Содержание к диссертации
Введение
1. Линейные задачи деформирования балок из пористых материалов под силовым и температурным воздействиями 11
1.1 Пористые материалы. Определение пористости. Классификация пор 11
1.2 Моделирование физико-механических характеристик материалов при линейных законах деформирования 14
1.3 Влияние одноосного нагружения на геометрию цилиндрической поры. Примеры расчета 25
1.4 Анализ напряженного состояния пористой балки-пластины в конструкционно-связанной задаче чистого изгиба. Пример расчета 34
1.5 Конструкционно-связанная задача термоупругости пористой балки-пластины при пористом охлаждении. Примеры расчета 41
1.6 Выводы по первому разделу 47
2. Напряженно-деформированное состояние пластин пористой структуры под силовым и температурным воздействиями 48
2.1 Влияние двухосного нагр ужения на геометрию цилиндрической поры. Примеры расчета 48
2.2 Постановка конструкционно-связанной задачи термоупругости круглой пластины нагреваемой источником тепла 50
2.3 Анализ напряженно-деформируемого состояния круглой керамической пластины нагреваемой источником тепла 53
2.4 Постановка конструкционно-связанной задачи термоупругости квадратной пластины нагреваемой источником тепла 62
2.5 Анализ напряженно-деформируемого состояния квадратной керамической пластинки нагреваемой источником тепла 65
2.6 Выводы по второму разделу з
3. Напряженно-деформированное состояние балок и пластин при нелинейных законах деформирования материала под силовым и температурным воздействиями 76
3.1 Законы нелинейного деформирования материалов пористой структуры 76
3.2 Диаграммы деформирования и их аппроксимация при малых нелинейных деформациях 78
3.3 Аппроксимация диаграммы деформирования при больших нелинейных деформациях 82
3.4 Влияние одноосного нагружения на пористость при физически и геометрически нелинейном законе деформирования 85
3.5 Влияние двухосного нагружения на пористость при физически и геометрически нелинейном законе деформирования 90
3.6 Постановка задачи чистого изгиба балки-пластины из нелинейно-деформируемого материала пористой структуры 92
3.7 Пример расчета чистого изгиба балки-пластины из нелинейно-деформируемого материала пористой структуры 97
3.8 Постановка задачи чистого изгиба круглой пластины из нелинейно-деформируемого материала пористой структуры 99
3.9 Пример расчета пористой нелинейно-деформируемой круглой пластины в конструкционно-связанной задаче чистого изгиба 102
3.10 Конструкционно-связанная задача термоупругости пористой нелинейно-деформируемой балки-пластины 107
3.11 Напряженно-деформированное состояние пористой балки-пластины в конструкционно-связанной задаче термопластичности при больших нелинейных деформациях 111
3.12 Конструкционно-связанная задача термоупругости пористой нелинейно-деформируемой пластины 131
3.13 Напряженно-деформированное состояние пористой круглой пластины в конструкционно-связанной задаче термоупругости при больших нелинейных деформациях 138 3.14 Выводы по третьему разделу 161
Заключение 162
Основные обозначения 163
Список литературы
- Влияние одноосного нагружения на геометрию цилиндрической поры. Примеры расчета
- Конструкционно-связанная задача термоупругости пористой балки-пластины при пористом охлаждении. Примеры расчета
- Постановка конструкционно-связанной задачи термоупругости круглой пластины нагреваемой источником тепла
- Влияние одноосного нагружения на пористость при физически и геометрически нелинейном законе деформирования
Влияние одноосного нагружения на геометрию цилиндрической поры. Примеры расчета
Известно, что увеличение (уменьшение) пористости приводит к существенному изменению физико-механических свойств материала [15]. Вводя в расчетную схему измененные от пористости упругие характеристики можно вести оценку НДС конструкции с позиции механики сплошных неоднородных сред.
Подавляющее большинство исследований НДС пористых материалов основано на линейной теории упругости, когда пористость считается не зависящей от напряжений. Такой подход оправдан в случае относительно малых изменений размеров пор, т.е. при соблюдении принципа начальных размеров для поры. Однако в случае весьма малых (капиллярных) пор изменение их размеров под нагрузкой может стать соизмеримым с их начальными размерами. То есть задача теории упругости становится геометрически нелинейной и конструкционно-связанной, когда НДС зависит от размеров пор, а размеры пор обратно зависят от НДС конструкции.
Очевидно, что решение таких задач должно вестись по схеме последовательных приближений. Здесь мы пренебрегаем изменением генеральных размеров всего тела. Рассмотрим тонкую пластинку пронизанную капиллярными цилиндрическими порами (классическая пористость) при одноосном нагружении на рисунках 1.7, 1.8.
Круглая пора до нагружения Рис Р8. Пора после нагружения После нагружения первично круглая пора станет эллиптической. Размеры полуосей до нагружения равны а=Ь=ао при оу=0. При нагружении пластины равномерной нагрузкой, в пластине возникают напряжения (Уж = п=const, сг00 =о" =0 После нагружения в случае малых деформаций, следуя линейной теории упругости [27] изменение малой и большой полуоси будут равны:
В качестве иллюстрации выше изложенной теории рассмотрим вариант нагружения пластины пронизанной капиллярными цилиндрическими каналами при одноосном растяжении-сжатии.
К подобной схеме может быть сведена задача об оценке НДС балки-пластины выполненной из пористого материала при нагружении ее изгибающим моментом (рис. 1.7). Балка-пластина нагруженная Рис. 1.8. Фрагмент капиллярной поры изгибающим моментом балки-пластины при одноосном нагружении Пористость принимаем сквозной в форме цилиндрических капиллярных каналов. Такого рода балки-пластины встречаются как элементы конструкций энергетического оборудования: керамических насадок газовых горелок, охлаждаемых токонесущих шин, выполняемых в виде набора из отдельных пластин и др.
Для оценки зависимости пористости от напряжения поступаем следующим образом. Разобьём балку по высоте сечений на большое число тонких пластинок (рис.1.8.), изменением напряжений по толщине которых пренебрежём, и рассмотрим деформацию единичной поры.
Пусть радиус круглой поры до нагружения будет равен а. После нагружения круглой поры превратится в эллиптическую с полуосями а, в .
В случае малых деформаций, следуя [27] получены новые размеры поры после нагружения (1.12):
Из предоставленных на (рис. 1.9) графиков видно, что при положительных напряжениях пористость растёт, а при отрицательных - уменьшается. Применим полученные результаты собственно к задаче чистого изгиба бруса с цилиндрическими порами. Представим брус в виде многослойной конструкции из п слоев в общем случае неоднородным по высоте сечения с модулем упругости Е=Е(у). В пределах каждого слоя считаем модуль упругости постоянным. Для пористого материала модуль Юнга является функцией пористости Е=Е(р) чаще представляемой в виде полинома [15] Eip)= ЕоО- lP + 2Р2) (1.14) где ах,а2- экспериментально определяемые коэффициенты. Поскольку пористость материала является функцией напряжения р=р(о), то мы получаем связанную задачу, когда модуль упругости также зависит от напряжений. К решению задачи об определении НДС бруса подходим с позиции метода последовательных приближений:
На первом приближении примем пористость по высоте бруса неизменной, момент инерции сплошного сечения, у - координата, отсчитываемая от центра тяжести сечения, М - изгибающий момент. Найденные по формуле (1.15) напряжения подставляются в формулу (1.13) и далее определяют новый модулю упругости по формуле (1.14). Получаем модуль Юнга уже как функцию координаты у». Следуя [20] находим положение нейтрального слоя при изгибе (рис. 1.15). Схема для определения нейтрального слоя На рисунке 1.10 показана балка высотой h и шириной b под воздействием изгибающего момента М, где радиус кривизны нейтрального слоя равен р, находящийся на расстоянии от верха крайних волокон на ,h.
Аппроксимированная кривая зависимости предела текучести стали и временного сопротивления керамики от пористости Расчет проводится для двух приближений: первого (с начальной пористостью) и второго (учета зависимости пористости от НДС). Дается сравнение решения с НДС сплошного бруса.
Известно, что увеличение (уменьшение) пористости приводит к существенному изменению физико-механических свойств материала [15]. Вводя в расчетную схему измененные от пористости упругие характеристики можно вести оценку НДС конструкции с позиции механики сплошных неоднородных сред.
Рассмотрим, определение напряжений.
Закон изменения пористости от напряжений представлен на рис. 1.9 [47]. Соответственно на основании формулы (1.21) меняется жесткость бруса при изгибе и происходит смещение нейтральной линии в сторону сжатых волокон. Воспользуемся формулой (1.22) и определим напряжения в изгибаемом элементе.
Конструкционно-связанная задача термоупругости пористой балки-пластины при пористом охлаждении. Примеры расчета
Анализ результатов показывает, что при Р=0.45 и изгибающем моменте М=114,6(кНсм) учет зависимости пористости от НДС дает уточнение в напряжениях на первом приближении 0.50748% для растянутых волокон, а для сжатых 0.50370%, а во втором приближении 0.50750% для растянутых волокон, а для сжатых 0.50372%. Дальнейшее увеличение нагрузки (Р 0.45) или увеличение пористости с прежней нагрузкой приведёт к нелинейному характеру изменения напряжений, вследствие чего требует исследований изгиба балки по нелинейной теории упругости.
После анализа полученных данных можно сказать, что конструкционная связанность проявляется сильнее с увеличением пористости и уменьшением модуля упругости (см. приложение №1, таблицу №2 и №4). Вследствие этого можно утверждать, что материалы с малой жесткостью более подвержены связанности.
Таким образом представлено решение конструкционно-связанной задачи теории упругости для балки из пористого материала с учетом зависимости пористости от НДС бруса [48]. Численный анализ показал, что влияние пористости на НДС конструкции возрастает с ростом пористости и ограничивается прочностью (текучестью) материала. 7.5 Конструкционно-связанная задача термоупругости пористой балки-пластины при пористом охлаждении. Примеры расчета
Рассмотрим балку-пластину с капиллярной пористостью - керамическую газовую горелку, охлаждаемую потоком жидкости (газа) протекающим по капиллярным каналам. Температура среды равна t0, на внешних гранях задана температура , где ti - искомая температура. Следует найти напряженно-деформированное состояние балки-пластины в постановке конструкционно-связанной задачи. В несвязанной постановке аналогичная задача решалась в [25].
Для решения задач термоупругости используется принцип Сен-Венана освобождаемости от связей [38].
Представим, что брус защемлен с 2-х сторон. Осевые напряжения в брусе, за счет теплового расширения, будут равны: GCM - Массовая скорость газовоздушной смеси равная = 210 (кг/см2 ч). Сем - Теплоемкость смеси равная = 0,3489 Вт/(м К). кн - Теплопроводность материала системы равная = 2,085 (Вт/{м К}). t0 - Температура смеси удаленной в бесконечности = 20С. t2 - Температура огневой поверхности составляет = 800С. Е0 - Модуль Юнга кристаллов оксида алюминия равный - 390000 (МПа). Тн - Начальная температура бруса, принимаемая чаще всего за ноль. 1 =0.00014, к2=0, ai=L9, а2=0.9, Р=0.4 - Пористость системы (коэффициент живого сечения) зависящая от напряжений. Влияние нормальных напряжений на пористость изучено в работе [47] и представлено формулой: p = p.
Разобьем брус по высоте на п слоев постоянного сечения At с постоянным физико-механическими характеристиками по слою Ei=constans. Распределим продольную силу N по слоям, то есть N1+N2+... +N„=N.
Уравнение совместимости деформаций слоев заключается в равенстве их удлинений: АІі=АІ2= =Al„.
Формула (1.38) отображает состояние балки в случае, когда она шарнирно оперта. При наличии подвижной заделки (рис. 1.18.6), разрешающей осевое перемещение, но запрещающей поворот, в формуле (1.38) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки (рис. 1.18.а) в формуле (1.38) остается лишь первое слагаемое.
При расчете НДС используется схема последовательных приближений для конструкционной связанности задачи: решается задача термоупругости для фиксированной пористости в первом приближении. Вносятся коррективы в пористость в зависимости от полученных напряжений. Заново решается задача термоупругости для скорректированной пористости. Решение ограничилось двумя приближениями. Численные результаты расчетов напряжений приведены на рисунке 1.19.
В таблице №1 приложения №2 описаны все значения напряжений возникающих в балке-пластине (газовой керамической горелке) без конструкционной связанности и с учетом изменения пористости. Связанность в общем случае проявлялась по высоте балки-пластины до 1.884% и ограничилось выполнением двух приближений.
Выяснено, что связанность оказывает наибольшее влияние по схеме жесткой заделки балки-пластины, а наименьший эффект наблюдается при шарнирном опираний. 1.6 Выводы по первому разделу
В первом разделе дано определение пористости материала, причины её возникновения и получены решения конструкционно-связанных задач теории упругости и термоупругости в линейной постановке с учетом зависимости пористости от напряженного состояния.
Представлена зависимость изменения физико-механических характеристик материала от пористости в виде полиномов.
Представлено численное исследование и анализ напряженно-деформированного состояния балки-пластины прямоугольного сечения нагруженной изгибающим моментом, выполненной из двух различных пористых материалов - пористой керамики и пористого железа. Также было исследовано напряженно-деформированное состояние балки-пластины при пористом охлаждении. Показано, что учет зависимости пористости от напряженно-деформированного состояния в линейной постановке задачи дает не существенную поправку к решению поставленной задачи.
Постановка конструкционно-связанной задачи термоупругости круглой пластины нагреваемой источником тепла
Новая пористость для цилиндрической поры физически и геометрически нелинейного характера деформирования при одноосном нагружении определяется по формуле (3.13).
В нелинейной постановке (при геометрической и физической нелинейности) исходя из формулы (3.13) абсолютные значения размеры поры играют роль и принимались равными для ао=Ьо=0,1... 1 (мм).
Рассмотрим случай со сквозной порой диаметр которых равен 0,1мм. Сквозные отверстия равномерно распределены по поверхности, и количество их зависит от пористости.
В конструкционно-связанной задаче пористый материал при нелинейном характере деформирования ведет себя сложно. Для анализа будем использовать пошаговый метод нагружения. Зная кривые деформирования с различной пористостью [4, 5], мы можем получить зависимость изменения пористости от напряжения. Из этого следует, что при каждом шаге нагружения необходимо производить перерасчет диаграмм деформирования. Для цилиндрической поры при і-м шаге нагружения воспользуемся полученной формулой (3.13).
Каждый график функций напряженно-деформированного состояния пеноалюминия (график зависимости напряжений от относительной деформации) с постоянной, для каждого случая, пористостью нужно аппроксимировать и выявить зависимость изменения напряжений при изменённой пористости. Как утверждалось в работе [52] исходя из испытаний на растяжение образцов, численное значение относительной деформации образца єпр, при котором начинается текучесть материала, практически остается постоянной в широком диапазоне пористости. На основании этого можно получить зависимость в виде поправки к начальному напряжению и функция а - є будет иметь вид: at = т._! (е) (Л + Л Р, +A2-Pi2+A3- р? \ где Ао...Аз поправочные коэффициенты. Данный способ дает приемлемые результаты только в диапазоне пористости от 0.31 до 0.43. В подразделе №(3.3) будет описан более универсальный подход.
Согласно (3.3), (3.13) в конструкционно-связанной задаче (для растянутой зоне деформирования) можно получить графики изменения напряжений от относительной деформации с учетом изменения пористости для различных образцов, а также изменение пористости в зависимости от относительной деформации [30].
Сравнение кривых деформирования с постоянной пористостью и с изменяющейся (иными словами влияние конструкционной связанности), представлено на рисунке 3.5
Графики показывающие влияние учета связанности на изменение пористости и внутренних напряжений от деформации в Из графиков на рисунке 3.5 видно, что связанность проявляется сильнее в материале с большим показателем пористости. Чем существеннее нагрузка на образец и чем меньше его плотность, тем больше абсолютная разница напряжения.
Приходим к выводу, что влияние связности в материале существенно проявляется с возникновением больших напряжений, что не учитывается при постоянной пористости. Влияние двухосного нагружения на пористость при физически и геометрически нелинейном законе деформирования
Для исследования двухосного нагружения в нелинейной постановке рассмотрим тонкую пластинку с круговым отверстием (цилиндрической порой) при двухосном растяжении (сжатии) на рисунке 3.11. Пора имеет начальный диаметр равный 2а. Напряжения растяжения(сжатия) ох=оу=о.
Здесь в основу, как и при одноосном нагружении, положено следующие предположение, что малое приращение напряжения на границе вызывает в окрестности поры приращение перемещений и напряжений, зависящее от её текущей, т.е. деформированной формы. Поэтому здесь также целесообразно идти пошаговым методом последовательных нагружений (приращений нагрузки).
После нагружения пора остается такой же круглой но с изменением диаметра. При растяжении диаметр увеличивается, а при сжатии уменьшается. На основании геометрически и физически нелинейного решения задачи теории упругости деформации кругового отверстия в пластине получена формула об изменении радиуса отверстия при двухосном нагружений (3.14) при шаговом нагружений:
В итоге получили формулу пересчета пористости для физически и геометрически нелинейных конструкционно-связанных задач (3.15). В нелинейной постановке (при геометрической и физической нелинейности) исходя из (3.15) абсолютные значения размеры поры не влияют на ход решения. 3.6 Постановка задачи чистого изгиба балки-пластины из нелинейно-деформируемого материала пористой структуры
Влияние одноосного нагружения на пористость при физически и геометрически нелинейном законе деформирования
Для решения задач термоупругости используем принцип Сен-Венана -принцип освобождаемости от связей [38]. Считаем, что пластина защемлена жестко по контуру. За счет нагрева пластина начинает деформироваться и в ней возникают окружные в и радиальные єг деформации. Тепловым расширением по толщине пластины пренебрегаем. За счет теплового расширения и стесненности условий крепления, деформации будут равны [40]:
Физико-механические характеристики материала изменяются под воздействием температуры. Для учета влияния температуры на теплопроводность "скелета" пористого материала используем формулу теплопроводности [28] которая имеет вид: х = х0 +схт + с2т2 + с3тъ + с4г4)-(i- p)i (3.58) Где Сі, С2, ..., Ст - эмпирические коэффициенты, Хо - коэффициент теплопроводности сплошного материала при 0С. Для учета влияния температуры на коэффициент линейного расширения пористого материала используем эмпирическую формулу, основанную на экспериментальных данных [40] которая имеет вид:
При жесткой заделке (рис.3.42) в пластине возникают радиальные усилия и изгибающий момент. Задавая деформацию (3.57) и на основании (3.55), (3.56) результирующие радиальные усилия можно определить по формуле:
Рассмотрим вариант скользящей заделки (Рис.3.43). Для расчета действительных напряжений при условии пренебрежения краевого эффекта, необходимо к напряжениям а \ , вычисленным по формулам (3.55) или (3.56), добавить напряжения от нагрузок (3.60), вызванные радиальными усилиями,
Разделим пластину по высоте на множество одинаковых слоев в виде круглых пластин толщины которых намного меньше общей высоты пластины. Каждый слой имеет свои постоянные физико-механические характеристики (Ei h
Рассмотрим вариант шарнирного опирання (Рис.3.44). Для поиска напряжений, обусловленных краевым моментом т =-трез, воспользуемся гипотезой единой нормали для всех слоев пластины.
Используя принцип суперпозиции определим напряжения при жесткой, скользящей и шарнирной заделке согласно рисункам 3.42, 3.43 и 3.44. Окончательно формула для шарнирного опирання будет иметь вид: Напряженно-деформированное состояние пористой круглой пластины в конструкционно-связанной задаче термоупругости при больших нелинейных деформациях
В качестве примера рассмотрим пластину со следующими начальными характеристиками: Геометрические размеры R=200MM, 1I=10MM; пористость в диапазоне от 0,295 до 0,43 в количестве четырех вариантов - Pi=0.31, Р2=0.35, Рз=0.39, Рз=0.43; коэффициент теплопроводности сплошного материала [40] Хо при 0С равен Хо=176ккал/(м град час)=204,6Вт/(м К), коэффициент линейного расширения ао=22,97 10"6 (1/град); переменный источник тепла с начальной мощностью WO=15500BWI/(M3 K), который с каждым шагом увеличивается на величину Wo.
Определяем напряжения в слоях по (3.55) или (3.56) в зависимости от деформации, подставляя значения, вычисленные по формуле (3.57). Коэффициенты при Аі, Аз, As зависят от пористости Р и определяются по эмпирической формуле, где значения коэффициентов Ві, Вз, В5 описаны в таблице №.3.3 и №3.4 подраздела №(3.11):
Определяем секущий модуль упругости Е каждого слоя по закону Гука т.к. на каждом шагу имеем постоянные на тот момент физико-механическими параметры для каждого слоя.
Пересчитываем пористость согласно (3.15) и коэффициент теплопроводности с коэффициентом линейного расширения по формулам (3.58) и (3.59), где коэффициенты определяются по таблице №3.5 подраздела №(3.11) 9. Уточняем значения напряжений при жесткой заделке с измененными механическими параметрами секущего модуля и значения пористости, коэффициента теплопроводности и коэффициента термического расширения, повторяя п.6 10.Определяем положение нейтральной оси по формуле (1.18). 11.Выбираем следующий тип - скользящая заделка. Определяем напряжения а " (УЇ вызванные силой N по согласно формуле (3.63). 12.Определяем значения напряжений при скользящей заделке (Рис.3.43) 13.Выбираем следующий тип закрепления - шарнирное опирание. Определяем напряжения а " (уї вызванные силой М по согласно формуле (3.64). 14.Определяем значения напряжений при шарнирном опираний (Рис.3.34) 15.Повторяем расчет для следующего шага нагружения. 16.После достижения требуемой температуры, необходимо определить влияние изменения пористости и других изменяющихся механических характеристик на НДС балки-пластины в процентном сравнении, то есть оценить связанность.
Представлено исследование напряженно-деформированного состояния пористого алюминия с различной пористостью при нелинейном характере деформирования. Разработаны методы аппроксимации диаграмм деформирования а - є при малых и больших деформациях. Представлено решение конструкционно-связанной задачи чистого изгиба, а также анализ напряжений балки и пластины при нелинейном характере деформирования. Показано изменение НДС с различной пористостью, зависящей от напряжения, при малых и больших деформациях. Представлено численное решение конструкционно-связанной задачи балки и пластины, нагреваемой джоулевым теплом, выполненное методом последовательных приближений. Анализировалось влияние изменения пористости, теплопроводности и коэффициента линейного расширения на напряженно-деформируемое состояние тел при различных способах закрепления. Определялось относительное и абсолютное изменение внутренних напряжений, возникающих в балке и пластине с постоянными физико-механическими характеристиками в процессе нагрева по сравнению с конструкционно-связанной задачей. Выявлено, что наибольший эффект связанности проявляется при увеличении пористости и уменьшении жесткости.
