментами и усилиями, возникающими в местах закреплений. В общем случае пластинка не является ортотропной, но имеет в каждой точке одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной плоскости.
Пусть срединную плоскость недеформируемой пластинки занимает плоскость ху. Начало координат О находится в произвольной точке срединной плоскости, а ось z направлена в сторону ненагруженной внешней поверхности (рис. 1.1). Объемные силы не учитываются. Для рассматриваемой пластинки справедливы гипотезы Кирхгофа [44,70].
На рис. 1.2 представлены поперечные сечения АП, параллельные плоскостям xz и yz. При изгибе пластины отрезок ЛВС, расположенный вдоль нормали к срединной плоскости, получит поступательное перемещение по вертикали на величину w{x,y) и совершит поворот как жесткое целое на угол /? относительно оси Ох и на угол а относительно оси Оу.
Выражения для перемещений и деформаций имеют вид: Таким образом, задача о поперечном изгибе тонкой однородной АП сводится к нахождению функции прогибов w(x,y). Эту функцию принято отыскивать, интегрируя дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. Неоднородное дифференциальное уравнение АП имеет вид:
Общее решение дифференциального уравнения (1.12) должно удовлетворять условиям, определяющим способы закрепления и нагружения боковых поверхностей АП. Ниже приведены некоторые наиболее часто встречающиеся граничные условия на краю АП. Край в общем случае рассматривается криволинейным с нормалью п.
1. Край жестко заделан (защемлен): Так как общее решение дифференциального уравнения (1.12) позволяет удовлетворить лишь двум граничным условиям, то три условия (1.13) сводят к двум (Кирхгоф, 1850 г). Смысл упрощения заключается в следующем [44]: из рассмотрения двух последовательных элементов боковой поверхности пласти ны, каждый длиной ds, можно заключить, что равномерно распределенные крутящие моменты Hni представимы статически эквивалентными им перере ши? rr зывающими силами —. Такая замена повлияет лишь на напряженное co ds стояние у края в области, ширина которой, согласно принципу Сент-Венана, соизмерима с толщиной пластины. Так называемая обобщенная перерезывающая сила определена как: Интерес к теории упругости анизотропного тела возрос в связи с достаточно широким использованием в последнее время композиционных материалов. По микроструктуре композиционный материал состоит из волокон и матрицы (полимерного или другого связующего). Макроструктура материала образована из ориентированных слоев волокон (мопослоев), заключенных в связующем. Цель использования таких материалов состоит в том, чтобы достичь комбинации свойств, не присущей каждому из исходных материалов в отдельности. Одними из наиболее важных конструктивных элементов, которые изготавливают из композиционных материалов, являются пластины. Пластины из композиционных материалов наиболее широко используют в качестве обшивок корабля, панелей обшивок крыла и оперения самолета, панелей пола транспортных самолетов, переборок кораблей и самолетов, облегченных броневых плит. В этом параграфе приведены соотношения классической теории изгиба Кирхгофа для многослойных АП.
Сведение краевой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений
Проектирование конструкций, изготовленных из композиционных материалов, является актуальної! проблемой, стоящей перед исследователями в настоящее время. Этому способствует широкое использование композиционных материалов во многих областях техники: в космической промышленности, самолетостроении, ракетостроении, судостроении, химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве, автомобилестроении. В данной главе кратко остановимся на задачах оптимального проектирования композитных панелей, находящихся в условиях изгиба. Это направление в настоящее время является наиболее актуальным и востребованным. При оптимальном проектировании конструкция предполагается заданной до некоторого числа свободных (варьируемых) параметров. Эти параметры находятся в процессе решения задачи из условия (критерия) оптимальности. Таким условием чаще всего является экстремум целевой функции (функционала): вес, объем конструкции, стоимость и др. Задача в этом случае ставится как экстремальная задача вариационного исчисления с использованием решений прямых задач и методов математического программирования. Рассмотрим листовой элемент из волокнистого слоистого композиционного материала, для которого известно: а) количество N слоев заданной ориентации (под "слоем" будем понимать на бор всех монослоев одинаковой ориентации); б) упругие характеристики композитного материала каждого слоя в виде мо дулей упругости Е\, Ej, Gyi н коэффициентов Пуассона v\, v ; в) пределы прочности материала в направлении армирования - Xt, Хс, в трансверсальном направлении - Yt, Yc и на сдвиг в плоскости слоя для однонаправленно армированного слоя, при этом индексы / (с) относятся к случаю растяжения (сжатия) соответственно; г) ориентация щ (i = \,2,...,N) каждого слоя по отношению к выбранной системе координат хОу, совпадающей со срединной плоскостью пластины. Пластина может быть бесконечной либо конечной и содержать отверстия, трещины, замкнутые" и разомкнутые жесткие включения. Внешние усилия задаются в виде Р различных вариантов статических изгибающих нагрузок. Вес элемента при заданных габаритных размерах с точностью до постоянного множителя равен величине где уі - удельный вес материала г -го слоя. Сформулируем задачу оптимизации многослойной пластины следующим образом: при заданных упругих характеристиках материалов слоев, углах укладки и форме отверстий найти такие значения толщин слоев, при которых обеспечивается минимум веса В качестве ограничений примем условие обеспечения прочности одновременно для всех Р вариантов статических нагрузок и заданном критерии разрушения. Варьируемыми параметрами являются толщины слоев h,, укладку слоев фі считаем фиксированной.
Потенциальные представления комплексных функций для контуров, на которых заданы углы поворота и прогибы
Работа алгоритма заканчивается, когда смещение вдоль вектора z или вдоль линии, проходящей через начало координат, мало (скажем, 1/10 от толщины монослоя), а также если значение z до нормирования мало (т.е. когда векторы п и VC почти параллельны). Если в процессе оптимизации алгоритм приходит в точку пересечения двух или нескольких поверхностей критериев, то это соответствует одновременному разрушению двух или более слоев. Однако чаще встречается вариант, когда только один слой определяет разрушение. В некоторых случаях при оптимизации значение 1ц может стать почти нулевым. В этом случае слой с ориентацией g?i исключается из оптимального проекта. Если слои пластины выполнены из различных материалов, минимум толщины пластины может не совпасть с минимумом ее веса. Для нахождения минимума веса в оптимизационной процедуре необходимо заменить параметры оптимизации hj па zl/= ,7г,-. При этом все применяемые методы : проектируемых градиентов, деления отрезка пополам и метод отношения деформаций используются без принципиальных изменений. Для решения сформулированной ранее задачи оптимизации предлагается алгоритм, основанный на методе покоординатного спуска [49]. Для создания эффективного алгоритма оптимизации вводятся новые проектные параметры, область изменения которых - конечный интервал. Рассмотрим для определенности и наглядности, как работает предлагаемая оптимизационная процедура для сплошной пластины из слоистого композиционного материала. Тогда совокупность ограничений вида (5.2) можно представить в виде При решении задачи оптимизации (5.1), (5.2) область возможных значений каждой из величин /г/ принадлежит интервалу [0,оо). Введем новые параметры оптимизации, область изменения которых - конечный интервал. Пусть Значения со J принадлежат интервалу [0,1]. Зафиксируем произвольно некоторый номер j, такой, что 1 j N. Пусть Введем дополнительные параметры: Покажем, что для фиксированных значений h,co І,СО[, (І - j) однозначно определяется толщина каждого слоя. Из (5.7) имеем: Алгоритм оптимизации, основанный на методе координатного спуска. Выбрав некоторое значение j, то есть, выделив величину со ,-, фиксируем соотношение осредненных толщин остальных слоев 60j , ІФ j с помощью формулы (5.8). Минимизируем толщину пластины, варьируя параметр со ; методом "золотого сечения" (рис. 5.2). Выполнение ограничений (5.6) обеспечивается методом деления отрезка пополам. При этом общая толщина пластины h и толщины слоев /г/ увеличиваются или уменьшаются пропорционально, пока не будет достигнута заданная точность приближения к огибающей ограничений Ф. При сокращении интервала неопределенности для параметра со І до заданных оптимизационных пределов получаем новую толщину h и вычисляем значения /г/, i = \,...,N по формулам (5.10). Меняя значения j от 1 до N и повторяя каждый раз вышеописанные действия, получаем толщину элемента на данной итерации. Результаты вычислений сравниваются с результатами предыдущей итерации. Работа алгоритма продолжается, пока не будет достигнута заданная погрешность вычислений. 5.3. Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием Ниже приводятся численные результаты оптимизации толщины многослойной пластины из слоистого композиционного материала, ослабленной эллиптическим отверстием. Рассматривались бесконечные пластины симметричного относительно срединной плоскости строения, изгибаемые моментами х ,М у ,л ху, равномерно распределенными па удаленных частях пластины. В табл. 5.1 -5.3 представлены результаты оптимизации для четырехслой-ных пластин из материала HMS/3002M, ослабленных эллиптическим отверстием с полуосями а и Ь, со следующими углами укладки: 0, 90, 45, -45. В табл. 5.1 приводятся оптимальная толщина и процентное соотношение толщин слоев пластины, изгибаемой моментом Мх = \04Н, в зависимости от количества точек Т на контуре отверстия. Номера слоев ( р\,(Р2 (РЗ Р4) соот ветствуют порядку их расположения в пластине от внешнего края к срединной плоскости. Результаты показывают, что достаточная точность достигается при использовании 30-40 точек на контуре отверстия.
Общий вид комплексных потенциалов для конечной анизотропной области, содержащей дефекты тина трещин, отверстий и абсолютно жестких включений
На рис. 4.13 изображена круглая пластина с тремя осесимметрично расположенными круговыми отверстиями, нагруженная равномерно распределенными по внешнему контуру нормальными изгибающими моментами постоянной интенсивности М. Здесь же на графике приведено распределение танген циальных изгибающих момеитов MQ вдоль контуров внутренних отверстий для пластины из изотропного материала v = 0.3, Е = 27,61 10 МПа . Из графика видно, что распределение тангенциальных напряжений по контуру отверстия почти равномерное, максимальные и минимальные напряжения отличаются незначительно. Однако все-таки стоит заметить, что максимальные значения напряжений наблюдаются в точках отверстий, наиболее приближенных к внешнему контуру (точки Aj, (/ = 1,2,3) на рис. 4.13). С увеличением внешнего радиуса пластины точка максимума напряжений будет смещаться. Это объясняется тем, что влияние внешнего контура ослабевает. При Я/г = оо максимум сместится в положение на рис.4.13. Коэффициент концентрации напряжений зависит от соотношения радиусов отверстий и пластины и соответственно составляет к-MQmax/M = 4.36S9; 3.3946 ; 2.7932 ; 2.1487 при Rlг = 3.25; 3.5; 4.0; со (сплошная, штриховая, пунктирная и штрихпунктир-ная линии на графиках).
Из приведенных результатов следует, что с уменьшением отношения радиусов круговой пластины и отверстий концентрация напряжений возрастает. Для неограниченной пластины (/?// - со) с отверстиями при всестороннем изгибе (М =М =М) коэффициент концентрации напряжений минимальный.
На рис. 4.14 представлены результаты расчета для прямоугольной пластинки с центральным круговым отверстием. Материал пластины - графито-эпоксидный композит (# = 0). Длина пластинки равна четырем диаметрам отверстия, ширина варьируется. На графиках приводятся безразмерные изги лярном оси пластины, проходящем через центр отверстия; у ={y-r)l(b — r)
— безразмерная координата. Рис. 4.15 иллюстрирует решение, которое соответствует пластине из изотропного материала (v = 0.25). Из графиков видно, что с уменьшением ширины перемычки между отверстием и краем пластины неравномерность распределения напряжений в сечении перемычки уменьшается, хотя величины самих напряжений при этом возрастают.
Распределение КИН В следующем примере исследуется влияние прямолинейных абсолютно жестких включений на концентрацию напряжений в прямоугольной пластине, ослабленной круговым отверстием. Расстояние от оси включения до края отверстия варьируется. На рис. 4.16 приводится распределение тангенциальных изгибающих моментов по контуру отверстия для пластины из графитоэпок-сидного композита. Штрихпунктирные линии на графике - это решение в случае, когда главное направление анизотропии совпадает с направлением оси х ( р = 0), а сплошные линии соответствуют решению для пластинки, в которой волокна направлены вдоль оси у {(р = к/2). Как видно из графика, направление ортотропии оказывает существенное влияние на распределение изгибающих моментов. С точки зрения повышения несущей способности материала пластины, укладка волокон в направлении действия главных напряжений является более рациональной. В дополнение к этому, из рис. 4.16 видно, что жесткие ребра более существенно влияют на концентрацию напряжений при угле анизотропии, равном нулю.
На рис. 4.17 представлены результаты расчета КИН в вершине прямолинейного абсолютно жесткого включения (в площадках, совпадающих с продолжением включения) для пластины, показанной на рис. 4.16. Изгибающие моменты в окрестности вершин включений представимы в виде где 0(у/г) — ограниченная величина при г — 0.
Штрихпунктирная линия иллюстрирует распределение К\, Л ? для изотропной пластины (v = 0.25, = 27,61-10 МПа) в зависимости от параметра Я, характеризующего удаленность ребер от кромки отверстия. Оказывается, что зависимости К\(Я) и Л СЯ) совпадают для изотропных материалов. Сплошная и штриховая линии на графике (рис. 4.17) показывают соответственно изменение КИН для ортотропного графитоэпоксидного композита. Анализируя результаты расчетов, отметим, что параметры анизотропии оказывают существенное влияние на величины КИН и напряжения в ортотропных пластинах.
Похожие диссертации на Напряженно-деформированное состояние анизотропных пластин сложной формы при изгибе
