Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Необходимые свещения из теории упругости . 13
1. Статическая плоская задача теории упругости 13
2. Прямой метод решения сингулярного интегрального уравнения первого рода 21
ГЛАВА II. Воздействие рееер жесткости на развитие трещин с взаимодействующими берегами 25
3. Постановка задачи 25
4. Решение краевой задачи 28
5. Определение контактных напряжений 30
6. Определение величины силы Р 34
7. Решение сингулярного интегрального уравнения 37
ГЛАВА III. Влияние ребер жесткости на рост взаимодействующих трещин 46
8. Постановка задачи 46
9. Решение краевой задачи 48
10.Другой метод решения краевой задачи . 53
11.Решение сингулярного интегрального уравнения 57
12. Случай,когда берега трещины взаимодействуют между собой 69
13.Учет пластических деформаций 81
14.Критическое состояние упруго-пластической пластины 89
Выводы 93
Приложение 95
Литература 101
- Прямой метод решения сингулярного интегрального уравнения первого рода
- Определение контактных напряжений
- Решение сингулярного интегрального уравнения
- Случай,когда берега трещины взаимодействуют между собой
Введение к работе
Одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела является разработка и внедрение новейших методов оценки сопротивления материалов разрушению. В связи с широким использованием высокопрочных материалов и крупногабаритных конструкций,сооружений в различных областях современной техники, теория распространения трещин в твердых телах приобрела особую актуальность.
Детали машин и элементы различных конструкций в виде пластин получили широкое применение в машиностроении. Их работоспособность во многих случаях предопределяется наличием в пластинах концентраторов напряжений типа трещин. В связи с этим значительный теоретический и практический интерес представляют исследование распределения напряжений и деформаций в окрестности дефектов типа тре -щин, а также установление условий оценки работоспособности плас -тинчатых элементов конструкций, ослабленных трещинами при различных видах их нагружения.
Изучение напряженно-деформируемого состояния в окрестности трещин в деформируемых твердых средах составляет одну из важнейших проблем механики разрушения твердых тел.
Механика разрушения ведет свое начало от работ Гриффитса [вз], продолженных Ирвином [87І , Орованом [92І и других. С основными результатами в этой области можно ознакомиться в монографиях В.В.Панасюка [49], Ф.Макклинтока и A.Apr она [32], В.М.Финкеля [б9, 70], Снедцона и Ловенгруба [97] , Г.П.Черепанова [7l] , В.З.Партона и Е.М.Морозова [53], В.В.Панасюка, М.П.Саврука и А.П.Дацышина [50] , Л.И.Слепяна и Л.В.Троянкиной [бб] , В.В.Панасюка, А.Е.Андрей-кив и С.Е.Ковчика [бі] , А.А.Каминского [26,27] , Д.Броека [Ю], И.А.Махутова [34] , Л.Т.Бережницкого, М.В.Деллвского и В.В.Панасюка [8] , М.П.Саврука [63] , Е.М.Морозова и Г.П.Никишкова [4l] , ,Н.Ф.Морозова [43] , А.Н.Гузя и др. [Г?] , В.М.Мирсалимова [Зб] , в
_ 4 -
отдельных главах монографии Н.И.Мусхелишвили [45], Л.И.Седова [64], Г.Н.Савина [60], а также в ряде обзорных статей Блума [76], Г.И.Баренблатта М , Ирвина, Уэллса [88] , П.Париса, Дж.Си [57] , Д.Д.Ивлева [21] , Г.Н.Савина, Б.В.Панасюка [бі], Г.П.Черепанова [79], Е.М.Морозова, Я.Б.Фридмана [42], Си, Либовица [бб], Раиса [59] , В.З.Партона, Г.П.Черепанова [54], Р.СКита [28], В.В.Новожилова [48] , П.М.Витвицкого, Б.В.Панасюка, С.Я .Ярема [її] и других.
Значительный интерес представляют вопросы торможения трещины.
Существует ряд технологических приемов, позволяющих предот -
вратить катастрофическое развитие трещины и разрушения конструк -ций [70]. Одним из таких методов является подкрепление конструкций (пластинки) ребрами жесткости. Кроме того, многие применяемые конструкции изготавливаются из пластин, подкрепленных ребрами жест -кости или сдвоенных пластин. Накладываемые пластины часто конструируют как ограничители на пути развития трещины.
Поэтому решение задач теории упругости и пластичности для пластинок с трещинами, усиленных подкрепляющими ребрами жесткости, представляет большой теоретический и практический интерес.
В диссертации рассматриваются некоторые задачи конструкционного торможения трещины в тонких пластинах с помощью создания барьеров на пути трещины. Таким барьером служит усиление пластины приклепанными ребрами жесткости (стрингерами).
Остановимся кратко на некоторых основных результатах исследований по этой проблеме. Для обеспечения достаточной прочности листовых конструкций их обычно изготавливают из тонких пластин,усиленных приклепанными ребрами жесткости. Примерами подобных кон -струкций являются обшивки крыльев и фюзеляжа летательных аппаратов.
Исследованием влияния подкрепляющих ребер жесткости на рас -пространение трещины занимались Ромуальди и Сандерс [95], Е.А.Морозова и В.З.Партон [39] , Сандерс [9б] , Грейф и Сандерс [іб] ,
Блум и Сандерс [75]. Наиболее интересными являются работы [95,39] , в которых рассматривается бесконечная упругая плоскость с одной прямолинейной трещиной. Действие приклепанных подкрепляющих ре -бер заменяется четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок. Установлено, что заклепки уменьшают деформацию растягиваемой пластины в направлении, ортогональном трещине, и в связи с этим уменьшается коэффициент интенсивности напряжений в конце трещины. Степень влияния тормозного барьера (ребра жесткости) зависит от соотношения размеров трещины и рас -стояния между заклепками. При достаточном частом расположении заклепок действие подкрепляющих ребер сказывается в появлении нового качественного эффекта-стабилизации роста трещины. Вопрос о влиянии на.разрушение, оказываемом приклепанными ребрами жесткости, получил дальнейшее развитие в работах Г.П.Черепанова и В.М.Мирса-лимова [72] , Влит ера [98,99] , Поу [93,94] .
Мосборг, Холл и Мунс [9l] приводят описание экспериментов по торможению трещин приклепанными стрингерами. Крегером и Лью [82] были проведены теоретические и экспериментальные работы по торможению трещины на больших алюминиевых панелях. На алюминиевую пластину наносили стопоры в виде тонких приклепанных полосок из алюминия, стали, нержавеющей стали и титана, причем на каждую пластину наносили по семь рядов таких усилителей, удаленных друг от друга на 14-15 см. Начальная трещина создавалась усталостным испытанием и подводилась к стрингеру. После этого нагружение производилось статическим растяжением до разрушения. После упругих напряжений фиксировали тензометрически в области взаимодействия трещина-ребро жесткости, а также фотографировали расположение и размер трещины в различные моменты времени.
В работе [8б] исследовано динамическое влияние мгновенного разрыва пластины со стрингером на коэффициент концентрации напряжений в кончике трещины. Было найдено, что максимум динамического
коэффициента концентрации напряжений на 27% превосходит его статическое значение.
В работе [їв] найдено поле напряжений в бесконечной пластине с трещиной конечной длины при наличии двух симметрично расположенных стрингеров, одним концом выходящих на контур трещины. При этом предполагалось, что линия трещины пернендикулярна к осевой линии стрингеров и пластина на бесконечности подвергается равномерному растяжению. Как показано в работе [i], автор работы [18] при вычислении соответствующего комплексного потенциала допустил неточность, которая затем повлияла на структуру разрешающего интегрального уравнения. К.Л.Агаян в работе [і] исследовал контактную задачу о передаче нагрузки к бесконечной пластине с трещиной конечной длины, подкрепленной четырьмя симметрично расположенными упругими стрингерами конечной одинаковой длины. Изучены закономерности изменения контактных напряжений в зависимости от физических и геометрических параметров задачи. В работах [19,24] рассматривались задачи о взаимодействии стрингера и кругового отверстия. Задачи сводились к сингулярному интегральному уравнению первого рода, допускающему приближенное решение. И.Д.Суздальницкий [67] решил задачу теории упругости для пластины с периодической системой трещин,расположенных вдоль прямой, и усиленных периодической системой ребер жесткости, направленных перпендикулярно этой прямой. Пластина подвергается растяжению, направленному перпендикулярно линии тре -щин. Задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В работе [12] исследовано взаимное влияние периодической системы круговых отверстий, расположенных вдоль прямой, и периодической системы стрингеров, перпендикулярных к этой прямой. В статье [36] рассматривается бесконечная упругая изотропная плоскость, ослабленная круговым отверстием с двумя равными прямолинейными трещинами, исходящими из контура отверстия. Плоскость подкреплена двумя ребрами жесткости, направленными перпендикулярно к
линии распространения трещин. Исследуется взаимное влияние кругового отверстия, исходящих трещин и ребер жесткости в случае, когда плоскость подвергается растяжению, направленному перпендикулярно к линии развития трещин.
В.Н.Максименко [зз] построил общую систему сингулярных интегральных уравнений для упругой анизотропной пластины, ослабленной конечным числом криволинейных разрезов, берега которых нагружены самоуравновешенными внешними усилиями, и подкрепленной конечным числом ребер. В этой же работе приводится прямой алгоритм численного ре -шения.
Отметим также работу [74] , посвященную задаче о влиянии ребер жесткости на распределение напряжений в изотропной пластине с прямолинейной трещиной.
В работах [55,84,85] проведено исследование относительно нового способа локализации разрушения системой внешних напряжений сжатия, приложенных к плоским телам в поперечном (по толщине) направлении на пути развития трещины. В работе [55] из совместного решения задач теории упругости о растяжении пластины с центральной прямолинейной трещиной и задачи о локальном сжатии поперечной силой бесконечной пластины с трещиной получены соотношения, позволяющие провести расчет минимальной величины сжимающих напряжений, обеспечивающих остановку трещины при идеально мягком и идеально жестком нагружениях пластины растягивающей нагрузкой.
Уместно здесь же отметить, что изучению усилий, передаваемых пластинке (без трещин) через ребро жесткости, было уделено должное внимание советских и зарубежных ученых области теории упругости. Среди этих работ отметим исследования: Мелан [90] , Бюель [78] ,Броун [77] , Койтер [89], М.П.Шереметьев [73] , Г.Н.Савин, Н.П.Флейшман [62] , Н.Х.Арутюнян [б], Морарь Г.А., Попов Г.Я. [37] , Муки, Стернберг [44] , В.М.Толкачев [б8] , А.И.Каландия [24,25] , а также монографии В.М.Александрова, С.М.Мхитаряна [2] и Г.Я.Попо- '
ва [бб] , В.С.Саркисяна [бз].
данная диссертационная работа посвящена вопросам разрушения пластин, ослабленных трещинами и усиленных ребрами жесткости.
Цель работы состоит в исследовании напряженно-деформированного состояния тонкой пластины, ослабленной трещинами и усиленной ребрами жесткости; установлении влияния ребер жесткости на развитие трещины.
Достоверность полученных результатов обеспечивается математической корректностью поставленных задач; получением результатов строгими аналитическими методами; результатами численных расчетов, которые производились на ЭЦВМ "БЭСМ-6" программами на языке "Фор-тран-4".
Научная новизна. Решен новый класс плоских задач упругости и пластичности с неизвестной границей. Исследовано влияние подкрепленных ребер жесткости на развитие трещин. Получены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений, размеров зоны контакта берегов трещин, длин полос пластичности от приложенной нагрузки,взаимного расположения трещин и ребер жесткости.
Практическая значимость работы определяется широким кругом отмеченных выше практических приложении, а также тем, что большинство научных результатов в работе представлено в виде аналитических формул, таблиц, систем алгебраических уравнений и доведены до программ расчета на ЭЦВМ, что позволяет их непосредственно использовать в инженерных расчетах прочности и долговечности элементов конструкций.
Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, приложения и списка литературы.
Во введении излагается актуальность рассматриваемой проблемы и дан краткий обзор работ по теме исследуемых задач.
В первой главе приводятся необходимые сведения из теории уп-ругости и теории сингулярных интегральных уравнений, используемые
_ 9 -
в дальнейшем.
Во второй главе изучается влияние ребер жесткости на развитие одиночной прямолинейной трещины с взаимодействующими берегами. Эта глава состоит из пяти параграфов, В 3 дана постановка задачи для пластины, усиленной ребрами жесткости, когда берега трещины на некотором заранее неизвестном участке войдут в контакт. Задача состоит в определении контактных напряжений на участках контакта между берегами трещины, величины сосредоточенных сил Р, размеров зоны контакта, а также напряженно-деформированного состояния пластины.
В 4 методом Мусхелишвили получено точное решение краевой задачи (потенциалы 4^( nfl(Z) ), выраженные через контактное напряжение и величину сосредоточенных сил Р.
В 5 для определения контактных напряжений получено сингу -лярное интегральное уравнение. Для определения размера зоны контакта используется условие ограниченности напряжений при X^i'X , где Л параметр, характеризующий длину зоны контакта.
В 6 величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от приложенной нагрузки, а также от упругих и геометрических характеристик системы. При этом применяется метод "склеивания"двух асимптотик искомого решения.
В 7 получено решение сингулярного интегрального уравнения . С помощью квадратурных формул Гаусса интегральное уравнение заменено системой алгебраических уравнений. Из-за неизвестного параметра J[ система оказалась нелинейной. Изложены два способа её решения. Приведены результаты расчета на ЭЦВМ БЭСМ-6 программами на языке "Фортран-4".
В третьей главе рассмотрены некоторые задачи о взаимодействии двух равных коллинеарных трещин в пластине, усиленных ребрами жесткости.
В первых двух параграфах этой главы рассмотрена упругая изо-
тройная пластина с двумя равными коллинеарными трещинами. Берега трещин свободны от внешних нагрузок. Пластина подкреплена ребрами жесткости, а на бесконечности подвержена однородному растягивающему напряжению Do.
В 9 рассмотренная задача теории упругости сведена к задаче линейного сопряжения, для которой получено точное решение.
В 10 решение этой упругой задачи получено другим методом, сущность которого в построении в явной форме потенциалов Колосова-Мусхелишвили, соответствующих неизвестным смещениям вдоль контура трещин. Удовлетворяя граничным условиям.решение задачи сводится к сингулярному интегральному уравнению. Затем сингулярное интег -ральное уравнение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений без промежуточного этапа приведения его к уравнению Фредгольма. Приводится процедура нахождения коэффициентов интен -сивности напряжений. Величина сосредоточенных сил, заменяющих действие приклепанных подкрепляющих ребер жесткости, найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжений для внутренних и внешних концевых точек трещин в зависимости от геометрических параметров задачи. Показано, что при некоторых вполне определенных условиях существует устойчивый этап развития трещин.
В 12 рассмотрена задача для упругой изотропной пластина с двумя равными коллинеарными трещинами, когда берега трещин взаимодействуют между собой. Задача состоит в определении контактных напряжений на участках контакта между берегами трещин, величины сосредоточенных сил Р, размеров зон контакта, а также напряженно-деформированного состояния. Для определения потенциалов 4(Z) и
1 (Z) получена задача линейного сопряжения, для которой построено точное решение. Удовлетворяя условиям в зоне контакта для определения неизвестных контактных напряжений получено сингулярное интегральное уравнение. Условие-ограниченности контактных напряже-
- II -
ний при Х = ± Л служит для определения неизвестного параметра
Л , характеризующего границу области контакта между берегами трещины. Затем сингулярное интегральное уравнение сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений (из-за неизвестного параметра А ). Величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи.
В 13 рассмотрена упруго-пластическая задача для однородной изотропной пластины с двумя равными коллинеарными трещинами. Берега трещин свободны от внешних нагрузок. Пластина подкреплена ребрами жесткости, а на бесконечности подвержена однородному растягивающему напряжению би^бо. Действие приклепанных подкрепляющих ребер жесткости схематизируется четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок.
Рассматривается задача о начальном развитии пластических деформаций в окрестности концов трещин. Принято, что пластические деформации сосредоточены вдоль некоторых линий скольжения, исходящих из концевых вершин трещин.
Считается, что материал пластины является идеальным упруго-пластическим, удовлетворяющим условию Треска-Сен-Венана.
Для комплексных потенциалов Я^(Н) и \ (Н.) записана задача линейного сопряжения, для которой приводится точное решение в классе всюду ограниченных функций.
Получены условия для определения размеров пластических зон. Эта же задача решается методом построения в явной форме потенциалов Колосова-Мусхелишвили, соответствующих неизвестным смещениям вдоль контура трещин и пластических линий скольжения. Удовлетво -ряя граничным условиям решение задачи сводится к сингулярному интегральному уравнению. Затем сингулярное уравнение задачи сводится к системе нелинейных уравнений (из-за неизвестных параметров С иСІ» характеризующих размеры пластических зон), без промежуточного этапа приведения его к уравнению Фредеольма.
Величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи.
Найдены зависимости длин полос пластичности от приложенной, нагрузки, взаимного расположения трещин и ребер жесткости, а также предела текучести материала.
В 14 исследуется критическое состояние упруго-пластической пластины с двумя равными коллинеарными трещинами, когда пластина усилена ребрами жесткости. Используя критерий критического раскрытия трещины, получена зависимость для определения предельных значений нагрузок Оо, вызывающих рост трещин.
В диссертации используются методы, разработанные в классических монографиях Н.И.Мусхелишвили [45,4б] и Ф.Д.Гахова [l5] .
- ІЗ -
Прямой метод решения сингулярного интегрального уравнения первого рода
Во второй главе изучается влияние ребер жесткости на развитие одиночной прямолинейной трещины с взаимодействующими берегами. Эта глава состоит из пяти параграфов, В 3 дана постановка задачи для пластины, усиленной ребрами жесткости, когда берега трещины на некотором заранее неизвестном участке войдут в контакт. Задача состоит в определении контактных напряжений на участках контакта между берегами трещины, величины сосредоточенных сил Р, размеров зоны контакта, а также напряженно-деформированного состояния пластины.
В 4 методом Мусхелишвили получено точное решение краевой задачи (потенциалы 4 ( nfl(Z) ), выраженные через контактное напряжение и величину сосредоточенных сил Р. В 5 для определения контактных напряжений получено сингу -лярное интегральное уравнение. Для определения размера зоны контакта используется условие ограниченности напряжений при X i X , где Л параметр, характеризующий длину зоны контакта. В 6 величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от приложенной нагрузки, а также от упругих и геометрических характеристик системы. При этом применяется метод "склеивания"двух асимптотик искомого решения. В 7 получено решение сингулярного интегрального уравнения . С помощью квадратурных формул Гаусса интегральное уравнение заменено системой алгебраических уравнений. Из-за неизвестного параметра J[ система оказалась нелинейной. Изложены два способа её решения. Приведены результаты расчета на ЭЦВМ БЭСМ-6 программами на языке "Фортран-4". В третьей главе рассмотрены некоторые задачи о взаимодействии двух равных коллинеарных трещин в пластине, усиленных ребрами жесткости. В первых двух параграфах этой главы рассмотрена упругая изотройная пластина с двумя равными коллинеарными трещинами. Берега трещин свободны от внешних нагрузок. Пластина подкреплена ребрами жесткости, а на бесконечности подвержена однородному растягивающему напряжению Do. В 9 рассмотренная задача теории упругости сведена к задаче линейного сопряжения, для которой получено точное решение. В 10 решение этой упругой задачи получено другим методом, сущность которого в построении в явной форме потенциалов Колосова-Мусхелишвили, соответствующих неизвестным смещениям вдоль контура трещин. Удовлетворяя граничным условиям.решение задачи сводится к сингулярному интегральному уравнению. Затем сингулярное интег -ральное уравнение задачи сводится к системе линейных алгебраических уравнений без промежуточного этапа приведения его к уравнению Фредгольма. Приводится процедура нахождения коэффициентов интен -сивности напряжений. Величина сосредоточенных сил, заменяющих действие приклепанных подкрепляющих ребер жесткости, найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжений для внутренних и внешних концевых точек трещин в зависимости от геометрических параметров задачи. Показано, что при некоторых вполне определенных условиях существует устойчивый этап развития трещин. В 12 рассмотрена задача для упругой изотропной пластина с двумя равными коллинеарными трещинами, когда берега трещин взаимодействуют между собой. Задача состоит в определении контактных напряжений на участках контакта между берегами трещин, величины сосредоточенных сил Р, размеров зон контакта, а также напряженно-деформированного состояния. Для определения потенциалов 4(Z) и Получена задача линейного сопряжения, для которой построено точное решение. Удовлетворяя условиям в зоне контакта для определения неизвестных контактных напряжений получено сингулярное интегральное уравнение. Условие-ограниченности контактных напряжений при Х = ± Л служит для определения неизвестного параметра Л , характеризующего границу области контакта между берегами трещины. Затем сингулярное интегральное уравнение сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений (из-за неизвестного параметра А ). Величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. В 13 рассмотрена упруго-пластическая задача для однородной изотропной пластины с двумя равными коллинеарными трещинами. Берега трещин свободны от внешних нагрузок. Пластина подкреплена ребрами жесткости, а на бесконечности подвержена однородному растягивающему напряжению би бо. Действие приклепанных подкрепляющих ребер жесткости схематизируется четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок. Рассматривается задача о начальном развитии пластических деформаций в окрестности концов трещин. Принято, что пластические деформации сосредоточены вдоль некоторых линий скольжения, исходящих из концевых вершин трещин. Считается, что материал пластины является идеальным упруго-пластическим, удовлетворяющим условию Треска-Сен-Венана. Для комплексных потенциалов Я (Н) и \ (Н.) записана задача линейного сопряжения, для которой приводится точное решение в классе всюду ограниченных функций.
Определение контактных напряжений
В этом случае зависимость длины подвижно-равновесной трещины от внешней нагрузки вновь будет определяться соотношением (3,37),однако с тем различием, что для нахождения коэффициентов интенсивности напряжений (3,35)-(3,36) нужно воспользоваться решением сингулярного интегрального уравнения (3,22), в правой части которого вместо величины сил Р подставлено соотношение (3.38),
Для пластины с трещиной, усиленной подкрепляющими ребрами жесткости, имеет место зависимость длины подвижно-равновесной трещины [ от внешней нагрузки I (t),Q,Oo,P ), определяемая формулой (3.37), где
Здесь И , 12 - величины сил, действующих на каждую заклепку со .стороны ребра жесткости, определяемые по формулам (3.26), (3.38) соответственно. Для численной реализации изложенного способа были выполнены расчеты на ЭЦВМ "БЭСМ-6" программами на алгоритмическом языке фортран. Следует отметить, что решение алгебраической системы (3.31)--(3.32), вообще говоря, неустойчиво. Чтобы сделать его устойчивым, необходимо присоединить дополнительное условие (3.21), вытекающее из физического смысла задачи. В дискретной форме это условие имеет вид Следовательно, при решении сингулярного уравнения (3.29) в классе (3.30) к системе(З.ЗІ) с матрицей (3.32) следует присоединить уравнение (3.39). Для того, чтобы число уравнений в системе было согласовано с количеством неизвестных, следует в системе (3.31), полученной вместо интегрального уравнения (3.29), пропустить какое-либо одно значение m . Полученная система решалась методом Гаусса с выбором главного элемента. Система уравнений решалась для равных значений порядка П до П =60. На ЭИВМ определялись значения коэффициентов интенсивности напряжений в зависимости от геометрических параметров задачи при В случае СХ 0 для коэффициента интенсивности напряжений имеем В таблицах 1-3 приводятся результаты расчетов функций П (Q, ,6,6 ) и Fe (а, Ь, ) при изменении расстояния Ь (длины трещины), при этом левый конец был фиксирован ( 01=1,0в табл. I, а в табл.2 размер Ct был принят равным 0,5). В таблице 3 приводятся результаты расчета, когда перемычка между трещинами разрушена, т.е. 0=0. Как и следовало ожидать, значения предельной нагрузки для внутренних вершин трещин всегда меньше, чем для внешних, т.е. развитие двух коллинеарных трещин сначала происходит навстречу друг другу. На основании результатов расчета можно сделать некоторые выводы. Как известно, трещина устойчива, если напряжение бо»необ-ходимое для её поддержания в подвижно-равновесном состоянии,возрастает с увеличением длины трещины. Условием устойчивого роста трещины является Анализ показал, что рост трещины нормального разрыва вначале происходит неустойчиво (величина ICi возрастает), а затем, когда трещина приближается к ребру жесткости (зоне сжимающих напряже -ний), становится устойчивым. При большом удалении вершины трещины от ребра жесткости уменьшение интенсивности напряжений при вершине трещины невелико, поэтому эффективность ребер жесткости, как элемента конструкции, воспринимающего часть нагрузки, действующей на пластину, уменьшается. При приближении вершины трещины к ребру жесткости это уменьшение становится все более весомым и достигает наибольшего значения, когда трещина непосредственно пересекает линию ребра жесткое ти. При дальнейшем росте трещины влияние подкрепляющего элемента вновь уменьшается. В то же время уменьшение коэффициента интенсивности напряжений сохраняется, поскольку ребро жесткости стремится закрыть трещину. Степень уменьшения тем больше, чем выше жесткость подкрепляю- щего элемента и чем ближе расположены заклепки между собой. Основываясь на полученных результатах, можно считать, что приклепанные подкрепляющие ребра жесткости могут служить весьма эффективным средством, задерживающим развитие трещины и позволяющем значительно продлить срок эксплуатации конструкции.
Решение сингулярного интегрального уравнения
В рассматриваемой задаче величина г определяется с помощью формул (3,26). С помощью формулы (3.26), окончательно, сингулярное уравнение примет вид Величины С и ОІ , характеризующие длину полос пластичности, войдут в решение уравнения (3.75) как неизвестные параметры, подлежащие определению.
Так как напряжения в идеальном упруго-пластическом материале ограничены, то решение сингулярного интегрального уравнения (3.75) будем искать в классе всюду ограниченных функций (напряжений). Условия ограниченности напряжений в концах Х=-С и Х="С1 служат для определения параметра С и ОІ » зная которые, можно найти длину пластических зон. Для удобства сохраним схему решения сингулярного интегрального уравнения (3.29), изложенную в параграфе 10. Это значит, что при решении уравнения (3.75) в классе (3.30) к системе (3.31) следует добавить два уравнения обеспечивающие конечность напряжений в точках х=С и х=-СІ« В рассматриваемом случае, в отличив от (3.33)
Уравнения (3.76) совместно с системой (3.31)-(3.32) составляют замкнутую систему для определения всех неизвестных задачи. Из-за неизвестных параметров С и d система (3.31)-(3.32) и (3.76) оказалась нелинейной и её решение наталкивается на большие математические трудности.
Рассмотрим случай, когда внутренние полосы пластичности соединяются, т.е. когда С=0» В этом случае второе уравнение (3.76) позволяет определить внешнюю нагрузку Oot при которой происходит соединение внутренних полос пластичности. Для решения нелинейной системы (3.31), (3.76) в этом случае целесообразно использовать метод последовательных приближений.Решаем систему (3.31) и второе уравнение (3.76) при некотором определенном значении параметра 0( относительно п+ м неизвестных R » Рг »» Ра , Оо» Напомним, что эти неизвестные входят в систему уравнений линейным образом. Значение параметра OL и найденные величины подставляются в первое уравнение (3.76) (в неиспользованное уравнение системы (3.31),(3,76)). Взятое значение параметра и. и соответствующее ему значения Рх, 1 ,...,Ра ,Оо не бУДУт» вообще говоря, удовлетворять неиспользованному уравнению системы (3.31),(3.76)«Поэтому, подбирая новые значения параметра d » будеи многократно повторять вычисления до тех пор, пока последнее уравнение системы (3.31),(3.76) не будет удовлетворяться с наперед заданной точностью. Рассмотрим теперь общий случай, т.е. когда С 0. В этом случае проще считать заданным параметр С (или Q. )» а находить нагрузку Do t действующую на пластину. Последовательность решения нелинейной системы (3.31),(3.76) в этом случав аналогична рассмотренному выше. После нахождения из алгебраической системы (3.31),(3.76) величин Рк , приближенных значений функции R (i }в узлах (3.33), а также параметров С и 0І , с помощью формул (1.26) и (3.30) найдем искомую функцию Р ), а тен самым Q.(X)« Зная функцию Q(X/можно найти напряженно-деформированное состояние пластины, усиленной ребрами жесткости. На рис.5 представлены результаты расчетов зависимости параметра длины полосы пластичности от величины внешней нагрузки Oo/Og для различных значений длин трещин. Для определения критического состояния равновесия пластины из упруго-пластического материала с двумя равными коллинеарными трещинами нормального разрыва используем в качестве критерия хрушсого разрушения критерий критического раскрытия трещины (КРТ). Критерий критического раскрытия трещины гласит, что трещина начнет свой рост как только её раскрытие в вершине достигнет предельного (для данного материала при заданных условиях) значения с.
Случай,когда берега трещины взаимодействуют между собой
Рассмотрим теперь общий случай, т.е. когда С 0. В этом случае проще считать заданным параметр С (или Q. )» а находить нагрузку Do t действующую на пластину. Последовательность решения нелинейной системы (3.31),(3.76) в этом случав аналогична рассмотренному выше. После нахождения из алгебраической системы (3.31),(3.76) величин Рк , приближенных значений функции R (i }в узлах (3.33), а также параметров С и 0І , с помощью формул (1.26) и (3.30) найдем искомую функцию Р ), а тен самым Q.(X)« Зная функцию Q(X/можно найти напряженно-деформированное состояние пластины, усиленной ребрами жесткости. На рис.5 представлены результаты расчетов зависимости параметра длины полосы пластичности от величины внешней нагрузки Oo/Og для различных значений длин трещин.
Для определения критического состояния равновесия пластины из упруго-пластического материала с двумя равными коллинеарными трещинами нормального разрыва используем в качестве критерия хрушсого разрушения критерий критического раскрытия трещины (КРТ). Критерий критического раскрытия трещины гласит, что трещина начнет свой рост как только её раскрытие в вершине достигнет предельного (для данного материала при заданных условиях) значения нагрузок О t при которых распространение трещин будет прохо дить навстречу друг другу путем разрушения перемычки. А второе уравнение (3.81) определяет предельные значения внешних нагрузок QQ , при которых распространение трещин будет происходить в направлении внешних концов трещин.
Совместное решение нелинейной системы (3,31),(3,76) и одного из уравнений (3,81) (смотря какая из предельных нагрузок Оо или О о нас интересует) позволяет определить критическую зависимость бо (О.) или О о (р), размеры пластических зон и значения искомой функцииР{ , Pg, ,..., Ра При этом в одном из выбранных уравнений (3,81) интеграл заменяется квадратурной формулой с заранее предписанными узлами. Естественно воспользоваться при вычислении интеграла (3,81) теми точками, в которых известны значения функции j(x), т.е. узлами (3,33), которые использовались при замене сингулярного интегрального уравнения системой алгебраических уравнений.
На основе анализа результатов научных исследований, выполненных в диссертационной работе, можно сделать следующие выводы относительно деформирования пластин, ослабленных трещинами и усиленных подкрепляющими ребрами жесткости. 1. Показано, что при определенном соотношении геометрических параметров (соотношение длины трещины, расстояние между ребрами жесткости и расстояние между заклепками) пластины, усиленной ребрами жесткости, возникают зоны сжимающих напряжений, в которых берега трещины входят в контакт. 2. Для всех рассмотренных задач произведена алгебраизация решения. Построены системы алгебраических уравнений. Из-за неизвестных параметров (размеры зоны контакта берегов трещины, длины подвижно равновесной трещины, длины полос пластичности) система уравнения оказалась нелинейной. 3. Показано, что при некоторых вполне определенных условиях (соотношение длины трещины, расстояние между ребрами жесткости и расстояние между заклепками) существует устойчивый этап развития трещины. Сделана оценка влияния взаимного расположения трещин,ребер жесткости и заклепок на критерий роста трещин. 4. Решена задача о развитии начальных пластических деформаций в концевых вершинах трещины. Получены соотношения для размера пластической зоны и для раскрытия трещин в её конце в зависимости от приложенной нагрузки, взаимного расположения трещин, ребер жесткости и заклепок,предела текучести материала. Полученные результаты имеют важное значение для построения докритических диаграмм разрушения. - 94 5. Получено предельное условие на контуре трещины нормального разрыва в упруго- пластической пластине, усиленной ребрами жесткости, 6. Найдены коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от приложенной нагрузки, взаимного расположения трещин, заклепок и ребер жесткости. Эти результаты могут быть использованы для анализа докритического роста трещин в упруг о-плаотических и вязко-упругих телах.
